Noter til kombinatorik og grafteori - Københavns Universitet

18 KAPITEL 1. TIL TÆLLING
Opgaver 3
(1.1) Lad X betegne en endelig ikke-tom mængde med n = |X| elementer. Find antallet af
(ordnede) par (x, x ′ ) ∈ X × X for hvilke x = x ′ .
(1.2) Lad der være givet n + 1 forskellige positive hele tal, der alle er ≤ 2n (n er et naturligt tal).
Vis, at:
(a) der findes to af disse tal, hvis sum er 2n + 1;
(b) der findes to af disse tal, der er indbyrdes primiske;
(c) der findes to af disse tal, så det ene er et multiplum af det andet.
(1.3) Vis, at summen af to ulige kvadrattal ikke selv er et kvadrat.
(1.4) Angiv en overdækning af et 6 × 8 »skakbræt« med 2 × 1 brikker, jf. eksemplet i afsnit 1.5,
for hvilken alle vandrette og alle lodrette snitlinier gennemskærer mindst én 2 × 1-brik.
(1.5) Vis ved et eksempel, at påstanden i sætningen i afsnit 1.5 (af Erdős og Szekeres) ikke kan
skærpes til, at hver følge af n 2 forskellige tal har en monoton delfølge af længde n+1 (når n > 1).
(1.6) Lad x være et komplekst tal og n et naturligt tal. Vis, at der gælder:
n
⎧
⎪⎨
n + 1 for x = 1,
k=0
x k = 1 + x + x 2 + . . . + x n =
⎪⎩
x n+1 − 1
x − 1
(1.7) Lad x være et komplekst tal og n et naturligt tal. Vis, at der gælder:
n
k=1
kx k = x + 2x 2 + 3x 3 + . . . + nx n =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
n(n + 1)
2
for x = 1.
x − (n + 1)x n+1 + nx n+2
(x − 1) 2
for x = 1,
for x = 1.
(1.8) Lad n ∈ N, og betragt mængden af talpar T = {(i, j) ∈ N2 |i = 1, 2, . . . , n, 1 ≤ j ≤ i}
(det er en slags trekant). Vis, at der for en familie (ai,j )(i,j)∈T af tal, som er indiceret ved mængden
T , gælder, at
n i n n
ai,j =
i=1 j=1
j=1 i=j
3 Appendiks indeholder kommentarer/løsninger til de fleste opgaver.
ai,j .