download as PDF [30.0MB] - Niels Bohr Institutet - Københavns ...
download as PDF [30.0MB] - Niels Bohr Institutet - Københavns ...
download as PDF [30.0MB] - Niels Bohr Institutet - Københavns ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Københavns</strong> Universitet<br />
Geofysisk Afdeling<br />
Opgavesamling<br />
I<br />
Fysisk Oceanografi<br />
N. K. Højerslev, 2001
Forord til opgavesamlingen<br />
Opgavesamlingen indeholder i al væsentlighed samtlige opgaver der er givet på faget Fysisk<br />
Oceanografi til både eksamen og regneøvelser i hele fagets eksistensperiode på <strong>Københavns</strong><br />
Universitet. 1 fagets første år fandtes der ikke opgaver af den art som her er lagt frem i opgavesamlingen.<br />
Eksamen dengang var en stor skriftlig eksamen uden hjælpemidler på 1. del, hvilket<br />
svarer til bachelor-delen i dag.<br />
Indførelsen af den såkaldte Fysik-73 fik implikationer for Fysisk Oceanografi, fordi alle de<br />
geofysiske fag indgik som et forsøgt integreret hele af Fysik 3, der udgjorde fysikmodulet på 3.<br />
studieår. Første kursus i Fysisk Oceanografi blev således givet af undertegnede, N. K. Højerslev på<br />
det daværende H. C. Ørsted Institut i vinteren 1975-76. Med Fysik-73 blev der skabt et behov for<br />
opgaver i Fysisk Oceanografi, der egnede sig den den skriftlige eksamensform og tradition på<br />
fysikstudiet på <strong>Københavns</strong> Universitet. Det viste sig snart, at det på det nærmeste ikke var til at<br />
finde egnede opgaver om nogen, der beskæftigede sig med Fysisk Oceanografi. Forholdene er ikke<br />
blevet væsentligt bedret i de senere år, hvis man studerer udbuddene i købelitteraturen.<br />
Denne 2001- udgave af opgavesamlingen er rettet, forbedret og stærkt udvidet i forhold til 1991versionen.<br />
Rejst kritik og forslag tU rettelser er der overalt taget hensyn tU helt ned i mindste<br />
detalje.<br />
Opgavesamlingen er disponeret, så den lay-out-mæssigt ligger tæt op ad 1991-versionen. Dog<br />
indledes den med en formelsamling, der har vist sig at være nyttig ved både regneøvelserne og til<br />
den skriftlige eksamen. Havvandets tilstandsligning med ledsagende kommentarer og en kort<br />
oversigt over solsystemet afslutter de indledende sider.<br />
Herefter følger 3 upaginerede sider med enkle introduktionsopgaver, som de studerende kan checke<br />
deres forkundskaber på. Har man vanskeligheder med at regne opgaverne er det klogt at repetere<br />
pensum fra både Mekanisk Fysik og den grundlæggende Fysiske Oceanografi.<br />
De efterfølgende paginerede sider p. 1 - 75 udgør hele 1991-versionen renset for de få småfejl og<br />
unøjagtigheder man er stødt ind i fra 1991 - 2001. Den foreliggende opgavesamling afsluttes siden<br />
med stillede eksamensopgaver fra 1985 og frem til 2001 i Fysisk Oceanografi. Disse eksamensopgaver<br />
er ordnet i kronologisk rækkefølge men uden sideangivelse. Eksamensopgavesamiingen er<br />
næppe helt komplet, fordi ingen tilsyneladende har ansvar eller pligt til at arkivere eksamensopgaver<br />
i en længere årrække, men der er lagt et betydeligt arbejde i at opstøve gamle eksamenssæt.<br />
Bemærk til sidst at eksaminernes navn, og til en vis grad form samt omfang i Fysisk Oceanografi<br />
på "bachelor" eller "1 .del" har ændret sig gennem årene men at det fælles for dem alle gælder, at<br />
brug af alle sædvanlige hjælpemidler var og er tilladt.<br />
Bidragyderne ydende meget forskellige bidrag til 1991-versionen citeres nedenfor alfabetisk efter<br />
hukommelsen: E. Buch. C. Hansen, T. Schelde Jacobsen, T. Jensen, M. Mork, K. Nygaard samt<br />
undertegnede. Den foreliggende opgavesamling 2001, som står solidt på skuldrene af 1991versionen,<br />
må jeg derimod påtage mig ansvaret for.<br />
<strong>Niels</strong> Kristian Højerslev,<br />
Geofysisk Afdeling, 13/2, 2001.
1) Etoan_strøm:<br />
overfladen:<br />
= f A ^<br />
3z z az<br />
'v^ nordlige halvkugle.<br />
Ekman dybde: D = TT — { er ca, 50 m)<br />
overflade strøm V = •• , m<strong>as</strong>setransport: M = ^<br />
Nedre Ekman lag (geostrofisk strøm i x-aksenretningen)<br />
M - o ^ g<br />
\ - P ^ W<br />
M _ ( S-JL« D' ^ g X<br />
M^ - p i - )<br />
a er overfladehældningen, d vanddybden, D' nedre Ekmanlags tykkelse.<br />
2) Geostrofisk__balance:<br />
p 3x<br />
f u = -r^<br />
P 3y<br />
® p 3z<br />
sammenhæng med overfladehældning:<br />
Az ^ o f<br />
2 - lag:<br />
Marg. ules ligning :<br />
f Pl^l -<br />
tg Y = ~<br />
P-<br />
1<br />
- P.<br />
^2<br />
3) Inertibevægelse:<br />
ligning: — + ? x v = O<br />
• m Stt<br />
periode: T^ = ~<br />
radius: r = c/f, hvor c er baneh<strong>as</strong>tigheden.
H) Bernou: llij (potential strømning)<br />
J + 2. + g 2: = konstant langs en strømlinje,<br />
P<br />
(gælder også for rotation)<br />
5) i^udsens_ teorem:<br />
(1 - A^ u^ + Q F = (1 - ^2/Sp A^ Ug<br />
Mærkede størrelser er bundlag, F overfladeareal, Q netto vandtilførsel<br />
af ferskvand. Index 1 og 2 henviser til to vertikale snit, A er arealet<br />
af åbningen.<br />
For en åbning haves:<br />
Q F = A u(l - S/S«)<br />
6) Bølger:<br />
F<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed : ^f ~ ^ ~ ^<br />
Gruppeh<strong>as</strong>tighed = ^g ~<br />
7) Overflade bølger:<br />
korte bølger X « H, H er vanddybden:<br />
w = /g K<br />
c^ = vAF<br />
f K<br />
Cg = I Vg/K = ^f<br />
lange bølger:<br />
'f<br />
il) = j^g H IC<br />
Stående bølger (Seiche)<br />
Merians formel :<br />
T n n /g H<br />
Kelvin_bølger:<br />
Cf =<br />
Amplitude: A = Z^ e~ ^^<br />
strømamplitude A<br />
(superposition af to Kelvin bølger)<br />
Amphidromisk punkt: X/^^ fra endevæg.
f f<br />
overfladehævning:n = 2 z (cosh— y sin kx sin ut - sin h — y cos kx cos oit)<br />
10) Interne bølger:<br />
c- = / g'<br />
f K ^2<br />
h^, hg er tykkelse af hhv øvre og nedre lag<br />
Po - P-<br />
'2<br />
= g —-<br />
for hg» h^ : c^ = /g' h^<br />
for h^ »hg : c^ = /g' hg<br />
11) Hvirvelbevægelse:<br />
overfladehældning:<br />
f ^2<br />
tg 6 = ~ c + — , hvor afstand fra centret og c er h<strong>as</strong>tigheden hvormed<br />
g rg<br />
hvirvlen roterer.<br />
Hældning af grænseflade:<br />
2 2<br />
p Cp - p. c p„ c - p c<br />
® P2 " Pi P2 Pi<br />
KOUSTAUTER OG STØRRELSER:<br />
Jordradius: R. = 6371.22 km<br />
J<br />
Jordrotation= 7-292 •<br />
Coriolisparameter: f = 2 ii sin ij) = I.U58 • 10 ^ s ^ • sin<br />
f (U5°) = 1.03 -10"^ s"""<br />
- df 2 Q cos 4> o o«n . ir.~11 a "1 "1<br />
B = —<br />
ay<br />
= ^<br />
K.<br />
- 2.289 10 cos (}> m s<br />
tJ<br />
3 = 1.619 •10"''^ m"^ s"''<br />
p<br />
Tyngdeacceleration= 9.81 xa/s .
The One Atmosphere International Equation<br />
of State of Seavater, 1980<br />
Definition<br />
The density (p, kg of seavater at one standard atmosphere<br />
(p = o) is to be computed from the practical salinity (S) and the<br />
temperature (t, "^C) with the following equation :<br />
p(S,t,o) - Py + 93 X 10-^ - A.0899 x 10"^ t<br />
+ 7.6438 X t^ - 8.2A67 x lO"'' t^ + 5.3875 x 10'^<br />
+(-5.72A 66 X 10~3 + 1.0227 x 10'^ t - 1.65A6 x 10"^<br />
+ A.831A X S^<br />
where p^, the density of the Standard Mean Ocean Water (SHOW) taken<br />
<strong>as</strong> pure water reference, is given by<br />
p^ » 999.842 594 + 6.793 952 x lO'^ t - 9.095 290 x 10~3 t^<br />
+ 1.001 685 X lO""* t3 - 1.120 083 x IQ-^ t"^<br />
+ 6.536 332 x lO'^ t^<br />
The one atmosphere International Equation of State of Seawater,<br />
1980 is valid for practical salinity from 0 to A2 and temperature<br />
from -2 to AO®C.
Units and nomenclature in oceano^aphy<br />
Dooley drew the WG's attention to the confusion and uncertainty in the community about units and nomenclature in<br />
connection with salinity and density values. He pointed out that this confusion should be unnecessary <strong>as</strong> clear advice<br />
w<strong>as</strong> provided some time ago by the lAPSO/SUN group on units (UNESCO, 1985, p 74, UNESCO Technical Papers in<br />
Marine Science, 45, "The International System of Units (SI) in Oceanography) and by JPOTS (UNESCO 1991,<br />
"Processing of Océanographie Station Data"). Both of these groups were co-sponsored by ICES, and ICES is therefore<br />
obligated to ensure that the advice given is heeded.<br />
With regard to salinity it w<strong>as</strong> noted that salinity became a dimensionless unit with the introduction of PSS-78 (Practical<br />
Salinity Scale 1978) . Declaration of units in many published and unpublished texts is however commonplace (e.g.,<br />
PSU, psu, ppt,%o), but it is incorrect to do so. If any description of the given salinity values is required then the values<br />
may be followed by (FSS). Nothing more is necessary, and declaring nothing is to be preferred.<br />
With regard to density, both SUN and JPOTS advise that use of the symbol o must be discontinued since EOS-80<br />
(Equation of State 1980) yield density values in units of kgW rather than the dimensionless quantity of a. The JPOTS<br />
book, ppI6-17, argues <strong>as</strong> follows:<br />
"Knudsen's equation of state at atmospheric pressure is expressed through the specific gravity anomaly ('sigma-t')<br />
SOLEN<br />
Radius<br />
Angulær radius, set fra Jorden<br />
Overflade<br />
Volumen<br />
M<strong>as</strong>se<br />
Effektiv temperatur<br />
Temperatur i centrum<br />
Udstråling<br />
JORDEN<br />
Ækvatorradius<br />
Polarradius<br />
Jordbanens radius, middel<br />
maksimum (Apheliet, 21. juni)<br />
minimum (Perheliet, 22. dec.)<br />
Jordkvadranten langs meridianerne<br />
Jordkvadranten langs ækvator<br />
Overflade<br />
Volumen<br />
M<strong>as</strong>se<br />
M<strong>as</strong>sefylde (gennemsnitlig)<br />
Vinkelh<strong>as</strong>tighed<br />
Land areal<br />
Ocean areal<br />
Ocean volumen<br />
Atmosfærens m<strong>as</strong>se<br />
Geomagnetisk nordpol<br />
Geomagnetisk sydpol<br />
MÅNEN.<br />
Radius<br />
Angulær radius<br />
M<strong>as</strong>se<br />
M<strong>as</strong>sefylde<br />
Afstand jord-måne,<br />
middel<br />
maximum<br />
minimum<br />
SOLSYSTEMET.<br />
01,738 • 10^ m<br />
15'33"<br />
7,35 • kg<br />
3340 kg/m^<br />
3,8440 • 10® m<br />
4,055 • 10® m<br />
3,633 • 10® m<br />
6,96 • 10» m<br />
16'<br />
6,09 •<br />
1,41 • 10" m^<br />
1,99 • 10^0 kg<br />
5760 K<br />
13,6 • 10® K<br />
3,86 • 10^6 W<br />
6378160 m<br />
6356912 m<br />
1,50 • 10^^ m<br />
1.521 • 10^^ m<br />
1,471 • 10" m<br />
10002288 m<br />
10019148 m<br />
5,101 • m^<br />
1,083 • 102'<br />
5,976 • 10^^ kg<br />
5.522 • 10^ kg/m^<br />
7,292115 • 10-^ rad/s<br />
1,49 • 10'^ m^<br />
3,61 • 10'^ m^<br />
1,37- 10^« m^<br />
5,27 • lO's kg<br />
76''N, lorw<br />
67°S, I44°0<br />
Månebanens excentricitet 0,055<br />
Baneplanens vinkel med<br />
ekliptik<strong>as</strong> plan 5''8'43"<br />
Siderisk måned 27,322 d<br />
Synodisk måned 29,531 d
Knudsens relationer:<br />
Qi + Qo = Q2 ; Qo = Qo<strong>as</strong> = o)<br />
QIS, = Q2S2<br />
antages brugbare og tilførslerne er skitseret ovenfor<br />
Antag p = p (S, T) - se p. 25<br />
= 4-0.216-S<br />
Tf^, - - 0.054 - S [ "C<br />
Oj = 0.80-S-0.18-T<br />
Angiv situationer (værdier) for S, T hvor den viste strømning kan finde sted.
Opgave i tryk og tyngde<br />
Antag et homogent inkompressibelt hav med m<strong>as</strong>sefylden pi og hvor havoverfladen er en geoideflade, fordi<br />
havet er fuldstændig i ro.<br />
1) Opskriv de 3 Navier - Stokes ligninger i det sædvanlige kartesiske koordinatsystem.<br />
En m<strong>as</strong>siv homogen og inkompressibel kugle med radius R og m<strong>as</strong>sefylden p2 sænkes ned til dybden<br />
Z- - D, hvor dybden D er angivet som afstanden fra havoverflade til kuglecentrum.<br />
2) Angiv med bmg af Archimedes Sætning nettokraften på kuglen.<br />
Herefter beregnes de infinitesimale trykkræfter på kuglens infinitesimale arealelementer. Her skal benyttes<br />
kuglekoordinater.<br />
3) Beregn det samlede tryk på kuglen. ( Her skal benyttes integration i kombination med Navier - Stokes<br />
ligninger ).<br />
4) Definer og diskuterer tyngdekraften for en homogen jord.<br />
5) Beregn den samlede t3mgdekraft på kuglen.<br />
6) Med anvendelse af resultaterne i spørgsmål 3) og 5) angives nettokraften på kuglen ( weight in water<br />
according to Pickard & Emery ).<br />
7) Læreren afslutter opgaven med at introducere begrebeme opdrift og reduceret tyngde, og man diskuterer<br />
effekteme af de mulige kombinationer af pi og p2 's indbyrdes størrelsesforiiold.<br />
Strømkorsberegning i Pickard & Emery p. 108.<br />
Antag at det strømmende havvand giver anledning til et uel<strong>as</strong>tisk stød, når det træffer strømkorset.<br />
1) Beregn strømh<strong>as</strong>tigheden som en funktion af wirevinkel, strømkorsareal og vægten i vand (weight in<br />
water).<br />
Antag herefter at det strømmende havvand giver anledning til et el<strong>as</strong>tisk stød, når det træffer strømkorset.<br />
2) Beregn strømh<strong>as</strong>tigheden som en fimktion af wire vinkel, strønikorsareal og vægten i vand.
opgave i potentiel energi<br />
Antag et hav med dybden H. Havet består af et homogent overfladelag med tykkelsen h og m<strong>as</strong>sefylden pi<br />
samt et nedre lag med tykkelsen H -h og m<strong>as</strong>sefylden p2.<br />
1) Beregn hele vandsøjlens potentielle energi.<br />
En storm foranlediger en fuldstændig opblandmg (homogenisering ) af de to vandm<strong>as</strong>ser,<br />
2) Beregn hele vandsøjlens potentielle energi.<br />
3) Beregn forskellen i potentiel energi før og efter stormen.<br />
4) Typiske m<strong>as</strong>sefylder i danske havområder ligger omkring 1015 kg/m-3 med en variation til hver side på<br />
omkring 1%. Diskuter ud fra dette svaret i spørgsmål 3).<br />
Antag herefter et andet havområde med dybden H, hvor m<strong>as</strong>sefylden vokser lineært med vandybden<br />
begyndende med pi ved havoverfladen og sluttende med p2 ved havbunden.<br />
5) Beregn hele vandsøj lens potentielle energi.<br />
Havet opblandes herefter fuldstændigt.<br />
6) Beregn hele vandsøjlens potentielle energi.<br />
7) Beregn forskellen i potentiel energi før og efter opblandingen.<br />
8) Diskuter svaret i spørgsmål 7) set i lyset af diskussionen i 4),<br />
Typiske værdier forh ligger mellem 1 m og 50 m og tilsvarende for H mellem 10 m og 500 m.
ysisk Oceanografi, 1. del<br />
Opgave s amli ng<br />
N.K. Hjzijerslev<br />
Opgave 1 Sommer TT Fysik 3 Vægt:<br />
Havvandets m<strong>as</strong>sefylde p er en funktion af salinitet S, temperatur T samt tryk<br />
p: p = p{S, T, p). For mange praktiske formål gælder relationen<br />
1) T = (U - 0,216 S)°C<br />
' max '<br />
hvor T er defineret ved at den partielle afledede<br />
max<br />
IP<br />
3T<br />
= O for T = T max<br />
Havvandets frysepunkt som funktion af S kan tilnærmet skrives :<br />
2) T^^^ = -0,05U S °C<br />
Vi "betragter nu en lang vintersituation (f.eks. I962/63) i danske farvande og<br />
antager, at isdannelse på havoverfladen i kystnære områder har fundet sted.<br />
a) Begrund hvorvidt m<strong>as</strong>sefyldens trykafhængighed er væsentlig for<br />
problemlosninger i vore farvande<br />
Idet vi ser bort fra horisontal advektion,,spørges der videre:<br />
b) Hvilket udseende vil den vertikale temperaturfordeling (fra havisens<br />
underside til havbunden) have i tilfældet<br />
i) . Kj^ge Bugt, soul antages uden haloklin<br />
ii) Nordsizien<br />
Man bedes give en omtrentlig overfladetemperatur Q,g bundtemperatur i<br />
hvert af de to tilfælde.<br />
Salinitet en for Køge Bugt og Nordsøen antages at være henholdsvis is'^/oo og
Over liordsøen sætter det ind med kraftig vestenvind i ca. en uge.<br />
c) Hvorledes vil denne kunne påvirke den vertikale temperaturfordeling<br />
i Køge Bugt?<br />
Opgave 2 (Studiespørgsmål)<br />
Storskala-cirkulationen i verdenshavet kan kvalitativt beskrives gennem p<strong>as</strong>-<br />
sende valg af koordinatsystem, standardapproximationer og skala-analyse.<br />
a) Angiv de sædvanlige standardapproximationer.<br />
b) Beskriv princippet i skala-analysen.<br />
Den indre del af oceanerne på mellembredder kl<strong>as</strong>sificeres i tre dybderegioner<br />
ud fra disses dynamik.<br />
c) Angiv navnene på disse tre regioner.<br />
d) Hvilke kræfter dominerer i hver af de tre regioner?<br />
Opgave 3<br />
a) Definér varmeledningsevne og udled varmeledningsligningen for endimen-<br />
sional varmetransport.<br />
b) Hvad forstås ved den termiske diffusivitet K^ ?<br />
c) Vis at<br />
T = T + a e sin ( wt + 3z) 5 z < O<br />
o o<br />
er løsning til den endimensionale varmeledningsligning samt at relationen<br />
mellem v og K^ er givet ved w = 2 K^<br />
Ved målinger i en dyb fjord med stillestående vand finder man, at den årlige<br />
temperaturgang i overfladen har en tilnærmet sinusformet tidsvariation. Desuden<br />
viser målinger, at temperaturen i 50 m dybde når maksimiim 90 dage senere end på<br />
10 m dybde.
d) Hvor stor bliver K^, som antages konstant?<br />
e) Hvor stor årlig temperaturvariation finder man på 5, 10, 50 og 100 m<br />
dybde, når overfladetemparaturens årlige variation er 20°C?<br />
f) Hvor stor daglig variation findes på for hver grad daglig lufttempe-<br />
ratur variation?<br />
Opgave k<br />
Givet et i realiteten lukket b<strong>as</strong>sin (f.eks. Limfjorden, Roskilde Fjord o.l.)<br />
med konstant dy^de D, som indeholder en homogen, stillestående vandm<strong>as</strong>se med<br />
m<strong>as</strong>sefylden p. På grund af en extrem lang frostperiode fryser b<strong>as</strong>sinet til.<br />
Isens tykkelse og m<strong>as</strong>sefylde kaldes henholdsvis h og p. .<br />
xs<br />
Spørgsmål:<br />
a) Hvad bliver afstanden fra isens underkant til bunden?<br />
m<strong>as</strong>sefylde<br />
Havvandets maximale / er en funktion af temperaturen T (grader Celcius)<br />
og saliniteten S (pro mille), således at der gælder:<br />
(|g) = O for T = T<br />
dT max<br />
o<br />
T - h - 0,2l6 • s<br />
max<br />
Havvandets fiysepunkt tilnærmet skrives:<br />
T^ = -0,05U • S<br />
frys<br />
På et tidspunkt forandrer istykkelsen sig ikke, dvs. en stationær tilstand er<br />
indtruffet. M<strong>as</strong>sefylden ved bunden kan antages maksimal. På denne baggrund spørges der<br />
videre:<br />
b) Angiv istykkelsen ved varmediffusionskoefficienterne og<br />
vandets salinitet S, luftens temperatur T , dybden D samt p og p. .<br />
-Luit IS<br />
c) Ved hvilke saliniteter indtræffer bundfrysning?<br />
d) Angiv isens tykkelse når<br />
-lu« =<br />
fortsættes
s = 10 °/oo<br />
•^vand = 500 J-m"^s"^.grad<br />
-1 -1 -1<br />
K- - 5 j'm 'S 'grad<br />
3 3<br />
P-<br />
IL S<br />
= 0,9 g/cm , P = 1 g/cm<br />
D = 10 m<br />
Opgave 5<br />
En kommune ved en dansk fjord leder spildevandet direkte ud gennem mundingen<br />
af et kloakrør, som "befinder sig i midten af fjorden. Dette har ledt til en<br />
del gener for fiskeriet samt for turistvirksomheden i området. En lokal miljø-<br />
gruppe har sendt en klage herover til Miljøministeriet, som har videresendt<br />
samme til Havforureningslaboratoriet, hvis opgave herefter bliver at undersøge<br />
spildevandsforholdene i fjorden. Man foretager feltmålinger af forskellig art<br />
og opstiller på grundlag af disse en fjordmodel, der indeholder følgende for-<br />
enklede entagelser:<br />
a) Fjorden har et rektangulært tværsnit i hele dens længde,og vanddybden<br />
er overalt den samme.<br />
b) For ethvert sted i fjorden gælder det, at spildevandskoncentrationen<br />
ikke ændrer sig med tiden.<br />
c) Strømmen i fjorden er overalt den samme og udadrettet.<br />
d) Den horisontale advektion langs fjorden dominerer fuldstændig den hori-<br />
sontale diffusion i samme retning.<br />
e) Den vertikale blandingskoefficient K afhænger ikke af tSybden.<br />
z<br />
f) Spildevandets koncentration ændrer sig ikke ved biologisk eller lignen-<br />
den aktivitet, og sedimentation forekommmer ikke (konservativ egenskab).<br />
g) Spildevandet udledes med jævn h<strong>as</strong>tighed; koncentrationen af spildevand<br />
ved bunden, hvor udslippet foretages, er den samme i hele fjordens<br />
bredde og lig<br />
h) Spildevandskoncentrationen aftager jævnt fra bunden til overfladen, hvor<br />
den antages lig nul.<br />
Vi indfører et koordinatsystem, som vist på nedenstående figur. Koordinatsyste-<br />
mets begyndelsespunkt falder sammen med kloakrørets munding.<br />
Følgende spørgsmål bedes besvaret:<br />
1) Angiv de uafhængige variable til spildevandskoncentrationen q.
2) Diskutér den for problemet relevante diffusionsligning med tilhørende<br />
randbetingelser.<br />
Antag herefter, at spildevandskoncentrationen q kan udtrykkes som et enkelt<br />
produkt, der kun indeholder et trigonometrisk led med f<strong>as</strong>e lig O og et eksponent ialled,<br />
hver i én variabel.<br />
3) Find q udtrykt ved henholdsvis fjordens dybde d, strømmen i fjorden,<br />
blandingskoefficient en K og spildevandskoncentrationen ved kloakrøret.<br />
z<br />
Hvor mange meter skal man ned i fjordvandet for at finde en spildevands-<br />
koncentration, som er 50^ af koncentrationen ved bunden, der ligger på<br />
30 m.<br />
5) Hvor mange kilometer skal man gå langs med strømmen (nedstrøms) for at<br />
finde en spildevandskoncentration, som er 50^ af koncentrationen ved<br />
kloakrøret.<br />
Taleksempel: K<br />
2<br />
= 1 cm /sek, og strømh<strong>as</strong>tigheden er 10 cm/sek.<br />
6) Modellens brugbarhed ønskes diskuteret;<br />
Er modellen realistisk ved udslipningsstedet?<br />
Er modellen realistisk langt fra samme?<br />
Fjordmodellen søges forbedret ved, at man i overensstemmelse med de faktiske<br />
forhold antager:<br />
j) Spildevandet udledes gennem en rørledning beliggende midt i fjorden, og<br />
koncentrationen på stedet er Q^ = • b, hvor b er fjordens bredde.<br />
k) Tværgående horisontal diffusion forekommer, og blandingskoefficienten K<br />
er konstant.<br />
l) Koncentrationen af spildevand antages lig nul ved fjordbredden.<br />
7) Angiv de Uafhængige variable til spildevandskoncentrationen q.<br />
8) Diskutér den for problemet relevante diffusionsligning med tilhørende<br />
randbetingelser.<br />
9) Hvorledes kan koncentrationsfordelingen af spildevand i fjorden angives
som følge af de ændrede antagelser?<br />
10) Hvor mange meter skal man ned i fjordvandet for at finde en spildevands-<br />
koncentration, som er 50^ af koncentrationen ved bunden? Hvor mange<br />
kilometer skal man gå nedstrøms i midten af fjorden på 10 meters dybde<br />
for at finde en spildevandskoncentration, som er af koncentrationen<br />
ved kloakrøret?<br />
Hvor stor er spildevandskoncentrationen på 10 meters dybde 30 meter<br />
fra kysten i forhold til koncentrationen på samme dybde midtfjords<br />
Hvor langt skal man gå nedstrøms fra kloakudslippet langs med bunden i<br />
midten af fjorden for at finde den halve koncentration?<br />
Taleksempel: K /K = 10000, og fjordens bredde er 1 kilometer,<br />
X s<br />
Fjordmodellen søges yderligere forbedret, idet man antager, at følgende finder<br />
sted: i) Sedimentation af en vis procentdel af udslippet, ii) bakteriel ned-<br />
brydning af samme i hele vandsøjlen samt iii) forbrug af næringssalte i kloak-<br />
vandet gennem planktonalgers fotosyntese i de øvre vandm<strong>as</strong>ser. Igen bliver det<br />
nødvendigt at indføre forenklede antagelser:<br />
m) Det sedimenterede materiale har overalt den samme sammensætning, en kugleformet<br />
geometri samt en m<strong>as</strong>sefylde p , der er større end vandets m<strong>as</strong>sefylde p . Antag<br />
w<br />
en konstant faldh<strong>as</strong>tighed og at gnidning s kraft en er proportional med denne.<br />
Proportionalkonstanten G er givet ved Stokes lov: G=6 ir n r. Desuden antages<br />
balance mellem den vertikale advektion og vertikale diffusion af spildevandet.<br />
n) Den bakterielle nedbrydning antages uafhængig af temperatur, saltholdig-<br />
hed og vandets iltindhold samt værende proportional med spildevands-<br />
koncentrationen .<br />
o) Fotosyntesen er proportional med dagslys energi en, som antages at aftage<br />
eksponentielt fra overfladen til bunden. Fotosyntese under den dybde,<br />
hvor Vfo af dagslyset ved overfladen haves, kan ignoreres. Denne dybde<br />
er i vort tilfælde 12 meter.<br />
p) Materialesaramensætningen i spildevandet er den samme for alle forekommen-<br />
de koncentrationer.<br />
11) Foesøg nu at løse den for problemet relevante diffusionsligning, som<br />
tillader en beskrivelse af spildevandsforholdene i fjorden.<br />
12) Er modellen blevet væsentlig bedre end den oprindelige og stærkt
forenklede?<br />
Taleksempel; r = 3 ym, n= 0,001 Pa*s, p = 1800 kg/m^<br />
Den bakterielle nedbrydning af kloakudslip kan sættes til per døgn. Antallet<br />
9 3 .<br />
af plankton-alger er 10 per m ; middelindstralingen ved havoverfladen over 1<br />
2 ^ 2<br />
døgn er 60 watt/m , hvoraf halvdelen kan benyttes i fotosyntesen. Ved 1 watt/m<br />
producerer plankton-algerne 0,2 mg kulstof per døgn, og for hvert mg produceret<br />
kulstof optages 3^ af spildevandet i algerne.<br />
13) Hvorden kan modellen forbedres rent matematisk?<br />
iH) Diskutér antagelserne a), b) og c).<br />
15) Hvilke parametre foruden de tidligere nævnte kunne man tænke sig, der<br />
skulle indgå i vor fjordmodel?<br />
16) Finder man, at en udeladelse af bemeldte parametre under spørgsmål 15<br />
forringer vor fjordmodel væsentligt?<br />
A Z<br />
/ i o,o,o ^<br />
. o.o)
Fra de hydrodynamiske ligninger kan man udlede ligningen:<br />
^ ( V ^ v ) - f - f v V = o<br />
Po ^^ ^<br />
hvor er den vertikale middelm<strong>as</strong>sefyldegradient < O<br />
a) Under hvilke omstændigheder er denne ligning gyldig?<br />
h) Hvilken type "bevægelse repræsenterer løsningen af denne ligning?<br />
Opgave T<br />
Over et meget stort og meget dybt havområde med homogent vand har i lang tid<br />
blæst en konstant vind fra sydvest. Ingen horizontale tiykgradiehter fore-<br />
kommer, og turbulente friktionskoefficient, A , antages konstant.<br />
a) Opstil de bevægelsesligninger og de randbetingelser, som ifølge Ekman<br />
gælder i områdets centrale dele.<br />
b) Hvilke generelle egenskaber har den funktion, som beskriver den af<br />
vinden genererede strøm som funktion af dybden?<br />
c) Hvad forstås ved "friktionsdybden"?<br />
d) I 25 m dybde måles en konstant strøm = 3 cm/s i sydlig retning. Bestem<br />
overfladestrømmens retning og fart.<br />
e) Beregn hvirvelviskositeten under forudsætning af, at inertiperioden<br />
Tp = — - 15 h og a^ = 25,00<br />
Opgave 8 (Studiespørgsmål)<br />
N e - P A S S A T<br />
/O »Ai<br />
® ®<br />
SrtLLB<br />
o<br />
S Ä L T E ^<br />
• o ^ S ^ N<br />
- o *
De fremherskende vinde over det ækvatorielle Stille Ocean er fremstillet i<br />
figuren.<br />
a) Optegn i et skematisk meridionalt snit :<br />
1. Havoverfladens topografi<br />
2. Temperaturspringlagets beliggenhed<br />
b) Gør rede for:<br />
1. Overfladestrømme<br />
2. Eventuel tværcirkulation<br />
3. Eventuelle konvergens- og divergenszoner<br />
c) Angiv, hvor man i overfladevandet finder høje, respektivt lave vær-<br />
dier af T, S, koncentration af næringssalte og af partikler.<br />
Opgave 9 (studiespørgsmål)<br />
Redegør for Ekmans elementarstrømsystem langs en uendelig lang, lige kyst<br />
med relativt dybt vand helt ind til kysten. Det antages, at vinden blæser<br />
parallelt med kysten, og at tilstanden er stationær.<br />
Opgave 10<br />
I det centrale Stillehav ('^J30°íí) er en typisk størrelse for rotationen af vind-<br />
friktionen -T-IO"^ Pa-m"''<br />
a) Hvad er den vertikale h<strong>as</strong>tighed ved den nedre grænse af Ekmanlaget, og<br />
hvilken retning har den? Benyt sædvanlig skala-analyse.<br />
H<strong>as</strong>tighedsfeltet kan vises at være<br />
(u, v) = (V e^^ cos(mz V sin(mz +3)<br />
o o<br />
Sædvanlige randbetingelser giver<br />
du _ dv m<br />
A - ^ = T ogA — = iy for z = O, og endelig gælder at<br />
Z DZ X Z 0.2<br />
2<br />
2A m = pf.<br />
z<br />
b) Find på grimdlag af disse oplysninger den vertikale h<strong>as</strong>tighed på meget<br />
(uendelig) stor dybde.
Gør rede for, hvorfor Golfstrømmen langs Amerik<strong>as</strong> østkyst når så stor dybde<br />
sammenlignet med p<strong>as</strong> s at strømmen, (som er årsag til Golfstrømmen), men igen<br />
bliver overfladestrøm øst for Newfoundland.<br />
Opgave 12<br />
I Golfstrømmen observerer man ofte et lag, hvor den potentielle vorticitet er<br />
næsten konstant på tværs af strømmen.<br />
Den potentielle vorticitet defineres som<br />
f + il _ Iii<br />
3x 3y<br />
hvor f er Coriolis-parameteren, u, v de horisontale h<strong>as</strong>tighedskomponenter, og<br />
h er vanddybden af det pågældende lag. Tælleren, som henholdsvis består af<br />
den såkaldte planetare og relative vorticitet, kaldes den "absolutte vorticitet"<br />
Betragt et snit gennem Golfstrømmen, som vist på figuren.<br />
Her er den potentielle vorticitet z<br />
i det øvre lag konstant. Vi har<br />
et lag med dybden D(x) (D(0) = O), m<strong>as</strong>-<br />
sefylde p^, som hviler på et ned-<br />
re lag raed m<strong>as</strong>sefylden p^ der<br />
er helt i ro.<br />
Den geostrofiske balance gælder for det øvre lag.<br />
b)<br />
Udled et udtryk for dybde- og h<strong>as</strong>tighedsprofilen på tværs af strømmen,<br />
dvs. i X-retning.<br />
Lim D(X) = D for x °<br />
o<br />
Hvad bliver transporten i Golfstrømmen gennem den samme sektion, som er<br />
"3<br />
behandlet i opgave 12, når D^ = 800 m, og (p^ " p^)/p2 = 2 • 10 ?<br />
Opgave 13 (Studiespørgsmål)<br />
a) Hvor dannes de kolde, dybtgående vandm<strong>as</strong>ser i verdenshavet?<br />
b) Hvor dannes den koldeste af disse og giv en kort begrundelse herfor.
Opgave lU (studiespørgsmål)<br />
Hvilke faktorer er væsentlige for vandudvekslingen mellem<br />
a) Nordsøen og Atlanterhavet<br />
b) Kattegat og Østersøen<br />
Opgave 15<br />
a) Bestem inertiperioden i Østersøen på 56° N bredde for det gnidningsfri<br />
tilfælde.<br />
Udled de nødvendige relationer.<br />
b) Antag gnidning proportional med h<strong>as</strong>tigheden og angiv herefter inerti-<br />
perioden som ovenfor.<br />
Angiv alle forudsætninger for Knudsens teorem.<br />
Opgave l6 (studiespørgsmål)<br />
Opgave 17<br />
Saltbalancen i de arktiske havområder opretholdes hovedsageligt af vandtrans-<br />
porter gennem Færø-Shetlands Kanalen og Danmarksstrædet. Man kan antage, at<br />
salttilførslen kun sker gennem Færø-Shet lands Kanalen, og at udførslen kun<br />
sker gennem Danmarks strædet. Det indstrømmende vand har en middelsalinitet på<br />
35,3 °/oo, og saliniteten for det udstrømmende er på 32,5°/oo. Transporten<br />
gennem Færø-Shet lands Kanalen er beregnet til 3 • 10^ m^/sek.<br />
Beregn her ud fra ferskvandstilførslen i de arktiske havområder samt vandud-<br />
strømningen gennem Danmarksstrædet.<br />
Opgave l8<br />
a) Redegør for volimentransporterne ved Gibraltarstrædet.<br />
Middelsaliniteten for henholdsvis Atlanterhavs- og Middelhavs vandm<strong>as</strong> ser er<br />
36,25 °/oo "/oo og 37,75 °/oo. /oo. Volumentran Volmnentrai sporten af Atlanterhavsvandm<strong>as</strong>sen ansættes<br />
i middelværdi til 1,75 ' 10^ m^/sek.<br />
b) Beregn nettofordampningen pr. tidsenhed for Middelhavsområdet.<br />
c) Indgår Sortehavet som en del af Middelshavsområdet i ovennævnte bereg-<br />
ning?
Ferskvandstilfjzirslen er for Østersøen i+70 km /år netto- Saliniteten ved<br />
Darssertaerskien varierer stærkt, men ofte anvendes middelværdien som lT,i+ /oo<br />
for det indstrømmende og 8,T °/oo for det udstrømmende vand.<br />
Beregn ud fra dette vandudvekslingen.<br />
Opgave 20 (Studiespørgsmål)<br />
En strøm opretholdes ved, at havoverfladen falder med 1 cm/km fra øst mod vest<br />
på 60° W bredde.<br />
Beregn strømh<strong>as</strong>tighed og angiv retning for geostrofisk balance.<br />
Opgave 21<br />
I Store Bælt på linien Korsør-Slipshavn har man observeret et forhold mellem<br />
overfladens hældning og strømh<strong>as</strong>tighed på 1 • 10 ^radianer* s 'm ''.Detteeren<br />
ganske pålidelig værdi, idet en relativ nøjagtig nivellering har kunnet fore-<br />
tages via Sprogø.<br />
Sammenlign den observerede værdi med den teoretiske under forudsætning af, at<br />
vandet betragtes som homogent og strømmen som friktionsfri og stationær.<br />
Bredden er 5i+°20'.<br />
Opgave 22<br />
En repræsentativ middelværdi for den residuale (ikke tidevandspåvirkede) strøm<br />
i Dover Strædet er 3 sømil/dag med retning fra Den engelske Kanal mod Nordsøen.<br />
Bestem havoverfladens hældning (størrelse og retning) ud fra den antagelse, at<br />
atmosfærens trjrk er konstant i hele området, og at friktionen kan negligeres.<br />
Opgave 23 (Studiespørgsmål)<br />
Beregn den horizontale trykgradient i et område af Golfstrømmen, hvor strømmens bredde<br />
er lOOkm, og hvor differencen i havniveau mellem højre og venstre side er 1m.<br />
Beregn endvidere strømh<strong>as</strong>tigheden. Der antages homogent hav og at vindh<strong>as</strong>tigheden er nul,<br />
Opgave 2k<br />
Antag stationær tilstand for en gnidningsfri, inkompressibel, homogen væske i<br />
hvilken laterale og vertikale h<strong>as</strong>tighedsgradienter kan negligeres. Antag
endvidere, at jorden er kugleformet, og at tyngde accelerationen er konstant. En<br />
lukket kanal tænkes gravet langs en længdestorcirkel (over polerne), i hvilkien<br />
væsken bevæger sig med h<strong>as</strong>tigheden v.<br />
Angiv vandspejlets hældning på a) Sydpolen, b) U5" S, c) Ækvator, d) N og<br />
e) Nordpolen.<br />
-5 -1<br />
Jordens vinkelh<strong>as</strong>tighed sættes til 7,29 • 10 sek<br />
Opgave 25<br />
Vand med konstant m<strong>as</strong>sefylde strømmer i en kanal med lodrette sider og flad bund,<br />
men hvor bredden varierer som vist på figuren.<br />
beregn dybden og vandh<strong>as</strong>tigheden i indsnævringen, når vanddybden er 10 m og<br />
strømh<strong>as</strong>tigheden for indsnævringen er 1 m/s.<br />
7F ><br />
T<br />
20 m X^Q 20 m<br />
Ä ^ — sk<br />
(Man får en 3. gradsligning, så en tilnærmet løsning kan accepteres).<br />
Opgave 26<br />
I havet forekommer - ligesom i atmosfæren - ofte fronter, hvor to vandm<strong>as</strong>ser<br />
grænser op til hinanden med en meget skarp grænseflade, som er karakteriseret<br />
ved en relativ kraftig hældning i forhold til en niveauflade. Vi vil betragte<br />
et forenklet, men illustrativt eksempel:<br />
Bredde N<br />
a^ = 27,33<br />
Og = 28,13<br />
v^ = 100 cm/sek<br />
Vg = O cm/sek<br />
(hvor index 1 repræsenterer overfladelaget, som bevæger sig horisontalt og<br />
parallelt med grænsefladen).<br />
Beregn hældningen for grænselaget og havoverfladen i forhold til en niveau-<br />
flade i det friktionsløse, geostrofisk balancerede tilfælde.
Hydrografiske målinger viser, at man ud for Grønlands østkyst har en to-lags<br />
model. Det øvre lag har en densitet på 1027,1 kg/m^, og det nedre lags densi-<br />
tet er 1028,1 kg/m . Grænsefladen mellem de to lag falder mod vest med en<br />
hældning på 2,9 m/km. Bevægelsen i det øvre lag antages stationær, og det nedre<br />
lag antages at være i hvile.<br />
Beregn: a) Havoverfladens hældning i forhold til en niveauflade<br />
b) Strømh<strong>as</strong>tighed og -retning i overfladelaget.<br />
Der ses bort fra vind og friktions effekter, og atmosfærens tryk i oiarådet an-<br />
ses for at være konstant-<br />
Udled de nødvendige relationer.<br />
Opgave 28<br />
I et snit vinkelret på den svenske kyst i det nordlige Kattegat har man følgen-<br />
de observationer:<br />
Vandet er udpræget lagdelt med et meget skarpt springlag, som ved den svenske<br />
kyst har en dybde på UO m. Springlagets dybde varierer lineært med afstanden<br />
til kysten, og Uokm fra Sverige er dybden O m. Afstanden fra den danske kyst<br />
til den svenske kyst er 75 km.<br />
I det øvre lag er målt: T = 10° C, S = 2^,90 °/oo.<br />
I det nedre lag er målt: T = 5° C, S = 3^,85 °/oo.<br />
Dybden til bunden er overalt i snittet 20m + 2,5 gange dybden af springlaget. Fra<br />
andre målinger ved man, at vandet i det nedre lag bevæger sig i sydlig ret-<br />
ning, og det kan antages, at h<strong>as</strong>tighedskomponenten vinkelret mod snittet er<br />
0,0U m/sek. Envidere antages stationær, friktionsfri tilstand og vindstille.<br />
Beregn:<br />
1) H<strong>as</strong>tigheden'i det øvre lag<br />
2) Vandstandsdifferencen mellem fronten og den danske kyst<br />
. . ~h -1<br />
Coriolisparameteren = 1,23 ' 10 sek<br />
2<br />
lyngdeaccelerationen g = 9,81 m/sek<br />
Sigma - t (a,) =0,8-5 °/oo - 0,15 C<br />
"C
Antag at accelerationen, gnidningskræfter etc. i "bevægelsesretningen kan igno-<br />
reres, således at vi "blot behøver at betragte trykkraften, corioliskraften og<br />
tyngdekraften.<br />
a) Find under disse forudsætninger et udtryk for h<strong>as</strong>tigheden. Diskutér<br />
dette, især med henblik på forskellige måder at udtrykke h<strong>as</strong>tigheden<br />
på Og fremstille h<strong>as</strong>tighedsfeltet.<br />
b) Anvend teorien ovenfor på følgende tilfælde:<br />
, ,m<strong>as</strong>sefylden<br />
Havet består af et øvre, homogent lag med j •> Pt og et underm<strong>as</strong>sefylden<br />
liggende, homogent lag med / ^ '^l* H<strong>as</strong>tigheden i øvre<br />
lag v^ Og i nedre v^ løber parallelt. Hvis hældningen af havets over-<br />
flade tg a samt hældningen af skillefladen mellem de to vandm<strong>as</strong>ser tg 3<br />
er givet, find da v^ og v^.<br />
Omvendt, hvis v^ og Vg er givet, bestem tg ct og tg 3.<br />
Betragt det specielle tilfælde, hvor v^ > O og v^ = 0. Hvad bliver<br />
hældningen af grænsefladen i forhold til overfladen?<br />
Taleksempel: p^ = 1,02;<br />
Pg = 1,03<br />
V, = 100 cm/sek 2<br />
g = 1000 cm/sek<br />
-1+ -1<br />
f = 10 sek<br />
c) Vi går tilbage til de generelle forudsætninger givet iinder a). Antag<br />
at temperatur og saltholdighed er observeret i.angs to vertikaler, hvis<br />
plan står vinkelret på v^.<br />
Hvorledes kan man beregne h<strong>as</strong>tigheden i en dybere liggende isobarflade<br />
p = Pg ved hjælp af disse observationer?<br />
Opgave 30<br />
Hydrografiske observationer fra to stationer i Nordatlanten er opgivet i ne-<br />
denstående tabeller. Stationerne ligger på N bredde med en indbyrdes af-<br />
stand på 103 km. Beregn strømfordelingen vinkelret på snittet AB i forhold til<br />
2000 m dybde. Vi antager friktionsløst tilfælde, samt at der ingen bevægelse<br />
er på 2000 m.<br />
I beregningen af m<strong>as</strong>sefylden ses bort fra trykafhængigheden, og en lineær<br />
approxiraation kan anvendes.<br />
fortsættes.
Beregn endvidere vandtransporten i forhold til havoverfladen.<br />
Tabellerne er fra Proudman, "Dynamical Oceanography", s. 6^-71<br />
Depth<br />
m-<br />
Temp. I Salinity<br />
"C. ! 7oo<br />
Temp.<br />
"C.<br />
Salinity<br />
0 12-70 35-30<br />
25 12-25 •34<br />
50 10-20 •35<br />
100 9-59 •34<br />
200 d-16 •32<br />
400 8-96 •26<br />
600 8-22 •17<br />
800 6-45 •03<br />
1000 5-08 34-99<br />
1200 4-19 •96<br />
1400 3-83 •93<br />
1600 3-71 •90<br />
1800 350 •89<br />
3000 331 -8S<br />
Station A,<br />
Station B.
Af of til kan permanente hvirvler observeres i oceanerne. De kan være topo-<br />
grafisk genererede som f.eks den cykloniske hvirvel over Alt air vulkanen i<br />
Atlanterhavet på UU°35' N. Man har her observeret et øvre og et nedre system.<br />
Sidstnævnte går fra ca. 150 m til ca. 800 m dybde. På 200 m er h<strong>as</strong>tigheden<br />
20 cm/sek, og på 800 m er den 6 cm/sek. Sigma-t er kendt i øvre og nedre lag.<br />
Bere^ nu udfra = 26,8 og ff^ = 27,5 den hældning, som isopyknerne<br />
(flader m. konstant m<strong>as</strong>sefylde) bør have og sammenlign den observerede hældning<br />
iflg. figuren. (Figuren er hentet fra Defant l)<br />
300 250<br />
Fro. 212. Meridionai density section through the cyclonic vortex above the "Altair"<br />
submarine volcano in the Atlantic Ocean (somewhat smoothed).<br />
Opgave 32 (Studiespørgsmål)<br />
Angiv alle forudsætningerne for Bernoulli s • teorem for potentialstrømning.<br />
Opgave 33 (Studiespørgsmål)<br />
Antag at Rødehavet er 2000 km langt, Suez Kanalen liikket og åbningen til det<br />
Indiske Ocean, Bab el Mandet Strædet, er en tiendedel af middelbredden af havet<br />
Hvis overfladefordampningen overstiger ferskvandstilføreisen med lem/dag, og<br />
indstrømningen fra det Indiske Ocean foregår i de øverste 50 m, hvor stor er<br />
da strømh<strong>as</strong>tigheden?
En fjord antages at have et rektangulært tværsnit indtil ude ved dens munding,<br />
hvor en tærskel løber på tværs af fjorden. Tærskelhøjden sættes = a og fjordens<br />
dybde = d. Vandet i fjorden strømmer med jævn h<strong>as</strong>tighed v og a « d.<br />
Hvor stor bliver vandsøjlens højde over tærsklen?<br />
Opgave 35 Sommer 1976 Fysik 3 vægt<br />
Et tankskib i den centrale del af Nordsøen får en lækage, hvorved 2000 tons<br />
olie siver ud. I løbet af et vist tidsrum dækker pletten et cirkulært område<br />
2 3<br />
på 10 km . Idet m<strong>as</strong>sefylden for henholdsvis havvand og olie sættes lig 1 g/cm<br />
og 0,8 g/cm , og der antages hydrostatisk ligevægt, spørges om følgende:<br />
1) Hvor stor er olieplettens middelhøjde over det fri vandspejl, som an-<br />
tages at være en geopotentialflade?<br />
Det blæser nu op til vestenvind, som holder sig med konstant styrke og retning<br />
i en uges tid.<br />
2) Find olieplettens randh<strong>as</strong>tighed til et givet tidspunkt ved hjælp af<br />
Bernoullis teorem.<br />
3) Mod hvilken retning vil man forvente, at oliepletten bevæger sig?<br />
it) Kan man forvente, at oliepletten under påvirkning af samme konstante<br />
vindstress vil bevare ovenfor fundne bevægelsesretning, indtil den skyl-<br />
les på land?<br />
Svarene på spørgsmål 3} og h) ledsages af en kort begrundelse.<br />
Opgave 36<br />
Vi betragter et stræde med en tværgående tærskel.<br />
Med sædvanlig notation antages;<br />
u = O overalt<br />
V = konst. > O og w = O langt fra tærsklen<br />
-1<br />
p = konst. og f = 10 sek<br />
Dybden til bunden i strædet sættes lig h uden for tærskelområdet, og tærsklens<br />
højde sættes til H. Strædets bredde sættes lig 1. Tyngdekraft, trykkraft og<br />
corioliskraft er de eneste virksomme kræfter.
Vi har vandstandsobservationer fra hver side af strædet uden for tærskelområ-<br />
det.<br />
Spørgsmål:<br />
a) Hvad bliver vandstanden på hver side af strædet over tærsklens højeste<br />
punkt?<br />
b) Hvad bliver vandstands differencen sammenlignet med den observerede<br />
vandstandsdifferens nedstrøms?<br />
Mange bølgegeneratorer har en<br />
udformning som vist på figuren.<br />
b)<br />
Find stemplets bevægelse<br />
som funktion af tiden.<br />
Diskutér dimensioneringen<br />
af bølgegeneratoren, hvis<br />
man vil frembringe (nær)har-<br />
moniske stempelbevægelser.<br />
Opgave 37<br />
roterende ckive<br />
med radius, r<br />
plejlstanjT med<br />
længden, 1<br />
stempelntang med<br />
længden j a<br />
bølgestempel<br />
Opgave 38<br />
Det lineære bølgegenerator-problem kan formuleres således: Endevæggen i en<br />
halv-uendelig kanal (x>^0, -H^zj
Vis at den kinematiske grænsebetingelse anvendt på en lang bølges fri vand-<br />
spejl approximativt kun indeholder lineære led.<br />
Opgave (Studiespørgsmål)<br />
Giv f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tigheden for en lang bølge, hvis amplitude er sammenlignelig med<br />
vanddybden.<br />
Opgave k2<br />
Den 1. april 19^+6 ca. kl. 02.00 registreredes et jordskælv med epicenter<br />
(jordens centrxim, jordskælvets oprindelsessted og epicenter ligger på linie)<br />
på f<strong>as</strong>tlandsskrænten umiddelbart syd for Aleuterne. time senere registre-<br />
redes på Hawaii den første af en rsekke Ødelæggende flodbølger (tsunami) med<br />
perioden 15 min. Storcirkeldistancen mellem epicenter og registreringspunkt er<br />
3600 km.<br />
Beregn approximativt middelværdien af havdybden mellem de to punkter.<br />
Opgave U3<br />
En lang bølge løber skråt ind mod en lang, lige kyst. Havbunden på stedet er<br />
plan, og skråner svagt med vinklen a. I afstanden d fra kysten sættes bølgens<br />
indfaldsvinkel lig 3 (t = O).<br />
Bestem indfaldsvinklen ß (t = t^) til et senere tidspunkt t^.<br />
Opgave HU<br />
Udled udtryk for perioderne for frie svingninger i en rektangulær fjord. Det<br />
antages, at fjordens længde er meget større end dens bredde og dybde, samt at<br />
bugtens længdeakse er vinkelret på kystlinien.<br />
Opgave ¡4 5<br />
Udled udtryk for perioderne for frie svingninger i et rektangulært lukket<br />
b<strong>as</strong>sin, hvis længde er meget større end både bredden og dybden.
En racerbåd sejler parallelt med stranden og genererer en gruppe bølger, som<br />
når stranden efter 10 min., og som har en periode på 2 sek.<br />
Beregn afstanden fra stranden til båden, når vanddybden ud for stranden hen-<br />
holdsvis er lille og stor.<br />
, dc f<strong>as</strong>e<br />
c gruppe = c f<strong>as</strong>e - A - ^^^<br />
Opgave Ut<br />
Antag at to simple, harmoniske og progressivt uendelige bølgetog udbreder sig<br />
i samme retning. Bølgetallet for den ene er en smule større end bølgetallet<br />
for den anden. Amplituderne er lige store.<br />
a) Udled de to bølgers gruppeh<strong>as</strong>tighed - f.eks. udtrykt ved f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed<br />
og bølgelængde.<br />
b) Angiv gruppeh<strong>as</strong>tigheden i det specialtilfælde, hvor bølgelængden er<br />
meget større end middelvanddybden.<br />
Opgave i+8<br />
I havet haves stabil lagdeling, dvs. fører vi en vandpartikel opad, vil den<br />
søge tilbage. Antag at vandpartiklen ikke påvirkes af sine omgivelser, at tæt-<br />
heden vokser lineært med dybden, samt at friktionen kan negligeres.<br />
a) Hvilken bevægelse udfører vandpartiklen?<br />
Antag herefter gnidning proportional med h<strong>as</strong>tigheden.<br />
b) Hvilken bevægelse udfører vandpartiklen herefter?<br />
Opgave<br />
2tt<br />
Atmosfæretrykket over en fri væskeflade er givet ved p = P cos — • (x-ct)<br />
o L<br />
Herved skabes en tvungen overfladebølge med en maximal amplitude A.<br />
a) Giv en analytisk fremstilling af denne bølge udtrykt ved luftens og<br />
vandets m<strong>as</strong>sefylde og tryk p^ (indfør egen notation f. m<strong>as</strong>sefylderne).
Antag en lagdelt væske, hvor øvre lag har dyhden h^ og m<strong>as</strong>sefylden' p^ og<br />
nedre lag dybden h^ og m<strong>as</strong>sefylden p^ •<br />
b) Hvorledes vil springlaget (skillefladen mellem øvre og nedre lag) be-<br />
væge sig?<br />
Angiv de analytiske udtryk for bevægelsen udtrykt ved kendte størrelser,<br />
idet h^ hg og h^ « L.<br />
Opgave 50<br />
Den vertikale m<strong>as</strong>sefyldefordeling i oceanerne er ofte tilnærmelsesvis eksponen-<br />
tiel. Angiv en betingelse for at interne bølger ophører med at eksiterer, (dvs.<br />
udled en dispers ions relation for interne bølger), når det antages, at havover-<br />
fladen udgøres af en f<strong>as</strong>t rand.<br />
Opgave 51<br />
Forklar hvorledes tidevandskraften hidhørende fra månen fremkommer, og vis at<br />
den har et potential som for et punkt på jordoverfladen med bredden 9 kan<br />
skrives:<br />
2 2<br />
. = -3 /M. a r^<br />
¡'måne 2 ^o n<br />
I (sin^e - |)(sin^ô - +<br />
1 1 2 2<br />
+ — sin 26 sin 25 cosi|j + — cos 0 cos S cos 2}p<br />
hvor M og J henholdsvis er månens og jordens m<strong>as</strong>se, a jordens middelradius,<br />
r afstanden fra jordens tyngdepunkt til det betragtede punkt på jordoverfladen,<br />
2<br />
g^ = yM/a , hvor y er gravitationskonstanten, 5 er månens deklination, og TIJ er<br />
vinklen mellem månens meridianplan og meridianplanet gennem det betragtede<br />
punkt.<br />
a) Angiv tidevandspotentialet for solen.<br />
b) Opskriv den horisontale og den vertikale tidevandskraft hidhørende fra<br />
både månen og solen.<br />
Hvis vi herefter tænker os, at deklinationen er konstant og forskellig fra nul,<br />
hvilke hovedperioder antydes gennem tidevandspotentialet for månens og solens<br />
tidevand?<br />
fortsættes
Tal-værdier: Jorden går rimdt om solen med en vinkelh<strong>as</strong>tighed på 0,0Ul°/time,<br />
og månen har en vinkelh<strong>as</strong>tighed i sin bane på 0,5U9°/time.<br />
Opgave 52<br />
En lang smal rektangulær fjord med konstant dybde h skærer vinkelret ind i<br />
landet fra en lige kyst. Uden for fjordens munding har det halvdaglige tide-<br />
vand amplituden a.<br />
Hvor lang er fjorden, hvis ti de vands amplituden i dens inderste ende er<br />
2a?<br />
Coriolisacceleration og friktion negligeres.<br />
2<br />
Fjordens Fjordens dybde = = 62,5 m, tyngdeaccelerationen tyngdeacci<br />
g = 10 m/sek , og tidevands-<br />
perioden antages at være 12 timer.<br />
Opgave 53 (studiespørgsmål)<br />
a) Forklar hvorfor tidevandsamplituden ved den engelske østkyst er så meget<br />
større end ved f.eks Sydnorge.<br />
b) Kan man sige, at tidevand skyldes rene <strong>as</strong>tronomiske årsager?<br />
Opgave 5^<br />
Tidevandet i et randhav, f.eks. Nordsøen, roterer ofte omkring såkaldte amfi-<br />
dromiske punkter, hvor tidevandsamplituden er lig niil.<br />
Antag, at randhavet kan sammenlignes med en bred kanal, der er liakket i den<br />
ene ende. Vi har en indkommende<br />
tidevandsbølge (Kelvin-bølge). ^<br />
Udled ligningen for bølgen, som ///////////1<br />
roterer omkring det amfidromis- ^<br />
ke punkt. ^<br />
Hvilken retning har rotationen?<br />
^ X<br />
777777777777777777
Bevægelsesligningen for strømninger i havet skrives ofte på formen<br />
2;<br />
1)<br />
dt<br />
= - - vp - fkxv-kg + Ajj<br />
p ^ "H<br />
+<br />
3? dy^'<br />
+ A<br />
z Bz'<br />
a) Forklar kort hvad de enkelte led i ligning i) betyder.<br />
b) Hvad er forskellen mellem en Lagrange'sk - og en Eulersk strømmåler?<br />
PROGRESSIVE VECTOR DIAGRAM OF CURREIT lU 60 M DEPTH, POSITIOli U3°08.T' N<br />
8°0T.3' E, imSTRUMERT 10 669, DISTAiiCES IN KM STARTING POINT T30920 IUOO<br />
km<br />
160<br />
140 --<br />
120 --<br />
100 •<br />
1 60<br />
Fig. 1<br />
Fig 1 viser et såkaldt progressivt vektordiagram. Kurven kan opfattes<br />
som positionen til en partikel som funktion af tiden. Tidsmærker er mar-<br />
keret hver 6. time og tallene markerer datoer. Find af figuren størrel-<br />
sesordenen af den gennemsnitlige h<strong>as</strong>tighed for perioden 21-27 september.
d)<br />
2)<br />
e)<br />
f)<br />
Målingerne præsenteret i Fig. 1 er fra Middelhavet (ca- US^K). Følg der-<br />
for en horizontal skala L = 500 km, vertikal skala H = 2,5 km, sæt tids-<br />
skalaen T = 10 døgn Ri 10^ sekunder, A^ = 10^ m^/s, A^ = 0,1 m^/s, tyngde-<br />
accelerationen g =10 m/s^ og f = lO"'^ s"^ .Udfør en skala-analyse på be-<br />
vægelsesligningen 1) og vis at middelbevægelsen med god tilnærmelse kan<br />
bestemmes af ligningen:<br />
1 ^<br />
O = - - ^P - fkxv - k g<br />
Hvad kaldes formen 2) af bevægelsesligningen?<br />
Beregn Rossbytallet R = — og Ekman-dybden for middelbevægelsen.<br />
IL<br />
km<br />
110<br />
108<br />
106<br />
104<br />
102<br />
100<br />
98<br />
-I \ f—-H 1 h<br />
9. OCT. 73 - B.OCT.73 ..<br />
—I t I I t I i I I I I I I I I<br />
144 142 140 138 136 134 132 130km<br />
Fig. 2.<br />
g) I perioden 9 ~ 13. oktober er middelh<strong>as</strong>tigheden mindre. Det progressive<br />
vektordiagrara for denne periode er vist i Fig. 2. Vandm<strong>as</strong>serne synes altså<br />
at bevæge sig i baner som vi i teorien tilnærmer til at være cirkler.<br />
Anslå baneh<strong>as</strong>tigheden og tidsskalaen for dette fænomen fra Fig. 2.<br />
h) Brug værdierne fundet i punkt g) og de øvrige værdier opgivet i punkt dj<br />
til at skalere bevægelsesligningen påny og vis at ligningen for hori-<br />
zontalh<strong>as</strong>tigheden v„ da bliver;<br />
n<br />
^ = - i "hP - fH<br />
i) Del bevægelsen op i en stationær del v beskrevet af ligning 2) og en<br />
tidsafhængig<br />
del V.. Subtraher balanceligningen for v fra ligning 3) og<br />
VIS at ligningen for v^ bliver:<br />
1, ^ dv. - ~fkxv.<br />
dt 1
j)<br />
k)<br />
1)<br />
m)<br />
n)<br />
Hvad kaldes iDevægelsen "beskrevet af ligning U) ?<br />
-I-N<br />
Vis at vf er konstant.<br />
1<br />
Løs ligning U) og find et udtryk for v^<br />
Beregn den teoretiske periode for fænomenet.<br />
Beregn radius til den teoretiske cirkelbane.<br />
Opgave 56.<br />
En model af havet består af to lag med konstante m<strong>as</strong>sefylder p^ og p^^ og geo-<br />
strofisk balancerede strømme i y-aksens retning.<br />
O<br />
Vis ved udledning at:<br />
II<br />
II 3x<br />
idet v^(x) og v^^(x) er henholdsvis h<strong>as</strong>tigheden i øvre og nedre lag,<br />
h(x) er den vertikale tykkelse af øvre lag og f er Coriolisparameteren,<br />
b) Sæt v^^ = O og h = h (1 + i ^<br />
o / + L^<br />
skitser v og h som funktion af x på valgfri skala.<br />
) , idet h^ og L er konstanter og<br />
II _ I<br />
Sæt endvidere h^ = 200 ra OK fj^ ~ m/sek. og beregn den to-<br />
tale volumentransport i det øvre lag.<br />
P<br />
p = konstant<br />
»X
En model af en lukket sø består af en<br />
homogen, inkompressibel, friktionsløs<br />
væske begrænset af vertikale vægge i<br />
X = ± , og en horizontal bund i z = -H.<br />
I ligevægt i tyngdefeltet falder overfla-<br />
den sammen med planen z = 0. Ved tiden<br />
t = O er væsken i ro og ligevægt. En to-<br />
dimensional bevægelse for t > O sættes<br />
op ved at trykket, p^, i luften over søen<br />
er givet ved:<br />
p = A sin(^ x) cos at.<br />
hvor A er en konstant^ og ø er frekvensen. Den genererede bevægelse antages at<br />
være så lille at ligningerne^som bestemmer bevægelsen^kan liniariseres.<br />
a) Opstil grænsefladebetingelserne ved de f<strong>as</strong>te flader og ved overfladen og<br />
og udtryk disse ved h<strong>as</strong>tighedspotentialet e, defineret som v = grad 9 ,<br />
hvor V er den vektorielle h<strong>as</strong>tighed.<br />
b) Vis at:<br />
= B(t) cosh ^ (z + H) sin ^ x<br />
er en mulig løsning^dersom B(t) opfylder ligningen<br />
1)<br />
hvor<br />
d^B<br />
Y + (Jü^B = øK sin øt<br />
dt<br />
= g~ tanh ^ , K = A(p cosh ^ , g er tyngdeaccelerationen og<br />
p er væskens m<strong>as</strong>sefylde.<br />
Brug begyndelsesbetingelserne til at vise at løsningen af 1) er givet<br />
ved:<br />
ri<br />
( 0 sin øt sin ut)<br />
(ß<br />
Diskuter denne løsning når dybden, H, i søen varierer. Diskuter specielt<br />
de tre tilfælde o)^ » « og oj^ = ø^.<br />
Opgave 58.<br />
Et b<strong>as</strong>sin, hvor vandet har konstant m<strong>as</strong>sefylde, er begrænset af vertikale vægge<br />
i x = O o g x = L o g bund i z = -h. Ligevægtsniveau for den frie overflade er
givet ved z = 0.<br />
a) Opstil ligningen for frie, todimensionale svingninger i b<strong>as</strong>sinet og vis<br />
at h<strong>as</strong>tighedspotentialet<br />
4. = A cos ^^^ cosh(^ (z + h)) sin at<br />
L L<br />
tilfredsstiller grænsefladebetingelserne ved de f<strong>as</strong>te rander.<br />
b) Anvend den resterende grænsefladebetingelse til at udlede frekvenslig-<br />
ningen.<br />
c) Diskuter frekvensligningen for korte og lange bølger.<br />
d) Sæt n = 1 og skitser strømlinjerne.<br />
Opgave 59.<br />
a) Hvad menes med geostrofisk bevægelse ?<br />
b) Vis at den geostrofiske h<strong>as</strong>tighed, v^, kan skrives<br />
Ü<br />
^G pf<br />
hvor k er en enhedsvektor langs vertikalen, V^p den horisontale trykgra-<br />
dient, p m<strong>as</strong>sefylden og f = 20 Coriolisparameteren.<br />
Z<br />
c) En model af et hav, som strækker sig uendeligt opad består af en homo-<br />
gen væske begrænset nedad af planen z = 0. Væsken er i dynamisk lige-<br />
lihTTTTTTTTTTT<br />
cient. Vis at<br />
vægt med friktionen sådan at:<br />
fkxv = + ^ ^<br />
p h^ p dz'^<br />
^ ^ (t ^ • ^ \ f ^<br />
V = v^ + (.k X sin mz - v^ cos mz ) e ; m = /<br />
G G G V ^ n<br />
er en løsning af den dynamiske ligevægt.<br />
hvor TI er den konstante friktionskoeffi-<br />
Opgave 60.<br />
En model af et islagt hav består af to lige tykke homogene og inkompressible<br />
og friktionsløse væskelag. Det øvre har m<strong>as</strong>sefylden p^ , og det nedre har m<strong>as</strong>se-<br />
fylden pg ("se figuren). Isen tænkes f<strong>as</strong>t og ude af stand til at bevæge sig.<br />
Lagenes tykkelse er H.
¡^ y y y j ///// j ////////1 / n I n/f t f / /iTzrz = H<br />
p, I<br />
— z= o<br />
bund z=-H<br />
Skillefladen z = O tænkes pertuberet således at der kommer bølgebevægelser i<br />
de to væskelag. Bevægelserne antages at være funktioner af x, z og t.<br />
a) Gør rede for hvilke betingelser som må være opfyldt for at den pertube-<br />
rede h<strong>as</strong>tighed i hvert af lagene skal kunne udledes af et potential<br />
(v = V
strofisk bevægelse i hav og luft.<br />
b) Vis at den geostrofiske h<strong>as</strong>tighed, v-, kan skrives som:<br />
hvor k er en enhedsvektor langs vertikalen, V ^ p den horizontale tryk-<br />
gradient, p m<strong>as</strong>sefylden og f er Coriolisparameteren»<br />
c) I en model for en kyststrøm er m<strong>as</strong>sefylden antaget at være konstant langs<br />
vertikalen mens den øges med stigende afstand fra kysten.<br />
Vis at den vertikale ændring af den geostrofiske h<strong>as</strong>tighedsændring<br />
er parallel med linjerne for konstant m<strong>as</strong>sefylde med stigende m<strong>as</strong>sefylde<br />
til venstre (på den nordlige halvkugle).<br />
d) Vælg x-aksen ret udfra kysten med origo ved kysten som vist på figuren<br />
2=-h(x)<br />
Vis at når p = p(x) og den geostrofiske h<strong>as</strong>tighed er nul ved bunden,<br />
z = - h(x), er feltet givet ved:<br />
I resten af opgaven antages bunden at være horisontal.<br />
Vis at bunden er en isobarflade og at overfladehævningen er givet ved:<br />
C =<br />
h<br />
når overfladen z = ^ , er en isobarflade og nar ^ = O for x = 0.<br />
f) Vis at m<strong>as</strong>setransporten i kyststrømmen er<br />
M(x) =<br />
„I„2 P„
a) Opstil de lineariserede ligninger for lange (hydrostatiske), to-dimensionale<br />
bølger.<br />
b) Vis at for lange bølger er horiaontalh<strong>as</strong>tigheden uafhængig af vertikal-<br />
koordinaten og benyt dette til at integrere kontinuitetsligningen over<br />
et lag.<br />
c) En model af en islagt fjord består af to homogene, inkompressible og<br />
friktionsløse væske-lag. Øvre lag har tykkelsen h^ og m<strong>as</strong>sefylden p ^ *<br />
det nedre lag har tykkelsen h^ og m<strong>as</strong>sefylden p^, (se figuren).<br />
\\\\\\\\\ vwwww z = - h 2<br />
Isen antages at ligge f<strong>as</strong>t. Lange bølger opstår i fjorden pga. at grænse-<br />
fladen ved z = O bliver forstyrret.<br />
Opstil grænsefladebetingelserne som gælder for bevægelsen og lineariser<br />
dem.<br />
d) Vis specielt (ved differentiation) at den dynamiske grænsefladebetingel-<br />
se ved skillefladen z =
a) Gør rede for varmeledning og termisk diffiision og vis ved udledning at<br />
varmeledningsligningen kan skrives<br />
f = ^<br />
b) Hvilke betingelser må være opfyldt for at<br />
T = T^ + T^ e^^ sin(az + vt - ift)<br />
skal være en løsning til varmeledningsligningen.<br />
c) Det antages at den årlige variation i solstråling fører til en varmeflux<br />
udtrykt som<br />
Q sin ^^ med M = 1 år<br />
M<br />
rettet nedover gennem overfladen i et bavb<strong>as</strong>sin. Brug denne grænse-<br />
fladebetingelse i løsningen ovenfor til at bestemme konstanterne. Værdier-<br />
ne for T^, Q, K^ og varmekapaciteten antages at være givet.<br />
d) Bestem datoen for maksimum temperatur i overfladen når maksimum indstrå-<br />
ling indtræffer 23. jimi.<br />
Q<br />
e) Sæt iL, = 1 cm /sek og bestem dybden der hvor amplituden for temperatur-<br />
. -1<br />
svingningene er e af overfladeværdien.<br />
f) Hvad er temperaturamplituden i overfladen når Q = 0,018 watt/cm og<br />
varmekapaciteten for søvand kan sættes til U,5 watt sek. per cm^ og grad °C?<br />
Opgave<br />
Vi vil studere enkle progressive tyngdebølger i en væskemodel bestående af to<br />
homogen-inkompressible lag mellem f<strong>as</strong>te flader (se figuren). Vi antager p^ > p^;<br />
p er m<strong>as</strong>sefylden<br />
/ / / / / / y y / / / ^ /<br />
! ^<br />
/ / / / / / / / / / / / V<br />
a) Hvilke andre forenklinger gøres normalt ved sådanne studier? Stil de<br />
ligninger op^som beskriver bevægelsen i hvert af lagene.<br />
2
) Opstil grænsefladebetingelserne i top og bimd på grænsefladen mellem de<br />
to lag.<br />
c) For en enkel progressiv bølge som forplanter sig langs x-aksen kan ha-<br />
stighedens horisontalkomponent i nedre lag i denne væskemode] skrives:<br />
V = Acoshk(z+h ) cos k (x-ct)<br />
X \ \<br />
Bestem h<strong>as</strong>tighedens vertikalkomponent v . i dette lag, og bestem også<br />
Z I<br />
de tilsvarende h<strong>as</strong>tighedskomponenter v^^ og v^^ i øin^e lag.<br />
d) Bestem bølgens forplantningsh<strong>as</strong>tighed c. Hvilken tilnærmet værdi får vi<br />
for en lang bølge?<br />
e) Udled ligningerne for strømlinjer og trajektorier i hvert af lagene for<br />
bølgebevægelsen i sp. c) , og tegn strømlinier og trajektorier op.<br />
Opgave 65.<br />
a) Definer geostrofisk strøm og beskriv den praktiske oceanografiske metode<br />
for beregning af relativ strømh<strong>as</strong>tighed mellem to stationsvertikaler.<br />
b) Antag at forskellen i specifikt volumen mellem to stationsvertikaler i<br />
afstand L er k(l+ . Beregn og skitser strømh<strong>as</strong>tigheden som funktion<br />
af dybet i intervallet O > z > -h under forudsætning af at den er nul<br />
i 2 = -h. Sæt L=10km, k=10^ crn^/g, h = 1000 m og geografisk bredde<br />
lig 30°.<br />
Opgave 66.<br />
a) Udled frekvensligningen for en stående todimensional svingning i et rektan-<br />
gulært b<strong>as</strong>sin med horis^ontal bund. Væsken er homogen og inkompressibel<br />
Drøft frekvensligningen og gør rede for de vigtigste specialtilfælde.<br />
b) En idealiseret fjord har et konstant rektangulært tværsnit og længde L.<br />
Grænsefladebetingelsen ved den åbne ende er ^ = H cos at Javor C er over-<br />
fladeforskydningen, H og cr er konstanter og t er tiden. Dybden, D, er<br />
konstant. Udled udtrykkene for overfladeformen og horisontalh<strong>as</strong>tigheden<br />
for de stående svingninger i fjorden som er forenelige med grænseflade-<br />
betingelserne. Drøft udtrykket for overfladeamplituden i fjordens luk-<br />
kede ende for varierende bølgetal.
a)<br />
b)<br />
Fremstil på matematisk form lineariseret todimensional bølgebevægelse<br />
i et homogent lag med fri overflade. Diskuter f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed som funktion<br />
af bølgetal/-længde.<br />
Målinger af perturbât ion st rykket på bimden af en rende giver p^ cos at<br />
i X = O og mp^ cos at + np^ sin at i x = L, hvor p^, m, n o er kon-<br />
stanter, mens t er tiden. Antag at tidsvariationen skyldes 2 progressive<br />
bølgetog med modsat forplantningsretning og udtryk amplituderne analytisk<br />
ved p^, m og n. Drøft svaret.<br />
Forklar den generelle sammenhæng mellem m og a . Vis specielt at<br />
= cos ( g<br />
for korte bølger.<br />
)<br />
Opgave 68.<br />
Tag udgangspunkt i bevægelsesligningerne og gør rede for hvilke forenk-<br />
linger,vi foretager,når vi studerer geostrofisk bevægelse.<br />
Udled termalvindligningerne og vis at de kan skrives<br />
iPZ f „ V o<br />
3z f ^ ^ \ P<br />
hvor V = horisontalh<strong>as</strong>tighedsvektor, p = m<strong>as</strong>sefylden, V = horisontal-<br />
gradient operator, g = 10 m/s , f = Coriolis parameteren. Sæt f=10 s<br />
Den vertikale fordeling af m<strong>as</strong>sefylden på en station A er karakteriseret<br />
med et velblandet lag over en pyknoklin, mens m<strong>as</strong>sefylden i nedre lag<br />
er konstant (se figuren).<br />
Z(mï<br />
o<br />
îOn<br />
20.<br />
30-<br />
40-<br />
50-<br />
60><br />
70-<br />
80-<br />
90-^<br />
100-<br />
A<br />
1027.0 1027.5 1028.0 ?{ g/m3)<br />
st.A jst.B<br />
z = 20 m<br />
Zg = 35 m<br />
z^ = i+0 m<br />
= li5 m<br />
-<br />
¡.. j<br />
-<br />
-<br />
-<br />
Afstanden St, A-B<br />
er 1 km.<br />
St. B ligger stik<br />
øst for St. B.
Profilen tilnærmes med rette linier. I en afstand på 1 km stik mod øst<br />
er station B, hvor m<strong>as</strong>sefylden i øvre lag er større og det øvre lag er<br />
tykkere (se igen figur i). Hvis Boussinesq approximationen antages kan<br />
venstre side i termalvindligningen tilnærmes som følgende:<br />
9pv _ 3v<br />
8z P 3z<br />
Benyt dette til at skitsere den middel-geostrofiske h<strong>as</strong>tighedsprofil<br />
mellem stationerne A og B.<br />
d) Målinger viser at h<strong>as</strong>tigheden forsvinder på dybden 35 m. Beregn overfla-<br />
deh<strong>as</strong>tigheden.<br />
e) Hvad er overfladehældningen mellem station A og B.<br />
Opgave 69<br />
I et lavvandet område kan den maksimale tidevandsstrøms vertikale fordeling<br />
approximativt beskrives som;<br />
u(z) = H ^<br />
Overfladen er ved z=0 og bunden ved z=-H<br />
Den daglige temperaturvariation er givet ved<br />
1/5<br />
T = T + T^ exp (pz) sin (cut + pz), hvor<br />
1/2<br />
C m N<br />
Da strømmen varierer med en noget større frekvens end o) , kan man med rimelig<br />
tilnærmelse antage, at strømmen er maksimal for ethvert T.<br />
K^ er den turbulente diffusivitet.<br />
Kriteriet for at omblånding nedbryder gradienten er at Richardson tallet er mindre<br />
end 0.25<br />
a) Idet a^ = 0.8 S - 0.15 T, og S konstant kan betragtes som en rimelig tilnærmelse,<br />
opstilles en relation, der angiver for hvilke dybder der til ethvert tidspunkt er<br />
homogenitet.<br />
b) Angiv approximativt dybdeintervallet under anvendelse af fig. værdier:<br />
K^ = 0.01 m^/s; H - 60 m ; T^ = 0.2 °C j T = 12 ; S = 35<br />
u^ = 0.7 m/s<br />
c) Find den overfladestrøm der er nødvendig for at blande hele vandsøjlen.
I Davisstrædet dannes normalt is om vinteren langs Grønlands<br />
vestkyst. Da der "blæser kraftigt om efteråret kan vandet<br />
i Ekman laget antages homogent fra 1.oktober.<br />
I en bugt ved kysten er vanddybden 30 m.<br />
Efter at temperaturen i lang tid har ligget på frysepunktet,<br />
kommer en kold luftm<strong>as</strong>se vestfra, så lufttemperaturen pludseligt<br />
falder til -10 °C og der dannes is.<br />
a) Find istykkelsen efter H dage<br />
Flg. størrelser antages konstante:<br />
Isens varmediffusionskoefficient : 1 .7 J m"''s~ 'grad"''<br />
Isens m<strong>as</strong>sefylde : 894 kg m-3<br />
Isens smeltevarme 1 : 2.95 10^ J kg~''<br />
( Hint: Den ved isdannelsen frigjorte varme pr. tidsenhed,<br />
skal fjernes ved en varmeflux op gennem isen )<br />
b) Antag nu i stedet for en sinusformet årlig temperaturvariation<br />
af luften med et årsmiddel på 0°C og en<br />
maksimal temperatur på 10 "^C.<br />
Fra 1:;:oktober kan vandtemperaturen sættes lig luftens,<br />
indtil den første is dannes.<br />
Find den maksimale istykkelse samt tidspunktet for denne,<br />
når årets varmeste dag er den 15•juli .
«V - ,<br />
5.4 X to® m<br />
u - -0.25<br />
V « O<br />
V . 0.03<br />
I u - 0.30<br />
160*<br />
u - -0.25<br />
" }<br />
V « -0.01<br />
•D<br />
V « 0.05<br />
Î<br />
u » 0.25<br />
ix » 5 X '10® m - 500 km<br />
I55*W<br />
30*N<br />
I et område! det nordlige Stille ocean har man observeret<br />
middelstrømme ved overfladen ifølge figuren. Værdierne i m/sek.<br />
er bestemt som langtidsmidler af tilgængelige observationer.<br />
Det kan antages :<br />
1) Homogent vand.<br />
2) Stationær tilstand,<br />
5) De horisontale strømme er uafhængige af dybden i de øverste<br />
50 III.<br />
4) At strømmene varierer lineært mellem observationspunkterne.<br />
Beregn approksimativt:<br />
a) Overfladestrømmens horisontelle divergens i pkt. E.<br />
b) Den vertikale h<strong>as</strong>tighed i pkt. E som funktion af dybden.<br />
Hvor stor er vertikalh<strong>as</strong>tigheden i 50 m dybde?<br />
c) Hvor lang tid behøver en partikel for at synke fra 1 m til<br />
50 m dybde i pkt. E?<br />
25*<br />
Opgave 72 Januar 1' Fysik 3 vægt:2<br />
a) En væsentlig kilde til det bundvand, der findes i oceanernes<br />
dybe dele, er det, som dannes som følge af frysning af overflade-<br />
vand ved Antarktis.<br />
Antag at M kg overfladevand med salinitet SQ = 34 %o deltager i<br />
processen. Heraf dannes årligt M. = 2. 1 • kg is med salin itet<br />
Si = 5°/oo samt Mj^ kg bundvand med salinitet S^^ = 34.67 °/oo.<br />
Hvor stor er M, ?<br />
Q<br />
20*
) Over store dele af Stillehavet har man tundet, at både salinitet<br />
og temperatur i dybde intervallet<br />
d j = - z j = 4000 m<br />
med god tilnærmelse aftager exponentielt med dybden, således at<br />
man kan skrive<br />
S - I)<br />
, kfz-z,)<br />
T = T, + b(e ' 1-1)<br />
hvor a og b er konstanter, og S j er salinitet, og T j er temperatur<br />
for z = z j<br />
Ved analyse af mange profiler har man fundet, at k = konstant =<br />
'.4 • 10 ^ (m ') med meget god tilnærmelse.<br />
Målinger foretaget med flere års mellemrum på samme sted viser<br />
ingen signifikante ændringer. De horisontelle gradienter i dybde-<br />
intervallet er overalt så små, at de kan negligeres. Fra andre<br />
målinger har man fundet, at den vertikale turbulente diffusions-<br />
koefficient K^ i dybde intervallet med god tilnærmelse er konstaiit<br />
= lO'^m^/s.<br />
Densiteten Jf antages konstant = 1000 kg/m^<br />
Beregn den vertikale h<strong>as</strong>tighed i laget under de givne (relativt<br />
realistiske) forudsætninger.<br />
c) Antaj at denne vertikale h<strong>as</strong>tighed findes overalt i de indre dele<br />
af Stillehavet med areal 137 • 10^ km^ .<br />
Hvor stor er den årlige opadrettede m<strong>as</strong>seflux gennem - 4000 m<br />
niveaufladen?<br />
Sammenlign med svaret fra spørgsmål a og kommenter eventuelle<br />
forskelle.
En meget lang, lige kanal med rektangulært tværsnit løber i ret-<br />
ning øst/vest på nordlig bredde.<br />
Kanalens bredde er 50 km, dybden er 3OO Hi* Over kanalen blæser<br />
en konstant vestenvind med farten V = 12 m/s.<br />
Vandstanden på nordkysten er konstant I3 cm lavere end på sydkysten<br />
.<br />
Vandet i kanalen er homogent, og stationær tilstand råder.<br />
Der ses bort fra friktion mod kysterne, men tages hensyn til frik-<br />
tion mod bunden.<br />
Den vertikale, turbulente gnidningskoefficient Ag antages konstant<br />
Vindspændingen x bestemmes af relationen:<br />
T = • c, • V2<br />
a d<br />
hvor P = 1,3 kg/m^ er luftens densitet<br />
a<br />
c^ = 1,^ • er en konstant<br />
V = vindh<strong>as</strong>tigheden i m/s.<br />
Lufttrykket over kanalen antages konstant og der regnes med følgen-<br />
de konstanter:<br />
g = 9,81 m/s^ (tyngdeaccelerationen)<br />
p = 1026 kg/m^ (vandets densitet)<br />
a) Skitser det tredimensionale cirkulationsmønser, som kan for-<br />
ventes under disse forudsætninger.<br />
b) Beregn den totale volumentransport i kanalens længderetning.<br />
c) Beregn den transversale volumentransport pr. m kyst i de<br />
øverste 150 m.<br />
d) Hvor stor er den af vinden genererede overfladestrøm langt<br />
fra kysterne?
I havet gælder helt almindeligt, at der er en stabil lagdeling. Således vil<br />
en tung vandm<strong>as</strong>se, der møder en lettere, altid kile sig ind under denne. Dette<br />
kan på en enkelt måde demonstreres i laboratoriet. Til formålet benyttes et<br />
mindre helt vandfyldt b<strong>as</strong>sin, der består af to lige store rum adskilt af en<br />
skillevæg, scm kan fjernes efter beliag. I det ene rum haves en farvet vandm<strong>as</strong>-<br />
se tilsat en anelse salt - i det andet rum findes kun vand uden tilsætning af<br />
nogen art. Begge vandm<strong>as</strong>ser har sanme temperatur som omgivelserne.<br />
rumfangr V<br />
S , - S :<br />
i',<br />
skillevæg<br />
I<br />
1) Til tiden t = O fjernes skillevæggen. Der spørges om den horisontale "ryk-<br />
forskel på ski 11 eva^gens plads som en funktion af dybden.<br />
2) Det tunge vand begynder for t > O at kile sig ind under det lette. H<strong>as</strong>tig-<br />
hedsfeltet i den øvre såvel som den nedre kile antages konstant med dybden.<br />
Hvop hurtigt trænger kilen ved karrets bund sig frem mod den modstående<br />
va^, når det antages, at kun tryk og tyngdekraft er involveret,samt at<br />
vandspejlet ligger horisontalt og parallelt med bunden?<br />
Benyt Efewtons 2. lov på formen: K dt = dCm v); dvs. summen af de ydre kræf-<br />
ter , som virker på en væskedel i løbet af tiden dt, multipliceret med dt er<br />
lig med væskedelens <strong>as</strong>ndring i bevægelsesmængde.<br />
3) Det antages herefter, at bevægelsen ophører for t>> O på grund af gnidning.<br />
Opstil et udtryk for den gennemsnitlige tanperaturændrlng i karret, når<br />
denne situation er indtruffet, idet det antages, at kar og omgivelser ikke<br />
udveksler varme.<br />
od
h) Karrets dybde er 30 cm, bredden 3 cm og tøigden kO cm. Den tunge vandm<strong>as</strong>se<br />
Pi ligger 10 a^ enheder højere end den lette. Hvor stor bliver temperatur-<br />
amdringen i ^C ?<br />
Opgave T5 Januar 1982 pysik 3 væirt:25^<br />
De øvre havstrøtame i oceanernes centrale dele bestemmes i al væsentlighed<br />
af m<strong>as</strong>sefyldefordelingen i havet samt af vindfeltet nær havoverfladen.<br />
For disse havområder er det endvidere rimeligt at antage stationær<br />
tilstand, ikke-accelerede horisontalstretame, horisontalt beliggende havoverflade<br />
og negligerbare vertikalbevægelser i hele vandsøjlen.<br />
a) Opstil kontinuitetsligningen og bevægelsesligningerne på komponent-<br />
form i kartesiske koordinater med de givne antagelser.<br />
Omkring en vis dybde z = d beliggende mellem havoverfladen og hav-<br />
bunden vil vandet i praksis være i hvile.<br />
b) Udfør en vertikalintegration af det ovenstående ligningssystem<br />
fra havoverfladen til dybden d, således at m<strong>as</strong>se transporten i denne<br />
øvre del af vandsøjlen kan beregnes udfra en given m<strong>as</strong>sefyldefordeling<br />
i havet og et givet vindfelt.<br />
Trykleddene i ligningerne for den horisontale mssetransport søges<br />
elimineret ved p<strong>as</strong>sende anvendelse af ligningssystemet i spørgsmål b)<br />
c) Angiv et udtryk for den nord-sydgående m<strong>as</strong>setransport mellem havoverfladen<br />
og dybden d.<br />
I den nordlige centrale del af f.eks. Atlanterhavet haves et craråde,<br />
hvor der i praksis kan forudsættes at v<strong>as</strong>re vindstille. Nord for dette om-<br />
råde er vinden overvejende vestlig og syd herfor er den østlig.<br />
d) Bevæger vandm<strong>as</strong>sen beliggende mellem havoverfladen og dybden d sig<br />
i netto mod nord eller syd i det vindstille havområde. Svaret ledsages<br />
med en kort begrundelse.
På en åben kyst kan der undertiden, også i stille vejr, pludse-<br />
lig observeres grov dønning med lang periode. Efterhånden<br />
mindsker perioden.<br />
Disse bølger skyldes fjerntliggende uvejr.<br />
Antag, at bølgernes kildeområde kan betragtes som punktformet<br />
i tid og rum.<br />
Den først observerede dønning har perioden 12 s, 6 timer senere<br />
er perioden 10 s.<br />
a) Hvor langt borte ligger kildeområdet?<br />
b) Hvor lang tid var den først observerede dønning undervejs?<br />
Kan man sige noget om retningen til kildeområdet<br />
a) i tilfælde med dybt vand helt ind til kysten,<br />
b) i tilfælde hvor det er lavvandet langt ud fra kysten.<br />
Svaret begrundes kortfattet.<br />
Opgave 77 Sommer 1979 Geofysik 3<br />
Den engelske kanal kan idealiseret betragtes som en lige kanal<br />
med konstant bredde = 100 km. og konstant dybde = 80 m.<br />
Antag, at en halvdaglig tidevandsbølge udbreder sig i Kanalen<br />
mod nordøst.<br />
a) Hvad er forholdet mellem tidevandsamplituderne på den<br />
"engelske" og den "franske" kyst?<br />
b) Hvor stor er den maximale tidevands strøm midt i Kanalen,<br />
hvis tidevandsamplituden her er 2 m?
Langs en lang lige kyst løbende i retning nord - syd har der<br />
i lang tid blæst en konstant sydlig vind. Vindh<strong>as</strong>tigheden er<br />
10 m/s. Vanddybden bliver umiddelbart uden for kysten stor<br />
og kan betragtes som konstant = 2 00 m.<br />
En registrerende strømmåler har været forankret i lang tid<br />
på 100 m dybde. Registreringerne viser konstant nordgående<br />
strøm med h<strong>as</strong>tigheden 0.2 m/s.<br />
Vindspændingen kan beregnes af formlen<br />
T ^ 1,8 • 10"^- (w i m/s)<br />
Tyngde accelerationen = 10 m/s^ .<br />
Den vertikale turbulente gnidningskoefficient A^ antages kon-<br />
stant og kendt.<br />
Vandet er homogent.<br />
Coriolisparameteren £ = 10<br />
Beregn approksimativt:<br />
a) Ekmanlagets tykkelse.<br />
b) Den totale volumentransport pr. m kyststrækning vinkelret<br />
på Kysten i de nederste 1 OD m. Angiv retning.<br />
c) Overfladestrømmens retning og fart.<br />
d) M<strong>as</strong>setransporten langs kysten.<br />
e) Hvilken værdi har A ?<br />
' z<br />
Opgave 79 Sommer 1979 Fysisk Oceanografi 1. del<br />
Bl.a. i Østersøen observeres ofte et temperaturminimum i<br />
dybder varierende mellem ca. 20 og ca. 70 m.<br />
a) Hvordan kan opkomsten af dette forklares?<br />
b) Hvilken er den lavest mulige min,—temperatur , hvis sali-<br />
niteten er 12®/oo ?<br />
c) I Nordsøen finder man i almindelighed ikke noget temperatur-<br />
minimum.<br />
Forklar kortfattet hvorfor.
Et stykke syd for en øst-vestlig lige grænselinie i den<br />
sydlige Nordsø er en olieplatform anbragt på bunden.<br />
Nord for grænselinien er dybden stor (større end 100 m),<br />
syd for grænselinien er dybden betydelig mindre og konstant.<br />
Platformen er kvadratisk med en kantlængde på 100 m, og<br />
den hviler på fire ben placeret i hjørnerne. Orienteringen frem-<br />
går af figuren.<br />
på ben 1, 2 og 3 er monteret trykfølere ved bunden.<br />
Signalerne fra trykfølerne kan registreres på platformen og er<br />
af formen<br />
Efter en periode med kraftig blæst fra en retning mellem<br />
vest og nord finder man, at signalet fra ben 2 er forsinket<br />
og signalet fra ben 3 er forsinket i forhold til signalet fra<br />
ben 1.<br />
p^ = konst = 26, 6 dbar<br />
p^ = konst =6,61 kPa<br />
c5-t = 25.0<br />
g 9,81 m/s^<br />
= 266 kPa<br />
(fortsat)
Beregn:<br />
a) Bølgelængde, bølgehøjde og udbredelsesretning i området omkring<br />
piatformen.<br />
b) Bølgelængde og udbredelsesretning på dybt vand.<br />
c) Bølgernes middeleffekt ved platformen regnet pr. m<br />
bølgefront.<br />
Opgave 8l Sommer I98O Geofysik 3<br />
Et af de få overfladefænomener som indikerer tilstedeværelsen af interne<br />
bølger er såkaldte "slicks". Disse kan ved svag vind observeres som lange, paral-<br />
lelle, nogle meter brede bånd, uden, eller med stærkt dæmpede, kapillarbølger.<br />
Fraværelsen af kapillarbølger forklares ved tilstedeværelsen af en olieholdig<br />
overfladefilm, der nedsætter overfladespændingen. Områderne mellem disse bånd<br />
er derimod dækket af kapillarbølger.<br />
Man har fundet, at hvis "slicks" er <strong>as</strong>socierede med interne bølger, findes<br />
de altid over den interne bølges bølgedal.<br />
Fra et f<strong>as</strong>t punkt f.eks, en olieboringsplatform har man følgende observa-<br />
tioner: ^<br />
1) "Slicks" bevæger sig forbi med en fart på ca. 3 m/s.<br />
2) En ny "slick" ankommer med 30 min. interval.<br />
3) Afstanden mellem "slicks" er ca, 6OO m.<br />
4) Dybden til bund er ca. 30 m.<br />
5) Overfladevandet er varmt : « 23<br />
Bundvandet er koldt : ^ 26<br />
Det antages at der findes en skarp termoklin samt at de observerede "slicks" er<br />
<strong>as</strong>socierede med en progressiv intern bølge i termoklinen.<br />
a) Hvor dybt ligger termoklinen ?<br />
b) Forsøg at give en kvalitativ forklaring på hvordan "slicks" kan genereres<br />
af en intern bølge.
H6<br />
O<br />
2)<br />
3)<br />
4)<br />
5)<br />
L, ^ 100 km<br />
L^ = 50 km<br />
A: {x,y)<br />
B: (x.y) -(Wz, o)<br />
Vi betragter et raktangulært b<strong>as</strong>sin med konstant dybde d = 2 00 m<br />
og en homogen vandm<strong>as</strong>se med m<strong>as</strong>sefylden p = 1 , 02 • 10^ ^g/m^.<br />
Igennem en periode har det blæst med konstant vindstyrke W^-20m/s.<br />
Havoverfladen har fundet sin ligevægtstilstand, således at vandstands-<br />
ændringen midt i området er lig 0.<br />
Vind spænding en er defineret: T= ig.<br />
hvor p = 1,25 ^g/m^ er luftens m<strong>as</strong>sefylde. og<br />
c, =<br />
a<br />
-3<br />
1,3-10 er en dimensionsløs konstant.<br />
Beregn, hvor meget vandstanden i punkterne A og B afviger fra<br />
middelvandstanden.<br />
Ved vindens ophør vil overfladen udføre en harmonisk svingning.<br />
Hvad bliver f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed, bølgelængde og periode for denne svingning?<br />
Hvilken horisontal h<strong>as</strong>tighed har væskedelene ved<br />
A og B samt i punktet ><br />
Hvad bliver udtrykket for vertikalh<strong>as</strong>tigheden i A og B ?<br />
Hvad bliver vertikalh<strong>as</strong>tigheden i A og B ved bunden ?<br />
W
1)<br />
2)<br />
3)<br />
p^ =1,016 - 10^ kg/m^<br />
p_ = 1,022 - 10^ kg/n<br />
/ i ^ f i i i i i / ! n f u i n i m u ff f n f<br />
Ved målinger på de tre stationer A, B, C, der ligger på 57° N<br />
bredde med en indbyrdes afstand på 2 0 km, er det fundet, at<br />
systemet kan beskrives ved en to-lags model, hvor overflade og<br />
grænseflade ligger som vist på figuren. M<strong>as</strong>sefylden i de to lag er<br />
p^ = 1 , 016 ° 10^ kg/m3<br />
P2 = 1. 022 " 10^ kg/m3<br />
H<strong>as</strong>tigheden i det øvre lag ved station A og C er målt til O, 18 m/s<br />
og i det nedre lag er den målt til 0,08 m/s„ Ved station B er der<br />
strømstille i både øvre og nedre lag.<br />
Angiv vandets bevægelsesretning i det øvre lag.<br />
Nedskriv den ligning der beskriver den stationære bevægelse i det<br />
øvre og nedre lag« Der ses bort fra gnidning og tidevandskræfter.<br />
Beregn overfladens og grænsefladens hældninger.
Opgave Januar 1982 Geofysik 3<br />
Vandudvekslingen mellem et randhav og det åbne ocean på 55° N bredde,<br />
sker gennem en kanal med en konstant dybde på 30 m og en bredde på 5 km.<br />
-7"<br />
V / /<br />
Ved observationer i kanalen finder man at den kan deles op i to lag.<br />
I øverste lag kan man sætte S = 12^» og p = 1008,9 kg/ra , og i det nederste<br />
3<br />
lag S_ = 30^«og p = 1023,5 kg/m . Det øverste lag har en tykkelse på h = m.<br />
Der er en ferskvands tilførsel til randhavet pa Q^ = 1 • 10 m /sec. Det<br />
antages at nedbør = fordampning i det pågældende område, og endvidere at der kan<br />
ses bort fra vind og tidevand.<br />
1) Angiv retningen for strømningerne i de to lag i kanalen.<br />
2) Udled udtryk til beregning af volumen transporten i de to lag og beregn disse.<br />
3) H<strong>as</strong>tighederne i de to lag antages konstante. Beregn disse.<br />
) Beregn vandstandsforskellen mellem de to sider af kanalen. På hvilken side er<br />
vandstanden højest?<br />
5) Beregn hvor stor forskel der er i tykkelsen af det øverste lag ved de to sider<br />
af kanalen, og på hvilken side er det tykkest?<br />
6) Når det antages at der ingen strømning er i de to lag, hvad er da f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighe-<br />
den for en intern bølge i kanalen?
En tidevands-bølge med perioden T = 12,^2 h og amplituden a = 2,6 m,<br />
udbreder sig fra område I med dybden 2000 m. til område II med dybden 1^40 m.<br />
1) Beregn f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tigheden i de to områder.<br />
2) Beregn bølgelængden i de to områder.<br />
3) Beregn amplituden i område II.<br />
2<br />
Tyngdeaccelerationen g sættes lig med 9,81 m/s<br />
Opgave 86 Sommer I982 Geofysik 3<br />
Der betragtes et homogent oceanisk område på den nordlige<br />
halvkugle, omkring 65°N, med en dybde på 600 m. Mod øst er<br />
oceanet begrænset af en lang lige kyst. M<strong>as</strong>sefylden p er 1 025 kg/m .<br />
Igennem en periode har der langs kysten blæst en vind fra<br />
syd med h<strong>as</strong>tigheden W =15 m/s.<br />
Den vertikale turbulente gnidningskoefficient A =10 kg/m-s<br />
antages konstant i hele vandsøjlen.<br />
Vindspændingen er givet ved udtrykket T = p^ c^ W^ hvor luf-<br />
tens m<strong>as</strong>sefylde p^ = 1 , 25 kg/m^ og c^ = 1 , 3- 1 O ^ .<br />
Beregn, under antagelse af, at systemet er i ligevægt:<br />
1) Tykkelsen af øvre og nedre Ekman-lag.<br />
2) H<strong>as</strong>tighed og retning af strøm i overfladen og på 200 m dybde.<br />
3) M<strong>as</strong>setransporten langs kysten for friktionslaget ved bunden^ og<br />
angiv om den er nord- eller sydgående.<br />
2
Der betragtes et delvist lukket havområde med dybden ZOO m,<br />
der er påvirket af den halvdaglige tidevandskomponent M^ (T = 12,42 h)<br />
1) Angiv i hvilken afstand det amphidromiske punkt ligger fra<br />
endevæggen.<br />
2) På hvilket tidspunkt haves højvande i punktet B ( (x, y) = {L, -a)),<br />
når højvande indtræder i punktet C ( (x, y) - {L, 0) ) klokken 12—,<br />
3) Hvad er ifølge teorien forholdet mellem amplituderne ved<br />
højvande i punkterne A: ( (x, y) = (O, -a) ) og D: { (x, y) = (O, a) ) ?<br />
Stemmer dette resultat godt overens med observationer af tide-<br />
vandsamplituderne gjort ved Englands østkyst og Jyllands vest-<br />
kyst? Forklar eventuelle forskelle.
Opgave ( Studiespørgsmål )<br />
En trykmåler er følsom for trykvariationer på + 100 Pa.<br />
Bestem den minimale bølgdelængde en bølge skal have for at kunne måles på<br />
2000 m , hvis amplituden er 10 cm i overfladen.<br />
Opgave 89 (Studiespørgsmål)<br />
Beregn middeldybden af søen VEttern, når denne er 12^+ km lang, meget smal og<br />
følgende vandstands målinger er observeret ved enderne.<br />
22 2i 2 i 6 8 lb 12 Û 16 18 2022214 2 Â 6 8<br />
O<br />
5-12.1913<br />
O<br />
6-12-1913<br />
Opgave 90 (studiespørgsmål)<br />
Find de minimale f<strong>as</strong>e-og gruppe-h<strong>as</strong>tigheder og de tilhørende perioder for over-<br />
fladebølger, når det antages at vanddybden er stor i forhold til bølgelængden,<br />
og overfladespænding medregnes.
Et stræde med rektangulært tværsnit gennemstrømmes af to modsat gående<br />
vandm<strong>as</strong>ser med m<strong>as</strong>sefylderne p, og p^ [kg x m'^]. Strømmene v^ og v^ [m x s'^]<br />
antages begge at være i geostrofisk ligevægt.<br />
A B<br />
C D<br />
E F<br />
1) Angiv samtlige betingelser for geostrofisk ligevægt og diskuter disse.<br />
Atmosfæretrykket over AB er konstant og tværsnittets geometri er kendt.<br />
Vandstanden ved station A er Ah [tn] højere end ved B.<br />
2) Hvor stor bliver v^ ?<br />
Atmosfjeretrykket ændrer sig jævnt over station A og B, således at barometer-<br />
standen øges med AP [mb] ved B.<br />
3) Hvor stor bliver Ah med uændret v^ herefter ?<br />
Nettom<strong>as</strong>setransporten over tværsnittet ABFE antages at være nul, og bundstrom-<br />
men er på et enkelt sted i nedre tværsnit målt til at være det halve af<br />
overf1adestrømmen.<br />
4) Angiv beliggenheden af springlaget CD.
Et tankskib i den centrale del af Nordsøen får en lækage, hvorved 2000 tons<br />
olie siver ud. I løbet af et vist tidsrum ligger oliepletten jævnt fordelt<br />
over et cirkulært område på 10 km^. Idet m<strong>as</strong>sefylden for henholdsvis havvand<br />
og olie sættes = 1025 kg x m"^ og 900 kg x m'^, og der antages hydrostatisk<br />
ligevægt, spørges der om følgende:<br />
i) Find olieplettens udadrettede Randh<strong>as</strong>tighed for ovennævnte situation<br />
udtrykt ved olieplettens middeltykkelse gennem benyttelse af Bernoul-<br />
li's 1igning.<br />
2) I tilfælde af vindstille skal olieplettens videre skæbne beskrives i<br />
sproglige former udfra de generelle strømforhold, som hersker i<br />
området.<br />
3) Det blæser nu op til vestenvind, som holder sig med konstant styrke W<br />
= 15 m X s'^ i dagevis. Angiv olieplettens vindbetingede h<strong>as</strong>tighed og<br />
retning, når Ekmandybden D = 30 m og vindspændingen t = 1.8 x 10'^ x<br />
W^, hvor W angives i m x s" ^ {såkaldte sekundmetre). Øvrige nødvendige<br />
talmæssige værdier til besvarelse af dette spørgsmål kan fremskaffes<br />
fra kompendiet Østersøen - Nordsøen.<br />
4) Kan man forvente, at oliepletten under påvirkning af samme konstante<br />
vindspænding vil bevare den ovenfor fundne bevægelsesretning og fart<br />
indtil olien skylles ind på land ? Svaret begrundes udførligt ved<br />
brug af oplysningerne givet i kompendiet Østersøen - Nordsøen.
Opgave I.<br />
Hydrodynamik og El<strong>as</strong>ticitetsteori.<br />
En lang cirkulær cylinder med radius R^ er ophængt lodret inden i en anden<br />
cylinder med samme længde og indre radius R^. De to cylinderes akser er<br />
sammenfaldende. Den ydre cylinder roterer med konstant vinkelh<strong>as</strong>tighed fi,<br />
mens den indre står stille. Mellem de to cylindre findes en usammentrykkel ig<br />
væske med viskositet Væsken antages at bevæge sig stationært og laminart.<br />
En væskedel i afstanden r fra aksen bevæger sig altså i en cirkel. Vinkelha-<br />
stigheden kaldes ij(r). Der ses bort fra de særlige forhold ved cylinderens<br />
ender. Det kraftmoment (pr. meter langs cylinderen) omkring cylinderaksen,<br />
hvormed væsken udenfor en cylinder med radius r påvirker væsken indenfor denne<br />
cylinder, kaldes M.<br />
1) Vis, at M er konstant for R^ < r < R^ og vis, at det under de givne<br />
forudsætninger kan afhænge af /i, og ^ , men ikke direkte af u.<br />
2) Vis ved dimensionsanalyse samt ved betragtning af det næsten plane special-<br />
tilfælde R^-R^ < < R^ at<br />
og find herefter w som funktion af r.<br />
.3 dw<br />
3) Find det arbejde (pr. sek.) som kraftmomentet (pr. meter langs cylinderen)<br />
fra den ydre cylinder udfører på væsken.<br />
4) Beregn varmeudviklingen (pr. sek. og pr. meter langs cylinderen) i væsken og<br />
eftervis, at alt det af kraftmomentet udførte arbejde omsættes til gnidnings-<br />
varme i væsken.
Opgaver i oceanografi<br />
Opgave 1)<br />
En vandpartikel på 30 nordlig bredde som ikke påvirkes af andre horisonta-<br />
le kræfter end Corioliskraften f har til tiden t = o en h<strong>as</strong>tighed u gående<br />
horisontalt mod øst = 0.5 m Beskriv partikelbevægelsen og find<br />
perioden for bevægelsen.<br />
Jordens vinkelh<strong>as</strong>tighed = 7.29 • 10"^ s"^<br />
Opgave 2)<br />
a) Definer termohalin konvektion.<br />
b) På hvilken måde adskiller termisk konvektion i åbne havområder sig væsent-<br />
lig fra konvektionen i søer ? Der ønskes en omfattende begrundelse.<br />
c) Angiv de vigtigste områder hvor dybvandet og bundvandet dannes. Områdernes<br />
geografiske placering ønskes forklaret i detaljer.<br />
d) På hvilke måder spiller vinden en rolle for øgning af konvektionen på høje<br />
breddegrader ?<br />
e) Giv eksempler fra den nordlige og sydlige halvkugle på konvektion, som i<br />
overvejende grad er halin. Diskuter de betingelser som fremmer en sådan<br />
konvektion.
h<br />
Hydrodynamik og El<strong>as</strong>ticitetsteori Jan. 1989.<br />
Opgave 1.<br />
I en kanal med strømmende vand er der på bunden en forhøjning, der kan be-<br />
skrives ved<br />
y =<br />
^(1 + cos^x) for - ^ < X < ^<br />
O ellers<br />
Uden for forhøjningen er vanddybden konstant = h » A og strømningsh<strong>as</strong>tigheden<br />
Vq er konstant for 0
En ret cirkulær el<strong>as</strong>tisk cylinder med højden h og radius R påvirkes på<br />
endefladerne med kræfter, der kun har en normal komponent, bestemt ved et<br />
konstant tryk P, mens den krumme overflade ikke påvirkes af ydre kræfter.<br />
Cylinderen er karakteriseret ved el <strong>as</strong>ticitetsmodulet E og tværkontrakt ionsfor-<br />
holdet cr. Opgaven er at finde forskydningsfeltet u, idet der benyttes cylin-<br />
derkoordinater.<br />
1: Opstil den differentialligning, der bestemmer u.<br />
2: Redegør for at rot "ti = O og vis at dette medfører at div er<br />
konstant.<br />
3: Redegør for at-^^ = O og benyt dette sammen med randbetingelserne<br />
OU<br />
til at bestemme ir.
Oceanografi<br />
a) Beregn den maksimale tidevandskraft fra sol og måne tilsammen.<br />
b) Hvad giver ligevægtsteorien for den maksimale hævning af vandoverfladen<br />
fra sol og måne tilsammen?<br />
•"sol ("linimum) = 1.471 x lo'''' m<br />
g<br />
i"^^^(minimum) = 3.633 x 10 m<br />
Tyngdeacc. - 9,81 m/s"<br />
S - 1.989 X kg<br />
M = 7.353 X 10^^ kg<br />
J = 5.978 X 10^^ kg<br />
R = 6.371 X 10^ m<br />
I -1 p p<br />
Gravitationskonstanten = 6,67259 x 10 m kg~ N<br />
ous moon
Oceanografi<br />
a) Under hvilke forudsætninger udledes f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tigheden for en såkaldt lang<br />
bølge? Anfør herunder samtlige fysiske karakteristika ved en lang bølge.<br />
En lang bølge løber skråt ind mod en lang lige kyst. Havbunden er overalt i<br />
havområdet horisontal, og i afstanden d fra kysten ændrer vanddybden sig dis-<br />
kontinuert fra dybden h^j langt fra kysten til dybden inde under land.<br />
I afstande fra kysten større end d er bølgens indfaldsvinkel = ot. Mellem dis-<br />
kontinuiteten og kystlinien er indfaldsvinklen = ^ .<br />
b) Angiv sammenhængen mellem og ^ .<br />
c) Angiv vandh<strong>as</strong>tigheden i grænselaget ved bunden, når bølgehøjden er .<br />
d) Angiv volumentransporterne vinkelret på kysten langt ude på det åbne hav<br />
samt tæt på kysten per kystlængdeenhed.<br />
K.<br />
V<br />
9<br />
%+ X
Opgave I (oceanografi)<br />
T, S - diagrammer er et nyttigt redskab i oceanografi.<br />
a) Beskriv med så mange eksempler som muligt hvor T, S - diagrammer kan<br />
benyttes.<br />
b) Hvilke fysiske forudsætninger ligger der til grund for T, S - diagram-<br />
merne?<br />
c) Angiv samtlige tilfælde hvor T, S - diagrammer ikke kan benyttes.<br />
d) Nævn typiske eksempler på henholdsvis sædvanlige konservative og ikke-<br />
konservative stofegenskaber 1 havet. Beskriv desuden nogle af de ikke-<br />
konservative stofegenskabers fordele og begrænsninger.<br />
NURIKCN l)OU.le (IIKCD (lin ing GIM'IDUII Atlantic CVPEDilions) and its WDI'kiiij;<br />
priiifiplu (I 15 of oii^'imil .si/f).<br />
Salinity in %„<br />
35.0 36.0
Opgave II (oceanografi)<br />
En forankret strømmåler som vist på figuren er planlagt til at stå 3000<br />
meter over havbunden. Strømmålerens og ophængswirens vægt i vand kan<br />
antages vægtløs. ^^OC<br />
selvregistrerende strammåler<br />
strømmålerfane<br />
havoverflade<br />
- I ooo -t<br />
3060 nrn^<br />
Opdriftskuglens m<strong>as</strong>se pa land er 180 kg og dens indre diameter er 1.20 m.<br />
-3<br />
Kuglen er lavet af svær pl<strong>as</strong>t med en m<strong>as</strong>sefylde på 2000 kg m . Endelig<br />
antages det at kuglens samlede overflade er langt større end strømmåle-<br />
rens og wirens overflader tilsammen.<br />
a) Udled, en sammenhæng mellem wirevinkel målt fra lodlinien til den skråt-<br />
stående wire som følge af havstrømmen v's påvirkning af systemet gennem<br />
benyttelse af Newtons 2. lov, idet det antages at m<strong>as</strong>setransporten med<br />
kuglen giver anledning til et uel<strong>as</strong>tisk stød.<br />
b) Wirevinklen findes at være 12°.<br />
Beregn "v som antages konstant overalt.<br />
c) På hvilken dybde måles havstrømmen?<br />
d) Hvor meget påvirkes strømmålerens geografiske position målt som en hori-<br />
sontal afstand fra bundloddet?<br />
bund
Illustration til opgave II, der viser overfiadebøjen og opdriftskugleme gjort Idar til udsætning fra<br />
r.v. Bjarni Sæmundsson under Torskekrigen ved Island efteråret 1973.
Geofysik 2a<br />
Skriftlig prøve den 7. januar 1988.<br />
Lærerbøger, tabeller, notater og lommeregner tilladt.<br />
Opgave la.<br />
Fundy Say mellem Nova Scotia og New Brunswick, Canada, er<br />
kendt for at have det største tidevand. I det inderste af<br />
Fundy Bay, Min<strong>as</strong> B<strong>as</strong>in, er amplituden af Mg 6.0 m, hvorimod<br />
amplituden på det åbne ocean udenfor (kontintalranden) er<br />
0.4 m. Der er yderligere observeret en tidsforsinkelse på<br />
3" mellem højvande på kontinental randen eg et punkt ved<br />
Min<strong>as</strong> B<strong>as</strong>in. Ved dette punkt er kysten retlinet over et<br />
langt stykke. Den teoretiske <strong>as</strong>tronomiske amplitude for M2<br />
komponenten af tidefeltet er på det pågældende sted 0.438<br />
Man har placeret et gravlmeter på kysten umiddelbart<br />
ved vandet, men over det højeste vandniveau. Ved kontinentranden<br />
har det vist sig at tidevandet netop er i f<strong>as</strong>e<br />
med tidefeltet, (tilfældigvis).<br />
1) Forklar kvalitativt hvorfor der er så stor forskel i<br />
tidevandet mellem kontinentranden og det indre af Fundy<br />
Bay.<br />
2) M2 har perioden 25'"'. For $2 kan man antage at<br />
dynamikken i oceanet er den samme som for M2 på grund af<br />
den lille forskel i periode. Hvad vil man under disse<br />
forudsætninger forvente for springflodsamplituden i Min<strong>as</strong><br />
Bay?<br />
3} Hvad er amplituden af ligevægtsti den for Hg i området?<br />
4) Hvad er gravimeteramplituden for jordtiden for Mg i<br />
området?<br />
5) Hvad er amplituden af M2 tidevandet tidevandet ved<br />
Min<strong>as</strong> Bay på gravimeteret?<br />
6) Hvad er den samlede amplitude af Hg signalet på<br />
gravimeteret?<br />
Havvands m<strong>as</strong>sefylde er 1025 Love tal er h=0.58 og<br />
k=0.29. Jordens radius a=6371.2 km.
Geofysik 1/Fysik/3, studieår<br />
Opgave i oceanografi<br />
Hjælpemidler tilladt<br />
I løbet af en lang og hård isvinter over hele Nordeuropa er der dannet havis<br />
udfor Jyllands vestkyst, hvor saliniteten varierer fra 30 °/oo til 35 °/oo.<br />
Isohalinerne (flader, der gennemløber områder med samme salinitet) løber<br />
parallelt med den jyske vestkyst og saliniteten er desuden uafhængig af<br />
vanddybden.<br />
1) Havvandets m<strong>as</strong>sefylde afhænger af flere uafhængige fysiske parametre som<br />
bedes angivet.<br />
2) I det aktuelle tilfælde ønskes en begrundet beskrivelse af den vertikale<br />
temperaturfordeling under havisen udfor vestkysten - benyt f. eks figuren.<br />
3) M<strong>as</strong>sefyldens variation fra havoverfladen til havbunden bedes beregnet til<br />
første orden. Der ønskes en klar angivelse af hvorledes svaret er fremkommet.<br />
4) Under forudsætning af geostrofisk ligevægt alene spørges der om retningen<br />
og størrelsen af en vandm<strong>as</strong>setransport udfor den jyske vestkyst. Benyt oplys-<br />
ningerne i figuren samt, at havvandets m<strong>as</strong>sefylde øges med 0.8 °/oo for hver 1<br />
°/oo 's øgning i saliniteten.<br />
FORTSÆTTER PÅ SIDE éH
Fig.<br />
Saliniteten øger lineært med afstanden indefra kysten, hvor den er 30 ®/oo, op<br />
til 35 °/oo ved havisranden. Herefter ændrer saliniteten sig ikke. For enkel-<br />
heds skyld antages endelig at temperaturen er konstant i hele området.<br />
\^ndspe.i1shældninq = O<br />
vanddybde<br />
20 meter<br />
havis<br />
j i i i i i i i i i i u i n a i<br />
/ ^<br />
vanddybde =<br />
19 meter<br />
plan horisontal havbund<br />
/ / /// / / / / / / / / / / / / / y ^ / z ' / / / / /<br />
1777-<br />
/<br />
I de åbne frie vandm<strong>as</strong>ser væk fra havisen antages den geostrofiske strøm at<br />
være lig med nul.<br />
Havisens udbredelse fra kysten og udover = 30 km.<br />
Det sætter ind med kraftig og vedvarende vestenvind.<br />
5) Hvordan påvirker denne vejrsituation og havstrømningen omkring isranden?<br />
Svaret begrundes.<br />
OPGAVE I OCEANOGRAFI SLUT
Trykkræfter i havet har 2 forskellige oprindelser<br />
a) det barokline tilfælde:<br />
og<br />
b) det barotrope tilfælde<br />
1) Definér disse 2 tilfælde og gør klart rede for de indbyrdes forskelle.<br />
2) Definér betingelsen for den såkaldte geostrofiske ligevægt.<br />
3) Opskriv den/de gældende ligninger for den pågældende ligevægt.<br />
4) Beskriv og begrund hvor i verdenshavet og under hvilke forudsætninger den<br />
geostrofiske ligevægtsbetingelse giver en realistisk fremstilling af havstrøm-<br />
ningsmønsteret, samt en beskrivelse af, hvor netop denne idealisation absolut<br />
skal erstattes med en anden. Svaret bør uddybes.<br />
5) Under antagelse af geostrofisk ligevægt skal det vandsti Ile dybdeniveau<br />
(level of lio motion) defineres på sædvanlig måde.<br />
6) Der skal sidenhen redegøres for hvorledes eksistensen af det vandstille<br />
niveau kan benyttes i geostrofiske strømberegninger.
Opgave 1<br />
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN<br />
Eksamen i Geofysik 3<br />
Oceanografi<br />
Onsdag den 10. juni 1987<br />
{hjælpemidler tilladt)<br />
En atmosfærisk lavtrykspuls med horisontal udstrækning vist på figuren<br />
bevæger sig med 100 km/t over havområde I, hvor vanddybden er 400 m.<br />
Lavtrykket danner ved en lokal vindstuvningseffekt en gruppe af over-<br />
fladebølger med en gruppeh<strong>as</strong>tighed som har samme størrelse og retning<br />
som lavtrykkets udbredelsesh<strong>as</strong>tighed.<br />
Loo kw<br />
SHELPKflA/r-<br />
DXBDE WD m<br />
orne 3.0 M<br />
200 k»^<br />
1) Angiv f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tigheden samt bølgernes frekvens over havområde I, idet<br />
det antages at gruppe- og f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed har samme retning.<br />
Lavtrykket bevæger sig kK 9.45 ind over en shelfkant under en vinkel<br />
på 45°, hvor dybden aftager fra 400 m til 30 m. Efter shelfkantp<strong>as</strong>sagen<br />
må man forvente at lavtryk og bølgefront ikke længere følges ad.<br />
2) Angiv (gerne approksimativt) bølgebevægelsens retning over område II.<br />
En serie strømmål erstationer er lagt i en ret linie mellem punkterne A<br />
og B på figuren, og målingerne optages kontinuerligt.<br />
3) På hvilket klokkeslet når bølgerne strømmålerstationerne?<br />
4) Hvad er din egen vurdering af om der er mulighed for en væsentlig ampli-<br />
tudeforstærkning ved bølgernes p<strong>as</strong>sage af shelfkanten? (Begrundes ganske<br />
kort).<br />
•^B
Geofysiks, 1987 (oceanografi)<br />
Opgave 2<br />
Opgaven består af 4 spørgsmål, der kan løses uafhængigt af hinanden.<br />
1) Et lukket b<strong>as</strong>sin er beliggende på 45°N. B<strong>as</strong>sinet er 200 km langt i<br />
øst/vest retning og 100 km langt i nord/syd retning, (se fig.l).<br />
B<strong>as</strong>sinet har flad bund. Vandet i b<strong>as</strong>sinet er homogent, og der er<br />
stationær tilstand. Over b<strong>as</strong>sinet blæser en konstant vestenvind på<br />
15 m/s således at vindspændingen T er rettet fra vest mod øst.<br />
Nord<br />
[—100 km—j—100 km-|<br />
Fig, 1<br />
Vandstanden i A er målt til 400 m. Find vandstanden i B under anta-<br />
gelse af at øvre og nedre Ekmandybde i b<strong>as</strong>sinet er 50 m, og at der<br />
ses bort fra friktion mod kysterne,<br />
2) Et andet havområde beliggende på 45°N er kun afgrænset af en lang<br />
lige kyst mod syd. Havområdet har ligeledes flad bund (se fig.2).<br />
Vandet i området er homogent og stationær tilstand råder. Over om-<br />
rådet blæser en konstant vestenvind på 15 m/s.<br />
Nord<br />
A<br />
T X<br />
50 km<br />
1<br />
^ 100 km-<br />
.100 km H<br />
T<br />
50 km<br />
Fig. 2<br />
Vandstanden i a er målt til 400 m. Find vandstanden i b og c under<br />
antagelse af at øvre og nedre Ekmandybde er 50 m og at der ses bort 2<br />
fra friktion mod kysten. Der regnes med følgende konstanter g=9.8 m/s ,<br />
vandets ¡m<strong>as</strong>sefylde 1030 kg/m og vindspændingen T = P. C , V hvor<br />
luftens m<strong>as</strong>sefylde p^ = 1.3 kg/m , c^ er kontant lig 1.4.10' og V^<br />
er vindh<strong>as</strong>tigheden.
Geofysik 3, 1987 (oceanografi)<br />
3) Et tredie vandområde med dybden 400 m er ligeledes beliggende på<br />
I dette område blæser det ikke, og det har det ikke gjort<br />
længe, og vandoverfladen er derfor fuldstændig vandret. Vi vil<br />
betragte en vandpartikkel, der er beliggende i overfladen og<br />
bevæger sig med en konstant fart. Idet der ses bort fra friktion<br />
og tidevand og under antagelse af at vertikalh<strong>as</strong>tigheden w = O<br />
og vandm<strong>as</strong>sen er homogen, ønskes der en vurdering af vandpartik-<br />
lens position til tiden t = 17 timer angivet approximativt i for-<br />
hold til udgangspositionen til tiden t = O . Der ønskes en be-<br />
svarelse, såvel når den konstante fart er 0.1 m/s og 0.2 m/s.<br />
Ville svarene have været anderledes, hvis der blev taget hensyn<br />
til friktion mod bunden?<br />
4) I et fjerde havområde på breddegraden 45°N viser undersøgelser, at<br />
der findes to vandm<strong>as</strong>ser med m<strong>as</strong>sefylderne P-J og P^ adskilt af et<br />
uendeligt tyndt springlag. Det cykloniske rotationssymmetriske<br />
h<strong>as</strong>tighedsfelt er målt til 0.2 m/s i øvre vandlag og 0.1 m/s i<br />
nedre. En karakteristisk længde for bevægelsen er 50 km.<br />
Er det ved en beregning af tykkelsen af det øvre lag nødvendigt at<br />
tage hensyn til centrifugalacce lerationen? Der lægges vægt på<br />
begrundelsen for svaret, der f.eks. kan tage udgangspunkt i en<br />
skalaanalyse.
Opgave 1<br />
Eksamen i Fysik 3, Geofysik<br />
(Opgave i oceanografi)<br />
Mandag den 25. maj, 1987<br />
kl. 9 - 13<br />
GAMLE ORDNING<br />
(hjælpemidler tilladt)<br />
a) Redegør for de antagelser og forudsætninger som må være opfyldt<br />
for at Knudsens hydrografiske teorem skal være gyldig og disku-<br />
ter kortfattet dette teorems anvendelsesområder.<br />
b) Havområdet nord for en linie fra Østgrønland over Island, Færøerne<br />
og Shetland til Skotland kan for mange formål betragtes som et<br />
Middelhav. Det kan antages at al tilførsel af havvand til området<br />
sker gennem Færø-Shetland-kanal en hvor det indstrømmende vand har<br />
6 3<br />
en middelsalinitet på 35.3 o/oo. Transporten er beregnet til 3.10 m /s.<br />
Al udstrømning antages ske gennem Danmarksstrædet mellem Grønland<br />
og Island. Middelsaliniteten for det udstrømmende vand er 32.5 o/oo.<br />
Beregn nettoferskvandstilførslen til området samt vandtransporten<br />
gennem Danmarksstrædet.<br />
Opgave 2<br />
a) Forklar hvad der forstås ved "geostrofisk strøm", og redegør for<br />
de forudsætninger og antagelser som må være opfyldt for at en strøm<br />
skal være geostrofisk.<br />
b) Ved målinger langs et snit vinkelret mod Østgrønlands kyst på 74°N<br />
har man i en sommersituation fundet at havet her består af to homo-<br />
gene lag adskilt af en veldefineret skilleflade. I det øvre lag<br />
flyder store mængder drivis. Temperaturen er derfor nær frysepunk-<br />
tet, saliniteten er 32.5 o/oo og densiteten er bestemt til 1027.1 kg/m<br />
Under dette lag ligger et tykt lag af betydelig varmere og saltere<br />
vand af Atlantisk oprindelse. Densiteten er her 1028.1 kg/m .<br />
Opgavesættet fortsættes
Skillefladen mel lem lagene ligger dybest ved kysten, og tykkelsen af<br />
det øvre lag aftager lineært med afstanden fra kysten. I 50 km af-<br />
stand fra kysten har tykkelsen af det øvre lag mindsket med 145 m.<br />
Med anvendelse af betegnelserne i nedenstående figur og under antagelse<br />
af geostrofisk balance er følgende udtryk gyldig for skillefladens<br />
hældning:<br />
tg Y = ^<br />
Udled dette udtryk!<br />
TI '2^2<br />
P2 - Pi<br />
(Margules ligning)<br />
c) Beregn strømmens fart og retning i det øvre lag under forudsætning<br />
af at det underliggende Atlantiske vand er i hvile.<br />
d) Antag at skillefladen mellem de to lag skærer havoverfladen 60 km<br />
fra kysten.<br />
Hvor meget afviger vandstanden målt ved kysten fra den som ville<br />
måles hvis også det øvre vandlag var i hvile.<br />
Der bortses fra eventuelle effekter fra vind, lufttryksvariationer og<br />
friktion.<br />
Opgavesættet slut
a) Redegør for de gennemsnitlige volumentransporter ved<br />
Gibral tarstrædet.<br />
Middelsaliniteten for henholdsvis Atlanterhavs- og Middelhavsvand-<br />
m<strong>as</strong>ser er 36,26 °/oo og 37,75 °/oo. Volumentransporten af Atlanter-<br />
6 3<br />
havsvandm<strong>as</strong>sen ansættes i middelværdi til 1,75 • 10 m /sek.<br />
b) Beregn nettofordampningen pr. tidsenhed for Middelhavsområdet.<br />
c) Indgår Sortehavet som en del af Middelhavsområdet i ovennævnte<br />
Opgave 2<br />
beregning? Der ønskes begrundelse.<br />
Havvandets m<strong>as</strong>sefylde P er en funktion af salinitet S, temperatur T<br />
samt tryk p: P= P(S, T, p). For mange praktiske formål gælder rela-<br />
tionen<br />
1) T^ax = - S) °C<br />
Havvandets frysepunkt som funktion af S kan tilnærmet skrives:<br />
2) -0,054 S °c<br />
Vi betragter nu en lang vintersituation (f.eks. 1962/63) i danske far-<br />
vande og antager, at isdannelse på havoverfladen i kystnære områder<br />
har fundet sted.<br />
a) Begrund hvorvidt m<strong>as</strong>sefyldens trykafhængighed er væsentlig for<br />
problemløsninger i vore farvande<br />
Idet vi ser bort fra horisontal advektion, spørges der videre;<br />
b) Hvilket udseende vil den vertikale temperaturfordeling (fra<br />
havisens underside til havbunden) have i tilfældet<br />
i) Køge Bugt, som antages uden haloklin<br />
ii) Nordsøen (der ønskes en begrundelse).<br />
Man bedes give en omtrentlig overfladeteraperatur og bund-<br />
temperatur i hvert af de to tilfælde.<br />
Saliniteten for Køge Bugt og Nordsøen antages at være henholdsvis 13 °/oo<br />
og 34.5 °/oo.
Eksamen i Fysik 3: Geofysik den 19. jan. 1987<br />
Opgave i fysisk oceanografi<br />
Opgave 1<br />
I en position i det sydlige Atlanterhav (52.5°S, 52.5°W) har man ud<br />
fra et relativt begrænset antal målinger beregnet følgende:<br />
I overfladen er amplituden af temperaturens årsvariation 3.18°C.<br />
Temp.eraturmaximum opnås den 15.febr. og temperatur minimum et halvt<br />
år senere.<br />
I 100 m dybde er den årlige temperaturvariations amplitude 2.12°C og<br />
temperaturmax. og min. indtræffer 21 dage senere end i overfladen.<br />
I 400 m dybde er amplituden af temperaturens årsvariation reduceret<br />
til 1.14°C og temperaturmax. og min. opnås 56 dage senere end i over-<br />
fladen.<br />
For at analysere disse data gøres følgende antagelser:<br />
a. I analogi med hvad som gælder for en periodisk temperaturforstyr-<br />
HSop<br />
relses udbredelse i et f<strong>as</strong>t legeme antages at temperaturen i et<br />
punkt i havet kan skrives<br />
z<br />
T = TQ + T^.e^ cos (ü)t - $ + (1)<br />
Tq og T^ to konstante temperaturer - henholdsvis middel-<br />
temperaturen og amplituden af årsvariationen.<br />
(}) er en f<strong>as</strong>ekonstant som angiver hvor længe efter årets<br />
begyndelse temp.max. opnås.<br />
d og h er to konstanter med dimension længde<br />
u) er vinkelfrekvensen for jordens bevægelse i sin bane<br />
omkring solen.<br />
Videre antages:<br />
b. Ligning (1) gælder exakt.<br />
c. Alle horisontelle temperaturgradienter er så små og alle strømme<br />
er så svage at man kan bortse fra alle advektive led i diffusions-<br />
ligningen og fra horisontel diffusion så at al varmetransport i<br />
havet sker ved vertikal turbulent diffusion.<br />
d. Den vertikale turbulente diffusionskoefficient K^ er konstant.
Eksamen i Fysik 3, Geofysik den 19. jan. 1987<br />
Opgave i fysisk oceanografi (forts.)<br />
Opgave i fysisk oceanografi (forts.<br />
Opgave 2<br />
I Stillehavet udenfor Nordamerik<strong>as</strong> vestkyst på ca. 30°N blæser vinden<br />
i forholdsvis lange perioder fra nord parallelt med kysten. Antag for<br />
enkeltheds skyld følgende:<br />
Vandets densitet p oq luftens densitet P, er konstante.<br />
a<br />
Dybden til bund er konstant. Vindh<strong>as</strong>tigheden W^ har været konstant i<br />
a<br />
så lang tid at stationær tilstand er indtrådt.<br />
Den vertikale gnidningskoefficient A^ er konstant. Vindspændingen T er<br />
givet af ^<br />
Følgende konstanter anvendes:<br />
Cp = 1.3 • 10"^<br />
p^ = 1.25 kg m"^<br />
p = 1025<br />
W = 7 ms"^<br />
-1 -1<br />
A^ = 8 kg m 's '<br />
Beregn:<br />
1. Tykkelsen af det øvre og det nedre Ekmanlag.<br />
2. Fart og retning fqr den totale strøm i overfladen.<br />
3. Den totale volumentransport langs kysten.<br />
4. Findes vertikalbevægelser? Angiv i så fald retning og størrelse for<br />
den vertikale m<strong>as</strong>setransport regnet pr. meter kyst.
Opgave i oceanografi<br />
a) Redegør for de antagelser og forudsætninger som må være opfyldt<br />
for at Knudsens hydrografiske teorem skal være gyldig og disku-<br />
ter kortfattet dette teorems anvendelsesområder.<br />
b) Havområdet nord for en linie fra Østgrønland over Island, Færøerne<br />
og Shetland til Skotland kan for mange formål betragtes som et<br />
Middelhav. Det kan antages at al tilførsel af havvand til området<br />
sker gennem Færø-Shetland-kanalen hvor det indstrømmende vand har<br />
6 3<br />
en middelsalinitet på 35.3 o/oo. Transporten er beregnet til 3.10 m /s,<br />
Al udstrømning antages ske gennem Danmarksstrædet mellem Grønland<br />
og Island, Middelsaliniteten for det udstrømmende vand er 32.5 o/oo.<br />
Beregn nettoferskvandstilførslen til området samt vandtransporten<br />
gennem Danmarksstrædet.<br />
Opgave 2:<br />
1) Gør rede for hvorledes det i havet nedtrængende dagslys svækkes med dybden.<br />
2) Gør desuden rede for hvorledes svækkelsen afhænger af bølgelængde og vand-<br />
m<strong>as</strong>se.<br />
3) Angiv den ligning, som beskriver svækkelsen for monokromatisk (ensfarvet)<br />
lys. Beregn den dybde udtrykt ved den vertikale dæmpningskoefficient, hvor det<br />
nedadgående monokromatiske lys er dæmpet 100 gange (det såkaldte 1%-niveau).
Eksamen i Fysik 3, Geofysik den 19. jan. 1987<br />
Opgave i fysisk oceanografi<br />
Opgave 1 (forts.)<br />
1. Undersøg om ligning (1) kan være en løsning til diffusionsligningen<br />
under disse stærkt forenklede antagelser.<br />
2. Udled et udtryk for K^:<br />
3. Anvend de indledningsvis nævnte måleresultater til at beregne<br />
d, h og K^ i dybdeintervallerne:<br />
a) 0-100 m<br />
b) 100-400 m<br />
4. Diskuter mulige årsager til eventuelle afvigelser fra den simple<br />
model.<br />
Opgave 1 (oceanografi)<br />
Oceanernes varmebudget bestemmes af flere parametre. Angiv disse med<br />
fremhævelse af de vigtigste og giv en kortfattet beskrivelse af hver.<br />
Beskriv forudsætningerne bag og princippet i den såkaldte T-S analyse.<br />
Hvor benyttes T-S analysen med størst udbytte ved havundersøgelser.<br />
Der ønskes begrundelser for svarene.
Geofysik 3 eksamen, maj 1985<br />
Sættet er på i alt 5 sider<br />
Ovenstående figur viser en skematisk m<strong>as</strong>se- og saltbalance for<br />
Østersøen. M^ er m<strong>as</strong>sen af den totale salt mængde og M^ m<strong>as</strong>sen af<br />
vandet i Østersøen. M<strong>as</strong>sefylden p for vand antages at være 1000 kg/m^<br />
uanset saltindhold og temperatur.<br />
Ved et snit over tærsklen kan forholdene beskrives som en to-lags<br />
strømning, hvor transporten og saliniteten i henholdsvis øvre og<br />
nedre lag er Q.^, S.^ og Q^, Sg. Langtidsmiddelværdierne af saliniteterne<br />
er = 11 °/oo og S^ = 15 °/oo.<br />
1) Udregn under forudsætning af stationaritet størrelse og retning<br />
af m<strong>as</strong>setransporterne Q^ og Q^ når nettoferskvandstilførslen Q^/p<br />
o<br />
er 1+50 km /år.<br />
De observerede middeltranporter er imidlertid væsentlig mindre<br />
end de der udregnes på ovennævnte grundlag.<br />
Forskellene kan forklares, hvis der på grund, af korrellation mellem<br />
fluktuationer i salinitet og fluktuationer i transport foregår en turbulent
diffusion henover tærsklen.<br />
M<strong>as</strong>sebalancen for b<strong>as</strong>sinet er givet ved<br />
og saltbalancen ved<br />
dM<br />
dM<br />
l i = «2^2<br />
Antag at en variabel kan skrives som x = x + x' , hvor x er<br />
middelværdien over et tidsrum T, og x' er afvigelsen fra middelværdien.<br />
Der gælder x' = O.<br />
2) Indfør denne opdeling for de variable Q^j, Q^s S^ og S^ (Q^ antages<br />
konstant), og<br />
a) vis, at ændringen i saltindholdet i Østersøen AM^ i løbet<br />
af midlingsperidoen T er givet ved<br />
AM s — 77 . 77<br />
F " = S • S^ + Q^ . SG + D ,<br />
hvor D er et led der afhænger af fluktuationerne i , S^, Q^ og<br />
Qg) men ikke af middelværdierne af de enkelte led.<br />
b) Angiv et udtryk for D.<br />
Antag at middelvolumenet og middelsaltmængden i Østersøen er<br />
uændret over en meget lang periode, og at størrelsen af Q^ ^letop er<br />
lig
3) Hvor stor er ?<br />
U) Hvor stort er diffusionsleddet D (enhed : m<strong>as</strong>se/tidsenhed) ?<br />
I et kortere tidsrum på 10 år, har størrelse af Q.|/p været<br />
9^5 km^/år. S^ og S^ har samme værdier som hidtil. Volumet er i middel<br />
bevaret. Antag, at diffusionsleddet D har samme størrelse som tidligere.<br />
5a) Vil saltindholdet • i middel stige eller falde i løbet af de 10 år ?<br />
5b) Hvor stor er salinitetsændringen i middel, hvis Østersøens<br />
Opgave 2<br />
2<br />
middeldybde er 56 m og arealet er 373.000 km .<br />
Over et havområde har der blæst en konstant vind i så lang tid,<br />
at stationær tilstand kan antages. Havstrømmen varierer udelukkende<br />
med dybden, og der er ingen trykgradienter. M<strong>as</strong>sefylden antages konstant<br />
Den vertikale friktionskoefficient A varierer på en ukendt måde<br />
z<br />
med dybden. Dog gælder<br />
A (z) > O,<br />
z<br />
fra overfladen til dybden z = -D, og for større dybder er<br />
friktionen nul.<br />
Antag at vindspændingen T^ er i y-aksens retning. M<strong>as</strong>sefylden<br />
er p^ og Coriolis parameteren f.<br />
i) Vis, at m<strong>as</strong>setranporten integreret over friktionslaget er uafhængigt
- u -<br />
af variationen af A med dybden, og giv et udtryk for m<strong>as</strong>setransporten<br />
z<br />
ved hjælp af ovennævnte parametre (ikke alle nævnte skal nødvendigvis<br />
anvendes).<br />
Antag nu, at der er en lang lige kyst, beliggende på den nordlige<br />
halvkugle, parallelt med vinden. De hidtil gjorte antagelser er stadig<br />
gældende, bortset fra<br />
a) der er nu horizontale trykgradienter i x-aksens retning.<br />
b) der er to lag med m<strong>as</strong>sefylde hhv. p.^ og p^.<br />
Situationen er skitseret på tegningen nedenfor, der illustrerer et<br />
vertikalt snit set fra syd:<br />
VEST<br />
TO km<br />
30 km'<br />
friktion slag<br />
med tykkelse D<br />
friktionslag<br />
med tykkelse D*<br />
ØST
2) Beregn volument ran sport en pr m kyststrækning bort fra kysten i<br />
det øvre friktionslag, der opfylder betingelserne under spørgsmål i)<br />
p^ = 1023 kg/m^<br />
f = 10 ^ s ^ og T = 0.2 K/m^<br />
3) Er vinden rettet mod syd eller nord ?<br />
Vandstanden på kysten i punkt C er 15 cm lavere end middelvandstanden.<br />
I situationer med middelvandstand er vandspejlet horizontalt.<br />
I punktet A er der i denne situation ingen afvigelse fra middel-<br />
vandstanden. Antag, at tyngdeaecelerationen er 10 m/s , og at<br />
vandspejlafvigelsen varierer lineært med x.<br />
U) Beregn den geostrofe h<strong>as</strong>tighedskomponent i øvre lag.<br />
5) Angiv et udtryk for bundgrænselagets tykkelse D' ved hjælp af nogle<br />
af de allerede kendte størrelser samt p^ = 1027 kg/m . Udregn<br />
desuden tykkelsen D'.<br />
Elybden til skillefladen mellem de to vandm<strong>as</strong>ser er i A og B målt<br />
til henholdsvis 320 m og 280 m. Totaldybden varierer lineært. I<br />
A er dybden 600 m og i B U60 m. Strømmen v^ under skillefladen er<br />
modsat rettet v^.<br />
6) Beregn den totale m<strong>as</strong>setransport parallelt med kysten i tværsnittet<br />
mellem A og B. (Det kan tillades at se bort fra det nedre grænselags<br />
transportbidrag langs kysten).<br />
2<br />
3
Satellitmålinger viser at havoverfladen i et punkt Q på 45® N en dag vokser i<br />
x-aksens positive retning (x positiv mod øst) med Im/lOOO km. I nord-syd<br />
retningen er havoverfladen horisontal.<br />
1) Beregn i Q den geostrofe overfladestrøm V^^ = ^^go* ^go^*<br />
2) Ved Q skaber vindstresset i havoverfladen en Ekman-strøm V^^ = t^Eo* ^Eo^'<br />
viser sig at Vc = .<br />
to go<br />
Benyt bl.a. en empirisk bestemt relation mellem Ekman-strømmen i havoverfladen<br />
og vindens fart nær havoverfladen til i Q at bestemme størrelse og retning af<br />
o —"i<br />
vindstresset på havoverfladen. Brug Cp = 1.4 x 10" og = 1.2 kg/m .<br />
3) I en omegn omkring Q er havet barok!int.<br />
Vis at "termalvind" ligningerne kan skrives på formen<br />
az. ' f ^^ a<br />
hVo 9 , ..<br />
^ - f' W ^ ^ ' 3F<br />
hvor cK. er havvandets specifikke volumen.<br />
4) I Ekman-laget ved Q kan ot betragtes som uafhængig af z. I Ekman-dybden D^ er<br />
(Ug. Vg) = (1/4 3/4<br />
Bestem i Ekman-laget ved Q strømh<strong>as</strong>tigheden V = (u, v) som funktion af z.
En kyst har en konstant bundhældning på 0.0017 (dybden tiltager med 1.7 m pr.<br />
kilometer). Der observeres et bølgetog med vinkelret indfald på kysten og<br />
perioden 7.0 sekunder. Amplituden er på dybt vand 0.13 m, og det forudsættes<br />
at der ingen energidissipation finder sted før bølgerne begynder at bryde.<br />
(1) Find i hvilke afstande fra kysten man kan anvende approximationen for<br />
korte bølger, og i hvilke afstande man kan anvende approximationen for<br />
lange bølger. Bestem endvidere bølgelængden i afstandene 40 km, 30 km og<br />
500 m fra kysten.<br />
(2) I en vis afstand fra kysten måles bølgelængden til 69.7 m.<br />
Bestem amplituden på dette sted.<br />
(3) Bølgerne bliver nu mere kortperiodiske. Den horizontelle h<strong>as</strong>tighedsampli-<br />
tude er målt i 2 dybder og er følgende:<br />
Dybde (m) m/s<br />
5 0.05<br />
12 0.03<br />
Beregn bølgehøjden under forudsætning af at approximationen for korte bølger<br />
kan anvendes.
Opgave I<br />
Geofysik 2 eksamen, maj 1989,<br />
En forsøgstank til bølger er 200 m lang. Vanddybden er 5.5 m. I den ene ende<br />
er der anbragt en bølgegenerator, og i den anden ende er der en reflekterende<br />
lodret væg.<br />
Til forsøgets start er vandet helt i ro, og til tiden t=0 startes bølgegenera-<br />
toren, som nu frembringer bølger med en amplitude på 10 cm og bølgelængde 4.3<br />
m,<br />
(1) Beregn bølgernes f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed og gruppeh<strong>as</strong>tighed.<br />
Der skal foretages målinger på bølgerne, og det er ønskeligt at være så langt<br />
fra bølgegeneratoren som muligt. Samtidig ønskes dog tid til mindst 2 minut-<br />
ters målinger, inden der kommer reflekterede bølger fra tankens anden ende.<br />
(2) Hvor langt fra bølgegeneratoren skal forsøget foretages?<br />
(3) Besvar samme spørgsmål [2), idet bølgelængden nu øges til 12 m {efter at<br />
overfladen er kommet i ro igen).<br />
Vandet kommer atter i hvile, og nu ønskes det at producere bølger med stadig<br />
(kontinuert) voksende bølgelængde, således at de først udsendte højfrekvente<br />
bølger mødes med de senere udsendte mere lavfrekvente bølger i eet punkt<br />
beliggende 125 m fra bølgegeneratoren. Til tiden t=0 startes bølgegeneratoren<br />
med en periode på 0.5 sec.<br />
(4) Opskriv som funktion af tiden den frekvens tj(t) som bølgegeneratoren<br />
skal styres med, og beregn til hvilket tidspunkt alle bølgerne mødes<br />
(det forudsættes at alle de producerede bølger kan regnes som korte<br />
bølger, og der ses bort fra reflekterede bølger fra tankens anden ende).<br />
Indflydelsen af jordens krumning ønskes vurderet af hensyn til målenøjagtig-<br />
heden af vandoverfladens højde.
Geofysik 2 eksamen januar 1989.<br />
En dybvandsbølge er karakteriseret ved: ^<br />
Amplitude = 0.8 m, Periode = 13 sec, Tyngdeacceleration = 9.8 m/s ,<br />
Vandets m<strong>as</strong>sefylde = 1020 kg/m^.<br />
1) Bølgen skal kunne registreres af en trykmåler, der er anbragt i en p<strong>as</strong>sende<br />
dybde. Trykmålerens følsomhed er 100 Pa. Hvor dybt kan den placeres, når det<br />
forlanges at bølgens trykamplitude i måledybden er mindst 10 gange følsomhed-<br />
en ?<br />
2) Bølgen kommer ind på mindre vanddybde. Dens gruppeh<strong>as</strong>tighed bestemmes til<br />
12,15 m/s og bølgelængden er 5 gange vanddybden.'Begrund valg af formler og<br />
bestem vanddybden.<br />
3) Bølgen nærmer sig kysten og er nu på 3 m vanddybde. Der forekommer ikke<br />
friktionstab eller brydning ( energibevarelse ). Bestem bølgens amplitude,<br />
idet formlerne for lange bølger gælder i dette område.<br />
Geofysik 2 eksamen januar 1990.<br />
Et havområde på 300 km x 500 km indeholder fremadskridende korte bølger med<br />
perioden 12 sec. og amplitude 0,50 m.<br />
la) Bestem den samlede bølgeenergi, som er tilstedé i området,<br />
lb) De bølger, der forlader området, falder vinkelret ind på en kyst, som er 300<br />
km lang. Bestem den energi, som kysten modtager pr, sec., idet der antages<br />
stationaritet og der ses bort fra energitab til havs.<br />
2) Bestem bølgehøjden umiddelbart før bølgebrydning, når brydningskriteriet er at<br />
bølgehøjden er 80% af middel vanddybden. Det antages at man kan anvende teorien<br />
for lange bølger i brydningsområdet, samt at bølgerne ikke mister energi før<br />
de bryder. Vanddybden ud for kysten er jævnt voksende.<br />
Konstanter:<br />
Havvands m<strong>as</strong>sefylde: 1025 kg/m^<br />
tyngdeacceleration: 9,81 m/s^
Geofysik 2 eksamen, sommer 1990.<br />
For Storebælt opstilles en enkel strømningsmedel med trykkræfter som eneste<br />
virkende naturkræfter. Der er tale om en to-lagsmodel bestående af to homogene<br />
vandm<strong>as</strong>ser adskilt af et knivskarpt springlag. Modellen har en konstant<br />
udadgående overfladestrøm samt en konstant indadgående bundstrøm.<br />
Storebæltsmodellens geomorfologi antages at være en kanal med kendt geometri,<br />
der består af lodrette vægge og flad horisontal bund, og kanalen løber stik<br />
nord omkring B^-N breddegrad.<br />
Kendte størrelser er i tilgift de 2 vandm<strong>as</strong>sers m<strong>as</strong>sefylde og springlagets<br />
højde over havbunden ved henholdsvis modellens vestlige og østlige vægge.<br />
Beregn herudfra:<br />
a) Overflade- og bundstrømmens retning og fart.<br />
b) Vandspejlets fald på tværs af strømretningerne for konstant lufttryk.<br />
Lufttrykket stiger herefter jævnt mod øst med i alt AP mb.<br />
c) Bestem vandspejlets fald og overfladeh<strong>as</strong>tighed.<br />
Opgave 2.<br />
Enkle strømh<strong>as</strong>tighedsberegninger ud fra vandstandsmålinger i sund og bælt<br />
forudsætter et nøje kendskab til højdekoterne på begge kyster. Metoden for<br />
overførsel af en højdekote fra den ene kyst til den anden bygger på U-<br />
rørsprincippet. Et rør - i praksis en armeret pl<strong>as</strong>tslange - lægges langs<br />
bunden gående fra kyst til kyst og vandstanden i rørenderne aflæses. Der<br />
benyttes afg<strong>as</strong>set ferskvand i røret. Antag nu at nivellementet som beskrevet<br />
ovenfor er udført i den i opgave 1 omtalte kanal for tilfældet konstant<br />
lufttryk. Hvor stor er vandstandsforskellen i rørenderne, når ferskvandets<br />
m<strong>as</strong>sefylde aftager 0,18Voo per grad Celcius "C og overfladelagets temperatur<br />
er på 17% og bundvandets er på 8°C?<br />
NB. Besvarelsen forudsætter ikke at opgave 1 er løst, men blot, at<br />
oplysningerne fra denne opgave anvendes.
GEOFYSISK FLUIDDYNAMIK<br />
EKSAMEN, JANUAR 1995<br />
(ALLE HJÆLPEMIDLER TILLADT)<br />
1. I et syd-nord orienteret stræde, der har en bredde på 30 km, er der en nordgående<br />
strøm, der kan beskrives ved ligningen<br />
hvor X er vest-øst koordinaten og W=30 km.<br />
Idet strømningen anses for geostrofisk, skal man vise, at højdeforskellen, A h, i<br />
vandstanden mellem den østlige og den vestlige bred kan beskrives ved formlen:<br />
Beregn højdeforskellen, når den maksimale strøm, Jordens vinkelh<strong>as</strong>tighed, de<br />
geografiske bredde og tyngdeaccelerationen er givet ved<br />
m<br />
Q =7.29x10"^:?-^<br />
L<br />
2 4 f X<br />
hvor VQ er gradientvinden og f„ er Coriolis parameteren, som kan antages konstant.<br />
(Det kan være en fordel at løse for WQ først)<br />
a3: På hvilket fysisk grundlag vælges der mellem de to mulige værdier i ovenstående<br />
formel? Beregn dernæst gradientvinden, når f^ = lO '^ s'\<br />
b: Hvor stor er gradientvinden, hvis man i stedet for et lavtryk betragter et højtryk på<br />
samme sted og med de samme værdier for den geostrofe vind, Coriolis parameteren og<br />
radien.<br />
3. I et punkt i atmosfæren er vinden fra vest mod øst og med en styrke på 10 m s'^ .<br />
Isotermerne er orienteret fra sydvest mod nordøst med den koldere luft mod nordvest.<br />
Afstanden mellem isotermerne, som er tegnet for hver femte grad, er 400 km. Hvor stor<br />
er temperaturændringen i punktet i løbet af 24 timer, når det antages, at bevægelsen er<br />
horisontal?
Eksamen i Oceanografi 2 torsdag den 1. juni 1995.<br />
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt.<br />
Betragt en lang kanal med rektangulært tværsnit beliggende på 45° nordlig bredde.<br />
Kanalens bredde er 1 km, længden 500 km og dybden ci = 40 m. Kanalens længderetning<br />
er orienteret Nord-Syd.<br />
I kanalen observeres en bølge, hvor vandoverfladen er givet ved •r]{x,t) = Acos{kx —ut)<br />
med konstant amplitude A = 10 cm på tværs af kanalen, hvor bølgetallet er k =<br />
1.0 • 10"^ radm~\ og hvor x-aksen er orienteret mod syd.<br />
Det følgende besvares under den antagelse at indre gnidning i vandet kan negligeres og<br />
at vandet er usammentrykkeligt, med m<strong>as</strong>sefyde 1 000 kgm~^. Desnden ses der foreløbig<br />
bort fra <strong>as</strong>tronomiske kræfter. Bortset fra bølgebevægelsen er der ingen strømme.<br />
1. Angiv bølgens f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed c/.<br />
2. Gør rede for, at den horisontale komposant af strømh<strong>as</strong>tigheden u{x,t,z) under<br />
bølgens højeste punkt (dens ryg) er konstant over alle dybder, og givet ved<br />
udtrykket<br />
A<br />
Angiv størrelsen af u.<br />
3. Angiv den potentielle og den kinetiske energi ved bølgens ryg per m^ overflade, i<br />
forhold til vandets hvileposition.<br />
Vi tager nu hensyn til <strong>as</strong>tronomiske kræfter. På det tidspunkt, hvor bølgen observeres,<br />
står Solen og Månen begge højest på himlen (kl. 12 middag) med højder henholdsvis<br />
45° og 50° over den sydlige horisont. Jorden regnes som kugleformet med radius R —<br />
6.37 • 10®m; Afstandene til Månen, tm, og til Solen, rs, regnes konstante. Man kan<br />
benytte følgende værdier, hvor J er Jordens m<strong>as</strong>se, M Månens m<strong>as</strong>se og S Solens<br />
m<strong>as</strong>se:<br />
^ = 0.0123 ^ - 3.33 - 10' VM = eOR rs = 2.35 • 10' R<br />
J J<br />
4. Angiv tidevandspotentialet i kanalen på dette tidspunkt, samt den horisontale og<br />
den vertikale komposant af den samlede tidevandskraft.<br />
5. Beregn tidevandskraftens energioverførsel per tidsenhed til vandet per m^ overflade<br />
under bølgens ryg, idet det antages at tidevandskraften er så svag at bølgens<br />
bevægelser beskrives af den sædvanlige lineære bølgeteori.<br />
6. Beregn bølgebevægelsens energifluks i x-retning ved bølgens ryg, og sammenlign<br />
med energioverførslen fra tidevandskraften.
Et stræde beliggendende på 45° nordlig bredde har længden L = 200 km, bredden 10 km<br />
og den konstante dybde d = 200m. Vandet er homogent, med mcissefylde 1 OOOkgm"^.<br />
Et sædvanligt {x^y^z)- koordinatsystem anbringes som vist på figuren:<br />
Profil:<br />
B<br />
A<br />
D<br />
Ovenfra:<br />
Vandstanden aftager lineært mellem punkterne C og D i hver ende, med en vandstandsforskel<br />
på Ah = 2.0 cm. I hele tværsnittet mellem punkterne A og B, undtagen nær<br />
bunden, måles en konstant stationær strøm med en x-komposant på u^ = 25cms~^.<br />
Det antages at trykgradientkraften i i-retningen balanceres af friktion mod bunden.<br />
En undersøgelse af strømmen lige over bunden viser specielt at strømmens kraft mod<br />
bunden er rettet 45°til venstre for strømmen.<br />
Det antages i det følgende at det nedre Ekman-lags tykkelse D' er meget mindre end<br />
d.<br />
1. Hvor stor er tryk gradientkr af tens z-komposant i strædets midte?<br />
2. Betragt dybder som ligger over det nedre Ekman-lag, Angiv den størrelse af<br />
strømmens y-komposant i strædets midte, som sikrer at der er balance mellem<br />
trykgradientens x-komposant og Corioliskraften.<br />
3. Den geostrofiske m<strong>as</strong>sefluks i y-retningen modsvares af en modsat rettet m<strong>as</strong>sefluks<br />
i det nedre Ekman lag. Beregn dennes y—komposant M^.<br />
4. Beregn overfladens hældning i y-retningen, når der antages geostrofisk balance.<br />
Angiv vandstandsforskellen mellem A og B.<br />
5. Beregn det nedre Ekman-lags tykkelse £?', når det antages at at den turbulente<br />
friktionskoefficient A^/p er konstant over alle dybder, og at strømhcLstigheden går<br />
mod nul for z —d.<br />
Angiv størrelsen af A^ip-<br />
6. Det antages yderligere, at A^jp er proportional med u^//. Hvilke tilsvarende<br />
sammenhænge er da da mellem M^ og u^^^ og mellem A/i og u^? I disse sammenhænge<br />
kan indgå de konstante parametre /, p^ L, d og tyngdeaccelerationen<br />
g-<br />
B<br />
A
Eksamen i Oceanografi 2 torsdag den 23. maj 1996.<br />
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt.<br />
Z.<br />
/N<br />
loZH k-j^^iA'<br />
p r i o2.7<br />
Over et havområde virker en konstant vind med et træk på vandet r med styrke<br />
r = 0.1 Derved overføres der impuls til de øverste 5 meter af havet, hvorunder<br />
der er en skarp grænseflade (se figur). Man kan i første omgang negligere overførslen<br />
af impuls gennem grænsefladen. Der indstiller sig en næsten stationær strømning, hvor<br />
de ydre kræfter består af r balanceret af Corioliskraften (/ = 1.0 • 10"^ s""^).<br />
1. Angiv strømmens gennemsnitlige styrke u og retning i de øverste 10 meter<br />
En model for grænsefladens udvikling bygger på den antagelse at tilførslen af energi per<br />
m^ overflade fra vinden til det øverste lag sker med en rate på 6+ = cr w, hvor koefficienten<br />
c kan sættes til 1. Det antages yderligere at hele denne energi omsættes til potentiel<br />
energi i forbindelse med at vand som medrives fra laget lige under grænsefladen løftes og<br />
blandes homogent i det øvre lag. Denne medrivning indebærer at grænsefladen sænkes<br />
langsomt med en raten Wm.<br />
2. Hvor stor en energimængde omsættes per vandret arealenhed ved en sådan medrivning<br />
af et lag af tykkelsen 0.1 m under grænsefladen?<br />
3. Opstil et udtryk for som funktion af e"*", springlagets dybde og m<strong>as</strong>sefylderne.<br />
Angiv værdien ved d — 5 m.<br />
4. Angiv størrelsen, som funktion af springlagets dybde, af den impulsoverførsel,<br />
dvs. kraft per vandret arealenhed, som benyttes til acceleration af det raedrevne<br />
vand. Angiv værdien i 5 meters dybde og diskutér resultatet.
Wind sector west: 225° ~ 315°<br />
Wind speed (m/s)<br />
Wind sector west: 225° - 315°<br />
Wind speed (m/s)<br />
Grafen viser signifikante bølgehøjder og spektral spids bølgeperioder versus karakteristiske<br />
vindstyrker målt i et område hvor der er mellem 200 og 250 km til kysten i den<br />
retning vinden kommer fra.<br />
1. Vurdér hvilke værdier for f<strong>as</strong>eh<strong>as</strong>tighed og gruppeh<strong>as</strong>tighed der kan forventes ved<br />
vindstyrker på lOms"^.<br />
2. Sammenlign disse målinger med kendte, empiriske relationer for bølgeenergien<br />
ved stationære vindsituationer.<br />
Der anbringes nu en stor, tung genstand, hvis vandlinie på tværs af bølgeretningen er<br />
200 meter.<br />
3. Vurdér impulsoverførslen, dvs. kraften, fra bølgerne på genstanden ved lOms"^<br />
vind, når hhv.<br />
(a) bølgerne absorberes i genstanden<br />
(b) bølgerne reflekteres fuldstændigt fra genstanden.<br />
4. Genstanden har en m<strong>as</strong>se på 10® kg og flyder frit. Angiv genstandens fart og<br />
retning hvis der indstiller sig en balance mellem Corioliskraft (/ = 1.0 • 10"^<br />
og bølgekraften fra tilfælde 3a).
En stor kubisk genstand med m<strong>as</strong>sefylde pQ — 900 kg m"^ flyder i et havområde med<br />
et m<strong>as</strong>sefyldespring i ofi = 5 meters dybde. Genstandens kantlængde er Z = 33 m og<br />
dens vandrette bund ligger i dybden —Zd-<br />
J\<br />
o<br />
i^jr-S^<br />
z.<br />
^ '^00<br />
P, - lolH<br />
i o l i<br />
I det øvre lag måles en m<strong>as</strong>sefylde pi = 1024 kg og en strømh<strong>as</strong>tighed vi =<br />
0.10 under springlaget er m<strong>as</strong>sefylden p2 = 1027 kg m"^ og strømmen mindre<br />
end 0.01 Coriolisparameteren er f = 1.2 • 10"^ s"^. I det følgende betegnes overfladens<br />
niveau med t] og grænsefladens niveau med T/I som vist på figuren.<br />
1. Angiv overfladens og grænsefladens hældninger, ^ og idet gnidning kan<br />
negligeres.<br />
2. Angiv de væsentlige kræfter, som virker på genstanden. Begrund at fladekræfternes<br />
horisontale resultant er givet som<br />
/ drf<br />
Fh = L^ \pig{r] + {P2 - Pi)9{Vi - ^d) dx<br />
Fh kan antages at være uafhængig af små drejninger omkring tyngdepunktet.<br />
Man kan benytte at den vertikalt integrerede trykkraft per længdeenhed på en<br />
lodret flade vinkelret på x-retningen mellem tj og T/J er Fi = \pig{r} — r]iY, og<br />
mellem t)i og zd er F2 == pigif] - i/i)(77i - Zd) + ip29im ~ ^dY-<br />
3. Vurdér genstandens fart når kræfterne er i balance og det antages at gnidning<br />
kan negligeres.
NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE<br />
GEOFYSISK FLUID-DYNAMIK<br />
Onsdag den 24. maj 1995<br />
ALLE HJÆLPEMIDLER TILLADT
Opgave 1<br />
I denne opgave betragtes et stationært, rotationssymmetrisk lavtryk med centrum på<br />
breddegrad<br />
Trykvariationen langs niveaufladen 'mean sea level' ('msl') er for r < ro givet ved<br />
p(r) - Po - (Po - PcXl - r/ro).<br />
hvor r er den vandrette afstand fra lavtrykkets centrum. Luftens m<strong>as</strong>sefylde p er konstant<br />
ved 'msl' og bestemt ved temperatur og tryk (h.hv. T^, og p^) i lavtrykscenteret.<br />
1.1: Beregn i afstanden r = rg vindens fart ved 'msl' når<br />
Po = 1000 hPa; Po - p, = 30 hPa; T, = 8.5 ^C;<br />
ro = 100 km; (j) = 43<br />
Vink: Der kan ses bort fra friktion.<br />
Udnyt, at den horisontale trykgradientkraft pr. m<strong>as</strong>seenhed i det naturlige<br />
koordinatsystem med z som vertikal koordinat har formen -p ' idp/ds,dp/dn).<br />
1.2: Hvor stor er den relative fejl på vindens fart i spørgsmål 1.1, hvis vinden<br />
approximeres ved<br />
a: den cyklostrofiske vind?<br />
b: den geosfrofiske vind?<br />
Opgave 2<br />
I denne opgave betragtes på breddegrad ^ en søjle af atmosfærisk luft (f.eks. med<br />
kvadratisk tværsnit) begrænset af trykfladerne p^ og Pi (pg > Pi). Forholdene i luftsøjlen<br />
er sådan, at den horisontale temperaturgradient i en vilkårlig trykflade er uafhængig af de<br />
horisontale koordinater x og y. Til et givet tidspunkt gælder<br />
hvor c = konstant.<br />
( f = (-r),
2.1: Skitsér forløbet af isotermerne på trykfladerne Po og pj.<br />
2.2: Beregn termalvinden Vy i luftsøjlen mellem po og pj.<br />
Ved den sydlige og nordlige kant af luftsøjlen gælder h.hv. Vg(po) = (Ug(po),0) og<br />
Vg(Po) ^ (-Ug(po).O), hvor Ug(po) = 10 m/s.<br />
2.3: Beregn temperaturadvektionen i trykfladen p, ved den sydlige og nordlige kant af<br />
luftsøjlen.<br />
Angiv desuden ved luftsøjlens sydlige og nordlige kant fortegnet på temperaturadvektionen<br />
(+ for varmeadvektion) mellem Po og pj.<br />
Opgave 3:<br />
I et område af det sydlige Stillehav på breddegrad (|)o har vinden gennem en periode på<br />
flere døgn blæst stabilt fra syd.<br />
Vindens fart nær havniveau er i det betragtede område uafhængig af y (koordinatretning<br />
mod nord) og langs breddegrad (|)o givet ved<br />
sin(—-jc) ; O á X ¿ ~<br />
L 2<br />
hvor X = O og X = L/2 er områdets afgrænsning mod h.hv. vest og øst.<br />
I nedenstående beregninger benyttes p^ = 1.2 kg/m^ (luftens m<strong>as</strong>sefylde nær havniveau),<br />
(i)o = 43°S, ßo (6f/0(¡>)^o konstant (beta-plan approximation), Vg = 10 m/s,<br />
L = 1000 km og CD = 1.6'10^<br />
3.1: Skitsér i intervallet O < x < L/2 variationen i Ekman-m<strong>as</strong>setransporten og angiv med<br />
fortegn værdien af transporten for x = O, L/4 og L/2.<br />
Den vindgenererede geostrofiske strøm er nul under en vis dybde h (dvs. for z < -h).<br />
Oceandybden er meget større end h.<br />
3.2: Vis, at der xmder de givne forudsætninger gælder, at den totale vinddrevne m<strong>as</strong>setransport<br />
er konstant i x-retningen og skitsér for tilfældet M,, = O den geostrofiske<br />
m<strong>as</strong>setransport langs (|)o.<br />
Slut på opgavesættet.
Naturvidenskablig Bacheloruddannelse<br />
Censor: Palle Bo <strong>Niels</strong>en<br />
Underviser: <strong>Niels</strong> Kristian Højerslev<br />
Oceanografi 2<br />
20. Juni 1997<br />
Alle Hjælpemidler er tilladt.<br />
3 opgaver / 3 timer
Opgavg 1,<br />
I den sydlige Nordsø er ea olieplatform anbragt på bunden, som er flad. Dybden er konstant.<br />
Platformen er kvadratisk med en kantlængde på 100 m, og den hviler på fire ben placeret i<br />
hjørnerne. Orienteringen fremgår af figuren.<br />
På ben 1,2, og 3 er monteret trykfølere ved bunden. Signalerne fra trykføleme kan registreres<br />
på platformen og er af formen<br />
P^Po+Pi siniDt<br />
Efter en periode med kraftig blæst fra en retning mellem vest og nord fmder man, at signalet<br />
fra ben 2 er forsinket og signalet fra ben 3 er forsmket i forhold til signalet fra ben 1.<br />
Beregn:<br />
Po = konst = 266 kPa<br />
Pi = konst = 6,61 kPa<br />
at=25.0<br />
g = 9,82m/s2<br />
a) Bølgelængde, bølgehøjde og udbredelsesretning i området omkring platformen.<br />
b) Angiv gruppeh<strong>as</strong>tigheden for de indkommende dønninger.<br />
c) Hvad er dønningernes middelenergi beregnet pr. m bølgefront samt over en hel bølge<br />
længde.
Et stræde med rektangulært tværsnit gennemstrømmes af to modsat gående vandm<strong>as</strong>ser med<br />
m<strong>as</strong>sefylderne pi og p2 [kg x m'^]. Strømmene v, pg Vj [m/s''] antages begge at være i<br />
geostrofisk ligevægt.<br />
A B<br />
C D<br />
E<br />
a) Angiv samtlige betingelser for geostrofisk ligevægt og diskuter disse.<br />
Atmosfæretrykket over AB er konstant og tværsnittets geometri er kendt. Vandstanden<br />
ved station A er Ah [m] højere end ved B.<br />
b) Hvor stor bliver v,?<br />
Atmosfæretrykket ændrer sig jævnt over station A og B, således at barometerstanden<br />
øges med AP [h Pa] ved B.<br />
c) Hvor stor bliver vandstandsforskellen mellem A og B for uændret Vi?<br />
Nettom<strong>as</strong>setransporten over tværsnittet ABFE antages herefter at være nul, og bundstrømmen<br />
er på et enkelt sted i nedre tværsnit målt til at være det halve af overfladestrømmen.<br />
d) Angiv beliggenheden af springlaget CD.<br />
F
Opgavg 3.<br />
I en kanal med lodrette sider strømmer vandet over en tærskel på havbunden, hvis største<br />
højde er A. Uden for tærskelområdet er havbunden flad og vanddybden konstant lig med h.<br />
Trykket ved det fri vandspejl er overalt konstant og lig med Strømmingsh<strong>as</strong>tigheden langt<br />
fra tærskelområdet benævnes og tyngdeaccelerationen g. Begge regnes konstante. Der ses<br />
bort fru gnidning, corioUskraft og tidevandskræfter. Eneste virkende kræfter er tyngdekraften<br />
og trykkraften og m<strong>as</strong>sefylden er overalt i væsken konstant lig med<br />
a) Undersøg om der gives specialtilfælde hvor det fri vandspejl ikke forandrer sig som<br />
følge af vandstrønmingen hen over tærsklen.<br />
Det antages herefter at a og A begge er meget små sammenlignet med h (dvs. at der kan<br />
regnes til fisfrste orden)<br />
b) Angiv det fri vandspej Is maksimale høj deforskel.<br />
c) Angiv de 2 muligheder for A med de givne forudsætninger og diskuter i korte træk<br />
disse.<br />
Der skal redegøres for henholdsvis det tilfælde hvor A er positiv (en top)<br />
og hvor A er negativ (en dal).<br />
4.4
Opgave 1.<br />
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2 på 1. del<br />
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tOladt.<br />
Den 26. maj 1998<br />
1. Giv en fysisk karakteristik af en lang bølges fysiske egenskaber i så mange detaljer<br />
som muligt.<br />
En lang bølge med amplituden, a, løber fra et stort dybt hav ind mod shelfen i en skæv<br />
vinkel, A, som er vinklen mellem bølgens udbredelsesretning og shelfkanten. Vi<br />
antager en havmodel, hvor det dybe hav har den konstante vanddybde H og hvor<br />
shelfen tilsvarende har en konstant vanddybde, h. Kontinentalskrænten, som er<br />
overgangen fra dybhavet til shelfen, antages at være en lodret plan. På shelfen ændrer<br />
bølgen retning.<br />
2. Udtryk shelfbølgens nye udbredelsesretning med de opgivne størrelser.<br />
Det antages herefter at bølgen fra dybhavet alene transmitteres ind på shelfen. Der<br />
reflekteres med andre ord ikke nogen del af den indkommende dybhavsbølge fra<br />
kontinentalskrænten.<br />
3. Udtryk shelfbølgens amplitude med de opgivne størrelser.<br />
Endelig antages en lang lige kyst, hvorfra havbunden falder jævnt ned mod dybhavet,<br />
der har de samme egenskaber som før, dvs. konstant H. En lang bølge antages nu at<br />
løbe vinkelret ind mod kysten. Ligesom tidligere antages det, at der ikke forekommer<br />
bølgereflektion.<br />
4. Udtryk shelfbølgens amplitude for en vilkårlig vanddybde, h, over den skrånende<br />
havbund med brag af de opgivne størrelser.
1. Giv en udtømmende fysisk beskrivelse af den geostrofiske strønmingsmodeL<br />
Her skal nu antages en meget enkel havmodel med konstant lufttryk samt geostrofisk<br />
bevægelse for det barotrope tilfælde. Havmodellen udgøres af en lang lige kyst, som<br />
løber mod nord/syd og danner en lodret væg ud mod havet. Vanddybden helt inde ved<br />
kysten er overalt den samme. Havbunden falder jævnt ud mod dybhavet og danner<br />
vinklen, A, med horisontalplanen. Havoverfladens højde mindskes med kvadratet på<br />
afstanden fra kysten gældende for det kystvand, som ligger indenfor bredden , L. I<br />
havområdet beliggende udenfor antages middelhavniveau, dvs. Z=d med sædvanlig<br />
notation.<br />
LAND<br />
Z =<br />
konstant • x^ for O < x < L<br />
O for x ^ O<br />
TI(L) ved kystlinien x = L<br />
2. Angiv den geostrofiske strøm (u, v, w) overalt i strømningsområdet.<br />
3. Angiv volumentransportens retning og beregn størrelsen af den samlede<br />
volumentransport med de opgivne størrelser der er angivet nederst på siden for hele<br />
havmodelområdet. Coriolisparameteren, f, er positiv.<br />
Der antages fralandsvind vinkelret på kysten og meget store vanddybder inde ved<br />
denne.<br />
4. Find den totale m<strong>as</strong>setransport ("Ekman + geostrofe") gennem tværsnittet som<br />
strækker sig stykket, L, ud i havet vinkelret på kysten.<br />
Vindspændingen, x = lO'^N/m^, f = L = 10 km, iiCL) = 1 m, vanddybden helt<br />
inde ved kysten regnet fra middelvandstand, h = 1000 m, m<strong>as</strong>sefylden, p = 1000 kg/m^<br />
og tyngdeaccelerationen, g = 9.82 m/s^
Et halvlukket havb<strong>as</strong>sin har en samlet ferskvandsvolumentransport Q^^ Størrelsen angiver<br />
nettotilførslen som følge af flodtilløb, nedbør og fordampning, så Q^^ varierer med tiden, t.<br />
Havområdet udveksler vand med verdenshavet. Vandudvekslingen til verdenshavet<br />
bestemmes tilfredstillende ved bmg af formlen<br />
3/2<br />
Qb = K n<br />
hvor Qb er en volumentransport, som udtrykkes ved den øjeblikkelige vandstand i det<br />
halvlukkede b<strong>as</strong>sin taget i forhold til vandstanden i verdenshavet som antages konstant lig<br />
med nul. K er en fysisk konstant.<br />
Målinger viser, at vandstanden i det halvlukkede b<strong>as</strong>sin kan udtrykkes som<br />
r| = a cos 2n<br />
hvor t er tiden, T er tidsperioden (= 1 år) og a en lille amplitude. Det antages derfor, at små<br />
vandstandsændringer ikke ændrer på den fri vandoverflades areal ,F, i det halvlukkede b<strong>as</strong>sin.<br />
1. Udtryk Qa som en funktion af tiden med de opgivne størrelser.<br />
2. Beregn forsinkelsen af maksimalvandføringen, dvs tidsintervallet mellem<br />
tilløbsmaksimum (max. af Q^,) og udløbsmaksimum (max. af Qb).<br />
Oplysning:<br />
F = 10^ km^ ; K = lO^m^^Vs<br />
a = 0.2 m<br />
3. Beregn forholdet mellem udløbsmaksimum og tilløbsmaksimum.
Opgave 1.<br />
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2<br />
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt<br />
Den 22. januar 1999<br />
1. Angiv foradsætningeme for Bemoullis ligning for det ikke-stationære tilfælde.<br />
Bemoullis ligning skal efterfølgende benyttes på følgende idealiserede problem: En<br />
boreplatform lækker momentant 2000 tons olie ud i Nordsøen. I løbet af et vist<br />
tidsmm, T dækker oliepletten et cirkulært område på 100 kra^, og pletten har antaget<br />
samme tykkelse overalt. M<strong>as</strong>sefylden for henholdsvis olien og nordsøvandet er<br />
Pi = 885 kg/m^ og pj = 1020 kg/m^. Det antages at olien hverken fordamper, falder til<br />
havbunden eller forsvinder på anden måde, samt at olien ikke blander sig med<br />
havvandet. Det antages at nordsøvandet er helt i ro og der spørges herefter:<br />
2. Hvor stor er olieplettens højde, h over det fri vandspejl?<br />
3. Hvor stor er olieplettens h<strong>as</strong>tighed ved plettens ydre rand og beregnet ved vandlinien?<br />
Tyngdeaccelerationen sættes til 9, 82 m/sek^.<br />
4. Hvor stor er vertikalh<strong>as</strong>tigheden på olieplettens overside mod luften, når det kan<br />
antages, at olieplettens tykkelse er uafhængig af den geografiske position?<br />
5. Opstil herefter differentialligningen for h (se spørgsmål 2) som en funktion af tiden, t<br />
når t ^ T. I denne differentialligning indgår kendte størrelser.<br />
6. Hvor lang tid går der efter tidspunktet, T til oliepletten har femdoblet dens areal.
En model af havet består af to vandlag med konstante m<strong>as</strong>sefylder, pi og pj, og der er<br />
geostrofisk balancerede strømme gående i Y-aksens retning i et sædvanligt kartesisk<br />
koordinatsystem, hvor Y-aksen er orienteret positivt mod nord, X-aksen orienteret positivt<br />
mod øst og Z-aksen peger positivt opad.<br />
Vis ved udledning at:<br />
1.<br />
P2 - Pi<br />
P2<br />
ahj<br />
I udtrykket 1. er Vj og Vj henholdsvis h<strong>as</strong>tigheden i øvre og nedre vandlag, pj og p2 er<br />
tilsvarende m<strong>as</strong>sefylden i henholdsvis øvre og nedre lag, h^ er tykkelsen af øvre lag, g er<br />
tyngdeaccelerationen og f er coriolisparameteren.<br />
2. Angiv vertikalh<strong>as</strong>tigheden af skillefladen mellem de to vandlag for denne geostrofiske<br />
havmodel.
1. Angiv forudsætningerne for Knudsens teorem.<br />
Herefter antages en simpel fjordmodel bestående af to homogene, skarpt adskilte vandm<strong>as</strong>ser<br />
ude ved fjordmundingen, som udveksler vand med Verdenshavet. Øvre vandm<strong>as</strong>se har<br />
saliniteteten, Sj og lagtykkelsen, hj. Nedre vandm<strong>as</strong>se har saliniteten, Sj og lagtykkelsen, hj.<br />
Fjorden modtager en positiv nettoferskvandstilførsel, Q^ og der spørges om følgende under<br />
den forudsætning at Knudsens teorem kan benyttes:<br />
2. Angiv retningeme for vandtransporterne i øvre og nedre vandlag og begrund svaret.<br />
Det antages herefter at strømningsh<strong>as</strong>tigheden i øvre vandlag, Vj er kendt gennem målinger,<br />
der viser at Vi kan regnes for konstant i hele det øvre vandlag ude ved fjordmundingen. Man<br />
kender også Si og Sj fra målinger i fjordmundingen, som har den konstante bredde, L samt<br />
den konstante vanddybde, D. Endelig er der foretaget målinger i fjordmundingen, som viser,<br />
at springlaget ligger i samme dybde, h, overalt i tværsnittet. Imidlertid vides intet som helst<br />
om strømningsforholdene i det nedre vandlag, men følgende spørgsmål lader sig besvare<br />
udtrykt i kendte størrelser under de givne fomdsætninger:<br />
3. Hvor stor er nettoferskvandstilførslen, QQ?<br />
4. Hvor stor er volumentransporten i det nedre vandlag ude ved fjordmundingen?<br />
5. Foregår der vandblanding mellem nedre og øvre vandm<strong>as</strong>se henover springlaget ved<br />
diffusive og/eller advektive processer inde i fjorden? Svaret begrundes.<br />
6. Giv eksempler på de typiske ferskvandskilder regnet med fortegn for en dansk fjord<br />
og diskuter deres indbyrdes betydning.
Opgave 1<br />
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2 på 1. del<br />
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tilladt.<br />
Den 14. juni 1999<br />
Omkring et lavtryk ude over Nordsøen på positionen 56" N og 4° E kan det antages, at<br />
vindh<strong>as</strong>tigheden ved havoverfladen kun afhænger af afstanden fra lavtrykkets centrum.<br />
Desuden at vindh<strong>as</strong>tigheden er proportional med afstanden fra lavtrykkets centrum.<br />
Luftbevægelsen kan beskrives inden for en geostrofisk models rammer.<br />
1. Hvilke antagelser gøres der i en geostrofisk model?<br />
2. Opstil de relevante ligninger til beskrivelsen af luftbevægelsen ved havoverfladen.<br />
3. Skitsér luftbevægelsen, dvs. indtegn typiske h<strong>as</strong>tighedsvektorer omkring lavtrykket.<br />
4. Beregn lufttrykkets afhængighed af afstanden fra lavtrykkets centmm nede ved<br />
havoverfladen.<br />
Minimumstrykket i lavtrykket er lig med 950 hPa (1 hPa = 100 N/m^). Luftens<br />
m<strong>as</strong>sefylde ved havoverfladen er 1,2 kg/m^ og lufttrykket i en afstand på 50 km fra<br />
lavtrykkets centmm lig med 1000 hPa. Endelig erindres det om, at jorden foretager en<br />
hel omdrejning på 24 timer.<br />
5. Beregn luftbevægelsens fart ved havoverfladen med bmg af oplysningerne ovenfor.
I Nordsøens centrale del på positionen 56° N og E observeres der stationære vinde, der<br />
giver anledning til stationære vindspændinger ved havoverfladen.<br />
1. Hvilken kategori af kræfter tilhører vindspændingen og angiv dens fysiske dimension.<br />
Det antages nu, at havbevægelsen kan beskrives med brug af den simple Ekman-model, hvor<br />
havet er uendelig stort og alle parametre er konstante.<br />
2. Opstil og diskutér de relevante ligninger incL randbetingelserne for Ekmanmodellen.<br />
3. Beregn den samlede m<strong>as</strong>setransport.<br />
Antag at luften i afstanden R strømmer "med uret" omkring positionen 56° N og 4° E i en<br />
cirkulær bevægelse og at vindspændingens størrelse er konstant overalt i havområdet.<br />
4. Beregn den samlede m<strong>as</strong>seflux der strømmer ud af det vandvolumen som begrænses<br />
af havoverfladen samt cylinderfladen med radius R.<br />
5. Angiv den samlede nettom<strong>as</strong>seflux for tilfældet angivet i spørgsmål 4.<br />
Antag herefter en horisontal havbund beliggende i koten z = mens alle de øvrige<br />
modelantagelser forbliver uændrede.<br />
6. Angiv h<strong>as</strong>tighederne for z = h i østlig, nordlig og opadgående retning.<br />
7. Hvorledes påvirkes den samlede nettom<strong>as</strong>seflux af tilstedeværelsen af en horisontal<br />
havbund beliggende på en endelig dybde z = ~ h. Svaret begrundes.
En oceanograf skal klarlægge mulighederne for at benytte bølgebevægelser til altemative<br />
energiformål. Undersøgelser fokuserer udelukkende på lange bølger, som ikke er påvirket af<br />
ikke-lineære effekter og gnidning.<br />
1. Beskriv kort de relevante egenskaber ved en idealiseret fremadskridende lang bølge,<br />
der relaterer til ovennævnte problemstilling.<br />
Feltstudier viser, at man kan indskrænke sig til kun at undersøge to bølgeanlæg. Det ene<br />
udnytter trykvariationerne i havet mens det andet udnytter de horisontale h<strong>as</strong>tighedsvariationer<br />
i havet. Begge bølgeanlæg er konstrueret til henholdsvis at udnytte over- og<br />
undertryk samt frem- og tilbagebevægelser lige godt. Eksempelvis giver et overtryk samme<br />
effekt som et undertryk under den forudsætning, at den numeriske værdi på begge de to trykændringer<br />
er lige store.<br />
2. Opstil de relevante ligninger for problemstillingen.<br />
De to bølgeanlæg lægges ud hvor vanddybden er konstant lig med h. I området forekommer<br />
kun én slags bølge med maksimal bølgeamplitude lig med a og bølgelængde lig med L.<br />
3. Beregn den teoretisk højst mulige effekt pr kvadratmeter man kan få fra det bølgeanlæg,<br />
der udnytter vandbevægelsen. Anlægget forudsættes at have en nyttevirkningsgrad<br />
på 100%, og det står på 5 meters dybde. Bølgelængden er 100 m, vanddybden er<br />
10 m og endelig er amplituden 1 m. Anlægget er orienteret vinkelret på<br />
vandbevægelsen.<br />
4. Beregn helt tilsvarende den teoretisk højst mulige effekt pr kvadratmeter man kan få<br />
fra et bølgeanlæg, der udnytter trykvariationerne på 5 meters dybde. De to anlæg står<br />
ved siden af hinanden men antages ikke at påvirke hinanden. Trykbølgeanlægget er<br />
orienteret horisontalt.<br />
5. Angiv betingelsen for at de to bølgeanlæg yder det samme.
Oceanografi 2<br />
11. januar 2000<br />
Varighed: 3 timer<br />
Alle hjælpemidler tilladt<br />
(opgavesættet indeholder i alt 4 sider ind forside)
En øst-vest orienteret jysk fjord med en tværgående tærskel og udstrømmende vand<br />
modelleres med følgende antagelser:<br />
a. Havbunden er horisontalt beliggende på begge sider af tærskelområdet, og<br />
vanddybden er H.<br />
b. I tærskelområdet haves en tærskel med bredden b samt en højde over havbunden<br />
angivet på formen:<br />
b r b<br />
hvor -— < I < — .<br />
2 2<br />
h = a cos 121.; + a<br />
c. Fjordsideme antages at være lodrette og parallelle.<br />
d. Fjordvandet forudsættes at være homogent. Vandet flyder med jævn og samme<br />
h<strong>as</strong>tighed,'^ overalt i fjorden udenfor tærskelområdet.<br />
e. Havoverfladens fordybning over tærsklen har samme form som tærsklen selv.<br />
f. Luftrykket over fjorden er det samme.<br />
g. Fjordmodellen benytter sig af Bernoullis ligning og det antages, at der kan benyttes<br />
førsteordens approksimationer idet b » H » h.<br />
Opgavespørgsmål:<br />
1. Opstil dit eget koordinatsystem, indfør en p<strong>as</strong>sende notation til beskrivelse af<br />
fjordstrømningen og begrand valget.<br />
2. Opstil de nødvendige fjordmodelligninger.<br />
3. Beregn vandtransporten, Q i inderfjorden samt over tærskeltoppen.<br />
4. Beregn den mindst mulige vandstand i fjorden.<br />
5. Beregn vandtrykket et vilkårligt sted på tærskelskråningen samt lige over<br />
tærskeltoppen.<br />
6. Beregn vertikalh<strong>as</strong>tighedeme lige over den flade fjordbund, på et vilkårligt sted på<br />
tærskelskråningen samt lige oven på tærskel toppen.<br />
Opgavehjælp til opgave 1:<br />
Der kan indtænkes strømlinier i opgaven ved henholdsvis havoverfladen og havbunden, men<br />
brug af strømlinier er ikke en nødvendig foradsætning for at løse opgaven.
Antag en simpel havmodel med plan strømning og konstant coriolisparameter, f, hvor en<br />
vandpartikel foretager inertibevægelser i et homogent, gnidningsfrit hav uden påvirkning af<br />
horisontale naturkræfter.<br />
Opgavespørgsmål:<br />
1. Opstil dit eget koordinatsystem for denne model og begrund valget.<br />
2. Opstil de relevante modelligninger med p<strong>as</strong>sende notation.<br />
3. Beregn vandpartiklens acceleration samt dens banekurvekarakteristika udtrykt ved<br />
dens h<strong>as</strong>tighed, v og f.<br />
Det antages herefter at vandpartiklen advekteres mod nord med den konstante h<strong>as</strong>tighed, LL<br />
4. Beregn vandpartiklens acceleration samt dens banekurvekarakteristika udtrykt ved<br />
opgivne størrelser.<br />
5. Beregn vandpartiklens forflytning over tidsrammet T.
Trykkræfter i havet skyldes primært forskelle i temperatur, saltkoncentration,<br />
vandspejlsniveau og lufttryk. Der skelnes mellem de såkaldte barotrope og barokline tilfælde.<br />
Opgavespørgsmål:<br />
1. Redegør for disse 2 tilfælde og redegør for de indbyrdes forskelle.<br />
2. Beskriv og diskuter de fysiske forudsætninger (og dermed begrænsninger) i den<br />
geostrofiske model.<br />
Herefter antages en barotrop geostrofisk model, hvor havoverfladen har en konstant<br />
hældning, a på tværs af breddegraden, (p = 60° - (dvs. ingen hældning langs cp = eo'^).<br />
3. Beregn havvandets h<strong>as</strong>tighed ved havoverfladen samt ved havbunden, der ligger<br />
horisontalt.<br />
Oplysninger:<br />
Jorden foretager en hel omdrejning på 24 timer og dens maksimale omkreds er 40.000 km.<br />
Vandybden er 100 m.<br />
Tyngdeaccelerationen kan sættes til 10 m s"^<br />
Havvandets m<strong>as</strong>sefylde kan sættes til 1000 kg m"^<br />
Havvandets m<strong>as</strong>sefylde antages herefter at stige med 0.1 % pr breddegrad mod nord regnet fra<br />
(p = 60°.<br />
4. Beregn den samlede geostrofiske bundh<strong>as</strong>tighed, v på breddegraden 61° N med brug<br />
af de givne oplysninger.
Skriftlig eksamen i Oceanografi 2 på 1. del<br />
Varighed 3 timer. Alle hjælpemidler tiUadt.<br />
Den 5. januar 2001<br />
Opgave 1<br />
I Storebælt er målt en vandstandsforskel på 9 cm mellem Korsør og Nyborg med størst<br />
vandstand i Korsør. Grænsefladen mellem øvre og nedre lag har en hældning på 35 cm/km.<br />
M<strong>as</strong>sefylden i øvre lag er 1007,5 kg/m^ og i nedre lag 1023,2 kg/m^. Strømmen i nedre lag er<br />
i retning mod Østersøen.<br />
Afstanden fra Nyborg til Korsør sættes til 20 km.<br />
a) Hvilken dybde har grænsefladen i Korsør når den i Nyborg ligger på 11 meters dybde.<br />
b) Beregn strømmens h<strong>as</strong>tighed og retning i øvre lag. Korsør og Nyborg ligger på<br />
breddegraden 55° N,<br />
c) Mellem de to nævnte byer antages dybden til bunden at være konstant 33 m. Beregn<br />
størrelsen af ferskvandstilførelsen til Østersøen under antagelse af at 80% af<br />
vandudvekslingen mellem Østersøen og Kattegat foregår gennem Storebælt.<br />
Opgave 2<br />
Oplysning: Der skal antages stationær tilstand.<br />
Et skib danner under sejladsen en gruppe af bølger - alle med perioden 5 sekunder som<br />
registreres af en bølgemåler udlagt 5 km fra skibet.<br />
Beregn hvor lang tid der går fra bølgedannelsen ved skibet til denne registreres på<br />
bølgemåleren i tilfældene:<br />
a) vanddybde, h<br />
b) lille vanddybde, h, hvor h er konstant og kendt.<br />
Ved en nærliggende havn danner skibet stående bølger med lille bølgelængde taget i forhold<br />
til vanddybden i havnen.<br />
c) angiv gruppeh<strong>as</strong>tigheden for disse havnebølger<br />
d) angiv vandpartiklemes bevægelse under disse havnebølger på et vilkårligt sted og<br />
dybde.<br />
Opgave 3<br />
Et havb<strong>as</strong>sin på breddegraden 45° N begrænses i øst af en lang lige nord-sydgående kyst.<br />
Dybden til havbunden er overalt 400 m. M<strong>as</strong>sefylden er 1026 kg/m^ i hele vandsøjlen.
Vinden har blæst fra nord i tilstrækkelig lang tid til at stationær tilstand kan antages.<br />
Vindstyrken er 12 m/s og vindspændingen er givet ved:<br />
- P. • C, • W,^<br />
hvor Pa = 1,25 kg/m^ er luftens m<strong>as</strong>sefylde og W^ er vindh<strong>as</strong>tigheden. C^j er 1,3 • 10"^.<br />
Der ses i første omgang i spørgsmålene a), b) og c) bort fra tilstedeværelsen af kysten:<br />
a) Hvilken retning har nettovandtransporten?<br />
b) Angiv størrelsen af nettom<strong>as</strong>setransporten pr. længdeenhed.<br />
c) Hvor stor er tykkelsen D af ekmanlaget, når den turbulente friktionskoefficient sættes<br />
til 5 kg m"^ s"^<br />
d) Beskriv herefter strømningerne tæt ved kystzonen, for det tilfælde at det øvre og det<br />
nedre ekmanlag er lige tykke, samt at der er udviklet en stationær kystparallel strøm<br />
gående mod syd mellem de 2 ekmanlag.<br />
Til sidst ønskes nedenstående spørgsmål besvaret:<br />
Hvilken størrelse har den horisontale m<strong>as</strong>setransport langs med kysten:<br />
e) I de øverste 10 m?<br />
f) I det øverste ekmanlag?<br />
g) I hele vandsøjlen mellem de to ekmanlag?<br />
h) I hele vandsøjlen?
Oplysninger til eksamenssættet<br />
e ax<br />
fe ^ cos(bx)dx = a cos(bx) + b sin(bx) + const.<br />
e ^<br />
fe sin(bx)dx = [a sin(bx) - b cos(bx) + const.<br />
Jl Jl<br />
cos (mz + 7c/4) = cos(mz) - sin(mz) ^<br />
sin (mz + 7t/4) - sin(mz)-i— + cos(mz)<br />
2 2f
HCØTryk • København