Noter og opgaver i statistisk fysik

3.1.1 Periodiske grænsebetingelserDen fuldstændige løsning til Schrödinger-ligningen for bevægelsen af en fri partikelién dimension er anført i (3.3). I stedet for at forlange, at bølgefunktionen er nulpå overfladen svarende til punkterne x =0ogx = L, vilvinupålægge en periodiskgrænsebetingelseψ(x =0)=ψ(x = L). (3.12)Fysisk set kunne en sådan grænsebetingelse realiseres ved, at man føjer endepunkterneaf det éndimensionale område sammen til en ring. En tilsvarende konstruktionlader sig ikke udføre i tre dimensioner, og det er derfor bedre at betragte brugen afperiodiske grænsebetingelser som en approksimation, der er tilstrækkelig nøjagtig,når det drejer sig om volumenegenskaber, men som ikke gør det muligt at udtalesig om bølgefunktionernes udseende ved selve overfladen. Vi skal nu vise, at brugenaf de periodiske grænsebetingelser (3.12) fører til nøjagtig det samme udtryk fortilstandstætheden som fundet ovenfor i (3.8).Den fuldstændige løsning til Schrödinger-ligningen (3.2) er en superposition aftilstande, der er egenfunktioner for impulsoperatoren med egenværdier givet vedhenholdsvis ¯hk og −¯hk. Vi ønsker nu at beskrive partiklens bevægelse ved normeredetilstande, der er egenfunktioner for impulsoperatoren, svarende til bølgefunktionerneψ(x) = √ 1 e ikx . (3.13)LEn bølgefunktion som (3.13) kan ikke bringes til at være nul i punkterne x =0ogx = L. Brugen af de periodiske grænsebetingelser (3.12) giver imidlertid, atk = n 2π , n =0, ±1, ±2, ···. (3.14)LBemærk, at de tilladte værdier af k ifølge (3.14) ligger i den dobbelte indbyrdesafstand i forhold til de værdier, der er givet ved (3.4). Antallet af tilstande indenfor et energiinterval ∆ε er imidlertid det samme i de to tilfælde, da k ifølge (3.14)antager både positive og negative værdier. Bestemmes tilstandstætheden ud fra(3.14) fås derfor atter resultatet (3.8).For at illustrere brugen af periodiske grænsebetingelser skal vi afslutte dennediskussion af en fri partikel i en kasse ved igen at bestemme tilstandstætheden,denne gang ved brug af egentilstande for impulsoperatoren. For at gøre dimensionensbetydning klar skal vi formulere problemstillingen i d dimensioner og angivetilstandstætheden i tilfældene d =1, 2og3.Udgangspunktet for bestemmelsen af tilstandstætheden er egentilstandene forimpulsoperatoren| ⃗ k〉. (3.15)21