Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

Bryllupssætningen
Kapitel 14
Emnet for kapitlet er den såkaldte bryllupssætning, der giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse,
i form af en serie af antalsuligheder, for eksistens af en pardannelse af alle elementer fra
en mængde A, med elementer fra en mængde B; det er underforstået, at pardannelsen er injektiv,
dvs. at forskellige elementer fra A får tilordnet forskellige elementer fra B, og pointen, eller
problemet er, at pardannelsen desuden skal opfylde diverse givne kompatibilitetsbetingelser.
Det ved første øjekast simple resultat – denne opfattelse holder dog næppe for en nærmere
prøve – er i essentielt ækvivalente varianter opdaget adskillige gange, således fx af Dénes König
(1916), og Philip Hall (1935), og resultatet kan derfor mødes under flere navne, dog nok hyppigst
under det sidstnævnte; nedenfor omtales resultatet som bryllupssætningen, og den nødvendige og
tilstrækkelige betingelse kaldes Halls betingelse.
14.1 Indledning. Bryllupssætningen har mange anvendelser, og i det følgende formuleres den
i flere iklædninger. Den nok mest suggestive – det er selvsagt en smagssag – formulering 1 er
følgende: Der er givet en samling af piger, hvor hver pige har en drengebekendtskabskreds, dvs. en
samling drenge, som den pågældende pige kender. Er det i en sådan situation muligt at lave et
bryllup for alle pigerne?, eller mere præcist, er det muligt at arrangere et valg af drenge til pigerne
på en sådan måde, at hver valgt dreng vælges af én pige, som kender den pågældende dreng? (Det
er underforstået, at af flere forskellige piger, der kender den samme dreng, kan højst én af pigerne
vælge den pågældende dreng.)
Der er vel egentlig tale om en slags bunkebryllup; i en mindre højtidelig formulering kan der
spørges: Er det muligt at arrangere en pardans for alle pigerne, som opfylder, at hver pige danser
med en dreng fra den pågældende piges drengebekendtskabskreds?
I en matematisk indpakning er samlingen af piger en endelig og ikke-tom mængde P , og for
hver pige p ∈ P er denne piges drengebekendtskabskreds en endelig mængde Dp. Samtlige tilrådighed-stående
drenge er således foreningsmængden D = ∪p∈P Dp, og et bunkebryllup, eller
pardans, for alle pigerne, af den ønskede type, er en injektiv afbildning, β : P → D, som
opfylder betingelsen, at β(p) ∈ Dp, for alle p ∈ P . (At denne bryllupsafbildning β er injektiv
sikrer monogamitet, medens kompatibilitetsbetingelsen β(p) ∈ Dp, for p ∈ P , sørger for, at hver
pige p vælger/tildeles en dreng fra den pågældende piges drengebekendtskabskreds Dp.)
Observation. Hvis der med ovenstående betegnelser findes en injektiv afbildning β af P ind
i D, som opfylder betingelsen, β(p) ∈ Dp, for p ∈ P , så gælder for enhver delmængde Q ⊆ P ,
at | ∪p∈Q Dp| ≥ |Q|. (I pige/drenge-terminologi: den samlede drengebekendtskabskreds for hver
delmængde Q af piger omfatter mindst så mange drenge som der er piger i Q.)
Bevis. For den tomme delmængde af P er antalsuligheden i observationen trivielt opfyldt; lad
derfor Q ⊆ P være en ikke-tom delmængde. Restriktionen af β til mængden Q er naturligvis
injektiv, fordi β selv er injektiv, og derfor gælder: |Q| = |β(Q)|; idet betingelsen β(p) ∈ Dp,
for p ∈ P , giver, at β(Q) ⊆ ∪p∈QDp, følger den påståede ulighed. (Ved et bunkebryllup, der
opfylder betingelsen, kender hver pige sin tildelte dreng, og da alle tildelte drenge er indbyrdes
1 Det er ganske uklart for mig om denne formulering er politisk korrekt!