Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

9.3. STIRLING-TAL AF FØRSTE ART. 97
disse værdier i hvad der kan kaldes »Stirlings anden trekant«, svarende til binomialkoefficienternes
Pascals trekant. I tabellen nedenfor, hvor alle ikke skrevne værdier skal fortolkes som 0, er hver
indgang i rækken for n > 0 summen af tallet skråt til venstre i rækken ovenover, og k gange tallet
i rækken over (fx 1701 = 301 + 4 · 350, for n = 8 og k = 4). Stirling-tallene af anden art i
skrålinien under diagonalen i tabellen er binomialkoefficienterne: n n
= , se også (9.1).
n−1 2
n
n
0
n n n n n n n n n n
1
2
3
4
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1
7 0 1 63 301 350 140 21 1
8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10 0 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1
9.3 Stirling-tal af første art. Det drejer sig her om antallet af måder at arrangere n objekter i
k cykler; de n objekter er altså ikke blot grupperet i k ikke-tomme grupper, men tillige er der til
hver af grupperne, med m ≥ 3 objekter, knyttet én af de (m−1)! cykliske rækkefølger af gruppens
objekter.
Definition. Lad n, k være hele tal, hvor n ≥ 0. Antallet af cykliske arrangementer af n objekter
i præcis k cykler, betegnes n
, og kaldes Stirling-tallet af første art, med parametre n og k;
k
det kan fx læses »n over k cykler«.
Igen er tilfældet n = 0 objekter specielt; der findes ingen cykliske arrangementer, hverken
med et positivt, eller med et negativt, antal cykler, og derfor er 0
= 0 for alle hele tal k = 0;
k
derimod sættes 0
:= 1, fordi det viser sig praktisk.
0
Da et cyklisk arrangement i k cykler omfatter k eller flere objekter – hver cykel består af mindst
ét
objekt – er det især tilfælde med n > 0 og 1 ≤ k ≤ n, der har kombinatorisk relevans. Videre er
n
antallet af permutationer af n objekter, hvis fremstilling som produkt af disjunkte cykler består
k
af præcis k cykler. For n > 0 gælder, at n
n
> 0 for k = 1, 2, . . . , n, hvorimod = 0 for k ≤ 0
k
k
og for n < k (disse tilfælde medtages især for at få et strømlinet formelapparat).
Eksempel. For n = 4 objekter er der følgende arrangementer i k cykler:
Med k = 1: alle 4 objekter i en cykel, med 6 cykliske rækkefølger; med k = 2: enten en singleton,
med en 3-cykel, på ialt 8 måder (4 valg af singleton, og for hver af disse 2 cykliske rækkefølger af
de tre andre objekter), eller to 2-cykler, på ialt 3 måder (3 muligheder for opdeling af de 4 objekter
i to 2-cykler); med k = 3: to singleton’er, og en 2-cykel, på ialt 6 måder (nemlig de 6 valg af to
objekter til 2-cyklen); med k = 4: fire singleton’er, på 1 måde; Stirling-tallene af første art med
»kød på«, for n = 4, er dermed 4 4
4 4
= 6, = 11, = 6, = 1.
1 2
3 4
Observation. For naturlige tal n gælder:
n
n n n
= (n − 1)!, = , og = 1 for n > 0, (9.3)
1
n − 1 2 n
og
n
k=0
5
6
7
n
= n!. (9.4)
k
8
9
10