Noter og opgaver i statistisk fysik

jf. (4.39). Det er derfor ved lave temperaturer tilstrækkeligt at benytte magnonenergien(4.59) i grænsen for små bølgevektorer svarende til¯hω q = Jsq 2 a 2 . (4.61)Den temperaturafhængige del af middelenergien E erE = ∑ ⃗q¯hω ⃗q n ⃗q . (4.62)Ved at indsætte (4.61) i dette udtryk for middelenergien og benytte (4.45), hvorV = Na 3 er volumenet af det magnetiske materiale indeholdende N atomer, fås∫E = Na3 ∞4πq 2 Jsq 2 a 2dq, (4.63)(2π) 3 0 e Jsq2 a 2 /kT− 1jf. (4.47). Indføres den dimensionsløse variable x = Jsq 2 a 2 /kT finder manE = 14π 2 N (kT)5 2(Js) 3 2∫ ∞0x 3 2dx, (4.64)e x − 1idet værdien af integralet i (4.64) er Γ(5/2)ζ(5/2), hvor Γ(z) ogζ(z) erhenholdsvisgamma- og zetafunktionen (jf. Landau og Lifshitz, p. 170 eller Appendix A). Hervedbliver varmefylden (4.42)C = 5Γ( 5 )ζ( 5 ) 2 2Nk( kT8π 2 sJ ) 3 2 . (4.65)Denne lov er i god overensstemmelse med målinger af jerns varmefylde ved temperaturer,der er meget mindre end J/k.Magnetiseringen findes på tilsvarende måde, idet tilstandene (4.56) som nævntsvarer til, at z-komposanten af det totale spin er reduceret med 1. Middelantalletaf spinbølger ved en given temperatur er derfor et udtryk for den relative ændringaf magnetiseringen M(T ) ved lave temperaturer. Vi har derforM(T )=M(0)[1 − 1 ∑Ns⃗q4.3 Ideal gas af bosoner1e¯hω⃗q/kT − 1 ] ≃ M(0)[1 − Γ( 3 )ζ( 3 ) 2 2( kT4π 2 s 5 2 J ) 3 2 ]. (4.66)Statistiske beregninger af de termodynamiske funktioner for Bose-systemer involverer,ligesom i Fermi-systemer, at man skal summere energiafhængige størrelser mht. ⃗q,og det er derfor igen fordelagtigt at indføre énpartikel-tilstandstætheden g(ε). Forfrie Bose-partikler er g(ε) givet ved (3.23) med en heltallig værdi for s. Spinnet skan eventuelt være 0, svarende til at ⃗q-tilstandene ikke har nogen spin-udartning.55