43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

4
Opgave 15 Vis, at funktionen
f(x) =
1
, x = 1, 2, . . . ,
x(x + 1)
er sandsynlighedsfunktionen for en diskret stokastisk variabel X. Undersøg desuden om X har
middelværdi.
(Vink: brug resultaterne i Opgave 14)
Opgave 16 Betragt firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (1, 1) og (2, 1). Bestem arealet
af denne firkant ved hjælp af et dobbelt integral.
Opgave 17 Betragt trekanten T bestemt af punkterne (−1, 1), (0, 0) og (1, 1). Antag, at den
to-dimensionale stokastiske vektor (X1, X2) er uniformt fordelt p˚a trekanten. Da arealet af T er
1 betyder dette, at den simultane tæthedsfunktion (joint density function) for (X1, X2) er
1 hvis (x1, x2) ∈ T
f(X1,X2)(x1, x2) =
0 ellers.
og
Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X1 og X2 er henholdsvis
fX1(x1) = 1 − | x1 |, hvis x1 ∈ [−1, 1] ,
fX2(x2) = 2x2, hvis x2 ∈ [0, 1] .
Opgave 18 Lad A være firkanten bestemt af punkterne (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (−1, 1) og betragt
funktionen
f(x1, x2) =
4x1x2 + 4x 2 2 hvis (x1, x2) ∈ A
0 ellers.
a) Gør rede for, at funktionen f er tæthedsfunktion for en to-dimensional kontinuert stoka-
stisk vektor.
Vink: For at vise at
R 2
f(x1, x2)dx1dx2 = 1,
er det lettest at beregne dobbelt integralet som
f(x1, x2)dx1 dx2,
R R
idet man først viser, at for fast x2 er
f(x1, x2)dx1 = 2x2, for x2 ∈ [0, 1] . (*)
R