27.07.2013 Views

Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

6.5 Annuitetslån<br />

Annuitetslån er i en vis forstand det modsatte af annuitetsopsparinger. Ved et<br />

annuitetslån låner man en vis mængde penge, kaldet grundstolen. Man afdrager så<br />

lå<strong>net</strong> ved at betale det samme beløb, ydelsen, hver termin, indtil lå<strong>net</strong> er indfriet.<br />

Dette tager et antal terminer, kaldet lå<strong>net</strong>s løbetid.<br />

Vi starter med at finde en formel, som beskriver annuitetslån:<br />

Bevis:<br />

Sætning 5<br />

For et annuitetslån med grundstolen G, ydelsen y, løbetiden<br />

n terminer og rentesats r (pr. termin), gælder<br />

−n<br />

1− ( 1+<br />

r)<br />

G = y ⋅<br />

r<br />

For at bevise denne formel skal man lave et lille kunstgreb. Man skal<br />

forestille sig, at banken, når den får ydelserne tilbage, ikke bruger<br />

pengene til at afdrage på lå<strong>net</strong>, men i stedet sætter dem ind på en<br />

annuitetsopsparing.<br />

Banken har altså to konti: Den oprindelige lånkonto, hvor kunden<br />

lånte beløbet G, og som der ikke sker mere med, og en<br />

annuitetsopsparing, hvor der hver termin indsættes ydelsen y. Begge<br />

konti forrentes naturligvis med rentesatsen r.<br />

Efter n terminer er lå<strong>net</strong> indfriet. Til dette tidspunkt står der på den<br />

oprindelige lånkonto beløbet<br />

G r n<br />

⋅ ( 1 + ) (renteformlen)<br />

og på annuitetsopsparingen<br />

n<br />

( 1+ r)<br />

−1<br />

y ⋅<br />

(annuitetsopsparingsformlen)<br />

r<br />

Banken taber jo ikke penge på dette, så derfor må de to beløb være<br />

ens:<br />

n<br />

n ( 1+ r)<br />

−1<br />

G⋅ ( 1+<br />

r) = y⋅<br />

r<br />

c<br />

n<br />

+ r − r<br />

G = y ⋅ =<br />

n<br />

r ⋅ + r r<br />

− +<br />

( 1 ) 1 1 ( 1 )<br />

( 1 )<br />

hvilket viser formlen.<br />

Afbetalingsordninger er typisk annuitetslån:<br />

14<br />

−n

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!