Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

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268 Tema 4. Campos tangentes lineales conservación de la energía—, y por tanto la órbita de m es una elipse una parábola ó una hipérbola, según sea la energía negativa, nula ó positiva. Consideremos ahora el caso en que la órbita es una elipse de la forma En tal caso como tendremos que por lo que y por tanto x 2 a 2 + y2 ρ(0) = A 1 + e = 1, (ver Fig.4.7) b2 ρ(π) + ρ(0) a = 2 ρ(π) − ρ(0) d = 2 1 − e 2 = 1 − d2 a , ρ(π) = A 1 − e , = A , 1 − e2 = Ae = ae, 1 − e2 , a2 2 = b2 a = Aa2 b 2 ⇒ b2 = Aa. De aquí se sigue que si T es el tiempo que m tarda en dar una vuelta a lo largo de su órbita, entonces como el área de la elipse es πab se sigue de (4.25) que πab = wT 2 ⇒ T 2 = 4π2Aa3 w2 y puesto que k = GM, tendremos la 4π2 = k a3 , Tercera ley de Kepler.- “Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias”. Ejercicio 4.14.2 Demostrar que las tres leyes de Kepler, implican que m es atraída hacia el sol con una fuerza cuya magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre m y el sol. 2 2 Este fue el descubrimiento fundamental de Newton, porque a partir de él propuso su ley de la gravedad e investigó sus consecuencias.
4.14. Algunas EDL de la Física 269 Ejercicio 4.14.3 Demostrar que la velocidad V de un planeta en cualquier punto de su órbita está dada, en módulo, por v 2 2 1 = k − . r a Ejercicio 4.14.4 Supongamos que la tierra explota en fragmentos que salen disparados a la misma velocidad (con respecto al sol) en diferentes direcciones y en órbitas propias. Demostrar que todos los fragmentos —sin contar los fragmentos que van hacia el sol— se reunirán posteriormente en el mismo punto si la velocidad no es muy alta. Calcular esa velocidad a partir de la cual todos los fragmentos se van para siempre...
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Tema 2 Teoremas fundamentales de Ec
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e integrando g[x(t)] − t0 = 2.4.
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2.7. Diferenciabilidad del grupo un
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2.9. Corchete de Lie de campos tang
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2.10. Derivada de Lie de campos tan
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2.11. Método de Lie para resolver
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3.4. Campos tensoriales Covariantes
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Solución.- Nuestro campo es 5.13.
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Apuntes de Ecuaciones diferenciales - Universidad de Extremadura

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