Kapitel 3 Diskretisierungsverfahren

Kapitel 3
Diskretisierungsverfahren
3.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen
• Die partiellen Differentialgleichungen der Hydrodynamik bzw. der Magnetohydrodynamik
beschreiben Strömungen in einem Raum–Zeit–Kontinuum.
Die numerische Integration der Gleichungen erfordert eine Diskretisierung des
Raum–Zeit–Kontinuums und eine entsprechende Diskretisierung der Gleichungen.
Bei Gitterverfahren (andere Diskretisierungsverfahren werden hier nicht betrachtet)
wird das zu simulierende Raumgebiet mit einem Rechengitter bestehend
aus einer endlichen Anzahl von Zellen überdeckt (siehe Abb.(3.1).
=⇒ Satz von algebraischen Gleichungen für diskrete hydrodynamische Variable
=⇒ unvermeidbare Diskretisierungsfehler
• Finite Differenzenverfahren: Gitterpunkten (Zellenmitten, Zellenecken, Zellenrändern)
werden diskrete Variablenwerte 1 zugeordnet, z.B. (siehe Abb.(3.1):
g n+1
k ≡ g(xk,t n+1 ).
Man diskretisiert die hydrodynamischen Gleichungen in differentieller Form, wobei
Ableitungen durch Differenzenbildung zwischen den diskreten Variablenwerten benachbarter
Zonen approximiert werden.
• Finite Volumenverfahren: Zellvolumina werden zellgemittelte Variablen zugeordnet:
g n i,j ≡ g(xi,yj,t n ) ≡
1
∆xi∆yj
� � yj+1/2 xi+1/2
y j−1/2
x i−1/2
g(x,y,t n )dxdy
Man diskretisiert die hydrodynamischen Gleichungen in integraler Erhaltungsform.
1 Nomenklatur: Unterer bzw. oberer Index bezeichnet diskrete Raumkoordinate bzw. Zeitkoordinate.
63

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 64
t n+1
t n
t n−1
g n
k
g n+1
k+1/2
Δx k+1/2
g n+1/2
k+1/2
x k−1 x k x k+1
Abbildung 3.1:
Δt n+1/2
• Ableitungen: Die Taylor–Entwicklung einer Funktion f um einen Punkt x0 lautet
bis zur zweiten Ordnung:
f(x0 +∆x) = f(x0)+
Daraus folgt
f n k+1 = f n k +
� �
∂f
∆x+
∂x x0
1
2
� �
∂f
∆xk+1/2 +
∂x xk
1
2
� � 2 ∂ f
∂x 2
� � 2 ∂ f
∂x 2
Auflösen dieser Gleichung nach (∂f/∂x)k ergibt:
� �
∂f
=
∂x k
fn k+1 −fn k
∆xk+1/2
− 1
2
� � 2 ∂ f
∂x 2
k
xk
x0
(∆x) 2 +O � (∆x) 3� .
(∆xk+1/2) 2 +O � (∆x) 3� .
∆xk+1/2 +O � (∆x) 2�
(3.1)
• Vorwärts-bzw.Rückwärtsdifferenzenapproximationder1.Ortsableitung;Diskretierungsfehler
O[∆x], d.h. von 1. Ordnung.
� �n ∂f
≈
∂x k
fn k+1 −fn k
∆xk+1/2
� �n ∂f
≈
∂x k
fn k −fn k−1
∆xk−1/2
(3.2)
(3.3)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 65
t n+1
t n
t n−1
✖ ✖
✖ ✖
✖ ✖
x k−1 x k x k+1
Funktionswerte
Abbildung 3.2:
✖ Ableitungen
• Zentrierte Differenzenapproximation der 1. Ortsableitung; Diskretierungsfehler
O[(∆x) 2 ], d.h. von 2. Ordnung für äquidistante Gitter.
� �n ∂f
≈
∂x k
fn k+1 −fn k−1
2∆xk
mit ∆xk ≡ ∆xk+1/2 +∆xk−1/2
2
(3.4)
• 2. Ortsableitung: Taylor–Entwicklung von f n k+1 und fn k−1 um den Punkt xk bis zur
4. Ordnung. Auflösen nach ∂ 2 f/∂x 2 ergibt eine Approximation O[(∆x) 2 ]:
� ∂ 2 f
∂x 2
� n
k
≈ fn k+1 +fn k−1 −2fn k
(∆xk) 2
(3.5)
• Versetzte (staggered) Gitter: Funktionswerte und Ableitungen werden versetzt
zueinander auf dem Rechengitter definiert (siehe Abb.(3.2)); z.B.
� �n ∂f
≈
∂x k+1/2
fn k+1 −fn k
∆xk+1/2
Vorteil: Approximation ist auch für nicht–äquidistante Gitter von O[(∆x) 2 ].
(3.6)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 66
3.2 Explizite und implizite Verfahren
U(r,t) sei der Zustandsvektor eines (dynamischen) Systems im Raumgebiet R = R(r)
mit U = U 0 zur Zeit t = 0. Ferner sei U für alle Zeiten t > 0 auf der Oberfläche S
des Raumgebiets R gegeben. Dann ist die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektor U des
Systems in R für alle Zeiten t > 0 bestimmt durch
∂U
∂t
= LU (3.7)
Dies ist ein Anfangswertproblem mit Randbedingungen. L ist ein nichtlinearer Operator.
Falls die Entwicklung des System durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben
wird, ist L algebraischer Natur. Falls dagegen die Entwicklung des System durch partielle
Differentialgleichungen bestimmt wird, ist L ein räumlicher Differentialoperator.
Vernachlässigt man Terme zweiter Ordnung und höherer, ergibt sich die folgende allgemeine
(für zwei Zeitniveaus!) diskretisierte Gleichung:
U n+1 = U n +LU n (1−ǫ)∆t+LU n+1 ǫ∆t (3.8)
wobei ∆t ≡ t n+1 −t n und ǫ ein Interpolationsparamter mit 0 ≤ ǫ ≤ 1 ist.
• Falls ǫ = 1/2, ist die zeitliche Integration O[(∆t) 2 ] genau.
• Falls ǫ �= 1/2, ist die zeitliche Integration O[∆t] genau.
• Falls ǫ = 0, ist U n+1 explizit durch U n gegeben, d.h. man erhält eine explizite
Zeitdiskretisierung.
• Falls ǫ �= 0, liegt eine implizite Zeitdiskretisierung vor.
Werden die hydrodynamischen Gleichungen zeitlich explizit diskretisiert, so muss
aus Stabilitätsgründen die Zeitschrittgröße der Courant–Friedrichs–Lewy oder CFL–
Bedingung genügen. Im Falle einer eindimensionalen Strömung (mit der Geschwindigkeit
u und der Schallgeschwindigkeit c) lautet diese
∆t ≤ ∆tCFL ≡ Mini
� ∆xi
|ui|+ci
�
(3.9)
wobei das Minimum über alle Stützstellen i zu bilden ist. Für eine dreidimensionale
Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten (u,v,w) lautet die CFL–Bedingung (in
kartesischen Koordinaten (x,y,z)):
⎧
⎨
|ui|
∆t ≤ ∆tCFL ≡ Minijk +
⎩∆xi
|vj|
+
∆yj
|wk|
�
�
1
+cijk
∆zk ∆xi
wobei das Minimum über alle Stützstellen i,j,k zu bilden ist.
� 2
� �2 �
1 1
+ +
∆yj ∆zk
� 2
⎫
⎬
⎭
−1

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 67
• ImpliziteVerfahrenerlaubenimallgemeinendieVerwendungvongrößerenZeitschritten.
Allerdings ist in diesem Fall jedoch die Lösung eines nichtlinearen, algebraischen
Gleichungssystems in jedem Zeitschritt notwendig, um den Zustandsvektor für den
nächsten Zeitschritt zu berechnen.
Dies geschieht üblicherweise mit Hilfe einer (im mehrdimensionalen) Newton–
Iteration, wobei in jeder Iteration ein lineares Gleichungssystem zu lösen ist. Typischerweise
sind 3 bis 5 Iterationen pro Zeitschritt notwendig.
DieAnzahldernotwendigenRechenoperationenskaliertgemäß(NV ·NX·NY ·NZ) 3 ,
wobei NV die Anzahl der unabhängigen Variablen bzw. Gleichungen des zu lösenden
nichtlinearen,algebraischenGleichungssystemsist.NX,NY undNZ sinddieAnzahl
der Stützstellen in x-, y- und z–Richtung.
Eine signifikante Reduktion der Anzahl der Operationen läßt sich durch Ausnutzung
der Matrixblockstruktur des Gleichungssytems erreichen.
• Weitere Probleme die bei impliziten Verfahren auftreten:
- Tabellen und numerische Ableitungen können die Konvergenz der Iteration verschlechtern,
oder gar verhindern.
- Die Suche nach Programmfehlern ist erheblich erschwert.
- UnterUmständensindadaptiveRechengittererforderlich,dasonsteinzukleiner
Zeitschritt für die Konvergenz erforderlich ist.
3.3 Methode der Operatoren–Zerlegung
• Man betrachte ein nicht–lineares System von partiellen Differentialgleichungen für
einen Zustandsvektor � U
∂
∂t � U(�r,t) = � G( � U,�r,t), (3.10)
wobei � G ein Vektor–Operator sei, der keine Zeitableitungen von � U enthält.
• Man zerlegt nun den Operator � G in N Teiloperatoren � Gi, so dass
∂
∂t � U(�r,t) = � G1 + � G2 + � G3...+ � GN
(3.11)
gilt. Die zeitliche Integration der Differentialgleichung (3.10) wird nun in mehreren
Teilschritten durchgeführt, wobei in jedem Schritt nur einer der Operatoren � Gi den
Zustandsvektor � U modifiziert. Eine Zerlegung könnte z.B. so aussehen, dass G1 die
Advektion, G2 die Druck- und Gravitationskräfte, G3 die Wärmeleitung und G4 das
Kernbrennen beschreiben.

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 68
• Vorteil 1: Teilschritte können unabhängig voneinander bearbeitet werden und verschiedene
Lösungsmethoden können für die einzelnen Teilschritte verwendet werden.
• Vorteil 2: Ein modularer Programmaufbau ist möglich.
• Qualitatives Kriterium für die Operatoren-Zerlegung: Der Zustandsvektor sollte
sich während eines Teil–Zeitschritts nicht allzu sehr ändern.
• Warnung: Operatoren–Zerlegung ist oft weder streng mathematisch begründbar,
noch gibt es eine Garantie dafür, dass die so erhaltene Zerlegung zur richtigen Lösung
führt. Zerlegung wird oft nur aufgrund von Empirie, Erfahrung und physikalischer
Intuition vorgenommen.
• Daumenregel: Keine sich gegenseitig ” kompensierende“ Terme trennen, wie z.B.
Druck- und Potential-Gradienten oder Emissions- und Absorptions-Prozesse.
• Eine der wichtigsten Anwendungen der Methode der Operatoren–Zerlegung ist die
Behandlung mehrdimensionaler Probleme.
– dimension–splitting (Godunov 1959)
– directional–splitting (G. Strang, 1968 SIAM J Num Anal 5, 506)
d.h. Lösung von 2D und 3D Strömungsproblemen durch mehrere sogenannte
Durchläufe (sweeps), z.B. im 2D–Fall (x,y)
– 1. Durchlauf nur Ableitungen nach x berücksichtigen
– 2. Durchlauf nur Ableitungen nach y berücksichtigen
Falls einzelne Durchläufe von der Ordnung O[(∆t) 2 ] genau sind, dann ist der Gesamtalgorithmus
ebenfalls von der Ordnung O[(∆t) 2 ] genau, falls auf ein (x,y)- ein
(y,x)-Zeitschrittfolgt,d.h.fallsdieDurchlaufrichtungenvonZeitschrittzuZeitschritt
alternieren.
• ” directional–splitting“ ermöglichtdenAufbaumehrdimensionalerHydrodynamikprogramme,
die im Kern eine 1D Programmstruktur besitzen, und führt zu einer erheblichen
Effizienzsteigerung bei impliziten Algorithmen; z.B. 2D–Problem mit NX×NY
Stützstellen
– voll implizit: (NX ×NY) 3 –Operationen
– gesplittet: NX ×NY 3 +NX 3 ×NY–Operationen (u.U. aber mehrere Iterationen
notwendig)
Falls NX = NY = 100 müssen nur 2 · 10 8 anstatt 10 12 Operationen ausgeführt
werden (Rechenzeit um einen Faktor 5000 geringer).

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 69
3.4 Konservative Verfahren
• HydrodynamischeGleichungendrückendieErhaltungvonMasse,ImpulsundEnergie
aus.
• Die entsprechenden Differentialgleichungen können in verschiedenen analytisch
äquivalenten Formen geschrieben werden, die aber numerisch betrachtet nicht
äquivalent sind.
• Die Kontinuitätsgleichung läßt sich in der Form
∂ρ
+div(ρ�v) = 0 (3.12)
∂t
oder in der Form
∂ρ
+�vgradρ+ρdiv�v = 0 (3.13)
∂t
schreiben. Gleichung (3.12) ist besser für die Diskretisierung geeignet, da sie die
Massenerhaltung direkt ausdrückt.
• Allgemein gilt: Die diskretisierten Gleichungen erhalten nicht notwendigerweise
Masse, Impuls und Energie! (Beachte: Eine Impulskomponente ist physikalisch nur
dann erhalten, wenn die entsprechende Ortskoordinate geradlinig ist.)
• Notwendigkeit für konservative Differenzenverfahren
• Zur Konstruktion solcher Verfahren integriert man die hydrodynamischen Gleichungen
über eine endliches (raumfestes) Volumen ∆V mit der Oberfläche ∂V.
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt dann
�
∂
∂t
�
ρdV + divρ�vdV = 0,
∆V
∆V
und weiter mit dem Gauss’schen Satz
�
∂
∂t
�
ρdV + ρ�v ·d� f = 0, (3.14)
∆V
∂V
wobei d � f der Einheitsnormalenvektor (nach außen zeigend!) der Oberfläche ∂V ist.
Analoge Ausdrücke erhält man aus der Impuls- und Energiegleichung:
� �
∂
ρ�vdV + ρ�v(�v ·d
∂t ∆V ∂V
� �
f) = (−ρgradΦ−gradp)dV
V
(3.15)
�
∂
∂t
�
ρEdV + (ρE +p)�v ·d� �
f = −ρ�vgradΦdV (3.16)
∆V
∂V
V

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 70
• Die integrale Form hat den zusätzlichen Vorteil, dass damit auch Diskontinuitäten
(z.B. Stoßwellen) in der Strömung behandelbar sind.
• EinDifferenzenverfahrenistkonservativ,fallsfürdieDichteξ einerErhaltungsgröße
(z.B. Masse) die Relation
N�
��
ξdV
Vc(i)
i=1
� n+1
=
N�
��
ξdV
Vc(i)
i=1
� n
��
+∆t
∂Vt
�jξd � �n f
(3.17)
gilt, wobei Vt das Volumen des Rechengebiets ist, das in N Zellen mit Volumina
Vc(i) (d.h. Vt = � N
i Vc(i)) unterteilt ist, und das eine Oberfläche ∂Vt besitzt. Die
Stromdichte�jξ ist gemäß�jξ = ξ ·�v definiert.
Anders ausgedrückt: Die Summe der Volumenintegrale darf sich nicht
ändern, falls kein Fluss über den Rand des Rechengebiets hinaus und
hinein vorhanden ist.
Diese Bedingung erscheint trivial, aber sie ist nicht immer erfüllt.
• Betrachten wir dazu (in kartesischen Koordinaten) die eindimensionale Kontinuitätsgleichung
in nicht–konservativer Form (Gl.3.13) für ein inkompressibles Gas (div�v =
0) und approximieren wir den Gradientenoperator durch eine zentrierte Differenz.
Mit δ ≡ 0.5∆t/∆x folgt dann für die Zonen i−2 bis i+2
ρ n+1
i−2 − ρn i−2 = −δ ( u n i−2 ρ n i−1 − u n i−2 ρ n i−3 )
ρ n+1
i−1 − ρn i−1 = −δ ( u n i−1 ρ n i − u n i−1 ρ n i−2 )
ρ n+1
i − ρ n i = −δ ( u n i ρ n i+1 − u n i ρ n i−1 )
ρ n+1
i+1 − ρn i+1 = −δ ( u n i+1 ρ n i+2 − u n i+1 ρ n i )
ρ n+1
i+2 − ρn i+2 = −δ ( u n i+2 ρ n i+3 − u n i+2 ρ n i+1 )
Summiert man diese Differenzengleichungen über alle Stützstellen i = 1,...,N, so
heben sich offensichtlich keine Terme auf der rechten Seite weg, d.h. das Verfahren
ist nicht konservativ.
Geht man dagegen von der Kontinuitätsgleichung in Erhaltungsform (Gl.3.12) aus
und approximiert den Divergenzoperator durch eine zentrierte Differenz, so folgt
ρ n+1
i−2 − ρn i−2 = −δ ( u n i−1 ρ n i−1 − u n i−3 ρ n i−3 )
ρ n+1
i−1 − ρn i−1 = −δ ( u n i ρ n i − u n i−2 ρ n i−2 )
ρ n+1
i − ρ n i = −δ ( u n i+1 ρ n i+1 − u n i−1 ρ n i−1 )
ρ n+1
i+1 − ρn i+1 = −δ ( u n i+2 ρ n i+2 − u n i ρ n i )
ρ n+1
i+2 − ρn i+2 = −δ ( u n i+3 ρ n i+3 − u n i+1 ρ n i+1 )
Jetzt fallen bei der Aufsummation alle Terme auf der rechten Seite (bis auf jeweils
zwei Terme am Rand des Rechengebiets) weg, d.h. das Verfahren ist konservativ.

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 71
3.5 Stabilität, Konsistenz und Diskretisierungsfehler
Die Stabilität eines numerischen Verfahrens ist durch sein Fehlerfortpflanzungsverhalten
bestimmt. Bei der Untersuchung der zeitlichen Entwicklung einer kleinen Störung
sind folgende Fälle möglich:
unbeschränktes Anwachsen → Verfahren instabil
der Störung
Störung nimmt ab, falls Zeitschritt → Verfahren beschränkt stabil
gewissen Bedingungen genügt
Störung nimmt ab für → Verfahren unbeschränkt stabil
beliebige Zeitschritte
Es existieren verschiedene Verfahren zur Untersuchung der Stabilität eines Differenzenschemas,
z.B. die von Neumann’sche Stabilitätsanalyse (Modenanalyse für lineare
Anfangsprobleme). Für nicht–lineare Probleme läßt sich nur die Stabilität der linearisierten
Gleichungen bestimmen, d.h. man kann nur notwendige Stabilitätskriterien für nicht–
lineare Probleme ableiten.
Ein Differenzenverfahren muss nicht nur genau sein, sondern es muss auch konsistent
zur Differentialgleichung sein, d.h. es muss
lim {Differentialgleichung−Differenzengleichung} = 0 (3.18)
∆x,∆t→0
gelten.
3.5.1 Diffusionsgleichung
Als Beispiel zur Veranschaulichung der Konzepte Stabilität, Konsistenz und Diskretisierungsfehler
betrachten wir im folgenden die eindimensionale Diffusionsgleichung
∂f
∂t = α ∂2f ∂x2 (3.19)
mit dem konstanten Diffusionskoeffizienten α. Wir nehmen o.B.d.A. weiterhin an, dass ∆t
und ∆x konstant sind.
• Diskretisierung nach Richardson: O[(∆t) 2 ,(∆x) 2 ]
f n+1
k −fn−1
k
2∆t
= α fn k+1 +fn k−1 −2fn k
(∆x) 2
(3.20)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 72
Daraus folgt:
f n+1
k
= fn−1
k +d(fn k+1 +f n k−1 −2f n k) mit d ≡ 2α ∆t
> 0. (3.21)
(∆x) 2
- ǫ sei Fehler der numerischen Lösung, d.h.
fnum = f +ǫ,
wobei f die exakte Lösung sei. Da sowohl f als auch fnum der Differenzengleichung
genügen müssen, folgt
ǫ n+1
k
= ǫn−1
k +d(ǫn k+1 +ǫ n k−1 −2ǫ n k). (3.22)
d.h. exakte Lösung (3.21) und Fehler ǫ (3.22) haben dasselbe Zeitverhalten!
- Als Ansatz für die Fehlerverteilung auf dem Rechengitter wählen wir eine Fourierreihe,
deren Fundamentalmode (m = 1) eine Wellenlänge λ = 2π/k gleich
der zweifachen Gitterlänge L hat, d.h. es gilt
ǫ(x,t) =
M�
bm(t)e ikm·x
m=0
(3.23)
mit den Wellenzahlen
km = mπ
, m = 0,1,...,M und M∆x = L.
L
- Da die Differenzengleichung (3.20) linear ist, gilt das Superpositionsprinzip für
Fehler, d.h. für die Stabilitätsanalyse genügt die Betrachtung eines Terms der
Fourierreihe
ǫm(x,t) = bm(t)e ikm·x .
Einsetzen in die Differenzengleichung (3.22) liefert
b n+1
m = b n−1
m +b n m2d(cosφm −1)
mit dem Phasenwinkel φm ≡ km∆x.
- Die weitere Diskussion gestaltet sich leichter, wenn man eine äquivalente Matrixformulierung
verwendet:
� � � �� n+1
n b 2d(cosφm −1) 1 bm =
1 0 bn−1 �
(3.24)
m
m
b n m
wobei die Matrix auf der rechten Seite Fehlerfortpflanzungsmatrix heißt
und üblicherweise mit Gm bezeichnet wird. Nach der Diagonalisierung dieser
Gleichung erhält man:
b n+1
m = λlb n m oder b n m = λlb n−1
m , (3.25)
wobei λl die Eigenwerte der Fehlerfortpflanzungsmatrix Gm sind.

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 73
- Das Differenzschema ist stabil, falls
∀l : |λl| ≤ 1 (3.26)
gilt. Die Eigenwerte für die Richardson–Diskretisierung ergeben sich aus dem
charakteristischen Polynom
zu
λ 2 −2d(cosφm −1)λ−1 = 0
λ± = d(cosφm −1)± � d 2 (cosφm −1) 2 +1, (3.27)
d.h. das Richardson–Schema ist instabil (da für cosφm �= 1 der Betrag des
Eigenwerts λ− = −|D|− √ D 2 +1 mit D ≡ d(cosφm −1) < 0 größer 1 ist).
• Diskretisierung nach DuFort–Frankel: (3 Zeitniveaus)
f n+1
k −fn−1
k
2∆t
d.h. f n k
= α fn k+1 +fn k−1 −(fn+1
k +fn−1
k )
(∆x) 2 , (3.28)
in (3.20) wurde durch den zentrierten Zeitmittelwert (fn+1
k +fn−1
k )/2 ersetzt.
Für die Fehlerfortpflanzungsmatrix findet man
Gm =
� 2dcosφm
1+d
1 0
1−d
1+d
�
.
Damit ergeben sich die folgenden Eigenwerte
λ± = dcosφm
1+d ±
� �dcosφm
1+d
� 2
+ 1−d
1+d .
Mit Hilfe der Dreiecks–Abschätzung |a±b| ≤ |a|+|b| folgt
� �
�dcosφm
�
|λ±| ≤ � �
� 1+d � +
��
�
� d
�
�
2cos2 �
φm 1−d
�
�
+ �
(1+d) 2 1+d � ,
� �
�
|λ±| ≤ �
d �
�
�1+d
� +
��
�
� d
�
�
2
�
1−d
�
�
+ �
(1+d) 2 1+d � ,
|λ±| ≤ d
1+d +
��
�
� d
�
�
2 +1−d 2
(1+d) 2
�
�
�
�
�

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 74
|λ±| ≤ d 1
+ = 1,
1+d 1+d
d.h. beide Eigenwerte sind betragsmäßig kleiner gleich Eins für alle positiven d und
fürbeliebigePhasenwinkelφm.DaheristdasDuFort–Frankel Differenzenschema
unbeschränkt stabil.
- Der Diskretisierungsfehler des DuFort–Frankel Schemas ist von der Ordnung
O[(∆t) 2 ,(∆x) 2 ,(∆t/∆x) 2 ], d.h. damit das Schema konsistent ist, muss
(∆t/∆x) 2 gegen Null gehen, wenn (∆t) 2 und (∆x) 2 gegen Null streben.
Ist dies nicht der Fall und strebt (∆t/∆x) 2 stattdessen gegen einen konstanten
Wert γ, ist das DuFort–Frankel Schema konsistent mit der hyperbolischen
Differentialgleichung
∂f
∂t = α∂2 f
∂x2 −αγ∂2 f
∂t2 +O[∆3 ].
Um dies zu sehen, entwickelt man die DuFort–Frankel Differenzengleichung
(3.28) in eine Taylorreihe um n und k.
- Der Gewinn an Stabilität wurde daher auf Kosten der Konsistenz erzielt!
Man muss daher aus Genauigkeitsgründen den Zeitschritt ∆t so wählen, dass
αγ = α(∆t/∆x) 2 ausreichend klein ist, d.h. trotz unbeschränkter Stabilität des
Verfahrens ist eine Zeitschrittbeschränkung erforderlich.
• Diskretisierung nach Crank–Nicholson:
- Basiert auf zeitgemittelter Ableitung anstelle zeitgemittelter Funktion
f n+1
k −fn k
∆t
= α δ2 xf n+1
k +δ2 xf n k
2(∆x) 2
(3.29)
wobei δ2 xfn k ≡ fn k−1−2fn k +fn k+1 der zentrale Differenzenoperator (siehe 3.5) ist.
- Differenzenverfahren ist unbeschränkt stabil und konsistent und von
O[(∆t) 2 ,(∆x) 2 ]
- Die Differenzengleichung lautet mit β ≡ α∆t/(∆x) 2 :
− 1
2 βfn+1
k−1 +(1+β)fn+1
1
k −
2 βfn+1
1
k+1 =
2 βfn k−1 +(1−β)f n k + 1
2 βfn k+1 (3.30)
- Implizites Verfahren, da Werte zur Zeit t n+1 gekoppelt sind
→ tridiagonales Gleichungssystem für f n+1
k (k = 1,...,N)
→ durch zweifache Rekursion effizient lösbar; erfordert nur 5N−4 Operationen,
d.h. der Rechaufwand wächst linear mit der Anzahl der Stützstellen (siehe, z.B.
Potter 1973)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 75
• 4. Möglichkeit die Diffusionsgleichung zu diskretisieren
Man drückt die Zeitableitung mit Hilfe der Vorwärtsdifferenzenapproximation (3.2)
aus
f n+1
k −fn k
∆t
Damit folgt:
= α fn k+1 −2fn k +fn k−1
(∆x) 2
f n+1
k = βfn k−1 +(1−2β)f n k +βf n k+1.
- Aus der von Neumann’sche Stabilitätsanalyse ergibt sich
G = 1−2β(1−cosφ),
und damit als Bedingung für die Stabilität des Schemas: β ≤ 0.5 bzw.
∆t ≤ 1(∆x)
2
2
α .
(3.31)
Das Schema ist also bedingt stabil mit ∆t ≤ τdiff(∆x)/2, d.h. der Zeitschritt
muss kleiner sein als die Hälfte der Diffusionszeit durch eine Gitterzone
- Sehr restriktive Bedingung an den Zeitschritt
∆x → ∆x/2 =⇒ ∆t → ∆t/4 =⇒ CPU → 8·CPU
• =⇒ In fast allen Anwendungen wird das Crank–Nicholsen Schema verwendet, um
Diffusionsprobleme numerisch zu lösen.
3.5.2 Advektionsgleichung
Die Advektionsgleichung ist die Kontinuitätsgleichung (2.21) für eine vorgegebene konstante
Geschwindigkeit v0 (o.B.d.A.: v0 > 0):
∂ρ
∂t +v0
∂ρ
= 0 (3.32)
∂x
Ersetzt man die räumliche Ableitung durch die Rückwärtsapproximation (3.3), erhält man
die Differenzengleichung
ρ n+1
k+1/2 = ρn k+1/2 −β(ρ n k+1/2 −ρ n k−1/2), (3.33)
wobei β ≡ v0∆t/∆x die Anzahl der Zonen ist, die die Flüssigkeit pro Zeitschritt durchströmt.

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 76
• Die Stabilitätsanalyse ergibt:
G = (1−β)+βcosφ−iβsinφ,
d.h. das explizite Schema ist bedingt stabil, falls die CFL–Bedingung
β ≤ 1 oder ∆t ≤ ∆x
v0
(3.34)
erfüllt ist, oder anders ausgedrückt, keine Information darf sich schneller als eine
Gitterzone pro Zeitschritt ausbreiten!.
Diese Bedingung folgt auch direkt aus den Charakteristikengleichungen (2.29), da
diese für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Information dx/dt ≤ |v0|+c fordern,
unddamit∆t ≤ ∆x/(|v0|+c)implizieren,wasimFallevonc = 0(keineSchallwellen)
identisch mit der Bedingung (3.34) ist.
• Schreibt man (3.33) in der alternativen Form
ρ n+1
k+1/2 = (1−β)ρn k+1/2 +βρ n k−1/2, (3.35)
so sieht man, dass sich für β = 1 die exakte Lösung ρ n+1
k+1/2 = ρn k−1/2 ergibt.
Allerdings ist die obige Differenzengleichung für β �= 1 sehr diffusiv. Dies zeigt sich,
wenn man die Differenzengleichung um (k+1/2) und n in eine Tayloreihe entwickelt.
Daraus folgt
∂ρ
∂t +v0
∂ρ
∂x
= v0∆x
2
∂2ρ ∆t∂
−
∂x2 2
2ρ ∂t2 +O� (∆x) 2� ,
d.h. die Differenzengleichung ist konsistent mit der ursprünglichen Differentialgleichung,
aber stark (∝ ∆x) diffusiv.
3.5.3 Allgemeine Tatsachen
• Differenzengleichungen enthalten Terme, die nicht in der Differentialgleichung enthalten
sind. Die Konsequenzen, die daraus resultieren, lassen sich durch Taylorentwicklungen
und Stabilitätsanalyse untersuchen.
→ falls der führende Fehlerterm vom Typ ∂ 2 /∂x 2 ist, spricht man von numerischer
Diffusion (siehe Abb.3.3).
→ falls der führende Fehlerterm vom Typ ∂ 3 /∂x 3 ist, spricht man von numerischer
Dispersion (siehe Abb.3.4).
ACHTUNG: Im Allgemeinen sind beide Fehler am Werk!

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 77
Abbildung 3.3:
Abbildung 3.4:
analytische Lösung
numerische Lösung
analytische Lösung
numerische Lösung

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 78
3.6 Exakte Riemannlöser: Verfahren von Godunov
IndiesemKapitelwerdenDifferenzenverfahrenzurIntegrationderhydrodynamischenGleichungen
erläutert, bei denen zur Berechnung der Flüsse (durch die Zellränder) an jedem
Zonenrand ein lokales Riemannproblem exakt gelöst werden muss.
Diese Vorgehensweise wurde von Godunov (1959) vorgeschlagen. Sein inzwischen als
Godunov–Verfahren bezeichnetes Differenzenverfahren, ist aber räumlich nur von erster
Ordnung genau. Riemannlöser–Verfahren höherer Ordnung wurden später von van Leer
(1979),Collela&Woodward(1985)undMarquina(1994)entwickelt.BevorwirdasVerfahren
von Godunov genauer diskutieren, sollen einige seiner Eigenschaften genannt werden.
• Es ist ein ” upwind“ bzw. ” upstream“ Verfahren. Solche Verfahren verwenden
einseitige Differenzenapproximationen, wobei die Richtung nicht global festgelegt ist,
sondern von der lokalen Strömung abhängt.
Für ein inkompressibles Gas lautet die einfachste ” upwind“–Diskretisierung der 1D
Kontinuitätsgleichung in nicht-konservativer Form (Gl.3.13):
ρ n+1
i −ρni = − ∆t
∆x un �
ρi −ρi−1; ui > 0
i
ρi+1 −ρi; ui < 0
. (3.36)
Diese Form der Diskretisierung, die man als ” Donor Cell“ Diskretisierung bezeichnet,
garantiert, dass das Abhängigkeitsgebiet der hyperbolischen Kontinuitätsgleichung
korrekt berücksichtigt wird und insbesondere keine Störung in eine Überschallströmung
hineinpropagieren kann (was unphysikalisch wäre).
• Das Verfahren ist konservativ und monoton. Letzteres bedeutet, dass eine Anfangsverteilung
so advektiert wird, dass keine neuen, numerisch bedingten Extrema
auftreten.
• Das Verfahren ist stark diffusiv. Dieser Nachteil ist bei modernen Godunov-
Verfahren höherer Ordnung behoben.
• Es handelt sich um ein ” shock-capturing“ Verfahren, d.h. Diskontinuitäten in der
Strömung müssen nicht mit speziellen Techniken behandelt werden, sondern werden
durch das Differenzenverfahren automatisch und ohne gitterabhängige Parameter
(wiez.B.beiVerfahrendieeinekünstlicheViskositätverwenden)korrektbeschrieben.
Wir betrachten ein allgemeines Anfangswertproblem für ein nicht-lineares System hyperbolischer
partieller Differentialgleichungen (PDE) in einer Raumdimension:
PDEs: Ut +F(U)x = 0
Anfangswerte U(x,0) = U 0 (x)
Randwerte: U(0,t) = Ul(t), U(L,t) = Ur(t)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 79
Hierbei sind U(x,t) ein Vektor von Erhaltungsgrößen, F(U) der Flussvektor, U (0) (x)
die Anfangsdaten zur Zeit t = 0 und [0,L] das Raumgebiet. Ul(t) und Ur(t) sind die
zeitabhängigen linken und rechten Randbedingungen.
Da auch nicht–stetige Lösungen auftreten können, muss man die integrale Form der
Erhaltungsgleichungen
� x2
x1
U(x,t2)dx =
� x2
x1
� t2
U(x,t1)dx+
t1
� t2
F[U(x1,t)]dt−
t1
F[U(x2,t)]dt (3.37)
verwenden. Hierbei ist [x1,x2] × [t1,t2] ein beliebiges Kontrollvolumen im betrachteten
Raumzeitgebiet.
Man diskretisiert das Raumgebiet [0,L] in M Zellen Ii = [xi−1/2,xi+1/2], die von äquidistanter
Größe ∆x = xi+1/2 −xi−1/2 = L/M, i = 1,...,M sein sollen. Für eine gegebene
Zelle Ii sind die Koordinaten des Zellzentrums xi und der beiden Zellränder xi−1/2, xi+1/2
durch
xi−1/2 = (i−1)∆x , xi = (i− 1
2 )∆x , xi+1/2 = i∆x (3.38)
gegeben. Die Diskretisierung des Zeitintervalls [0,T] erfolgt durch variable Zeitschritte ∆t,
deren Größe sich aus der CFL-Bedingung oder aus der gewünschten Genauigkeit bestimmt.
Das Verfahren von Godunov besteht aus vier Teilschritten:
(1) Zu einem Zeitpunkt t = t n seien die Anfangsdaten � U(x,t n ) gegeben. Um deren
Entwicklung bis zu dem Zeitpunkt t n+1 = t n + ∆t zu bestimmen, werden zunächst
Zonenmittelwerte
U n i ≡ 1
� xi+1/2
∆x xi−1/2 �U(x,t n )dx (3.39)
berechnet.MitHilfederZonenmittelwertedefiniertmaneinestückweise konstante
Verteilung U(x,t n ) gemäß
U(x,t n ) = U n i
x ∈ Ii = [xi−1/2,xi+1/2], i = 1,...,M ,
die die Anfangsdaten � U(x,t n ) bis auf erste Ordnung genau approximiert.
Die zu integrierenden Daten setzen sich nun aus einer Menge {U n i} konstanter
Zuständezusammen,dieinFormvonErhaltungsgrößengegebensind.FürdieLösung
des Riemannproblms ist es aber i.A. notwendig, die Erhaltungsgrößen durch die primitiven
Variablen ρ,u und p auszudrücken (siehe 2.31).

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 80
V n
rarefaction shock contact discontinuity
V n
i−1
x i−1
x i− 1_ 2
V n
i
x i
x i+ 1_ 2
V n
i+1
x i+1
x i+ 3_ 2
V n
i+2
x i+2
x x x x i−1 i i+1
i+2
Abbildung 3.5: Illustration des Godunov–Verfahren
(2) Man sucht nun als nächstes die Lösung des ursprünglichen Anfangs-
Randwertproblems für die modifizierten Anfangsdaten U n i. Dazu muss an jedem
Zonenrand xi+1/2 die Lösung eines lokalen Riemannproblems RP(U n i,U n i+1) berechnet
werden (siehe Abb.3.5), die nur von den Zonenmittelwerten U n i (links) und
U n i+1 (rechts) abhängt. Außerdem ist die Lösung selbstähnlich und hängt von der
Koordinatenkombination (x/t) ab.
Wir werden die Lösung im folgenden mit Ui+1/2(x/t) bezeichnen, wobei (x,t) lokale
Koordinaten sind, die gemäß
x = x−xi+1/2 , t = t−t n
x ∈ [xi,xi+1] , t ∈ [t n ,t n+1 ]
x ∈ [− ∆x
2
∆x , ] , t ∈ [0,∆t]
2
t n+1
t n
x
(3.40)
durch die globalen Koordinaten (x,t) gegeben sind. Offensichtlich gilt x = 0 falls
x = xi+1/2 und t = 0 falls t = t n .

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 81
(3) Falls ∆t hinreichend klein ist, d.h. falls keine Wechselwirkung zwischen benachbarten
Riemannproblemen stattfindet, ist die globale Lösung � U(x,t) im Gebiet x ∈ [0,L]∧
t ∈ [t n ,t n+1 ] durch
�U(x,t) = Ui+1/2(x/t), x ∈ [xi,xi+1] (3.41)
gegeben.
(4) Die Lösung zur Zeit t n+1 = t n +∆t erhält man, in dem man einen neuen Satz von
Zellmittelwerten U n+1
i definiert. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten.
In der ersten Varianten des Godunov–Verfahrens definiert man die neuen Zellmittelwerte
mit Hilfe der Integrale
U n+1
i
� xi+1/2
1
= �U(x,t
∆x xi−1/2
n+1 )dx (3.42)
für jede Zone Ii. Diese Mittelung ist allerdings nur sinvoll durchführbar, wenn innerhalb
der Zone Ii keine Wellen im Zeitraum ∆t miteinander wechselwirken. Daraus
ergibt sich die folgende (CFL) Bedingung an die Größe des Zeitschritts:
∆t ≤ 1 ∆x
, (3.43)
2
S n max
wobei S n max die maximale Wellengeschwindigkeit im Rechengebiet zur Zeit t n ist.
Infolge der Zeitschrittbedingung (3.43) beeinflussen nur zwei Riemannlösungen die
Zone Ii, nämlich die nach rechts popagierenden Wellen von Ui−1/2(x/t) und die nach
links propagierenden Wellen von Ui+1/2(x/t). Daher folgt aus (3.42) unter Verwendung
von (3.41)
U n+1
i
� 1
1 2
=
∆x
∆x �
x
�
Ui−1/2 dx+
0 ∆t
1
� 0
∆x − 1
2∆x �
x
�
Ui+1/2 dx. (3.44)
∆t
Diese erste Variante des Godunov–Verfahrens hat zwei Nachteile: (i) eine etwas restriktivere
CFL–Bedingung und (ii) die Berechnung der Integrale in (3.44) ist unter
Umständen aufwändig
Die zweite Variante des Godunov–Verfahrens ist numerisch attraktiver und kann
in der konservativen Formulierung
U n+1
i = Uni + ∆t
� �
Fx −Fi+1/2
i−1/2 ∆x
(3.45)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 82
geschrieben werden, wobei der numerische Fluss am Zellenrand durch
Fi+1/2 = F � Ui+1/2(0) �
gegeben ist, falls der Zeitschritt die Bedingung
∆t ≤ ∆x
S n max
erfüllt.
Beweis:
(3.46)
(3.47)
Der Integrand � U(x,t n+1 ) in (3.42) ist eine exakte Lösung der Erhaltungsgleichungen
(siehe 3.41). Daher kann man die integrale Form der Erhaltungsgleichung (3.37) mit
dem Kontrollvolumen [xi−1/2,xi+1/2]×[t n ,t n+1 ] anwenden. Es folgt
� xi+1/2
mit
xi−1/2
�U(x,t n+1 )dx =
+
� xi+1/2
xi−1/2
� ∆t
0
�U(x,t n )dx
� �
F �U(xi−1/2,t) dt−
� ∆t
0
� �
F �U(xi+1/2,t) dt (3.48)
�U(xi−1/2,t) =Ui−1/2(0) = const (3.49)
�U(xi+1/2,t) =Ui+1/2(0) = const (3.50)
für ∆t ≤ ∆x/S n max, wobei Ui−1/2(0) die Lösung von RP(U n i−1,U n i) und Ui+1/2(0) die
Lösung von RP(U n i,U n i+1) entlang x/t = 0 ist. Division durch ∆x ergibt
� xi+1/2
1
�U(x,t
∆x xi−1/2
n+1 )dx = 1
� xi+1/2
�U(x,t
∆x xi−1/2
n )dx
+ ∆t �
F(Ui−1/2(0))−F(Ui+1/2(0))
∆x
�
und mit (3.42) folgt daraus die Behauptung (3.45).
(3.51)
DiesezweiteVariantedesGodunov–VerfahrensbedingteinewenigerrestriktiveCFL–
Bedingung, die auch gilt, wenn Wellen innerhalb von ∆t in der Zelle Ii miteinander
wechselwirken, vorausgesetzt dass daraus keine Wellenbeschleunigung resultiert (Linearitätsannahme).

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 83
Bei der Berechnung des Zeitschritts gemäß der notwendigen Bedingung (3.47) geht man
wie folgt vor:
• üblich: S n max = Maxi{|u n i|+a n i}, wobei u n i die Strömungsgeschwindigkeit und a n i
die Schallgeschwindigkeit sind.
Diese Form kann zur Unterschätzung von S n max führen, z.B. bei einem stationären
Anfangszustand (u n i = 0), da dann nur a n i in S n max eingeht und daher u.U. ein zu
großer Anfangszeitschritt gewählt wird.
• verlässlich: S n max = Maxi
�
|SL i+1/2 |,|SR i+1/2 |
�
, wobei |S L i+1/2 | und |SR i+1/2
| die be-
kannten Wellengeschwindigkeiten der nichtlinearen Wellen (Stöße, Verdünnungwellen)
des Riemannproblems sind.
• Üblicherweise verwendet man einen zusätzlichen Sicherheitsfaktor gemäß
∆t = CCFL
∆x
S n max
mit 0 < CCFL ≤ 1, wobei in der Praxis Werte von CCFL = 0.2...0.8 üblich sind.
(3.52)
3.7 Approximative Riemannlöser: Verfahren von Roe
Exakte Riemannlöser erfordern die Kenntnis der vollen spektralen Dekomposition (Eigenwerte,
recht und linke Eigenvektoren) des zu lösenden hyperbolischen Differentialgleichungssystems.
Ist diese analytische Information nicht vorhanden oder ist die Lösung des
exakten Riemann–Problems zu aufwändig (z.B. im Falle von relativistischen Strömungen,
wo anstelle einer algebraischen Gleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung zu lösen
ist), kann man approximative Riemannlöser verwenden. Der von P.Roe vorgeschlagene
Lösungsweg basiert auf der lokalen Linearisierung des Problems.
Dazu betrachten wir nochmals das Anfangswertproblem (3.6) für den Zustandsvektor
U. Mit Hilfe der Jacobi-Matrix A ≡ ∂F/∂U des Flussvektors F(U) schreiben wir die
Differentialgleichung in quasilinearer Form (siehe Kap.2.1 und 2.3)
Ut +A(U)Ux = 0. (3.53)
Ersetzt man die Jacobi-Matrix A(U) durch die konstante Jacobi-Matrix � A(UL,UR),
so erhält man ein lineares System mit konstanten Koeffizienten:
Ut + � AUx = 0, (3.54)
d.h. man hat das ursprüngliche Riemann-Problem (3.53) durch ein lineares Problem (3.54)
ersetzt, das dann exakt gelöst wird.

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 84
Die Matrix � A muss folgende Eigenschaften besitzen:
(a) � A hat reelle Eigenwerte und einen kompletten Satz von linear unabhängigen rechten
Eigenvektoren (Hyperbolizität)
(b) � A ist konsistent zur ursprünglichen Jacobi–Matrix, d.h. � A(U,U) = A(U)
(c) Es gelten die Erhaltungsätze F(UR)−F(UL) = � A(UR −UL)
Die Wellenstärken �αi = �αi(UL,UR) ergeben sich aus der Projektion der Zustandsdifferenz
∆U = UR −UL auf die rechten Eigenvektoren
∆U =
m�
�αi � R (i)
i=1
und die numerischen Flüsse gemäß
F1+1/2(Roe) = 1
2 (FL +FR)− 1
2
Demnach benötigt man für den approximativen Roe–Löser:
(3.55)
m�
�αi| � λi|R (i) . (3.56)
i=1
• Eine Matrix � A mit den Eigenschaften (a) - (c),
• Wellenstärken �αi,
• die Eigenwerte � λi der Matrix � A,
• die rechten Eigenvektoren R (i) der Matrix � A,
aber nicht explizit die Jacobi–Matrix � A(UL,UR).
Um einen Eindruck von der Qualität exakter und approximativer Riemannlöser zu
bekommen, betrachten wir vier Stoßrohr-Probleme (siehe Tabelle3.1 und Abbildungen3.6
bis 3.9, sowie die MPEG–Filme auf der Web–Seite), die bis auf Problem4 dem Buch von
Toro (Kap. 6.4) entnommen sind.
Tabelle 3.1: Anfangsdaten für Stoßrohr-Testprobleme
Test ρL uL pL ρR uR pR
1 1.0 0.75 1.0 0.125 0.0 0.1
2 1.0 -2.0 0.4 1.0 2.0 0.4
3 1.0 0.0 1000.0 1.0 0.0 0.01
4 5.99924 19.5975 460.894 5.99242 -6.19633 46.0950

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 85
Abbildung3.6:DieLösungdesTestproblems1bestehtauseinernachrechtspropagierenden
StoßwellegefolgtvoneinerebenfallsnachrechtspropagierendenKontaktunstetigkeit,sowie
einer nach links laufenden sonischen Verdünnungswelle. (V←T→S→)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 86
Abbildung 3.7: Die Lösung des Testproblems2 besteht aus zwei symmetrischen
Verdünnungswellen, die in entgegengesetzte Richtung propagieren und annähernd ein Vakuumgebiet
erzeugen, sowie aus einer stationären Kontaktunstetigkeit (V←T V→)
.

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 87
Abbildung 3.8: Die Lösung des Testproblems3 besteht aus einem nach rechts propagierenden
starken Stoß und einer in dieselbe Richtung propagierenden Kontaktunstetigkeit,
sowie aus einer nach links laufenden Verdünnungswelle (V←T→S→)

KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 88
Abbildung 3.9: Die Lösung des Testproblems4 besteht drei starken Diskontinuitäten (Stoß,
Kontaktunstetigkeit, Stoß), die alle nach rechts propagieren (S→T→S→)