Vorlesungen „Kryptographie I und II” Bei Prof. Dr ... - Schnorr, C.P.

BEWEIS. (Satz 2.10.4)
2.10. ALLGEMEINE PROOFS OF KNOWLEDGE 41
2) ⇒ 1) : Betrachte folgende Verteilungen bzgl. r,x,z ∈ R �q, h = g x . Wir zeigen sukzessive,
dass die Verteilungen in a), b) und c) puu sind.
a) (g,h,g r ,h r ), (g,h,g r ,g z ) sind puu.
b) Zu gegebenem m ∈ G sind (g,h,g r ,mh r ), (g,h,g r ,g z ) puu.
c) Zu gegebenem m 0 ,m 1 ∈ G sind (g,h,g r ,m 0 h r ), (g,h,g r ,m 1 h r ) puu.
Es gilt a) nach Voraussetzung 2). Bei gegebenem m kann man mh r in h r überführen und
umgekehrt h r in mh r überführen. Damit sind a) und b) äquivalent. Aus b) folgt c), weil
die Relation ¬puu transitiv ist. Wären die Verteilungen in c) unentscheidbar, dann sind die
Verteilungen in b) entweder für m = m 0 oder m = m 1 unentscheidbar, im Widerspruch zu
b).
1) ⇒ 2) : Es genügt c) ⇒ b) zu zeigen. Die Verteilungen in c) bleiben puu wenn man m 1
durch eine zufällige, unbekannte Nachricht ersetzt. Durch diese Ersetzung geht c) in b)
über. �