Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

36 KAPITEL 3. BINOMIALKOEFFICIENTER: BASALE TÆLLEMODELLER
3.6 Antal løsninger til visse heltalsligninger. I en række situationer ønskes antallet af gruppeinddelinger
af en samling af objekter bestemt; selvom objekterne er forskellige, er der ikke
behov for, eller ikke mulighed for, at skelne mellem objekterne; objekterne fungerer nærmest som
en slags enere, hvor antallet af elementer i hver gruppe er afgørende.
Lad n være et naturligt tal, antallet af objekter, der ikke skelnes indbyrdes, og k et naturligt
tal, antallet af grupper objekterne ønskes fordelt på; disse grupper kan skelnes indbyrdes, fx nummereres.
Idet antallet af objekter i den j’te gruppe betegnes xj er der en bijektiv korrespondance
mellem inddelinger af objekterne og sæt (x1, x2, . . . , xk) af hele tal xj ≥ 0, der løser ligningen
x1 + x2 + . . . + xk = n. (3.5)
Antal gruppeinddelinger af de n objekter i k grupper er derfor antallet af sæt (x1, x2, . . . , xk)
af ikke-negative heltal, der løser (3.5); dette antal kan findes via flere tællemodeller.
Én model fortolker løsningssæt som sekvenser af længde n + k − 1 bestående af n objekter og
k − 1 skillevægge, hvor x1 er antal objekter indtil den første skillevæg, x2 er antal objekter mellem
den første og den anden skillevæg, osv. xk er antal objekter efter den k − 1’te skillevæg; hvilke
objekter, der står hvor, er ligegyldigt, kun antallet af objekter før, mellem, og efter skillevæggene,
er afgørende; fx med n = 5 og k = 3 er sekvensen x|xxxx| model af løsningen: x1 = 1, x2 = 4,
og x3 = 0. Dermed ses:
Observation 1. Antallet af løsninger til (3.5) er antallet af måder de k − 1 pladser til skillevæggene
kan vælges blandt de ialt n + k − 1 pladser til objekter/skillevægge, altså
n + k − 1
. (3.6)
k − 1
En anden – måske mere suggestiv – model beskriver sæt af løsninger via de vandrette vejstrækninger
i et passende vejgitter, se det foregående afsnit. Med k vandrette linjestykker, hver af
længde n, altså et (k − 1) × n gitter, er der en bijektiv korrespondance mellem sæt (x1, x2, . . . , xk)
af hele tal xj ≥ 0, der løser ligningen (3.5) og gitterveje fra A til B; fra en given sådan gittervej
aflæses sættet (x1, x2, . . . , xk) som længden af de vandrette stræk, med xj som længden på den
j’te vandrette linje; omvendt giver en løsning (x1, x2, . . . , xk) til (3.5) anledning til en gittervej,
fx ved at danne koden for vejen som x1 gange H, dernæst et O, dernæst x2 gange H, dernæst et O,
osv. sluttende med xk gange H (hvor visse af de nævnte antal H kan være 0); den på figuren viste
gittervej svarer til løsningen x1 = 2, x2 = x3 = 3 og x4 = 0 til ligningen x1 + x2 + x3 + x4 = 8.
Igen fås antallet givet ved binomialkoefficienten (3.6).
Bemærkning. Den første af ovenstående modeller blev – i det væsentlige – tidligere benyttet i
forbindelse med optælling af monotont voksende ord, se lemmaet i afsnit 2.5; her er overvejelsen
nok simplere, fordi der fra starten ikke skelnes mellem objekterne indbyrdes.
Tælleresultatet her giver tillige en klarere optælling af antallet af monotont voksende ord
af længde n skrevet med et alfabet på k bogstaver; et sådant ord er jo fastlagt ved antallene
x1, x2, . . . , xk af successive forekomster af alfabetets bogstaver: først x1 af det første, dernæst
x2 af det andet, og således videre, og sidst xk eksemplarer af det sidste (k’te) bogstav.
Eksempel. Ofte forsvinder den skelnen mellem forskellige objekter, der ligger til grund for binomialkoefficienterne
ved anvendelsen (fx binomialformelen, antal løsninger til heltalsligninger).
Som et yderligere eksempel klares et tilsyneladende helt anderledes problem på denne måde. De
hele tal, der spiller rollen af xi’erne i (3.5), består af et vist antal enere, men typen af disse enere
kan tillades at variere mellem xi’erne.
En bolchefabrikant pakker poser med blandede bolcher. Hver pose indeholder n bolcher, og
der er k typer af bolcher, hvor n og k er naturlige tal – hver type bolcher er til rådighed i et