Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

46 KAPITEL 4. GRUNDLÆGGENDE OM GRAFER
skellige knuder u, v kun afgørende om der er en kant mellem dem; eventuelle yderligere kanter
mellem u og v (hvor u og v så siges at være forbundet med multiple kanter) øger ikke grafens
kommunikationsmuligheder (men nok dens robusthed og kapacitet). Ofte udelukkes derfor løkker
og multiple kanter, dvs. der betragtes de såkaldte »simple grafer«. I denne situation er kanter i det
væsentlige par af to forskellige knuder, og det er praktisk simpelthen at identificere hver kant med
det ikke-ordnede par af kantens endeknuder. I andre situationer kan der være behov for at studere
grafer, hvor kanterne har en retning, og kanten kun tillader »trafik« i kantens retning (en graf, hvor
alle kanter har en retning, kaldes en orientereret graf , eller en digraf – på engelsk directed graph,
eller digraph); eller hvor kanterne har tilknyttet en vægt (en »vægtet« graf), fx til modellering
af »prisen« for at benytte den pågældende kant til at »flytte sig« mellem endeknuderne, eller til
beskrivelse af kapaciteten af kanten fortolket som kommunikationskanal.
Definition. I det følgende står glosen graf, og betegnelsen G = (V, E), altid – med mindre
andet udtrykkeligt skrives – for en simpel graf, dvs. V er en ikke-tom endelig mængde af knuder,
og E er en mængde af kanter, hvor hver kant, altså element e ∈ E, forbinder to knuder u, v ∈ V ,
med u = v, og altså svarer til et ikke-ordnet par e = {u, v} af elementer u, v ∈ V , der kaldes
endeknuderne for e; da parret opfattes ikke-ordnet bestemmer u, v og v, u samme kantmulighed,
der også betegnes uv. For u, v ∈ V skrives u ↔ v, eller blot uv ∈ E, såfremt der findes en
kant e ∈ E, altså e = uv, mellem u og v, og u og v er i så fald naboknuder. (I forhold til den
foregående definition udelukkes således løkker og multiple kanter (og kanter er ikke-orienterede).)
Mængden V af knuder forudsættes = ∅, hvorimod kantmængden E kan være tom; grafer med
E = ∅ er naturligvis ikke ret interessante – enhver sådan kaldes en tom graf – men de dukker tit
op som grænsesituationer, fx som starttilfælde i induktionsbeviser.
Kravet, at kanter forbinder to forskellige knuder, bevirker, at knudemængder med én enkelt
knude, hvor altså |V | = 1, udgør et specialtilfælde; den eneste graf med |V | = 1 er tom, og den
kaldes den trivielle graf. Den kræver ofte særbehandling, fx i påstande om alle grafer med en
bestemt egenskab, hvor antallet af knuder er en naturlig parameter.
4.2 Specifikation af graf – valens. En graf G = (V, E) er givet ved sin knudemængde V
og sin kantmængde E; begge disse er endelige mængder, og kan derfor beskrives via lister med
deres elementer. Er grafens orden n = |V | angives knudemængden altså ved en liste af længde n;
knuderne kan fx betegnes med indicering, v1, v2, . . . , vn.
Kantmængden E er en vis delmængde af ikke-ordnede par {vi, vj }; da disse par består af to
forskellige elementer, er der ialt n
= n(n − 1)/2 mulige kanter, og E, og dermed grafen G, er
2
således specificeret ved angivelse af hvilke af disse n
kantmuligheder, der er realiserede. Grafens
2
kantmængde kan kodes via den såkaldte kantmatrix (engelsk: adjacency matrix); den består, med
en valgt rækkefølge af knuderne, fx v1, v2, . . . , vn som ovenfor, af en n × n matrix, hvis indgange
er 0 eller 1, og hvor elementet på plads (i, j) (altså i den i’te række, og den j’te søjle) er = 1, hvis
vi ↔ vj , og = 0 ellers. Denne matrix er symmetrisk og har lutter 0’er i diagonalen; den er derfor
redundant, og ofte angives kun en bestemmende del af den, fx elementerne under diagonalen.
Eksempel. Nedenfor til højre er tegnet en graf med 5 knuder og 6 kanter; dens kantmatrix er
vist til venstre – antallet af 1’er i delen under diagonalen, er antallet af kanter.
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 1 1 0 1
v2 1 0 0 0 1
v3 1 0 0 1 1
v4 0 0 1 0 0
v5 1 1 1 0 0
v 5
v 4
v 1
v3
v2