Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

124 KAPITEL 11. KANTFARVNING
(11.6) Bestem for hver af nedenstående grafer det kantkromatiske tal.
G1
Vis, at G1 (det er Petersen grafen) ikke har en Hamilton-kreds, og angiv en Hamilton-kreds for
grafen G2 til højre. Er de to grafer isomorfe?
(11.7) Bestem det kantkromatiske tal for alle sammenhængende grafer med op til (og med) 5
knuder.
(11.8) Lad G = (V, E) være en graf, og antag, at den maksimale knudevalens (G) i G opfylder
|V |
uligheden: (G) · ⌊ ⌋ < |E| (hvor ⌊x⌋, for x ∈ R, betegner det største hele tal ≤ x).
2
(a) Vis, at G er af klasse 2.
(b) Vis videre, at |V | er ulige, og giv et eksempel på en sådan graf.
(11.9) Lad G = (V, E) betegne en graf, hvor alle knuder pånær præcis én har valens d, og antag,
at det kantkromatiske tal for G er d, altså χ ′ (G) = d.
(a) Vis, at |V | er ulige.
(b) Vis, at G har en isoleret knude, altså en knude v af valens δv = 0.
(11.10) Lad G være en sammenhængende graf, hvor alle knuder har valens d, og hvori der findes
en knude v, således, at grafen med v og alle kanter til v fjernede, er ikke-sammenhængende. Vis,
for det kantkromatiske tal, at χ ′ (G) = d + 1 (altså, at G er af klasse 2).
(11.11) Betragt nedenstående graf, der pånær kanterne til knude v øverst (disse kanter er vist
stiplede) er kantfarvet med brug af farverne 1, 2, 3, 4, og til højre er angivet et sæt af ledige farver
på samme måde som i farvelemmaet i afsnit 11.6. Gennemfør en færdigfarvning af grafen med
algoritmen givet i beviset for farvelemmaet.
v
G2
v1 v 3
2 v3 v4 3 3
1 1
1
4
2
2
4
1
C1 = {2}
C2 = {2, 4}
C3 = {2, 4}
C4 = {2, 4}