Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

7.9. Teoría de Hamilton–Jacobi 493
y tenemos una integral completa de la Ecuación de Hamilton–Jacobi,
φ = √ 2a1 arc sen t
L ,
ahora consideramos la integral primera φb del campo geodésico y las
curvas geodésicas φb = cte, donde denotaremos u = (x + by)/ √ 1 + b2 =
t/L, v = (y − xb)/ √ 1 + b2 , que representa un giro en el plano x, y
1
cte = φb =
1 − t2
L2
(x+by)b
yL − L
L2
=
1
√ 1 − u 2
y − xb
L 3
=
1 v
√
1 − u2 L2 cte = v2
1 − u 2 ⇔ 1 = k v2 + u 2 ,
que es la ecuación de una elipse y sobre la esfera un círculo máximo pues
z = 1 − x 2 − y 2 = 1 − u 2 − v 2 = √ k − 1 v.
Ejemplo 7.9.4 Geodésicas de un cono. Si nuestra superficie es un cono
el cual admite la parametrización
tendremos que
y por tanto
x 2 + y 2 = z 2 ,
x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = ρ,
∂ ∂ ∂ ∂
= cos θ + sen θ +
∂ρ ∂x ∂y ∂z ,
∂
∂ ∂
= −ρ sen θ + ρ cos θ
∂θ ∂x ∂y ,
E = 2, F = 0, G = ρ 2 ,
y la ecuación de Hamilton–Jacobi correspondiente es
2
1 φρ 2 2 + φ2 θ
ρ2
= a,