download as PDF [30.0MB] - Niels Bohr Institutet - Københavns ...

Københavns Universitet
Geofysisk Afdeling
Opgavesamling
I
Fysisk Oceanografi
N. K. Højerslev, 2001

Forord til opgavesamlingen
Opgavesamlingen indeholder i al væsentlighed samtlige opgaver der er givet på faget Fysisk
Oceanografi til både eksamen og regneøvelser i hele fagets eksistensperiode på Københavns
Universitet. 1 fagets første år fandtes der ikke opgaver af den art som her er lagt frem i opgavesamlingen.
Eksamen dengang var en stor skriftlig eksamen uden hjælpemidler på 1. del, hvilket
svarer til bachelor-delen i dag.
Indførelsen af den såkaldte Fysik-73 fik implikationer for Fysisk Oceanografi, fordi alle de
geofysiske fag indgik som et forsøgt integreret hele af Fysik 3, der udgjorde fysikmodulet på 3.
studieår. Første kursus i Fysisk Oceanografi blev således givet af undertegnede, N. K. Højerslev på
det daværende H. C. Ørsted Institut i vinteren 1975-76. Med Fysik-73 blev der skabt et behov for
opgaver i Fysisk Oceanografi, der egnede sig den den skriftlige eksamensform og tradition på
fysikstudiet på Københavns Universitet. Det viste sig snart, at det på det nærmeste ikke var til at
finde egnede opgaver om nogen, der beskæftigede sig med Fysisk Oceanografi. Forholdene er ikke
blevet væsentligt bedret i de senere år, hvis man studerer udbuddene i købelitteraturen.
Denne 2001- udgave af opgavesamlingen er rettet, forbedret og stærkt udvidet i forhold til 1991versionen.
Rejst kritik og forslag tU rettelser er der overalt taget hensyn tU helt ned i mindste
detalje.
Opgavesamlingen er disponeret, så den lay-out-mæssigt ligger tæt op ad 1991-versionen. Dog
indledes den med en formelsamling, der har vist sig at være nyttig ved både regneøvelserne og til
den skriftlige eksamen. Havvandets tilstandsligning med ledsagende kommentarer og en kort
oversigt over solsystemet afslutter de indledende sider.
Herefter følger 3 upaginerede sider med enkle introduktionsopgaver, som de studerende kan checke
deres forkundskaber på. Har man vanskeligheder med at regne opgaverne er det klogt at repetere
pensum fra både Mekanisk Fysik og den grundlæggende Fysiske Oceanografi.
De efterfølgende paginerede sider p. 1 - 75 udgør hele 1991-versionen renset for de få småfejl og
unøjagtigheder man er stødt ind i fra 1991 - 2001. Den foreliggende opgavesamling afsluttes siden
med stillede eksamensopgaver fra 1985 og frem til 2001 i Fysisk Oceanografi. Disse eksamensopgaver
er ordnet i kronologisk rækkefølge men uden sideangivelse. Eksamensopgavesamiingen er
næppe helt komplet, fordi ingen tilsyneladende har ansvar eller pligt til at arkivere eksamensopgaver
i en længere årrække, men der er lagt et betydeligt arbejde i at opstøve gamle eksamenssæt.
Bemærk til sidst at eksaminernes navn, og til en vis grad form samt omfang i Fysisk Oceanografi
på "bachelor" eller "1 .del" har ændret sig gennem årene men at det fælles for dem alle gælder, at
brug af alle sædvanlige hjælpemidler var og er tilladt.
Bidragyderne ydende meget forskellige bidrag til 1991-versionen citeres nedenfor alfabetisk efter
hukommelsen: E. Buch. C. Hansen, T. Schelde Jacobsen, T. Jensen, M. Mork, K. Nygaard samt
undertegnede. Den foreliggende opgavesamling 2001, som står solidt på skuldrene af 1991versionen,
må jeg derimod påtage mig ansvaret for.
Niels Kristian Højerslev,
Geofysisk Afdeling, 13/2, 2001.

1) Etoan_strøm:
overfladen:
= f A ^
3z z az
'v^ nordlige halvkugle.
Ekman dybde: D = TT — { er ca, 50 m)
overflade strøm V = •• , massetransport: M = ^
Nedre Ekman lag (geostrofisk strøm i x-aksenretningen)
M - o ^ g
\ - P ^ W
M _ ( S-JL« D' ^ g X
M^ - p i - )
a er overfladehældningen, d vanddybden, D' nedre Ekmanlags tykkelse.
2) Geostrofisk__balance:
p 3x
f u = -r^
P 3y
® p 3z
sammenhæng med overfladehældning:
Az ^ o f
2 - lag:
Marg. ules ligning :
f Pl^l -
tg Y = ~
P-
1
- P.
^2
3) Inertibevægelse:
ligning: — + ? x v = O
• m Stt
periode: T^ = ~
radius: r = c/f, hvor c er banehastigheden.

H) Bernou: llij (potential strømning)
J + 2. + g 2: = konstant langs en strømlinje,
P
(gælder også for rotation)
5) i^udsens_ teorem:
(1 - A^ u^ + Q F = (1 - ^2/Sp A^ Ug
Mærkede størrelser er bundlag, F overfladeareal, Q netto vandtilførsel
af ferskvand. Index 1 og 2 henviser til to vertikale snit, A er arealet
af åbningen.
For en åbning haves:
Q F = A u(l - S/S«)
6) Bølger:
Fasehastighed : ^f ~ ^ ~ ^
Gruppehastighed = ^g ~
7) Overflade bølger:
korte bølger X « H, H er vanddybden:
w = /g K
c^ = vAF
f K
Cg = I Vg/K = ^f
lange bølger:
'f
il) = j^g H IC
Stående bølger (Seiche)
Merians formel :
T n n /g H
Kelvin_bølger:
Cf =
Amplitude: A = Z^ e~ ^^
strømamplitude A
(superposition af to Kelvin bølger)
Amphidromisk punkt: X/^^ fra endevæg.

f f
overfladehævning:n = 2 z (cosh— y sin kx sin ut - sin h — y cos kx cos oit)
10) Interne bølger:
c- = / g'
f K ^2
h^, hg er tykkelse af hhv øvre og nedre lag
Po - P-
'2
= g —-
for hg» h^ : c^ = /g' h^
for h^ »hg : c^ = /g' hg
11) Hvirvelbevægelse:
overfladehældning:
f ^2
tg 6 = ~ c + — , hvor afstand fra centret og c er hastigheden hvormed
g rg
hvirvlen roterer.
Hældning af grænseflade:
2 2
p Cp - p. c p„ c - p c
® P2 " Pi P2 Pi
KOUSTAUTER OG STØRRELSER:
Jordradius: R. = 6371.22 km
J
Jordrotation= 7-292 •
Coriolisparameter: f = 2 ii sin ij) = I.U58 • 10 ^ s ^ • sin
f (U5°) = 1.03 -10"^ s"""
- df 2 Q cos 4> o o«n . ir.~11 a "1 "1
B = —
ay
= ^
K.
- 2.289 10 cos (}> m s
tJ
3 = 1.619 •10"''^ m"^ s"''
p
Tyngdeacceleration= 9.81 xa/s .

The One Atmosphere International Equation
of State of Seavater, 1980
Definition
The density (p, kg of seavater at one standard atmosphere
(p = o) is to be computed from the practical salinity (S) and the
temperature (t, "^C) with the following equation :
p(S,t,o) - Py + 93 X 10-^ - A.0899 x 10"^ t
+ 7.6438 X t^ - 8.2A67 x lO"'' t^ + 5.3875 x 10'^
+(-5.72A 66 X 10~3 + 1.0227 x 10'^ t - 1.65A6 x 10"^
+ A.831A X S^
where p^, the density of the Standard Mean Ocean Water (SHOW) taken
as pure water reference, is given by
p^ » 999.842 594 + 6.793 952 x lO'^ t - 9.095 290 x 10~3 t^
+ 1.001 685 X lO""* t3 - 1.120 083 x IQ-^ t"^
+ 6.536 332 x lO'^ t^
The one atmosphere International Equation of State of Seawater,
1980 is valid for practical salinity from 0 to A2 and temperature
from -2 to AO®C.

Units and nomenclature in oceano^aphy
Dooley drew the WG's attention to the confusion and uncertainty in the community about units and nomenclature in
connection with salinity and density values. He pointed out that this confusion should be unnecessary as clear advice
was provided some time ago by the lAPSO/SUN group on units (UNESCO, 1985, p 74, UNESCO Technical Papers in
Marine Science, 45, "The International System of Units (SI) in Oceanography) and by JPOTS (UNESCO 1991,
"Processing of Océanographie Station Data"). Both of these groups were co-sponsored by ICES, and ICES is therefore
obligated to ensure that the advice given is heeded.
With regard to salinity it was noted that salinity became a dimensionless unit with the introduction of PSS-78 (Practical
Salinity Scale 1978) . Declaration of units in many published and unpublished texts is however commonplace (e.g.,
PSU, psu, ppt,%o), but it is incorrect to do so. If any description of the given salinity values is required then the values
may be followed by (FSS). Nothing more is necessary, and declaring nothing is to be preferred.
With regard to density, both SUN and JPOTS advise that use of the symbol o must be discontinued since EOS-80
(Equation of State 1980) yield density values in units of kgW rather than the dimensionless quantity of a. The JPOTS
book, ppI6-17, argues as follows:
"Knudsen's equation of state at atmospheric pressure is expressed through the specific gravity anomaly ('sigma-t')

SOLEN
Radius
Angulær radius, set fra Jorden
Overflade
Volumen
Masse
Effektiv temperatur
Temperatur i centrum
Udstråling
JORDEN
Ækvatorradius
Polarradius
Jordbanens radius, middel
maksimum (Apheliet, 21. juni)
minimum (Perheliet, 22. dec.)
Jordkvadranten langs meridianerne
Jordkvadranten langs ækvator
Overflade
Volumen
Masse
Massefylde (gennemsnitlig)
Vinkelhastighed
Land areal
Ocean areal
Ocean volumen
Atmosfærens masse
Geomagnetisk nordpol
Geomagnetisk sydpol
MÅNEN.
Radius
Angulær radius
Masse
Massefylde
Afstand jord-måne,
middel
maximum
minimum
SOLSYSTEMET.
01,738 • 10^ m
15'33"
7,35 • kg
3340 kg/m^
3,8440 • 10® m
4,055 • 10® m
3,633 • 10® m
6,96 • 10» m
16'
6,09 •
1,41 • 10" m^
1,99 • 10^0 kg
5760 K
13,6 • 10® K
3,86 • 10^6 W
6378160 m
6356912 m
1,50 • 10^^ m
1.521 • 10^^ m
1,471 • 10" m
10002288 m
10019148 m
5,101 • m^
1,083 • 102'
5,976 • 10^^ kg
5.522 • 10^ kg/m^
7,292115 • 10-^ rad/s
1,49 • 10'^ m^
3,61 • 10'^ m^
1,37- 10^« m^
5,27 • lO's kg
76''N, lorw
67°S, I44°0
Månebanens excentricitet 0,055
Baneplanens vinkel med
ekliptikas plan 5''8'43"
Siderisk måned 27,322 d
Synodisk måned 29,531 d

Knudsens relationer:
Qi + Qo = Q2 ; Qo = Qoas = o)
QIS, = Q2S2
antages brugbare og tilførslerne er skitseret ovenfor
Antag p = p (S, T) - se p. 25
= 4-0.216-S
Tf^, - - 0.054 - S [ "C
Oj = 0.80-S-0.18-T
Angiv situationer (værdier) for S, T hvor den viste strømning kan finde sted.

Opgave i tryk og tyngde
Antag et homogent inkompressibelt hav med massefylden pi og hvor havoverfladen er en geoideflade, fordi
havet er fuldstændig i ro.
1) Opskriv de 3 Navier - Stokes ligninger i det sædvanlige kartesiske koordinatsystem.
En massiv homogen og inkompressibel kugle med radius R og massefylden p2 sænkes ned til dybden
Z- - D, hvor dybden D er angivet som afstanden fra havoverflade til kuglecentrum.
2) Angiv med bmg af Archimedes Sætning nettokraften på kuglen.
Herefter beregnes de infinitesimale trykkræfter på kuglens infinitesimale arealelementer. Her skal benyttes
kuglekoordinater.
3) Beregn det samlede tryk på kuglen. ( Her skal benyttes integration i kombination med Navier - Stokes
ligninger ).
4) Definer og diskuterer tyngdekraften for en homogen jord.
5) Beregn den samlede t3mgdekraft på kuglen.
6) Med anvendelse af resultaterne i spørgsmål 3) og 5) angives nettokraften på kuglen ( weight in water
according to Pickard & Emery ).
7) Læreren afslutter opgaven med at introducere begrebeme opdrift og reduceret tyngde, og man diskuterer
effekteme af de mulige kombinationer af pi og p2 's indbyrdes størrelsesforiiold.
Strømkorsberegning i Pickard & Emery p. 108.
Antag at det strømmende havvand giver anledning til et uelastisk stød, når det træffer strømkorset.
1) Beregn strømhastigheden som en funktion af wirevinkel, strømkorsareal og vægten i vand (weight in
water).
Antag herefter at det strømmende havvand giver anledning til et elastisk stød, når det træffer strømkorset.
2) Beregn strømhastigheden som en fimktion af wire vinkel, strønikorsareal og vægten i vand.

opgave i potentiel energi
Antag et hav med dybden H. Havet består af et homogent overfladelag med tykkelsen h og massefylden pi
samt et nedre lag med tykkelsen H -h og massefylden p2.
1) Beregn hele vandsøjlens potentielle energi.
En storm foranlediger en fuldstændig opblandmg (homogenisering ) af de to vandmasser,
2) Beregn hele vandsøjlens potentielle energi.
3) Beregn forskellen i potentiel energi før og efter stormen.
4) Typiske massefylder i danske havområder ligger omkring 1015 kg/m-3 med en variation til hver side på
omkring 1%. Diskuter ud fra dette svaret i spørgsmål 3).
Antag herefter et andet havområde med dybden H, hvor massefylden vokser lineært med vandybden
begyndende med pi ved havoverfladen og sluttende med p2 ved havbunden.
5) Beregn hele vandsøj lens potentielle energi.
Havet opblandes herefter fuldstændigt.
6) Beregn hele vandsøjlens potentielle energi.
7) Beregn forskellen i potentiel energi før og efter opblandingen.
8) Diskuter svaret i spørgsmål 7) set i lyset af diskussionen i 4),
Typiske værdier forh ligger mellem 1 m og 50 m og tilsvarende for H mellem 10 m og 500 m.

ysisk Oceanografi, 1. del
Opgave s amli ng
N.K. Hjzijerslev
Opgave 1 Sommer TT Fysik 3 Vægt:
Havvandets massefylde p er en funktion af salinitet S, temperatur T samt tryk
p: p = p{S, T, p). For mange praktiske formål gælder relationen
1) T = (U - 0,216 S)°C
' max '
hvor T er defineret ved at den partielle afledede
max
IP
3T
= O for T = T max
Havvandets frysepunkt som funktion af S kan tilnærmet skrives :
2) T^^^ = -0,05U S °C
Vi "betragter nu en lang vintersituation (f.eks. I962/63) i danske farvande og
antager, at isdannelse på havoverfladen i kystnære områder har fundet sted.
a) Begrund hvorvidt massefyldens trykafhængighed er væsentlig for
problemlosninger i vore farvande
Idet vi ser bort fra horisontal advektion,,spørges der videre:
b) Hvilket udseende vil den vertikale temperaturfordeling (fra havisens
underside til havbunden) have i tilfældet
i) . Kj^ge Bugt, soul antages uden haloklin
ii) Nordsizien
Man bedes give en omtrentlig overfladetemperatur Q,g bundtemperatur i
hvert af de to tilfælde.
Salinitet en for Køge Bugt og Nordsøen antages at være henholdsvis is'^/oo og

Over liordsøen sætter det ind med kraftig vestenvind i ca. en uge.
c) Hvorledes vil denne kunne påvirke den vertikale temperaturfordeling
i Køge Bugt?
Opgave 2 (Studiespørgsmål)
Storskala-cirkulationen i verdenshavet kan kvalitativt beskrives gennem pas-
sende valg af koordinatsystem, standardapproximationer og skala-analyse.
a) Angiv de sædvanlige standardapproximationer.
b) Beskriv princippet i skala-analysen.
Den indre del af oceanerne på mellembredder klassificeres i tre dybderegioner
ud fra disses dynamik.
c) Angiv navnene på disse tre regioner.
d) Hvilke kræfter dominerer i hver af de tre regioner?
Opgave 3
a) Definér varmeledningsevne og udled varmeledningsligningen for endimen-
sional varmetransport.
b) Hvad forstås ved den termiske diffusivitet K^ ?
c) Vis at
T = T + a e sin ( wt + 3z) 5 z < O
o o
er løsning til den endimensionale varmeledningsligning samt at relationen
mellem v og K^ er givet ved w = 2 K^
Ved målinger i en dyb fjord med stillestående vand finder man, at den årlige
temperaturgang i overfladen har en tilnærmet sinusformet tidsvariation. Desuden
viser målinger, at temperaturen i 50 m dybde når maksimiim 90 dage senere end på
10 m dybde.

d) Hvor stor bliver K^, som antages konstant?
e) Hvor stor årlig temperaturvariation finder man på 5, 10, 50 og 100 m
dybde, når overfladetemparaturens årlige variation er 20°C?
f) Hvor stor daglig variation findes på for hver grad daglig lufttempe-
ratur variation?
Opgave k
Givet et i realiteten lukket bassin (f.eks. Limfjorden, Roskilde Fjord o.l.)
med konstant dy^de D, som indeholder en homogen, stillestående vandmasse med
massefylden p. På grund af en extrem lang frostperiode fryser bassinet til.
Isens tykkelse og massefylde kaldes henholdsvis h og p. .
xs
Spørgsmål:
a) Hvad bliver afstanden fra isens underkant til bunden?
massefylde
Havvandets maximale / er en funktion af temperaturen T (grader Celcius)
og saliniteten S (pro mille), således at der gælder:
(|g) = O for T = T
dT max
o
T - h - 0,2l6 • s
max
Havvandets fiysepunkt tilnærmet skrives:
T^ = -0,05U • S
frys
På et tidspunkt forandrer istykkelsen sig ikke, dvs. en stationær tilstand er
indtruffet. Massefylden ved bunden kan antages maksimal. På denne baggrund spørges der
videre:
b) Angiv istykkelsen ved varmediffusionskoefficienterne og
vandets salinitet S, luftens temperatur T , dybden D samt p og p. .
-Luit IS
c) Ved hvilke saliniteter indtræffer bundfrysning?
d) Angiv isens tykkelse når
-lu« =
fortsættes

s = 10 °/oo
•^vand = 500 J-m"^s"^.grad
-1 -1 -1
K- - 5 j'm 'S 'grad
3 3
P-
IL S
= 0,9 g/cm , P = 1 g/cm
D = 10 m
Opgave 5
En kommune ved en dansk fjord leder spildevandet direkte ud gennem mundingen
af et kloakrør, som "befinder sig i midten af fjorden. Dette har ledt til en
del gener for fiskeriet samt for turistvirksomheden i området. En lokal miljø-
gruppe har sendt en klage herover til Miljøministeriet, som har videresendt
samme til Havforureningslaboratoriet, hvis opgave herefter bliver at undersøge
spildevandsforholdene i fjorden. Man foretager feltmålinger af forskellig art
og opstiller på grundlag af disse en fjordmodel, der indeholder følgende for-
enklede entagelser:
a) Fjorden har et rektangulært tværsnit i hele dens længde,og vanddybden
er overalt den samme.
b) For ethvert sted i fjorden gælder det, at spildevandskoncentrationen
ikke ændrer sig med tiden.
c) Strømmen i fjorden er overalt den samme og udadrettet.
d) Den horisontale advektion langs fjorden dominerer fuldstændig den hori-
sontale diffusion i samme retning.
e) Den vertikale blandingskoefficient K afhænger ikke af tSybden.
z
f) Spildevandets koncentration ændrer sig ikke ved biologisk eller lignen-
den aktivitet, og sedimentation forekommmer ikke (konservativ egenskab).
g) Spildevandet udledes med jævn hastighed; koncentrationen af spildevand
ved bunden, hvor udslippet foretages, er den samme i hele fjordens
bredde og lig
h) Spildevandskoncentrationen aftager jævnt fra bunden til overfladen, hvor
den antages lig nul.
Vi indfører et koordinatsystem, som vist på nedenstående figur. Koordinatsyste-
mets begyndelsespunkt falder sammen med kloakrørets munding.
Følgende spørgsmål bedes besvaret:
1) Angiv de uafhængige variable til spildevandskoncentrationen q.

2) Diskutér den for problemet relevante diffusionsligning med tilhørende
randbetingelser.
Antag herefter, at spildevandskoncentrationen q kan udtrykkes som et enkelt
produkt, der kun indeholder et trigonometrisk led med fase lig O og et eksponent ialled,
hver i én variabel.
3) Find q udtrykt ved henholdsvis fjordens dybde d, strømmen i fjorden,
blandingskoefficient en K og spildevandskoncentrationen ved kloakrøret.
z
Hvor mange meter skal man ned i fjordvandet for at finde en spildevands-
koncentration, som er 50^ af koncentrationen ved bunden, der ligger på
30 m.
5) Hvor mange kilometer skal man gå langs med strømmen (nedstrøms) for at
finde en spildevandskoncentration, som er 50^ af koncentrationen ved
kloakrøret.
Taleksempel: K
2
= 1 cm /sek, og strømhastigheden er 10 cm/sek.
6) Modellens brugbarhed ønskes diskuteret;
Er modellen realistisk ved udslipningsstedet?
Er modellen realistisk langt fra samme?
Fjordmodellen søges forbedret ved, at man i overensstemmelse med de faktiske
forhold antager:
j) Spildevandet udledes gennem en rørledning beliggende midt i fjorden, og
koncentrationen på stedet er Q^ = • b, hvor b er fjordens bredde.
k) Tværgående horisontal diffusion forekommer, og blandingskoefficienten K
er konstant.
l) Koncentrationen af spildevand antages lig nul ved fjordbredden.
7) Angiv de Uafhængige variable til spildevandskoncentrationen q.
8) Diskutér den for problemet relevante diffusionsligning med tilhørende
randbetingelser.
9) Hvorledes kan koncentrationsfordelingen af spildevand i fjorden angives

som følge af de ændrede antagelser?
10) Hvor mange meter skal man ned i fjordvandet for at finde en spildevands-
koncentration, som er 50^ af koncentrationen ved bunden? Hvor mange
kilometer skal man gå nedstrøms i midten af fjorden på 10 meters dybde
for at finde en spildevandskoncentration, som er af koncentrationen
ved kloakrøret?
Hvor stor er spildevandskoncentrationen på 10 meters dybde 30 meter
fra kysten i forhold til koncentrationen på samme dybde midtfjords
Hvor langt skal man gå nedstrøms fra kloakudslippet langs med bunden i
midten af fjorden for at finde den halve koncentration?
Taleksempel: K /K = 10000, og fjordens bredde er 1 kilometer,
X s
Fjordmodellen søges yderligere forbedret, idet man antager, at følgende finder
sted: i) Sedimentation af en vis procentdel af udslippet, ii) bakteriel ned-
brydning af samme i hele vandsøjlen samt iii) forbrug af næringssalte i kloak-
vandet gennem planktonalgers fotosyntese i de øvre vandmasser. Igen bliver det
nødvendigt at indføre forenklede antagelser:
m) Det sedimenterede materiale har overalt den samme sammensætning, en kugleformet
geometri samt en massefylde p , der er større end vandets massefylde p . Antag
w
en konstant faldhastighed og at gnidning s kraft en er proportional med denne.
Proportionalkonstanten G er givet ved Stokes lov: G=6 ir n r. Desuden antages
balance mellem den vertikale advektion og vertikale diffusion af spildevandet.
n) Den bakterielle nedbrydning antages uafhængig af temperatur, saltholdig-
hed og vandets iltindhold samt værende proportional med spildevands-
koncentrationen .
o) Fotosyntesen er proportional med dagslys energi en, som antages at aftage
eksponentielt fra overfladen til bunden. Fotosyntese under den dybde,
hvor Vfo af dagslyset ved overfladen haves, kan ignoreres. Denne dybde
er i vort tilfælde 12 meter.
p) Materialesaramensætningen i spildevandet er den samme for alle forekommen-
de koncentrationer.
11) Foesøg nu at løse den for problemet relevante diffusionsligning, som
tillader en beskrivelse af spildevandsforholdene i fjorden.
12) Er modellen blevet væsentlig bedre end den oprindelige og stærkt

forenklede?
Taleksempel; r = 3 ym, n= 0,001 Pa*s, p = 1800 kg/m^
Den bakterielle nedbrydning af kloakudslip kan sættes til per døgn. Antallet
9 3 .
af plankton-alger er 10 per m ; middelindstralingen ved havoverfladen over 1
2 ^ 2
døgn er 60 watt/m , hvoraf halvdelen kan benyttes i fotosyntesen. Ved 1 watt/m
producerer plankton-algerne 0,2 mg kulstof per døgn, og for hvert mg produceret
kulstof optages 3^ af spildevandet i algerne.
13) Hvorden kan modellen forbedres rent matematisk?
iH) Diskutér antagelserne a), b) og c).
15) Hvilke parametre foruden de tidligere nævnte kunne man tænke sig, der
skulle indgå i vor fjordmodel?
16) Finder man, at en udeladelse af bemeldte parametre under spørgsmål 15
forringer vor fjordmodel væsentligt?
A Z
/ i o,o,o ^
. o.o)

Fra de hydrodynamiske ligninger kan man udlede ligningen:
^ ( V ^ v ) - f - f v V = o
Po ^^ ^
hvor er den vertikale middelmassefyldegradient < O
a) Under hvilke omstændigheder er denne ligning gyldig?
h) Hvilken type "bevægelse repræsenterer løsningen af denne ligning?
Opgave T
Over et meget stort og meget dybt havområde med homogent vand har i lang tid
blæst en konstant vind fra sydvest. Ingen horizontale tiykgradiehter fore-
kommer, og turbulente friktionskoefficient, A , antages konstant.
a) Opstil de bevægelsesligninger og de randbetingelser, som ifølge Ekman
gælder i områdets centrale dele.
b) Hvilke generelle egenskaber har den funktion, som beskriver den af
vinden genererede strøm som funktion af dybden?
c) Hvad forstås ved "friktionsdybden"?
d) I 25 m dybde måles en konstant strøm = 3 cm/s i sydlig retning. Bestem
overfladestrømmens retning og fart.
e) Beregn hvirvelviskositeten under forudsætning af, at inertiperioden
Tp = — - 15 h og a^ = 25,00
Opgave 8 (Studiespørgsmål)
N e - P A S S A T
/O »Ai
® ®
SrtLLB
o
S Ä L T E ^
• o ^ S ^ N
- o *

De fremherskende vinde over det ækvatorielle Stille Ocean er fremstillet i
figuren.
a) Optegn i et skematisk meridionalt snit :
1. Havoverfladens topografi
2. Temperaturspringlagets beliggenhed
b) Gør rede for:
1. Overfladestrømme
2. Eventuel tværcirkulation
3. Eventuelle konvergens- og divergenszoner
c) Angiv, hvor man i overfladevandet finder høje, respektivt lave vær-
dier af T, S, koncentration af næringssalte og af partikler.
Opgave 9 (studiespørgsmål)
Redegør for Ekmans elementarstrømsystem langs en uendelig lang, lige kyst
med relativt dybt vand helt ind til kysten. Det antages, at vinden blæser
parallelt med kysten, og at tilstanden er stationær.
Opgave 10
I det centrale Stillehav ('^J30°íí) er en typisk størrelse for rotationen af vind-
friktionen -T-IO"^ Pa-m"''
a) Hvad er den vertikale hastighed ved den nedre grænse af Ekmanlaget, og
hvilken retning har den? Benyt sædvanlig skala-analyse.
Hastighedsfeltet kan vises at være
(u, v) = (V e^^ cos(mz V sin(mz +3)
o o
Sædvanlige randbetingelser giver
du _ dv m
A - ^ = T ogA — = iy for z = O, og endelig gælder at
Z DZ X Z 0.2
2
2A m = pf.
z
b) Find på grimdlag af disse oplysninger den vertikale hastighed på meget
(uendelig) stor dybde.

Gør rede for, hvorfor Golfstrømmen langs Amerikas østkyst når så stor dybde
sammenlignet med pas s at strømmen, (som er årsag til Golfstrømmen), men igen
bliver overfladestrøm øst for Newfoundland.
Opgave 12
I Golfstrømmen observerer man ofte et lag, hvor den potentielle vorticitet er
næsten konstant på tværs af strømmen.
Den potentielle vorticitet defineres som
f + il _ Iii
3x 3y
hvor f er Coriolis-parameteren, u, v de horisontale hastighedskomponenter, og
h er vanddybden af det pågældende lag. Tælleren, som henholdsvis består af
den såkaldte planetare og relative vorticitet, kaldes den "absolutte vorticitet"
Betragt et snit gennem Golfstrømmen, som vist på figuren.
Her er den potentielle vorticitet z
i det øvre lag konstant. Vi har
et lag med dybden D(x) (D(0) = O), mas-
sefylde p^, som hviler på et ned-
re lag raed massefylden p^ der
er helt i ro.
Den geostrofiske balance gælder for det øvre lag.
b)
Udled et udtryk for dybde- og hastighedsprofilen på tværs af strømmen,
dvs. i X-retning.
Lim D(X) = D for x °
o
Hvad bliver transporten i Golfstrømmen gennem den samme sektion, som er
"3
behandlet i opgave 12, når D^ = 800 m, og (p^ " p^)/p2 = 2 • 10 ?
Opgave 13 (Studiespørgsmål)
a) Hvor dannes de kolde, dybtgående vandmasser i verdenshavet?
b) Hvor dannes den koldeste af disse og giv en kort begrundelse herfor.

Opgave lU (studiespørgsmål)
Hvilke faktorer er væsentlige for vandudvekslingen mellem
a) Nordsøen og Atlanterhavet
b) Kattegat og Østersøen
Opgave 15
a) Bestem inertiperioden i Østersøen på 56° N bredde for det gnidningsfri
tilfælde.
Udled de nødvendige relationer.
b) Antag gnidning proportional med hastigheden og angiv herefter inerti-
perioden som ovenfor.
Angiv alle forudsætninger for Knudsens teorem.
Opgave l6 (studiespørgsmål)
Opgave 17
Saltbalancen i de arktiske havområder opretholdes hovedsageligt af vandtrans-
porter gennem Færø-Shetlands Kanalen og Danmarksstrædet. Man kan antage, at
salttilførslen kun sker gennem Færø-Shet lands Kanalen, og at udførslen kun
sker gennem Danmarks strædet. Det indstrømmende vand har en middelsalinitet på
35,3 °/oo, og saliniteten for det udstrømmende er på 32,5°/oo. Transporten
gennem Færø-Shet lands Kanalen er beregnet til 3 • 10^ m^/sek.
Beregn her ud fra ferskvandstilførslen i de arktiske havområder samt vandud-
strømningen gennem Danmarksstrædet.
Opgave l8
a) Redegør for volimentransporterne ved Gibraltarstrædet.
Middelsaliniteten for henholdsvis Atlanterhavs- og Middelhavs vandmas ser er
36,25 °/oo "/oo og 37,75 °/oo. /oo. Volumentran Volmnentrai sporten af Atlanterhavsvandmassen ansættes
i middelværdi til 1,75 ' 10^ m^/sek.
b) Beregn nettofordampningen pr. tidsenhed for Middelhavsområdet.
c) Indgår Sortehavet som en del af Middelshavsområdet i ovennævnte bereg-
ning?

Ferskvandstilfjzirslen er for Østersøen i+70 km /år netto- Saliniteten ved
Darssertaerskien varierer stærkt, men ofte anvendes middelværdien som lT,i+ /oo
for det indstrømmende og 8,T °/oo for det udstrømmende vand.
Beregn ud fra dette vandudvekslingen.
Opgave 20 (Studiespørgsmål)
En strøm opretholdes ved, at havoverfladen falder med 1 cm/km fra øst mod vest
på 60° W bredde.
Beregn strømhastighed og angiv retning for geostrofisk balance.
Opgave 21
I Store Bælt på linien Korsør-Slipshavn har man observeret et forhold mellem
overfladens hældning og strømhastighed på 1 • 10 ^radianer* s 'm ''.Detteeren
ganske pålidelig værdi, idet en relativ nøjagtig nivellering har kunnet fore-
tages via Sprogø.
Sammenlign den observerede værdi med den teoretiske under forudsætning af, at
vandet betragtes som homogent og strømmen som friktionsfri og stationær.
Bredden er 5i+°20'.
Opgave 22
En repræsentativ middelværdi for den residuale (ikke tidevandspåvirkede) strøm
i Dover Strædet er 3 sømil/dag med retning fra Den engelske Kanal mod Nordsøen.
Bestem havoverfladens hældning (størrelse og retning) ud fra den antagelse, at
atmosfærens trjrk er konstant i hele området, og at friktionen kan negligeres.
Opgave 23 (Studiespørgsmål)
Beregn den horizontale trykgradient i et område af Golfstrømmen, hvor strømmens bredde
er lOOkm, og hvor differencen i havniveau mellem højre og venstre side er 1m.
Beregn endvidere strømhastigheden. Der antages homogent hav og at vindhastigheden er nul,
Opgave 2k
Antag stationær tilstand for en gnidningsfri, inkompressibel, homogen væske i
hvilken laterale og vertikale hastighedsgradienter kan negligeres. Antag

endvidere, at jorden er kugleformet, og at tyngde accelerationen er konstant. En
lukket kanal tænkes gravet langs en længdestorcirkel (over polerne), i hvilkien
væsken bevæger sig med hastigheden v.
Angiv vandspejlets hældning på a) Sydpolen, b) U5" S, c) Ækvator, d) N og
e) Nordpolen.
-5 -1
Jordens vinkelhastighed sættes til 7,29 • 10 sek
Opgave 25
Vand med konstant massefylde strømmer i en kanal med lodrette sider og flad bund,
men hvor bredden varierer som vist på figuren.
beregn dybden og vandhastigheden i indsnævringen, når vanddybden er 10 m og
strømhastigheden for indsnævringen er 1 m/s.
7F >
T
20 m X^Q 20 m
Ä ^ — sk
(Man får en 3. gradsligning, så en tilnærmet løsning kan accepteres).
Opgave 26
I havet forekommer - ligesom i atmosfæren - ofte fronter, hvor to vandmasser
grænser op til hinanden med en meget skarp grænseflade, som er karakteriseret
ved en relativ kraftig hældning i forhold til en niveauflade. Vi vil betragte
et forenklet, men illustrativt eksempel:
Bredde N
a^ = 27,33
Og = 28,13
v^ = 100 cm/sek
Vg = O cm/sek
(hvor index 1 repræsenterer overfladelaget, som bevæger sig horisontalt og
parallelt med grænsefladen).
Beregn hældningen for grænselaget og havoverfladen i forhold til en niveau-
flade i det friktionsløse, geostrofisk balancerede tilfælde.

Hydrografiske målinger viser, at man ud for Grønlands østkyst har en to-lags
model. Det øvre lag har en densitet på 1027,1 kg/m^, og det nedre lags densi-
tet er 1028,1 kg/m . Grænsefladen mellem de to lag falder mod vest med en
hældning på 2,9 m/km. Bevægelsen i det øvre lag antages stationær, og det nedre
lag antages at være i hvile.
Beregn: a) Havoverfladens hældning i forhold til en niveauflade
b) Strømhastighed og -retning i overfladelaget.
Der ses bort fra vind og friktions effekter, og atmosfærens tryk i oiarådet an-
ses for at være konstant-
Udled de nødvendige relationer.
Opgave 28
I et snit vinkelret på den svenske kyst i det nordlige Kattegat har man følgen-
de observationer:
Vandet er udpræget lagdelt med et meget skarpt springlag, som ved den svenske
kyst har en dybde på UO m. Springlagets dybde varierer lineært med afstanden
til kysten, og Uokm fra Sverige er dybden O m. Afstanden fra den danske kyst
til den svenske kyst er 75 km.
I det øvre lag er målt: T = 10° C, S = 2^,90 °/oo.
I det nedre lag er målt: T = 5° C, S = 3^,85 °/oo.
Dybden til bunden er overalt i snittet 20m + 2,5 gange dybden af springlaget. Fra
andre målinger ved man, at vandet i det nedre lag bevæger sig i sydlig ret-
ning, og det kan antages, at hastighedskomponenten vinkelret mod snittet er
0,0U m/sek. Envidere antages stationær, friktionsfri tilstand og vindstille.
Beregn:
1) Hastigheden'i det øvre lag
2) Vandstandsdifferencen mellem fronten og den danske kyst
. . ~h -1
Coriolisparameteren = 1,23 ' 10 sek
2
lyngdeaccelerationen g = 9,81 m/sek
Sigma - t (a,) =0,8-5 °/oo - 0,15 C
"C

Antag at accelerationen, gnidningskræfter etc. i "bevægelsesretningen kan igno-
reres, således at vi "blot behøver at betragte trykkraften, corioliskraften og
tyngdekraften.
a) Find under disse forudsætninger et udtryk for hastigheden. Diskutér
dette, især med henblik på forskellige måder at udtrykke hastigheden
på Og fremstille hastighedsfeltet.
b) Anvend teorien ovenfor på følgende tilfælde:
, ,massefylden
Havet består af et øvre, homogent lag med j •> Pt og et undermassefylden
liggende, homogent lag med / ^ '^l* Hastigheden i øvre
lag v^ Og i nedre v^ løber parallelt. Hvis hældningen af havets over-
flade tg a samt hældningen af skillefladen mellem de to vandmasser tg 3
er givet, find da v^ og v^.
Omvendt, hvis v^ og Vg er givet, bestem tg ct og tg 3.
Betragt det specielle tilfælde, hvor v^ > O og v^ = 0. Hvad bliver
hældningen af grænsefladen i forhold til overfladen?
Taleksempel: p^ = 1,02;
Pg = 1,03
V, = 100 cm/sek 2
g = 1000 cm/sek
-1+ -1
f = 10 sek
c) Vi går tilbage til de generelle forudsætninger givet iinder a). Antag
at temperatur og saltholdighed er observeret i.angs to vertikaler, hvis
plan står vinkelret på v^.
Hvorledes kan man beregne hastigheden i en dybere liggende isobarflade
p = Pg ved hjælp af disse observationer?
Opgave 30
Hydrografiske observationer fra to stationer i Nordatlanten er opgivet i ne-
denstående tabeller. Stationerne ligger på N bredde med en indbyrdes af-
stand på 103 km. Beregn strømfordelingen vinkelret på snittet AB i forhold til
2000 m dybde. Vi antager friktionsløst tilfælde, samt at der ingen bevægelse
er på 2000 m.
I beregningen af massefylden ses bort fra trykafhængigheden, og en lineær
approxiraation kan anvendes.
fortsættes.

Beregn endvidere vandtransporten i forhold til havoverfladen.
Tabellerne er fra Proudman, "Dynamical Oceanography", s. 6^-71
Depth
m-
Temp. I Salinity
"C. ! 7oo
Temp.
"C.
Salinity
0 12-70 35-30
25 12-25 •34
50 10-20 •35
100 9-59 •34
200 d-16 •32
400 8-96 •26
600 8-22 •17
800 6-45 •03
1000 5-08 34-99
1200 4-19 •96
1400 3-83 •93
1600 3-71 •90
1800 350 •89
3000 331 -8S
Station A,
Station B.

Af of til kan permanente hvirvler observeres i oceanerne. De kan være topo-
grafisk genererede som f.eks den cykloniske hvirvel over Alt air vulkanen i
Atlanterhavet på UU°35' N. Man har her observeret et øvre og et nedre system.
Sidstnævnte går fra ca. 150 m til ca. 800 m dybde. På 200 m er hastigheden
20 cm/sek, og på 800 m er den 6 cm/sek. Sigma-t er kendt i øvre og nedre lag.
Bere^ nu udfra = 26,8 og ff^ = 27,5 den hældning, som isopyknerne
(flader m. konstant massefylde) bør have og sammenlign den observerede hældning
iflg. figuren. (Figuren er hentet fra Defant l)
300 250
Fro. 212. Meridionai density section through the cyclonic vortex above the "Altair"
submarine volcano in the Atlantic Ocean (somewhat smoothed).
Opgave 32 (Studiespørgsmål)
Angiv alle forudsætningerne for Bernoulli s • teorem for potentialstrømning.
Opgave 33 (Studiespørgsmål)
Antag at Rødehavet er 2000 km langt, Suez Kanalen liikket og åbningen til det
Indiske Ocean, Bab el Mandet Strædet, er en tiendedel af middelbredden af havet
Hvis overfladefordampningen overstiger ferskvandstilføreisen med lem/dag, og
indstrømningen fra det Indiske Ocean foregår i de øverste 50 m, hvor stor er
da strømhastigheden?

En fjord antages at have et rektangulært tværsnit indtil ude ved dens munding,
hvor en tærskel løber på tværs af fjorden. Tærskelhøjden sættes = a og fjordens
dybde = d. Vandet i fjorden strømmer med jævn hastighed v og a « d.
Hvor stor bliver vandsøjlens højde over tærsklen?
Opgave 35 Sommer 1976 Fysik 3 vægt
Et tankskib i den centrale del af Nordsøen får en lækage, hvorved 2000 tons
olie siver ud. I løbet af et vist tidsrum dækker pletten et cirkulært område
2 3
på 10 km . Idet massefylden for henholdsvis havvand og olie sættes lig 1 g/cm
og 0,8 g/cm , og der antages hydrostatisk ligevægt, spørges om følgende:
1) Hvor stor er olieplettens middelhøjde over det fri vandspejl, som an-
tages at være en geopotentialflade?
Det blæser nu op til vestenvind, som holder sig med konstant styrke og retning
i en uges tid.
2) Find olieplettens randhastighed til et givet tidspunkt ved hjælp af
Bernoullis teorem.
3) Mod hvilken retning vil man forvente, at oliepletten bevæger sig?
it) Kan man forvente, at oliepletten under påvirkning af samme konstante
vindstress vil bevare ovenfor fundne bevægelsesretning, indtil den skyl-
les på land?
Svarene på spørgsmål 3} og h) ledsages af en kort begrundelse.
Opgave 36
Vi betragter et stræde med en tværgående tærskel.
Med sædvanlig notation antages;
u = O overalt
V = konst. > O og w = O langt fra tærsklen
-1
p = konst. og f = 10 sek
Dybden til bunden i strædet sættes lig h uden for tærskelområdet, og tærsklens
højde sættes til H. Strædets bredde sættes lig 1. Tyngdekraft, trykkraft og
corioliskraft er de eneste virksomme kræfter.

Vi har vandstandsobservationer fra hver side af strædet uden for tærskelområ-
det.
Spørgsmål:
a) Hvad bliver vandstanden på hver side af strædet over tærsklens højeste
punkt?
b) Hvad bliver vandstands differencen sammenlignet med den observerede
vandstandsdifferens nedstrøms?
Mange bølgegeneratorer har en
udformning som vist på figuren.
b)
Find stemplets bevægelse
som funktion af tiden.
Diskutér dimensioneringen
af bølgegeneratoren, hvis
man vil frembringe (nær)har-
moniske stempelbevægelser.
Opgave 37
roterende ckive
med radius, r
plejlstanjT med
længden, 1
stempelntang med
længden j a
bølgestempel
Opgave 38
Det lineære bølgegenerator-problem kan formuleres således: Endevæggen i en
halv-uendelig kanal (x>^0, -H^zj

Vis at den kinematiske grænsebetingelse anvendt på en lang bølges fri vand-
spejl approximativt kun indeholder lineære led.
Opgave (Studiespørgsmål)
Giv fasehastigheden for en lang bølge, hvis amplitude er sammenlignelig med
vanddybden.
Opgave k2
Den 1. april 19^+6 ca. kl. 02.00 registreredes et jordskælv med epicenter
(jordens centrxim, jordskælvets oprindelsessted og epicenter ligger på linie)
på fastlandsskrænten umiddelbart syd for Aleuterne. time senere registre-
redes på Hawaii den første af en rsekke Ødelæggende flodbølger (tsunami) med
perioden 15 min. Storcirkeldistancen mellem epicenter og registreringspunkt er
3600 km.
Beregn approximativt middelværdien af havdybden mellem de to punkter.
Opgave U3
En lang bølge løber skråt ind mod en lang, lige kyst. Havbunden på stedet er
plan, og skråner svagt med vinklen a. I afstanden d fra kysten sættes bølgens
indfaldsvinkel lig 3 (t = O).
Bestem indfaldsvinklen ß (t = t^) til et senere tidspunkt t^.
Opgave HU
Udled udtryk for perioderne for frie svingninger i en rektangulær fjord. Det
antages, at fjordens længde er meget større end dens bredde og dybde, samt at
bugtens længdeakse er vinkelret på kystlinien.
Opgave ¡4 5
Udled udtryk for perioderne for frie svingninger i et rektangulært lukket
bassin, hvis længde er meget større end både bredden og dybden.

En racerbåd sejler parallelt med stranden og genererer en gruppe bølger, som
når stranden efter 10 min., og som har en periode på 2 sek.
Beregn afstanden fra stranden til båden, når vanddybden ud for stranden hen-
holdsvis er lille og stor.
, dc fase
c gruppe = c fase - A - ^^^
Opgave Ut
Antag at to simple, harmoniske og progressivt uendelige bølgetog udbreder sig
i samme retning. Bølgetallet for den ene er en smule større end bølgetallet
for den anden. Amplituderne er lige store.
a) Udled de to bølgers gruppehastighed - f.eks. udtrykt ved fasehastighed
og bølgelængde.
b) Angiv gruppehastigheden i det specialtilfælde, hvor bølgelængden er
meget større end middelvanddybden.
Opgave i+8
I havet haves stabil lagdeling, dvs. fører vi en vandpartikel opad, vil den
søge tilbage. Antag at vandpartiklen ikke påvirkes af sine omgivelser, at tæt-
heden vokser lineært med dybden, samt at friktionen kan negligeres.
a) Hvilken bevægelse udfører vandpartiklen?
Antag herefter gnidning proportional med hastigheden.
b) Hvilken bevægelse udfører vandpartiklen herefter?
Opgave
2tt
Atmosfæretrykket over en fri væskeflade er givet ved p = P cos — • (x-ct)
o L
Herved skabes en tvungen overfladebølge med en maximal amplitude A.
a) Giv en analytisk fremstilling af denne bølge udtrykt ved luftens og
vandets massefylde og tryk p^ (indfør egen notation f. massefylderne).

Antag en lagdelt væske, hvor øvre lag har dyhden h^ og massefylden' p^ og
nedre lag dybden h^ og massefylden p^ •
b) Hvorledes vil springlaget (skillefladen mellem øvre og nedre lag) be-
væge sig?
Angiv de analytiske udtryk for bevægelsen udtrykt ved kendte størrelser,
idet h^ hg og h^ « L.
Opgave 50
Den vertikale massefyldefordeling i oceanerne er ofte tilnærmelsesvis eksponen-
tiel. Angiv en betingelse for at interne bølger ophører med at eksiterer, (dvs.
udled en dispers ions relation for interne bølger), når det antages, at havover-
fladen udgøres af en fast rand.
Opgave 51
Forklar hvorledes tidevandskraften hidhørende fra månen fremkommer, og vis at
den har et potential som for et punkt på jordoverfladen med bredden 9 kan
skrives:
2 2
. = -3 /M. a r^
¡'måne 2 ^o n
I (sin^e - |)(sin^ô - +
1 1 2 2
+ — sin 26 sin 25 cosi|j + — cos 0 cos S cos 2}p
hvor M og J henholdsvis er månens og jordens masse, a jordens middelradius,
r afstanden fra jordens tyngdepunkt til det betragtede punkt på jordoverfladen,
2
g^ = yM/a , hvor y er gravitationskonstanten, 5 er månens deklination, og TIJ er
vinklen mellem månens meridianplan og meridianplanet gennem det betragtede
punkt.
a) Angiv tidevandspotentialet for solen.
b) Opskriv den horisontale og den vertikale tidevandskraft hidhørende fra
både månen og solen.
Hvis vi herefter tænker os, at deklinationen er konstant og forskellig fra nul,
hvilke hovedperioder antydes gennem tidevandspotentialet for månens og solens
tidevand?
fortsættes

Tal-værdier: Jorden går rimdt om solen med en vinkelhastighed på 0,0Ul°/time,
og månen har en vinkelhastighed i sin bane på 0,5U9°/time.
Opgave 52
En lang smal rektangulær fjord med konstant dybde h skærer vinkelret ind i
landet fra en lige kyst. Uden for fjordens munding har det halvdaglige tide-
vand amplituden a.
Hvor lang er fjorden, hvis ti de vands amplituden i dens inderste ende er
2a?
Coriolisacceleration og friktion negligeres.
2
Fjordens Fjordens dybde = = 62,5 m, tyngdeaccelerationen tyngdeacci
g = 10 m/sek , og tidevands-
perioden antages at være 12 timer.
Opgave 53 (studiespørgsmål)
a) Forklar hvorfor tidevandsamplituden ved den engelske østkyst er så meget
større end ved f.eks Sydnorge.
b) Kan man sige, at tidevand skyldes rene astronomiske årsager?
Opgave 5^
Tidevandet i et randhav, f.eks. Nordsøen, roterer ofte omkring såkaldte amfi-
dromiske punkter, hvor tidevandsamplituden er lig niil.
Antag, at randhavet kan sammenlignes med en bred kanal, der er liakket i den
ene ende. Vi har en indkommende
tidevandsbølge (Kelvin-bølge). ^
Udled ligningen for bølgen, som ///////////1
roterer omkring det amfidromis- ^
ke punkt. ^
Hvilken retning har rotationen?
^ X
777777777777777777

Bevægelsesligningen for strømninger i havet skrives ofte på formen
2;
1)
dt
= - - vp - fkxv-kg + Ajj
p ^ "H
+
3? dy^'
+ A
z Bz'
a) Forklar kort hvad de enkelte led i ligning i) betyder.
b) Hvad er forskellen mellem en Lagrange'sk - og en Eulersk strømmåler?
PROGRESSIVE VECTOR DIAGRAM OF CURREIT lU 60 M DEPTH, POSITIOli U3°08.T' N
8°0T.3' E, imSTRUMERT 10 669, DISTAiiCES IN KM STARTING POINT T30920 IUOO
km
160
140 --
120 --
100 •
1 60
Fig. 1
Fig 1 viser et såkaldt progressivt vektordiagram. Kurven kan opfattes
som positionen til en partikel som funktion af tiden. Tidsmærker er mar-
keret hver 6. time og tallene markerer datoer. Find af figuren størrel-
sesordenen af den gennemsnitlige hastighed for perioden 21-27 september.

d)
2)
e)
f)
Målingerne præsenteret i Fig. 1 er fra Middelhavet (ca- US^K). Følg der-
for en horizontal skala L = 500 km, vertikal skala H = 2,5 km, sæt tids-
skalaen T = 10 døgn Ri 10^ sekunder, A^ = 10^ m^/s, A^ = 0,1 m^/s, tyngde-
accelerationen g =10 m/s^ og f = lO"'^ s"^ .Udfør en skala-analyse på be-
vægelsesligningen 1) og vis at middelbevægelsen med god tilnærmelse kan
bestemmes af ligningen:
1 ^
O = - - ^P - fkxv - k g
Hvad kaldes formen 2) af bevægelsesligningen?
Beregn Rossbytallet R = — og Ekman-dybden for middelbevægelsen.
IL
km
110
108
106
104
102
100
98
-I \ f—-H 1 h
9. OCT. 73 - B.OCT.73 ..
—I t I I t I i I I I I I I I I
144 142 140 138 136 134 132 130km
Fig. 2.
g) I perioden 9 ~ 13. oktober er middelhastigheden mindre. Det progressive
vektordiagrara for denne periode er vist i Fig. 2. Vandmasserne synes altså
at bevæge sig i baner som vi i teorien tilnærmer til at være cirkler.
Anslå banehastigheden og tidsskalaen for dette fænomen fra Fig. 2.
h) Brug værdierne fundet i punkt g) og de øvrige værdier opgivet i punkt dj
til at skalere bevægelsesligningen påny og vis at ligningen for hori-
zontalhastigheden v„ da bliver;
n
^ = - i "hP - fH
i) Del bevægelsen op i en stationær del v beskrevet af ligning 2) og en
tidsafhængig
del V.. Subtraher balanceligningen for v fra ligning 3) og
VIS at ligningen for v^ bliver:
1, ^ dv. - ~fkxv.
dt 1

j)
k)
1)
m)
n)
Hvad kaldes iDevægelsen "beskrevet af ligning U) ?
-I-N
Vis at vf er konstant.
1
Løs ligning U) og find et udtryk for v^
Beregn den teoretiske periode for fænomenet.
Beregn radius til den teoretiske cirkelbane.
Opgave 56.
En model af havet består af to lag med konstante massefylder p^ og p^^ og geo-
strofisk balancerede strømme i y-aksens retning.
O
Vis ved udledning at:
II
II 3x
idet v^(x) og v^^(x) er henholdsvis hastigheden i øvre og nedre lag,
h(x) er den vertikale tykkelse af øvre lag og f er Coriolisparameteren,
b) Sæt v^^ = O og h = h (1 + i ^
o / + L^
skitser v og h som funktion af x på valgfri skala.
) , idet h^ og L er konstanter og
II _ I
Sæt endvidere h^ = 200 ra OK fj^ ~ m/sek. og beregn den to-
tale volumentransport i det øvre lag.
P
p = konstant
»X

En model af en lukket sø består af en
homogen, inkompressibel, friktionsløs
væske begrænset af vertikale vægge i
X = ± , og en horizontal bund i z = -H.
I ligevægt i tyngdefeltet falder overfla-
den sammen med planen z = 0. Ved tiden
t = O er væsken i ro og ligevægt. En to-
dimensional bevægelse for t > O sættes
op ved at trykket, p^, i luften over søen
er givet ved:
p = A sin(^ x) cos at.
hvor A er en konstant^ og ø er frekvensen. Den genererede bevægelse antages at
være så lille at ligningerne^som bestemmer bevægelsen^kan liniariseres.
a) Opstil grænsefladebetingelserne ved de faste flader og ved overfladen og
og udtryk disse ved hastighedspotentialet e, defineret som v = grad 9 ,
hvor V er den vektorielle hastighed.
b) Vis at:
= B(t) cosh ^ (z + H) sin ^ x
er en mulig løsning^dersom B(t) opfylder ligningen
1)
hvor
d^B
Y + (Jü^B = øK sin øt
dt
= g~ tanh ^ , K = A(p cosh ^ , g er tyngdeaccelerationen og
p er væskens massefylde.
Brug begyndelsesbetingelserne til at vise at løsningen af 1) er givet
ved:
ri
( 0 sin øt sin ut)
(ß
Diskuter denne løsning når dybden, H, i søen varierer. Diskuter specielt
de tre tilfælde o)^ » « og oj^ = ø^.
Opgave 58.
Et bassin, hvor vandet har konstant massefylde, er begrænset af vertikale vægge
i x = O o g x = L o g bund i z = -h. Ligevægtsniveau for den frie overflade er

givet ved z = 0.
a) Opstil ligningen for frie, todimensionale svingninger i bassinet og vis
at hastighedspotentialet
4. = A cos ^^^ cosh(^ (z + h)) sin at
L L
tilfredsstiller grænsefladebetingelserne ved de faste rander.
b) Anvend den resterende grænsefladebetingelse til at udlede frekvenslig-
ningen.
c) Diskuter frekvensligningen for korte og lange bølger.
d) Sæt n = 1 og skitser strømlinjerne.
Opgave 59.
a) Hvad menes med geostrofisk bevægelse ?
b) Vis at den geostrofiske hastighed, v^, kan skrives
Ü
^G pf
hvor k er en enhedsvektor langs vertikalen, V^p den horisontale trykgra-
dient, p massefylden og f = 20 Coriolisparameteren.
Z
c) En model af et hav, som strækker sig uendeligt opad består af en homo-
gen væske begrænset nedad af planen z = 0. Væsken er i dynamisk lige-
lihTTTTTTTTTTT
cient. Vis at
vægt med friktionen sådan at:
fkxv = + ^ ^
p h^ p dz'^
^ ^ (t ^ • ^ \ f ^
V = v^ + (.k X sin mz - v^ cos mz ) e ; m = /
G G G V ^ n
er en løsning af den dynamiske ligevægt.
hvor TI er den konstante friktionskoeffi-
Opgave 60.
En model af et islagt hav består af to lige tykke homogene og inkompressible
og friktionsløse væskelag. Det øvre har massefylden p^ , og det nedre har masse-
fylden pg ("se figuren). Isen tænkes fast og ude af stand til at bevæge sig.
Lagenes tykkelse er H.

¡^ y y y j ///// j ////////1 / n I n/f t f / /iTzrz = H
p, I
— z= o
bund z=-H
Skillefladen z = O tænkes pertuberet således at der kommer bølgebevægelser i
de to væskelag. Bevægelserne antages at være funktioner af x, z og t.
a) Gør rede for hvilke betingelser som må være opfyldt for at den pertube-
rede hastighed i hvert af lagene skal kunne udledes af et potential
(v = V

strofisk bevægelse i hav og luft.
b) Vis at den geostrofiske hastighed, v-, kan skrives som:
hvor k er en enhedsvektor langs vertikalen, V ^ p den horizontale tryk-
gradient, p massefylden og f er Coriolisparameteren»
c) I en model for en kyststrøm er massefylden antaget at være konstant langs
vertikalen mens den øges med stigende afstand fra kysten.
Vis at den vertikale ændring af den geostrofiske hastighedsændring
er parallel med linjerne for konstant massefylde med stigende massefylde
til venstre (på den nordlige halvkugle).
d) Vælg x-aksen ret udfra kysten med origo ved kysten som vist på figuren
2=-h(x)
Vis at når p = p(x) og den geostrofiske hastighed er nul ved bunden,
z = - h(x), er feltet givet ved:
I resten af opgaven antages bunden at være horisontal.
Vis at bunden er en isobarflade og at overfladehævningen er givet ved:
C =
h
når overfladen z = ^ , er en isobarflade og nar ^ = O for x = 0.
f) Vis at massetransporten i kyststrømmen er
M(x) =
„I„2 P„

a) Opstil de lineariserede ligninger for lange (hydrostatiske), to-dimensionale
bølger.
b) Vis at for lange bølger er horiaontalhastigheden uafhængig af vertikal-
koordinaten og benyt dette til at integrere kontinuitetsligningen over
et lag.
c) En model af en islagt fjord består af to homogene, inkompressible og
friktionsløse væske-lag. Øvre lag har tykkelsen h^ og massefylden p ^ *
det nedre lag har tykkelsen h^ og massefylden p^, (se figuren).
\\\\\\\\\ vwwww z = - h 2
Isen antages at ligge fast. Lange bølger opstår i fjorden pga. at grænse-
fladen ved z = O bliver forstyrret.
Opstil grænsefladebetingelserne som gælder for bevægelsen og lineariser
dem.
d) Vis specielt (ved differentiation) at den dynamiske grænsefladebetingel-
se ved skillefladen z =

a) Gør rede for varmeledning og termisk diffiision og vis ved udledning at
varmeledningsligningen kan skrives
f = ^
b) Hvilke betingelser må være opfyldt for at
T = T^ + T^ e^^ sin(az + vt - ift)
skal være en løsning til varmeledningsligningen.
c) Det antages at den årlige variation i solstråling fører til en varmeflux
udtrykt som
Q sin ^^ med M = 1 år
M
rettet nedover gennem overfladen i et bavbassin. Brug denne grænse-
fladebetingelse i løsningen ovenfor til at bestemme konstanterne. Værdier-
ne for T^, Q, K^ og varmekapaciteten antages at være givet.
d) Bestem datoen for maksimum temperatur i overfladen når maksimum indstrå-
ling indtræffer 23. jimi.
Q
e) Sæt iL, = 1 cm /sek og bestem dybden der hvor amplituden for temperatur-
. -1
svingningene er e af overfladeværdien.
f) Hvad er temperaturamplituden i overfladen når Q = 0,018 watt/cm og
varmekapaciteten for søvand kan sættes til U,5 watt sek. per cm^ og grad °C?
Opgave
Vi vil studere enkle progressive tyngdebølger i en væskemodel bestående af to
homogen-inkompressible lag mellem faste flader (se figuren). Vi antager p^ > p^;
p er massefylden
/ / / / / / y y / / / ^ /
! ^
/ / / / / / / / / / / / V
a) Hvilke andre forenklinger gøres normalt ved sådanne studier? Stil de
ligninger op^som beskriver bevægelsen i hvert af lagene.
2

) Opstil grænsefladebetingelserne i top og bimd på grænsefladen mellem de
to lag.
c) For en enkel progressiv bølge som forplanter sig langs x-aksen kan ha-
stighedens horisontalkomponent i nedre lag i denne væskemode] skrives:
V = Acoshk(z+h ) cos k (x-ct)
X \ \
Bestem hastighedens vertikalkomponent v . i dette lag, og bestem også
Z I
de tilsvarende hastighedskomponenter v^^ og v^^ i øin^e lag.
d) Bestem bølgens forplantningshastighed c. Hvilken tilnærmet værdi får vi
for en lang bølge?
e) Udled ligningerne for strømlinjer og trajektorier i hvert af lagene for
bølgebevægelsen i sp. c) , og tegn strømlinier og trajektorier op.
Opgave 65.
a) Definer geostrofisk strøm og beskriv den praktiske oceanografiske metode
for beregning af relativ strømhastighed mellem to stationsvertikaler.
b) Antag at forskellen i specifikt volumen mellem to stationsvertikaler i
afstand L er k(l+ . Beregn og skitser strømhastigheden som funktion
af dybet i intervallet O > z > -h under forudsætning af at den er nul
i 2 = -h. Sæt L=10km, k=10^ crn^/g, h = 1000 m og geografisk bredde
lig 30°.
Opgave 66.
a) Udled frekvensligningen for en stående todimensional svingning i et rektan-
gulært bassin med horis^ontal bund. Væsken er homogen og inkompressibel
Drøft frekvensligningen og gør rede for de vigtigste specialtilfælde.
b) En idealiseret fjord har et konstant rektangulært tværsnit og længde L.
Grænsefladebetingelsen ved den åbne ende er ^ = H cos at Javor C er over-
fladeforskydningen, H og cr er konstanter og t er tiden. Dybden, D, er
konstant. Udled udtrykkene for overfladeformen og horisontalhastigheden
for de stående svingninger i fjorden som er forenelige med grænseflade-
betingelserne. Drøft udtrykket for overfladeamplituden i fjordens luk-
kede ende for varierende bølgetal.

a)
b)
Fremstil på matematisk form lineariseret todimensional bølgebevægelse
i et homogent lag med fri overflade. Diskuter fasehastighed som funktion
af bølgetal/-længde.
Målinger af perturbât ion st rykket på bimden af en rende giver p^ cos at
i X = O og mp^ cos at + np^ sin at i x = L, hvor p^, m, n o er kon-
stanter, mens t er tiden. Antag at tidsvariationen skyldes 2 progressive
bølgetog med modsat forplantningsretning og udtryk amplituderne analytisk
ved p^, m og n. Drøft svaret.
Forklar den generelle sammenhæng mellem m og a . Vis specielt at
= cos ( g
for korte bølger.
)
Opgave 68.
Tag udgangspunkt i bevægelsesligningerne og gør rede for hvilke forenk-
linger,vi foretager,når vi studerer geostrofisk bevægelse.
Udled termalvindligningerne og vis at de kan skrives
iPZ f „ V o
3z f ^ ^ \ P
hvor V = horisontalhastighedsvektor, p = massefylden, V = horisontal-
gradient operator, g = 10 m/s , f = Coriolis parameteren. Sæt f=10 s
Den vertikale fordeling af massefylden på en station A er karakteriseret
med et velblandet lag over en pyknoklin, mens massefylden i nedre lag
er konstant (se figuren).
Z(mï
o
îOn
20.
30-
40-
50-
60>
70-
80-
90-^
100-
A
1027.0 1027.5 1028.0 ?{ g/m3)
st.A jst.B
z = 20 m
Zg = 35 m
z^ = i+0 m
= li5 m
-
¡.. j
-
-
-
Afstanden St, A-B
er 1 km.
St. B ligger stik
øst for St. B.

Profilen tilnærmes med rette linier. I en afstand på 1 km stik mod øst
er station B, hvor massefylden i øvre lag er større og det øvre lag er
tykkere (se igen figur i). Hvis Boussinesq approximationen antages kan
venstre side i termalvindligningen tilnærmes som følgende:
9pv _ 3v
8z P 3z
Benyt dette til at skitsere den middel-geostrofiske hastighedsprofil
mellem stationerne A og B.
d) Målinger viser at hastigheden forsvinder på dybden 35 m. Beregn overfla-
dehastigheden.
e) Hvad er overfladehældningen mellem station A og B.
Opgave 69
I et lavvandet område kan den maksimale tidevandsstrøms vertikale fordeling
approximativt beskrives som;
u(z) = H ^
Overfladen er ved z=0 og bunden ved z=-H
Den daglige temperaturvariation er givet ved
1/5
T = T + T^ exp (pz) sin (cut + pz), hvor
1/2
C m N
Da strømmen varierer med en noget større frekvens end o) , kan man med rimelig
tilnærmelse antage, at strømmen er maksimal for ethvert T.
K^ er den turbulente diffusivitet.
Kriteriet for at omblånding nedbryder gradienten er at Richardson tallet er mindre
end 0.25
a) Idet a^ = 0.8 S - 0.15 T, og S konstant kan betragtes som en rimelig tilnærmelse,
opstilles en relation, der angiver for hvilke dybder der til ethvert tidspunkt er
homogenitet.
b) Angiv approximativt dybdeintervallet under anvendelse af fig. værdier:
K^ = 0.01 m^/s; H - 60 m ; T^ = 0.2 °C j T = 12 ; S = 35
u^ = 0.7 m/s
c) Find den overfladestrøm der er nødvendig for at blande hele vandsøjlen.

I Davisstrædet dannes normalt is om vinteren langs Grønlands
vestkyst. Da der "blæser kraftigt om efteråret kan vandet
i Ekman laget antages homogent fra 1.oktober.
I en bugt ved kysten er vanddybden 30 m.
Efter at temperaturen i lang tid har ligget på frysepunktet,
kommer en kold luftmasse vestfra, så lufttemperaturen pludseligt
falder til -10 °C og der dannes is.
a) Find istykkelsen efter H dage
Flg. størrelser antages konstante:
Isens varmediffusionskoefficient : 1 .7 J m"''s~ 'grad"''
Isens massefylde : 894 kg m-3
Isens smeltevarme 1 : 2.95 10^ J kg~''
( Hint: Den ved isdannelsen frigjorte varme pr. tidsenhed,
skal fjernes ved en varmeflux op gennem isen )
b) Antag nu i stedet for en sinusformet årlig temperaturvariation
af luften med et årsmiddel på 0°C og en
maksimal temperatur på 10 "^C.
Fra 1:;:oktober kan vandtemperaturen sættes lig luftens,
indtil den første is dannes.
Find den maksimale istykkelse samt tidspunktet for denne,
når årets varmeste dag er den 15•juli .

«V - ,
5.4 X to® m
u - -0.25
V « O
V . 0.03
I u - 0.30
160*
u - -0.25
" }
V « -0.01
•D
V « 0.05
Î
u » 0.25
ix » 5 X '10® m - 500 km
I55*W
30*N
I et område! det nordlige Stille ocean har man observeret
middelstrømme ved overfladen ifølge figuren. Værdierne i m/sek.
er bestemt som langtidsmidler af tilgængelige observationer.
Det kan antages :
1) Homogent vand.
2) Stationær tilstand,
5) De horisontale strømme er uafhængige af dybden i de øverste
50 III.
4) At strømmene varierer lineært mellem observationspunkterne.
Beregn approksimativt:
a) Overfladestrømmens horisontelle divergens i pkt. E.
b) Den vertikale hastighed i pkt. E som funktion af dybden.
Hvor stor er vertikalhastigheden i 50 m dybde?
c) Hvor lang tid behøver en partikel for at synke fra 1 m til
50 m dybde i pkt. E?
25*
Opgave 72 Januar 1' Fysik 3 vægt:2
a) En væsentlig kilde til det bundvand, der findes i oceanernes
dybe dele, er det, som dannes som følge af frysning af overflade-
vand ved Antarktis.
Antag at M kg overfladevand med salinitet SQ = 34 %o deltager i
processen. Heraf dannes årligt M. = 2. 1 • kg is med salin itet
Si = 5°/oo samt Mj^ kg bundvand med salinitet S^^ = 34.67 °/oo.
Hvor stor er M, ?
Q
20*

) Over store dele af Stillehavet har man tundet, at både salinitet
og temperatur i dybde intervallet
d j = - z j = 4000 m
med god tilnærmelse aftager exponentielt med dybden, således at
man kan skrive
S - I)
, kfz-z,)
T = T, + b(e ' 1-1)
hvor a og b er konstanter, og S j er salinitet, og T j er temperatur
for z = z j
Ved analyse af mange profiler har man fundet, at k = konstant =
'.4 • 10 ^ (m ') med meget god tilnærmelse.
Målinger foretaget med flere års mellemrum på samme sted viser
ingen signifikante ændringer. De horisontelle gradienter i dybde-
intervallet er overalt så små, at de kan negligeres. Fra andre
målinger har man fundet, at den vertikale turbulente diffusions-
koefficient K^ i dybde intervallet med god tilnærmelse er konstaiit
= lO'^m^/s.
Densiteten Jf antages konstant = 1000 kg/m^
Beregn den vertikale hastighed i laget under de givne (relativt
realistiske) forudsætninger.
c) Antaj at denne vertikale hastighed findes overalt i de indre dele
af Stillehavet med areal 137 • 10^ km^ .
Hvor stor er den årlige opadrettede masseflux gennem - 4000 m
niveaufladen?
Sammenlign med svaret fra spørgsmål a og kommenter eventuelle
forskelle.

En meget lang, lige kanal med rektangulært tværsnit løber i ret-
ning øst/vest på nordlig bredde.
Kanalens bredde er 50 km, dybden er 3OO Hi* Over kanalen blæser
en konstant vestenvind med farten V = 12 m/s.
Vandstanden på nordkysten er konstant I3 cm lavere end på sydkysten
.
Vandet i kanalen er homogent, og stationær tilstand råder.
Der ses bort fra friktion mod kysterne, men tages hensyn til frik-
tion mod bunden.
Den vertikale, turbulente gnidningskoefficient Ag antages konstant
Vindspændingen x bestemmes af relationen:
T = • c, • V2
a d
hvor P = 1,3 kg/m^ er luftens densitet
a
c^ = 1,^ • er en konstant
V = vindhastigheden i m/s.
Lufttrykket over kanalen antages konstant og der regnes med følgen-
de konstanter:
g = 9,81 m/s^ (tyngdeaccelerationen)
p = 1026 kg/m^ (vandets densitet)
a) Skitser det tredimensionale cirkulationsmønser, som kan for-
ventes under disse forudsætninger.
b) Beregn den totale volumentransport i kanalens længderetning.
c) Beregn den transversale volumentransport pr. m kyst i de
øverste 150 m.
d) Hvor stor er den af vinden genererede overfladestrøm langt
fra kysterne?

I havet gælder helt almindeligt, at der er en stabil lagdeling. Således vil
en tung vandmasse, der møder en lettere, altid kile sig ind under denne. Dette
kan på en enkelt måde demonstreres i laboratoriet. Til formålet benyttes et
mindre helt vandfyldt bassin, der består af to lige store rum adskilt af en
skillevæg, scm kan fjernes efter beliag. I det ene rum haves en farvet vandmas-
se tilsat en anelse salt - i det andet rum findes kun vand uden tilsætning af
nogen art. Begge vandmasser har sanme temperatur som omgivelserne.
rumfangr V
S , - S :
i',
skillevæg
I
1) Til tiden t = O fjernes skillevæggen. Der spørges om den horisontale "ryk-
forskel på ski 11 eva^gens plads som en funktion af dybden.
2) Det tunge vand begynder for t > O at kile sig ind under det lette. Hastig-
hedsfeltet i den øvre såvel som den nedre kile antages konstant med dybden.
Hvop hurtigt trænger kilen ved karrets bund sig frem mod den modstående
va^, når det antages, at kun tryk og tyngdekraft er involveret,samt at
vandspejlet ligger horisontalt og parallelt med bunden?
Benyt Efewtons 2. lov på formen: K dt = dCm v); dvs. summen af de ydre kræf-
ter , som virker på en væskedel i løbet af tiden dt, multipliceret med dt er
lig med væskedelens asndring i bevægelsesmængde.
3) Det antages herefter, at bevægelsen ophører for t>> O på grund af gnidning.
Opstil et udtryk for den gennemsnitlige tanperaturændrlng i karret, når
denne situation er indtruffet, idet det antages, at kar og omgivelser ikke
udveksler varme.
od

h) Karrets dybde er 30 cm, bredden 3 cm og tøigden kO cm. Den tunge vandmasse
Pi ligger 10 a^ enheder højere end den lette. Hvor stor bliver temperatur-
amdringen i ^C ?
Opgave T5 Januar 1982 pysik 3 væirt:25^
De øvre havstrøtame i oceanernes centrale dele bestemmes i al væsentlighed
af massefyldefordelingen i havet samt af vindfeltet nær havoverfladen.
For disse havområder er det endvidere rimeligt at antage stationær
tilstand, ikke-accelerede horisontalstretame, horisontalt beliggende havoverflade
og negligerbare vertikalbevægelser i hele vandsøjlen.
a) Opstil kontinuitetsligningen og bevægelsesligningerne på komponent-
form i kartesiske koordinater med de givne antagelser.
Omkring en vis dybde z = d beliggende mellem havoverfladen og hav-
bunden vil vandet i praksis være i hvile.
b) Udfør en vertikalintegration af det ovenstående ligningssystem
fra havoverfladen til dybden d, således at masse transporten i denne
øvre del af vandsøjlen kan beregnes udfra en given massefyldefordeling
i havet og et givet vindfelt.
Trykleddene i ligningerne for den horisontale mssetransport søges
elimineret ved passende anvendelse af ligningssystemet i spørgsmål b)
c) Angiv et udtryk for den nord-sydgående massetransport mellem havoverfladen
og dybden d.
I den nordlige centrale del af f.eks. Atlanterhavet haves et craråde,
hvor der i praksis kan forudsættes at vasre vindstille. Nord for dette om-
råde er vinden overvejende vestlig og syd herfor er den østlig.
d) Bevæger vandmassen beliggende mellem havoverfladen og dybden d sig
i netto mod nord eller syd i det vindstille havområde. Svaret ledsages
med en kort begrundelse.

På en åben kyst kan der undertiden, også i stille vejr, pludse-
lig observeres grov dønning med lang periode. Efterhånden
mindsker perioden.
Disse bølger skyldes fjerntliggende uvejr.
Antag, at bølgernes kildeområde kan betragtes som punktformet
i tid og rum.
Den først observerede dønning har perioden 12 s, 6 timer senere
er perioden 10 s.
a) Hvor langt borte ligger kildeområdet?
b) Hvor lang tid var den først observerede dønning undervejs?
Kan man sige noget om retningen til kildeområdet
a) i tilfælde med dybt vand helt ind til kysten,
b) i tilfælde hvor det er lavvandet langt ud fra kysten.
Svaret begrundes kortfattet.
Opgave 77 Sommer 1979 Geofysik 3
Den engelske kanal kan idealiseret betragtes som en lige kanal
med konstant bredde = 100 km. og konstant dybde = 80 m.
Antag, at en halvdaglig tidevandsbølge udbreder sig i Kanalen
mod nordøst.
a) Hvad er forholdet mellem tidevandsamplituderne på den
"engelske" og den "franske" kyst?
b) Hvor stor er den maximale tidevands strøm midt i Kanalen,
hvis tidevandsamplituden her er 2 m?

Langs en lang lige kyst løbende i retning nord - syd har der
i lang tid blæst en konstant sydlig vind. Vindhastigheden er
10 m/s. Vanddybden bliver umiddelbart uden for kysten stor
og kan betragtes som konstant = 2 00 m.
En registrerende strømmåler har været forankret i lang tid
på 100 m dybde. Registreringerne viser konstant nordgående
strøm med hastigheden 0.2 m/s.
Vindspændingen kan beregnes af formlen
T ^ 1,8 • 10"^- (w i m/s)
Tyngde accelerationen = 10 m/s^ .
Den vertikale turbulente gnidningskoefficient A^ antages kon-
stant og kendt.
Vandet er homogent.
Coriolisparameteren £ = 10
Beregn approksimativt:
a) Ekmanlagets tykkelse.
b) Den totale volumentransport pr. m kyststrækning vinkelret
på Kysten i de nederste 1 OD m. Angiv retning.
c) Overfladestrømmens retning og fart.
d) Massetransporten langs kysten.
e) Hvilken værdi har A ?
' z
Opgave 79 Sommer 1979 Fysisk Oceanografi 1. del
Bl.a. i Østersøen observeres ofte et temperaturminimum i
dybder varierende mellem ca. 20 og ca. 70 m.
a) Hvordan kan opkomsten af dette forklares?
b) Hvilken er den lavest mulige min,—temperatur , hvis sali-
niteten er 12®/oo ?
c) I Nordsøen finder man i almindelighed ikke noget temperatur-
minimum.
Forklar kortfattet hvorfor.

Et stykke syd for en øst-vestlig lige grænselinie i den
sydlige Nordsø er en olieplatform anbragt på bunden.
Nord for grænselinien er dybden stor (større end 100 m),
syd for grænselinien er dybden betydelig mindre og konstant.
Platformen er kvadratisk med en kantlængde på 100 m, og
den hviler på fire ben placeret i hjørnerne. Orienteringen frem-
går af figuren.
på ben 1, 2 og 3 er monteret trykfølere ved bunden.
Signalerne fra trykfølerne kan registreres på platformen og er
af formen
Efter en periode med kraftig blæst fra en retning mellem
vest og nord finder man, at signalet fra ben 2 er forsinket
og signalet fra ben 3 er forsinket i forhold til signalet fra
ben 1.
p^ = konst = 26, 6 dbar
p^ = konst =6,61 kPa
c5-t = 25.0
g 9,81 m/s^
= 266 kPa
(fortsat)

Beregn:
a) Bølgelængde, bølgehøjde og udbredelsesretning i området omkring
piatformen.
b) Bølgelængde og udbredelsesretning på dybt vand.
c) Bølgernes middeleffekt ved platformen regnet pr. m
bølgefront.
Opgave 8l Sommer I98O Geofysik 3
Et af de få overfladefænomener som indikerer tilstedeværelsen af interne
bølger er såkaldte "slicks". Disse kan ved svag vind observeres som lange, paral-
lelle, nogle meter brede bånd, uden, eller med stærkt dæmpede, kapillarbølger.
Fraværelsen af kapillarbølger forklares ved tilstedeværelsen af en olieholdig
overfladefilm, der nedsætter overfladespændingen. Områderne mellem disse bånd
er derimod dækket af kapillarbølger.
Man har fundet, at hvis "slicks" er associerede med interne bølger, findes
de altid over den interne bølges bølgedal.
Fra et fast punkt f.eks, en olieboringsplatform har man følgende observa-
tioner: ^
1) "Slicks" bevæger sig forbi med en fart på ca. 3 m/s.
2) En ny "slick" ankommer med 30 min. interval.
3) Afstanden mellem "slicks" er ca, 6OO m.
4) Dybden til bund er ca. 30 m.
5) Overfladevandet er varmt : « 23
Bundvandet er koldt : ^ 26
Det antages at der findes en skarp termoklin samt at de observerede "slicks" er
associerede med en progressiv intern bølge i termoklinen.
a) Hvor dybt ligger termoklinen ?
b) Forsøg at give en kvalitativ forklaring på hvordan "slicks" kan genereres
af en intern bølge.

H6
O
2)
3)
4)
5)
L, ^ 100 km
L^ = 50 km
A: {x,y)
B: (x.y) -(Wz, o)
Vi betragter et raktangulært bassin med konstant dybde d = 2 00 m
og en homogen vandmasse med massefylden p = 1 , 02 • 10^ ^g/m^.
Igennem en periode har det blæst med konstant vindstyrke W^-20m/s.
Havoverfladen har fundet sin ligevægtstilstand, således at vandstands-
ændringen midt i området er lig 0.
Vind spænding en er defineret: T= ig.
hvor p = 1,25 ^g/m^ er luftens massefylde. og
c, =
a
-3
1,3-10 er en dimensionsløs konstant.
Beregn, hvor meget vandstanden i punkterne A og B afviger fra
middelvandstanden.
Ved vindens ophør vil overfladen udføre en harmonisk svingning.
Hvad bliver fasehastighed, bølgelængde og periode for denne svingning?
Hvilken horisontal hastighed har væskedelene ved
A og B samt i punktet >
Hvad bliver udtrykket for vertikalhastigheden i A og B ?
Hvad bliver vertikalhastigheden i A og B ved bunden ?
W

1)
2)
3)
p^ =1,016 - 10^ kg/m^
p_ = 1,022 - 10^ kg/n
/ i ^ f i i i i i / ! n f u i n i m u ff f n f
Ved målinger på de tre stationer A, B, C, der ligger på 57° N
bredde med en indbyrdes afstand på 2 0 km, er det fundet, at
systemet kan beskrives ved en to-lags model, hvor overflade og
grænseflade ligger som vist på figuren. Massefylden i de to lag er
p^ = 1 , 016 ° 10^ kg/m3
P2 = 1. 022 " 10^ kg/m3
Hastigheden i det øvre lag ved station A og C er målt til O, 18 m/s
og i det nedre lag er den målt til 0,08 m/s„ Ved station B er der
strømstille i både øvre og nedre lag.
Angiv vandets bevægelsesretning i det øvre lag.
Nedskriv den ligning der beskriver den stationære bevægelse i det
øvre og nedre lag« Der ses bort fra gnidning og tidevandskræfter.
Beregn overfladens og grænsefladens hældninger.

Opgave Januar 1982 Geofysik 3
Vandudvekslingen mellem et randhav og det åbne ocean på 55° N bredde,
sker gennem en kanal med en konstant dybde på 30 m og en bredde på 5 km.
-7"
V / /
Ved observationer i kanalen finder man at den kan deles op i to lag.
I øverste lag kan man sætte S = 12^» og p = 1008,9 kg/ra , og i det nederste
3
lag S_ = 30^«og p = 1023,5 kg/m . Det øverste lag har en tykkelse på h = m.
Der er en ferskvands tilførsel til randhavet pa Q^ = 1 • 10 m /sec. Det
antages at nedbør = fordampning i det pågældende område, og endvidere at der kan
ses bort fra vind og tidevand.
1) Angiv retningen for strømningerne i de to lag i kanalen.
2) Udled udtryk til beregning af volumen transporten i de to lag og beregn disse.
3) Hastighederne i de to lag antages konstante. Beregn disse.
) Beregn vandstandsforskellen mellem de to sider af kanalen. På hvilken side er
vandstanden højest?
5) Beregn hvor stor forskel der er i tykkelsen af det øverste lag ved de to sider
af kanalen, og på hvilken side er det tykkest?
6) Når det antages at der ingen strømning er i de to lag, hvad er da fasehastighe-
den for en intern bølge i kanalen?

En tidevands-bølge med perioden T = 12,^2 h og amplituden a = 2,6 m,
udbreder sig fra område I med dybden 2000 m. til område II med dybden 1^40 m.
1) Beregn fasehastigheden i de to områder.
2) Beregn bølgelængden i de to områder.
3) Beregn amplituden i område II.
2
Tyngdeaccelerationen g sættes lig med 9,81 m/s
Opgave 86 Sommer I982 Geofysik 3
Der betragtes et homogent oceanisk område på den nordlige
halvkugle, omkring 65°N, med en dybde på 600 m. Mod øst er
oceanet begrænset af en lang lige kyst. Massefylden p er 1 025 kg/m .
Igennem en periode har der langs kysten blæst en vind fra
syd med hastigheden W =15 m/s.
Den vertikale turbulente gnidningskoefficient A =10 kg/m-s
antages konstant i hele vandsøjlen.
Vindspændingen er givet ved udtrykket T = p^ c^ W^ hvor luf-
tens massefylde p^ = 1 , 25 kg/m^ og c^ = 1 , 3- 1 O ^ .
Beregn, under antagelse af, at systemet er i ligevægt:
1) Tykkelsen af øvre og nedre Ekman-lag.
2) Hastighed og retning af strøm i overfladen og på 200 m dybde.
3) Massetransporten langs kysten for friktionslaget ved bunden^ og
angiv om den er nord- eller sydgående.
2

Der betragtes et delvist lukket havområde med dybden ZOO m,
der er påvirket af den halvdaglige tidevandskomponent M^ (T = 12,42 h)
1) Angiv i hvilken afstand det amphidromiske punkt ligger fra
endevæggen.
2) På hvilket tidspunkt haves højvande i punktet B ( (x, y) = {L, -a)),
når højvande indtræder i punktet C ( (x, y) - {L, 0) ) klokken 12—,
3) Hvad er ifølge teorien forholdet mellem amplituderne ved
højvande i punkterne A: ( (x, y) = (O, -a) ) og D: { (x, y) = (O, a) ) ?
Stemmer dette resultat godt overens med observationer af tide-
vandsamplituderne gjort ved Englands østkyst og Jyllands vest-
kyst? Forklar eventuelle forskelle.

Opgave ( Studiespørgsmål )
En trykmåler er følsom for trykvariationer på + 100 Pa.
Bestem den minimale bølgdelængde en bølge skal have for at kunne måles på
2000 m , hvis amplituden er 10 cm i overfladen.
Opgave 89 (Studiespørgsmål)
Beregn middeldybden af søen VEttern, når denne er 12^+ km lang, meget smal og
følgende vandstands målinger er observeret ved enderne.
22 2i 2 i 6 8 lb 12 Û 16 18 2022214 2 Â 6 8
O
5-12.1913
O
6-12-1913
Opgave 90 (studiespørgsmål)
Find de minimale fase-og gruppe-hastigheder og de tilhørende perioder for over-
fladebølger, når det antages at vanddybden er stor i forhold til bølgelængden,
og overfladespænding medregnes.

Et stræde med rektangulært tværsnit gennemstrømmes af to modsat gående
vandmasser med massefylderne p, og p^ [kg x m'^]. Strømmene v^ og v^ [m x s'^]
antages begge at være i geostrofisk ligevægt.
A B
C D
E F
1) Angiv samtlige betingelser for geostrofisk ligevægt og diskuter disse.
Atmosfæretrykket over AB er konstant og tværsnittets geometri er kendt.
Vandstanden ved station A er Ah [tn] højere end ved B.
2) Hvor stor bliver v^ ?
Atmosfjeretrykket ændrer sig jævnt over station A og B, således at barometer-
standen øges med AP [mb] ved B.
3) Hvor stor bliver Ah med uændret v^ herefter ?
Nettomassetransporten over tværsnittet ABFE antages at være nul, og bundstrom-
men er på et enkelt sted i nedre tværsnit målt til at være det halve af
overf1adestrømmen.
4) Angiv beliggenheden af springlaget CD.

Et tankskib i den centrale del af Nordsøen får en lækage, hvorved 2000 tons
olie siver ud. I løbet af et vist tidsrum ligger oliepletten jævnt fordelt
over et cirkulært område på 10 km^. Idet massefylden for henholdsvis havvand
og olie sættes = 1025 kg x m"^ og 900 kg x m'^, og der antages hydrostatisk
ligevægt, spørges der om følgende:
i) Find olieplettens udadrettede Randhastighed for ovennævnte situation
udtrykt ved olieplettens middeltykkelse gennem benyttelse af Bernoul-
li's 1igning.
2) I tilfælde af vindstille skal olieplettens videre skæbne beskrives i
sproglige former udfra de generelle strømforhold, som hersker i
området.
3) Det blæser nu op til vestenvind, som holder sig med konstant styrke W
= 15 m X s'^ i dagevis. Angiv olieplettens vindbetingede hastighed og
retning, når Ekmandybden D = 30 m og vindspændingen t = 1.8 x 10'^ x
W^, hvor W angives i m x s" ^ {såkaldte sekundmetre). Øvrige nødvendige
talmæssige værdier til besvarelse af dette spørgsmål kan fremskaffes
fra kompendiet Østersøen - Nordsøen.
4) Kan man forvente, at oliepletten under påvirkning af samme konstante
vindspænding vil bevare den ovenfor fundne bevægelsesretning og fart
indtil olien skylles ind på land ? Svaret begrundes udførligt ved
brug af oplysningerne givet i kompendiet Østersøen - Nordsøen.

Opgave I.
Hydrodynamik og Elasticitetsteori.
En lang cirkulær cylinder med radius R^ er ophængt lodret inden i en anden
cylinder med samme længde og indre radius R^. De to cylinderes akser er
sammenfaldende. Den ydre cylinder roterer med konstant vinkelhastighed fi,
mens den indre står stille. Mellem de to cylindre findes en usammentrykkel ig
væske med viskositet Væsken antages at bevæge sig stationært og laminart.
En væskedel i afstanden r fra aksen bevæger sig altså i en cirkel. Vinkelha-
stigheden kaldes ij(r). Der ses bort fra de særlige forhold ved cylinderens
ender. Det kraftmoment (pr. meter langs cylinderen) omkring cylinderaksen,
hvormed væsken udenfor en cylinder med radius r påvirker væsken indenfor denne
cylinder, kaldes M.
1) Vis, at M er konstant for R^ < r < R^ og vis, at det under de givne
forudsætninger kan afhænge af /i, og ^ , men ikke direkte af u.
2) Vis ved dimensionsanalyse samt ved betragtning af det næsten plane special-
tilfælde R^-R^ < < R^ at
og find herefter w som funktion af r.
.3 dw
3) Find det arbejde (pr. sek.) som kraftmomentet (pr. meter langs cylinderen)
fra den ydre cylinder udfører på væsken.
4) Beregn varmeudviklingen (pr. sek. og pr. meter langs cylinderen) i væsken og
eftervis, at alt det af kraftmomentet udførte arbejde omsættes til gnidnings-
varme i væsken.

Opgaver i oceanografi
Opgave 1)
En vandpartikel på 30 nordlig bredde som ikke påvirkes af andre horisonta-
le kræfter end Corioliskraften f har til tiden t = o en hastighed u gående
horisontalt mod øst = 0.5 m Beskriv partikelbevægelsen og find
perioden for bevægelsen.
Jordens vinkelhastighed = 7.29 • 10"^ s"^
Opgave 2)
a) Definer termohalin konvektion.
b) På hvilken måde adskiller termisk konvektion i åbne havområder sig væsent-
lig fra konvektionen i søer ? Der ønskes en omfattende begrundelse.
c) Angiv de vigtigste områder hvor dybvandet og bundvandet dannes. Områdernes
geografiske placering ønskes forklaret i detaljer.
d) På hvilke måder spiller vinden en rolle for øgning af konvektionen på høje
breddegrader ?
e) Giv eksempler fra den nordlige og sydlige halvkugle på konvektion, som i
overvejende grad er halin. Diskuter de betingelser som fremmer en sådan
konvektion.

h
Hydrodynamik og Elasticitetsteori Jan. 1989.
Opgave 1.
I en kanal med strømmende vand er der på bunden en forhøjning, der kan be-
skrives ved
y =
^(1 + cos^x) for - ^ < X < ^
O ellers
Uden for forhøjningen er vanddybden konstant = h » A og strømningshastigheden
Vq er konstant for 0

En ret cirkulær elastisk cylinder med højden h og radius R påvirkes på
endefladerne med kræfter, der kun har en normal komponent, bestemt ved et
konstant tryk P, mens den krumme overflade ikke påvirkes af ydre kræfter.
Cylinderen er karakteriseret ved el asticitetsmodulet E og tværkontrakt ionsfor-
holdet cr. Opgaven er at finde forskydningsfeltet u, idet der benyttes cylin-
derkoordinater.
1: Opstil den differentialligning, der bestemmer u.
2: Redegør for at rot "ti = O og vis at dette medfører at div er
konstant.
3: Redegør for at-^^ = O og benyt dette sammen med randbetingelserne
OU
til at bestemme ir.

Oceanografi
a) Beregn den maksimale tidevandskraft fra sol og måne tilsammen.
b) Hvad giver ligevægtsteorien for den maksimale hævning af vandoverfladen
fra sol og måne tilsammen?
•"sol ("linimum) = 1.471 x lo'''' m
g
i"^^^(minimum) = 3.633 x 10 m
Tyngdeacc. - 9,81 m/s"
S - 1.989 X kg
M = 7.353 X 10^^ kg
J = 5.978 X 10^^ kg
R = 6.371 X 10^ m
I -1 p p
Gravitationskonstanten = 6,67259 x 10 m kg~ N
ous moon

Oceanografi
a) Under hvilke forudsætninger udledes fasehastigheden for en såkaldt lang
bølge? Anfør herunder samtlige fysiske karakteristika ved en lang bølge.
En lang bølge løber skråt ind mod en lang lige kyst. Havbunden er overalt i
havområdet horisontal, og i afstanden d fra kysten ændrer vanddybden sig dis-
kontinuert fra dybden h^j langt fra kysten til dybden inde under land.
I afstande fra kysten større end d er bølgens indfaldsvinkel = ot. Mellem dis-
kontinuiteten og kystlinien er indfaldsvinklen = ^ .
b) Angiv sammenhængen mellem og ^ .
c) Angiv vandhastigheden i grænselaget ved bunden, når bølgehøjden er .
d) Angiv volumentransporterne vinkelret på kysten langt ude på det åbne hav
samt tæt på kysten per kystlængdeenhed.
K.
V
9
%+ X

Opgave I (oceanografi)
T, S - diagrammer er et nyttigt redskab i oceanografi.
a) Beskriv med så mange eksempler som muligt hvor T, S - diagrammer kan
benyttes.
b) Hvilke fysiske forudsætninger ligger der til grund for T, S - diagram-
merne?
c) Angiv samtlige tilfælde hvor T, S - diagrammer ikke kan benyttes.
d) Nævn typiske eksempler på henholdsvis sædvanlige konservative og ikke-
konservative stofegenskaber 1 havet. Beskriv desuden nogle af de ikke-
konservative stofegenskabers fordele og begrænsninger.
NURIKCN l)OU.le (IIKCD (lin ing GIM'IDUII Atlantic CVPEDilions) and its WDI'kiiij;
priiifiplu (I 15 of oii^'imil .si/f).
Salinity in %„
35.0 36.0

Opgave II (oceanografi)
En forankret strømmåler som vist på figuren er planlagt til at stå 3000
meter over havbunden. Strømmålerens og ophængswirens vægt i vand kan
antages vægtløs. ^^OC
selvregistrerende strammåler
strømmålerfane
havoverflade
- I ooo -t
3060 nrn^
Opdriftskuglens masse pa land er 180 kg og dens indre diameter er 1.20 m.
-3
Kuglen er lavet af svær plast med en massefylde på 2000 kg m . Endelig
antages det at kuglens samlede overflade er langt større end strømmåle-
rens og wirens overflader tilsammen.
a) Udled, en sammenhæng mellem wirevinkel målt fra lodlinien til den skråt-
stående wire som følge af havstrømmen v's påvirkning af systemet gennem
benyttelse af Newtons 2. lov, idet det antages at massetransporten med
kuglen giver anledning til et uelastisk stød.
b) Wirevinklen findes at være 12°.
Beregn "v som antages konstant overalt.
c) På hvilken dybde måles havstrømmen?
d) Hvor meget påvirkes strømmålerens geografiske position målt som en hori-
sontal afstand fra bundloddet?
bund

Illustration til opgave II, der viser overfiadebøjen og opdriftskugleme gjort Idar til udsætning fra
r.v. Bjarni Sæmundsson under Torskekrigen ved Island efteråret 1973.

Geofysik 2a
Skriftlig prøve den 7. januar 1988.
Lærerbøger, tabeller, notater og lommeregner tilladt.
Opgave la.
Fundy Say mellem Nova Scotia og New Brunswick, Canada, er
kendt for at have det største tidevand. I det inderste af
Fundy Bay, Minas Basin, er amplituden af Mg 6.0 m, hvorimod
amplituden på det åbne ocean udenfor (kontintalranden) er
0.4 m. Der er yderligere observeret en tidsforsinkelse på
3" mellem højvande på kontinental randen eg et punkt ved
Minas Basin. Ved dette punkt er kysten retlinet over et
langt stykke. Den teoretiske astronomiske amplitude for M2
komponenten af tidefeltet er på det pågældende sted 0.438
Man har placeret et gravlmeter på kysten umiddelbart
ved vandet, men over det højeste vandniveau. Ved kontinentranden
har det vist sig at tidevandet netop er i fase
med tidefeltet, (tilfældigvis).
1) Forklar kvalitativt hvorfor der er så stor forskel i
tidevandet mellem kontinentranden og det indre af Fundy
Bay.
2) M2 har perioden 25'"'. For $2 kan man antage at
dynamikken i oceanet er den samme som for M2 på grund af
den lille forskel i periode. Hvad vil man under disse
forudsætninger forvente for springflodsamplituden i Minas
Bay?
3} Hvad er amplituden af ligevægtsti den for Hg i området?
4) Hvad er gravimeteramplituden for jordtiden for Mg i
området?
5) Hvad er amplituden af M2 tidevandet tidevandet ved
Minas Bay på gravimeteret?
6) Hvad er den samlede amplitude af Hg signalet på
gravimeteret?
Havvands massefylde er 1025 Love tal er h=0.58 og
k=0.29. Jordens radius a=6371.2 km.

Geofysik 1/Fysik/3, studieår
Opgave i oceanografi
Hjælpemidler tilladt
I løbet af en lang og hård isvinter over hele Nordeuropa er der dannet havis
udfor Jyllands vestkyst, hvor saliniteten varierer fra 30 °/oo til 35 °/oo.
Isohalinerne (flader, der gennemløber områder med samme salinitet) løber
parallelt med den jyske vestkyst og saliniteten er desuden uafhængig af
vanddybden.
1) Havvandets massefylde afhænger af flere uafhængige fysiske parametre som
bedes angivet.
2) I det aktuelle tilfælde ønskes en begrundet beskrivelse af den vertikale
temperaturfordeling under havisen udfor vestkysten - benyt f. eks figuren.
3) Massefyldens variation fra havoverfladen til havbunden bedes beregnet til
første orden. Der ønskes en klar angivelse af hvorledes svaret er fremkommet.
4) Under forudsætning af geostrofisk ligevægt alene spørges der om retningen
og størrelsen af en vandmassetransport udfor den jyske vestkyst. Benyt oplys-
ningerne i figuren samt, at havvandets massefylde øges med 0.8 °/oo for hver 1
°/oo 's øgning i saliniteten.
FORTSÆTTER PÅ SIDE éH

Fig.
Saliniteten øger lineært med afstanden indefra kysten, hvor den er 30 ®/oo, op
til 35 °/oo ved havisranden. Herefter ændrer saliniteten sig ikke. For enkel-
heds skyld antages endelig at temperaturen er konstant i hele området.
\^ndspe.i1shældninq = O
vanddybde
20 meter
havis
j i i i i i i i i i i u i n a i
/ ^
vanddybde =
19 meter
plan horisontal havbund
/ / /// / / / / / / / / / / / / / y ^ / z ' / / / / /
1777-
/
I de åbne frie vandmasser væk fra havisen antages den geostrofiske strøm at
være lig med nul.
Havisens udbredelse fra kysten og udover = 30 km.
Det sætter ind med kraftig og vedvarende vestenvind.
5) Hvordan påvirker denne vejrsituation og havstrømningen omkring isranden?
Svaret begrundes.
OPGAVE I OCEANOGRAFI SLUT

Trykkræfter i havet har 2 forskellige oprindelser
a) det barokline tilfælde:
og
b) det barotrope tilfælde
1) Definér disse 2 tilfælde og gør klart rede for de indbyrdes forskelle.
2) Definér betingelsen for den såkaldte geostrofiske ligevægt.
3) Opskriv den/de gældende ligninger for den pågældende ligevægt.
4) Beskriv og begrund hvor i verdenshavet og under hvilke forudsætninger den
geostrofiske ligevægtsbetingelse giver en realistisk fremstilling af havstrøm-
ningsmønsteret, samt en beskrivelse af, hvor netop denne idealisation absolut
skal erstattes med en anden. Svaret bør uddybes.
5) Under antagelse af geostrofisk ligevægt skal det vandsti Ile dybdeniveau
(level of lio motion) defineres på sædvanlig måde.
6) Der skal sidenhen redegøres for hvorledes eksistensen af det vandstille
niveau kan benyttes i geostrofiske strømberegninger.

Opgave 1
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN
Eksamen i Geofysik 3
Oceanografi
Onsdag den 10. juni 1987
{hjælpemidler tilladt)
En atmosfærisk lavtrykspuls med horisontal udstrækning vist på figuren
bevæger sig med 100 km/t over havområde I, hvor vanddybden er 400 m.
Lavtrykket danner ved en lokal vindstuvningseffekt en gruppe af over-
fladebølger med en gruppehastighed som har samme størrelse og retning
som lavtrykkets udbredelseshastighed.
Loo kw
SHELPKflA/r-
DXBDE WD m
orne 3.0 M
200 k»^
1) Angiv fasehastigheden samt bølgernes frekvens over havområde I, idet
det antages at gruppe- og fasehastighed har samme retning.
Lavtrykket bevæger sig kK 9.45 ind over en shelfkant under en vinkel
på 45°, hvor dybden aftager fra 400 m til 30 m. Efter shelfkantpassagen
må man forvente at lavtryk og bølgefront ikke længere følges ad.
2) Angiv (gerne approksimativt) bølgebevægelsens retning over område II.
En serie strømmål erstationer er lagt i en ret linie mellem punkterne A
og B på figuren, og målingerne optages kontinuerligt.
3) På hvilket klokkeslet når bølgerne strømmålerstationerne?
4) Hvad er din egen vurdering af om der er mulighed for en væsentlig ampli-
tudeforstærkning ved bølgernes passage af shelfkanten? (Begrundes ganske
kort).
•^B

Geofysiks, 1987 (oceanografi)
Opgave 2
Opgaven består af 4 spørgsmål, der kan løses uafhængigt af hinanden.
1) Et lukket bassin er beliggende på 45°N. Bassinet er 200 km langt i
øst/vest retning og 100 km langt i nord/syd retning, (se fig.l).
Bassinet har flad bund. Vandet i bassinet er homogent, og der er
stationær tilstand. Over bassinet blæser en konstant vestenvind på
15 m/s således at vindspændingen T er rettet fra vest mod øst.
Nord
[—100 km—j—100 km-|
Fig, 1
Vandstanden i A er målt til 400 m. Find vandstanden i B under anta-
gelse af at øvre og nedre Ekmandybde i bassinet er 50 m, og at der
ses bort fra friktion mod kysterne,
2) Et andet havområde beliggende på 45°N er kun afgrænset af en lang
lige kyst mod syd. Havområdet har ligeledes flad bund (se fig.2).
Vandet i området er homogent og stationær tilstand råder. Over om-
rådet blæser en konstant vestenvind på 15 m/s.
Nord
A
T X
50 km
1
^ 100 km-
.100 km H
T
50 km
Fig. 2
Vandstanden i a er målt til 400 m. Find vandstanden i b og c under
antagelse af at øvre og nedre Ekmandybde er 50 m og at der ses bort 2
fra friktion mod kysten. Der regnes med følgende konstanter g=9.8 m/s ,
vandets ¡massefylde 1030 kg/m og vindspændingen T = P. C , V hvor
luftens massefylde p^ = 1.3 kg/m , c^ er kontant lig 1.4.10' og V^
er vindhastigheden.

Geofysik 3, 1987 (oceanografi)
3) Et tredie vandområde med dybden 400 m er ligeledes beliggende på
I dette område blæser det ikke, og det har det ikke gjort
længe, og vandoverfladen er derfor fuldstændig vandret. Vi vil
betragte en vandpartikkel, der er beliggende i overfladen og
bevæger sig med en konstant fart. Idet der ses bort fra friktion
og tidevand og under antagelse af at vertikalhastigheden w = O
og vandmassen er homogen, ønskes der en vurdering af vandpartik-
lens position til tiden t = 17 timer angivet approximativt i for-
hold til udgangspositionen til tiden t = O . Der ønskes en be-
svarelse, såvel når den konstante fart er 0.1 m/s og 0.2 m/s.
Ville svarene have været anderledes, hvis der blev taget hensyn
til friktion mod bunden?
4) I et fjerde havområde på breddegraden 45°N viser undersøgelser, at
der findes to vandmasser med massefylderne P-J og P^ adskilt af et
uendeligt tyndt springlag. Det cykloniske rotationssymmetriske
hastighedsfelt er målt til 0.2 m/s i øvre vandlag og 0.1 m/s i
nedre. En karakteristisk længde for bevægelsen er 50 km.
Er det ved en beregning af tykkelsen af det øvre lag nødvendigt at
tage hensyn til centrifugalacce lerationen? Der lægges vægt på
begrundelsen for svaret, der f.eks. kan tage udgangspunkt i en
skalaanalyse.

Opgave 1
Eksamen i Fysik 3, Geofysik
(Opgave i oceanografi)
Mandag den 25. maj, 1987
kl. 9 - 13
GAMLE ORDNING
(hjælpemidler tilladt)
a) Redegør for de antagelser og forudsætninger som må være opfyldt
for at Knudsens hydrografiske teorem skal være gyldig og disku-
ter kortfattet dette teorems anvendelsesområder.
b) Havområdet nord for en linie fra Østgrønland over Island, Færøerne
og Shetland til Skotland kan for mange formål betragtes som et
Middelhav. Det kan antages at al tilførsel af havvand til området
sker gennem Færø-Shetland-kanal en hvor det indstrømmende vand har
6 3
en middelsalinitet på 35.3 o/oo. Transporten er beregnet til 3.10 m /s.
Al udstrømning antages ske gennem Danmarksstrædet mellem Grønland
og Island. Middelsaliniteten for det udstrømmende vand er 32.5 o/oo.
Beregn nettoferskvandstilførslen til området samt vandtransporten
gennem Danmarksstrædet.
Opgave 2
a) Forklar hvad der forstås ved "geostrofisk strøm", og redegør for
de forudsætninger og antagelser som må være opfyldt for at en strøm
skal være geostrofisk.
b) Ved målinger langs et snit vinkelret mod Østgrønlands kyst på 74°N
har man i en sommersituation fundet at havet her består af to homo-
gene lag adskilt af en veldefineret skilleflade. I det øvre lag
flyder store mængder drivis. Temperaturen er derfor nær frysepunk-
tet, saliniteten er 32.5 o/oo og densiteten er bestemt til 1027.1 kg/m
Under dette lag ligger et tykt lag af betydelig varmere og saltere
vand af Atlantisk oprindelse. Densiteten er her 1028.1 kg/m .
Opgavesættet fortsættes

Skillefladen mel lem lagene ligger dybest ved kysten, og tykkelsen af
det øvre lag aftager lineært med afstanden fra kysten. I 50 km af-
stand fra kysten har tykkelsen af det øvre lag mindsket med 145 m.
Med anvendelse af betegnelserne i nedenstående figur og under antagelse
af geostrofisk balance er følgende udtryk gyldig for skillefladens
hældning:
tg Y = ^
Udled dette udtryk!
TI '2^2
P2 - Pi
(Margules ligning)
c) Beregn strømmens fart og retning i det øvre lag under forudsætning
af at det underliggende Atlantiske vand er i hvile.
d) Antag at skillefladen mellem de to lag skærer havoverfladen 60 km
fra kysten.
Hvor meget afviger vandstanden målt ved kysten fra den som ville
måles hvis også det øvre vandlag var i hvile.
Der bortses fra eventuelle effekter fra vind, lufttryksvariationer og
friktion.
Opgavesættet slut

a) Redegør for de gennemsnitlige volumentransporter ved
Gibral tarstrædet.
Middelsaliniteten for henholdsvis Atlanterhavs- og Middelhavsvand-
masser er 36,26 °/oo og 37,75 °/oo. Volumentransporten af Atlanter-
6 3
havsvandmassen ansættes i middelværdi til 1,75 • 10 m /sek.
b) Beregn nettofordampningen pr. tidsenhed for Middelhavsområdet.
c) Indgår Sortehavet som en del af Middelhavsområdet i ovennævnte
Opgave 2
beregning? Der ønskes begrundelse.
Havvandets massefylde P er en funktion af salinitet S, temperatur T
samt tryk p: P= P(S, T, p). For mange praktiske formål gælder rela-
tionen
1) T^ax = - S) °C
Havvandets frysepunkt som funktion af S kan tilnærmet skrives:
2) -0,054 S °c
Vi betragter nu en lang vintersituation (f.eks. 1962/63) i danske far-
vande og antager, at isdannelse på havoverfladen i kystnære områder
har fundet sted.
a) Begrund hvorvidt massefyldens trykafhængighed er væsentlig for
problemløsninger i vore farvande
Idet vi ser bort fra horisontal advektion, spørges der videre;
b) Hvilket udseende vil den vertikale temperaturfordeling (fra
havisens underside til havbunden) have i tilfældet
i) Køge Bugt, som antages uden haloklin
ii) Nordsøen (der ønskes en begrundelse).
Man bedes give en omtrentlig overfladeteraperatur og bund-
temperatur i hvert af de to tilfælde.
Saliniteten for Køge Bugt og Nordsøen antages at være henholdsvis 13 °/oo
og 34.5 °/oo.

Eksamen i Fysik 3: Geofysik den 19. jan. 1987
Opgave i fysisk oceanografi
Opgave 1
I en position i det sydlige Atlanterhav (52.5°S, 52.5°W) har man ud
fra et relativt begrænset antal målinger beregnet følgende:
I overfladen er amplituden af temperaturens årsvariation 3.18°C.
Temp.eraturmaximum opnås den 15.febr. og temperatur minimum et halvt
år senere.
I 100 m dybde er den årlige temperaturvariations amplitude 2.12°C og
temperaturmax. og min. indtræffer 21 dage senere end i overfladen.
I 400 m dybde er amplituden af temperaturens årsvariation reduceret
til 1.14°C og temperaturmax. og min. opnås 56 dage senere end i over-
fladen.
For at analysere disse data gøres følgende antagelser:
a. I analogi med hvad som gælder for en periodisk temperaturforstyr-
HSop
relses udbredelse i et fast legeme antages at temperaturen i et
punkt i havet kan skrives
z
T = TQ + T^.e^ cos (ü)t - $ + (1)
Tq og T^ to konstante temperaturer - henholdsvis middel-
temperaturen og amplituden af årsvariationen.
(}) er en fasekonstant som angiver hvor længe efter årets
begyndelse temp.max. opnås.
d og h er to konstanter med dimension længde
u) er vinkelfrekvensen for jordens bevægelse i sin bane
omkring solen.
Videre antages:
b. Ligning (1) gælder exakt.
c. Alle horisontelle temperaturgradienter er så små og alle strømme
er så svage at man kan bortse fra alle advektive led i diffusions-
ligningen og fra horisontel diffusion så at al varmetransport i
havet sker ved vertikal turbulent diffusion.
d. Den vertikale turbulente diffusionskoefficient K^ er konstant.

Eksamen i Fysik 3, Geofysik den 19. jan. 1987
Opgave i fysisk oceanografi (forts.)
Opgave i fysisk oceanografi (forts.
Opgave 2
I Stillehavet udenfor Nordamerikas vestkyst på ca. 30°N blæser vinden
i forholdsvis lange perioder fra nord parallelt med kysten. Antag for
enkeltheds skyld følgende:
Vandets densitet p oq luftens densitet P, er konstante.
a
Dybden til bund er konstant. Vindhastigheden W^ har været konstant i
a
så lang tid at stationær tilstand er indtrådt.
Den vertikale gnidningskoefficient A^ er konstant. Vindspændingen T er
givet af ^
Følgende konstanter anvendes:
Cp = 1.3 • 10"^
p^ = 1.25 kg m"^
p = 1025
W = 7 ms"^
-1 -1
A^ = 8 kg m 's '
Beregn:
1. Tykkelsen af det øvre og det nedre Ekmanlag.
2. Fart og retning fqr den totale strøm i overfladen.
3. Den totale volumentransport langs kysten.
4. Findes vertikalbevægelser? Angiv i så fald retning og størrelse for
den vertikale massetransport regnet pr. meter kyst.

Opgave i oceanografi
a) Redegør for de antagelser og forudsætninger som må være opfyldt
for at Knudsens hydrografiske teorem skal være gyldig og disku-
ter kortfattet dette teorems anvendelsesområder.
b) Havområdet nord for en linie fra Østgrønland over Island, Færøerne
og Shetland til Skotland kan for mange formål betragtes som et
Middelhav. Det kan antages at al tilførsel af havvand til området
sker gennem Færø-Shetland-kanalen hvor det indstrømmende vand har
6 3
en middelsalinitet på 35.3 o/oo. Transporten er beregnet til 3.10 m /s,
Al udstrømning antages ske gennem Danmarksstrædet mellem Grønland
og Island, Middelsaliniteten for det udstrømmende vand er 32.5 o/oo.
Beregn nettoferskvandstilførslen til området samt vandtransporten
gennem Danmarksstrædet.
Opgave 2:
1) Gør rede for hvorledes det i havet nedtrængende dagslys svækkes med dybden.
2) Gør desuden rede for hvorledes svækkelsen afhænger af bølgelængde og vand-
masse.
3) Angiv den ligning, som beskriver svækkelsen for monokromatisk (ensfarvet)
lys. Beregn den dybde udtrykt ved den vertikale dæmpningskoefficient, hvor det
nedadgående monokromatiske lys er dæmpet 100 gange (det såkaldte 1%-niveau).

Eksamen i Fysik 3, Geofysik den 19. jan. 1987
Opgave i fysisk oceanografi
Opgave 1 (forts.)
1. Undersøg om ligning (1) kan være en løsning til diffusionsligningen
under disse stærkt forenklede antagelser.
2. Udled et udtryk for K^:
3. Anvend de indledningsvis nævnte måleresultater til at beregne
d, h og K^ i dybdeintervallerne:
a) 0-100 m
b) 100-400 m
4. Diskuter mulige årsager til eventuelle afvigelser fra den simple
model.
Opgave 1 (oceanografi)
Oceanernes varmebudget bestemmes af flere parametre. Angiv disse med
fremhævelse af de vigtigste og giv en kortfattet beskrivelse af hver.
Beskriv forudsætningerne bag og princippet i den såkaldte T-S analyse.
Hvor benyttes T-S analysen med størst udbytte ved havundersøgelser.
Der ønskes begrundelser for svarene.

Geofysik 3 eksamen, maj 1985
Sættet er på i alt 5 sider
Ovenstående figur viser en skematisk masse- og saltbalance for
Østersøen. M^ er massen af den totale salt mængde og M^ massen af
vandet i Østersøen. Massefylden p for vand antages at være 1000 kg/m^
uanset saltindhold og temperatur.
Ved et snit over tærsklen kan forholdene beskrives som en to-lags
strømning, hvor transporten og saliniteten i henholdsvis øvre og
nedre lag er Q.^, S.^ og Q^, Sg. Langtidsmiddelværdierne af saliniteterne
er = 11 °/oo og S^ = 15 °/oo.
1) Udregn under forudsætning af stationaritet størrelse og retning
af massetransporterne Q^ og Q^ når nettoferskvandstilførslen Q^/p
o
er 1+50 km /år.
De observerede middeltranporter er imidlertid væsentlig mindre
end de der udregnes på ovennævnte grundlag.
Forskellene kan forklares, hvis der på grund, af korrellation mellem
fluktuationer i salinitet og fluktuationer i transport foregår en turbulent

diffusion henover tærsklen.
Massebalancen for bassinet er givet ved
og saltbalancen ved
dM
dM
l i = «2^2
Antag at en variabel kan skrives som x = x + x' , hvor x er
middelværdien over et tidsrum T, og x' er afvigelsen fra middelværdien.
Der gælder x' = O.
2) Indfør denne opdeling for de variable Q^j, Q^s S^ og S^ (Q^ antages
konstant), og
a) vis, at ændringen i saltindholdet i Østersøen AM^ i løbet
af midlingsperidoen T er givet ved
AM s — 77 . 77
F " = S • S^ + Q^ . SG + D ,
hvor D er et led der afhænger af fluktuationerne i , S^, Q^ og
Qg) men ikke af middelværdierne af de enkelte led.
b) Angiv et udtryk for D.
Antag at middelvolumenet og middelsaltmængden i Østersøen er
uændret over en meget lang periode, og at størrelsen af Q^ ^letop er
lig

3) Hvor stor er ?
U) Hvor stort er diffusionsleddet D (enhed : masse/tidsenhed) ?
I et kortere tidsrum på 10 år, har størrelse af Q.|/p været
9^5 km^/år. S^ og S^ har samme værdier som hidtil. Volumet er i middel
bevaret. Antag, at diffusionsleddet D har samme størrelse som tidligere.
5a) Vil saltindholdet • i middel stige eller falde i løbet af de 10 år ?
5b) Hvor stor er salinitetsændringen i middel, hvis Østersøens
Opgave 2
2
middeldybde er 56 m og arealet er 373.000 km .
Over et havområde har der blæst en konstant vind i så lang tid,
at stationær tilstand kan antages. Havstrømmen varierer udelukkende
med dybden, og der er ingen trykgradienter. Massefylden antages konstant
Den vertikale friktionskoefficient A varierer på en ukendt måde
z
med dybden. Dog gælder
A (z) > O,
z
fra overfladen til dybden z = -D, og for større dybder er
friktionen nul.
Antag at vindspændingen T^ er i y-aksens retning. Massefylden
er p^ og Coriolis parameteren f.
i) Vis, at massetranporten integreret over friktionslaget er uafhængigt

- u -
af variationen af A med dybden, og giv et udtryk for massetransporten
z
ved hjælp af ovennævnte parametre (ikke alle nævnte skal nødvendigvis
anvendes).
Antag nu, at der er en lang lige kyst, beliggende på den nordlige
halvkugle, parallelt med vinden. De hidtil gjorte antagelser er stadig
gældende, bortset fra
a) der er nu horizontale trykgradienter i x-aksens retning.
b) der er to lag med massefylde hhv. p.^ og p^.
Situationen er skitseret på tegningen nedenfor, der illustrerer et
vertikalt snit set fra syd:
VEST
TO km
30 km'
friktion slag
med tykkelse D
friktionslag
med tykkelse D*
ØST

2) Beregn volument ran sport en pr m kyststrækning bort fra kysten i
det øvre friktionslag, der opfylder betingelserne under spørgsmål i)
p^ = 1023 kg/m^
f = 10 ^ s ^ og T = 0.2 K/m^
3) Er vinden rettet mod syd eller nord ?
Vandstanden på kysten i punkt C er 15 cm lavere end middelvandstanden.
I situationer med middelvandstand er vandspejlet horizontalt.
I punktet A er der i denne situation ingen afvigelse fra middel-
vandstanden. Antag, at tyngdeaecelerationen er 10 m/s , og at
vandspejlafvigelsen varierer lineært med x.
U) Beregn den geostrofe hastighedskomponent i øvre lag.
5) Angiv et udtryk for bundgrænselagets tykkelse D' ved hjælp af nogle
af de allerede kendte størrelser samt p^ = 1027 kg/m . Udregn
desuden tykkelsen D'.
Elybden til skillefladen mellem de to vandmasser er i A og B målt
til henholdsvis 320 m og 280 m. Totaldybden varierer lineært. I
A er dybden 600 m og i B U60 m. Strømmen v^ under skillefladen er
modsat rettet v^.
6) Beregn den totale massetransport parallelt med kysten i tværsnittet
mellem A og B. (Det kan tillades at se bort fra det nedre grænselags
transportbidrag langs kysten).
2
3

Satellitmålinger viser at havoverfladen i et punkt Q på 45® N en dag vokser i
x-aksens positive retning (x positiv mod øst) med Im/lOOO km. I nord-syd
retningen er havoverfladen horisontal.
1) Beregn i Q den geostrofe overfladestrøm V^^ = ^^go* ^go^*
2) Ved Q skaber vindstresset i havoverfladen en Ekman-strøm V^^ = t^Eo* ^Eo^'
viser sig at Vc = .
to go
Benyt bl.a. en empirisk bestemt relation mellem Ekman-strømmen i havoverfladen
og vindens fart nær havoverfladen til i Q at bestemme størrelse og retning af
o —"i
vindstresset på havoverfladen. Brug Cp = 1.4 x 10" og = 1.2 kg/m .
3) I en omegn omkring Q er havet barok!int.
Vis at "termalvind" ligningerne kan skrives på formen
az. ' f ^^ a
hVo 9 , ..
^ - f' W ^ ^ ' 3F
hvor cK. er havvandets specifikke volumen.
4) I Ekman-laget ved Q kan ot betragtes som uafhængig af z. I Ekman-dybden D^ er
(Ug. Vg) = (1/4 3/4
Bestem i Ekman-laget ved Q strømhastigheden V = (u, v) som funktion af z.

En kyst har en konstant bundhældning på 0.0017 (dybden tiltager med 1.7 m pr.
kilometer). Der observeres et bølgetog med vinkelret indfald på kysten og
perioden 7.0 sekunder. Amplituden er på dybt vand 0.13 m, og det forudsættes
at der ingen energidissipation finder sted før bølgerne begynder at bryde.
(1) Find i hvilke afstande fra kysten man kan anvende approximationen for
korte bølger, og i hvilke afstande man kan anvende approximationen for
lange bølger. Bestem endvidere bølgelængden i afstandene 40 km, 30 km og
500 m fra kysten.
(2) I en vis afstand fra kysten måles bølgelængden til 69.7 m.
Bestem amplituden på dette sted.
(3) Bølgerne bliver nu mere kortperiodiske. Den horizontelle hastighedsampli-
tude er målt i 2 dybder og er følgende:
Dybde (m) m/s
5 0.05
12 0.03
Beregn bølgehøjden under forudsætning af at approximationen for korte bølger
kan anvendes.

Opgave I
Geofysik 2 eksamen, maj 1989,
En forsøgstank til bølger er 200 m lang. Vanddybden er 5.5 m. I den ene ende
er der anbragt en bølgegenerator, og i den anden ende er der en reflekterende
lodret væg.
Til forsøgets start er vandet helt i ro, og til tiden t=0 startes bølgegenera-
toren, som nu frembringer bølger med en amplitude på 10 cm og bølgelængde 4.3
m,
(1) Beregn bølgernes fasehastighed og gruppehastighed.
Der skal foretages målinger på bølgerne, og det er ønskeligt at være så langt
fra bølgegeneratoren som muligt. Samtidig ønskes dog tid til mindst 2 minut-
ters målinger, inden der kommer reflekterede bølger fra tankens anden ende.
(2) Hvor langt fra bølgegeneratoren skal forsøget foretages?
(3) Besvar samme spørgsmål [2), idet bølgelængden nu øges til 12 m {efter at
overfladen er kommet i ro igen).
Vandet kommer atter i hvile, og nu ønskes det at producere bølger med stadig
(kontinuert) voksende bølgelængde, således at de først udsendte højfrekvente
bølger mødes med de senere udsendte mere lavfrekvente bølger i eet punkt
beliggende 125 m fra bølgegeneratoren. Til tiden t=0 startes bølgegeneratoren
med en periode på 0.5 sec.
(4) Opskriv som funktion af tiden den frekvens tj(t) som bølgegeneratoren
skal styres med, og beregn til hvilket tidspunkt alle bølgerne mødes
(det forudsættes at alle de producerede bølger kan regnes som korte
bølger, og der ses bort fra reflekterede bølger fra tankens anden ende).
Indflydelsen af jordens krumning ønskes vurderet af hensyn til målenøjagtig-
heden af vandoverfladens højde.

Geofysik 2 eksamen januar 1989.
En dybvandsbølge er karakteriseret ved: ^
Amplitude = 0.8 m, Periode = 13 sec, Tyngdeacceleration = 9.8 m/s ,
Vandets massefylde = 1020 kg/m^.
1) Bølgen skal kunne registreres af en trykmåler, der er anbragt i en passende
dybde. Trykmålerens følsomhed er 100 Pa. Hvor dybt kan den placeres, når det
forlanges at bølgens trykamplitude i måledybden er mindst 10 gange følsomhed-
en ?
2) Bølgen kommer ind på mindre vanddybde. Dens gruppehastighed bestemmes til
12,15 m/s og bølgelængden er 5 gange vanddybden.'Begrund valg af formler og
bestem vanddybden.
3) Bølgen nærmer sig kysten og er nu på 3 m vanddybde. Der forekommer ikke
friktionstab eller brydning ( energibevarelse ). Bestem bølgens amplitude,
idet formlerne for lange bølger gælder i dette område.
Geofysik 2 eksamen januar 1990.
Et havområde på 300 km x 500 km indeholder fremadskridende korte bølger med
perioden 12 sec. og amplitude 0,50 m.
la) Bestem den samlede bølgeenergi, som er tilstedé i området,
lb) De bølger, der forlader området, falder vinkelret ind på en kyst, som er 300
km lang. Bestem den energi, som kysten modtager pr, sec., idet der antages
stationaritet og der ses bort fra energitab til havs.
2) Bestem bølgehøjden umiddelbart før bølgebrydning, når brydningskriteriet er at
bølgehøjden er 80% af middel vanddybden. Det antages at man kan anvende teorien
for lange bølger i brydningsområdet, samt at bølgerne ikke mister energi før
de bryder. Vanddybden ud for kysten er jævnt voksende.
Konstanter:
Havvands massefylde: 1025 kg/m^
tyngdeacceleration: 9,81 m/s^

Geofysik 2 eksamen, sommer 1990.
For Storebælt opstilles en enkel strømningsmedel med trykkræfter som eneste
virkende naturkræfter. Der er tale om en to-lagsmodel bestående af to homogene
vandmasser adskilt af et knivskarpt springlag. Modellen har en konstant
udadgående overfladestrøm samt en konstant indadgående bundstrøm.
Storebæltsmodellens geomorfologi antages at være en kanal med kendt geometri,
der består af lodrette vægge og flad horisontal bund, og kanalen løber stik
nord omkring B^-N breddegrad.
Kendte størrelser er i tilgift de 2 vandmassers massefylde og springlagets
højde over havbunden ved henholdsvis modellens vestlige og østlige vægge.
Beregn herudfra:
a) Overflade- og bundstrømmens retning og fart.
b) Vandspejlets fald på tværs af strømretningerne for konstant lufttryk.
Lufttrykket stiger herefter jævnt mod øst med i alt AP mb.
c) Bestem vandspejlets fald og overfladehastighed.
Opgave 2.
Enkle strømhastighedsberegninger ud fra vandstandsmålinger i sund og bælt
forudsætter et nøje kendskab til højdekoterne på begge kyster. Metoden for
overførsel af en højdekote fra den ene kyst til den anden bygger på U-
rørsprincippet. Et rør - i praksis en armeret plastslange - lægges langs
bunden gående fra kyst til kyst og vandstanden i rørenderne aflæses. Der
benyttes afgasset ferskvand i røret. Antag nu at nivellementet som beskrevet
ovenfor er udført i den i opgave 1 omtalte kanal for tilfældet konstant
lufttryk. Hvor stor er vandstandsforskellen i rørenderne, når ferskvandets
massefylde aftager 0,18Voo per grad Celcius "C og overfladelagets temperatur
er på 17% og bundvandets er på 8°C?
NB. Besvarelsen forudsætter ikke at opgave 1 er løst, men blot, at
oplysningerne fra denne opgave anvendes.

GEOFYSISK FLUIDDYNAMIK
EKSAMEN, JANUAR 1995
(ALLE HJÆLPEMIDLER TILLADT)
1. I et syd-nord orienteret stræde, der har en bredde på 30 km, er der en nordgående
strøm, der kan beskrives ved ligningen
hvor X er vest-øst koordinaten og W=30 km.
Idet strømningen anses for geostrofisk, skal man vise, at højdeforskellen, A h, i
vandstanden mellem den østlige og den vestlige bred kan beskrives ved formlen:
Beregn højdeforskellen, når den maksimale strøm, Jordens vinkelhastighed, de
geografiske bredde og tyngdeaccelerationen er givet ved
m
Q =7.29x10"^:?-^

L
2 4 f X
hvor VQ er gradientvinden og f„ er Coriolis parameteren, som kan antages konstant.
(Det kan være en fordel at løse for WQ først)
a3: På hvilket fysisk grundlag vælges der mellem de to mulige værdier i ovenstående
formel? Beregn dernæst gradientvinden, når f^ = lO '^ s'\
b: Hvor stor er gradientvinden, hvis man i stedet for et lavtryk betragter et højtryk på
samme sted og med de samme værdier for den geostrofe vind, Coriolis parameteren og
radien.
3. I et punkt i atmosfæren er vinden fra vest mod øst og med en styrke på 10 m s'^ .
Isotermerne er orienteret fra sydvest mod nordøst med den koldere luft mod nordvest.
Afstanden mellem isotermerne, som er tegnet for hver femte grad, er 400 km. Hvor stor
er temperaturændringen i punktet i løbet af 24 timer, når det antages, at bevægelsen er
horisontal?

Eksamen i Oceanografi 2 torsdag den 1. juni 1995.
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt.
Betragt en lang kanal med rektangulært tværsnit beliggende på 45° nordlig bredde.
Kanalens bredde er 1 km, længden 500 km og dybden ci = 40 m. Kanalens længderetning
er orienteret Nord-Syd.
I kanalen observeres en bølge, hvor vandoverfladen er givet ved •r]{x,t) = Acos{kx —ut)
med konstant amplitude A = 10 cm på tværs af kanalen, hvor bølgetallet er k =
1.0 • 10"^ radm~\ og hvor x-aksen er orienteret mod syd.
Det følgende besvares under den antagelse at indre gnidning i vandet kan negligeres og
at vandet er usammentrykkeligt, med massefyde 1 000 kgm~^. Desnden ses der foreløbig
bort fra astronomiske kræfter. Bortset fra bølgebevægelsen er der ingen strømme.
1. Angiv bølgens fasehastighed c/.
2. Gør rede for, at den horisontale komposant af strømhastigheden u{x,t,z) under
bølgens højeste punkt (dens ryg) er konstant over alle dybder, og givet ved
udtrykket
A
Angiv størrelsen af u.
3. Angiv den potentielle og den kinetiske energi ved bølgens ryg per m^ overflade, i
forhold til vandets hvileposition.
Vi tager nu hensyn til astronomiske kræfter. På det tidspunkt, hvor bølgen observeres,
står Solen og Månen begge højest på himlen (kl. 12 middag) med højder henholdsvis
45° og 50° over den sydlige horisont. Jorden regnes som kugleformet med radius R —
6.37 • 10®m; Afstandene til Månen, tm, og til Solen, rs, regnes konstante. Man kan
benytte følgende værdier, hvor J er Jordens masse, M Månens masse og S Solens
masse:
^ = 0.0123 ^ - 3.33 - 10' VM = eOR rs = 2.35 • 10' R
J J
4. Angiv tidevandspotentialet i kanalen på dette tidspunkt, samt den horisontale og
den vertikale komposant af den samlede tidevandskraft.
5. Beregn tidevandskraftens energioverførsel per tidsenhed til vandet per m^ overflade
under bølgens ryg, idet det antages at tidevandskraften er så svag at bølgens
bevægelser beskrives af den sædvanlige lineære bølgeteori.
6. Beregn bølgebevægelsens energifluks i x-retning ved bølgens ryg, og sammenlign
med energioverførslen fra tidevandskraften.

Et stræde beliggendende på 45° nordlig bredde har længden L = 200 km, bredden 10 km
og den konstante dybde d = 200m. Vandet er homogent, med mcissefylde 1 OOOkgm"^.
Et sædvanligt {x^y^z)- koordinatsystem anbringes som vist på figuren:
Profil:
B
A
D
Ovenfra:
Vandstanden aftager lineært mellem punkterne C og D i hver ende, med en vandstandsforskel
på Ah = 2.0 cm. I hele tværsnittet mellem punkterne A og B, undtagen nær
bunden, måles en konstant stationær strøm med en x-komposant på u^ = 25cms~^.
Det antages at trykgradientkraften i i-retningen balanceres af friktion mod bunden.
En undersøgelse af strømmen lige over bunden viser specielt at strømmens kraft mod
bunden er rettet 45°til venstre for strømmen.
Det antages i det følgende at det nedre Ekman-lags tykkelse D' er meget mindre end
d.
1. Hvor stor er tryk gradientkr af tens z-komposant i strædets midte?
2. Betragt dybder som ligger over det nedre Ekman-lag, Angiv den størrelse af
strømmens y-komposant i strædets midte, som sikrer at der er balance mellem
trykgradientens x-komposant og Corioliskraften.
3. Den geostrofiske massefluks i y-retningen modsvares af en modsat rettet massefluks
i det nedre Ekman lag. Beregn dennes y—komposant M^.
4. Beregn overfladens hældning i y-retningen, når der antages geostrofisk balance.
Angiv vandstandsforskellen mellem A og B.
5. Beregn det nedre Ekman-lags tykkelse £?', når det antages at at den turbulente
friktionskoefficient A^/p er konstant over alle dybder, og at strømhcLstigheden går
mod nul for z —d.
Angiv størrelsen af A^ip-
6. Det antages yderligere, at A^jp er proportional med u^//. Hvilke tilsvarende
sammenhænge er da da mellem M^ og u^^^ og mellem A/i og u^? I disse sammenhænge
kan indgå de konstante parametre /, p^ L, d og tyngdeaccelerationen
g-
B
A

Eksamen i Oceanografi 2 torsdag den 23. maj 1996.
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt.
Z.
/N
loZH k-j^^iA'
p r i o2.7
Over et havområde virker en konstant vind med et træk på vandet r med styrke
r = 0.1 Derved overføres der impuls til de øverste 5 meter af havet, hvorunder
der er en skarp grænseflade (se figur). Man kan i første omgang negligere overførslen
af impuls gennem grænsefladen. Der indstiller sig en næsten stationær strømning, hvor
de ydre kræfter består af r balanceret af Corioliskraften (/ = 1.0 • 10"^ s""^).
1. Angiv strømmens gennemsnitlige styrke u og retning i de øverste 10 meter
En model for grænsefladens udvikling bygger på den antagelse at tilførslen af energi per
m^ overflade fra vinden til det øverste lag sker med en rate på 6+ = cr w, hvor koefficienten
c kan sættes til 1. Det antages yderligere at hele denne energi omsættes til potentiel
energi i forbindelse med at vand som medrives fra laget lige under grænsefladen løftes og
blandes homogent i det øvre lag. Denne medrivning indebærer at grænsefladen sænkes
langsomt med en raten Wm.
2. Hvor stor en energimængde omsættes per vandret arealenhed ved en sådan medrivning
af et lag af tykkelsen 0.1 m under grænsefladen?
3. Opstil et udtryk for som funktion af e"*", springlagets dybde og massefylderne.
Angiv værdien ved d — 5 m.
4. Angiv størrelsen, som funktion af springlagets dybde, af den impulsoverførsel,
dvs. kraft per vandret arealenhed, som benyttes til acceleration af det raedrevne
vand. Angiv værdien i 5 meters dybde og diskutér resultatet.

Wind sector west: 225° ~ 315°
Wind speed (m/s)
Wind sector west: 225° - 315°
Wind speed (m/s)
Grafen viser signifikante bølgehøjder og spektral spids bølgeperioder versus karakteristiske
vindstyrker målt i et område hvor der er mellem 200 og 250 km til kysten i den
retning vinden kommer fra.
1. Vurdér hvilke værdier for fasehastighed og gruppehastighed der kan forventes ved
vindstyrker på lOms"^.
2. Sammenlign disse målinger med kendte, empiriske relationer for bølgeenergien
ved stationære vindsituationer.
Der anbringes nu en stor, tung genstand, hvis vandlinie på tværs af bølgeretningen er
200 meter.
3. Vurdér impulsoverførslen, dvs. kraften, fra bølgerne på genstanden ved lOms"^
vind, når hhv.
(a) bølgerne absorberes i genstanden
(b) bølgerne reflekteres fuldstændigt fra genstanden.
4. Genstanden har en masse på 10® kg og flyder frit. Angiv genstandens fart og
retning hvis der indstiller sig en balance mellem Corioliskraft (/ = 1.0 • 10"^
og bølgekraften fra tilfælde 3a).

En stor kubisk genstand med massefylde pQ — 900 kg m"^ flyder i et havområde med
et massefyldespring i ofi = 5 meters dybde. Genstandens kantlængde er Z = 33 m og
dens vandrette bund ligger i dybden —Zd-
J\
o
i^jr-S^
z.
^ '^00
P, - lolH
i o l i
I det øvre lag måles en massefylde pi = 1024 kg og en strømhastighed vi =
0.10 under springlaget er massefylden p2 = 1027 kg m"^ og strømmen mindre
end 0.01 Coriolisparameteren er f = 1.2 • 10"^ s"^. I det følgende betegnes overfladens
niveau med t] og grænsefladens niveau med T/I som vist på figuren.
1. Angiv overfladens og grænsefladens hældninger, ^ og idet gnidning kan
negligeres.
2. Angiv de væsentlige kræfter, som virker på genstanden. Begrund at fladekræfternes
horisontale resultant er givet som
/ drf
Fh = L^ \pig{r] + {P2 - Pi)9{Vi - ^d) dx
Fh kan antages at være uafhængig af små drejninger omkring tyngdepunktet.
Man kan benytte at den vertikalt integrerede trykkraft per længdeenhed på en
lodret flade vinkelret på x-retningen mellem tj og T/J er Fi = \pig{r} — r]iY, og
mellem t)i og zd er F2 == pigif] - i/i)(77i - Zd) + ip29im ~ ^dY-
3. Vurdér genstandens fart når kræfterne er i balance og det antages at gnidning
kan negligeres.

NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
GEOFYSISK FLUID-DYNAMIK
Onsdag den 24. maj 1995
ALLE HJÆLPEMIDLER TILLADT

Opgave 1
I denne opgave betragtes et stationært, rotationssymmetrisk lavtryk med centrum på
breddegrad
Trykvariationen langs niveaufladen 'mean sea level' ('msl') er for r < ro givet ved
p(r) - Po - (Po - PcXl - r/ro).
hvor r er den vandrette afstand fra lavtrykkets centrum. Luftens massefylde p er konstant
ved 'msl' og bestemt ved temperatur og tryk (h.hv. T^, og p^) i lavtrykscenteret.
1.1: Beregn i afstanden r = rg vindens fart ved 'msl' når
Po = 1000 hPa; Po - p, = 30 hPa; T, = 8.5 ^C;
ro = 100 km; (j) = 43
Vink: Der kan ses bort fra friktion.
Udnyt, at den horisontale trykgradientkraft pr. masseenhed i det naturlige
koordinatsystem med z som vertikal koordinat har formen -p ' idp/ds,dp/dn).
1.2: Hvor stor er den relative fejl på vindens fart i spørgsmål 1.1, hvis vinden
approximeres ved
a: den cyklostrofiske vind?
b: den geosfrofiske vind?
Opgave 2
I denne opgave betragtes på breddegrad ^ en søjle af atmosfærisk luft (f.eks. med
kvadratisk tværsnit) begrænset af trykfladerne p^ og Pi (pg > Pi). Forholdene i luftsøjlen
er sådan, at den horisontale temperaturgradient i en vilkårlig trykflade er uafhængig af de
horisontale koordinater x og y. Til et givet tidspunkt gælder
hvor c = konstant.
( f = (-r),

2.1: Skitsér forløbet af isotermerne på trykfladerne Po og pj.
2.2: Beregn termalvinden Vy i luftsøjlen mellem po og pj.
Ved den sydlige og nordlige kant af luftsøjlen gælder h.hv. Vg(po) = (Ug(po),0) og
Vg(Po) ^ (-Ug(po).O), hvor Ug(po) = 10 m/s.
2.3: Beregn temperaturadvektionen i trykfladen p, ved den sydlige og nordlige kant af
luftsøjlen.
Angiv desuden ved luftsøjlens sydlige og nordlige kant fortegnet på temperaturadvektionen
(+ for varmeadvektion) mellem Po og pj.
Opgave 3:
I et område af det sydlige Stillehav på breddegrad (|)o har vinden gennem en periode på
flere døgn blæst stabilt fra syd.
Vindens fart nær havniveau er i det betragtede område uafhængig af y (koordinatretning
mod nord) og langs breddegrad (|)o givet ved
sin(—-jc) ; O á X ¿ ~
L 2
hvor X = O og X = L/2 er områdets afgrænsning mod h.hv. vest og øst.
I nedenstående beregninger benyttes p^ = 1.2 kg/m^ (luftens massefylde nær havniveau),
(i)o = 43°S, ßo (6f/0(¡>)^o konstant (beta-plan approximation), Vg = 10 m/s,
L = 1000 km og CD = 1.6'10^
3.1: Skitsér i intervallet O < x < L/2 variationen i Ekman-massetransporten og angiv med
fortegn værdien af transporten for x = O, L/4 og L/2.
Den vindgenererede geostrofiske strøm er nul under en vis dybde h (dvs. for z < -h).
Oceandybden er meget større end h.
3.2: Vis, at der xmder de givne forudsætninger gælder, at den totale vinddrevne massetransport
er konstant i x-retningen og skitsér for tilfældet M,, = O den geostrofiske
massetransport langs (|)o.
Slut på opgavesættet.

Naturvidenskablig Bacheloruddannelse
Censor: Palle Bo Nielsen
Underviser: Niels Kristian Højerslev
Oceanografi 2
20. Juni 1997
Alle Hjælpemidler er tilladt.
3 opgaver / 3 timer

Opgavg 1,
I den sydlige Nordsø er ea olieplatform anbragt på bunden, som er flad. Dybden er konstant.
Platformen er kvadratisk med en kantlængde på 100 m, og den hviler på fire ben placeret i
hjørnerne. Orienteringen fremgår af figuren.
På ben 1,2, og 3 er monteret trykfølere ved bunden. Signalerne fra trykføleme kan registreres
på platformen og er af formen
P^Po+Pi siniDt
Efter en periode med kraftig blæst fra en retning mellem vest og nord fmder man, at signalet
fra ben 2 er forsinket og signalet fra ben 3 er forsmket i forhold til signalet fra ben 1.
Beregn:
Po = konst = 266 kPa
Pi = konst = 6,61 kPa
at=25.0
g = 9,82m/s2
a) Bølgelængde, bølgehøjde og udbredelsesretning i området omkring platformen.
b) Angiv gruppehastigheden for de indkommende dønninger.
c) Hvad er dønningernes middelenergi beregnet pr. m bølgefront samt over en hel bølge
længde.

Et stræde med rektangulært tværsnit gennemstrømmes af to modsat gående vandmasser med
massefylderne pi og p2 [kg x m'^]. Strømmene v, pg Vj [m/s''] antages begge at være i
geostrofisk ligevægt.
A B
C D
E
a) Angiv samtlige betingelser for geostrofisk ligevægt og diskuter disse.
Atmosfæretrykket over AB er konstant og tværsnittets geometri er kendt. Vandstanden
ved station A er Ah [m] højere end ved B.
b) Hvor stor bliver v,?
Atmosfæretrykket ændrer sig jævnt over station A og B, således at barometerstanden
øges med AP [h Pa] ved B.
c) Hvor stor bliver vandstandsforskellen mellem A og B for uændret Vi?
Nettomassetransporten over tværsnittet ABFE antages herefter at være nul, og bundstrømmen
er på et enkelt sted i nedre tværsnit målt til at være det halve af overfladestrømmen.
d) Angiv beliggenheden af springlaget CD.
F

Opgavg 3.
I en kanal med lodrette sider strømmer vandet over en tærskel på havbunden, hvis største
højde er A. Uden for tærskelområdet er havbunden flad og vanddybden konstant lig med h.
Trykket ved det fri vandspejl er overalt konstant og lig med Strømmingshastigheden langt
fra tærskelområdet benævnes og tyngdeaccelerationen g. Begge regnes konstante. Der ses
bort fru gnidning, corioUskraft og tidevandskræfter. Eneste virkende kræfter er tyngdekraften
og trykkraften og massefylden er overalt i væsken konstant lig med
a) Undersøg om der gives specialtilfælde hvor det fri vandspejl ikke forandrer sig som
følge af vandstrønmingen hen over tærsklen.
Det antages herefter at a og A begge er meget små sammenlignet med h (dvs. at der kan
regnes til fisfrste orden)
b) Angiv det fri vandspej Is maksimale høj deforskel.
c) Angiv de 2 muligheder for A med de givne forudsætninger og diskuter i korte træk
disse.
Der skal redegøres for henholdsvis det tilfælde hvor A er positiv (en top)
og hvor A er negativ (en dal).
4.4

Opgave 1.
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2 på 1. del
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tOladt.
Den 26. maj 1998
1. Giv en fysisk karakteristik af en lang bølges fysiske egenskaber i så mange detaljer
som muligt.
En lang bølge med amplituden, a, løber fra et stort dybt hav ind mod shelfen i en skæv
vinkel, A, som er vinklen mellem bølgens udbredelsesretning og shelfkanten. Vi
antager en havmodel, hvor det dybe hav har den konstante vanddybde H og hvor
shelfen tilsvarende har en konstant vanddybde, h. Kontinentalskrænten, som er
overgangen fra dybhavet til shelfen, antages at være en lodret plan. På shelfen ændrer
bølgen retning.
2. Udtryk shelfbølgens nye udbredelsesretning med de opgivne størrelser.
Det antages herefter at bølgen fra dybhavet alene transmitteres ind på shelfen. Der
reflekteres med andre ord ikke nogen del af den indkommende dybhavsbølge fra
kontinentalskrænten.
3. Udtryk shelfbølgens amplitude med de opgivne størrelser.
Endelig antages en lang lige kyst, hvorfra havbunden falder jævnt ned mod dybhavet,
der har de samme egenskaber som før, dvs. konstant H. En lang bølge antages nu at
løbe vinkelret ind mod kysten. Ligesom tidligere antages det, at der ikke forekommer
bølgereflektion.
4. Udtryk shelfbølgens amplitude for en vilkårlig vanddybde, h, over den skrånende
havbund med brag af de opgivne størrelser.

1. Giv en udtømmende fysisk beskrivelse af den geostrofiske strønmingsmodeL
Her skal nu antages en meget enkel havmodel med konstant lufttryk samt geostrofisk
bevægelse for det barotrope tilfælde. Havmodellen udgøres af en lang lige kyst, som
løber mod nord/syd og danner en lodret væg ud mod havet. Vanddybden helt inde ved
kysten er overalt den samme. Havbunden falder jævnt ud mod dybhavet og danner
vinklen, A, med horisontalplanen. Havoverfladens højde mindskes med kvadratet på
afstanden fra kysten gældende for det kystvand, som ligger indenfor bredden , L. I
havområdet beliggende udenfor antages middelhavniveau, dvs. Z=d med sædvanlig
notation.
LAND
Z =
konstant • x^ for O < x < L
O for x ^ O
TI(L) ved kystlinien x = L
2. Angiv den geostrofiske strøm (u, v, w) overalt i strømningsområdet.
3. Angiv volumentransportens retning og beregn størrelsen af den samlede
volumentransport med de opgivne størrelser der er angivet nederst på siden for hele
havmodelområdet. Coriolisparameteren, f, er positiv.
Der antages fralandsvind vinkelret på kysten og meget store vanddybder inde ved
denne.
4. Find den totale massetransport ("Ekman + geostrofe") gennem tværsnittet som
strækker sig stykket, L, ud i havet vinkelret på kysten.
Vindspændingen, x = lO'^N/m^, f = L = 10 km, iiCL) = 1 m, vanddybden helt
inde ved kysten regnet fra middelvandstand, h = 1000 m, massefylden, p = 1000 kg/m^
og tyngdeaccelerationen, g = 9.82 m/s^

Et halvlukket havbassin har en samlet ferskvandsvolumentransport Q^^ Størrelsen angiver
nettotilførslen som følge af flodtilløb, nedbør og fordampning, så Q^^ varierer med tiden, t.
Havområdet udveksler vand med verdenshavet. Vandudvekslingen til verdenshavet
bestemmes tilfredstillende ved bmg af formlen
3/2
Qb = K n
hvor Qb er en volumentransport, som udtrykkes ved den øjeblikkelige vandstand i det
halvlukkede bassin taget i forhold til vandstanden i verdenshavet som antages konstant lig
med nul. K er en fysisk konstant.
Målinger viser, at vandstanden i det halvlukkede bassin kan udtrykkes som
r| = a cos 2n
hvor t er tiden, T er tidsperioden (= 1 år) og a en lille amplitude. Det antages derfor, at små
vandstandsændringer ikke ændrer på den fri vandoverflades areal ,F, i det halvlukkede bassin.
1. Udtryk Qa som en funktion af tiden med de opgivne størrelser.
2. Beregn forsinkelsen af maksimalvandføringen, dvs tidsintervallet mellem
tilløbsmaksimum (max. af Q^,) og udløbsmaksimum (max. af Qb).
Oplysning:
F = 10^ km^ ; K = lO^m^^Vs
a = 0.2 m
3. Beregn forholdet mellem udløbsmaksimum og tilløbsmaksimum.

Opgave 1.
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt
Den 22. januar 1999
1. Angiv foradsætningeme for Bemoullis ligning for det ikke-stationære tilfælde.
Bemoullis ligning skal efterfølgende benyttes på følgende idealiserede problem: En
boreplatform lækker momentant 2000 tons olie ud i Nordsøen. I løbet af et vist
tidsmm, T dækker oliepletten et cirkulært område på 100 kra^, og pletten har antaget
samme tykkelse overalt. Massefylden for henholdsvis olien og nordsøvandet er
Pi = 885 kg/m^ og pj = 1020 kg/m^. Det antages at olien hverken fordamper, falder til
havbunden eller forsvinder på anden måde, samt at olien ikke blander sig med
havvandet. Det antages at nordsøvandet er helt i ro og der spørges herefter:
2. Hvor stor er olieplettens højde, h over det fri vandspejl?
3. Hvor stor er olieplettens hastighed ved plettens ydre rand og beregnet ved vandlinien?
Tyngdeaccelerationen sættes til 9, 82 m/sek^.
4. Hvor stor er vertikalhastigheden på olieplettens overside mod luften, når det kan
antages, at olieplettens tykkelse er uafhængig af den geografiske position?
5. Opstil herefter differentialligningen for h (se spørgsmål 2) som en funktion af tiden, t
når t ^ T. I denne differentialligning indgår kendte størrelser.
6. Hvor lang tid går der efter tidspunktet, T til oliepletten har femdoblet dens areal.

En model af havet består af to vandlag med konstante massefylder, pi og pj, og der er
geostrofisk balancerede strømme gående i Y-aksens retning i et sædvanligt kartesisk
koordinatsystem, hvor Y-aksen er orienteret positivt mod nord, X-aksen orienteret positivt
mod øst og Z-aksen peger positivt opad.
Vis ved udledning at:
1.
P2 - Pi
P2
ahj
I udtrykket 1. er Vj og Vj henholdsvis hastigheden i øvre og nedre vandlag, pj og p2 er
tilsvarende massefylden i henholdsvis øvre og nedre lag, h^ er tykkelsen af øvre lag, g er
tyngdeaccelerationen og f er coriolisparameteren.
2. Angiv vertikalhastigheden af skillefladen mellem de to vandlag for denne geostrofiske
havmodel.

1. Angiv forudsætningerne for Knudsens teorem.
Herefter antages en simpel fjordmodel bestående af to homogene, skarpt adskilte vandmasser
ude ved fjordmundingen, som udveksler vand med Verdenshavet. Øvre vandmasse har
saliniteteten, Sj og lagtykkelsen, hj. Nedre vandmasse har saliniteten, Sj og lagtykkelsen, hj.
Fjorden modtager en positiv nettoferskvandstilførsel, Q^ og der spørges om følgende under
den forudsætning at Knudsens teorem kan benyttes:
2. Angiv retningeme for vandtransporterne i øvre og nedre vandlag og begrund svaret.
Det antages herefter at strømningshastigheden i øvre vandlag, Vj er kendt gennem målinger,
der viser at Vi kan regnes for konstant i hele det øvre vandlag ude ved fjordmundingen. Man
kender også Si og Sj fra målinger i fjordmundingen, som har den konstante bredde, L samt
den konstante vanddybde, D. Endelig er der foretaget målinger i fjordmundingen, som viser,
at springlaget ligger i samme dybde, h, overalt i tværsnittet. Imidlertid vides intet som helst
om strømningsforholdene i det nedre vandlag, men følgende spørgsmål lader sig besvare
udtrykt i kendte størrelser under de givne fomdsætninger:
3. Hvor stor er nettoferskvandstilførslen, QQ?
4. Hvor stor er volumentransporten i det nedre vandlag ude ved fjordmundingen?
5. Foregår der vandblanding mellem nedre og øvre vandmasse henover springlaget ved
diffusive og/eller advektive processer inde i fjorden? Svaret begrundes.
6. Giv eksempler på de typiske ferskvandskilder regnet med fortegn for en dansk fjord
og diskuter deres indbyrdes betydning.

Opgave 1
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2 på 1. del
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt.
Den 14. juni 1999
Omkring et lavtryk ude over Nordsøen på positionen 56" N og 4° E kan det antages, at
vindhastigheden ved havoverfladen kun afhænger af afstanden fra lavtrykkets centrum.
Desuden at vindhastigheden er proportional med afstanden fra lavtrykkets centrum.
Luftbevægelsen kan beskrives inden for en geostrofisk models rammer.
1. Hvilke antagelser gøres der i en geostrofisk model?
2. Opstil de relevante ligninger til beskrivelsen af luftbevægelsen ved havoverfladen.
3. Skitsér luftbevægelsen, dvs. indtegn typiske hastighedsvektorer omkring lavtrykket.
4. Beregn lufttrykkets afhængighed af afstanden fra lavtrykkets centmm nede ved
havoverfladen.
Minimumstrykket i lavtrykket er lig med 950 hPa (1 hPa = 100 N/m^). Luftens
massefylde ved havoverfladen er 1,2 kg/m^ og lufttrykket i en afstand på 50 km fra
lavtrykkets centmm lig med 1000 hPa. Endelig erindres det om, at jorden foretager en
hel omdrejning på 24 timer.
5. Beregn luftbevægelsens fart ved havoverfladen med bmg af oplysningerne ovenfor.

I Nordsøens centrale del på positionen 56° N og E observeres der stationære vinde, der
giver anledning til stationære vindspændinger ved havoverfladen.
1. Hvilken kategori af kræfter tilhører vindspændingen og angiv dens fysiske dimension.
Det antages nu, at havbevægelsen kan beskrives med brug af den simple Ekman-model, hvor
havet er uendelig stort og alle parametre er konstante.
2. Opstil og diskutér de relevante ligninger incL randbetingelserne for Ekmanmodellen.
3. Beregn den samlede massetransport.
Antag at luften i afstanden R strømmer "med uret" omkring positionen 56° N og 4° E i en
cirkulær bevægelse og at vindspændingens størrelse er konstant overalt i havområdet.
4. Beregn den samlede masseflux der strømmer ud af det vandvolumen som begrænses
af havoverfladen samt cylinderfladen med radius R.
5. Angiv den samlede nettomasseflux for tilfældet angivet i spørgsmål 4.
Antag herefter en horisontal havbund beliggende i koten z = mens alle de øvrige
modelantagelser forbliver uændrede.
6. Angiv hastighederne for z = h i østlig, nordlig og opadgående retning.
7. Hvorledes påvirkes den samlede nettomasseflux af tilstedeværelsen af en horisontal
havbund beliggende på en endelig dybde z = ~ h. Svaret begrundes.

En oceanograf skal klarlægge mulighederne for at benytte bølgebevægelser til altemative
energiformål. Undersøgelser fokuserer udelukkende på lange bølger, som ikke er påvirket af
ikke-lineære effekter og gnidning.
1. Beskriv kort de relevante egenskaber ved en idealiseret fremadskridende lang bølge,
der relaterer til ovennævnte problemstilling.
Feltstudier viser, at man kan indskrænke sig til kun at undersøge to bølgeanlæg. Det ene
udnytter trykvariationerne i havet mens det andet udnytter de horisontale hastighedsvariationer
i havet. Begge bølgeanlæg er konstrueret til henholdsvis at udnytte over- og
undertryk samt frem- og tilbagebevægelser lige godt. Eksempelvis giver et overtryk samme
effekt som et undertryk under den forudsætning, at den numeriske værdi på begge de to trykændringer
er lige store.
2. Opstil de relevante ligninger for problemstillingen.
De to bølgeanlæg lægges ud hvor vanddybden er konstant lig med h. I området forekommer
kun én slags bølge med maksimal bølgeamplitude lig med a og bølgelængde lig med L.
3. Beregn den teoretisk højst mulige effekt pr kvadratmeter man kan få fra det bølgeanlæg,
der udnytter vandbevægelsen. Anlægget forudsættes at have en nyttevirkningsgrad
på 100%, og det står på 5 meters dybde. Bølgelængden er 100 m, vanddybden er
10 m og endelig er amplituden 1 m. Anlægget er orienteret vinkelret på
vandbevægelsen.
4. Beregn helt tilsvarende den teoretisk højst mulige effekt pr kvadratmeter man kan få
fra et bølgeanlæg, der udnytter trykvariationerne på 5 meters dybde. De to anlæg står
ved siden af hinanden men antages ikke at påvirke hinanden. Trykbølgeanlægget er
orienteret horisontalt.
5. Angiv betingelsen for at de to bølgeanlæg yder det samme.

Oceanografi 2
11. januar 2000
Varighed: 3 timer
Alle hjælpemidler tilladt
(opgavesættet indeholder i alt 4 sider ind forside)

En øst-vest orienteret jysk fjord med en tværgående tærskel og udstrømmende vand
modelleres med følgende antagelser:
a. Havbunden er horisontalt beliggende på begge sider af tærskelområdet, og
vanddybden er H.
b. I tærskelområdet haves en tærskel med bredden b samt en højde over havbunden
angivet på formen:
b r b
hvor -— < I < — .
2 2
h = a cos 121.; + a
c. Fjordsideme antages at være lodrette og parallelle.
d. Fjordvandet forudsættes at være homogent. Vandet flyder med jævn og samme
hastighed,'^ overalt i fjorden udenfor tærskelområdet.
e. Havoverfladens fordybning over tærsklen har samme form som tærsklen selv.
f. Luftrykket over fjorden er det samme.
g. Fjordmodellen benytter sig af Bernoullis ligning og det antages, at der kan benyttes
førsteordens approksimationer idet b » H » h.
Opgavespørgsmål:
1. Opstil dit eget koordinatsystem, indfør en passende notation til beskrivelse af
fjordstrømningen og begrand valget.
2. Opstil de nødvendige fjordmodelligninger.
3. Beregn vandtransporten, Q i inderfjorden samt over tærskeltoppen.
4. Beregn den mindst mulige vandstand i fjorden.
5. Beregn vandtrykket et vilkårligt sted på tærskelskråningen samt lige over
tærskeltoppen.
6. Beregn vertikalhastighedeme lige over den flade fjordbund, på et vilkårligt sted på
tærskelskråningen samt lige oven på tærskel toppen.
Opgavehjælp til opgave 1:
Der kan indtænkes strømlinier i opgaven ved henholdsvis havoverfladen og havbunden, men
brug af strømlinier er ikke en nødvendig foradsætning for at løse opgaven.

Antag en simpel havmodel med plan strømning og konstant coriolisparameter, f, hvor en
vandpartikel foretager inertibevægelser i et homogent, gnidningsfrit hav uden påvirkning af
horisontale naturkræfter.
Opgavespørgsmål:
1. Opstil dit eget koordinatsystem for denne model og begrund valget.
2. Opstil de relevante modelligninger med passende notation.
3. Beregn vandpartiklens acceleration samt dens banekurvekarakteristika udtrykt ved
dens hastighed, v og f.
Det antages herefter at vandpartiklen advekteres mod nord med den konstante hastighed, LL
4. Beregn vandpartiklens acceleration samt dens banekurvekarakteristika udtrykt ved
opgivne størrelser.
5. Beregn vandpartiklens forflytning over tidsrammet T.

Trykkræfter i havet skyldes primært forskelle i temperatur, saltkoncentration,
vandspejlsniveau og lufttryk. Der skelnes mellem de såkaldte barotrope og barokline tilfælde.
Opgavespørgsmål:
1. Redegør for disse 2 tilfælde og redegør for de indbyrdes forskelle.
2. Beskriv og diskuter de fysiske forudsætninger (og dermed begrænsninger) i den
geostrofiske model.
Herefter antages en barotrop geostrofisk model, hvor havoverfladen har en konstant
hældning, a på tværs af breddegraden, (p = 60° - (dvs. ingen hældning langs cp = eo'^).
3. Beregn havvandets hastighed ved havoverfladen samt ved havbunden, der ligger
horisontalt.
Oplysninger:
Jorden foretager en hel omdrejning på 24 timer og dens maksimale omkreds er 40.000 km.
Vandybden er 100 m.
Tyngdeaccelerationen kan sættes til 10 m s"^
Havvandets massefylde kan sættes til 1000 kg m"^
Havvandets massefylde antages herefter at stige med 0.1 % pr breddegrad mod nord regnet fra
(p = 60°.
4. Beregn den samlede geostrofiske bundhastighed, v på breddegraden 61° N med brug
af de givne oplysninger.

Skriftlig eksamen i Oceanografi 2 på 1. del
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tiUadt.
Den 5. januar 2001
Opgave 1
I Storebælt er målt en vandstandsforskel på 9 cm mellem Korsør og Nyborg med størst
vandstand i Korsør. Grænsefladen mellem øvre og nedre lag har en hældning på 35 cm/km.
Massefylden i øvre lag er 1007,5 kg/m^ og i nedre lag 1023,2 kg/m^. Strømmen i nedre lag er
i retning mod Østersøen.
Afstanden fra Nyborg til Korsør sættes til 20 km.
a) Hvilken dybde har grænsefladen i Korsør når den i Nyborg ligger på 11 meters dybde.
b) Beregn strømmens hastighed og retning i øvre lag. Korsør og Nyborg ligger på
breddegraden 55° N,
c) Mellem de to nævnte byer antages dybden til bunden at være konstant 33 m. Beregn
størrelsen af ferskvandstilførelsen til Østersøen under antagelse af at 80% af
vandudvekslingen mellem Østersøen og Kattegat foregår gennem Storebælt.
Opgave 2
Oplysning: Der skal antages stationær tilstand.
Et skib danner under sejladsen en gruppe af bølger - alle med perioden 5 sekunder som
registreres af en bølgemåler udlagt 5 km fra skibet.
Beregn hvor lang tid der går fra bølgedannelsen ved skibet til denne registreres på
bølgemåleren i tilfældene:
a) vanddybde, h
b) lille vanddybde, h, hvor h er konstant og kendt.
Ved en nærliggende havn danner skibet stående bølger med lille bølgelængde taget i forhold
til vanddybden i havnen.
c) angiv gruppehastigheden for disse havnebølger
d) angiv vandpartiklemes bevægelse under disse havnebølger på et vilkårligt sted og
dybde.
Opgave 3
Et havbassin på breddegraden 45° N begrænses i øst af en lang lige nord-sydgående kyst.
Dybden til havbunden er overalt 400 m. Massefylden er 1026 kg/m^ i hele vandsøjlen.

Vinden har blæst fra nord i tilstrækkelig lang tid til at stationær tilstand kan antages.
Vindstyrken er 12 m/s og vindspændingen er givet ved:
- P. • C, • W,^
hvor Pa = 1,25 kg/m^ er luftens massefylde og W^ er vindhastigheden. C^j er 1,3 • 10"^.
Der ses i første omgang i spørgsmålene a), b) og c) bort fra tilstedeværelsen af kysten:
a) Hvilken retning har nettovandtransporten?
b) Angiv størrelsen af nettomassetransporten pr. længdeenhed.
c) Hvor stor er tykkelsen D af ekmanlaget, når den turbulente friktionskoefficient sættes
til 5 kg m"^ s"^
d) Beskriv herefter strømningerne tæt ved kystzonen, for det tilfælde at det øvre og det
nedre ekmanlag er lige tykke, samt at der er udviklet en stationær kystparallel strøm
gående mod syd mellem de 2 ekmanlag.
Til sidst ønskes nedenstående spørgsmål besvaret:
Hvilken størrelse har den horisontale massetransport langs med kysten:
e) I de øverste 10 m?
f) I det øverste ekmanlag?
g) I hele vandsøjlen mellem de to ekmanlag?
h) I hele vandsøjlen?

Oplysninger til eksamenssættet
e ax
fe ^ cos(bx)dx = a cos(bx) + b sin(bx) + const.
e ^
fe sin(bx)dx = [a sin(bx) - b cos(bx) + const.
Jl Jl
cos (mz + 7c/4) = cos(mz) - sin(mz) ^
sin (mz + 7t/4) - sin(mz)-i— + cos(mz)
2 2f

HCØTryk • København