Noter og opgaver i statistisk fysik

Ligevægtstilstanden af β-messing er den, hvori den fri energi F = E − TS ermindst mulig. Selv om det energimæssigt kan være en fordel, at atomerne sidderordnet som på fig. 61 (a), vil entropileddet −TS ved endelige temperaturer alt i altkunne mindske den fri energi, selv om det koster noget indre energi at øge uordenen.Ved tilstrækkeligt høje temperaturer bliver legeringen helt uordnet. Dette sker, nårtemperaturen overstiger en kritisk temperatur T c ,derforβ-messing er 741 K. Vedtemperaturer under T c er β-messing delvist ordnet. Graden af orden bliver større,jo lavere temperaturen er. Ved det absolutte temperaturnulpunkt er legeringen heltordnet, således at hvert zinkatom er omgivet af otte kobberatomer og omvendt.Vi skal i det følgende beregne graden af orden som funktion af temperaturenpå basis af en meget simpel model. Lad os kalde den ene slags atomer for A-atomer og den anden for B-atomer. Pladserne i gitteret benævnes a-pladser svarendetil atomer på enhedscellernes hjørner og b-pladser svarende til atomer i cellernesmidte. Med α betegnes den brøkdel af a-pladser, der er besat med A-atomer. Nårα er 1, er legeringen fuldkommen ordnet, mens α = 1/2 svarer til fuldkommenuorden. I stedet for α vil vi (i overensstemmelse med Landau og Lifshitz, p. 449) somordensparameter benytte η defineret ved η =2α − 1. Åbenbart svarer fuldstændiguorden til η = 0, mens fuldstændig orden svarer til η = ±1.a) Vis, at hvert atom har otte nærmeste naboer. Hvorledes er atomerne anbragt,hvis η = −1?Parameteren η beskriver den gennemsnitlige orden eller ‘fjernordenen’ (engelsk:long-range order), men ikke den tendens, der kan være til at et A-atom lokalt omgiversig med B-atomer. Denne ‘nærorden’ (short-range order) kan forventes at spille enrolle også overT c , men vi skal i det følgende ikke tage hensyn til denne.Den totale energi tilnærmes ved summen af bindingsenergierne for nærmestenabopar. Når vi ser bort fra nærordenseffekter, er antallet af A − A par givetvedN AA = 1 2 zNα(1 − α) =1 8 zN(1 − η2 ), (1)hvor N er det samlede antal atomer. Parameteren z er koordinationstallet, der erdefineret som antallet af nærmeste naboer (for det rumcentrerede kubiske gitter erz =8).b) Begrund resultatet (1).Med E AA ,E AB og E BB betegnes bindingsenergierne for henholdsvis A−A, A−Bog B − B par. Der ses bort fra bidraget til den totale energi fra atomernes vibrationom deres positioner i gitteret.c) Vis, at den totale energi er givet vedE = N 2 z[(E AA + E BB )(1 − α)α + E AB (α 2 +(1− α) 2 )]. (2)10