Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

30 KAPITEL 2. NOGLE GRUNDBEGREBER
Opgaver
(2.1) Vis, at der for alle ikke-negative hele tal m, og alle reelle tal x gælder:
x m = (−1) m (−x) m = (x − m + 1) m , og x m = (−1) m (−x) m = (x + m − 1) m .
(2.2) En afbildning ϕ : N → Z siges at være multiplikativ, hvis det for alle primiske tal
m, n ∈ N gælder, at ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n), og ϕ(1) = 1.
Angiv diverse eksempler på simple multiplikative funktioner.
Vis, at n ↦→ d(n) er multiplikativ, hvor d(n) er antallet af divisorer i n ∈ N.
(2.3) Bestem (et regneudtryk for) antallet af voksende 8-cifrede tal (starter ikke med ciffer 0).
(2.4) Lad Y betegne et ordnet alfabet med m bogstaver. Vis, at der for et naturligt tal n er lige
mange voksende og aftagende ord af længde n skrevet med bogstaver fra Y . Bestem antallet af
monotone ord af længde n ∈ N, altså ord som er enten voksende eller aftagende.
(2.5) Lad Y være et endeligt alfabet, og lad Y + betegne foreningsmængden Y + = ∪ ∞ k=1 Y k af ord
af vilkårlig (endelig) længde.
For to forskellige ord U = u1u2 . . . un ∈ Y n og V = v1v2 . . . vm ∈ Y m , hvor m, n er naturlige
tal, siges U at komme leksikografisk før V , hvis enten U er et ægte præfiks af V (dette betyder,
at n < m, og ui = vi for i = 1, 2, . . . , n), eller hvis uj < vj , hvor j er det mindste k, så uk = vk
(altså nummeret på den første position med forskellige bogstaver indenfor de to ord).
Vis, at den derved definerede relation er en total ordensrelation i Y + .
Overvej om rækkefølgen af Y + : først ordene af længde 1, i deres leksikografiske orden, dernæst
ordene af længde 2, i deres leksikografiske orden, dernæst ordene af længde 3, i deres leksikografiske
orden, osv., definerer en ordensrelation på Y + .
(2.6) Vis, idet ord af længde n skrevet i alfabetet {0, 1, 2, . . . , 9} af de sædvanlige ciffersymboler
opfattes som n-cifrede tal, hvor altså eventuelle »indledende 0’er« skrives, at den leksikografiske
ordning af ordene er den sædvanlige ordning af de tilsvarende talværdier.
(2.7) Lad n ≥ 3 være et naturligt tal. Bestem antallet af i det væsentlige forskellige placeringer af
n personer (eller objekter) omkring et cirkulært bord; to placeringer regnes her for i det væsentlige
ens såfremt de bestemmer samme cykliske rækkefølge, dvs. hvis den ene fås af den anden ved at
lade samtlige personer flytte sig det samme antal stole, og alle i samme retning (alle til venstre,
eller alle til højre). Der er udover den cykliske rækkefølge også en slags orientering, med eller
mod uret!
(2.8) Bestem antallet af monotone, henholdsvis surjektive afbildninger af X = {a, b, c, d, e} ind
i Y = {0, 1}, hvor der benyttes de sædvanlige ordninger af X og Y .
(2.9) Overvej en algoritme til gennemløb af samtlige delmængder af given endelig mængde.
(2.10) Find, idet der betragtes permutationer af {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, efterfølgeren til 3147652, og
til 2467531.
(2.11) For et naturligt tal n betragtes permutationer af mængden {0, 1, 2, . . . , n − 1}; der er jo
n! sådanne permutationer, og de kan derfor nummereres, i den leksikografiske orden med tallene
0, 1, . . . , n! − 1, der fungerer som en slags »løbenumre«. Overvej en metode til at udregne løbenummeret
for en given permutation, og omvendt, en metode, der fra en permutations løbenummer,
udregner permutationen.