Kapitel 2 Eigenschaften und analytische Lösungen

Kapitel 2 

Eigenschaften und analytische 

Lösungen 

2.1 Systeme Quasilinearer Partieller Differentialgleichungen 

Die hydrodynamischen Gleichungen stellen ein System quasilinearer partieller Differentialgleichungen 

(kurz PDE) erster Ordnung dar. Die wichtigsten mathematischen Begriffe für 

solche Systeme sind im folgenden kurz zusammengefasst. 

Man betrachte ein System partieller Differentialgleichungen 1.Ordnung in einer Dimension 

der Form 

m 

∂u i 

∂t + ∑ 

a ij (x,t,u 1 ,...,u m ) ∂u j 

∂x +b i(x,t,u 1 ,...,u m ) = 0 (2.1) 

j=1 

mit i = 1,...,m. Dies ist ein System von m Gleichungen mit m Unbekannten u i , die von 

der Ortskoordinate x und einer zeitartigen Variable t abhängen. Hierbei sind die u i die 

abhängigen Variablen und x,t die unabhängigen Variablen; dies wird durch die Bezeichnungsweise 

u i = u i (x,t) ausgedrückt. 

Das System(2.1) läßt sich in Matrixform wie folgt schreiben 

U t +AU x +B = 0 (2.2) 

mit 

⎛ 

U = ⎜ 

⎝ 

⎞ 

u 1 

u 2 

⎟ 

. 

u m 

⎛ 

⎠ , B = ⎜ 

⎝ 

⎞ 

b 1 

b 2 

⎟ 

. 

b m 

⎛ 

⎠ , A = ⎜ 

⎝ 

a 11 

a 21 

⎞ 

··· a 1m 

··· a 2m 

⎟ 

. . . ⎠ , (2.3) 

a m1 ··· a mm 

wobei U t und U x die partiellen Ableitungen von U(x,t) nach t bzw. x bezeichnen. 

33

KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 34 

Sind die Matrixelemente a ij der Matrix A und die Komponenten b j des Vektors B konstant, 

dann ist (2.2) ein lineares System mit konstanten Koeffizienten. Falls a ij = a ij (x,t) 

und b j = b j (x,t) liegt ein lineares System mit variablen Koeffizienten vor. Das System ist 

auch dann noch linear, wenn B linear von U abhängt. Es heißt quasi-linear, falls die 

Koeffizientenmatrix A eine Funktion des Vectors U ist, d.h. wenn A=A(U) gilt. Man 

beachte, dass quasilineare Systeme im allgemeinen Systeme von nichtlinearen Gleichungen 

sind. Das System (2.2) heißt homogen, falls B=0 ist. 

FüreinSystemvonPDEsderForm(2.2)mussmanWertebereichefürdieunabhängigen 

Variablen x und t vorgeben. Gewöhnlich wählt man für x ein Teilintervall der reellen 

Zahlenachse, d.h. x l < x < x r ; dieses Teilintervall nennt man die räumliche Domäne 

der PDEs, oder einfach die Domäne. An den Intervallgrenzen x l ,x r muss man zusätzlich 

Randbedingungen vorgeben. Dies ist nicht nötig, wenn die Domäne die gesamte reelle Achse 

(−∞ < x < ∞) umfasst. Als Wertebereich für die unabhängige Variable t nimmt man 

im allgemeinen t 0 < t < ∞ an, wobei man noch Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t 0 

spezifizieren muss. Oft wird t 0 = 0 gewählt. 

• Definition 1: 

Erhaltungsätze sind Systeme von quasilinearen PDEs 1.Ordnung, die man in der 

Form 

U t +F(U) x = 0, (2.4) 

schreiben kann, wobei 

⎛ 

U = ⎜ 

⎝ 

⎞ 

u 1 

u 2 

⎟ 

. 

u m 

⎛ 

⎠ , F(U) = ⎜ 

⎝ 

⎞ 

f 1 

f 2 

⎟ 

. 

f m 

⎠ . (2.5) 

U ist ein Vektor von Erhaltungsgrößen und F(U) heißt Flussvektor. Jede seiner 

Komponenten f i ist eine Funktion der Komponenten u i von U. 


Die Jacobi–Matrix des Flussvektors F(U) ist die Matrix 

⎛ 

⎞ 

∂f 1 /∂u 1 ··· ∂f 1 /∂u m 

∂F 

∂U = ∂f 2 /∂u 1 ··· ∂f 2 /∂u m 

⎜ 

⎟ 

⎝ . . . ⎠ , (2.6) 

∂f m /∂u 1 ··· ∂f m /∂u m


d.h. die Elemente der Matrix ∂F/∂U sind die partiellen Ableitungen der Komponentenf 

i desVektorsFbezüglichderKomponentenu j desVektorsderErhaltungsgrößen 

U. 

DieErhaltungssätze(2.4)–(2.5)lassensichauchinquasilinearerForm(2.2)schreiben. 

Mit B ≡ 0 und mit Hilfe der Kettenregel folgt für den zweiten Term in (2.4) 

∂F(U) 

∂x 

= ∂F ∂U 

∂U ∂x 

(2.7) 

und damit für (2.4) 

U t + ∂F(U) 

∂U U x = 0, (2.8) 

was ein Spezialfall von (2.2) ist. 


Eigenwerte λ i der Matrix A sind Lösungen des charakteristischen Polynoms 

|A−λI| = det(A−λI) = 0, (2.9) 

wo I die Einheitsmatrix ist. Die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A eines Systems 

der Form (2.2) nennt man auch die Eigenwerte des Systems. 

Physikalisch repräsentieren die Eigenwerte Geschwindigkeiten der Informationsausbreitung 

(positiv gemessen in positive x–Richtung). 


Einrechter EigenvektoreinerMatrixAbezüglicheinesEigenwertsλ i vonAistein 

Vektor r (i) = (r (i) 

1 ,r (i) 

2 ,...,r m) (i) T , der der Beziehung A r (i) = λ i r (i) genügt. Analog 

ist ein linker Eigenvektor der Matrix A bezüglich eines Eigenwerts λ i von A ein 

Vektor l (i) = (l (i) 

1 ,l (i) 

2 ,...,l m), (i) für den l (i) A = λ i l (i) gilt. 


Ein System (2.2) heißt hyperbolisch im Punkt (x,t), falls die Matrix A m reelle 

Eigenwerte λ 1 ,...,λ m und einen dazu gehörigen Satz von m linear unabhängigen 

rechten Eigenvektoren r (1) ,... , r (m) besitzt. Das System ist strikt hyperbolisch, falls 

alle Eigenwerte λ i verschieden sind. 

System (2.2) heißt elliptisch in einem Punkt (x,t), falls keiner der Eigenwerte λ i 

von A reell ist.


f(x) 

t > 0 

t 

t = 0 

x − at = x 0 

x 0 

x 

Abbildung 2.1: 

2.2 Charakteristiken 

Zur Erläuterung des Begriffs der Charakteristik untersuchen wir verschiedene einfache Beispiele 

von linearen, nicht–linearen und quasilinearen PDEs 1.Ordnung in 1 Raumdimension. 

2.2.1 Die lineare Advektionsgleichung 

u t +au x = 0, u(x,0) = f(x), a = const. (2.10) 

• Die Lösung der linearen Advektionsgleichung lautet u(x,t) = f(x−at). Dies ist eine 

Welle der Form f, die sich mit konstanter Geschwindigkeit a nach rechts (a > 0) 

bzw. nach links (a < 0) ausbreitet (siehe Abb.2.1). 

• Die Lösung u(x,t) ist konstant längs der Geraden x − at = constant. Diese Geraden 

heißen Wellenfronten oder Charakteristiken. u(x,t) ist das Signal oder die 

Welleninformation und a ist die Signalgeschwindigkeit. 

• Information propagiert entlang den Charakteristiken, d.h. entlang Kurven in der x-t– 

Ebene, die der gewöhnlichen Differentialgleichung ẋ(t) = a mit x(0) = x 0 genügen 

(siehe Abb.2.2). 

• FallsAnfangsdatenaufeinerKurveC gegebensind,dietransversalzuallenCharakteristiken 

ist (d.h. nirgends tangential), so ist die Lösung u(x 0 ,t 0 ) im Punkte (x 0 ,t 0 )


t 

x − at = const. 

C 

(x 0 , t 0 ) 

P 

x 


gegeben durch den Anfangswert auf C wo die Charakteristik durch (x 0 ,t 0 ) die Kurve 

C schneidet. 

• Wichtig: Falls C nicht überall transversal zu den Charakteristiken ist, hat die Differentialgleichung 

im allgemeinen keine Lösung. 

2.2.2 Lineare, homogene PDE 1.Ordnung in 1 Dimension 

u t +a(x,t)u x = 0, (2.11) 

• Charakteristiken sind jetzt Kurven (siehe Abb.2.3) und sind in Parameterdarstellung 

t = t(q),x = x(q) gegeben durch 

dt 

dq = 1, 

dx 

dq 

= a(x,t), (2.12) 

da dann 

d 

dq u(x(q),t(q)) = u dx 

x 

dq +u dt 

t 

dq = 0 

gilt.


t 

Charakteristiken 

(x 0 , t 0 ) 

P 

C 

x 


• Falls a(x,t) stetig ist, existieren Charakteristiken (zumindest lokal), die sich nicht 

schneiden (folgt aus Eindeutigkeit- und Existenzsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen). 

2.2.3 Nicht–viskose Burger–Gleichung 

bzw. 

u t +uu x = 0 (2.13) 

u t + 1 2 (u2 ) x = 0 (2.14) 

• Die Charakteristiken dieser quasilinearen PDE sind durch 

dt 

dq = 1, 

dx 

dq = u, 

du 

dq = 0 

gegeben und hängen von der Lösung U ab. 

• u ist konstant auf Charakteristiken, d.h. es gilt dt dx 

= 1 und = const. Die Charakteristiken 

sind also Geraden, die von verschiedenen Punkten ausgehen. Anders als im 

dq dq 

linearen Fall können sich die Charakteristiken daher im nicht–linearen Fall schneiden 

(siehe Abb.(2.4).


t 

(x 0 , t 0 ) 

Charakteristiken 

(x 1 , 0) (x 2 , 0) 

x 


• Im linearen Fall hat man 2 gewöhnliche Differentialgleichungen 

dt 

dq = 1, 

dx 

dq = a(x,t), 

d.h. falls a stetig ist, ist die Lösung durch (x 0 ,t 0 ) eindeutig. 

• Im nicht–linearen Fall hat man dagegen 3 gewöhnliche Differentialgleichungen 

dt 

dq = 1, dx 

dq = u, du 

dq = 0 

Die Lösung durch (x 0 ,t 0 ,u 0 ) ist eindeutig bestimmt, aber Charakteristiken sind Kurven 

in der (x,t)–Ebene, die man durch Projektion der eindeutigen dreidimensionalen 

Lösung in die Ebene erhält. Daher sind Schnittpunkte möglich. 

Falls Schnittpunkte auftreten versagt die Lösungsmethode, da die Signale auf sich 

schneidenden Charakteristiken im allgemeinen verschieden sind. Dieser Konflikt läßt 

sich nur durch eine Unstetigkeit (einen Sprung) in der Lösung beheben, die man 

Stoßwelle oder kurz Stoß nennt (siehe weiter unten). 

Wichtig: Stoßwellen können immer auftreten, wenn Charakteristiken konvergieren, 

selbst wenn die Anfangsdaten und die Randbedingungen vollständig glatt und stetig 

sind.


2.2.4 Homogenes hyperbolisches System quasilinearer PDE’s 

1.Ordnung in 1 Dimension 

U t +A(x,t,U)U x = 0 (2.15) 

• Für die Änderung von U längs der Kurve (x(q),t(q)) gilt 

[ 

dU 

dq = U dt 

t 

dq +U dx 

x 

dq = −A(x,t,U) dt 

dq + dx ] 

U x (2.16) 

dq 

• Definition: 1 Charakteristik ist eine Kurve mit folgender Eigenschaft: Falls Anfangsdaten 

auf der Kurve gegeben sind, ermöglicht es die Differentialgleichung nicht, die 

Lösung an irgendeinem Punkt zu bestimmen, der nicht auf der Kurve liegt. 

• Falls die Charakteristik nicht parallel zu x-Achse ist, kann man bei Kenntnis von U, 

die Ableitung U x nicht bestimmen. Dies ist der Fall, wenn die Matrix 

−A(x,t,U) dt 

dq + dx 

dq I (2.17) 

(I ist die Einheitsmatrix) singulär ist, d.h. wenn die Bedingungen 

dx 

dq = λ i(x,t,U) und 

dt 

dq = 1 (2.18) 

erfüllt sind. Die Größen λ i , i = 1...n sind die Eigenwerte der Matrix A. 

• Für ein System von n Gleichungen gibt es n verschiedene Wellenfamilien, d.h. durch 

jeden Punkt (x,t) der x−t–Ebene gehen n Charakteristiken. Dies ist in Abb.2.5 für 

n = 3 illustriert. 

• Ein beliebiger Punkt (x 0 ,t 0 ) in der x−t–Ebene wird offensichtlich nur von Punkten 

zu früheren Zeiten (t < t 0 ) beeinflusst und kann selbst nur Punkte zu späteren Zeiten 

(t > t 0 ) beeinflussen. Da sich aber der Einfluss nur mit endlicher Geschwindigkeit 

ausbreitet, wird der Punkt (x 0 ,t 0 ) nicht von allen früheren Punkten beeinflusst und 

kannauchnichtallespäterenPunktebeeinflussen.StattdessenwirdderPunkt(x 0 ,t 0 ) 

nur von Punkten in seinem Abhängigkeitsgebiet beeinflusst und wirkt seinerseits 

nur auf Punkte in seinem Einflussgebiet. Diese Gebiete sind durch die, durch den 

Punkt gehenden, Charakteristiken mit der größten und kleinsten Geschwindigkeit 

begrenzt (Abb.2.5). 

1 Allgemeine Definition einer Charakteristik, falls U ≠ konst. auf Charakteristik.


t 

C C 1 2 

Einflu ßgebiet C 3 

Abhängigkeitsgebiet 

x 


• Wie man an der Abb.2.5 sieht, sind Schnittpunkte von Charakteristiken verschiedener 

Wellenfamilien unproblematisch. Nur wenn sich Charakteristiken einer Wellenfamilie 

schneiden, treten Stoßwellen auf. 

• Falls C eine Kurve ist, die transversal zu allen Charakteristiken ist, dann ist die 

Matrix (2.17) invertierbar und es gilt (q parametrisiert Kurve C) 

[ 

U x = −A(x,t,U) dt 

dq + dx ] −1 

dU 

dq dq 

(2.19) 

U t = −AU x (2.20) 

d.h. die Lösung ist in einer gewissen Umgebung von C (wegen möglicher Schnittpunkte 

der Charakteristiken) eindeutig bestimmt. 

Lösung ist in durch Charakteristiken getrennten Gebieten entkoppelt (Kausalität). 

• Falls Lösung eindeutig sein soll, sind Unstetigkeiten in U nur auf Charakteristiken 

möglich. 

• U ist im allgemeinen nicht konstant auf Charakteristiken. Es ist aber möglich, 

Funktionen f i mit i = 1...n zu finden, die konstant auf der zu λ i gehörenden Cha-


rakteristik sind: 

df i 

dq = ∂f i dU 

n∑ 

∂U dq ≡ ∂f i ∂u j 

∂u 

j=1 j dq . 

Mit (2.16) folgt daraus 

df i 

dq = ∂f i 

∂U (−A+λ)U x, 

d.h. f i ist konstant entlang der Charakteristik C λ i 

, falls ∂f i /∂U Eigenvektor von A T 

ist. Solche Größen heißen Riemannsche Invarianten. 

• FallsmannInvariantengefundenhat,kannmandieseinvertierenundUalsFunktion 

der f i ausdrücken. Damit besteht die Möglichkeit, die Charakteristik C λ i 

als explizite 

Funktion der Anfangsdaten anzugeben und die Lösung zu erhalten.


2.3 Charakteristische Form der hydrodynamischen 

Gleichungen 

Die idealen, eindimensionalen hydrodynamischen Gleichungen ohne äußere Kräfte lauten 

in Erhaltungsform 

ρ t +(ρu) x = 0 

(ρu) t +(ρu 2 +p) x = 0 

(ρE) t +[(ρE +p)u] x = 0 

(2.21) 

oder in vektorieller Notation 

U t +F(U) x = 0, (2.22) 

wobei 

⎛ 

U = ⎝ 

ρ 

ρu 

ρE 

⎞ 

⎠ (2.23) 

der Vektor der Erhaltungsgrößen und 

⎛ ⎞ 

ρu 

F(U) = ⎝ ρu 2 +p ⎠ . (2.24) 

(ρE +p)u 

der Flussvektor ist (siehe Definition 2.5). Für Strömungen ohne Diskontinuitäten gilt 

U t + ∂F 

∂U U x = U t +AU x = 0. (2.25) 

Hierbei ist A = ∂F/∂U die Jacobi–Matrix des Flussvektors (siehe Definition 2.6). Das 

System (2.21) ist ein Spezialfall eines strikt hyperbolischen Systems quasilinearer PDEs 1. 

Ordnung in 1 Dimension (siehe Gleichung 2.1). 

• Im Falle einer idealen Gaszustandsgleichung 

p = (γ −1)ρε, (2.26) 

wo γ ≡ c p /c V das Verhältnis der spezifischen Wärmen bei konstantem Druck bzw. 

Volumen ist, gilt 

⎛ 

A = ∂F 

∂U = ⎝ 

0 1 0 

γ−3 

2 u2 (3−γ)u γ −1 

−γuE +(γ −1)u 3 γE − 3 (γ −1)u2 γu 

2 

⎞ 

⎠ (2.27)


• Die Eigenwerte und die Charakteristiken der hydrodynamischen Gleichungen lauten: 

λ + = u+c 

λ 0 = u 

λ − = u−c 

(2.28) 

bzw. 

C + dx 

: = u+c dt 

C 0 dx 

: = u 

(2.29) 

dt 

C − dx 

: = u−c dt 

wobei c die Schallgeschwindigkeit 

c 2 ≡ ∂p 

∣ 

∂ρ 

ist. 

∣ 

s 

• Für eine isentrope Strömung, d.h. für eine Strömung mit s = const. lauten die 

Riemannschen Invarianten (ρ ∗ ist eine beliebige Konstante) 

∫ ρ 

Γ ± = u± dρ ′c(ρ′ ) 

. (2.30) 

ρ ∗ 

ρ ′ 

• Für nicht isentrope Stromungen gilt 

ds 

dq = s dt 

t 

dq +s dx 

x 

dq = s t +us x = 0, 

d.h. die Entropie ist konstant auf C 0 und damit eine Riemannsche Invariante. 

dρ jetzt kein totales Differential mehr ist, kann diese Größe nicht unabhängig 

von s integriert werden. Daher gibt es im allgemeinen Fall keine 3 Riemannschen 

Invarianten. 

Da c(ρ) 

ρ


• Es ist manchmal vorteilhaft, die hydrodynamischen Gleichungen (2.25) mit Hilfe der 

sogenannten primitiven Variablen auszudrücken, die sich direkt messen lassen. 

Definiert man den Vektor der primitiven Variablen gemäß 

⎛ 

W = ⎝ 

ρ 

u 

p 

⎞ 

⎠ (2.31) 

so lauten die hydrodynamischen Gleichungen in primitiver Form 

W t +CW x = 0 , (2.32) 

wobei 

⎛ ⎞ 

u ρ 0 

C = ⎝ 1 

0 u ⎠ 

ρ 

. (2.33) 

0 ρc 2 u 

Man beachte, dass man (2.32) nicht in der Form ∂W/∂t+∂f(W)/∂x = 0 schreiben 

kann und dass die Matrix C keine Jacobi–Matrix irgendeiner Flussfunktion f(W) ist. 

• Gemäß Kapitel (2.1) lassen sich die hydrodynamischen Gleichungen in quasilinearer 

Formulierung (2.25) auch in der charakteristischen Form 

Q −1 U t +Q −1 AU x = 0. (2.34) 

schreiben, wobei 

Q −1 AQ = Λ 

gilt. 2 Λ ist eine Diagonalmatrix, deren Elemente die Eigenwerte von A sind 

⎛ 

Λ = ⎝ 

u 0 0 

0 u+c 0 

0 0 u−c 

⎞ 

⎠ . (2.35) 

2 Die Matrizen A und Λ sind demnach ähnliche Matrizen, d.h. sie besitzen die gleichen Eigenwerte aber 

nicht notwendingerweise die gleichen Eigenvektoren. Es gilt weiterhin Q −1 A = ΛQ −1 , bzw. AQ = QΛ.


Q ist eine Matrix, deren Spalten r (i) die rechten Eigenvektoren von A sind 

Q = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

u 

u ρ 2c 

ρ 

ρ 

2c 

( 

(u+c) 2c ) 

u 2 

+ c2 +cu 2 γ−1 

− ρ 2c 

− ρ 2c 

⎞ 

− ρ (u−c) ⎟ 

( 2c ) ⎠ (2.36) 

u 2 

+ c2 −cu 2 γ−1 

und Q −1 ist eine Matrix, deren Zeilen l (i) die linken Eigenvektoren von A sind 

Q −1 = γ −1 

ρc 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

( 

ρ 

c 

− u2 + c2 

2 γ−1 

u 2 

− cu 

2 γ−1 

− u2 

2 − cu 

γ−1 

) 

ρ 

c −ρ c 

γ−1 

1 

u+ c 

γ−1 

−1 

−u+ c 

Definiert man charakteristische Variablen gemäß 

⎞ 

⎟ 

⎠ . (2.37) 

dV ≡ Q −1 dU, (2.38) 

dann folgt aus (2.34) eine weitere charakteristische Form der hydrodynamischen Gleichungen 

V t +Q −1 AQV x = 0, (2.39) 

oder 

V t +ΛV x = 0 (2.40) 

Mit V = (v 0 ,v + ,v − ) gilt dann 

∂v 0 

∂t +u∂v 0 

∂x = 0 (2.41) 

∂v + 

∂t +(u+c)∂v + 

∂x = 0 (2.42) 

∂v − 

∂t +(u−c)∂v − 

= 0. 

∂x 

(2.43)


2.4 Einfache Wellen 

Wir definieren zunächst einige Begriffe, die wir für die folgenden Überlegungen benötigen. 

• Ein hydrodynamischer Zustand eines Gases ist das Tripel (ρ,u,s). 

• Ein konstanter Zustand ist Bereich in x−t–Ebene, wo ρ,u und s konstant sind. 

• Ein isentroper Bereich, in dem die Riemann Invariante Γ + bzw. Γ − konstant ist, heißt 

Γ + –einfache Welle bzw. Γ − –einfache Welle. 

• Für einen konstanten Zustand gilt: 

(i) c = const. und Γ ± existieren 

(ii) Charakteristiken sind Geraden, da u = const. und c = const. 

(iii) Charakteristiken einer Sorte sind parallel zueinander 

• Für eine Γ + –einfache Welle (und analog für eine Γ − –einfache Welle) gilt: 

(i) Γ + = const. 

(ii) Γ − = const. auf C − (da Riemann Invariante) 

(iii) u = const. und c = const. auf C − , d.h. die C − –Charakteristiken sind Geraden 

(Umkehrschluss gilt auch) 

Es gilt folgender Satz: 

AneinenkonstantenZustandgrenztentwedereineUnstetigkeitodereineeinfacheWelle 

an. Die Grenzen sind Geraden. Sie sind entweder C + ,C 0 oder C − –Charakteristiken. Ist 

die Strömung glatt, so grenzt an einen konstanten Zustand eine einfache Welle an und die 

Grenze ist eine C ± –Charakteristik 

Folgerung: Glatte Strömungen bestehen nur aus konstanten Zuständen und einfachen 

Wellen. 

2.4.1 Verdünnungs und Verdichtungswellen: 

Wir betrachten ein (ausreichend langes) Rohr, in dem sich zum Zeitpunkt t = 0 ein Gas 

im konstanten Zustand u = 0 und ρ = ρ 0 befindet. Das Rohr ist nach links hin mit einen 

Stempel abgeschlossen, der sich für t > 0 mit konstanter Geschwindigkeit v s > 0 (und 

|u| < c) nach links (x(t > 0) < 0) bewegt (siehe Abb.2.6). Infolge der Stempelbewegung, 

beginnt auch das Gas sich zu bewegen. Das zugehörige Raumzeitdiagramm ist in Abb.2.7 

dargestellt. 

Es gilt nun die Behauptung, dass die Dichte am Stempel konstant ist. Um dies zu beweisen, 

benutzt man die Charakteristiken und die oben definierten Eigenschaften einfacher 

Wellen.


Stempel 

Rohr 

−v s < 0 

t = 0: Gas mit u = 0 , ρ = ρ 0 

x = 0 

x 


konstanter 

Zustand: (III) 

t 

Γ − − einfache Welle 

(II) 

B 

C − 

C + konstanter 

Zustand: (I) 

Stempeltrajektorie: x = −v s t 

u = 0 , ρ = ρ 0 

x 

Abbildung 2.7:


• C − –Charakteristiken sind Geraden im Gebiet (I), da es ein konstanter Zustand ist, 

und sie ” 

verlassen“ das Gebiet (I), da u = 0 und ihr Anstieg 1/(−c) beträgt. 

• Das Gebiet zwischen Stempel und (I) ist eine Γ − –einfache Welle (teilweise auch ein 

konstanter Zustand). 

• Für einen beliebigen Punkt B auf der Stempeltrajektorie gilt 

Γ − B = Γ− 0 

und daher 

∫ ρ(B) 

c(ρ ′ ) 

−v s − dρ ′ = Γ − 

ρ ∗ 

ρ ′ 0 (2.44) 

bzw. 

∫ ρ(B) 

ρ ∗ 

c(ρ ′ ) 

ρ ′ dρ ′ = −v s −Γ − 0 = const 

d.h. ρ(B) ist konstant entlang der Stempeltrajektorie, da c und ρ beide größer Null 

sind. 

• Für alle Punkte B gilt 

Γ + B = −v s +(−v s −Γ − 0) = const., 

d.h. unabhängig von der gewählten C + –Charakteristik. Daher muss ein konstanter 

Zustand (III) an den Stempel angrenzen und seine andere Grenze muss eine gerade 

C + –Charakteristik sein, die vom Ursprung ausgeht. 

• Damit muss das Gebiet zwischen (I) und (III) eine Γ − –einfache Welle sein, da die 

C − –Charakteristiken aus dem konstanten Zustand (I) kommen. Weiterhin folgt, dass 

alle C + –Charakteristiken im Gebiet (II) Geraden durch den Ursprung sind. Dies 

nennt man eine zentrierte Verdünnungswelle. 

• Allgemein gilt: Eine einfache Welle, deren gerade Charakteristiken sich in einem 

Punkt schneiden heißt zentrierte Verdünnungswelle.


• Mit 

∫ ρ(B) 

ρ 0 

c(ρ ′ ) 

ρ ′ dρ ′ = 

= 

∫ ρ(B) 

c(ρ ′ ∫ 

) 

ρ0 

dρ ′ c(ρ ′ ) 

− dρ ′ (2.45) 

ρ ∗ 

ρ ′ ρ ∗ 

ρ ′ 

∫ ρ(B) 

ρ ∗ 

c(ρ ′ ) 

ρ ′ dρ ′ +Γ − 0 (2.46) 

(2.47) 

und (2.44) folgt 

∫ ρ(B) 

ρ 0 

c(ρ ′ ) 

ρ ′ dρ ′ = −v s < 0 (2.48) 

Da c > 0 und ρ > 0, folgt ρ B < ρ 0 , d.h. es handelt sich um eine Verdünnungswelle. 

• Achtung: Falls ∂c/∂ρ < 0 gilt (d.h. falls ∂ 2 p/∂ρ 2 < 0, wie z.B. für Kernmaterie oder 

Wasser) sind auch Verdichtungswellen möglich.


2.5 Schwache Lösungen und Diskontinuitäten 

Für die bisherigen Überlegungen in diesem Kapitel wurden immer stetig differenzierbare 

Lösungen, d.h. sogenannte starke Lösungen vorausgesetzt. Schreibt man die hydrodynamischen 

Gleichungen in integraler Form, so sind auch Lösungen möglich, die auf einer 

Menge vom Maße Null unstetig sind. Diese Lösungen nennt man schwache Lösungen. 

Die eindimensionalen hydrodynamischen Gleichungen in vektorieller Schreibweise (2.22) 

U t +F(U) x = 0 (2.49) 

lassen sich mit Hilfe der Definitionen 

G ≡ (F(U),U) 

und 

Div(F 1 ,F 2 ) ≡ (F 1 ) x +(F 2 ) t 

in der kompakten Form 

DivG = 0 (2.50) 

schreiben. Falls Φ eine beliebige glatte Funktion ist, gilt 

∫ 

ΦDivGdxdt = 0. 

PartielleIntegration ergibt unter der Annahme, dass G im Unendlichen hinreichend schnell 

gegen Null geht (kompakte Funktion!) 

∫ 

gradΦ·Gdxdt = 0. (2.51) 

Für glatte Lösungen U ist (2.50) äquivalent zu (2.51). Die letztere Form läßt aber auch 

unstetige Lösungen zu. Eine solche Lösung U, die für eine beliebige glatte Funktion Φ, 

die Gleichung (2.51) erfüllt, heißt schwache Lösung der Gleichung (2.51). 

Wir betrachten ein Gebiet Ω, das durch eine Unstetigkeitsfläche Σ in zwei Teilgebiete 

Ω 1 und Ω 2 unterteilt sei (Abb.2.8). Weiterhin sei Φ eine glatte Funktion, die außerhalb 

von Ω identisch Null ist. Dann folgt 

∫ 

gradΦ·Gdxdt = 0 

Ω


x 

D 

x = x(t) 

1 

n 

Ω 2 

Ω 1 

D 

1 

Σ 

t 


und damit 

∫ ∫ 

gradΦ·Gdxdt+ gradΦ·Gdxdt = 0. 

Ω 1 Ω 2 

Mit Hilfe der Vektoridentität (1.25) gilt dann 

∫ ∫ ∫ ∫ 

Div(ΦG)dxdt− ΦDivGdxdt+ Div(ΦG)dxdt− ΦDivGdxdt = 0. 

Ω 1 Ω 1 Ω 2 Ω 2 

Da DivG = 0 gilt (falls U stetig ist!) folgt unter Verwendung des Gauss’schen Satzes 

∫ ∫ 

ΦG 1 ·ndσ − ΦG 2 ·ndσ = 0 

Σ 

und damit 

∫ 

Φ(G 1 −G 2 )·ndσ = 0, 

Σ 

Σ 

wobei n der Normaleneinheitsvektor der Unstetigkeitsfläche Σ ist, der von Ω 1 nach Ω 2 

weist (Abb.2.8). Die Größe dσ ist ein differentielles Flächenelement von Σ und G i ist der 

Grenzwert von G, wenn man sich Σ vom Gebiet Ω i aus nähert.


Da Φ ein beliebige glatte Funktion ist, gilt auf der Unstetigkeitsfläche Σ 

[G·n] ≡ G 1 ·n−G 2 ·n = 0 (2.52) 

Parametrisiert man die Unstetigkeitsfläche Σ durch x = x(t) (Abb.2.8), dann ist die 

Geschwindigkeit von Σ gegeben durch 

D = dx 

dt 

und der Normalen–Einheitsvektor durch 

n = 

1 

√ 

D2 +1 e D 

x − √ 

D2 +1 e t, 

wobei e x und e t die Einheitsvektoren in x- und t–Richtung sind. Da G = (F,U), folgt aus 

(2.52) 

−D[U]+[F(U)] = 0 

oder komponentenweise 

D[ρ] = [ρu] 

D[ρu] = [ρu 2 +p] 

. (2.53) 

D[ρE] = [(ρE +p)u] 

Dies sind die Rankine–Hugoniot Bedingungen. 

• In einem Koordinatensystem, das sich mit der Unstetigkeitsfläche mitbewegt, d.h. in 

dem D = 0 gilt, lauten die Rankine–Hugoniot Bedingungen 

ρ 1 u 1 = ρ 2 u 2 

ρ 1 u 2 1 +p 1 = ρ 2 u 2 2 +p 2 

(2.54) 

u 1 (ρ 1 E 1 +p 1 ) = u 2 (ρ 2 E 2 +p 2 ) 

Die dritte Rankine–Hugoniot Bedingung läßt sich unter Verwendung der Definition 

der spezifischen Gesamtenergiedichte E = u 2 /2+ε (siehe Gl.(1.44)) und der ersten 

Rankine–Hugoniot Bedingung auch in der Form 

u 2 1 

2 +ε 1 + p 1 

ρ 1 

= u2 2 

2 +ε 2 + p 2 

ρ 2 

(2.55)


bzw. 

1 

2 (u 1 −u 2 )(u 1 +u 2 )+ε 1 −ε 2 + p 1 

ρ 1 

− p 2 

ρ 2 

= 0 (2.56) 

schreiben. 

• Der Massenfluss durch die Unstetigkeitsfläche oder Diskontinuität ist durch M = 

ρ 1 u 1 = ρ 2 u 2 gegeben. Da ρ > 0, ist im Ruhesystem von Σ ein verschwindender 

Massenfluss M = 0 gleichbedeutend mit u 1 = u 2 = 0. Unstetigkeiten mit dieser 

Eigenschaft heißen Kontaktunstetigkeiten. 

Eine Kontaktunstetigkeit ist ein Spezialfall einer tangentialen Unstetigkeit, an der im 

Falle einer mehrdimensionalen Strömung die beiden tangentialen Geschwindigkeitskomponenten 

und alle thermodynamischen Größen außer dem Druck p unstetig sein 

können. 

• Falls M ≠ 0 gilt, heißen die Lösungen Stoß oder Stoßwellen. Für diese Lösungen 

folgt aus der zweiten Rankine–Hugoniot Bedingung für den Massenfluss 

M = − p 1 −p 2 

u 1 −u 2 

(2.57) 

oder mit dem spezifischen Volumen τ ≡ 1/ρ und 

u i = Mτ i , i = 1,2 (2.58) 

die Beziehung 

M 2 = − p 1 −p 2 

τ 1 −τ 2 

(2.59) 

Man beachte, dass 

– (2.57) und (2.59) rein mechanische Beziehungen sind, die unabhängig von der 

Zustandsgleichung gelten, 

– die Gleichung (2.59) zwei Lösungstypen besitzt, nämlich einmal Lösungen mit 

p 2 > p 1 und τ 1 > τ 2 (Stoß), sowie Lösungen mit p 2 und τ 1 < τ 2 . 

– die Gerade p−p 1 = −M 2 (τ −τ 1 ) alle Möglichkeiten repräsentiert, den Zustand 

(p 1 ,τ 1 ) mit einem Stoß zu verbinden (Abb.2.9). 

Diese Gerade mit dem Anstieg −M 2 heißt Rayleigh–Linie und wird üblicherweise 

mit R(p,τ) bezeichnet.


p 

Hugoniot−Funktion H 1 

(p,τ) 

p 2 

(p 2 

, τ 2 

) 

Rayleigh−Linie R 1 

(p,τ) 

( Anstieg: − M 2 ) 

p 1 

(p 1 , τ 1 ) 

τ 2 

τ 1 


τ=1/ρ 

• Mit Hilfe von (2.57) und (2.58) folgt aus der dritten Rankine-Hugoniot Bedingung 

(2.56) die Beziehung 

− p 1 −p 2 

2M (Mτ 1 +Mτ 2 )+ε 1 −ε 2 +p 1 τ 1 −p 2 τ 2 = 0 (2.60) 

und daraus die Hugoniot–Gleichung oder Stoßadiabate 

p 1 +p 2 

(τ 1 −τ 2 )+ε 1 −ε 2 = 0 , (2.61) 

2 

die eine rein thermodynamische Beziehung darstellt. 

• Da ε = ε(p,τ) führt man die Hugoniot–Funktion zum Zentrum (p 1 ,τ 1 ) ein 

H 1 (p,τ) ≡ ε(p,τ)−ε(p 1 ,τ 1 )+ p+p 1 

(τ −τ 1 ) 

2 

und kann damit die Hugoniot–Gleichung(2.61) in der Form 

H 1 (p 2 ,τ 2 ) = 0 (2.62)


schreiben. Die Kurve H 1 (p,τ) repräsentiert alle Möglichkeiten, den Zustand (p 1 ,τ 1 ) 

mit einem Stoß zu verbinden. Im Falle einer idealen Gaszustandsgleichung (2.26) ist 

H 1 (p,τ) eine Hyperbel (Abb.2.9). 

• Für einen schwachen Stoß gilt (siehe Landau & Lifschitz, Bd.6) 

s 2 −s 1 = 1 ( ) ∂ 2 τ 

(p 

12T 1 ∂p 2 2 −p 1 ) 3 (2.63) 

1 s 

d.h. die Entropieänderung in einer Stoßwelle geringer Intensität ist von dritter Ordnung 

klein im Vergleich zur Druckänderung. 

• Für fast alle bekannten Zustandsgleichungen (Ausnahme: Phasenübergänge) nimmt 

die adiabatische Kompressibilität (∂τ/∂p) s mit zunehmendem Druck ab, d.h. 

( ∂ 2 τ 

> 0. 

∂p 2 )s 

und daher folgt mit p 2 > p 1 aus (2.63) s 2 > s 1 , d.h. die Entropie wächst in Stößen 

an. Ursache hierfür ist die Dissipation von kinetischer Energie in Wärme (selbst in 

einer idealen Flüssigkeit!). 

• Schwache Stöße, d.h. Stöße für die ∆p/p ≪ 1 und ∆ρ/ρ ≪ 1, breiten sich mit 

einer Geschwindigkeit D c 1 aus (siehe z.B. Landau & Lifschitz, Bd.6). 

• Eine notwendige Bedingung für das Auftreten von Stoßwellen ist u 1 > c 1 (d.h. Überschallströmung 

vor dem Stoß) und u 2 < c 2 (d.h. Unterschallströmung hinter dem 

Stoß), wobei die Geschwindigkeiten im Bezugssystem des Stoßes gemessen sind. 

• Es gilt folgendes allgemeines Theorem (siehe z.B. Courant & Friedrichs): 

Seien (p 1 ,τ 1 ,s 1 ) und (p 2 ,τ 2 ,s 2 ) zwei Zustände und die Zustandsgleichung erfülle die 

Bedingungen 

∂p 

∂τ < 0, 

∂ 2 p 

∂τ 2 < 0, 

∂p 

∂s > 0, 

dann und nur dann ist die Entropiebedingung ds/dt ≥ 0 erfüllt, wenn der Stoß 

kompressiv ist, d.h. wenn ρ 2 > ρ 1 und p 2 > p 1 gilt. Die Geschwindigkeiten an beiden 

Seiten des Stoßes müssen dann die Bedingungen u 2 1 > c 2 1 und u 2 2 < c 2 2 erfüllen. 

Nachdem wir nun Kontaktunstetigkeiten, Stoßwellen und ihre Eigenschaften kennengelernt 

haben, können wir eine Erweiterung des Satzes über konstante Zustände aus dem vorigen 

Unterkapitel formulieren. 

• Satz: An einen konstanten Zustand grenzt entweder eine Stoßwelle, eine Kontaktunstetigkeit 

oder eine einfache Welle an. Der Übergang zu einfachen Wellen 

findet an C ± –Charakteristiken, der zu einer Kontaktunstetigkeit dagegen an C 0 – 

Charakteristiken statt.


2.5.1 Stoßwellen in einem idealen Gas 

Im Falle einer idealen Gaszustandsgleichung (2.26) lauten die Rankine–Hugoniot Bedingungen 

unter Verwendung der Machzahl M a ≡ u/c im Bezugsystem des Stoßes 

ρ 2 

ρ 1 

= (γ +1)M2 a 1 

(γ −1)M 2 a 1 

+2 

p 2 

(2.64) 

= 2γM2 a 1 

p 1 γ +1 − γ −1 

γ +1 

(2.65) 

T 2 

= [2γM2 a 1 

−(γ −1)][(γ −1)Ma 2 1 

+2] 

T 1 (γ +1) 2 Ma 2 1 

(2.66) 

Im Grenzfall eines sehr starken Stoßes, d.h. im Grenzfall M a1 → ∞ gilt 

ρ 2 

ρ 1 

= γ +1 

γ −1 = ⎧ 

⎨ 

⎩ 

∞ für γ = 1 

7 für γ = 4/3 

4 für γ = 5/3 

, (2.67) 

sowie 

p 2 

p 1 

→ ∞ (∼ M 2 a 1 

) 

und 

T 2 

T 1 

→ ∞ (∼ M 2 a 1 

)


2.6 Das Riemann–Problem 

Ein Riemann–Problem ist ein Cauchy–Anfangswertproblem mit stückweise konstanten Anfangsbedingungen 

U t +F(U) x = 0 mit U(x,0) = w l , x < 0 und U(x,0) = w r , x > 0. (2.68) 

• Physikalische Motivation: Gas gefüllter Behälter sei durch Membran in zwei Bereiche 

getrennt, die den Druck p l und die Dichte ρ l , bzw. p r und ρ r besitzen. Das Gas ist 

in beiden Bereichen zunächst in Ruhe. Zur Zeit t = t 0 reißt die Membran. 

• Wichtig: Anfangsunstetigkeiten in ρ,u und p sind beliebig wählbar, d.h. es müssen 

keinerlei Beziehungen zwischen ihnen erfüllt sein. 

• OhneBeschränkungderAllgemeinheitkannmandaheru r = 0undp r 

Der Zerfall der Anfangsunstetigkeit A kann in drei verschiedene Kombinationen von 

Unstetigkeiten (Stoß S und tangentiale Unstetigkeit T) erfolgen, die sich voneinander entfernen: 

a) A → S ← TS → (2.69) 

d.h. zwei Stoßwellen, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten und die durch 

eine tangentiale Unstetigkeit getrennt sind. Eine solche Situation entsteht beim Zusammenstoß 

zweier Gasmassen mit großer Geschwindigkeit. 

b) A → V ← TS → (2.70) 

d.h. eine Stoßwelle und eine Verdünnungswelle, die sich in entgegengesetzter Richtung 

ausbreiten und die durch eine tangentiale Unstetigkeit gretrennt sind. Eine 

solche Situation entsteht, wenn zwei gegeneinander unbewegte Gasmassen (u l = u r ), 

die unterschiedliche Drücke besitzten, sich anfänglich berühren (Stoßrohr). 

c) A → V ← TV → (2.71) 

d.h. zwei Verdünnungswellen, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten und 

die durch eine tangentiale Unstetigkeit getrennt sind. Der Druck im Gebiet zwischen 

den beiden Verdünnungswellen kann auf Null abfallen, d.h. eine Vakuumzone kann 

entstehen. 

Die Lösung des Riemann–Problems hängt nur von den Anfangszuständen w l und w r 

sowie von dem Verhältnis ζ = x/t ab, d.h. es gilt U = U( x t ;w l,w r ). Letzteres gilt, da die 

hydrodynamischen Gleichungen forminvariant unter der Transformation 

x → x ′ = Lx 

t → t ′ = Lt 

; L > 0


sind. Die Lösung besteht aus konstanten Zuständen, die durch zentrierte Wellen (d.h. 

durch zentrierte Verdünnungswellen oder Stöße) und/oder tangentiale Unstetigkeiten getrennt 

sind. 

Als Beispiel betrachten wir nun im Detail ein Stoßrohr (siehe Abb.(2.10)) bzw. den 

Fall (2.70), und leiten die Lösung des entsprechenden Riemannproblems her. 

• Zur Lösung des Anfangswertproblems muss man 8 unbekannte Größen in den 

Gebieten (3) und (4) bestimmen (siehe Abb.2.10): ρ 3 ,p 3 ,u 3 ,ε 3 und ρ 4 ,p 4 ,u 4 ,ε 4 . 

Die konstanten Zustände links (1) und rechts(5) von der Diskontinuität sind durch 

die Anfangsbedingungen gegeben. Gebiet (2) ist eine Verdünnungswelle, die durch 

die Zustände (1) und (3) eindeutig bestimmt ist. 

• Die Unbekannten ε 3 und ε 4 sind mit Hilfe der Zustandsgleichung eliminierbar. 

• Da der Massenfluss durch die Kontaktunstetigkeit gleich null ist und da der Druck 

an der Kontaktunstetigkeit stetig ist, folgt 

u 3 = u 4 ≡ u c und p 3 = p 4 ≡ p c . 

• Damit verbleiben noch 4 Unbekannte: ρ 3 ,ρ 4 ,u c und p c , d.h. zur Lösung des Riemannproblems 

sind noch 4 weitere Bedingungen erforderlich. 

• Zwei der gesuchten vier Bedingungen ergeben sich aus den (allgemeinen) Rankine– 

HugoniotBedingungen(2.53)amStoß,dersichmitderGeschwindigkeitDausbreitet. 

m ≡ ρ 5 (D−u 5 ) = ρ 4 (D−u c ) 

m(u c −u 5 ) = p c −p 5 

m(E c −E 5 ) = p c u c −p 5 u 5 

(2.72) 

Da das Gas vor dem Stoß in Ruhe ist, d.h. da u 5 = 0 gilt, folgt für die erste Rankine– 

Hugoniot Bedingung 

m = ρ 5 D = ρ 4 (D−u c ) 

und damit für die zweite Rankine–Hugoniot Bedingung 

mu c = ρ 4 (D−u c )u c = p c −p 5 . 

Die letzte Gleichung läßt sich durch Elimination von D aus der ersten Rankine– 

Hugoniot Bedingung 

D = ρ 4u c 

ρ 4 −ρ 5


Riemann Problem: 

P 1 

ρ 1 

P 5 

ρ 5 

u 1 =0 

x D 

u 5 =0 

x 

1 2 3 4 5 

head tail 

of rarefaction 

contact 

discontinuity 

shock 

x 

t 

1 

2 

3 4 

5 

x 

Abbildung 2.10:


in der Form 

ρ 4 

( 

ρ4 u c 

ρ 4 −ρ 5 

−u c 

) 

u c = p c −p 5 

schreiben. Ein kleine Umformung ergibt schließlich die gesuchte erste Bedingung 

( 1 

(p 5 −p c ) − 1 ) 

= −u 2 c (2.73) 

ρ 5 ρ 4 

• Die dritte Rankine–Hugoniot Bedingung (2.72) kann wegen E = u 2 /2+ε in der Form 

m(ε 4 + u2 c 

2 −ε 5) = p c u c , 

bzw. nach Elimination von m und einfacher Umformung in der Form 

ε 4 −ε 5 = p c +p 5 u 2 c 

p c −p 5 2 

geschrieben werden. Mit Hilfe von (2.73) und unter der Annahme einer idealen Gaszustandsgleichung 

(2.26) eliminiert man jetzt u c bzw. ε i und erhält 

( 

1 pc 

− p ) 

5 

= p c +p 5 

(ρ 4 −ρ 5 ). 

γ −1 ρ 4 ρ 5 2ρ 4 ρ 5 

Weitere einfache Umformungen führen schließlich zu der gesuchten zweiten Bedingung 

p c −p 5 

p c +p 5 

= γ ρ 4 −ρ 5 

ρ 4 +ρ 5 

(2.74) 

• Diedritte BedingungfolgtausderTatsache,dassdieEntropieinderVerdünnungswelle, 

die eine Γ + –einfache Welle ist, konstant ist. Da für die Entropie eines idealen 

Gases s ∼ ln(p/ρ γ ) gilt, kann die dritte Bedingung in der Form 

( ) γ 

p 1 ρ1 

= 

(2.75) 

p c ρ 3 

geschrieben werden.


• Die vierte Bedingung ergibt sich aus der Tatsache, dass in einer Γ + –einfachen 

Welle die Riemann’sche Invariante 

∫ cdρ 

Γ + = u+ 

ρ 

konstant ist. Daraus folgt 

∫ ∫ 

c3 c1 

u c + dρ = u 1 + dρ. 

ρ 3 ρ 1 

Mit der Schallgeschwindigkeit c = √ γp/ρ gilt 

∫ c 

ρ dρ = 2 √ γp 

γ −1 ρ 

und damit lautet die vierte Bedingung 

u c + 2 √ γpc 

= 2 √ γp1 

(2.76) 

γ −1 ρ 3 γ −1 ρ 1 

• Kombiniert man die vier Bedingungen (2.73), (2.74), (2.75) und (2.76)), so lässt sich 

eine nicht–lineare, algebraische Gleichung für das Druckverhältnis P ≡ p c /p 5 

(bzw.fürdenDruckp c ,dap 5 durchdieAnfangsbedingungenvorgegebenist)ableiten. 

ρ 1 1 

ρ 5 λ 

(1−P) 2 

γ(1+P)−1+P = 

[ 

2γ 

1− 

(γ −1) 2 

( ] 2 

P 

2γ 

(2.77) 

λ)γ−1 

wobei λ ≡ (p 1 /p 5 ) das Druckverhältnis zwischen den beiden konstanten Anfangszuständen 

ist. Die restlichen unbekannten Größen ergeben sich aus der Lösung p c 

durch Einsetzen: ρ 4 aus (2.74), u c nach Berechnung von ρ 4 aus (2.73) und ρ 3 aus 

(2.75). 

In der folgenden Tabelle ist die Lösung von (2.77) für einige Fälle angegeben. 

λ γ = 4/3 γ = 5/3 

2 1.403 1.400 

5 2.139 2.114 

10 2.876 2.812 

20 3.786 3.653

Kapitel 2 Eigenschaften und analytische Lösungen

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