43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

12
Opgave 35 (Re- og sygeeksamen i Geostatistik Vinteren 1993/94, Opgave 1)
Lad (X1, X2) være en diskret to-dimensional stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion
som angivet i nedenst˚aende tabel:
X2 \X1 1 2 3
1 0.04 0.12 0.04
2 0.12 0.36 0.12
3 0.04 0.12 0.04
1 ◦ Vis, at X1 og X2 har samme marginale fordeling med sandsynlighedsfunktion
samt at X1 og X2 er stokastisk uafhængige.
og
2 ◦ Vis, at
x 1 2 3
fX(x) 0.20 0.60 0.20
E X1 = E X2 = 2
V ar X1 = V ar X2 = 0.40.
3 ◦ Find E (X1 + X2), E (X1 − X2), V ar (X1 + X2) og V ar (X1 − X2).
Opgave 36 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 1994, opgave 1)
Lad V være en diskret stokastisk variabel som er binomialfordelt med antalsparameter 1 og
sandsynlighedsparameter π, det vil sige V ∼ b(1, π). Sæt
X = 2V − 1.
1 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er
x −1 1
P (X = x) 1 − π π
2 ◦ Beregn middelværdien og variansen for X.
Lad Y være en stokastisk variabel som er stokastisk uafhængig af X og som har samme
fordeling som X. Sæt
U = X Y.
3 ◦ Vis, at sandsynlighedsfunktionen for den to-dimensionale diskrete stokastiske vektor
(X, U) er
X \ U −1 1
−1 π(1 − π) (1 − π) 2
1 π(1 − π) π 2