Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

6.4 Annuitetsopsparing
Mange opsparingsformer, f.eks. bolig- og børneopsparinger og kapitalpensioner,
er såkaldte annuitetsopsparinger. Disse er karakteriseret ved, at man hver
termin indbetaler det samme beløb, ydelsen, på opsparingen.
Vi vil finde en formel, som beskriver sammenhængen mellem ydelsen og
opsparingens værdi efter n terminer. For at kunne gøre dette har vi brug for en
hjælpesætning:
Bevis:
Sætning 3
Lad a ≠ 1, og lad n være et helt, positivt tal. Så er summen
s
2
= 1+
s+ s
3 n
+ s + ... + s
lig med udtrykket
Vi har
2 3
s = 1+
a + a + a + ... + a
n
n
og derfor
as = a + a + a + a
n
+ + a = a + a + a
n
+ + a
+
( 1
... ) ...
n
2 3 2 3 1
Trækker vi disse to udtryk fra hinanden, så fås
as − s
2 3 n+ 1 2 n n+
1
= ( a + a + a + ... + a ) − ( 1+ a + a + ... + a ) = a − 1
n n
idet alle leddene æder hinanden på nær leddet 1 og a n+1 . Vi har altså
as − s
n+1
= a −1
n n
eller
n+
1
s ( a − 1) = a − 1,
n
hvilket giver formlen.
Bemærk, at denne formel ikke gælder, når a = 1.
Vi kan nu udlede annuitetsopsparingsformlen:
s
n
n
=
a
n
+1
−1
a −1
10