43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

2
Gæt først p˚a hvad sandsynligheden er og beregn den dernæst ved hjælp af Bayes formel.
Opgave 6 Antag, at der i en moræne er 20% facetterede og 80% ikke-facetterede sm˚asten samt
at 70% af de facetterede er granit og at 80% af de ikke-facetterede er granit. Hvad er sandsyn-
ligheden for at en sten, der best˚ar af granit, er facetteret?
Opgave 7 Et gartneri sælger sm˚a stedmoderplanter. Sandsynligheden for anlæg for bl˚a blomst
er 0.7, for gul blomst 0.2 og for hvid blomst 0.1. Sandsynligheden for, at en plante kommer i
groning er 0.95 for ”bl˚a” planter, 0.9 for ”gule” planter og 0.9 for ”hvide” planter.
a) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt plante kommer i groning?
b) Hvad er sandsynligheden for, at en plante, der kommer i groning, f˚ar gule blomster?
Opgave 8 Udled sandsynlighederne i Example 4.2 og 4.3 p˚a siderne 16 – 19 i BPT.
Opgave 9 Evnen til at smage stoffet phenylthiocarbamid (PTC) er i mennesket bestemt af et
enkelt, autosomalt locus med allelerne T og t. Allelen T dominerer over allelen t, s˚aledes at
personer med genotypen T T eller T t er ”smagere”, medens personer med genotypen tt har
fænotypen ”ikke-smagere”. Lad os betragte en human population, hvor T -allelen forekommer
med hyppigheden p og t-allelen med hyppigheden q = 1 − p.
Opstil, under antagelse af Hardy-Weinberg ligevægt i populationen, udtryk for:
a) Hyppigheden i populationen af de tre mulige ægteskabstyper (smager) x (smager), (sma-
ger) x (ikke-smager) og (ikke-smager) x (ikke-smager).
typer.
b) Hyppigheden af ”ikke-smager”-børn inden for hver af de tre under a) nævnte ægteskabs-
Hvis hyppigheden af t-allelen er 10% (dvs. q = 0.10), hvor stor en del af samtlige ”ikke-
smager”-børn kommer da fra den genotypiske ægteskabskombination T t x T t og hvor stor en
del kommer fra ægteskaber af typen tt x tt?
Opgave 10 Lad p ∈]0, 1[ og lad { an} være følgen med elementer
samt at
an = (1 − p)p n−1 , n = 1, 2, . . . .
Vis ved hjælp af formel (B15) og formel (B9) med q = p 2 at
∞
n=0
∞
n=1
a2n+1 =
a2n =
∞
n=1
∞
n=0
(1 − p)p 2n = 1
1 + p
(1 − p)p 2n−1 = p
1 + p .
Bemærk, at de to rækker er summen af elementer i følgen med henholdsvis ulige og lige numre.