PDF, 1MB - AG Technische Informatik - Universität Bielefeld

Universität Bielefeld 

Technische Fakultät 

AG Technische Informatik 

Bachelorarbeit 

Kompensatorbasierte Regelung eines 

balancierenden Roboters auf 

Mikrocontrollerbasis 

David Fleer 

5. November 2009 

Betreuer 

Dr.-Ing. Tim Köhler 

Dr.-Ing. Wolfram Schenck

Diese Bachelorarbeit wurde von Dr.-Ing. Tim Köhler betreut und begutachtet. 

Der zweite Gutachter war Dr.-Ing. Wolfram Schenck. 

Ich danke meinem Betreuer Dr.-Ing. Tim Köhler, der mir jederzeit mit Rat und Tat zur 

Seite stand. Zudem danke ich all jenen, die mich während dieser Arbeit auf vielfältige 

Art und Weise unterstützt haben. 

2 Universität Bielefeld, AG Technische Informatik

Inhaltsverzeichnis 


1 Einführung 5 

1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2 Einführung in den Roboter Fast A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.1 Beschreibung der neuen Sensorik . . . . . . . . . . . . . 7 

1.3 Einführung in die Regelung auf Kompensatorbasis . . . . . . . . 7 

2 Entwurf eines Kompensators für den Fast A4 9 

2.1 Modellierung des Fast A4 im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . 9 

2.2 Entwurf des Zustandsraumreglers . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.1 Beweis der Steuerbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2.2 Bestimmung der Reglermatrix K . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.3 Entwurf des Beobachters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.3.1 Beweis der Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.3.2 Bestimmung der Verstärkermatrix L . . . . . . . . . . . . 14 

3 Simulation der Kompensatorregelung 15 

3.1 Aufstellung der numerischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 15 

3.2 Simulation in Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

3.2.1 Aufbau der Simulation in Simulink . . . . . . . . . . . . . 16 

3.2.2 Ergebnisse der ersten Simulation . . . . . . . . . . . . . . 18 

4 Mikrocontroller-Implementierung der Kompensatorregelung 21 

4.1 Umformung der Reglergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

4.2 Details der Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

4.2.1 Sensorkalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

4.2.2 Messung der Servo-Offsets . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

4.2.3 Messung der translatorischen Geschwindigkeit . . . . . . 23 

4.2.4 Korrektur der Richtungsänderung . . . . . . . . . . . . . . 23 

Universität Bielefeld, AG Technische Informatik 3


5 Tests und Verbesserungen 25 

5.1 Initialer Test auf der Fast A4-Plattform . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5.2 Erweiterung der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

5.2.1 Simulation von Sensorrauschen . . . . . . . . . . . . . . 27 

5.2.2 Simulation einer Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

5.2.3 Messung der Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.3 Ergebnisse der erweiterten Simulation . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.3.1 Simulation mit Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

5.3.2 Erneute Simulation mit verbesserten Polen . . . . . . . . 31 

5.4 Korrektur des Kompensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

5.4.1 Test des korrigierten Kompensators . . . . . . . . . . . . 33 

5.5 Vergleich zu anderen Reglern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

5.5.1 Kompensator unter Nutzung aller Sensoren . . . . . . . . 35 

5.5.2 Kompensator mit direkter Verwendung der Gyroskopmessungen 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

5.6 Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

6 Zusammenfassung und Ausblick 41 

6.1 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

6.1.1 Optimierung der Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

6.1.2 Verwendung der RC-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . 42 

6.1.3 Halten einer bestimmten Position . . . . . . . . . . . . . . 42 

6.1.4 Alternative Sensorkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

A Weitere Messergebnisse 45 

B Literaturverzeichnis 55 


Einführung 

1.1 Einleitung 

1 

Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Regelungssystems, welches den 

zweirädrigen, balancierenden Roboter Fast A4 kontrolliert. Der Fast A4-Roboter ist in 

Abbildung 1.1 dargestellt und wird in Abschnitt 1.2 kurz beschrieben. 

Dabei soll ein Regler auf Basis des Zustandsraums verwendet werden. Durch die Verwendung 

eines Beobachters ist zudem eine Regelung auch dann möglich, wenn die 

vorhandenen Sensoren nicht ausreichen, um den vollständigen Zustand des Systems 

zu ermitteln. Die Grundlagen des Zustandsraumreglers und des Beobachters werden in 

Abschnitt 1.3 dargestellt. Im Anschluss an den theoretischen Entwurf des Reglers in Kapitel 

2 wird dieser zunächt in Kapitel 3 in einer Simulation getestet und dann in Kapitel 

4 für den Fast A4-Roboter implementiert. Das fertige System wird in Kapitel 5 getestet, 

wobei dabei gewonnene Erkenntnisse zur Verbesserung des Reglers eingesetzt werden. 

Abschließend erfolgt in Kapitel 6 ein Ausblick auf weitere mögliche Verbesserung und 

Erweiterungen des Systems. 

1.2 Einführung in den Roboter Fast A4 

Der Fast A4 ist ein balancierender zweirädriger Roboter, der für den Einsatz in Forschung 

und Lehre entwickelt wurde. Die ursprüngliche Entwicklung fand dabei im 

Rahmen von Fuhrmann and Tenge (2005) statt, später wurde der Roboter unter anderem 

im Rahmen von Basa et al. (2009) und Bertschik (2008) weiterentwickelt. Wie 

aus der Abbildung 1.1 ersichtlich, bewegt sich der Fast A4 auf zwei neben einander 


Abbildung 1.1: Fast A4-Roboter während einer translatorischen Bewegung. 

1 Einführung 

angebrachten Rädern fort. Jedes der beiden Räder wird über eine 28:1 Übersetzung von 

einem eigenen 24-Volt Motor angetrieben, welcher jeweils von einem Servoverstärker 

angesteuert wird. Über das von den Motoren auf das Chassis ausgeübte Drehmoment 

wird zudem der Kippwinkel des Chassis beeinflusst, was ein Balancieren des Roboters 

ermöglicht (Fuhrmann and Tenge, 2005, Seite 6). Dabei ist der maximal mögliche Kippwinkel 

durch ein nach vorne und hinten abstehendes Schutzblech mechanisch begrenzt. 

Am oberen Ende des Chassis befinden sich drei Akkus, welche die Elektronik mit 12V 

und die Antriebseinheit mit 24V Spannung versorgen. Das Gewicht der Akkus sorgt 

zudem dafür, dass der Schwerpunkt des Systems nach oben verschoben wird, was die 

Modellierung des Fast A4 als inverses Pendel ermöglicht. 

Die Steuerung des Fast A4 erfolgt über einen Mikrocontroller. Seit der Arbeit von Basa 

et al. (2009) wird hierfür ein Controller der ARM7-Familie verwendet. Ein Laser- 

Entfernungsmesser misst die Distanz zwischen einem festen Punkt am Chassis und dem 

Boden vor dem Roboter, woraus sich der Kippwinkel des Chassis ermitteln lässt. Zudem 

wird mittels eines Differenzenquotienten, also der Änderung des Kippwinkels zwischen 

zwei auf einander folgenden Messungen, die Winkelgeschwindigkeit des Chassis 

berechnet. Über zwei an den Motorachsen angebrachte Drehimpulsgeber kann die relative 

Rotation zwischen Rädern und Chassis gemessen werden, woraus in Verbindung 


1 Einführung 

mit der bereits bekannten Rotationsgeschwindigkeit des Chassis die translatorische Geschwindigkeit 

des Systems in Fahrtrichtung ermittelt werden kann. Die Interaktion des 

Benutzers mit dem Fast A4 erfolgt über ein seitlich angebrachtes vierzeiliges LCD- 

Display mit vier Tastern. Zudem können über eine handelsübliche RC-Fernsteuerung 

im laufenden Betrieb Bewegungskommandos an den Mikrocontroller gesendet werden. 

Eine serielle Schnittstelle ermöglicht die Übertragung von RAM-Programmen und das 

Herunterladen von Logdateien. 

1.2.1 Beschreibung der neuen Sensorik 

Die oben beschriebene Messung des Kippwinkels und der Winkelgeschwindigkeit über 

einen Lasersensor hat den Nachteil, dass sie einen ebenen, glatten Untergrund voraussetzt. 

Stören Hindernisse oder ein ungeeigneter Untergrund die Messung des Lasersensors 

und somit die Messung des Kippwinkels, führt dies zu einer falschen Reglerantwort, 

die oftmals mit einem Umkippen des Roboters endet. In der Arbeit von Basa et al. 

(2009) wurden daher alternative Sensoren zur Messung des Kippwinkels und der Winkelgeschwindigkeit 

untersucht. Letztendlich wurde ein Analog Devices ADXRS300 Gyroskopsensor 

(Analog Devices, Inc., 2003) gewählt, welcher eine direkte Messung der 

Winkelgeschwindigkeit des Chassis liefert. Mit dem Gyroskopsensor kann allerdings 

nur die Winkelgeschwindigkeit, nicht aber der Kippwinkel direkt gemessen werden. Daher 

muss der Kippwinkel durch einen Beobachter aus der Winkelgeschwindigkeit und 

der translatorischen Bewegung abgeschätzt werden. Im Rahmen der Arbeit wurde auch 

bereits versucht, den Gyroskopsensor zur Implementierung eines kompensatorbasierten 

Reglers zu nutzen, was allerdings nicht gelang (Basa et al., 2009, Seite 82). Später 

wurde dieser Sensor zudem als Teil von Bertschik (2008) auf eine neue Sensorplatine 

übertragen. 

1.3 Einführung in die Regelung auf Kompensatorbasis 

Ein Kompensator bezeichnet ein Regelungssystem, welches aus einem Zustandsraumregler 

und einem Beobachter besteht. Es ist jedoch möglich, diese beiden Komponenten 

zunächst getrennt zu betrachten (Dorf and Bishop, 2006). 

Der Zustandsraumregler hat dabei die Form u = −Kx. Dabei beschreibt der Vektor x 

den momentanen internen Zustand des zu regelnden Systems, wobei der Zustand x ein 

Punkt innerhalb des sogenannten Zustandsraums ist. Die als Stellwert bezeichnete Antwort 

u ergibt sich dabei durch die Multiplikation der Reglermatrix K mit dem Zustandsvektor 

x. Über den Stellwert kann der Regler Einfluss auf den Systemzustand x nehmen, 

im Fall des Fast A4 stellt die Reglerantwort u zum Beispiel das von den Motoren zu er- 


1 Einführung 

zeugende Drehmoment M dar. Aufgabe des Zustandsraumreglers ist es nun, zu jedem 

Zeitpunkt t aus dem momentanen Systemzustand x(t) einen Stellwert u(t) zu errechnen, 

so dass der Systemzustand x an einen bestimmten gewünschten Wert angeglichen wird. 

Dieser Vorgang wird als Regelung bezeichnet. Der Entwurf des Zustandsraumreglers 

über die Wahl einer passenden Matrix K wird in Abschnitt 2.2 durchgeführt. 

In vielen Systemen kann allerdings der eigentliche Systemzustand x nicht direkt gemessen 

werden. Stattdessen ist nur eine Regelgröße y bekannt, welche sich über Gleichung 

2.2 aus dem eigentlichen Systemzustand ergibt. Der Vektor y enthält somit die Größen, 

die für den Regler messbar sind. Da allerdings der Zustandsraumregler Kenntnis über 

den Systemzustand x erfordert, wird mittels eines Beobachters eine Näherung des Zustands 

ˆx aus der Regelgröße y und dem Stellwert u abgeschätzt. Die Schätzung ˆx kann 

dann als Eingabe für den Zustandsraumregler verwendet werden. Der Entwurf des Beobachters 

wird in Abschnitt 2.3 behandelt. 


Entwurf eines Kompensators für 

den Fast A4 

2 

In diesem Kapitel wird der Entwurf eines Kompensators für den Fast A4 durchgeführt. 

Dies beinhaltet die Modellierung des Fast A4 im Zustandsraum in Abschnitt 2.1 sowie 

den Entwurf des Zustandsraumreglers und des Beobachters in den Abschnitten 2.2 und 

2.3. Dabei wird für die Entwurfsschritte und -verfahren auf Kapitel 11 von Dorf and 

Bishop (2006) zurückgegriffen. 

2.1 Modellierung des Fast A4 im Zustandsraum 

Bevor der Entwurf des Zustandsraumreglers und des Beobachters möglich ist, muss das 

System, in diesem Fall also der Fast A4, zunächst im Zustandsraum modelliert werden. 

Es muss also ein physikalisches Modell des Fast A4 in der Form 

˙x = Ax + Bu, (2.1) 

y = Cx (2.2) 

gefunden werden (Dorf and Bishop, 2006). Dabei repräsentiert der Zustandsvektor x 

den internen Zustand des modellierten Systems. Der zeitliche Verlauf des Systemzustands 

ergibt sich aus der Differentialgleichung 2.1. Der Stellwert u und die Regelgröße 

y beziehen sich dabei auf die in Abschnitt 1.3 beschriebenen Größen. Die physikalische 

Modellierung des Fast A4 auf Basis eines invertierten Pendels und mit Hilfe des 

Euler-Lagrange-Ansatzes wird dabei aus Fuhrmann and Tenge (2005) übernommen: 


2 Entwurf eines Kompensators für den Fast A4 

−M = J ′ p ¨ Θp + mprL ¨ Θw − mpgLΘp − µ ˙ Θw + µ ˙ Θp 

M = J ′ w ¨ Θw + mprL ¨ Θp + µ ˙ Θw − µ ˙ Θp + δ ˙ Θw 

(2.3) 

(2.4) 

Abbildung 2.1: Schematische, nicht maßstabsgetreue Skizze des Fast A4 mit eingezeichneten 

Größen. 

Dabei ist Θw der Rotationswinkel des Rades und Θp der Rotationswinkel des Chassis. 

Beide Winkel werden relativ zur senkrechten Position und im Bogenmaß angegeben. 

Das Drehmoment zwischen Chassis und Rad M entspricht dem Stellwert u des Systems 

und kann über die Motoren beeinflusst werden. Das Trägheitsmoment des Chassis 

Jp, das Trägheitsmoment der Räder Jw, die Chassismasse mp, die Radmasse mw, der 

Radradius r, die halbe Chassishöhe L sowie die Reibungsterme δ und µ sind Konstanten, 

welche in Abschnitt 3.1 aus den empirischen Messungen von Fuhrmann and Tenge 

(2005) übernommen werden. Für alle physikalischen Größen werden die Einheiten des 

SI-Systems verwendet. Ein Teil der hier aufgeführten Größen sind in Abbildung 2.1 

veranschaulicht. 

Als Zustandsvektor des Systems wird x = ( ˙xv Θ ˙ Θ) T verwendet. Die Komponenten 

des Zustandsvektors wurden so gewählt, dass über die translatorische Geschwindigkeit 

˙xv [m/s] das System auf einer Stelle und über den den Chassis-Kippwinkel 



Θ = Θp [rad] und die Chassis-Winkelgeschwindigkeit ˙ Θ = ˙ 

Θp [rad/s] in aufrechter 

Position gehalten werden kann (Basa et al., 2009). Voraussetzung dafür ist die Steuerbarkeit 

des Systems, welche in Abschnitt 2.2.1 überprüft wird. 

Nun gilt es aus den Gleichungen 2.3 und 2.4 lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 

zu bilden, die die Komponenten des Vektors ˙x = (¨xv ˙ Θ ¨ Θ) T als Linearkombinationen 

aus den Komponenten des Vektors x und dem Stellwert M darstellen. 

Da ˙ Θ sowohl in x als auch in ˙x vorkommt, ergibt sich diese Komponente von ˙x direkt 

aus x. 

Die translatorische Geschwindigkeit ˙xv kommt weder in Gleichung 2.3 noch in Gleichung 

2.4 vor. Da allerdings für die Winkelgeschwindigkeit des Rades im Verhältnis 

zur translatorischen Geschwindigkeit ˙ Θw = ˙xv/r und analog ¨ Θw = ¨xv/r gilt, lässt sich 

˙xv durch Ersetzen von ˙ Θw und ¨ Θw in den Gleichungen 2.3 und 2.4 einführen. 

Um weitergehende Vereinfachungen zu ermöglichen, werden zudem die 

Trägheitsmomente zerlegt (Fuhrmann and Tenge, 2005): 

J ′ p = 2mpL 2 

J ′ w = 3 

2 mwr 2 + mpr 2 

Wenn nun 2.3 und 2.4 respektive nach ¨ Θp und ¨xv aufgelöst werden, so ergibt sich: 

¨Θp = − Mr + µ ˙ Θpr + mpL¨xvr − mpgLΘpr − µ ˙xv 

2rmpL 2 

¨xv = −2 −Mr + δ ˙xv + mpr 2 L ¨ Θp − µ ˙xv − µ ˙ Θpr 

r 2 (3mw + 2mp) 

(2.5) 

(2.6) 

Innerhalb dieser Gleichungen hängen jedoch ¨xv und ¨ Θp noch von einander ab. Um diese 

Abhängigkeiten aufzuheben, wird jeweils Gleichung 2.5 in Gleichung 2.6 und Gleichung 

2.6 in Gleichung 2.5 eingesetzt. Durch erneutes Auflösen und Umformen erhalten 

wir dann für ˙x = Ax + Bu folgende Matrizen: 

⎡ 

⎢ 

A = ⎣ 

−2δL−µr+2µL 

Lr2 − (3mw+mp) mpg 

3mw+mp 

µ(r+2L) 

rL(3mw+mp) 

0 0 1 

− 2mpLµ−2mpLδ−3µrmw−2µrmp 

2r 2 mpL 2 (3mw+mp) 

⎡ 

g(3mw+2mp) 

2L(3mw+mp) 

r+2L 

rL(3mw+mp) 

0 

− µ(3rmw+2mpr+2mpL) 

2rmpL 2 (3mw+mp) 

⎤ 

⎤ 

⎥ 

⎦ (2.7) 

⎢ 

B = ⎣ 

− 3rmw+2mpr+2mpL 

2rmpL2 (3mw+mp) 

⎥ 

⎦ (2.8) 



Da aus x = ( ˙xv Θ ˙ Θ) T mit den vorgesehen Sensoren nur ˙xv und ˙ Θ direkt gemessen 

werden können, ergibt sich C in Gleichung 2.2 zu 

� � 

1 0 0 

C = 

(2.9) 

0 0 1 

Durch das Aufstellen der Matrizen A, B und C lässt das Fast A4-System nun also im 

Zustandsraum durch die Gleichungen 2.1 und 2.2 beschreiben. 

2.2 Entwurf des Zustandsraumreglers 

Nachdem das System nun im Zustandsraum modelliert wurde, gilt es als nächstes einen 

passenden Kompensator zu entwerfen, welcher aus einem Zustandsregler und einem 

Beobachter besteht. Nach dem Separationsprinzip ist es möglich, Zustandsregler und 

Beobachter zunächst unabhängig von einander zu entwickeln (Dorf and Bishop, 2006, 

p. 888). Dabei soll als erstes der Zustandsregler 

u = −Kx (2.10) 

entworfen, oder genauer gesagt die Reglermatrix K bestimmt werden. Der Entwurf des 

Beobachters folgt dann in Abschnitt 2.3. 

2.2.1 Beweis der Steuerbarkeit 

Damit ein System durch eine geeignete Wahl der Stellgröße u(t) in einer endlichen 

Zeitspanne t0 ≤ t ≤ T von einem beliebigen Anfangszustand x(t0) in einen beliebig 

vorgegebenen Endzustand x(t) überführt werden kann, muss dieses System vollständig 

steuerbar sein (Dorf and Bishop, 2006, Seite 882). Dies ist dann der Fall, wenn die 

Steuerbarkeitsmatrix 

PC = � B AB A 2 B � 

vollen Rang hat. Mit Hilfe eines Computeralgebrasystems lässt sich zeigen, dass die 

3 × 3 - Matrix PC hier den Rang rank(PC) = 3 und somit vollen Rang hat. Damit ist 

das oben entwickelte System ˙x = Ax + Bu steuerbar. 

2.2.2 Bestimmung der Reglermatrix K 

Da ˙x = Ax + Bu steuerbar ist, lassen sich die Pole des geschlossenen Regelkreises 

˙x = Ax − BKx durch entsprechende Wahl der Matrix K frei verschieben. Die Pole 

sind dabei als die Nullstellen der charakteristischen Gleichung 

det(λI − (A − BK)) = 0 



definiert (Dorf and Bishop, 2006, Seite 888). 

Wird K nun so gewählt, dass die Pole alle in der linken Hälfte der komplexen s-Ebene 

liegen, so ist der geschlossene Regelkreis stabil, und es gilt x(t) → �0 wenn t → ∞ für 

jeden möglichen Anfangszustand x(t0). Um ausgehend von einer vorgegebenen Menge 

an Polen P die Matrix K passend zu ermitteln, wird hier die place-Funktion der 

Software Matlab verwendet: 

K = place(A, B, P ) (2.11) 

Dabei entspricht P den gewünschten Polen als Spaltenvektor. Im Gegensatz zur häufig 

zur Berechnung von K verwendeten Ackermann-Formel bietet der von place implementierte 

Algorithmus höhere numerische Stabilität (The MathWorks, 2005). 

2.3 Entwurf des Beobachters 

Nach dem Entwurf des Reglers in Abschnitt 2.2 muss nun als zweiter Teil des Kompensators 

ein passender Beobachter entworfen werden. Der Zustandsbeobachter für das 

System 2.1 wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben (Dorf and Bishop, 

2006, Seite 894): 

˙ˆx = Aˆx + Bu + L(y − C ˆx) (2.12) 

Dabei ist ˆx der vom Beobachter geschätzte Zustand und L stellt die Beobachterverstärkungsmatrix 

dar. Ziel ist es nun einen Beobachter zu finden, so dass ˆx(t) → x(t) 

für beliebige x(t0) und ˆx(t0) wenn t → ∞. 

2.3.1 Beweis der Beobachtbarkeit 

Ein System gilt dann als vollständig beobachtbar, wenn, jeder beliebige Anfangszustand 

x(t0) in einer endlichen Zeit 0 ≤ t < T aus dem bekannten Verlauf der Eingangs- und 

Ausgangsgrößen u(t) und y(t) bestimmbar ist (Dorf and Bishop, 2006, Seite 885). 

Allerdings ist der Beweis der Beobachtbarkeit für ein System mit nur einer Regelgröße, 

also skalarem y, einfacher durchzuführen. Wenn sich zeigen lässt, dass das System 

schon mit einer kombinierten Messung von ˙xv + ˙ Θ beobachtbar ist, dann ist offensichtlich 

auch ein System mit einer getrennten Messung von ˙xv und ˙ Θ beobachtbar, da 

sich die Summe ˙xv + ˙ Θ aus den Einzelwerten berechnen lässt. Daher wird im Rahmen 

dieses Beweises anstelle der eigentlichen Matrix C aus Gleichung 2.9 eine Hilfsmatrix 

C ′ = � 1 0 1 � 

verwendet. Die Regelgröße y = C ′ x = ˙xv + ˙ Θ ist dann nur noch ein Skalar. 



Um zu zeigen, dass ein System vollständig beobachtbar ist, reicht es zu zeigen, dass die 

Beobachtbarkeitsmatrix PO vollen Rang hat. PO ist dabei 

PO = 

⎡ 

⎣ 

C ′ 

C ′ A 

C ′ A 2 

Auch hier lässt sich mit Hilfe eines Computeralgebrasystems zeigen, dass die 3 × 3 

Matrix PO mit rank(PO) = 3 vollen Rang hat. 

2.3.2 Bestimmung der Verstärkermatrix L 

Ziel des Beobachters ist es, eine Schätzung ˆx des Systemzustands zu liefern, welche gegen 

den echten Systemzustand x konvergiert. Damit das System durch einen Kompensator 

geregelt werden kann, muss also für den Beobachterfehler e(t) bei jedem initialen 

Nachführungsfehler e(t0) folgendes gelten: 

⎤ 

⎦ 

e(t) = x(t) − ˆx(t) 

lim e(t) = 0 

t→∞ 

Dies ist dann der Fall, wenn alle Pole, d.h. Nullstellen, der charakteristischen Gleichung 

det(λI − (A − LC)) = 0 

in der linken Hälfte der s-Ebene liegen (Dorf and Bishop, 2006). 

Wenn ein System vollständig beobachtbar ist, so können die Pole der charakteristischen 

Gleichung frei verschoben werden. Damit ist es auch möglich, eine Matrix L zu finden, 

für die die Pole der charakteristischen Gleichung in der linken Hälfte der s-Ebene liegen. 

Mit einer solchen Verstärkungsmatrix würden somit die obigen Anforderungen an den 

Beobachter erfüllt werden. 

Analog zu 2.11 lässt sich auch L über die place-Funktion von Matlab gewinnen, wobei 

A ′ und C ′ den Matrizen A T und C T entsprechen(The MathWorks, 2005): 

L = place(A ′ , C ′ , P ) 


Simulation der 

Kompensatorregelung 

3 

Vor der Implementation des entworfene Kompensator auf dem Fast A4 wird zunächst 

eine numerische Simulation durchgeführt. Damit soll überprüft werden, ob der Kompensator 

zumindest für das theoretische Modell das gegebene Stabilisierungsproblem 

lößt. 

3.1 Aufstellung der numerischen Matrizen 

Zur Verwendung in einer numerischen Simulation müssen empirisch ermittelte Systemparameter 

in die oben aufgestellten Matrizen A und B (Gleichungen 2.7 und 2.8) eingesetzt 

werden. Dazu werden folgende bereits in Abschnitt 2.1 beschriebene Parameter 

aus Fuhrmann and Tenge (2005) übernommen: 

L = 0, 15m 

r = 0, 0685m 

mp = 6, 6kg 

mw = 0, 4kg 

g = 9, 81 m 

s 2 

µ = 0, 014 

δ = 0, 03 


3 Simulation der Kompensatorregelung 

Damit ergeben sich folgende numerische Lösungen für A und B: 

⎡ 

−1, 049011076 −8, 300769230 

⎤ 

0, 06437082789 

A = ⎣ 0 0 0 ⎦ (3.1) 

4, 184850260 60, 36923078 −0, 2617074734 

⎡ 

⎤ 

4, 597916278 

B = ⎣ 0 ⎦ (3.2) 

−18, 69339096 

Die Einträge der Matrizen sind dabei jeweils auf 10 Stellen genau berechnet worden. 

3.2 Simulation in Simulink 

Zur numerischen Simulation des geschlossenen Regelkreises wird die Matlab- 

Umgebung Simulink verwendet. Von dort aus lassen sich die gewonnenen Daten zur 

weiteren Analyse exportieren. 

3.2.1 Aufbau der Simulation in Simulink 

Der Simulationsaufbau in Simulink besteht aus zwei Teilen: Der Modellsimulation im 

oberen und der zu testende Kompensator im unteren Teil des Diagramms 3.1. Um einzelne 

Teile des Kompensators einfach untersuchen zu können, wurde der Kompensator 

dabei in einzelnen Blöcken aufgespalten. 

Die Pole P für Regler und Beobachter wurden für die Simulation wie folgt gewählt: 

⎡ ⎤ 

−6 + 6i 

P = ⎣−6 

− 6i⎦ 

(3.3) 

−9 

Aus praktischen Gründen wird für C statt der 2 × 3-Matrix aus Gleichung 2.9 folgende 

3 × 3 - Matrix verwendet, damit die Regelgröße y die selbe Dimensionalität wie der 

Systemzustand x hat: 

⎡ 

1 0 

⎤ 

0 

C = ⎣0 

0 0⎦ 

0 0 1 

Die über die place-Funktion berechneten Matrizen K und L sind dann (auf 6 Nachkommastellen 

genau): 

⎡ 

⎤ 

−5, 489045 

K = ⎣−12, 

810927⎦ 

, 

−2, 403387 



K*u 

Regler 

−K*x^ 

Beobachteter 

Zustand 

x^ 

1 

s 

x^ = x^’dt 

K*u 

B*u 

K*u 

A*x^ 

x^’ = 

A*x^ + B*u + L*y~ 

K*u 

C*x^ 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

y~ 

K*u 

L*y~ 

Modell 

x^ 

Beobachter− 

fehler 

y 

y~ = y − Cx^ 

Realer Zustand 

Abbildung 3.1: Simulationsaufbau in Simulink. Da Simulink innerhalb von Beschriftungen 

nur ASCII-Symbole zulässt, steht innerhalb des Diagramms xˆ für ˆx, x’ für ˙x 

und y˜ für ˜y. 

⎡ 

8, 071561 0 

⎤ 

−0, 323082 

L = ⎣−0, 

199782 0 2, 165104 ⎦ . 

3, 302255 0 11, 617721 

Während der Simulation werden der echte Zustand des Systems x, der beobachtete Zustand 

ˆx und der Schätzfehler x − ˆx gemessen. 

Die maximale Zeitschrittweite der Simulation wurde auf 1 ms festgesetzt. Dies scheint 

10 

angemessen unter der Abschätzung, dass der implementierte Regler auf dem Fast A4- 

Mikrocontroller vermutlich mit einem Intervall im Bereich von 5 ms arbeiten wird. 

Da beim Fast A4 zwar ein Start aus einer Ruhelage, nicht aber einem Gleichgewichtszustand 

vorgesehen ist, werden die beiden Geschwindigkeiten ˙xv und ˙ Θ für System und 

Beobachter mit ˙xv = 0 m 

s und ˙ Θ = 0 rad initialisiert. Als Startwert für den Systemzustand 

wurde testweise ein Kippwinkel von Θt0 = 10 ◦ ≈ 0, 17453 rad gewählt, wobei 

dieser Winkel innerhalb der am Fast A4 real möglichen Neigung liegt. Da eine direkte 

Messung des Winkels in diesem Entwurf für den Regler nicht möglich ist, wird der 

beobachtete Winkel mit ˆ Θt0 = 0 rad initialisiert. 


dx [m/s], Theta [rad] 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 

Zeit [s] 

Trans. Geschw. dx [m/s] 

Kippwinkel Theta [rad] 

Winkelgeschw. dTheta [rad/s] 


Abbildung 3.2: Wirklicher Systemzustand x(t) in der Simulation. 

3.2.2 Ergebnisse der ersten Simulation 

Wie aus Graph 3.2 ersichtlich, funktioniert der entworfene Kompensator zumindest für 

die Regelung des theoretischen Modells wie erwartet. Auch der Schätzfehler in Graph 

3.4 konvergiert wie erwartet gegen �0. 

Es ist anzunehmen, dass sich das Verhalten des Kompensators im Bezug auf Ausregelzeit 

und Überschwung durch eine Änderung der Pole noch weiter optimieren lässt. 

Zunächst soll der Kompensator jedoch auf dem Fast A4-System getestet werden, da nur 

so die Korrektheit von Modell und Simulation im Bezug auf das reale System überprüft 

werden kann. 

18 Universität Bielefeld, AG Technische Informatik 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

dTheta [rad/s]



0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 

Zeit [s] 




Abbildung 3.3: Vom Beobachter geschätzter Systemzustand ˆx(t) in der Simulation. 


0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

-0.2 

0 0.5 1 1.5 2 

-0.6 

2.5 

Zeit [s] 




Abbildung 3.4: Schätzfehler x(t) − ˆx(t) in der Simulation. 

Universität Bielefeld, AG Technische Informatik 19 

0 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

0.6 

0.45 

0.3 

0.15 

-0.15 

-0.3 

-0.45 

dTheta [rad/s] 

dTheta [rad/s]



Mikrocontroller-Implementierung 

der Kompensatorregelung 

4 

Für die Implementierung auf dem Fast A4 soll der Kompensator in der Programmiersprache 

C und als Fast A4 RAM-Programm implementiert werden. Da ein RAM- 

Programm dabei nach einer Programmierung über die serielle Schnittstelle aus dem 

Arbeitsspeicher des Mikrocontrollers heraus ausgeführt wird, kann der Regelungsalgorithmus 

des Fast A4 zur Laufzeit ausgetauscht werden, was Entwicklung und Test 

beschleunigt. 

Zwar gehen RAM-Programme beim Abschalten der Stromversorgung verloren und sind 

zudem auf 12 Kilobyte beschränkt, wenn ein Teil des RAM zudem für Logdateien verwendet 

wird (Basa et al., 2009, Seite 49). Allerdings überwiegen die oben genannten 

Vorteile diese Einschränkungen, da der Platz für den implementierten Kompensator 

ausreicht und die Alternative, eine Übertragung in den Flash-Speicher, die kurzfristige 

Modifikation des Regelalgorithmus wesentlich erschweren würde. 

4.1 Umformung der Reglergleichungen 

Um die Berechnung auf dem Mikrocontroller zu beschleunigen, werden die Gleichungen 

des Kompensators noch einmal umgeformt. Aus der Beobachtergleichung 2.12 

ergibt sich durch Einsetzen von u = −K ˆx sowie anschließender Umformung die 

Gleichung ˆ˙x = (A − BK − LC)ˆx + Ly. Durch Vorberechnung der Matrix F = 

A − BK − LC lässt sich der Rechenaufwand für den Kompensator auf die drei Matrix- 

Vektor-Multiplikationen F ˆx, Ly und −K ˆx sowie zwei Vektoradditionen reduzieren, 


4 Mikrocontroller-Implementierung der Kompensatorregelung 

was ein schnelleres und somit häufigeres Ausführen des Reglers auf dem Mikrocontroller 

möglich macht. 

4.2 Details der Implementation 

Bei der Implementation des Kompensators für dem Fast A4 gibt es eine Reihe von 

plattformspezifischen Details, die als Abweichungen vom theoretischen Modell gesondert 

behandelt werden mussten. Diese Besonderheiten und ihre Behandlung werden in 

diesem Abschnitt vorgestellt. 

4.2.1 Sensorkalibrierung 

In der Zeit vor dieser Arbeit wurden einige Modifikationen am Fast A4 vorgenommen. 

Es stellte sich in der Praxis heraus, dass die dokumentierten Nullpunkte, also die 

Sensorwerte, für die sich der Fast A4 in vertikaler Position befindet, für den Laser- 

Entfernungsmesser und für den Gyroskopsensor nicht mehr exakt zutreffen. Daher wurde 

eine Kalibrierung vorgenommen, bei der der Fast A4 auf seinen Rädern stehend 

in vertikaler Position fixiert wurde. In diesem Zustand wurden die Ausgaben der 10- 

Bit Analog/Digital-Wandler für Gyroskop- und Lasersensor gemessen. Für den Lasersensor 

ergab sich über 3011 Messwerte ein Mittelwert und somit Nullpunkt von 

µL ≈ 494, 1511 Zählern bei einer Varianz von σ 2 L ≈ 0, 2074 ≈ 0, 4770 · 10−6 rad 2 , für 

den Gyroskopsensor wurden µG ≈ 511, 9900 und σ 2 G 

≈ 0, 1959 ≈ 56, 6151 · 10−6 rad2 

s 2 

gemessen. 

Da Laser- und Gyroskopsensor über 10-Bit Analog-Digital-Wandler mit dem Mikro- 

controller verbunden sind, ist die maximal mögliche Genauigkeit beschränkt. Diese 

maximale Genauigkeit liegt bei ɛG ≈ 0, 0170 rad 

◦ 

≈ 0, 9766 für den Gyroskop- 

s 

s 

sensor und bei ɛL ≈ 1, 5060 · 10−3 rad ≈ 86, 2888 · 10−3 ◦ für den Lasersensor. 

Mit dem ADXRS300-Gyroskopsensor können dabei maximal Winkelgeschwindigkeiten 

von ±300 ◦ 

≈ ±5.2360 rad gemessen werden (Analog Devices, Inc., 2003). Alle 

s 

hier angegebenen Werte wurden auf vier Nachkommastellen gerundet. 

4.2.2 Messung der Servo-Offsets 

Ein bekanntes Problem der Fast A4-Plattform ist die Tatsache, dass die Antriebseinheit 

erst ab einer gewissen vom Mikrocontroller angelegten minimalen Steuerspannung ein 

messbares Drehmoment erzeugt. Die vom Mikrocontroller generierte Steuerspannung 

ist dabei proportional zu einem Motorbefehl, der zur Steuerung der Motoren vom RAM- 

Programm an das Basissystem des Fast A4 übergeben wurde. 

Um den minimale Motorbefehl, hier Offset genannt, zu messen, wurde nach einander 

jeweils ein langsam ansteigender Motorbefehl festgelegt. Der Betrag des Motorbefehls 



wurde alle 50 ms um 10 Zähler erhöht. Dabei wurde jeweils der Motorbefehl protokolliert, 

ab dem der jeweilige Drehimpulsgeber des Motors eine Bewegung der Motorachse 

anzeigte. Die Messung wurde für die Motoren A und B und jeweils in Vorwärtsund 

Rückwärtsrichtung separat durchgeführt. Aus zehn Messungen wurde dann der 

Mittelwert berechnet. Für Motor A, welcher das rechte Rad antreibt, ergab sich in 

Vorwärtsrichtung ein durchschnittlicher Offset von OA,F = 3350, in Rückwärtsrichtung 

ein Offset von OA,R = −3592. Für den Motor B ergab sich ein Vorwärts-Offset von 

OB,F = 2090 und ein Rückwärts-Offset von OB,R = −1970. Um diese Offsets auszugleichen, 

werden die hier gemessenen Offsets je nach Achse und Drehrichtung jeweils 

auf den vom Regler berechneten Motorbefehl aufaddiert. 

Dabei ist anzumerken, dass bei späteren Messungen des Offsets Schwankungen von 

bis zu 7% gemessen wurden. Dies hängt vermutlich von der Versorgungsspannung 

der Servoverstärker ab, welche je nach Ladezustand der Akkus variiert. Durch diese 

Schwankungen kann zu einem früheren Zeitpunkt gemessen Offset O also unter oder 

über dem momentanen Offset liegen. Wird der Offset jedoch überschätzt und sind die 

auf den vom Regler berechneten Motorbefehl aufaddierten Werte somit zu groß, so ist es 

für das System nicht mehr möglich, weniger als ein bestimmtes minimales Drehmoment 

zu erzeugen. Da das System somit gezwungen ist, sich ständig entweder vorwärts oder 

rückwärts zu bewegen, kommt es zu einer Oszillation. Um dies zu vermeiden, werden 

die Offsets O bewusst unterschätzt, wobei sich in der Praxis eine Skalierung auf 0, 8 · 

O als sinnvoller Faktor herausgestellt hat. Ein Unterschätzen des Offsets hingegen hat 

sich im Rahmen früherer Reglerimplementationen als unproblematisch erwiesen, womit 

diese Unterschätzung den oben genannten Nachteilen einer Überschätzung vorzuziehen 

ist. 

4.2.3 Messung der translatorischen Geschwindigkeit 

Zu beachten ist, dass die translatorische Geschwindigkeit ˙xv nicht direkt gemessen werden 

kann, da die Drehimpulsgeber die Rotationsgeschwindigkeit des Rades nur als ˙ Θr 

relativ zur Chassisrotation messen können. Die absolute Rotationsgeschwindigkeit des 

Rades ˙ Θw ergibt sich also nur in Verbindung mit der Winkelgeschwindigkeit des Chas- 

sis ˙ Θp. Dadurch führen Fehler bei der Messung von ˙ Θp somit implizit zu Fehlern bei 

der errechneten translatorischen Geschwindigkeit ˙xv = ˙ Θwr. 

4.2.4 Korrektur der Richtungsänderung 

In der Praxis liefern die beiden Motoren A und B bei gleichem Befehl unterschiedliche 

Drehmomente auf der jeweils rechten oder linken Radachse. Dazu kommen noch die in 

Abschnitt 4.2.2 genauer beschriebenen unterschiedlich hohen Servo-Offsets für beide 

Motoren. Wird also stets der gleiche Befehl an beide Motoren gegeben, vollführt der 



Fast A4 keine geradlinige, sondern eine Kurvenbewegung. Um dieser Bewegung entgegen 

zu steuern wurde bereits in früheren Fast A4-Projekten ein integrierender Regler 

eingesetzt. Der integrierende Regler, auch I-Regler genannt, wird auf die bestehende 

Kompensatorregelung aufgesetzt. Dabei wird über Integration der gemessenen Geschwindigkeitsdifferenz 

der beiden Räder ∆ ˙xv = ˙xrechts − ˙xlinks die Richtungsabweichung 

∆xv berechnet. Ein Anteil dieser Richtungsabweichung wird dann jeweils vom 

Motorbefehl für den rechten Motor subtrahiert beziehungsweise auf den Motorbefehl 

des linken Motors aufaddiert. Wichtig ist, dass jede Änderung des linken Motorbefehls 

an eine entgegengesetzte Änderung des rechten Motorbefehls gekoppelt ist. Das für den 

Kompensator als Stellgröße relevante Gesamtdrehmoment M bleibt also, abgesehen von 

den nicht idealen Antworten der Antriebseinheiten, annähernd unberührt. 


Tests und Verbesserungen 

5 

In diesem Kapitel wird zunächst in Abschnitt 5.1 der in Kapitel 4 implementierte Kompensator 

auf dem Fast A4 getestet. Das System zeigt jedoch in diesem Test ein unerwartetes 

und nachteilhaftes Verhalten. Um die Auswirkungen möglicher Fehlerquellen 

auf das System zu überprüfen, wird in Abschnitt 5.2 und 5.3 eine erweiterte Simulation 

durchgeführt. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse werden im Anschluss in Abschnitt 

5.4 zur Verbesserung des Kompensators genutzt. 

5.1 Initialer Test auf der Fast A4-Plattform 

Für einen ersten Test auf der Fast A4-Plattform wurden die Pole P aus Gleichung 3.3 

übernommen, da mit diesen Polen in der Simulation bereits eine funktionierende Regelung 

möglich war. Daher entsprechen auch die verwendeten Matrizen K und L denen 

in Abschnitt 3.2. 

Während des Versuchs wurden mit Hilfe der Logfunktion des Fast A4 der gemessene 

Systemzustand x, der vom Beobachter geschätzte Zustand ˆx und die aus der Schätzung 

ˆx resultierende Reglerantwort M protokolliert. Der Systemzustand x wurde dabei über 

die Drehimpulsgeber, den Laser-Entfernungsmesser und den Gyroskopsensor des Fast 

A4 gemessen. Bei der Messung der Drehimpulsgeber wurde der Wert aus den beiden 

Drehimpulsgebern gemittelt. 

Der Regelalgorithmus wurde alle 5ms aufgerufen. Dabei wurden jedoch nur die Messwerte 

aus jeweils jedem fünften Aufruf in die Logdatei geschrieben, um den Speicher 

besser ausnutzen zu können. 

Wie in Abbildung 5.1 ersichtlich, zeigt das System in der Praxis anders als erwartet 

starke Schwingungen. Dabei schwingt sich das System so weit auf, dass der für den 



1.5 

1.125 

0.75 

0.375 

0 

-0.375 

-0.75 

-1.125 

-1.5 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Zeit [s] 




4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

5 Tests und Verbesserungen 

Abbildung 5.1: Gemessener Zustand x(t) während des initialen Tests des Kompensators. 

Das System schwingt sich dabei immer weiter auf, bis der implementierte 

Regler zum Ende der Messung durch eine Sicherheitsfunktion des Basissystems 

abgebrochen wird. 

Fast A4 zulässige Kippwinkel überschritten wird. Dies führt dazu, dass der Roboter an 

einem der Schutzbleche anstößt. Zudem unterbricht das Basissystem des Fast A4 die 

Ausführung des RAM-Programms, wenn der mit dem Lasersensor gemessene Winkel 

den sicheren Bereich verlässt. Dies ist am Ende der hier gezeigten Messung der Fall. 

Zu beachten ist insbesondere, dass auch der Schätzfehler des Beobachters, wie in Abbildung 

5.3 dargestellt, eine Oszillation zeigt. Damit ist eine Regelung des Systems auf 

Basis des geschätzten Zustands ˆx nicht wie geplant möglich. Anders als in der Simulation 

in Kapitel 3 entspricht das System im Experiment also nicht den Erwartungen. 

5.2 Erweiterung der Simulation 

Da das unerwartete starke Schwingen des Systems in der Simulation nicht auftritt, 

gibt es anscheinend Teilaspekte des Systems, die im ursprünglichen Modell nicht 

berückstichtigt wurden. Daher soll versucht werden, das beobachtete Fehlverhalten in 

der Simulation zu reproduzieren, um so Hinweise auf die Fehlerquelle zu finden. 


dTheta [rad/s]


1.5 

1.125 

0.75 

0.375 

0 

-0.375 

-0.75 

-1.125 


-1.5 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Zeit [s] 




Befohlenes Drehmoment M [Nm] 

Abbildung 5.2: Geschätzter Zustand ˆx(t) und die resultierende Reglerantwort M(t) 

während des initialen Tests des Kompensators 

5.2.1 Simulation von Sensorrauschen 

Bislang wurde in der Simulation davon ausgegangen, dass Sensoren den Systemzustand 

perfekt messen können. Wie in Abschnitt 4.2.1 gezeigt, liefern Gyroskop- und Lasersensor 

jedoch verrauschte Daten. Die Drehimpulsgeber sind auf Grund ihrer Funktionsweise 

praktisch rauschfrei. Wie jedoch in Abschnitt 4.2.3 beschrieben, ist auch die über 

die Drehimpulsgeber berechnete Geschwindigkeit ˙xv wegen der Einbeziehung von ˙ Θp 

gestört. 

Um dieses Rauschen in der Simulation zu berücksichtigen, wird ein Störgröße mit gaußschem 

Rauschen eingefügt. Das gaußsche Rauschen hat dabei den Mittelwert µ = 0. 

Die Varianz σ2 G für den Gyroskopsensor wird aus den Ergebnissen der Kalibrierung in 

Abschnitt 4.2.1 übernommen. Für ˙xv ergibt sich die Varianz durch die Einberechung 

von ˙ Θp über ˙xv = ˙ Θw · r zu σ2 x = σ2 G · r2 −6 m2 

≈ 0, 2657 · 10 s2 . 


4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

dTheta [rad/s], M[Nm]


0.5 

0.375 

0.25 

0.125 

0 

-0.125 

-0.25 

-0.375 

-0.5 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Zeit [s] 





Abbildung 5.3: Schätzfehler x(t) − ˆx(t) des Beobachters während des initialen Tests des 

Kompensators. Auch hier zeigt sich ein oszillierendes Verhalten. 

5.2.2 Simulation einer Totzeit 

In der Simulation wird angenommen, dass eine Änderung Stellwerts u sofort zu einer 

Änderung des Systemzustands x und damit der Regelgröße y führt. Eine Verzögerung 

zwischen der Änderung der vom Regler vorgegebenen Stellgröße und einer Auswirkung 

dieser Änderung auf die gemessenen Regelgröße y wird als Totzeit bezeichnet. In der 

Realität gibt es eine Reihe von Faktoren, die zu einer Totzeit führen können: 

• Totzeit der Servoverstärker 

• Totzeit der Motoren 

• Totzeit der Mechanik 

• Totzeit der Sensoren 


2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

dTheta [rad/s]


• Totzeit der Signalverarbeitung und des Mikrocontrollers 

Da sich die Totzeit des Gesamtsystems aus der Summe der einzelnen Glieder ergibt, 

können kleine Totzeiten der Einzelkomponenten zu einer signifikanten Totzeit im Gesamtsystems 

führen. In der Simulink-Simulation wird diese Totzeit durch ein entsprechendes 

Totzeitglied dargestellt. 

5.2.3 Messung der Totzeit 

Für die Messung der Totzeit wird der Fast A4 bei deaktivierten Motoren nach vorne 

gekippt, so dass er auf dem vorderen Schutzblech zur Ruhe kommt. Im Anschluss werden 

beide Motoren aktiviert und mit voller Motorleistung angesteuert. Sobald einer der 

Drehimpulsgeber oder der Gyroskopsensor eine Abweichung vom Initialzustand misst, 

wird die Zeit bis zum Auftreten der ersten Abweichung für den jeweiligen Sensor protokolliert. 

Nach 18 Messungen mit einer Abtastzeit von 1 ms ergaben sich dabei eine durchschnittliche 

Totzeit von tD = 4 ms für die Messung über beide Drehimpulsgeber und eine 

durchschnittliche Totzeit von tG = 16, 4 ms für die Messung mit dem Gyroskopsensor. 

Eine mögliche Erklärung für die höhere Totzeit bei der Messung über den Gyroskopsensor 

ist eine intrinsische Zeitverzögerung des Gyroskopsensors. Zudem misst der 

Drehimpulsgeber die Bewegung der Motorachsen, während der Gyroskopsensor erst bei 

einer Bewegung des Chassis reagiert. 

Des weiteren stellte sich heraus, dass eine weitere Verringerung der Abtastzeit bei der 

Messung zu einer unerwartet hohen Verringerung der gemessenen Totzeit führt. So wurde 

bei einer Abtastzeit von 0, 1 ms nach 18 Messungen für den Gyroskopsensor eine 

Totzeit von t ′ G ≈ 11, 412 ms gemessen. Die Totzeit für Messungen über den Drehimpulsgeber 

änderte sich auf t ′ D ≈ 2, 988 ms. Die Ursache dieser Anomalie konnte jedoch 

im Rahmen dieser Arbeit nicht ermittelt werden. 

5.3 Ergebnisse der erweiterten Simulation 

Die Simulink-Simulation aus Kapitel 3 wurde nun um die in Abschnitt 5.2 eingeführten 

Elemente erweitert. Das resultierende System ist in Abbildung 5.4 dargestellt. Alle alten 

Systemparameter inklusive der Pole P wurde dabei aus Kapitel 3 übernommen, 

um Vergleichbarkeit zu gewährleisten. Zunächst wurde eine Simulation ohne Totzeit 

durchgeführt, um die Auswirkung des simulierten Sensorrauschen zu überprüfen. Dabei 

stellte sich jedoch keine wesentliche Veränderung des Systemverhaltens gegenüber 

den Ergebnissen aus Abschnitt 3.2.2 ein. 


K*u 

Regler 

−K*x^ 

Beobachteter 

Zustand 

x^ 

1 

s 

x^ = x^’dt 

K*u 

B*u 

K*u 

A*x^ 

x^’ = 

A*x^ + B*u + L*y~ 

K*u 

C*x^ 

x’ = Ax+Bu 

y = Cx+Du 

y~ 

K*u 

L*y~ 

Modell 

y 

x^ 

y~ = y − Cx^ 


Beobachter− 

fehler 

Totzeit 

Realer Zustand 

Stoergroessee 

Abbildung 5.4: Erweiterter Simulationsaufbau in Simulink. Dabei wurden die Störgröße und 

ein Totzeitglied hinzugefügt. Da Simulink innerhalb von Beschriftungen nur 

ASCII-Symbole zulässt, steht innerhalb des Diagramms xˆ für ˆx, x’ für ˙x und 

y˜ für ˜y 

5.3.1 Simulation mit Totzeit 

Wird nun das Totzeitglied in der Simulation verwendet, so zeigt das System ein oszillierendes 

Verhalten. Es ergab sich für eine Totzeit von 30 ms ein langsames Aufschwingen 

des Systems, wie aus den Graphen 5.5 und 5.6 ersichtlich ist. Zudem trat auch auch beim 

in Abbildung 5.7 dargestellten Beobachterfehler x − ˆx eine solche Oszillation auf. Des 

weiteren zeigte sich bei höheren Totzeiten ein noch stärkeres Aufschwingen, während 

das System sich für niedrige Totzeiten langsam in die Ruhelage x ≈ �0 einschwingt. 

Geringere Totzeiten führen dabei zu einem schnelleren Einschwingen. 

In der Simulation mit Totzeit zeigen also ähnliches Ergebnisse wie im Versuch aus Abschnitt 

5.1. Zu beachten ist, dass sich die Ergebnisse der Simulation nicht direkt auf das 

reale System übertragen lassen. So zeigt das simulierte System für die in Abschnitt 5.2.3 

gemessene Totzeit von tG = 16, 4 ms kein Aufschwingen, obwohl ein solches Verhalten 

im Experiment zu beobachten war. Das simulierte Modell zeigt hier also einen Fehler 

bei der Approximation des realen Systems, auch wenn sich qualitativ sowohl beim simulierten 

als auch beim realen System ein vergleichbares oszillierendes Verhalten auftritt. 




1.6 

1.2 

0.8 

0.4 

0 

-0.4 

-0.8 

-1.2 

-1.6 

0 1 2 3 4 5 -4 

Zeit [s] 




Abbildung 5.5: Wirklicher Systemzustand x(t) in der Simulation mit einer Totzeit von 30 ms. 

Dabei zeigt sich ein Aufschwingen des Systems. 

5.3.2 Erneute Simulation mit verbesserten Polen 

Im Allgemeinen gilt, dass für einen geschlossenen Regelkreis die Eigenfrequenz des 

Systems sinkt, wenn sich die Pole des Systems näher am Nullpunkt der s-Ebene befinden. 

Die Eigenfrequenz ist dabei die Frequenz der natürlichen Schwingung, mit der das 

System im ungedämpften Zustand schwingen würde. Zudem nimmt die Dämpfung des 

Systems zu, wenn sich der Imaginärteil der komplexen Pole an Null annähert (Dorf and 

Bishop, 2006). 

Durch eine Senkung der Eigenfrequenz und eine Steigerung der Dämpfung ließ sich 

das Verhalten des Kompensators im Bezug auf die Totzeit verbessern. Die Pole können 

jedoch nicht beliebig nah am Nullpunkt der komplexen s-Ebene platziert werden, da 

dies zu schwächeren Reglerantworten und somit zu längeren Ausregelzeiten führt. Als 

Ausregelzeit wird dabei die Zeit bezeichnet, nach der das System ausgehend von einem 

Anfangszustand x(t0) innerhalb eines bestimmten Bereiches um den Zielzustand 

verbleibt. 

Unter diesen Gesichtspunkten wurden für das System versuchsweise die neuen Pole 

Pn = (−4, 487417 + 0, 336285i − 6, 731126 − 4, 487417 − 0, 336285i) T ausgewählt. 

Diese Pole wurden sowohl bei der Berechnung der Matrix K des Zustandsraumreglers 

als auch für die Bestimmung der Verstärkermatrix L verwendet. Bei der erneuten 

Simulation des Systems wurden abgesehen von den neuen Polen P die selben Parame- 


4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

dTheta [rad/s]


1.6 

1.2 

0.8 

0.4 

0 

-0.4 

-0.8 

-1.2 

-1.6 

0 1 2 3 4 5 -4 

Zeit [s] 




4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 


Abbildung 5.6: Komponenten des geschätzten Systemzustands ˆx(t) in der Simulation mit 

einer Totzeit von 30 ms. 

ter wie in Abschnitt 5.3.1 verwendet. Dabei ergab sich, wie in Abbildung 5.8 bis 5.10 

dargestellt, sowohl für den eigentlichen Systemzustand x(t) wie auch für den Beobachterfehler 

x(t) − ˆx(t) eine Konvergenz gegen den gewünschten Zielzustand. 

Es ist also zumindest in der Simulation exemplarisch möglich, ein totzeitbedingtes Aufschwingen 

durch die Wahl besserer Pole Pn zu korrigieren, auch wenn sich die Ergebnisse 

der Simulation für eine bestimmte Wahl der Pole, wie in Abschnitt 5.3.1 erläutert, 

nicht direkt auf das reale System übertragen lassen. Unter dieser Erkenntnis soll nun in 

Abschnitt 5.4 der Versuch unternommen werden, auch für den realen Kompensator das 

gewünschte Verhalten zu erreichen. 

5.4 Korrektur des Kompensators 

Da, wie in Abschnitt 5.3.1 festgestellt, sich die Ergebnisse der Simulation nicht direkt 

quantitativ auf das reale System übertragen lassen, wurden eine Reihe von Polen experimentell 

getestet. Bei der Wahl der zu überprüfenden Pole wurden die Erkenntnisse aus 

Abschnitt 5.3.2 angewendet. 


dTheta [rad/s]



0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

-0.2 

0 1 2 3 4 5 -1.2 

Zeit [s] 




Abbildung 5.7: Schätzfehler x − ˆx(t) in der Simulation mit einer Totzeit von 30 ms. Dabei ist 

zu beobachten, dass neben dem System selbst auch der Beobachterfehler 

ein oszillierendes Verhalten aufweißt. 

Nach einer Reihe von Experimenten ergaben sich die folgenden Pole PK und PL jeweils 

als gute Lösung für die Reglermatrix K und die Beobachterverstärkungsmatrix L: 

PK = (−4, 999847 + 0, 039074i − 7, 499771 − 4, 999847 − 0, 039074i) T 

PL = (−2, 499924 + 0, 019537i − 3, 749885 − 2, 499924 − 0, 019537i) T 

5.4.1 Test des korrigierten Kompensators 

Das korrigierte System zeigte bei einem Test ein stabiles Verhalten. Zwar sind in Abbildung 

5.11 immer noch eindeutige Oszillationen zu erkennen, diese haben aber nur eine 

sehr geringe Amplitude: So liegt in diesem Versuch die maximal gemessene Auslenkung 

des Chassis bei Θmax ≈ 55, 95 · 10 −3 rad ≈ 3, 21 ◦ , die maximal gemessene translato- 

rischen Geschwindigkeit ˙xv,max beträgt ˙xv,max ≈ 0, 29 m. 

Die Standardabweichung des 

s 

gemessenen Kippwinkels ist σΘ ≈ 21, 35 · 10−3 rad ≈ 1, 22 ◦ , die Standardabweichung 

der translatorische Geschwindigkeit ist σxv ˙ ≈ 0, 0979 m. 

Da der Kompensator mit den 

s 

neuen Polen PK und PL die gewünschte aufrechte Lage in diesem Experiment im Mittel 

bis auf 1, 22 ◦ genau halten kann, wird das System als stabil betrachtet. 

In Abbildung 5.12 zeigt sich ein relativ träges Nachführungsverhalten für den vom Beobachter 

geschätzten Zustand ˆx. Die höherfrequenteren Bestandteile der Oszillationen 


1.2 

0.9 

0.6 

0.3 

0 

-0.3 

-0.6 

-0.9 

dTheta [rad/s]


1.6 

1.2 

0.8 

0.4 

0 

-0.4 

-0.8 

-1.2 

-1.6 

0 1 2 3 4 5 -2 

Zeit [s] 




2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 


Abbildung 5.8: Wirklicher Systemzustand x(t) in der Simulation mit einer Totzeit von 30 ms 

mit den aktualisierten Polen Pn. Anders als im Abbildung 5.5 zeigt sich kein 

Aufschwingen mehr. 

aus Abbildung 5.11 werden dabei vom Beobachter nicht erfasst, was auch aus dem Graphen 

des Beobachterfehlers 5.13 ersichtlich ist. Allerdings reagiert der Regler immer 

noch ausreichend schnell auf eine von außen einwirkende Störung. Dieses Verhalten ist 

in den Abbildungen A.4 bis A.6 dargestellt. 

Auch ist das System in der Lage, sich aus der maximal möglichen, da durch das Schutzblech 

begrenzten, Vorwärtsneigung wieder aufzurichten. Damit ist es denkbar, dass der 

Roboter zum Einsparen von Akkuleistung zeitweise durch Abschalten der Motoren in 

einer durch das Schutzblech gestützten, gekippten Ruhelage verbleiben kann. Die Graphen 

A.7 bis A.9 zeigen das Verhalten des Systems bei einem solchen Aufrichten aus 

dem vorwärts gekippten Stand. Dabei ist es notwendig, dass ausreichend viel Platz für 

die zum Aufrichten nötige Vorwärtsbewegung zur Verfügung steht. Für den Start aus 

dem rückwärts gekippten Stand konnte dieser Versuch jedoch nicht durchgeführt werden, 

da die in das Basissystem integrierte Schutzfunktion einen solch großen Kippwinkel 

nicht zulässt. 

Allerdings kann dieser Kompensator nur mit der in Abschnitt 4.2.2 beschriebenen Korrektur 

der Offsets betrieben werden. Sonst reicht, wie aus Abbildung A.10 ersichtlich, 

die durch die Polwahl abgeschwächte Reglerantwort des Kompensators nicht aus, um 

den Chassiswinkel Θ innerhalb des erlaubten Intervalls zu halten. 


dTheta [rad/s]



1.6 

1.2 

0.8 

0.4 

0 

-0.4 

-0.8 

-1.2 

-1.6 

0 1 2 3 4 5 -2 

Zeit [s] 




Abbildung 5.9: Komponenten des geschätzten Systemzustands ˆx(t) in der Simulation mit 

einer Totzeit von 30 ms bei Verwendung der aktualisierten Pole Pn. 

5.5 Vergleich zu anderen Reglern 

5.5.1 Kompensator unter Nutzung aller Sensoren 

Da es möglich ist, Gyroskopsensor und Lasersensor gleichzeitig zu verwenden, kann 

in Verbindung mit den Drehimpulsgebern der vollständige Zustand x des Systems gemessen 

werden. Bei einem vollständig messbaren Systemzustand x ist kein Beobachter 

mehr erforderlich, da der vom Regler zu ermittelnde Stellwert u direkt über die Gleichung 

2.10 berechnet werden kann. Dennoch macht es Sinn, einen Beobachter einzusetzen, 

um die Auswirkungen von Störungen der Sensoren zu vermindern (Dorf and 

Bishop, 2006). Um einen solchen Beobachter zu entwerfen, müssen nur die Entwurfsschritte 

aus Abschnitt 2.3 erneut durchgeführt werden, wobei nur die Matrix C durch 

eine 3 × 3 Einheitsmatrix ersetzt wird. 

Es wurde eine Simulation dieses Kompensators für alle drei Sensoren durchgeführt, wobei 

die selben Pole und Bedingungen wie in Abschnitt 5.3 verwendet wurden. Im Gegensatz 

zur Simulation des Kompensators ohne Lasersensor aus Abschnitt 5.3.1 zeigt 

sich hier bei gleicher simulierter Totzeit kein Aufschwingen. Dabei ist anzumerken, 

dass sich durch eine Erhöhung der simulierten Totzeit auch hier ein Aufschwingen herbeiführen 

lässt. 

Das Verhalten wurde im Experiment überprüft, wobei die Pole und alle anderen Para- 


2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

dTheta [rad/s]


0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

-0.05 

-0.1 

-0.15 

-0.2 

0 1 2 3 4 5 -1.2 

Zeit [s] 




1.2 

0.9 

0.6 

0.3 

0 

-0.3 

-0.6 

-0.9 


Abbildung 5.10: Schätzfehler x(t) − ˆx(t) in der Simulation mit einer Totzeit von 30 ms bei 

Verwendung der aktualisierten Pole Pn. Auch hier zeigt sich anders als bei 

5.7 kein Aufschwingen mehr. 

meter identisch zu denen aus Abschnitt 5.1 gewählt wurden. Hier zeigte sich unter den 

gegebenen Bedingungen ein starkes Schwingverhalten. Anders als beim Kompensator 

rein auf Basis des Gyroskopsensors und der Drehimpulsgeber in Abschnitt 5.1 bleiben 

diese Schwingungen in ihrer Amplitude jedoch innerhalb des für den Fast A4 erlaubten 

Bereiches. Die Ergebnisse dieses Versuchs sind in Abbildung A.1 bis A.3 dargestellt. 

Schlussfolgerung im Bezug auf den Totzeitfehler 

Der Kompensator mit drei Sensoren erwies sich in der Simulation als stabiler gegenüber 

totzeitbedingtem Aufschwingen. Auch im Experiment zeigte sich ein etwas stabileres 

Verhalten als beim ursprünglich entwickelten Kompensator. Ein System, welches in der 

Simulation im Bezug auf totzeitbedingte Fehler ein besseres Verhalten zeigt, weist also 

auch im Experiment ein stabileres Verhalten auf. Dies ist ein weiteres Indiz dafür, dass 

die Ursache für das in den Experimenten beobachtete Schwingungsverhalten zumindest 

zum Teil totzeitbedingt ist. 


dTheta [rad/s]



0.3 

0.225 

0.15 

0.075 

0 

-0.075 

-0.15 

-0.225 

-0.3 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -1 

Zeit [s] 




Abbildung 5.11: Gemessener Systemzustand x(t) beim Test des Kompensators mit den 

aktualisierten Polen PK und PL. Anders als im Abbildung 5.1 zeigt sich 

kein katastrophales Aufschwingen mehr, und die noch vorhandenen Oszillationen 

sind in ihrer Amplitude gering. 

5.5.2 Kompensator mit direkter Verwendung der Gyroskopmessungen 

Bei Betrachtung der Graphen in Abbildung 5.13 fällt auf, dass bei der Winkelgeschwindigkeit 

˙ Θ der Schätzfehler besonders hoch zu sein scheint. Daher wurde überprüft, 

ob ein besseres Ergebnis erzielt werden kann, wenn statt der durch den Beobachter 

geschätzten Winkelgeschwindigkeit ˙ ˆ Θ direkt die durch den Gyroskopsensor gemessene 

Winkelgeschwindigkeit ˙ Θ an den Zustandsraumregler übergeben wird. Der Beobachter 

selbst bleibt dabei unverändert. 

Wie aus Abbildung A.11 ersichtlich zeigten sich im Experiment jedoch für den derart 

modifizierte Kompensator wesentlich ausgeprägtere Oszillationen. Diese improvisierte 

Maßnahme führte also zu keiner Verbesserung des Systemverhaltens. 

5.6 Schlussfolgerung 

Insgesamt erwies sich der Entwurf des Kompensators als schwieriger als zunächst in 

der Theorie angenommen. So zeigte sich in Abschnitt 5.1 ein Schwingungsverhalten, 


1 

0.75 

0.5 

0.25 

0 

-0.25 

-0.5 

-0.75 

dTheta [rad/s]


0.3 

0.225 

0.15 

0.075 

0 

-0.075 

-0.15 

-0.225 





-0.3 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -1 

Zeit [s] 

1 

0.75 

0.5 

0.25 

0 

-0.25 

-0.5 

-0.75 


Abbildung 5.12: Komponenten des geschätzten Systemzustands ˆx(t) zusammen mit der 

Reglerantwort M beim Test unter Verwendung der aktualisierten Pole PK 

und PL. Der Beobachter ist zu träge, um den höherfrequenteren Schwingungen 

aus 5.11 zu folgen. 

welches in der in Kapitel 3 vorgestellten anfänglichen Simulation nicht auftrat und auch 

nicht mit den in Kapitel 2 gemachten Vorhersagen vereinbar ist. Das in Kapitel 2 verwendete 

Modell ist also zumindest in Teilen fehlerhaft. Allerdings war es in einer Erweiterung 

der Simulation möglich, dass beobachtete Fehlverhalten zu reproduzieren. 

Mit Hilfe der in Abschnitt 5.3.2 gewonnenen Ergebnisse war es dann möglich, in Abschnitt 

5.4 einen Kompensator zu entwickeln, der bei den Tests in Abschnitt 5.4.1 ein 

ausreichend gutes Verhalten zeigte. 

Obwohl die Entwicklung des Regelungssystems also wesentlich komplizierter war als 

ursprünglich angenommen, konnte dennoch eine Lösung für das anfänglich in Kapitel 

1.1 formulierte Problem gefunden werden. 





0.25 

0.1875 

0.125 

0.0625 

0 

-0.0625 

-0.125 

-0.1875 

-0.25 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.5 

Zeit [s] 




Abbildung 5.13: Schätzfehler x(t) − ˆx(t) des Beobachters unter Verwendung der aktualisierten 

Pole PK und PL. 


0.5 

0.375 

0.25 

0.125 

0 

-0.125 

-0.25 

-0.375 

dTheta [rad/s]



Zusammenfassung und Ausblick 

6 

Das Hauptziel der Arbeit, der Entwurf des Kompensators, konnte zunächst in Kapitel 2 

ohne Probleme durchgeführt werden. Auch im Rahmen der in Kapitel 3 durchgeführten 

Simulation zeigte sich zunächst sowohl für den Zustandsraumregler als auch für den 

Beobachter das erwartete Verhalten. Die Implementierung als RAM-Programm verlief 

wie erwartet, wobei sich bei der Implementierung herausstellte, dass bestimmte Details 

des Fast A4-Roboters beachtet werden müssen. Diese Besonderheiten wurden daher in 

Abschnitt 4.2 getrennt behandelt. 

Zudem zeigte sich nach ersten Tests in Abschnitt 5.1, dass das reale Verhalten des entworfenen 

Kompensators nicht dem gewünschten und in der Simulation aufgetretenen 

Verhalten entsprach. Statt dessen wurden starke Oszillationen beobachtet, die den Kompensator 

in seiner urpsrünglichen Fassung quasi unbrauchbar machten. Allerdings war 

es möglich, den Fehler mit Hilfe der in Abschnitt 5.2 beschriebenen Simulation zu beheben 

und so zu einem korrigierten Kompensator mit dem gewünschten Verhalten zu 

gelangen. 

6.1 Ausblick 

Auf Basis des in dieser Arbeit entworfenen Reglers sind eine Reihe von Erweiterungen 

und Verbesserungen denkbar, welche hier vorgestellt werden sollen. 

6.1.1 Optimierung der Pole 

Die im Rahmen dieser Arbeit für den Zustandsraumregler und den Beobachter verwendeten 

Pole wurden auf Basis der Ergebnisse von Simulationen oder Messungen aus- 


6 Zusammenfassung und Ausblick 

gewählt. Es ist allerdings zu erwarten, dass andere Pole existieren, die hinsichtlich von 

Ausregelzeit und Oszillation ein besseres Verhalten aufweisen. Es wäre denkbar, zum 

Auffinden solcher Pole ein systematisches Such- und Optimierungsverfahren durchzuführen. 

6.1.2 Verwendung der RC-Steuerung 

Wie in Abschnitt 1.2 bereits erwähnt, kann der Mikrocontroller Daten von zwei 

Achsen einer Funkfernsteuerung (RC-Steuerung) empfangen (Fuhrmann and Tenge, 

2005). Eine Achse der Fernsteuerung wird dabei einer Drehbewegung um die y-Achse 

des Fast A4, also einer Richtungsänderung, zugeordnet. Zur Umsetzung dieser Richungsänderung 

kann der in Abschnitt 4.2.4 beschriebene I-Regler erweitert werden, 

indem die dort verwendete Richtungsabweichung ∆xv entsprechend der RC-Eingabe 

verändert wird. 

Um die zweite Achse auf eine Vorwärts- / Rückwärtsbewegung abbilden zu können, 

muss jedoch der Kompensator erweitert werden. Dazu wird die Führungsgröße r eingeführt, 

die als Zielzustand des Systems dient. Der Kompensator soll nun also den Systemzustand 

x nicht mehr an �0 sondern an die Führungsgr¨ße r angleichen. Nach Dorf and 

Bishop (2006) lässt sich dieses Verhalten erreichen, indem die Beobachtergleichung 

2.12 zu ˙ ˆx = Aˆx + Bu + L(y − C ˆx) − Lr erweitert wird. Die Umformungen aus 

Abschnitt 4.1 lassen sich auch hier durchführen, womit sich die Beobachtergleichung 

zu ˙ ˆx = (A − BK − LC)ˆx + L(y − r) ergibt. Durch die Wahl einer entsprechenden 

Führungsgröße r kann nun die gewünschte translatorische Geschwindigkeit xv als Teil 

der Führungsgröße vorgegeben werden. 

Mit diesen Änderungen können Fahrtrichtung und Fahrtgeschwindigkeit vom Benutzer 

direkt kontrolliert werden. Von Interesse ist besonders, dass die Richtungs- und Geschwindigkeitsvorgaben 

auch aus anderen Quellen als der Funkfernsteuerung stammen 

können. Somit ist es möglich, komplexe Verhaltensweisen auf dem Fast A4 zu implementieren, 

solange sich diese auf einfache Bewegungskommandos reduzieren lassen. 

Zudem kann die optionale PC-104-Erweiterung des Fast A4 genutzt werden, um mehr 

Rechenkapazitäten für derartige Anwendungen zur Verfügung zu stellen. Da der Laser- 

Entfernungsmesser nun nicht mehr zur Regelung des Fast A4 benötigt wird, steht dieser 

Sensor für andere Aufgaben zur Verfügung. Zum Beispiel könnten mit Hilfe des Lasersensors 

Hindernisse oder Unebenheiten im Terrain erkannt werden. Allerdings war es 

im Umfang dieser Arbeit nicht mehr möglich, die Kontrolle mittels RC-Steuerung oder 

komplexere Verhaltensweisen zu implementieren oder zu testen. 

6.1.3 Halten einer bestimmten Position 

Wenn der Fast A4 um einen Sensor erweitert wird, der die Position entlang der Fahrstrecke 

messen kann, so ist es möglich, den Kompensator auch zum Halten einer be- 



stimmten Position entlang dieser Fahrstrecke zu nutzen. Dazu wird der Zustandsvektor 

x um die Position in Fahrtrichtung xv zu x = (xv ˙xv Θ ˙ Θ) T erweitert. Zudem müssen 

die Matrizen A, B, und C jeweils wie folgt erweitert werden, wobei Am,n und Bm,n sich 

auf die Einträge der Matrizen aus Gleichung 2.7 und 2.8 beziehen: 

⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

0 1 0 0 

0 

⎢ 

⎢0 

A1,1 · · · A1,3 

⎥ ⎢ 

⎥ ⎢B1,1 

⎥ 

A = ⎢ 

⎣ 

. 

0 . .. 

⎥ , B = ⎢ ⎥ 

. ⎦ ⎣ . ⎦ 

0 A3,1 · · · A3,3 B3,1 

⎡ 

1 0 0 

⎤ 

0 

C = ⎣0 

1 0 0⎦ 

0 0 0 1 

Werden nun analog zum Vorgehen in den Abschnitten 2.2.1 und 2.3.1 die Steuerbarkeitsmatrix 

PC und die Beobachtbarkeitsmatrix PO entsprechend der Gleichung 2.2.1 

und 2.3.1 für die neuen Matrizen A, B und C aufgestellt, so ergibt sich für die 4 × 4- 

Matrizen PC und PO ein voller Rang von rank(PC) = 4 und rank(PO) = 4. Dabei wurde 

für PO analog zum Vorgehen in Abschnitt 2.3.1 eine Hilfsmatrix C ′ = � 1 1 0 1 � 

verwendet. Das erweiterte System ist also steuerbar und beobachtbar, und es kann mit 

dem Reglerentwurf wie in Kapitel 2 fortgefahren werden. Da allerdings zum Zeitpunkt 

dieser Arbeit kein passender Positionssensor zur Verfügung stand, bleibt eine solche 

Weiterentwicklung als zukünftige Verbesserungsmöglichkeit offen. 

6.1.4 Alternative Sensorkonzepte 

Mit dem in Abschnitt 2.2.1 und 2.3.1 beschriebenen Vorgehen lässt sich zeigen, dass 

das System auch dann steuerbar und beobachtbar bleibt, wenn allein die Geschwindigkeit 

˙xv gemessen werden kann. Auf Sensoren zur Messung des Kippwinkels oder der 

Rotationsgeschwindigkeit des Chassis könnte dann verzichtet werden. 

Allerdings ist ein solcher Verzicht mit den momentan vorhandenen Sensoren nicht 

möglich, da, wie in Abschnitt 4.2.3 beschrieben, eine Berechnung der translatorischen 

Geschwindigkeit aus den Messungen der Drehimpulsgeber nur unter Einbeziehung der 

Rotationsgeschwindigkeit des Chassis ˙ Θ möglich ist. Eine Messung von ˙ Θ erfordert allerdings 

einen entsprechenden Sensor, so dass eine Regelung allein unter Verwendung 

der Drehimpulsgeber nicht möglich ist. Eine zukünftige Alternative bietet die Messung 

von ˙xv aus anderen Quellen. Zumindest theoretisch vorstellbar wäre eine Geschwindigkeitsmessung 

auf Basis von Kamerabildern unter Nutzung des optischen Flusses. Eine 

andere Möglichkeit ist die Ableitung der translatorischen Geschwindigkeit aus ausreichend 

genauen Positionsmessungen, welche auch für die in Abschnitt 6.1.3 beschriebene 

Erweiterung von Nutzen wären. 




Weitere Messergebnisse 


1.5 

1.125 

0.75 

0.375 

0 

-0.375 

-0.75 

-1.125 

-1.5 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Zeit [s] 




4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 


A 

Abbildung A.1: Gemessener Systemzustand x(t) bei der gleichzeitigen Nutzung von Laser- 

Entfernungsmesser und Gyroskopsensor. Dabei zeigt sich eine starke Oszillation, 

die jedoch nicht zur Katastrophe führt. 



1.5 

1.125 

0.75 

0.375 

0 

-0.375 

-0.75 

-1.125 

-1.5 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Zeit [s] 





4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

dTheta [rad/s], M[Nm] 

A Weitere Messergebnisse 

Abbildung A.2: Durch den Beobachter geschätzter Systemzustands ˆx(t) und die resultierende 

Reglerantwort M(t) für die gleichzeitige Verwendung von Laser- und 

Gyrosensor. 




0.5 

0.375 

0.25 

0.125 

0 

-0.125 

-0.25 

-0.375 

-0.5 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 

Zeit [s] 




Abbildung A.3: Schätzfehler x(t)− ˆx(t) des Beobachters bei der gleichzeitigen Verwendung 

von Laser- und Gyrosensor. Auch hier zeigt sich zwar eine Oszillation, anders 

als in Abbildung 5.3 jedoch kein katastrophales Aufschwingen. 


2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

dTheta [rad/s]


1.5 

1.125 

0.75 

0.375 

0 

-0.375 

-0.75 

-1.125 

-1.5 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 

Zeit [s] 




2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 



Abbildung A.4: Gemessener Systemzustand x(t) während des Tests der Stabilität gegenüber 

äußeren Einflüssen. Dabei wurde der Fast A4 manuell zunächst 

in Vorwärts- und dann in Rückwärtsrichtung angestossen. Beides mal kehrt 

das System wieder in eine stabile Ausgangslage zurück. 




1.5 

1.125 

0.75 

0.375 

0 

-0.375 

-0.75 

-1.125 





-1.5 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 

Zeit [s] 

Abbildung A.5: Durch den Beobachter geschätzter Systemzustands ˆx(t) und die resultierende 

Reglerantwort M(t) beim Auftreten externer Störungen. 


0.5 

0.375 

0.25 

0.125 

0 

-0.125 

-0.25 

-0.375 

-0.5 

-1 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 

Zeit [s] 




Abbildung A.6: Schätzfehler x(t) − ˆx(t) des Beobachters beim Auftreten externer 

Störungen. Das manuelle Anstoßen des Roboters führt zunächst zu einem 

größen Beobachterfehler, der dann aber wieder ausgeglichen wird. 


1 

0 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

0.75 

0.5 

0.25 

-0.25 

-0.5 

-0.75 

dTheta [rad/s], M[Nm] 

dTheta [rad/s]


2.8 

2.1 

1.4 

0.7 

0 

-0.7 

-1.4 

-2.1 

-2.8 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2.8 

Zeit [s] 




2.8 

2.1 

1.4 

0.7 

0 

-0.7 

-1.4 

-2.1 



Abbildung A.7: Gemessener Systemzustand x(t) beim Start aus der nach vorne gekippten 

Lage. Beim Aufrichten vollführt das System eine lange Vorwärtsbewegung, 

so dass ausreichend Platz zur Verfügung stehen muss. 




2.8 

2.1 

1.4 

0.7 

0 

-0.7 

-1.4 

-2.1 

-2.8 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2.8 

Zeit [s] 





Abbildung A.8: Der vom Beobachter geschätzte Systemzustands ˆx(t) zusammen mit der 

Reglerantwort M(t) beim Aufrichten aus der nach vorne gekippten Lage. 

In Kombination mit Abbildung A.7 ist zu erkennen, dass die Reglerantwort 

M und damit der geschätzte Zustand ˆx erst langsam ansteigen. Erst wenn 

das vom Regler geforderte Drehmoment eine gewisse Schwelle übersteigt, 

zeigt sich auch eine Änderung des gemessene Zustands. 


2.8 

2.1 

1.4 

0.7 

0 

-0.7 

-1.4 

-2.1 



0.5 

0.375 

0.25 

0.125 

0 

-0.125 

-0.25 

-0.375 

-0.5 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 

Zeit [s] 




2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 



Abbildung A.9: Schätzfehler x(t) − ˆx(t) beim Aufrichten des Systems aus der nach vorne 

gekippten Lage. Zu Beginn liegt ein sehr hoher Schätzfehler für den Kippwinkel 

Θ vor, da der geschätzte Kippwinkel ˆ Θ mit 0 initialisiert wird. Die in 

Abbildung A.8 dargestellte Reglerantwort M führt, wie in A.7 zu sehen, erst 

ab einer gewissen Schwelle zu einer Bewegung des realen Systems. Da M 

aber direkt in die Schätzung des Systemzustands mit einfließt, zeigt sich 

bei langsam ansteigendem M zunächst auch ein langsam ansteigender 

Schätzfehler. Dieser Fehler wird erst wieder geringer, sobald die Bewegung 

des realen Systems eintritt. 




2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

0 0.5 1 1.5 2 

Zeit [s] 




Abbildung A.10: Gemessener Systemzustand x(t) im Experiment mit dem in Abschnitt 5.4 

beschriebenem Kompensator. Dabei wurden die in Abschnitt 4.2.2 gemessenen 

Offsets jedoch nicht mit einberechnet. Es zeigt sich, dass der neue 

Kompensator ohne die Korrektur der Offsets nicht in der Lage ist, den 

Chassis-Kippwinkel Θ innerhalb des zulässigen Bereichs zu halten. Daher 

ist die Verwendung der in Abschnitt 4.2.2 beschriebenen Korrektur 

der Offsets bei diesem Kompensator zwingend erforderlich. 


2.8 

2.1 

1.4 

0.7 

0 

-0.7 

-1.4 

-2.1 

-2.8 

dTheta [rad/s]


0.3 

0.225 

0.15 

0.075 

0 

-0.075 

-0.15 

-0.225 

-0.3 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -1 

Zeit [s] 




1 

0.75 

0.5 

0.25 

0 

-0.25 

-0.5 

-0.75 



Abbildung A.11: Gemessener Systemzustand x(t) bei direkter Übergabe der gemessenen 

Winkelgeschwindigkeit ˙ Θ an den Zustandsraumregler. Die translatorische 

Geschwindigkeit ˙xv und der Kippwinkel Θ für den Zustandsraumregler 

werden weiterhin aus dem vom Beobachter geschätzten Systemzustand 

ˆx übernommen. 


LITERATURVERZEICHNIS 

Literaturverzeichnis 

Analog Devices, Inc. ADXRS300 Datenblatt Rev B., 2003. 

Basa, D., Olderdißen, J., and Winter, S. Implementierung eines Beobachter-gestützten 

Reglers für einen balancierenden Roboter. Unveröffentlichte Projekt-Dokumentation, 

AG Technische Informatik, Technische Fakultät, Universität Bielefeld, Bielefeld, 

2009. 

Bertschik, A. Bildstabilisation auf einem mobilen, balancierenden Roboter. Diplomarbeit, 

Technische Fakultät der Universität Bielefeld, 2008. 

Dorf, R. C. and Bishop, R. H. Moderne Regelungssysteme. Pearson Studium, München, 

2006. 

Fuhrmann, C. and Tenge, A. Konstruktion und Regelung eines autonomen Zweirad- 

Roboters. Diplomarbeit, Technische Fakultät der Universität Bielefeld, 2005. 

The MathWorks. Matlab-Dokumentation für Matlab Version 7.0.4, 2005. 


LITERATURVERZEICHNIS 


Hiermit versichere ich, dass ich diese Bachelorarbeit selbständig bearbeitet habe. 

Ich habe keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt und 

entsprechende Zitate kenntlich gemacht. 

Bielefeld, den 5. November 2009 

David Fleer

PDF, 1MB - AG Technische Informatik - Universität Bielefeld

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