Dr. Frank Wübbeling und Marzena Franek WS 2008/2009 ¨Ubungen ...

Dr. Frank Wübbeling und Marzena Franek WS 2008/2009 

Übungen zur Vorlesung Höhere Numerische Mathematik 

Übungsblatt 1 , Abgabe: Donnerstag, 23.10.2008, 12 Uhr, 12.00 Uhr 

Übungstermine: 

Gruppe 1: Fr. 08.00 - 10.00 Uhr SR1 BK 84 (Kathrin Schulte) 

Gruppe 2: Fr. 10.00 - 12.00 Uhr SR1 BK 82 (Max Wilken) 

Aufgabe 1: (4 Punkte) 

Es sei 

p ∈ C 0 (IR), q ∈ C 0 (IR), q(z) �= 0 ∀z ∈ IR. 

Zeigen Sie: Es gibt eine Funktion F : IR × IR ↦→ IR n mit der Eigenschaft: Ist für y ∈ 

C 1 (I, IR), I Intervall in IR, 

F (x, y(x)) = C, x ∈ I (1) 

so ist y ′ (x) = p(x)/q(y). Bestimmen Sie F . Hinweis: Differenzieren Sie (1) nach x. 


1. Lösen Sie die Aufgaben: 

(a) y ′ = √ 1 − y 2 , y(0) = 0, mit Hilfe von Aufgabe 1. 

(b) y ′ = xy + 1 , y(0) = 1 mit Hilfe der Lösungsformel für lineare DGL. 

2. Trennung der Variablen Die partielle Helmholtz–Differentialgleichung in zwei Dimensionen 

hat in Polarkoordinaten (r, ϕ), x = r cos ϕ, y = r sin ϕ die Form 

urr + 1 

r ur + 1 

r 2 uϕϕ + u = 0 

mit der üblichen verkürzten Schreibweise uz = ∂u. 

Machen Sie den Ansatz u(r, ϕ) = 

∂z 

v(r)w(ϕ) und bestimmen Sie die resultierenden gewöhnlichen Differentialgleichungen, 

die Sie für v und w erhalten. Lösen Sie diese, wenn möglich. 


Beweisen Sie die globale Version des Satzes von Picard–Lindelöf, indem Sie im Beweis der 

lokalen Version statt der Supremumsnorm die Norm 

|||f||| = sup ||e 

x∈I 

−2Lx f(x)|| 

verwenden. L ist dabei wie üblich die Lipschitzkonstante von f bezüglich der zweiten 

Variablen.


1. Betrachten Sie das AWP 

y ′ = 1 + y 2 , y(0) = 0. 

Es sei I = [0, ɛ], G = (−δ, δ). Bestimmen Sie mit der lokalen Version des Satzes von 

Picard–Lindelöf δ und ɛ so, dass das AWP garantiert auf I eine Lösung besitzt. Wie 

müssen Sie δ wählen, damit ɛ möglichst groß gewählt werden kann? 

2. Tun Sie desgleichen für die globale Version des Satzes.



Übungsblatt 2 , Abgabe: 30. Oktober 2008, 12.00 Uhr 





Bestimmen Sie die Konsistenzordnung des Verfahrens mit der Schrittfunktion 

ϕ(x, y, h) = f(x + h h 

, y + f(x, y)). 

2 2 


In einem Runge–Kutta–Verfahren sei die Normierungsbedingung � 

j βkj = αk erfüllt, und 

es sei f ∈ C2 . Zeigen Sie: 

1. Für � 

k γk = 1 hat das Verfahren (mindestens) die Ordnung 1. 

2. Gilt zusätzlich � αkγk = 1, 

(k > 0), so hat das Verfahren (mindestens) die Ordnung 

2 

2. 


Bestimmen Sie ein Runge–Kutta–Verfahren der Stufe 3 mit Konsistenzordnung 3. 


Schreiben Sie ein Programm zur Lösung der AWA y ′ = f(x, y(x)), y(a) = y0, mit 

Einschrittverfahren. Implementieren Sie das Eulerverfahren, das verbesserte Eulerverfahren, 

das Verfahren von Heun, das implizite Eulerverfahren, die Trapezregel, das Taylor– 

Verfahren der Ordnung 2 und das Standard–Runge–Kutta–Verfahren. Testen Sie Ihr Programm 

an der AWA y ′ (x) = 1 + y(x) 2 , y(0) = 0. Vergleichen Sie die Ergebnisse der 

einzelnen Verfahren. Benutzen Sie konstante Schrittweiten h = (1/2) n für verschiedene n. 

Hinweis: Sie können natürlich alle Runge–Kutta–Verfahren einfach durch Implementation 

des Schemas realisieren. 

Hinweis zu impliziten Verfahren: Führen Sie zwei Schritte der Fixpunktiteration zur 

Lösung der impliziten Gleichung aus.



Übungsblatt 3 , Abgabe: Donnerstag, 06.11.2008, 12.00 Uhr 





Gegeben sei die AWA y ′ (x) = f(x, y(x)), y(a) = y0 auf dem Intervall [a, b]. Mit dem 

Eulerverfahren werden für die Schrittweiten h, h/2 und h/3 Näherungen y1, y2 und y3 für 

y(b) berechnet. Bestimmen Sie hieraus eine Näherung y4 mit y4 = y(b) + O(h 3 ). 


Gegeben sei die Schar von linearen AWP y ′ (x) = λy(x), y(0) = y0 mit λ < 0, x ∈ I = [0, 1]. 

Seien (xi, ui)i=0,...,n−1 durch ein implizites Runge-Kutta-Verfahren mit m ≥ 1 Stufen auf 

einem äquidistanten Gitter Ih gegeben. 

Zeigen Sie, dass 

P (t) 

ui = [R(λh)] i u0 

gilt, wobei R(t) = eine rationale Funktion ist mit Polynomen P, Q höchstens m-ten 

Q(t) 

Grades. Bestimmen Sie jeweils die Funktion R für die impliziten Runge-Kutta Verfahren 

mit den Schemata 

1 

2 

1 

2 

1 

1 − √1 2 12 

1 + √1 2 12 

1 

4 

1 

4 

√ 

12 

1 

2 

+ 1 

1 

4 

− 1 

√ 12 

und zeigen Sie für das erste Verfahren, dass |e t − R(t)| = O(t 2m+1 ) mit m = 1 gilt. 


Man bestimme α, β in dem Mehrschrittverfahren 

1 

4 

1 

2 

yk+3 − yk + α(yk+2 − yk+1) = hβ(fk+2 + fk+1) 

so, dasss die Konsistenzordnung 4 erreicht wird. 


Schreiben Sie ein Programm AB(f, a, b, y0, N) zur Lösung der Anfangswertaufgabe y ′ (x) = 

f(x, y), y(a) = y0 in [a, b] mit dem Adams-Bashforth-Verfahren mit m = 3 und der festen 

Schrittweite h = 1/N. Zur Anlaufrechnung können Sie das Programm vom Blatt 2 Aufgabe 

4 benutzen. 

Programmieren Sie außerdem das Mehrschrittverfahren aus Aufgabe 3. 

Testen Sie Ihre Programme an der Anfangswertaufgabe y ′ = √ 1 − y 2 , y(0) = 0 auf [0, 1]. 

Bestimmen Sie für dieses Beispiel, welches implementierte Ein- oder Mehrschrittverfahren 

Ihnen bei genau 200 zugelassenen Funktionsauswertungen das beste Ergebnis liefert.



Übungsblatt 4 , Abgabe: 13. November 2008 , 12.00 Uhr 




Hinweis: Ein Mehrschrittverfahren der Form � m j=0 ajyj = h � m j=0 bjfj ist stabil genau 

dann, wenn alle Nullstellen von ρ(x) = � m j=0 ajx j im Einheitskreis liegen, und zusätzlich 

die Nullstellen vom Betrag 1 einfach sind. 


Es sei J ein Jordankästchen der Länge n zum Eigenwert λ.Zeigen Sie: 

mit aij = λ i−j 

� 

⎛ 

J k ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

k 

j − i 

� 

λ 1 

. .. 

. .. 

λ 1 

λ 

⎞k 

⎛ 

⎟ 

⎠ 

⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

λ k für j ≥ i (und aij = 0 sonst). 

a11 a12 a13 . . . 

.. . 

. .. 


Zeigen Sie: Die durch Differentiation gewonnenen Mehrschrittverfahren der Stufe m sind 

konsistent von der Ordnung h m , wenn f ∈ C m . 


(a) Bestimmen Sie für welches α das Mehrschrittverfahren aus der Vorlesung mit Konsistenzordnung 

2 (α �= −5) bzw. 3 (α = −5) stabil ist. 

(b) Zeigen Sie: Unter den 2-Schrittverfahren 

ann 

yk+2 + αyk+1 + yk = h(β2fk+2 + β1fk+1 + β0fk) 

gibt es keines, das stabil und konsistent ist. 


1. Schreiben Sie ein Programm, das die Koeffizienten der aus Differentiation gewonnennen 

Mehrschrittverfahren berechnet. Hinweis: Sie dürfen ein Programm zur symbolischen 

Rechnung benutzen. 

2. Implementieren Sie das Verfahren für m = 10, l = 9 und testen sie es am Standardbeispiel. 

Ist das Verfahren stabil? 

⎞ 

⎟ 

⎠



Übungsblatt 5 , Abgabe: 20. November 2008 , 12.00 Uhr 





Seien ρ, σ die charakteristischen Polynome des Mehrschrittverfahrens Φ zu einem Anfangswertproblem 

y ′ = f(x, y), y(a) = y0, f ausreichend glatt. Sei ϕ(λ) = ρ(λ)/ log λ − σ(λ), 

stetig fortgesetzt bei 1, falls möglich. Zeigen Sie: 

1. Das Verfahren ist konsistent, wenn ϕ(1) = 0. 

2. Das Verfahren ist konsistent von der Ordnung p, falls ϕ(λ) bei λ = 1 eine Nullstelle 

der Ordnung p hat. 

Hinweis zu 2: Setzen Sie χ(z) = ϕ(e z ) und betrachten Sie die Potenzreihe von χ um 0. 


1. Zeigen Sie: Das durch Differentiation gewonnene m-Schrittverfahren lautet für l = 

m: 

m� 1 

j ∇jyk+m = hfk+m 

j=1 

2. Berechnen Sie das charakteristische Polynom ρ und zeigen Sie, dass das Verfahren 

für m ≤ 4 stabil ist. 


Das Hodgkin-Huxley-Modell ist das berühmteste Modell zur Simulation von Nervenzellen 

(Neuronen). Es wurde 1952 von Alan Lloyd Hodgkin und Andrew Fielding Huxley, 

ursprünglich zur Beschreibung der Entstehung von Aktionspotenzialen V (kurzzeitige, 

in ganz charakteristischen Formen ablaufende Abweichungen des Membranpotenzials einer 

Zelle von ihrem Ruhemembranpotenzial) in den Nervenzellen des Tintenfisches, entwickelt. 

Das Modell wird durch die Differentialgleichung 

beschrieben. 

d2 � 

V dV 

= K 

dt2 dt 

+ 1 

CM 

� 

¯gKn 4 (V − VK) + ¯gNαm 3 h(V − VNα) + ¯gl(V − Vl) �� 

(1)

¯gK und ¯gNα sind die maximalen Leitfähigkeiten des Kalium- und Natriumkanals, VK und 

VNα sind ihre festen Potenziale. Gl und Vl sind die Leitfähigkeiten und das Ruhepotential 

der Membran. Die dimensionslosen Koeffizienten n, m und h werden durch die Differentialgleichungen 

dn 

dt = αn(V )(1 − n) − βn(V )n, (2) 

dm 

dt = αm(V )(1 − m) − βm(V )m, (3) 

dh 

dt 

= αh(V )(1 − h) − βh(V )h (4) 

beschrieben. Dabei wurden die αi und βi von Hodgkin und Huxley durch ihre Experimente 

als Näherung bestimmt. Sie lauten 

αn(V ) = 0.01 · V +10 

V +10 

e 10 −1 

βn(V ) = 0.125 · e V 

80 , 

αm(V ) = 0.1 · V +25 

V +25 

e 10 −1 

βm(V ) = 4 · e V 

18 , 

αh(V ) = 0.07 · e V 

20 , 

βh(V ) = 1 

V +30 

e 10 +1 

Die Konstanten in der Differentialgleichung (1) sind durch CM = 1, VNα = −115, VK = 

12, Vl = −10.613, ¯gNα = 120, ¯gK = 36, und ¯gl = 0.3 gegeben. 

Lösen Sie die Gleichungen (1)-(4) numerisch mit einem Verfahren Ihrer Wahl. Als Startwert 

seien V0=0.1 und 

n0 = αn(0) 

αn(0)+βn(0) , 

m0 = 

αm(0) 

αm(0)+βm(0) , 

h0 = αh(0) 

αh(0)+βh(0) . 

Die Konstante K muss experimentell bestimmt werden, so dass die Lösung V (t) für t → ∞ 

beschränkt bleibt. 

. 

, 

,



Übungsblatt 6 , Abgabe: 27. November 2008, 12.00 Uhr 





Energieerhaltung: Gegeben sei die AWA 

v ′ (t) = g, h ′ (t) = −v(t), v(0) = 0, h(0) = 0. 

1. Prüfen Sie, ob die Methode von Heun und die Mittelpunktsregel energieerhaltend 

sind. 

2. Leiten Sie die allgemeine Form eines energieerhaltenden expliziten Zwei-Schritt- 

Verfahrens her. 


Systeme von linearen Differentialgleichungen. 

Sei A eine n×n-Matrix. Gegeben sei die Differentialgleichung y ′ = Ay mit der zugehörigen 

Anfangsbedingung y(0) = y0. 

1. Sei A eine diagonalisierbare n × n-Matrix mit Eigenwert λ und zugehörigem Eigenvektor 

z. Zeigen Sie: y(x) = e λx z erfüllt die Differentialgleichung. 

2. Sei A = J eine Jordanmatrix mit Eigenwert λ. Bestimmen Sie alle Lösungen der 

Differentialgleichung. Hinweis: Machen sie den Ansatz y(x) = p(x)e λx , p Polynom. 

3. Geben Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe für allgemeines A mit Hilfe der 

Jordan–Normalform an. 


Randwertaufgaben Seien q, f1, f2 stetig im Intervall [a, b], q < 0, f1 ≤ f2. Zeigen Sie, dass 

für die Lösungen y1, y2 der Randwertaufgabe 

gilt: y1 ≥ y2. 

y ′′ 

i + q(x)yi = fi(x), a ≤ x ≤ b, f(a) = f(b) = 0


Drei-Körper-Problem 

Die Umlaufbahn eines Satelliten um die Erde und den Mond lässt sich annähernd auf 

folgende Art berechnen: Sei µ die relative Masse des Mondes, 1 − µ die relative Masse 

der Erde. Die Position der Erde sei fixisert bei (−µ, 0), die des Mondes bei (1 − µ, 0). Der 

Satellit (annähernd massenlos) habe die Koordinaten (x(t), y(t)). Dann erfüllen x und y 

annähernd folgendes System 2. Ordnung: 

F (x, y) = 

Lösen Sie das Anfangswertproblem mit 

¨x = 2 ˙y + x + Fx(x, y), 

¨y = y − 2 ˙x + Fy(x, y), 

1−µ 

((x+µ) 2 +y2 ) 1/2 µ 

+ ((x+µ−1) 2 +y2 ) 1/2 . 

x(0) = 1.2 y(0) = 0 

˙x(0) = 0 ˙y(0) = −1.0493575098 

und µ = 1/82.45 mit einem Verfahren Ihrer Wahl. Plotten Sie die Lösung und bestimmen 

Sie experimentell die Periode der Lösung.



Übungsblatt 7 , Abgabe: 4. Dezember 2008 , 12.00 Uhr 





Zeigen Sie: Mehrschrittverfahren maximaler Ordnung sind implizit. Benutzen Sie dabei 

den Beweis zu Satz 3.6. 

Hinweis. Zeigen Sie mit den Bezeichnungen des Beweises 

1. Falls Φ explizit, so gilt s(1) = 0. 

2. � ∞ k=0 ck = 0. 

3. � N k=0 ck > 0. 

4. Falls Φ von maximaler Ordnung, so gilt s(1) �= 0. 


Sei Φ ein konsistentes Runge–Kutta–Verfahren mit Stabilitätsfunktion R und Stabilitätsgebiet 

S. Zeigen Sie: 

1. Ist Φ von der Konsistenzordnung q, so ist |R(ξ) − e ξ | = O(|ξ| q+1 ). 

2. Ist Φ explizit mit m Stufen, so hat Φ die maximale Konsistenzordnung q. 

3. 0 ∈ S, und es gibt ein ɛ > 0 so dass ξ �∈ S für 0 < ξ < ɛ. 


Gauß-Quadratur 

1. Zeigen Sie: Hat ein Einschrittverfahren der Form 

m� 

yi+1 = yi + h bjf(xi + cjh, η 

j=1 

i j) 

die Konvergenzordnung q, so werden durch die Quadraturformel 

m� 

� 1 

Q[g] = bjg(cj) ∼ g(x)dx 

j=1 

0 

die Polynome vom Grad ≤ q − 1 exakt integriert. 

2. Bestimmen Sie ein Einschrittverfahren der Konsistenzordnung 4 mit m = 2. 

3. Ist das entstehende Verfahren A-stabil?


Programmieraufgabe 

1. Vollziehen Sie das Beispiel der Vorlesung zur chemischen Reaktion nach mit selbstprogrammierten 

impliziten und expliziten Euler-Algorithmen, aber benutzen Sie 

keine Schrittweitensteuerung, sondern eine konstante Schrittweite. Bestimmen Sie 

jeweils das kleinste h, für das der Fehler in den Funktionswerten kleiner als 30% ist. 

2. Verifizieren Sie numerisch, dass im Laufe des Verfahrens die Jakobimatrix fy einen 

Eigenwert λ mit Reλ








Reduktion von Differentialgleichungen. Sei −y ′′ (x) + p(x)y ′ (x) + q(x)y(x) = f(x), p, q, f 

stetig. 

1. Bestimmen Sie ein w(x), so dass Y (x) = y(x)w(x) einer Differentialgleichung der 

Form −Y ′′ (x) + Q(x)Y (x) = F (x) genügt. 

2. Wenden Sie die Reduktion an auf die Differentialgleichung −y ′′ + y ′ + y = 1. 


Sei p ∈ C k (0, 1). Zeigen Sie: Das Randwertproblem 

−y ′′ + p(x)y ′ = 1, y(0) = y(1) = 0 

besitzt eine eindeutige Lösung y, die (k + 2)–mal stetig differenzierbar ist. 

Hinweis: Setzen Sie w = y ′ . Dann ist w(x) = exp( � x 

0 p(t)dt) eine Lösung der homogenen 

Differentialgleichung. Machen Sie einen Ansatz über die Variation der Konstanten. 


Sei A ∈ IR n×n , Aij ≤ 0, i �= j, Aii > 0. Sei A = D − N, D = diag(A), und ρ(D −1 N) < 1. 

Dann ist A eine M-Matrix. Hinweis: Nutzen Sie einen Satz aus der Einführung in die 

Numerik. 


Schreiben Sie jeweils ein Programm zur Lösung der Randwertaufgabe −y ′′ + p(x)y ′ + 

q(x)y = 0, y(0) = y0, y(1) = y1 mit dem Schießverfahren und durch Diskretisierung. 

Testen Sie Ihr Programm an der Aufgabe −y ′′ + y ′ + y = 1, y(0) = 0, y(1) = 1. 

Hinweis zum Schießverfahren: Benutzen Sie das Newtonverfahren zur Bestimmung der 

Ableitung im Punkt 0. Sie dürfen Finite Differenzen zur Berechnung der Ableitung verwenden. 

Hinweis zur Diskretisierung: Benutzen sie Dh und D2 h/2 . Berechnen Sie mit dem Satz der 

Vorlesung eine Abschätzung für ||F −1 

h ||∞ und prüfen Sie die Abschätzung für einige h 

experimentell.








1. (Nichtäquidistante Diskretisierung) Sei yi−1 ∼ y(xi − h1), yi ∼ y(xi), yi+1 ∼ y(xi + 

h2). Bestimmen Sie ein Differenzenschema der Ordnung 2 zur Approximation von 

y ′′ (xi). Skizzieren Sie die Systemmatrix Lh für die Poissongleichung. 

2. (Adaptive Diskretisierung) Die eindimensionale gestörte Helmholtzgleichung hat die 

Form 

y ′′ (x) + k 2 (1 + q(x))y(x) = 0, 

|q| klein. Für q = 0 hat die Gleichung die Basislösungen sin kx und cos kx. Bestimmen 

Sie ein Differenzenschema zur Appproximation von y ′′ (x), so dass y(x) = 1, 

y(x) = sin kx und y(x) = cos kx die zugehörigen Differenzengleichungen exakt 

erfüllen. Bestimmen Sie die Ordnung des Schemas. 


Funktionen aus C ∞ 0 

1. Zeigen Sie: 

w(x) = C 

� 

e 1 

|x| 2 −1 |x| ≤ 1 

0 sonst 

ist in C ∞ 0 (IR). C sei so gewählt, dass � w(x) = 1. 

2. Sei ɛ > 0. Dann ist wɛ(x) = 1 

ɛ w(x/ɛ) in C∞ 0 (IR). 

3. Sei f : IR ↦→ IR in L 2 mit kompaktem Träger. Zeigen Sie: 

ist in C ∞ 0 (IR) für alle ɛ > 0. 

� 

fɛ(x) = (wɛ ∗ f)(x) = 

IR 

wɛ(s)f(x − s)ds 


Sei x0, . . . , xn Diskretisierung von [0, 1]. Lösen Sie die Poissongleichung auf dem Intervall 

[0, 1] mit Hilfe eines Galerkin-Ansatzes zur Lösung der Variationsgleichung. Benutzen Sie 

als Ansatzfunktionen die stetigen Funktionen, die auf den Intervallen [xk, xk+1] linear sind. 

Hinweis: Die xk sind nicht notwendig äquidistant. Skizzieren Sie die Systemmatrix.


(Programmieraufgabe) Lösen Sie die Poissongleichung uxx + uyy = f(x, y) in zwei Dimensionen 

wie in der Vorlesung skizziert durch Diskretisierung mit dem Differenzenstern 

D 2 h/2 auf dem Quadrat [−1, 1]2 mit u = 0 auf dem Rand. Plotten Sie eine numerische 

Approximation für f = 1. Bestimmen Sie wie auf dem letzten Übungsblatt experimentell 

die Unendlich–Norm von L −1 

h für verschiedene h. Hinweis: Benutzen Sie in Matlab den 

Datentyp sparse.








Betrachten Sie die Poissongleichung in zwei Dimensionen, also 

−uxx(x, y) − uyy(x, y) = f(x, y) 

auf dem Rechteck [−1, 1] 2 mit der Dirichlet–Randbedingung u = 0 auf dem Rand. 

Schreiben Sie die Gleichung um in Variationsformulierungen wie in der Vorlesung. Benutzen 

Sie partielle Integration oder die Greenschen Integralsätze. Zeigen Sie die Äquivalenz 

zur Differentialgleichung. 


Bestimmen Sie die Steifigkeitsmatrix der Variationsgleichung aus Aufgabe 1. Teilen Sie 

das Grundgebiet dazu in kleine Dreiecke auf (wie in der Übung angegeben). Benutzen 

Sie als Vektorraum Xh den Vektorraum der stetigen Funktionen, der auf jedem Dreieck 

linear ist und auf dem Rand verschwindet. Hinweis: Der Raum wird aufgespannt von 

den stetigen Funktionen fk, die am inneren Gitterpunkt xk den Wert 1 haben, auf allen 

anderen Gitterpunkten verschwinden, und auf jedem Dreieck linear sind. 


Finite–Elemente–Programme automatisieren diese Vorgehensweise: Sie erzeugen aus der 

Differentialgleichung die Variationsformulierung, triangulieren die Grundgebiete, erzeugen 

die Steifigkeitsmatrix und den Lastvektor, lösen das zugehörige Gleichungssystem, und liefern 

Fehlerschätzer. Am Fachbereich stehen unter anderem die Finite–Elemente–Toolbox 

von Matlab und das Programm Femlab/Comsol Multiphysics zur Verfügung. Machen Sie 

sich kurz mit der groben Funktionsweise eines Programms Ihrer Wahl vertraut und lösen 

Sie die Aufgabe 1 mit f = 1, Plotten Sie das Ergebnis. 


Weihnachtsaufgabe: Es sei Ω ⊂ IR 2 , Ω = ∪ 5 k=0Ek. Hierbei ist Ek = {x + (0, k) : x ∈ 

IR × IR + , |x|1 ≤ 2}, k = 1..5, und E0 = {x + (0, 1/2) : x ∈ IR 2 , ||x||∞ ≤ 1/2. 

1. Zeichnen Sie Ω und definieren Sie es als Grundgebiet. 

2. Lösen Sie mit der PDE–Toolbox die Aufgabe ∆u = f auf Ω, wobei f(x) = 1, falls 

||x − zj||∞ < 0.1 für ein j von 1 bis 3 und f(x) = 0 sonst, sowie z1 = (1, 2.1), 

z2 = (−1, 3.1), z3 = (0, 4.1) mit homogenen Dirichlet–Randbedingungen. Setzen Sie 

die Colormap auf Hot und beschreiben Sie das Ergebnis.



Übungsblatt 11 , Abgabe: 15. Januar 2009 , 12.00 Uhr 





Seien Tn(x) = cos(n arccos x) die Tschebyscheff–Polynome. Zeigen Sie: 2 −n Tn(x) ist das 

Polynom n. Grades mit Höchstkoeffizient 1 und minimaler Maximumnorm. 

Hinweis: Zeigen Sie: x n −2 −n Tn(x) löst die Approximationsaufgabe arg minp∈Pn−1 x n −p(x). 


Sei f : [a, b] ↦→ IR stetig, u ∗ Bestapproximation aus Pn an f, d = ||f − u ∗ ||∞. Seien 

x0, . . . , xn aus [a, b] paarweise verschieden, p das Interpolationspolynom zu f an den Stellen 

x0, . . . , xn. Zeigen Sie: 

n� 

|f(x) − p(x)| ≤ d(1 + |ωj(x))| 

j=0 

mit ωj(x) = � 

k�=j x−xk 

xj−xk , j = 0 . . . n. Hinweis: Schreiben Sie p und u∗ in der Lagrangeform. 

Bemerkung: Für n = 10 und die Nullstellen der Tschebyscheff–Polynome hat die Summe 

in der Ungleichung den Wert 3, d.h. die Approximation liefert nur um den Faktor 4 bessere 

Ergebnisse als die einfache Interpolation an den Nullstellen der Tschebyscheff–Polynome. 


Berechnen Sie die Bestapproximation an f : [0, π/2] ↦→ IR, f(x) = sin(x), durch lineare 

Funktionen explizit mit Hilfe des Alternantensatzes. 


Programmieren Sie den Remez–Algorithmus. Testen Sie Ihre Implementation an den 

Funktionen sin(x) und 1/(x + 10 −6 ) im Interval [0, π/2] und plotten Sie die Ergebnisse 

für mehrere Polynomgrade. Welchen maximalen Fehler erhalten Sie?



Übungsblatt 12 , Abgabe: 22.1.2009 , 12.00 Uhr 





Zeigen Sie: Sei X = C([a, b]). Dann ist U = {e λ0t , . . . , e λnt } unisolvent für alle paarweise 

verschiedenen λk ∈ IR. 

Hinweis: Zeigen Sie den Satz induktiv und wenden Sie den Satz von Rolle auf die Ableitung 

der Funktion e −λ0t p(t), p ∈ U, an. 

Bemerkung: Damit ist auch {x λ0 , . . . , x λn } unisolvent. 


Komplettieren Sie den Beweis zu Lemma 5.9: Sei X = C([a, b]) mit || · || = || · ||∞, 

U =< u0, . . . , um > unisolventer Teilraum mit Dimension m + 1. Sei X = {x0, . . . , xm+1}, 

a ≤ x0 < x1 < . . . < xm < xm+1 ≤ b. Dann gibt es genau ein Λ = (λk) ∈ IR m+2 mit 

� m+1 

k=0 λkul(xk) = 0 für l = 0 . . . m, � m+1 

k=0 |λk| = 1, λ0 > 0. Die λk haben alternierende 

Vorzeichen. 

Hinweis zu der letzten Aussage: Betrachten Sie ein u ∈ U mit u(x2) = u(x3) = . . . = 

u(xmb+1) = 0. Benutzen Sie die Unisolvenz. 


Zeigen Sie: Die Tschebyscheff–Approximationsaufgabe mit X = C([a, b]), || · || = || · ||∞, 

U unisolventer endlich–dimensionaler Teilraum, besitzt eine eindeutige Lösung. 

Hinweis: Die Existenz einer Lösung ist gesichert nach Satz 5.2. Seien p1 und p2 Lösungen, 

dann ist auch p = 1/2(p1 + p2) eine Lösung. Sei X eine Alternante zu p. Zeigen Sie: p1 

und p2 stimmen an den Alternantenpunkten überein. 


Schreiben Sie ein Programm zur Gauss–Approximation, X = C([a, b]), || · || = || · ||2, 

U = Pn. Benutzen Sie numerische Integration. Testen Sie Ihr Programm an den Beispielen 

aus Aufgabe 4 des letzten Zettels und vergleichen Sie für mehrere n die Ergebnisse der 

Tschebyscheff– und der Gauss–Approximation.



Übungsblatt 13 , Abgabe: 29.1.2009 , 12.00 Uhr 




Aufgabe 1: (4 ∗ Punkte) 

Zeigen Sie: Die in der Vorlesung definierten Legendre–Polynome bilden ein Orthogonalsystem, 

ihr Höchstkoeffizient ist 1. Bestimmen Sie die 2–Norm. 


Sei f ∈ C 2m ([a, b]), m ≥ 1. Sei Gn(f) = � n k=0 akTn(x) die Bestapproximation in Pn 

an f(x) bezüglich der Gewichtsfunktion w(x) = (1 − x 2 ) −1/2 , Tn(x) die Tschebyscheff– 

Polynome. Zeigen Sie: 

1. |ak| = O(k −m ) 

2. Gn(f) konvergiert gegen f gleichmäßig. 


Geben Sie mit Hilfe der Trennung der Variablen die exakte Lösung der Wellengleichung 

utt = uxx an mit den Randbedingungen u(x, 0) = u0(x), ux(x, 0) = u1(x), u(0, t) = 0, 

u(π, t) = 0. 


Lösen Sie die Transportgleichung ut = cux auf dem Intervall [−2, 2] numerisch mit den 

verschiedenen Diskretisierungsverfahren der Vorlesung. Leiten Sie eine Konvergenzbedingung 

her.

Dr. Frank Wübbeling und Marzena Franek WS 2008/2009 ¨Ubungen ...

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