Opgaver til Differen..

Differentialligninger 3
Matematik B ‐ Efterår 2011
Brug af Panserformlen
Den fuldstændige løsning til den lineære 1.ordens differentialligning y ′ + a( x)
y = b(
x)
er givet ved:
f ( x)
− A(
x)
A(
x)
− A(
x)
= y = e ∫ b(
x)
⋅ e dx + c ⋅e
, hvor x)
∫
A ( = a(
x)
dx og c ϵ R
Opgave
Brug Panserformlen til at finde den fuldstændige løsning til følgende
differentialligninger:
− x 1 3x
1. y ′ − 3 y = x Løsning: f ( x)
= y = − + c ⋅ e
3 9
Kontroller derefter på lommeregner ved indsættelse
−4x
2. y ′ + 4 y = 0 Løsning: f ( x)
= y = c ⋅ e
Kontroller derefter på lommeregner ved indsættelse
3. y ′ − ky = 0 Løsning: f ( x)
=
Kontroller derefter ved indsættelse
y = c ⋅ e
kx
4. y ′ + 2 y = 4 Løsning: f ( x)
= y = 2 + c ⋅ e
−2
x
Kontroller derefter på lommeregner ved indsættelse
5. y′ = 6 − 2y
Løsning: f ( x)
= y = 3 + c ⋅ e
−2
x
Kontroller derefter på lommeregner ved indsættelse
6. y′ = b − ay Løsning: f ( x)
=
Kontroller derefter ved indsættelse
y =
b
a
+ c ⋅ e
−ax
Opgave 8 (10 %) MatA 24. januar 2011
En differentialligning er givet ved:
1
x
2 dy = y + e
2
dx
a) Bestem ligningen for tangenten til grafen i punktet P (0,1)
for den
partikulære løsning til differentialligningen, der indeholder punktet P (0,1)
.
(Løsning: y = x + 1)
b) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen.
(Løsning:
1
1
1 x
x
2
2
f x y x e c e
( ) = = ⋅ + ⋅ )
2
1

Differentialligninger 3
Matematik B ‐ Efterår 2011
Opgave 5 (5 %) MatA 30. maj 2011
En differentialligning er givet ved
dy
dx
= 2 + 4y
a) Bestem den partikulære løsning til differentialligningen, hvis graf
1 5 4x
indeholder punktet P (0,2)
. (Løsning: f ( x)
= y = − + e )
2 2
Opgave 6 (10 %) MatA 30. maj 2011
dy
En differentialligning er givet ved: + 1 y = 5x
3 , x > 0.
dx x
a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen.
4 c
(Løsning: f ( x)
= y = x + )
x
b) Bestem en forskrift for den partikulære løsning, hvis graf går igennem
1
punktet P(2, 18). (Løsning: f ( x)
= y = x
4 + )
x
2