Loesning til Stamfun..

Repetition 5a
af Matematik 0‐B Efterår 2012
Løsning til Stamfunktion og Areal
3 2
2
1. To funktioner er givet ved: f ( x)
= x − 6x
+ 9x
og g(
x)
= −x
+ 5x
Punktmængden M 1 er for x ≥ 1 i første kvadrant begrænset af graferne for f og g.
7
y
f(x)=x^3-6x^2+9x
Skravering 1
f(x)=-x^2+5x
x=1
6
f(x)
5
4
3
M 1
2
g(x)
1
x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5
-1
a. Ligningen f(x) = g(x) løses: x 3 ‐6x 2 +9x = ‐x 2 +5x ↔ x 3 ‐11x 2 +4x = 0 ↔ x(x 2 ‐11x +4)= 0;
Løses vha. LR: x = 0; x = 1 og x = 4. f(0) =0; f(1) = 4 og f(4) =4.
4 3
⎡−
x 5x
2
⎤
∫ dx = ⎢ + − 2 ⎥ =
1
⎣ 4 3 ⎦
4
2
3 2
b. = ( − x + 5x
− ( x − 6x
+ 9x)
)
A M
x
1
4
1
45
4
2. To funktioner f og g er givet ved
x
f ( x)
= 3e
og g(
x)
= 4 − e
x
a) Ligningen f(x) = g(x) løses: 3e x = 4 – e x ↔ 4e x = 4 ↔ e x = 1 ↔ x = 0. f(0) = 3
y
7
f(x)
f(x)=3exp(x)
Skravering 1
f(x)=4-exp(x)
x=1
6
5
4
3
M 1
2
1
g(x)
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
-1
1

Repetition 5a
af Matematik 0‐B Efterår 2012
1
x
x
x 1
b) A = ( 3e
− (4 − e )) dx = [ 4e
− 4x]
M
∫ 0
= 4 − 8 = 2, 8731
1
e
0
3. To funktioner f og g er givet ved: ( ) 2
2 1
f x = − x + 2 og g ( x)
= − x + 4 .
2
Punktmængden M
1
er afgrænset af graferne for f, g , y-aksen og x-aksen.
y
7
f(x)=-2x^2+2
f(x)=-.5x+4
Skravering 1
Skravering 2
f(x)=0
6
5
4
3
g(x)
f(x)
2
1
M 1
x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5
-1
4.
a) Først findes skæringspunkterne mellem f(x) og x‐aksen, og g(x) og x‐aksen.
Følgende ligninger løses: f(x) = 0, og g(x) = 0. Parablen skærer x‐aksen i x = ‐1
og x= 1. g(x) skærer x‐aksen i x = 8. Arealberegningen deles op i to:
A M
1
3 2
⎛ 1
2 ⎞ ⎡2x
x ⎤
A
1
= ∫ ⎜−
x + 4 − ( −2x
+ 2) ⎟dx
= ⎢ − + 2x⎥
= 2, 417
0 ⎝ 2
⎠ ⎣ 3 4 ⎦
8
2
⎛ ⎞ ⎡ ⎤
A = ∫ ⎜−
1 2
x + 4⎟dx
= ⎢4x
−
x
⎥ = 12, 25
1 ⎝ 2 ⎠ ⎣ 4 ⎦1
Arealet af M 1 = A 1 + A 2 = 14,67
3
4
⎡
⎤
2 2
∫ ( )
⎢ x 2x
= − + = − + +
⎥ 16
x x 2 dx
2x
=
⎢ 2 3 ⎥ 3
0
⎢⎣
⎥⎦
8
4
0
1
0
2

Repetition 5a
af Matematik 0‐B Efterår 2012
5. L ={1; 9} dvs. graferne skærer hinanden i x = 1 og x = 9.
6.
A M
2
( x − ( x − 7x
+ 18)
9
3
3
⎡ x 7
⎤
2 2
= ∫ 12 dx = ⎢−
+ x + 8x
−18x⎥
=
1
⎣ 3 2
⎦
7
y
9
1
304
3
f(x)=1/3*x^3-4x+6
f(x)=-x+6
Skravering 1
f(x)=0
6
5
f(x)
4
3
2
M
g(x)
1
x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5
-1
Først løses ligningen: f(x) = g(x), L = {‐3; 0; 3}. Dvs. graferne skærer hinanden i x = 0
og x = 3 i første kvadrant.
A M
3
2 4
⎛ 1 3 ⎞ ⎡3x
x ⎤
= ∫ ⎜−
x + 6 − ( x − 4x
+ 6⎟dx
= ⎢ − ⎥ =
0 ⎝ 3 ⎠ ⎣ 2 12 ⎦
3
0
27
4
7.
A M
3
( 8 − x )
2
4
⎡ x ⎤
= ∫ dx = ⎢8x
− ⎥ = 12
0
⎣ 4 ⎦
2
0
3