Matematikkens mysterier - KennethHansen.net

6.5 Annuitetslån
Annuitetslån er i en vis forstand det modsatte af annuitetsopsparinger. Ved et
annuitetslån låner man en vis mængde penge, kaldet grundstolen. Man afdrager så
lånet ved at betale det samme beløb, ydelsen, hver termin, indtil lånet er indfriet.
Dette tager et antal terminer, kaldet lånets løbetid.
Vi starter med at finde en formel, som beskriver annuitetslån:
Bevis:
Sætning 5
For et annuitetslån med grundstolen G, ydelsen y, løbetiden
n terminer og rentesats r (pr. termin), gælder
−n
1− ( 1+
r)
G = y ⋅
r
For at bevise denne formel skal man lave et lille kunstgreb. Man skal
forestille sig, at banken, når den får ydelserne tilbage, ikke bruger
pengene til at afdrage på lånet, men i stedet sætter dem ind på en
annuitetsopsparing.
Banken har altså to konti: Den oprindelige lånkonto, hvor kunden
lånte beløbet G, og som der ikke sker mere med, og en
annuitetsopsparing, hvor der hver termin indsættes ydelsen y. Begge
konti forrentes naturligvis med rentesatsen r.
Efter n terminer er lånet indfriet. Til dette tidspunkt står der på den
oprindelige lånkonto beløbet
G r n
⋅ ( 1 + ) (renteformlen)
og på annuitetsopsparingen
n
( 1+ r)
−1
y ⋅
(annuitetsopsparingsformlen)
r
Banken taber jo ikke penge på dette, så derfor må de to beløb være
ens:
n
n ( 1+ r)
−1
G⋅ ( 1+
r) = y⋅
r
c
n
+ r − r
G = y ⋅ =
n
r ⋅ + r r
− +
( 1 ) 1 1 ( 1 )
( 1 )
hvilket viser formlen.
Afbetalingsordninger er typisk annuitetslån:
14
−n