Noter og opgaver i statistisk fysik

Ved sammenligning af (4.34) og (4.35) ses det, at middelenergien kan skrives somE = −∂ ln Z(β), (4.37)∂βhvor parameteren β er defineret ved β =1/kT .Når (4.36) indsættes i (4.37), bliveroscillatorens middelenergi udtrykt som1E =¯hω(e¯hω/kT − 1 + 1)=¯hω(n + 1 ), (4.38)2 2Funktionen n givet ved1n =(4.39)e¯hω/kT − 1kaldes Planck-fordelingen. Den er lig med middelværdien af antallet n af energikvanteri en harmonisk oscillator, hvis klassiske frekvens er ω. Når temperaturen erhøj i forhold til ¯hω/k, ern med tilnærmelse givet ved kT/¯hω. Middelenergien bliverderfor uafhængig af Plancks konstant,E ≃ kT. (4.40)Vi er nu i stand til at finde middelenergien for en krystal bestående af N atomer.I den klassiske grænse, hvor kT/¯h er stor i sammenligning med en vilkårlig fononfrekvens,kan vi benytte resultatet (4.40) for en enkelt oscillator og multiplicere dettemed antallet af oscillatorer 3N. Bemærk at hvert atom svarer til tre oscillatorer,idet udsvingene fra gitterpositionen kan foregå i tre forskellige retninger. Herved fåsE =3NkT. (4.41)Varmekapaciteten C er i almindelighed givet ved den termodynamiske relationC = ∂E∂T . (4.42)Det er underforstået, at krystallens volumen er holdt fast ved differentiationen medhensyn til temperaturen. Så længe gittersvingningerne som ovenfor behandles i denharmoniske approksimation svarende til Hamilton-operatoren (4.13), er der ingenforskel på varmefylden ved konstant volumen og ved konstant tryk. I den klassiskegrænse, hvor E er givet ved (4.41), bliver varmekapaciteten derforC =3Nk. (4.43)Ved lavere temperaturer gælder (4.43) ikke længere. Vi kan imidlertid udnytte,at de mulige værdier af krystallens totale energi er givet ved summen af de mulige50