43 opgaver i sandsynlighedsregning - Aarhus Universitet

6
2) Undersøg, om X1 og X2 er stokastisk uafhængige.
3) Vis, at E X1 = 0.02 og at E X2 = 0.12.
Lad Z = X1X2.
4) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for Z er
5) Vis, at EZ = E(X1X2) = 0.06.
Z = X1X2 −1 0 1
P (Z = ·) 0.18 0.58 0.24
6) Vis, ved at bruge 3), 5) og formel (6.23), at Cov (X1, X2) = 0.0576.
Lad (Y1, Y2) = (X 2 1, X 2 2).
7) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for (Y1, Y2) er
Y2 \Y1 0 1
8) Vis, at Y1 og Y2 er stokastisk uafhængige.
1 0.18 0.42
0 0.12 0.28
9) Vis, at E X 2 1 = E Y1 = 0.7 og at E X 2 2 = E Y2 = 0.6.
10) Vis ved hjælp af 3), 9) og formel (6.20), at V ar X1 = 0.6996 og at V ar X2 = 0.5856.
11) Beregn Cor (X1, X2) ved hjælp af 6), 10) og formel (6.19).
Opgave 23 En to-dimensionel diskret stokastisk vektor (X, Y ) har sandsynlighedsfunktion
som anført i nedenst˚aende tabel
X \Y 0 1 2
0 0.10 0.05 0.10
1 0.10 0.10 0.10
2 0.07 0.08 0.05
3 0.05 0.12 0.08
Find sandsynlighedsfunktionen for X og beregn E X [1.45] og V ar X [1.2475].
Find sandsynlighedsfunktionen for Y og beregn E Y [1.01] og V ar Y [0.6499].
Find E (XY ) [1.50] og Cov (X, Y ) [0.0355].
Er X og Y uafhængige?
Opgave 24 (Eksamen Biostatistik sommeren 92, Opgave 1)
J. Schmidt og K. Smidt foretog i henholdsvis 1917 og 1922 en undersøgelse vedrørende va-
riationen i brystfinnen hos ˚alekvabber (Zoarces viviparus). For et stort antal mødre blev antallet
af str˚aler Y1 hos moderen registreret tillige med antallet af str˚aler Y2 hos en tilfældigt udvalgt