43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

10
b) Vis ved hjælp af formel (8.3) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X1 og X2 er ekspo-
nentialfordelingen med parameter λ , dvs. (se formel (5.43) i BPT) den kontinuerte fordeling
med tæthedsfunktion
fX(x) = λe −λx , for x > 0,
s˚a er X· en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion
fX·(x.) = λ 2 x·e −λx· , for x· > 0.
Opgave 32 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 1992/93, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion
⎧
⎨
fX(x) =
⎩
1
x
0
hvis x ∈ ]1, e[
ellers,
hvor e betegner grundtallet for den naturlige logaritme, dvs. ln(e) = 1.
1◦ Vis, at fordelingsfunktionen FX for X er givet ved
⎧
⎪⎨ 0 hvis x ≤ 1
FX(x) = ln(x)
⎪⎩ 1
hvis x ∈ ]1, e[
hvis x ≥ e.
2 ◦ Vis, at middelværdien af X er
3 ◦ Vis, at variansen af X er
E X = e − 1.
V ar X = 1
(3 − e)(e − 1).
2
4 ◦ Lad Y = ln(X) og vis, at Y ∼ R(0, 1), dvs. at Y er uniformt (eller rektangulært) fordelt
p˚a intervallet ]0, 1[.
Opgave 33 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1993, Opgave 1)
Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion FX er givet ved
1 ◦ Vis, at
⎧
⎪⎨
FX(x) =
⎪⎩
0 hvis x ∈ ]−∞, 0[
1
4 x2 hvis x ∈ [0, 2]
1 hvis x ∈ ]2, ∞[ .
P (X ∈] 0.5, 1.5 ]) = 1
2 .