Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

6.9. Variedades simpléticas 397
Ejercicio 6.9.3 Demostrar que el campo H que le corresponde a la forma de
Liouville λ ∈ Ω[T ∗ U], por el isomorfismo D ∈ D → iDΛ ∈ Ω, es el de las
homotecias en fibras (ver la pág.541).
6.9.3. Fibrado de Jets de funciones de orden 1
Definición. Sea U una variedad diferenciable n–dimensional. Consideremos
en cada punto p ∈ U el conjunto de las funciones diferenciables
definidas en algún entorno abierto de p y en él la relación de equivalencia
f ∼ g ⇔ f(p) = g(p), dpf = dpg.
Llamamos jet de orden 1, de funciones en p ∈ U al conjunto cociente por
esa relación de equivalencia, el cual denotamos J 1 p , y tiene estructura
natural de espacio vectorial (realmente de álgebra) pues si denotamos la
clase de equivalencia de f con J 1 p (f), podemos definir J 1 p (f) + J 1 p (g) =
J 1 p (f + g), aJ 1 p (f) = J 1 p (af) y se tiene el isomorfismo canónico 3
J 1 p −→ R × T ∗ p (U)
J 1 p (f) → (f(p), dpf)
Definición. Llamamos fibrado de jets de orden 1 al conjunto
con la proyección canónica
J 1 (U) = ∪p∈UJ 1 p ,
π : J 1 (U) → U, π(J 1 p (f)) = p.
Este conjunto tiene una biyección canónica
J 1 (U) ϕ −→ R × T ∗ (U), ϕ(J 1 p (f)) = (f(p), dpf)
que nos define una única estructura diferenciable para la que ϕ es difeomorfismo
y π proyección regular. Además tiene una función canónica
z : J 1 (U) → R, z(J 1 p (f)) = f(p).
3 También se tiene el isomorfismo, para C ∞ p el álgebra de gérmenes de funciones
en p y mp el ideal de gérmenes de funciones que se anulan en p,
J 1 p −→ C ∞ p /m 2 p
J 1 p (f) −→ [f]