Lektion 8 Eksempler.pdf

Matematik på Åbent VUC Eksempler 

Lektion 8 – Geometri 

Indholdsfortegnelse 

Indholdsfortegnelse ......................................................................... 

Længdemål og omregning mellem længdemål ............................... 

Omkreds og areal af rektangler og kvadrater .................................. 

Omkreds og areal af andre figurer .................................................. 

Omregning mellem arealenheder .................................................... 

Nogle geometriske begreber og redskaber. ..................................... 

Målestoksforhold ............................................................................. 

Rumfang .......................................................................................... 

Omregning mellem rumfangsenheder ............................................. 

Massefylde ...................................................................................... 

Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) ............ 

Regne baglæns ................................................................................ 

Ligedannethed ................................................................................. 

Lektion 8 Side 1


I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. 

På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. 

Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. 

Længdemål og omregning mellem længdemål 

Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men 

standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: 

- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. 

- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. 

- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. 

(millimeter er ikke med på tegningen - der var ikke plads) 

Her er sammenhængen mellem 

måleenhederne stillet op i en tabel: 

Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. 

1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 

- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. 

1 dm = 10 cm = 100 mm 

1 cm = 10 mm 

Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. 

Eksempler på opgaver 

Omregn 97,5 cm til mm. Omregn 1.250 m til km. 

I skemaet står der ” 10 ” fordi, 

hver cm svarer til 10 mm. 

Man får: 

97 , 5 cm 

1 m = 10 dm 

97, 

5 

mm 

10 

975 mm 

1 dm = 10 cm 

I skemaet står der ” : 1. 

000” 

fordi, 

hver km svarer til 1.000 m. 

Man får: 

1.25 0 m 

1.250 

km : 1. 000 

1,250 

1 cm 

Lektion 8 Side 2 

km


Omkreds og areal af rektangler og kvadrater 

Et rektangel er en firkant, hvor: 

- siderne er parvis lige lange 

- hjørnerne er rette vinkler 

Eksempler på rektangler: 


Find omkreds og areal af et rektangel med 

længden 4 m og bredden 3 m. 

Omkredsen findes ved: 

- enten at sige: 4 m 3 m 4 m 3 m 14 m 

- eller at sige: 2 4 m 2 3 m 14 m 

Arealet findes ved at bruge formlen: 

Areal længde bredde eller blot A l b 

Man får: 

A 

4 m 3 m 

2 

12 m 

Tegningen viser, at rektanglet svarer til 

12 kvadrater, som måler 1 m på hver led. 

Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m 2 ) 

4 m 

3 m 

Et kvadrat er en firkant, hvor: 

- alle sider er lige lange 

- hjørnerne er rette vinkler 

Eksempler på kvadrater: 

Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangel 

Find arealet af et rektangel med 

længden 350 cm og bredden 2,50 m. 

Man kan ikke regne med både m og cm, så 

350 cm laves om til 3,50 m. 

Man får: 

2 

8, 

75 m 


A 

3, 

50 

m 

2, 

50 

Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. 

Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte 

kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m 2 . 

m 

350 cm = 3,50 m 

Hvis du er usikker på, hvorledes man 

omregner længdemål, så blad en side 

tilbage. Der er et par eksempler. 

2,50 m


Omkreds og areal af andre figurer 

Eksempel på opgave 

Tegningen til højre er en skitse af et hus. 

Find husets areal. 

For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. 

Det kan f.eks. gøres således: 

Der mangler tilsyneladende 

nogle mål for det nederste rektangel, 

men ved at kikke på tallene på skitsen 

kan man regne ud at: 

- arealet af det øverste rektangel må være: 

- arealet af det nederste rektangel må være: 

I alt er huset derfor: 

A 

A 

12 

m 6 m 

5 m 

2 

72 m 

2 

20 m 


4 m 

2 

9 2 m 

Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. 

Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder 

Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. 

I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. 


Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm. 

Man får: 

A 

1 

2 

h 

g 

1 

2 

5 cm 3 cm 

2 

7,5 cm 

Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen 

af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm. 

Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”. 

6 m 

7 m 

12 m 

1 

A 

2 

h 

g 

højde 

10 m 

grundlinie



Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm. 

Man får: 

A 

h 

g 

4 cm 3 cm 

2 

12 

cm 

Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til 

arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm. 

Du klipper venstre ende af 

og flytter stykket mod højre. 


Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cm 

og højden er 4 cm. 

Man får: 

A 

1 

2 

h 

(a 

b) 

1 

2 

4 cm 

(6 cm 

3 cm) 

2 

18 cm 

Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om 

til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm. 

Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”. 


A 

h 

1 

A 

2 

g 

h 

a 

højde 

højde 

grundlinie 

b 

(a 

b)



Find omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm. 

(Det svarer til en diameter på 3 cm) 

Man får: 

- enten O π d π 3 cm 9, 

4 cm 

- eller O 2 π r 2 π 1, 

5 cm 9, 

4 cm 


Tegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”. 

Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. 

Dette tal kaldes (læses pi). 

er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14… 

Mange regnemaskiner har en -knap. 

Find arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm. 

Man får: 

A 

radius 

diameter 

π 

r 

2 

π 

2,5 

2 

19,6 

radius 

diameter 

cm 

På regnemaskinen tastes: X 2,5 x 2 = 

På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”. 

2 


O 

eller 

Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. 

Resultatet vil ligne et rektangel. 

Længden bliver en halv omkreds - altså π 2,5 cm 

Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cm 

Arealet bliver derfor 

π 

2,5 

omkreds 

2,5 

π 

2,5 

2 

19,6 

O 

A 

cm 

π 

2 

π 

2 

d 

π 

2 

r 

r 

radius 

diameter 

radius


Omregning mellem arealenheder 

Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. 

Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm 2 til en m 2 , 

men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 10 = 100 dm 2 til en m 2 . 


arealenhederne stillet op i en tabel: 

1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 2 

Bemærk at den mindste af enhederne (mm 2 ) ikke er med på tegningen 

1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2 

1 cm 2 = 100 mm 2 

Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. 


Omregn 2500 cm 2 til m 2 . Omregn 3,5 cm 2 til mm 2 . 

I skemaet står der ” : 10. 

000” 

fordi, 

hver m 2 svarer til 10.000 cm 2 . 

Man får: 

2500 

cm 

2 

1 m 2 = 100 dm 2 

2500 

m 

2 

: 10.000 

0, 

25 

m 

2 

I skemaet står der ” 100” fordi, 

hver cm 2 svarer til 100 mm 2 . 

Man får: 

1 dm 2 = 100 cm 2 


3 , 5 

cm 

2 

3, 

5 

mm 

2 

100 

350 

mm 

2 

1 cm 2


Nogle geometriske begreber og redskaber. 

Når man arbejder med geometriske figurer, har man ofte brug for 

en passer og en vinkelmåler. 

Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan 

også anvendes til andre tegneopgaver. 

Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. 

De to redskaber er vist til højre. 

En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen 

af et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. 

En cirkel måler 360° 

(læses 360 grader) 

hele vejen rundt. 

Et ”lige” hjørne 

måler 90° og kaldes 

en ret vinkel. 

Det er en kvart cirkel. 

I en trekant er de tre vinkler altid 180° tilsammen. 

Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne: 

I en ligesidet trekant er 

alle siderne lige lange, og 

alle vinklerne er 60°. 

I en ligebenet trekant er 

to af siderne lige lange og 

to af vinklerne lige store. 

En vinkel på mindre 

end 90° kaldes 

en spids vinkel. 

Den viste vinkel er 60° 

En vinkel på mere 

end 90° kaldes 

en stump vinkel. 

Den viste vinkel er 120° 

I en retvinklet trekant er en 

af vinklerne ret - altså 90°. 

Særligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: 

Regulær 

sekskant 

Symmetrisk figur med 

vandret symmetriakse 

(eller spejlingsakse). 

Lektion 8 Side 8


Målestoksforhold 


Tegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200. 

Find husets længde og bredde. 

Find også husets areal. 

Først måles længde og bredde på tegningen. 

Man får 7,5 cm og 4,0 cm. 

Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200. 

Man får: 

- længde: 7,5 cm 200 1500 cm 15,00 m 

- bredde: 4 , 0 cm 200 800 cm 8, 

00 m 

Arealet beregnes til: 

15 m 8 m 

120 

2 

m 

På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden. 

Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen. 

Det er definitionen på et målestoksforhold. Tegningen er en formindsket kopi af huset. 

Men arealet af det rigtige hus er 200 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen. 

Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! 


En byggegrund har form som et rektangel. 

Længden er 30 m og bredden er 20 m. 

Lav en tegning i målestoksforhold 1:500 

Tegningens mål findes ved at dividere med 500. 

Man får: 

- længde: 30 m : 500 0,06 m 6 cm 

- bredde: 20 m : 500 0,04 m 4 cm 

Tegningen ser ud som til højre 

Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal 

det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 

30 m 

De fleste gange er det sådan, at virkeligheden er større end tegningen, og målestoksforholdet bliver 

så fx.1:100 - man kan dog møde det omvendte forhold: at virkeligheden er mindre end tegningen, 

hvis man fx. har en tegning af en meget lille maskindel – i sådan et tilfælde kan målestoksforholdet 

fx. være 50:1 – så altså: 

- hvis tegningen er et formindsket billede at virkeligheden, kan målestoksforholdet fx.være 1:100 

- hvis tegningen er et forstørret billede at virkeligheden, kan målestoksforholdet fx. være 50:1 

1:500 


20 m 

Grundrids af hus 

1:200


Rumfang 


Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange m 3 (kubikmeter) kan det rumme? 

Rumfanget findes ved at bruge formlen: 

Rumfang længde bredde højde eller blot V l b h 

(Bogstavet V bruges for rumfang) 

Man får: 

3 

V 7 m 2 m 2 m 28 m 

Det betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser, 

som måler 1 m på hver led. 

En sådan terning kaldes en kubikmeter (m 3 ). 


En kasse har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange liter kan den rumme? 

Liter er det samme som kubikdecimeter (dm 3 ). 

(se evt. næste side om rumfangsenheder) 

Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. 

Man får: 

3 

V 7,5 dm 3 dm 4 dm 90 dm eller 90 liter 


En lille dåse har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme? 

Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm 3 ) 

og dåsen har form som en cylinder. 

2 

2 

3 

Man får: V π r h π 5 9 707 cm eller 707 ml 

På regnemaskinen tastes: X 5 x 2 X 9 = 

Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. 

Der findes en række andre formler, som du også 

kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. 

28 X 1 m 3 

h 

radius 


40 cm 

2 m 

2 m 

75 cm 

V 

5 cm 

π 

r 

2 

7 m 

30 cm 

9 cm 

højde


Omregning mellem rumfangsenheder 

Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. 

Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 10 10 = 1.000 dm 3 til en m 3 . 


rumfangsenhederne vist i en tabel: 

Man måler også rumfang med liter-enheder: 

liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). 

Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. 

Det er vigtigt at vide, at: 

- 1 dm 3 er det samme som en liter (l) 

- 1 cm 3 er det samme som en milliliter (ml) 

Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: 


Omregn 3,5 m 3 til liter. 

1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 3 

En liter er det samme som en dm 3 . Derfor skal man gange med 1.000. 

Man får: 

1 m 3 = 1.000 dm 3 

3 

3 

3 

3,5 m 3,5 dm 1.000 3.500 dm = 3.500 liter 

1 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 3 

1 liter 

1 dm 3 = 1.000 cm 3 

1 cm 3 

1 cm 3 = 1.000 mm 3 

1 dl 

1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml 

1 dl = 10 cl = 100 ml 

1 cl = 10 ml 


1 cl 

1 ml


Massefylde 

Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. 

Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. 

Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen 

kan også omskrives som vist herunder: 

Vægt = Rumfang ∙ Massefylde eller 

Hvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm 3 , betyder det, 

at en cm 3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g. 

Vand har en massefylde på 1 g pr. cm 3 . 

Rumfang 

Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm 3 . 

Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), 

har en massefylde på over 1 g pr. cm 3 . 

Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have 

styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og 

vægtenhederne. 


En metalklods vejer 323 g 

og har et rumfang på 85 cm 3 . 

Hvad er massefylden? 

Man får: 

Massefylde 

323 g 

85 cm 

1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g 

3 

3,8 g pr. cm 

3 

1 kg = 1.000 g 

Hvor meget vejer 5 m 3 grus, 

når massefylden for gruset 

er 2,3 tons pr. m 3 ? 

Man får: 

Vægt 

5 m 

3 

11,5 tons 

2,3 tons pr. m 

Massefylde 

Vægt 

Massefylde 

Vægt 

Rumfang 

Hvor meget fylder 0,5 kg 

alkohol, når massefylden 

er 0,8 kg pr. liter? 


3 

Man får: 

Rumfang 

0,5 kg 

0,8 kg pr. liter 

0, 

625 

I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. 

Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. 

Massefylde er vægt 

pr. rumfangsenhed. 

Fx vægt pr. cm 3 . 

1 ton 1 kg 1 g 

Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! 

liter


Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) 

Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte 

regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. 

Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden. 

B 

Det mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant. 

Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm, 

4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet. 

Det gælder naturligvis også, hvis man bruger 

andre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m. 

Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: 

a 

2 

b 

2 

c 

2 

Hvis du regner efter, får du at: 

og det er jo ganske rigtigt. 

2 2 2 

3 4 5 eller 9 + 16 = 25, 

Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. 

c er den længste side - siden modsat den rette vinkel (kaldes hypotenusen). 

a og b er de to korte sider, der danner den rette vinkel (kaldes kateter) 


Tegningen viser en retvinklet trekant. 

Find den manglende sidelængde c. 

Man sætter ind i formlen a 

og løser en ligning: 

12 

2 

144 

5 

2 

25 

169 

c 

c 

c 

c 

2 

2 

2 

c = 

a = 12 cm 

B C 

169 

13 

2 

cm 

b = 5 cm 

b 

2 

A 

c 

2 

Skitsen viser en stige, 

der er stillet op ad 

en høj mur. 

Stigens længde 

er 4,50 m. 

Hvor højt når 

stigen op? 

Stigen, muren og jorden danner en retvinklet 

trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider 

er 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a. 

Siden langs muren kaldes b og findes således: 

19,04 

4,36 m 


A 

1,10 

2 

1,21 

b 

b 

b 

2 

2 

2 

b 

c = 5 cm 

b = 4 cm 

4,50 

2 

20,25 

20,25 

a = 3 cm 

110 cm 

1,21 

C 

19,04 

Man navngiver hjørner 

med store bogstaver og 

sider med små bogstaver.


Regne baglæns 

Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. 

Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang 

og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning). 


Find bredden af et rektangel med 

arealet 12 m 2 og længden 4,8 m. 

Formlen for arealet af et rektangel er: A l b 

Man sætter de kendte tal ind i formlen og 

regner baglæns (løser en ligning): 

A 

12 

12 

4,8 

2,5 

b 

l 

4,8 

b 

b 

b 

b 

2,5 m 


Find arealet af en cirkel der har 

en omkreds på 44 cm. 

Der er ingen formel, der direkte forbinder 

omkreds og areal, men man kan finde radius 

med denne formel: O 2 π r 

44 

44 

44 

6,283 

r 

6,283 

7,0 cm 

Nu findes arealet med formlen: 

A 

π 

r 

2 

r 

2 

π 

π 

r 

r 

7, 

0 

2 

A 

153,9 

π 

cm 

2 

r 

2 

Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m 3 

og har længden 145 cm og bredden 80 cm. 

Rumfangs-formlen lyder: V l b h 

For at enhederne kan passe sammen laves 145 cm 

om til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m 

0,87 

1,16 

75 cm 


V 

0,87 

0,87 

0, 

75 

h 

l 

1,45 

1,16 

h 

h 

b 

0, 

75 

h 

0, 

80 

h 

m 

Find radius i en cylinder der er 

60 cm høj og kan rumme 118 liter. 

2 

Rumfangs-formlen lyder: V π r h 

For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm 

om til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm 3 ). 

V 

118 

118 

118 

18,85 

6,26 

r 

π 

π 

18, 

85 

r 

r 

2 

2 

r 

r 

2 

2 

h 

6 

6,26 

r 

2 

h 

2,5dm 

25cm


Ligedannethed 

Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede 

kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede. 

Men selv om man forstørrer/formindsker længdemålene, 

så er er vinklerne uforandrede. 

Her er to ligedannede trekanter – vinklerne i den ene er lige så store som vinklerne i den anden. 

Siderne i den ene er dobbelt så store i den ene som i den anden. 

A 

DE er dobbelt så stor som AB – EF er dobbelt så stor som BC - DF er dobbelt så stor som AC 

Der er med andre ord samme størrelsesforhold mellem de tilsvarende sider – man kunne skrive: 

AB BC AC 

= = 

DE EF DF 

Hvis man altså kender nogle af siderne kan man beregne resten ved at stille ovenstående ligning op. 


ABC og DEF er ligedannede - find længderne på liniestykkerne AB og BC 

AB AC 

= 

DE DF 

AB 20 

= 

14 15 

B 

C 

D 


E 

læses: AB forholder sig til DE ligesom BC forholder sig til EF og 

ligesom AC forholder sig til DF 

eller: AB divideret med DE er lig med BC divideret med EF er 

lig med AC divideret med DF 

A 

20 cm 

B 

C 

D 

14 cm 

15 cm 

E 

F 

F 

7 cm


20 14 

AB = 15 

AB =18,7 AB er altså 18,7 cm 

Da EF er halvdelen af DE, må BC være halvdelen af AB; altså: 

AB 

BC = 2 

18,7 

BC = 2 

BC = 9,4 BC er altså 9,4 cm 

Parallelogrammerne er ligedannede - find længden på liniestykket a 

b = 8 dm 

A = 7 dm 

B = 11 dm 

a b 

= 

A B 

a 8 

= 

7 11 

87 

a= 11 

a = 5,1 a er 5,1 dm 

a 

b 


A 

B

Lektion 8 Eksempler.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?