Funktioner
Funktioner
Funktioner
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Et koordinatsystem er et diagramsystem, der<br />
har to akser, en vandret akse og en lodret<br />
akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den<br />
lodrette kaldes y-aksen.<br />
Et punkt skrives altid som et kryds × og ikke som en prik eller et kors - dér, hvor de to streger i<br />
krydset mødes, er dér hvor punktet er - et punkt er ikke stort eller lille: et punkt er et sted, der ingen<br />
udstrækning/størrelse har.<br />
Man kan indsætte et punkt i et koordinatsystem, og punktet får et navn afhængig af, hvor det ligger<br />
- punktets navn skrives i en parentes.<br />
Punktet (2,4) hedder sådan, fordi det ligger 2 udad X-aksen og 4 opad Y-aksen<br />
Punktet (5,6) ligger 5 udad X-aksen og 6 opad Y-aksen<br />
Punktet (8,6) ligger 8 udad X-aksen og 6 opad Y-aksen<br />
Hvis man altså skal indsætte et punkt - fx (5,7) - kan det kun ligge ét bestemt sted i<br />
koordinatsystemet og ikke andre steder.<br />
Hvis man omvendt har afmærket et punkt i koordinatsystemet, har dette punkt kun ét bestemt navn<br />
og kan ikke hedde andet.<br />
Et koordinatsystem kan godt vise<br />
punkter, der har negative værdier.<br />
I koordinatsystemet til højre er<br />
x-aksen forlænget til venstre, hvor<br />
aksens negative værdier ligger.<br />
Tilsvarende er y-aksen forlænget<br />
nedad, hvor denne akses negative<br />
værdier ligger.<br />
Det muliggør at indsætte punkter som<br />
fx. (3,-4) og (-5,9) og (-3,-5)<br />
(se figuren til højre)<br />
Hans Pihl, KVUC Side 1<br />
(-5,9)<br />
×<br />
(-3,-5)<br />
×<br />
(2,4)<br />
×<br />
(5,6)<br />
×<br />
(3,-4)<br />
×<br />
(8,6)<br />
×
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Man kan forestille sig at en funktion er en maskine, der "gør noget" ved tal.<br />
På maskinen herunder er der en tragt foroven, hvor man kan smide tal ned (dem kalder vi x´ere),<br />
og når maskinen har gjort noget ved tallene, kommer de ud til højre med en anden værdi (dem<br />
kalder vi y´ere)<br />
forskriften<br />
x´ere<br />
1<br />
y = 2x + 1<br />
3<br />
y´ere<br />
Det maskinen gør ved de tal, der bliver puttet ind, står på skiltet på maskinen - det, der står på<br />
skiltet, kaldes forskriften<br />
På funktionsmaskinen herunder bliver det x, der bliver smidt ned, ganget med 2, og derefter<br />
lægges 1 til, og resultatet kommer ud til højre som en y - dette gøres med alle de tal, der bliver lagt<br />
i tragten.<br />
Lægges 1 ned i maskinen, kommer det ud som 3 (2•1 +1) - altså: hvis x = 1 så bliver y = 3<br />
Lægges 2 ned i maskinen, kommer det ud som 5 (2•2 +1) - altså: hvis x = 2 så bliver y = 5<br />
Lægges 4 ned i maskinen, kommer det ud som 9 (2•4 +1) - altså: hvis x = 4 så bliver y = 9<br />
Lægges 7 ned i maskinen, kommer det ud som 15 (2•7 +1) - altså: hvis x = 7 så bliver y = 15<br />
Dette kan skrives i en tabel: x 1 2 4 7<br />
y 3 5 9 15<br />
Det kan også skrives som (1,3),(2,5),(4,9),(7,15) - det kaldes ordnede par.<br />
De ordnede par er bare en række (x,y)´ere, da alle de første tal i parenteserne (1, 2, 4 og 7) jo er<br />
de x´ere, der bliv smidt ind i maskinen, og alle de sidste tal i parenteserne (3, 5, 9 og 15) er de<br />
y´ere, der kom ud.<br />
De ordnede par er navne på forskellige punkter - vi har altså et punkt, der hedder (1,3), og et punkt<br />
der hedder (2,5) og endelig punkterne (4,9) og (7,15)<br />
Hans Pihl, KVUC Side 2
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Den maskine, der har forskriften y = 2x + 1, har altså punkterne (1,3),(2,5),(4,9),(7,15)<br />
De punkter forskriften har, sætter vi ind i et koordinatsystem:<br />
(2,5)<br />
×<br />
(1,3)<br />
×<br />
(4,9)<br />
×<br />
(7,15)<br />
×<br />
Hvis vi proppede alle tal fra 0 til 15 ind i funktionsmaskinen, ville vi få en hel række af ordnede par<br />
og dermed en række af punkter - alle disse punkter vil ligge på en ret linje, så grafen ville komme til<br />
at se sådan ud:<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
y = 2x + 1<br />
Vi har altså her det grafiske billede af funktionen y = 2x + 1<br />
Fordi grafen er en ret linje, kaldes denne funktion en lineær funktion<br />
Hans Pihl, KVUC Side 3
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Det, at der er et bestemt forhold mellem to tal (at 1 bliver til 3, 2 bliver til 5 osv.), kaldes en funktion.<br />
y = 2x + 1 er altså en funktion - her er nogle andre funktioner:<br />
y = 4x - 6<br />
y = -6x + 8<br />
y = 122x + 86<br />
y = 6x (samme som: y = 6x + 0)<br />
y = x (samme som: y = 1x + 0)<br />
Opsumering:<br />
Vi har fx. en funktion med forskriften y = 2x + 1<br />
Værdierne for denne funktion kan vises i et skema<br />
Værdierne i skemaet kan skrives som ordnede par<br />
De ordnede par kan indsættes som punkter i et koordinatsystem<br />
Og det er faktisk den fremgangmåde, man ofte følger: man får en forskrift for en funktion, og man<br />
skal så lave dens grafiske billede i et koordinatsystem.<br />
Beregning af grafen<br />
Forskriften for en lineær funktion er y = 4x – 6 - tegn dens grafiske billede<br />
(1)Vi laver først et skema ved at indsætte x-værdierne 1, 2, 3, 4 og 5 - x´erne og de tilhørende<br />
y-værdier indsættes i skemaet:<br />
x 1 2 3 4 5<br />
y -2 2 6 10 14<br />
(2)Værdierne i skemaet skrives som ordnede par:<br />
(1,-2),(2,2),(3,6),(4,10),(5,14)<br />
(3)De ordnede par indsættes som<br />
punkter i et koordinatsystem…<br />
×<br />
(1,-2)<br />
×<br />
(2,2)<br />
×<br />
(3,6)<br />
×<br />
(4,10)<br />
×<br />
(5,14)<br />
…og (4)der tegnes en linje mellem<br />
punkterne - (5)navngiv grafen<br />
Hans Pihl, KVUC Side 4<br />
×<br />
(1,-2)<br />
×<br />
(2,2)<br />
×<br />
(3,6)<br />
×<br />
(4,10)<br />
×<br />
(5,14)
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Konstruktion af grafen<br />
Hidtil har vi beregnet grafen - dvs. lavet en tabel - indsat x-værdier og beregnet y-værdierne.<br />
Det er også muligt at konstruere grafen.<br />
Har vi en forskrift, kan vi lave dens graf ved at konstruere den v.hj.a. forskriftens a-værdi og dens<br />
b-værdi.<br />
y = x + 2 dvs.: a = 1 b = 2<br />
Grafenkonstrueres sådan:<br />
- afsæt et punkt på y-aksen i 2 (fordi b = 2)<br />
- gå fra dette punkt 1 hen (altid 1 hen) og 1 op (fordi a = 1)<br />
- her afsættes næste punkt<br />
- gå fra dette punkt 1 hen og 1 op og afsæt et punkt<br />
- fortsæt med at går 1 hen og 1 op og afsæt punkter<br />
- forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet<br />
y = -3x – 2 dvs.: a = -3 b = -2<br />
Grafen konstrueres sådan:<br />
- afsæt et punkt på y-aksen i - 2 (fordi b = - 2)<br />
- gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned (ned fordi a er negativ)<br />
- her afsættes næste punkt<br />
- gå fra dette punkt 1 hen og 3 ned og afsæt et punkt<br />
- fortsæt med at går 1 hen og 3 ned og afsæt punkter<br />
- forbind punkterne med en ret linje, og grafen er lavet<br />
Hans Pihl, KVUC Side 5
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Andengradsfunktionen<br />
Forskriften for en lineær funktion er altså på formen y = ax + b<br />
En anden funktion er andengradsfunktionen - den kaldes sådan fordi x er i anden grad -<br />
dens forskrift er på formen y = ax 2 + bx + c<br />
Forskriften for en andengradsfunktion kunne fx være<br />
y = 2x 2 + 5x -4 (hvor a = 2 b = 5 c = -4)<br />
eller<br />
y = -5x 2 - 7x +4 (hvor a = -5 b = -7 c = 4)<br />
eller<br />
y = -x 2 - x (hvor a = -1 b = -1 c = 0)<br />
eller<br />
y = x 2<br />
(hvor a = 1 b = 0 c = 0)<br />
Når man skal lave grafen for en andengradsfunktion, er fremgangsmåden den samme som<br />
for en lineær funktion: vælg nogle x-værdier - indsæt dem i forskriften og beregn nogle yværdier<br />
- disse x- og y-værdier er punkter, der indsættes i et koordinatsystem, og grafen<br />
tegnes gennem disse punkter.<br />
Når man finder punkter til en lineære funktion, er det ligegyldigt, hvilke punkter man finder.<br />
Det er ikke lige gyldigt, hvilke punkter man finder, når det er en andengradsfunktions graf,<br />
man skal lave.<br />
Hvis man har fundet de 5 punkter, som er vist herunder til venstre, har man ingen mulighed<br />
for at tegne grafen - har man derimod fundet de punkter, der er vist til højre, kan man tegne<br />
grafen.<br />
Med andre ord: de punkter man skal finde, er dem, der ligger omkring det punkt, hvor grafen<br />
vender - dette punkt kaldes toppunktet - i dette eksempel er toppunktet (1,-4), så man skal<br />
altså finde de punkter, der ligger omkring punktet (1,-4).<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×<br />
× ×<br />
×<br />
×<br />
Toppunkt<br />
Hans Pihl, KVUC Side 6
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Derfor: Det første man skal gøre, når man skal lave grafen for en andengradsfunktion, er at<br />
finde ved hvilken x-værdi grafen vender, og det gøres med formlen:<br />
x top<br />
−b<br />
=<br />
2a<br />
Køreplanen kunne altså være:<br />
1. find ved hvilken x-værdi grafen vender<br />
2. indsæt denne x-værdi i forskriften - find dens y-værdi og indsæt værdierne i skemaet<br />
3. indsæt 4-6 andre x-værdier, der ligger tæt på Xtop i forskriften, og find deres y-værdier og<br />
indsæt disse i skemaet<br />
Eksempel 1<br />
Tegn grafen for andengradsfunktionen y = x 2 - 2x - 3<br />
x top<br />
x top<br />
−b<br />
=<br />
2a<br />
2<br />
x top =<br />
2<br />
x top = 1<br />
− ( −2)<br />
=<br />
2 ⋅1<br />
Grafen vender altså der, hvor x er 1, så det er de x-værdier, der ligger omkring 1, der er<br />
interessante - disse x-værdier, indsættes i forskriften og deres y-værdier findes<br />
x=1 indsættes i forskriften:<br />
y = x 2 - 2x - 3<br />
y = 1 2 - 2·1 - 3<br />
y = 1 - 2 - 3<br />
y = - 4<br />
x=2 indsættes i forskriften:<br />
y = x 2 - 2x - 3<br />
y = 2 2 - 2·2 - 3<br />
y = 4 - 4 - 3<br />
y = - 3<br />
På samme måde findes y-værdierne for -5, -1, 0 og 6 og disse indsættes i et skema<br />
x -3 -1 0 1 2 3 5<br />
y 12 0 -3 -4 -3 0 12<br />
x=3 indsættes i forskriften:<br />
y = x 2 - 2x - 3<br />
y = 3 2 - 2·3 - 3<br />
y = 9 - 6 - 3<br />
y = 0<br />
Hans Phil, KVUC Side 7
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
inatsystemer<br />
Læg mærke til, at de x-værdier, der ligger lige langt fra 1, har samme y-værdi - det er fordi<br />
grafen er symmetrisk omkring der, hvor x er 1<br />
Beregningerne fra skemaet angives som punkter:<br />
(-3,12) (-1,0) (0,-3) (1,-4) (2,-3) (3,0) (5,12)<br />
punkterne indsættes i et koordinatsystem<br />
grafen tegnes<br />
forskriften angives langs grafen<br />
×<br />
×<br />
×<br />
Hans Pihl, KVUC Side 8<br />
×<br />
×<br />
×<br />
×
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Eksempler på 2. gradsfunktioner<br />
Forskrift: y = 0,1x 2 - 5x + 25<br />
Grafisk billede: en parabel<br />
Forskrift: y = -2x 2 + 5x + 4<br />
Grafisk billede: en parabel<br />
Hans Pihl, KVUC Side 9
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Eksempler på 2. gradsfunktioner<br />
Forskrift: y = 0,1x 2 - 5x + 25<br />
Grafisk billede: en parabel<br />
Forskrift: y = -2x 2 + 5x + 4<br />
Grafisk billede: en parabel<br />
Hans Pihl, KVUC Side 9
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Eksponential-funktionen<br />
En eksponentialfunktion er en funktion af typen y = b · a x<br />
y = 5 x<br />
y = 5 · 4 x<br />
y = 6 · 1,03 x<br />
y = 10 · 0,04 x<br />
Eksempel 1<br />
Forskrift: y = 3 · 2 x<br />
Grafisk billede: en eksponentielt stigende kurve<br />
(stigende fordi a > 1)<br />
Eksempel 2<br />
Forskrift: y = 3 ·0,5 x<br />
Grafisk billede: en eksponentielt faldende kurve<br />
(faldende fordi a < 1)<br />
Hans Pihl, KVUC Side 11
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Hvis man fx. har for 500 kr. aktier,<br />
der stiger 15% hvert år, kan man beregne,<br />
hvor meget aktierne er værd,<br />
efter at de er steget x gange:<br />
y = 500 · 1,15 x<br />
(at gange med 1,15 giver resultatet efter en stigning på 0,15 eller 15%)<br />
En befolkning falder 8% pr. år,<br />
Befolkningstallet er 60.000, og man kan beregne,<br />
hvor mange der er tilbage efter x år:<br />
y = 60.000 · 0,92 x<br />
(at gange med 0,92 giver resultatet efter et fald på 0,08 eller 8%)<br />
y = 500 · 1,15 x<br />
y = 60.000 · 0,92 x<br />
Hans Pihl, KVUC Side 12
Oversigt funktioner og koordinatsystemer<br />
Hvis man fx. har for 500 kr. aktier,<br />
der stiger 15% hvert år, kan man beregne,<br />
hvor meget aktierne er værd,<br />
efter at de er steget x gange:<br />
y = 500 · 1,15 x<br />
(at gange med 1,15 giver resultatet efter en stigning på 0,15 eller 15%)<br />
En befolkning falder 8% pr. år,<br />
Befolkningstallet er 60.000, og man kan beregne,<br />
hvor mange der er tilbage efter x år:<br />
y = 60.000 · 0,92 x<br />
(at gange med 0,92 giver resultatet efter et fald på 0,08 eller 8%)<br />
y = 500 · 1,15 x<br />
y = 60.000 · 0,92 x<br />
Hans Pihl, KVUC Side 12