Noter og opgaver i statistisk fysik

3 FermionerOpgaverne i dette kapitel vedrører ideale gasser bestående af identiske fermioner,hvis bølgefunktion er antisymmetrisk over for ombytning af to vilkårlige partikler.Ved bestemmelse af de forskellige termodynamiske størrelser for sådanne idealeFermi-gasser erstattes summen over de mulige kvantetilstande for en enkelt partikelmed integration over den tilhørende energi. Begrebet tilstandstæthed, der er emnefor de følgende to afsnit, er derfor af central betydning. Desuden er det ofte af interesseat finde de termodynamiske størrelser ved temperaturer, der er lave i forholdtil Fermi-temperaturen T F (Fermi-energien divideret med Boltzmanns konstant).I afsnit 3.3 gennemgås den såkaldte Sommerfeld-udvikling, der er en systematiskmetode til bestemmelse af termodynamiske størrelser som en Taylor-række i parameterenT/T F , og den anvendes i afsnit 3.4. Den modsatte grænse, T ≫ T F erbehandlet i afsnit 3.5.3.1 TilstandstæthedDet er ofte en fordel at forestille sig, at et kvantemekanisk system er lukket inde i enkasse i stedet for at antage, at hele rummet er tilgængeligt for dets bevægelse. Baggrundenfor dette er blandt andet, at det ved anvendelsen af kvantemekanikken påmakroskopiske systemer er af betydning at vide, hvorledes fysiske størrelser afhængeraf systemets volumen. På den anden side er det klart, at man ved at lukke systemetinde i en kasse principielt komplicerer beskrivelsen. Begrebet fri partikel erikke umiddelbart foreneligt med, at kun en del af rummet er til rådighed for partiklensbevægelse, og man kan derfor ikke uden videre benytte impulsen, der er enbevægelseskonstant for en fri partikel, til at karakterisere partiklens mulige tilstandei kassen.Vejen ud af dette dilemma er at benytte periodiske randbetingelser. Hvis kassener defineret ved, at partiklens potentielle energi er uendelig stor uden for kassensvolumen, må bølgefunktionen være nul på kassens overflader. En direkte brug afdenne grænsebetingelse forhindrer os imidlertid i at benytte egentilstande for impulsoperatoren.I stedet vil vi forlange, at bølgefunktionen er periodisk, så atdensværdi på et punkt af en overflade er den samme som dens værdi på denmodstående.I det følgende vil vi diskutere den kvantemekaniske bevægelse af en fri partikel ién dimension og i dette tilfælde sammenligne de sædvanlige grænsebetingelser medde periodiske. Som vi skal se, fører brugen af de to forskellige grænsebetingelser tilsamme fysiske resultat, når ‘kassen’ er valgt tilstrækkelig stor, så at energiniveauerneligger tæt. Fordelen ved brug af periodiske grænsebetingelser er, at de gør det18