kB - AG Technische Informatik

Technische Hochschule Ilmenau 

Fakultät INFORMATIK / AUTOMATISIERUNG 

Institut für Theoretische und Technische Informatik 

Fachbereich Neuroinformatik 

D I P L O M A R B E I T 

Thema: Beschreibung formaler neuronaler Netze als zellulare 

Automaten 

eingereicht von : Ralf Möller 

Betreuer : Dr.-Ing. H.-J. Böhme (Fachbereich Neuroinformatik) 

Dr. rer. nat. Th. Böhme (Institut für Mathematik) 

Hochschullehrer : Prof. Dr.-Ing. habil. E. Körner 

Ilmenau, den 14. Dezember 1991

TH Ilmenau / Fak. Informatik/Automatisierung / Inv.-Nr. 200–92D–28 1 

Möller, Ralf: 

Beschreibung formaler neuronaler Netze als zellulare Automaten / Möller, Ralf. — 1991. — 48 

S.: 21 Abb., 7 Tab., 14 Lit. 

Ilmenau, Technische Hochschule, Fakultät Informatik / Automatisierung, Institut für Theoretische 

und Technische Informatik, Fachbereich Neuroinformatik, Diplomarbeit 200–92D–28. 

Referat 

Ausgehend von einer qualitativen Klasseneinteilung des Verhaltens zellularer Automaten nach 

Wolfram wird ein Näherungsverfahren entwickelt, mit dem die Vorhersage des über alle möglichen 

Anfangsbelegungen gemittelten Verhaltens gelingt. 

Das Verfahren wird mathematisch beschrieben, an einer Vielzahl zellularer Automaten auf 

seine Brauchbarkeit getestet und mit einem aus der internationalen Literatur bekannten Verfahren 

verglichen. Einschränkungen der Möglichkeiten der Vorhersage des Systemverhaltens werden 

diskutiert. 

Die Aufgabe ordnet sich in ein langfristiges Forschungsprojekt ein, bei dem parallel–sequentielle 

Mechanismen der Verarbeitung visueller Information auf Grundlage neuronaler Architekturen 

untersucht werden.


Inhaltsverzeichnis 

Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen 4 

1 Einführung 5 

2 Definition zellularer Automaten 6 

2.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.2 Konfiguration, Nachbarschaft und Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.3 Zellularer Automat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.4 Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

3 Eindimensionale zellulare Automaten 10 

3.1 Alphabet und Nachbarschaftsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

3.2 Kennzeichnung der Transformationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

3.2.1 Numerierung totalsymmetrischer Transformationsfunktionen . . . . . . . 11 

3.2.2 Numerierung zentralsymmetrischer Transformationsfunktionen . . . . . . 12 

3.2.3 Ruhebedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

4 Qualitative Klasseneinteilung 13 

4.1 Klasse 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

4.2 Klasse 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

4.3 Klasse 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

4.4 Klasse 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

4.5 Regel und Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

5 Die Methode der verteilten Fraktionen 19 

5.1 Mathematische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

5.1.1 Annahmen zur Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

5.1.2 Der Algorithmus des Näherungsverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

5.2 Quantitative Klasseneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5.2.1 Zeitliches Verhalten in Klasse 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

5.2.2 Zeitliches Verhalten in Klasse 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

5.2.3 Zeitliches Verhalten in Klasse 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

5.3 Untersuchungen zur Grenzdichte in Klasse 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

5.4 Suche nach zentralsymmetrischen Klasse–4–Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

5.5 S28-20 — Kandidat für Berechnungsuniversalität ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

5.6 Ordnung – Vielfalt – Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

5.7 Untersuchungen an zweidimensionalen Automaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

5.8 Formale Schwächen des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

5.9 Vergleich mit einem einfacheren Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

6 Zusammenfassung 43 

Anhang A: Beweis zu Satz 2 44 

Anhang B: Beweis der Umkehrung von Satz 1 45


Literatur 46 

Verzeichnis der Abbildungen 47 

Verzeichnis der Tabellen 47 

Selbständigkeitserklärung 48


Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen 

Abkürzung Erklärung 

N Menge der natürlichen Zahlen außer 0 

Nm 

Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis m 

Z Menge der ganzen Zahlen 

R Menge der reellen Zahlen 

d Raumdimension 

Zd Raster des Zellularautomaten 

S Alphabet 

i Zelle des Automaten 

c(i) Zustand der Zelle 

c globale Konfiguration 

C Konfigurationsmenge 

N Nachbarschaftsindex 

νN(i) Nachbarschaft der Zelle i 

cm Konfiguration der Nachbarschaft 

F globale Transformation 

f lokale Transformation 

π Permutation 

γ (n) Menge aller Permutationen 

ΠSY Mi 

Menge bei Symmetrie bzgl. Element i erlaubter Permutationen 

b(s1, s2) Bewertungsfunktion 

Ci 

lokale Konfiguration 

cl i 

Element l der lokalen Konfiguration Ci 

P t Fraktionstupel zum Zeitpunkt t 

ˆP (Ci, Cj) Übergangsbruchteil zwischen lokalen Konfigurationen 

pt s 

Dichte der Zellen im Zustand s 

pt s1s2 

Übergangsdichte s1 → s2 zum Zeitpunkt t 

pt Dichte der Nachbarschaften im homogenen Zustand s 

Hs 

pt H 

Dichte der homogenen Nachbarschaften 

ε, ∆ reelle Abbruchgrenzen 

δ relativer Fehler 

D absoluter Fehler 

˜p01, ˜p10 

Übergangsdichten nach Wolfram 

˜pi 

Dichte der lokalen Konfiguration Ci nach Wolfram 

d–dimensionale Moore–Nachbarschaft der Reichweite r 

M (n) 

r


1 Einführung 

In [1] wird ein synchron arbeitendes Netz formaler Neuronen vorgestellt. Das beschriebene System 

ist in der Lage, Zyklen binärer Eingangsmuster auf Zyklen binärer Ausgangsmuster so 

abzubilden, daß ein ” Kontext“ in den Ausgangsmustern entsteht, der spezifisch für Reihenfolge 

und Zusammensetzung der Inputmusterzyklen ist. Damit gelingt es, den Überlagerungsgrad bei 

der Speicherung gleicher Muster, die in unterschiedlicher Reihenfolge auftreten, zu verringern. 

Kern des Systems ist ein ” dynamisches Filter“ aus einer zweidimensionalen Schicht formaler 

Neuronen. Jedes dieser Neuronen erhält Eingangssignale aus der Inputschicht und gewichtete 

Eingangssignale von Nachbarneuronen. Eine aus Erfahrungswerten gewonnene Summenbedingung 

für die zufällige Wahl der Wichtungen und die Abhängigkeit von Wichtungssumme und 

Schwellwert eines Neurons garantierte die gewünschte Funktion des Netzes. Auch der Grad des 

global–inhibitorischen Einflusses der Aktivität des letzten Zeitschrittes wurde nach Experimenten 

aus einem günstigen Wertebereich ausgewählt. 

Im Bestreben, wesentliche Eigenschaften dieses Netzes, wie zum Beispiel die Einschwingzeit 

bis zum Eintreten eines Ausgangszyklus und die Ausgangszykluslängen, aus den gegebenen 

Netzparametern (Netzgröße, Wahl der Wichtungen und Schwellwerte, Einflußgrad der globalen 

Hemmung) zu ermitteln, wurden in dieser Arbeit zunächst Untersuchungen an wesentlich einfacheren 

Systemen vorgenommen. Die Wahl fiel dabei auf zellulare Automaten aufgrund der 

Ähnlichkeit mit dem gegebenen System: 

• synchrone Berechnung des Netzes, 

• begrenzter Bereich der unmittelbaren gegenseitigen Beeinflussung der Zellen, 

• Boolesche lokale Transformationsfunktionen zur Ermittlung des Folgezustandes einer Zelle. 

Einen Zugang zur algorithmischen Beschreibung ermöglichten dabei die vorgenommenen Einschränkungen 

gegenüber dem System aus [1]: 

• für alle Zellen einheitliche lokale Transformationsfunktion, 

• fehlende Beeinflussung durch Input und globale Hemmung, 

• Annahme einer unendlichen Ausdehnung des Netzes gegenüber der in [1] beschriebenen 

Zylinderstruktur. 

Schwerpunkt in dieser Arbeit war die algorithmische Einteilung zellularer Automaten in verschiedene 

Verhaltensklassen nach einer qualititativen Einteilung von Wolfram [12]. Mit Hilfe 

eines entwickelten Näherungsverfahrens gelingt sowohl diese Einteilung als auch die Vorhersage 

mittlerer Einschwingzeiten, Abklingverläufe und Grenzverteilungen der zellularen Systeme. 

Das Näherungsverfahren wird mathematisch beschrieben, seine Brauchbarkeit an einer Vielzahl 

von Beipielen untersucht und mit einem aus der internationalen Literatur bekannten Verfahren 

verglichen. Ebenso finden aus der Fachliteratur bekannte Grenzen der Voraussagemöglichkeiten 

Beachtung.


2 Definition zellularer Automaten 

Um zunächst begriffliche Klarheit für die folgenden Betrachtungen zu schaffen, sei an dieser 

Stelle ein Teil der allgemeingültigen Definitionen aus [9] angeführt. Soweit es notwendig erscheint, 

werden die Begriffe und Definitionen näher erläutert. 

2.1 Grundlegende Definitionen 

Häufige Verwendung finden die Menge der natürlichen Zahlen außer 0 

die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis m 

die Menge der ganzen Zahlen 

N := {1, 2, . . .}, 

Nm := {1, 2, . . . , m}, 

Z := {0, ±1, ±2, . . .} 

und die Menge der reellen Zahlen R. 

Eine Alphabet ist eine endliche, nichtleere Menge. 

Aus der Definition der Menge der ganzen Zahlen wird die Definition des d–dimensionalen 

ganzen Raumes abgeleitet. Ein Element dieses Raumes kennzeichnet die Position einer Zelle im 

Gitter des Zellularautomaten. 

Z d := {(x1, x2, . . . , xd)| xi ∈ Z, i = 1, 2, . . . , d} d ∈ N 

Der Begriff Abbildung wird in dieser Arbeit synonym zum Begriff Funktion gebraucht. 

2.2 Konfiguration, Nachbarschaft und Transformation 

Definition 1 Sei S ein Alphabet. Dann heißt die Abbildung c : Z d → S eine (globale) Konfiguration. 

i ∈ Z d heißt Zelle i und c(i) wird als Zustand der Zelle i bezeichnet. 

Eine Konfiguration ist demnach eine Belegung der Zellen des Gitters mit Elementen des 

Alphabets. Die Menge C aller Abbildungen c heißt Konfigurationsmenge. 

Definition 2 Seien d, m ∈ N. 

1. Ein m-Tupel N = (n 1, n 2, n 3, . . . , n m) von paarweise verschiedenen Elementen n i ∈ Z d 

(1 ≤ i ≤ m) heißt (d–dimensionaler) Nachbarschaftsindex (vom Grade m). 

2. Ein Nachbarschaftsindex N ∈ (Z d ) m induziert eine Abbildung νN : Z d → (Z d ) m mit 

νN(i) := (i + n 1, i + n 2, . . . , i + n m). νN(i) heißt Nachbarschaft der Zelle i. 

Den Nachbarschaftsindex kann man als geordnete Menge von Vektoren des d–dimensionalen 

ganzen Raumes auffassen. Von den Koordinaten einer bestimmten Zelle i aus angetragen, bezeichnen 

diese Vektoren die Gitterkoordinaten der Nachbarzellen dieser Zelle. Alle Nachbarzellen 

gemeinsam bilden die Nachbarschaft dieser Zelle. Hier werden nur Automaten mit solchen 

Nachbarschaften betrachtet, bei denen die Zelle selbst auch zur Nachbarschaft gehört. Der entsprechende 

Vektor wäre 0 = (0, 0, . . . , 0).


Definition 3 S sei ein Alphabet, c eine Konfiguration und d, m ∈ N. N ∈ (Z d ) m sei ein 

Nachbarschaftsindex. 

c m : (Z d ) m → S m wird definiert als 

c m (i 1, i 2, . . . , i m) := (c(i 1), c(i 2), . . . , c(i m)) c ∈ C 

c m (νN(i)) heitßt Konfiguration der Nachbarschaft der Zelle i in der Konfiguration c. 

Die Konfiguration der Nachbarschaft einer Zelle gibt an, welche Werte die Nachbarzellen 

dieser Zelle bei einer bestimmten Belegung des gesamten Gitters tragen. 

Definition 4 Sei S ein Alphabet und C eine Konfigurationsmenge. 

1. Eine Abbildung f : S m → S heißt lokale Transformation. 

2. Eine Abbildung F : C → C heißt globale Transformation, wenn sie aus einer lokalen 

Transformation f und einem Nachbarschaftsindex N ∈ (Z d ) m wie folgt entsteht: 

F (c)(i) := f(c m (νN(i))) ∀ i ∈ Z d mit c ∈ C 

Unter einer lokalen Transformation kann man die Anwendung einer Funktion verstehen, 

die aus der Belegung der Nachbarzellen (einschließlich der Zelle selbst) im letzten Zeitschritt 

die Belegung der Zelle im nächsten Zeitschritt berechnet. Diese Funktion wird auch oft als 

Spielregel des zellularen Automaten bezeichnet. Die globale Transformation stellt die simultane 

Anwendung dieser Funktion auf alle Zellen des Automatengitters dar. 

2.3 Zellularer Automat 

Damit sind alle Begriffe geklärt, die zur Definition eines zellularen Automaten notwendig sind. 

Definition 5 A = (S, d, N, F ) heißt zellularer Automat, wenn gilt: 

– S ist ein Alphabet, das Zustandsalphabet von A. 

– d ∈ N ist die Raumdimension. 

– N ∈ (Z d ) m , m ∈ N ist ein d–dimensionaler Nachbarschaftsindex. 

– F : C → C ist die globale Transformation, die durch eine lokale Transformation f erzeugt 

wird. 

– Es existiert ein s0 ∈ S mit der Eigenschaft f(s0, s0, . . . , s0) = s0. s0 wird der Ruhezustand 

von A genannt. 

Die Ruhebedingung schränkt die Anzahl der möglichen Spielregeln auf solche ein, bei denen 

eine Zelle im Ruhezustand s0, deren Nachbarzellen sich ebenfalls im Ruhezustand befinden, 

diesen Zustand auch beibehält.


2.4 Invarianz 

Eine wichtige Rolle bei der Betrachtung zellularer Automaten spielen die Eigenschaften der 

lokalen Transformation. In der Menge aller lokalen Transformationen gibt es solche, bei denen es 

zum Teil ohne Bedeutung ist, von welcher Nachbarzelle der Eingabewert stammt. Zur Definition 

der speziellen Arten von lokalen Transformationen wird der Permutationsbegriff benutzt. 

Definition 6 Sei n ∈ N. 

1. Eine bijektive Abbildung (eineindeutige Abbildung von–auf) π : Nn → Nn heißt Permutation. 

2. γ (n) := {π| π : Nn → Nn und π Permutation}. 

Eine Permutation auf einem geordneten n-Tupel von Werten kommt dem Vertauschen der 

Elemente des n-Tupels gleich. γ (n) ist die Menge aller möglichen Permutationen auf einem n- 

Tupel; jedes Element aus γ (n) kann wie folgt angegeben werden: 

π = 

� 

1 2 3 . . . n 

π(1) π(2) π(3) . . . π(n) 

Mit dieser Definition gelingt nun die Klärung des Begriffs Invarianz sowie zweier spezieller 

Arten der Invarianz, der Totalsymmetrie und der Symmetrie. 

Definition 7 Sei S ein Alphabet, m ∈ N. Dann heißt eine lokale Transformation f : S m → S 

1. invariant gegenüber Π ⊆ γ (m) , falls für alle (s1, s2, . . . , sm) ∈ S m und alle π ∈ Π gilt: 

f(s1, s2, . . . , sm) = f(s π(1), s π(2), . . . , s π(m)) 

2. totalsymmetrisch, falls f invariant gegenüber γ (m) ist. 

3. symmetrisch, falls für genau ein i ∈ Nm gilt: 

f ist invariant gegenüber 

ΠSY M i := {π ∈ γ(m) | π(i) = i} 

Invarianz gegenüber einer Teilmenge Π der Menge aller Permutationen bedeutet demnach, 

daß die Argumente der lokalen Transformationsfunktion f entsprechend den in der Menge enthaltenen 

Permutationen vertauscht werden dürfen, ohne daß sich der Funktionswert ändert. 

Bei totalsymmetrischen Transformationsfunktionen (Spielregeln) liegt Invarianz gegenüber 

allen Permutationen aus γ (m) vor. Es ist damit die Herkunft der Eingabewerte ohne Bedeutung. 

Für die Ermittlung des Folgezustandes der Zelle kommt es also nur noch auf die Anzahl der 

Zellen an, die sich in einem bestimmten Zustand befinden. Hat das Alphabet S k Elemente, so 

hängt der Wert der Transformationsfunktion nur noch von k − 1 Summenwerten ab, nämlich 

von den Anzahlen der Zellen, die sich in jeweils einem von k − 1 Zuständen befinden. 

Ist die Transformationsfunktion symmetrisch, so geht nur für genau eine ausgewählte Zelle 

der Nachbarschaft der Wert unmittelbar als Argument in die Funktion f ein. Bei allen anderen 

Zellen der Nachbarschaft ist die Herkunft des Argumentes nicht von Bedeutung, es gilt das 

�


bei der Totalsymmetrie beschriebene Summationsprinzip. Eine häufig anzutreffende Form der 

Symmetrie ist ΠSY M 1 , wobei n 1 = 0. Bei dieser Symmetrieform wird nur der Wert der Zelle i 

selbst gesondert betrachtet. Diese Form der Invarianz wird im folgenden als Zentralsymmetrie 

bezeichnet. Beispiel einer solchen Symmetrie ist die Spielregel von J.H. Conways Automaten 

” LIFE“, der unter anderem in [4] beschrieben wird. 

Da bei Totalsymmetrie alle Permutationen zugelassen sind, dürfen auch die bei einer beliebigen 

Symmetrieforderung erlaubten Permutationen angewandt werden. Damit gilt: 

Satz 1 Wenn eine Transformationsfunktion totalsymmetrisch ist, so ist sie auch invariant gegenüber 

allen ΠSY M i , 1 ≤ i ≤ m. 

Das bedeutet, daß eine totalsymmetrische Transformationsfunktion auch symmetrisch bezüglich 

jedem beliebigen Element des Nachbarschaftsindex ist. Weiterhin gilt: 

Satz 2 Jede Transformationsfunktion, die invariant gegenüber ΠSY M i und invariant gegenüber 

mit i �= j (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m) ist, ist auch totalsymmetrisch. 

ΠSY M j 

Aus Satz 1 und Satz 2 folgt: 

Satz 3 Jede Transformationsfunktion, die invariant gegenüber ΠSY M i und invariant gegenüber 

ΠSY M j mit i �= j (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ m) ist, ist auch invariant gegenüber ΠSY M k 

mit 1 ≤ k ≤ m. 

für jedes k 

Ein Beweis zu Satz 2 findet sich im Anhang A. Satz 2 ergibt sich nicht durch logisches Folgern 

aus Satz 1. Auch dies wird in Anhang A gezeigt. 

Es läßt sich zeigen (siehe Anhang B), daß aus Satz 2 auch die Umkehrung von Satz 1 folgt. 

Demnach gilt: 

Satz 4 Eine Transformationsfunktion ist genau dann totalsymmetrisch , wenn sie invariant 

gegenüber allen ΠSY M i , 1 ≤ i ≤ m ist. 

In Abbildung 1 sind die Mengen aller symmetrischen und totalsymmetrischen Transformationsfunktionen 

eines Nachbarschaftsindex vom Grade m = 3 als Venn–Diagramm dargestellt.


Menge aller Regeln 

Π 

Π 

− 

SYM 

1 

inv. 

− 

SYM 

3 

inv. 

Π 

− 

SYM 

2 

inv. 

γ 

(m) −inv. 

Abbildung 1: Venn–Diagramm der Transformationsfunktionen. Bei einem Nachbarschaftsindex 

mit 3 Elementen existieren 3 Mengen symmetrischer Transformationsfunktionen, ΠSY M1 bis 

ΠSY M3 . Ihre Schnittmenge ist die Menge aller totalsymmetrischen Transformationsfunktionen. 

Die Mengen der symmetrischen Transformationsfunktionen sind nur der Anschaulichkeit halber 

etwas versetzt gezeichnet; eigentlich verlaufen die Grenzen exakt aufeinander. 

3 Eindimensionale zellulare Automaten 

3.1 Alphabet und Nachbarschaftsindex 

Zur Untersuchung der Eigenschaften zellularer Automaten werden oftmals relativ einfache, eindimensionale 

Automaten benutzt [11, 12]. Eindimensionale Automaten (Raumdimension d = 1) 

bieten den Vorteil der guten Dokumentierbarkeit von Untersuchungen; die Evolution von Konfigurationen 

kann in zweidimensionalen Diagrammen dargestellt werden. Eine Achse des Diagramms 

kennzeichnet die Gitterpositionen der Zellen, also die räumliche Dimension, die zweite 

steht für die Aufeinanderfolge der Konfigurationen unter Anwendung einer Transformation, d.h. 

für die zeitliche Dimension. 

Geht man beim Alphabet von 

S = {0, . . . , k − 1} k ∈ N (1) 

und beim Nachbarschaftsindex von einem ” geschlossenen Bereich“ 

N = {−r, −r + 1, . . . , 0, . . . , r − 1, r} r ∈ N (2) 

aus und wählt für k (Anzahl der Zustände) und r (Reichweite des Nachbarschaftsindex) kleine 

Werte (2 ≤ k ≤ 3, 1 ≤ r ≤ 3), so bleibt auch die Anzahl der möglichen Spielregeln überschaubar. 

Alle folgenden Untersuchungen wurden an einem speziellen eindimensionalen Automaten mit 

zwei Zuständen (k = 2) und einer Reichweite von r = 2 durchgeführt. Dieser Automat ist bereits


so komplex, daß wesentliche Eigenschaften erkennbar sind (so gibt es zum Beispiel Vertreter für 

alle vier Klassen der unten beschriebenen Klasseneinteilung nach Wolfram), andererseits ist er 

aber noch so einfach, daß Computer–Simulationen in vertretbarer Zeit realisierbar sind. 

3.2 Kennzeichnung der Transformationsfunktionen 

Wie bereits in Abschnitt 2.4 beschrieben wurde, kann man aus der Menge aller möglichen Transformationsfunktionen 

Teilmengen herauslösen, die bestimmten Invarianzforderungen genügen. 

Gegenstand der Betrachtungen sind hier nur totalsymmetrische und zentralsymmetrische Spielregeln, 

letztere nur in der Form ΠSY M 1 mit n 1 = 0 . Die Menge der totalsymmetrischen Transformationsfunktionen 

ist eine Teilmenge der Menge der zentralsymmetrischen Transformationsfunktionen. 

Für die Beschreibung der oben genannten Summenbedingung wird die Bewertungsfunktion 

b(s1, s2) s1, s2 ∈ S definiert. Sie liefert 1, wenn die beiden Argumente das gleiche Element des 

Alphabets bezeichnen, ansonsten 0 : 

b(s1, s2) = 

� 

1 : s1 = s2 

0 : sonst 

3.2.1 Numerierung totalsymmetrischer Transformationsfunktionen 

Wenn C eine Konfigurationsmenge, c ∈ C sowie N ein Nachbarschaftsindex gemäß (2) ist, so 

kann man eine totalsymmetrische Transformationsfunktion f durch eine Funktion fT wie folgt 

beschreiben: 

⎛ 

f(c 2r+1 (νN(i))) = fT 

⎝ 

r� 

l=−r 

b(c(i + l), 1), 

r� 

l=−r 

b(c(i + l), 2), . . . , 

r� 

l=−r 

⎞ 

(3) 

b(c(i + l), k − 1) ⎠ (4) 

Der Folgewert für die Zelle i hängt somit nur von k−1 Summen über alle Zellen der Nachbarschaft 

(einschließlich i) ab. Jede Summe gibt an, wieviele Zellen der Nachbarschaft sich in einem 

bestimmten Zustand des Alphabets befinden. Für die Charakterisierung der Konfiguration der 

Nachbarschaft reichen k − 1 Summenwerte, denn die darin nicht berücksichtigten Zellen können 

sich nur im verbleibenden Zustand 0 befinden. 

Für den hier betrachteten Automaten d = 1, k = 2, r = 2 ergibt sich aus (4): 

⎛ 

f(c 5 (νN(i))) = fT 

⎝ 

2� 

l=−2 

⎞ 

⎛ 

b(c(i + l), 1) ⎠ = fT 

⎝ 

2� 

l=−2 

⎞ 

c(i + l) ⎠ (5) 

Im diesem konkreten Beispiel bildet fT von der Menge {0, 1, 2, 3, 4, 5} in die Menge {0, 1} 

ab. Für jede mögliche Anzahl von Nachbarzellen, die sich im Zustand 1 befinden, liefert die 

Funktion genau ein Element des Alphabets, also entweder 0 oder 1. Jeder Funktion fT kann 

eineindeutig eine Zahl nT , nT ∈ {0, 1, . . . , 2 6 − 1} zugeordnet werden: 

5� 

nT = 2 

n=0 

n fT (n) (6)


Im folgenden werden totalsymmetrische Spielregeln fT durch den Buchstaben ” T“, gefolgt 

von der Zahl nT entsprechend (6) angegeben. Diese Kennzeichnung der Spielregeln entspricht 

auch der in [12] benutzten. 

3.2.2 Numerierung zentralsymmetrischer Transformationsfunktionen 

Wenn C eine Konfigurationsmenge, c ∈ C sowie N ein Nachbarschaftsindex gemäß (2) ist, so 

kann man eine zentralsymmetrische Transformationsfunktion f durch eine Funktion fS wie folgt 

beschreiben: 

f(c 2r+1 (νN(i))) = fS 

⎛ 

⎜ 

⎝c(i), 

r� 

l=−r 

l�=0 

b(c(i + l), 1), 

r� 

l=−r 

l�=0 

b(c(i + l), 2), . . . , 

r� 

l=−r 

l�=0 

⎞ 

⎟ 

b(c(i + l), k − 1) ⎠ (7) 

Der Folgewert für die Zelle i hängt somit vom aktuellen Zustand der Zelle i und von k − 1 

Summen über alle anderen Zellen der Nachbarschaft (außer i) ab. Für die Summen gilt das in 

3.2.1 gesagte. 

Für den hier betrachteten Automaten d = 1, k = 2, r = 2 ergibt sich aus (7): 

f(c 5 (νN(i))) = fS 

⎛ 

⎜ 

⎝c(i), 

2� 

l=−2 

l�=0 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

b(c(i + l), 1) ⎠ = fS ⎝c(i), 

2� 

l=−2 

l�=0 

⎞ 

⎟ 

c(i + l) ⎠ (8) 

Im diesem konkreten Beispiel bildet fS von der Menge {0, 1} × {0, 1, 2, 3, 4} in die Menge 

{0, 1} ab. Für jeden Zustand der Zelle i und für jede mögliche Anzahl von Nachbarzellen außer 

i, die sich im Zustand 1 befinden, liefert die Funktion genau ein Element des Alphabets, also 

entweder 0 oder 1. Jeder Funktion fS kann eineindeutig eine Zahlenpaar (nS0, nS1) nS0, nS1 ∈ 

{0, 1, . . . , 2 5 − 1} zugeordnet werden: 

4� 

nS0 = 2 

n=0 

n fS(0, n) (9) 

4� 

nS1 = 2 

n=0 

n fS(1, n) (10) 

Im folgenden werden zentralsymmetrische Spielregeln fS durch den Buchstaben ” S“, gefolgt 

von den Zahlen nS0 und nS1 entsprechend (9) und (10) angegeben. 

3.2.3 Ruhebedingung 

Wendet man die Ruhebedingung aus Definition 5 auf den eindimensionalen Fall an, wobei s0 = 0 

gewählt wird, so wird für totalsymmetrische Transformationsfunktionen fT (0) = 0 und für 

zentralsymmetrische Transformationsfunktionen fS(0, 0) = 0 gefordert. Damit ergeben sich im 

Fall k = 2, r = 2 gerade Werte für nT und nS0.


4 Qualitative Klasseneinteilung 

In [12] werden qualitative Eigenschaften zellularer Automaten an verschiedenen totalsymmetrischen 

Spielregeln des Automaten d = 1, k = 2, r = 2 untersucht. Die Klassifikation des 

Verhaltens erfolgt in Experimenten, bei denen die Ausgangskonfigurationen beide Elemente des 

Alphabets gleichverteilt enthalten. Das Vorgehen bei der Erzeugung von Anfangsbelegungen der 

Zellen ist beispielsweise bei zwei Zuständen (k = 2) das folgende: Für jede Zelle des Automaten 

wird eine im Intervall [0.0, 1.0] gleichverteilte Zufallszahl erzeugt. Ist diese Zahl größer 0.5, so 

erhält die Zelle den Wert 1, ansonsten den Wert 0. Eine solche Belegung wird im folgenden als 

Belegung mit gleichverteilten Zellzuständen bezeichnet. Anhand des beobachteten Verhaltens 

werden die Spielregeln des Automaten in vier Klassen eingeteilt, wobei die Vertreter ein und 

derselben Klasse qualitativ dasselbe Verhalten zeigen. 

4.1 Klasse 1 

Bei Automaten der Klasse 1 führt die Evolution (Folge von Anwendungen der globalen Transformationsfunktion) 

einer Anfangskonfiguration, bei der alle Zellzustände gleichverteilt auftreten, 

in den meisten Fällen schon nach wenigen Schritten (ein Schritt entspricht einer Anwendung 

der globalen Transformationsfunktion) in einen homogenen Endzustand, das heißt im konkreten 

Fall, die Zellen des Automaten befinden sich dann sämtlich im Zustand 0 oder sämtlich im 

Zustand 1. 

In Abbildung 2 ist die Evolution der totalsymmetrischen Klasse–1–Regel T36 ausgehend von 

einer Anfangskonfiguration mit gleichverteilten Zellzuständen dargestellt. Senkrecht angeordnet 

ist die Zeitachse, die Punktzeilen stellen die Konfigurationen des jeweiligen Zeitschrittes dar, 

die oberste Punktzeile bezeichnet die Anfangskonfiguration. Im rechten Teil der Abbildung ist 

der Anteil der 1–Belegungen am gesamten Feld für jeden Zeitschritt als Kurve dargestellt. Die 

Länge der n/N–Achse entspricht der maximal möglichen Anzahl von 1–Zellen, also der Größe 

(Anzahl der Zellen) des zellularen Automaten. 

Die dargestellten Beispiele wurden mit einem Automaten von 200 Zellen Länge erzeugt, 

wobei die Kette der Zellen zyklisch geschlossen ist. Diese zyklische Randbedingung vermeidet 

Effekte wie das ” Schrumpfen“ der Konfiguration vom Rand her, die bei einem Abbruch des 

Feldes (außenliegende Zellen werden als 0 angenommen) auftreten können. Es werden jeweils 

200 Ableitungsschritte ausgeführt. 

4.2 Klasse 2 

Bei Klasse–2–Spielregeln gehen Anfangsbelegungen mit gleichverteilten Zellzuständen in der 

Regel nach wenigen Schritten in einen konstanten Endzustand über, selten in einfache kurz– 

periodische Strukturen. Bei den totalsymmetrischen Klasse–2–Regeln entstehen in den meisten 

Fällen kleine, geschlossene 1–Gruppen auf einem überwiegend mit Nullen belegten Feld bzw. 

0–Gruppen auf einem Feld mit vielen 1–Belegungen. 

Abbildung 3 zeigt die Entstehung einer konstanten Konfiguration (Attraktorpunkt) beim 

Automaten T24.


Abbildung 2: Typisches Verhalten eines Klasse–1–Automaten, dargestellt am Beispiel der Spielregel 

T36. Die Anfangsbelegung war eine Belegung mit gleichverteilten Zellzuständen . Nach 

wenigen Schritten entsteht der homogene 0–Zustand. 

Abbildung 3: Typisches Verhalten eines Klasse–2–Automaten am Beispiel der Regel T24. Aus 

einem Anfangszustand mit gleichverteilten Zellzuständen entsteht eine Konfiguration, die über 

alle folgenden Schritte erhalten bleibt.


4.3 Klasse 3 

Die Ableitung von Anfangskonfigurationen mit gleichverteilten Zellzuständen nach Spielregeln 

der Klasse 3 erzeugt chaotische Muster, in denen allerdings regelmäßige räumlich–zeitliche Figuren 

auftreten, z.B. Dreiecke verschiedener Größe. Auf endlichen Automaten pendelt der Bruchteil 

der 1–Zellen nach dem Einschwingvorgang um einen Gleichgewichtswert. (Fraglich ist, ob sich 

bei Automaten mit unendlicher Ausdehnung der Gleichgewichtswert selbst einstellt oder ob der 

Bruchteil der 1–Zellen ebenso um diesen Wert schwankt.) 

Als Beispiel für Klasse–3–Verhalten ist in Abbildung 4 die Evolution einer Anfangsbelegung 

mit gleichverteilten Zellzuständen durch den Automaten T6 dargestellt. 

Abbildung 4: Evolution einer Anfangsbelegung mit gleichverteilten Zellzuständen durch den 

Automaten T6, einem Vertreter der Klasse 3. Es entstehen chaotische Muster, in denen aber 

Regelmäßigkeiten erkennbar sind. 

Bei Spielregeln der Klasse 3 wachsen endliche 1–Belegungen auf einem (gedanklich) unendlich 

großen 0–Zellen–Feld (alle anderen Zellen befinden sich im Ruhezustand s0 = 0) in der 

Regel unbegrenzt, d.h. der Anteil der 1–Zellen wächt über alle Grenzen. In Abbildung 5 ist die 

Ableitung einer Anfangsbelegung dargestellt, bei der die Zellzustände auf 50 Zellen gleichverteilt 

auftreten und alle anderen Zellen den Zustand 0 innehaben. Bis zum Erreichen der Feldgrenzen 

steigt der Anteil der 1–Zellen im Mittel an. Dann schwankt die Dichte um einen Wert. 

4.4 Klasse 4 

Klasse–4–Regeln zeigen bei der Ableitung von Initialkonfigurationen mit gleichverteilten Zellzuständen 

ein sehr interessantes Verhalten. In den meisten Fällen entstehen oft getrennte räumlich–zeitliche 

Gebilde mit langer Lebensdauer. Unter diesen gibt es solche, die (nach einer relativ 

langen Zeit) verschwinden, andere gehen in konstante Endzustände über, wiederum andere erzeugen 

langperiodische Figuren. Es sind sogar periodische Strukturen zu entdecken, die sich nach 

einer Periode um eine bestimmte Anzahl von Zellen verschoben haben. Im allgemeinen ändert 

sich die Anzahl der 1–Zellen auch bei endlichen Anfangsbelegungen nur langsam mit der Zeit.


Abbildung 5: Endliche initiale Konfigurationen auf einem leeren Feld wachsen unbegrenzt; die 

Dichte der 1–Zellen steigt über alle endlichen Grenzen. In der Simulation, hier Regel T6 auf 

einem Feld mit 200 Zellen, endet der Wachstumsprozeß, wenn die Feldgrenzen erreicht sind. 

In Abbildung 6 sind verschwindende, periodische und wandernde Gebilde bei der Regel T20 

sichtbar. Die beiden letzteren sind allerdings bei dieser Regel im Vergleich zu Gebilden der 

erstgenannten Art relativ selten. Meist versiegt die Evolution im homogenen Nullzustand. 

Man vermutet unter den Klasse–4–Automaten solche, die die Fähigkeit zur universellen Berechnung 

aufweisen, d.h. sie wären (Turingmaschine, siehe z.B. [6]) zu jedem endlichen Berechnungsprozeß 

fähig. Für den oben erwähnten zweidimensionalen Conway-Automaten ( ” LIFE“) 

wurde die Universalität bewiesen, indem man zeigte, daß sich mit bestimmten Konfigurationen 

die Baugruppen eines Digitalrechners nachbilden lassen. Für einfache Automaten wie den 

hier untersuchten (d = 1, k = 2, r = 2) wurde bis jetzt kein Beweis erbracht; der einfachste 

eindimensionale Automat, für den die Berechnungsuniversalität nachgewiesen wurde, ist 

d = 1, k = 18, r = 1 ([13]). 

Eine weitere Methode, um die Berechnungsuniversalität eines zellularen Automaten zu zeigen, 

ist der Beweis, daß mit diesem Automaten ein anderer Zellularautomat simuliert werden 

kann, dessen Berechnungsuniversalität bereits bewiesen ist. Das könnte z.B. dadurch geschehen, 

daß mehrere Zellen zusammengefaßt und der Zustand dieser neuen Zelle geeignet mit den 

Zuständen der Zellen kodiert wird. 

4.5 Regel und Verhalten 

In Tabelle 1 sind alle totalsymmetrischen Spielregeln in der nach Experimenten vorgenommenen 

Klasseneinteilung von Wolfram angegeben. Für jede Regel wurde die Regelnummer entsprechend 

Gleichung (6) und deren binäre Form angegeben. Der Folgezustand der Zelle hängt von 

der Summe der Zustände aller Zellen der Nachbarschaft ab, die Werte von 0 (keine Zelle mit 

Zustand 1) bis 5 (alle Zellen im Zustand 1) annehmen kann. Unter der jeweiligen Summe ist der 

Folgezustand der Zelle (0 oder 1) angeordnet.


Abbildung 6: Bei Klasse–4–Automaten, hier T20, ändert sich die Anzahl aktiver Zellen nur 

langsam mit der Zeit. Zu erkennen sind Gebilde, die nach relativ langer Zeit verschwinden, 

periodische Strukturen und auch periodisch–wandernde Figuren (am Rand der Darstellung des 

zyklisch geschlossenen Feldes sichtbar). 

Es sind wohl auch auf den zweiten Blick keine Gesetzmäßigkeiten erkennbar, nach denen aus 

der Spielregel bzw. aus deren Binärform auf die Klasse geschlossen werden kann, in welche die 

Regel einzuordnen ist. Auf den folgenden Seiten soll jedoch ein Näherungsverfahren beschrieben 

werden, welches zumindest 3 der 4 Klassen algorithmisch trennen kann. Es liefert zusätzliche 

Näherungsergebnisse für Grenzwahrscheinlichkeiten und mittlere Einschwingzeiten der einzelnen 

Spielregeln.


Klasse 1 Klasse 2 Klasse 3 Klasse 4 

543210 543210 543210 543210 

T0 000000 T8 001000 T2 000010 T20 010100 

T4 000100 T24 011000 T6 000110 T52 110100 

T16 010000 T40 101000 T10 001010 

T32 100000 T56 111000 T12 001100 

T36 100100 T58 111010 T14 001110 

T48 110000 T18 010010 

T54 110110 T22 010110 

T60 111100 T26 011010 

T62 111110 T28 011100 

T30 011110 

T34 100010 

T38 100110 

T42 101010 

T44 101100 

T46 101110 

T50 110010 

Tabelle 1: Die totalsymmetrischen Regeln des Automaten d = 1, k = 2, r = 2 in dezimaler und 

binärer Form nach Klassen sortiert. Ein Zusammenhang zwischen Regel und zugehöriger Klasse 

ist (zumindest ohne weiteres) nicht erkennbar.


5 Die Methode der verteilten Fraktionen 

Bei der ” Methode der verteilten Fraktionen“ handelt es sich um eine Näherungsmethode, die 

es erlaubt, Aussagen über das qualitative Verhalten von zellularen Automaten zu machen. Sie 

ermöglicht eine Einteilung in Klassen, die weitgehend der von Wolfram [12] entspricht und liefert 

brauchbare Näherungswerte für Grenzwahrscheinlichkeiten und mittlere Lebensdauer verschiedener 

Spielregeln. 

5.1 Mathematische Beschreibung 

5.1.1 Annahmen zur Näherung 

In [11] wurde ein grobes Näherungsverfahren beschrieben, bei dem Schätzwerte für die Dichte 

der 1–Zellen unter völliger Vernachlässigung der Korrelation zwischen den einzelnen Zellen 

berechnet werden können (siehe Abschnitt 5.9). Der hier beschriebene Algorithmus berücksichtigt 

die Korrelationen zwischen Gruppen von einzelnen Zellen, jedoch nicht die Korrelationen 

zwischen den einzelnen Gruppen. Bei den Gruppen handelt es sich um Zellen, die bezüglich 

einer Zelle in derselben Nachbarschaft liegen. Das Verfahren betrachtet, mit welcher Häufigkeit 

jede der möglichen Belegungen der Nachbarschaft auf einem (angenommenen) unendlich großen 

Feld auftritt. Räumliche Korrelationen zwischen solchen Gruppen gehen unvollständig und nur 

indirekt in die Berechnung ein. 

Mit Methoden dieser Art sind nur Aussagen über das mittlere Verhalten eines bestimmten 

Automaten mit einer bestimmten Regel bei verschiedenen Anfangsbelegungen möglich. Es steht 

zu vermuten, daß für immer genauere Aussagen über Mittelwerte des Verhaltens die Korrelationen 

immer stärker berücksichtigt werden müssen. Solche immer komplexeren Näherungsmethoden 

erfordern immer mehr Rechenzeit, wobei die Grenze der Sinnfälligkeit erreicht ist, wenn 

Simulation und Näherungverfahren in der selben Zeit die gewünschten Werte liefern. Die Frage, 

ob es ein exaktes Mittelungsverfahren ohne einschränkende Annahmen gibt, ist freilich offen. 

Was es mit Sicherheit nicht gibt, ist ein allgemeingültiges Verfahren für Vorhersagen über die 

Entwicklung von Anfangsbelegungen, welches von geringerer algorithmischer Komplexität ist als 

die Simulation. Da es Automaten gibt, die zur universellen Berechnung fähig sind, sind für die 

Vorhersage zumindest genausoviele Berechnungsschritte vonnöten wie für die Simulation [13], 

denn das Ergebnis eines Algorithmus kann nur bestimmt werden, in dem man diesen Algorithmus 

ausführt. Mit anderen Worten [3]: ” Das Verhalten des Automaten vorhersagen zu wollen, 

wäre ... gleichbedeutend mit dem Versuch, das Verhalten eines universellen Computers vorauszuberechnen.“ 

Das gelingt jedoch nur durch die (mehr oder weniger direkte) Simulation dieses 

Automaten. 

5.1.2 Der Algorithmus des Näherungsverfahrens 

Zur Beschreibung des Algorithmus ist es vorteilhaft, einige der in Abschnitt 2 angeführten Definitionen 

in der Art der Darstellung dem Problem anzupassen. So soll zunächst die Konfiguration 

der Nachbarschaft losgelöst von der Position der Zelle i und unabhängig von der globalen Konfiguration 

betrachtet werden.


Definition 8 Sei N ein eindimensionaler geschlossener Nachbarschaftsindex nach (2) und S 

ein Alphabet gemäß (1). Dann heißt das geordnete 2r + 1–Tupel 

Ci = (c −r 

i , c −r+1 

i , . . . , c 0 i , . . . , c r−1 

i 

lokale Konfiguration. 

, c r i ) mit c l i ∈ S, i = 

r� 

l=−r 

k r−l c l i und l = −r, . . . , r , l ∈ Z 

i ist dabei die Nummer der Konfiguration, die Werte zwischen 0 und (k2r+1−1), im konkreten 

Fall bei r = 2, k = 2 also zwischen 0 und 31 annehmen kann. Wendet man auf eine lokale 

Konfiguration die lokale Transformationsfunktion f an, so bezeichnet c0 i den Zustand einer 

beliebigen Zelle im aktuellen und 

f(Ci) = f(c −r 

i , c −r+1 

i , . . . , c 0 i , . . . , c r−1 

i 

den Zustand dieser Zelle im darauffolgenden Zeitschritt. 

Für jede der k 2r+1 möglichen lokalen Konfigurationen läßt sich nun angeben, wie häufig 

sie auf einem (gedanklich unendlich großen) Automaten vorkommt. Dabei sind zwei Betrachtungsweisen 

möglich. In enger Anlehnung an die Klasseneinteilung nach Wolfram kann man 

von einer Gleichverteilung aller Werte des Alphabets im Anfangsmuster ausgehen. In einer lokalen 

Konfiguration von 2r + 1 Elementen kommt dann jede Belegung eines der Elemente mit 

der Wahrscheinlichkeit von 1/k vor, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer lokalen Konfiguration 

Ci beträgt also (1/k) 2r+1 = 1/(k 2r+1 ). Alle lokalen Konfigurationen sind somit initial 

gleichverteilt. Für den hier untersuchten Automaten beträgt diese Initialwahrscheinlichkeit 1/32. 

Zum selben Resultat gelangt man, wenn man alle möglichen (globalen) Konfigurationen eines 

(wiederum gedanklich unendlich großen Automaten) zum Ausgangspunkt nimmt. Hält man 

an einer bestimmten Stelle dieses Feldes eine Konfiguration der Nachbarschaft (lokale Konfiguration) 

fest und variiert alle anderen Zellen, so gibt die mögliche Anzahl dieser Variationen 

an, wie oft an dieser Stelle diese lokale Konfiguration auftritt. Da man diese Operation in der 

gleichen Weise für jede lokale Konfiguration an jeder beliebigen Stelle in jeder beliebigen (globalen) 

Konfiguration durchführen kann, erhält man für jede der lokalen Konfigurationen — auch 

beim Grenzübergang von der endlichen zur unendlichen Ausdehnung — die gleiche Wahrscheinlichkeit. 

Da an jeder beliebigen Stelle des Automaten jede der k 2r+1 lokalen Konfigurationen 

mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten kann, die Summe der Wahrscheinlichkeiten jedoch 1 

beträgt, folgt für die Wahrscheinlichkeit der Wert 1/(k 2r+1 ), also derselbe wie bei der ersten 

Betrachtungsweise. 

Über diesem geordneten k 2r+1 –Tupel von Wahrscheinlichkeiten arbeitet der Näherungsalgorithmus. 

Da der Algorithmus wiederholt auf das k 2r+1 –Tupel angewandt wird, macht sich eine 

Kennzeichnung der Anzahl der erfolgten Anwendungen notwendig; sie erfolgt durch einen oberen 

Index t. Der Algorithmus hält sich nicht exakt an die Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung; 

deshalb soll von diesem Punkt an auf den Begriff Wahrscheinlichkeit verzichtet werden. Stattdessen 

werden alle Werte als Bruchteile oder Fraktionen einer Gesamtheit bzw. Dichten bezeichnet. 

Die Kennzeichnung erfolgt allerdings trotzdem mit dem Buchstaben p. 

Das k 2r+1 –Tupel von Wahrscheinlichkeiten sei: 

, c r i ) 

P t = (p t i) mit i = 0, . . . , k 2r+1 − 1 und p t i = p t (Ci) 

Für die initialen Wahrscheinlichkeiten ist dabei p0 i = 1/(k2r+1 ) ∀i, i = 0, . . . , k2r+1 − 1, im 

Beispiel also p0 i = 1/32 ∀i, i = 0, . . . , 31.


Das Fraktionstupel P t+1 wird jeweils aus dem Tupel P t berechnet. Dazu werden folgende 

Überlegungen angestellt. 

Jede lokale Konfiguration Ci wird im Hinblick darauf betrachtet, welche lokale Konfiguration 

Cj aus ihr im nächsten Zeitschritt hervorgeht. Nur für den Wert c 0 i kann eindeutig ein Wert c0 j 

zugeordnet werden; er ergibt sich aus der Anwendung der lokalen Transformationsfunktion auf 

die lokale Konfiguration, d.h. c 0 j = f(Ci). Das Schicksal aller anderen Werte der Konfiguration Ci 

hängt von der Umgebung ab, in der die lokale Konfiguration innerhalb der globalen Konfigurati- 

on auftritt. Gelänge es, über die Belegungen dieser Umgebung Häufigkeitsaussagen zu machen, 

so könnte man auch Bruchteile von pt i bestimmen, die angeben, mit welcher Häufigkeit aus der 

Konfiguration Ci eine der insgesamt möglichen Konfigurationen Cj ∀j, j = 0, . . . , k2r+1 − 1 

entsteht. Die Häufigkeit der Konfiguration Ci könnte also auf die daraus entstehenden Konfigurationen 

Cj verteilt werden, deshalb auch Methode der verteilten Fraktionen. 

Verwendet man für die Häufigkeitssaussagen zur Umgebung nur das Fraktionstupel des letzten 

Zeitschrittes, so muß man an dieser Stelle eine Näherung zulassen. Das Fraktionstupel enthält 

in jedem Zeitschritt (Iterationsschritt des Verfahrens) nur Häufigkeitsangaben über das Auftreten 

jeder der lokalen Konfigurationen im gesamten Feld. Es liefert keine Angaben darüber, ob 

zwischen den einzelnen lokalen Konfigurationen räumliche Korrelationen bestehen, d.h. ob bestimmte 

Konfigurationen in der Umgebung anderer besonders häufig oder selten auftreten. (Dies 

führt zu einem weiteren Problem für den Algorithmus, welches unten beschrieben wird.) Geht 

man diese Näherung ein, so kann für jeden der Werte cl i , l �= 0 bestimmt werden, mit welcher 

Häufigkeit er im nächsten Schritt einen der Alphabetswerte annimmt. Kennt man die Häufigkeit 

für all diese Zellen (das Schicksal der zentralen Zelle c0 i ist ja determiniert), so ist die Berechnung 

eines Übergangsbruchteils von jeder Konfiguration Ci zu jeder Konfiguration Cj möglich. 

Ist also 

ˆP t (Ci, Cj) = ˆ P (Ci, Cj, P t ) 

der Bruchteil bezüglich Ci, der bei Vorliegen des Fraktionstupels P t in die Konfiguration Cj 

übergeht, so ist dieser Bruchteil 0, wenn der Wert von c0 j nicht mit dem Ergebnis der Anwendung 

der Spielregel auf Ci übereinstimmt. Stimmen hingegen f(Ci) und c0 j überein, so kann 

der Bruchteil von P t (Ci), der nach P t (Cj) übergeht, aus dem angegebenen Produkt berechnet 

werden: 

ˆP t ⎧ 

⎪⎨ 

(Ci, Cj) = 

⎪⎩ 

r� 

l=−r 

l�=0 

ˆp t l (Ci, c l j ) : f(Ci) = c 0 j 

0 : sonst 

Die Werte ˆp t l (Ci, cl j ) im Produkt geben an, mit welcher Häufigkeit ein Wert cli an der Position 

l in den zugehörigen Wert cl j an derselben Position übergeht. Bei der Berechnung dieser Werte 

spielen die oben genannten Annahmen zur Näherung eine wichtige Rolle. Betrachet man eine 

der Zellen cl i der Konfiguration (mit Ausnahme der zentralen Zelle l = 0), so weist diese in 

ihrer eigenen Nachbarschaft sowohl Zellen auf, deren Wert durch die Konfiguration Ci festgelegt 

ist, als auch solche, die nicht zu Ci gehören, für deren Wert also keine eindeutige Aussage 

getroffen werden kann. Geht man alle möglichen Belegungen dieser Zellen durch, so ergibt sich 

für die betrachtete Zelle l (cl i ) jeweils eine ganz bestimmte lokale Konfiguration, die zum Teil 

durch die Zellen der Konfiguration Ci, zum Teil durch die Belegung der variierenden Zellen 

bestimmt wird. Jede dieser Konfigurationen Ck ist im Zeitschritt t mit der Häufigkeit P t (Ck) 

vertreten. Bezieht man sich auf die Näherungsannahmen aus 5.1.1, so tritt diese Konfiguration 

(11)


an allen Stellen des Feldes mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, damit auch an dieser. Nun ist 

aber ein Teil der Konfiguration Ck schon durch die Konfiguration Ci bestimmt, es sind also 

nur noch bestimmte Konfigurationen Ck zugelassen. Nimmt man an, daß für die zugelassenen 

Konfigurationen trotzdem die Häufigkeitsrelationen aus P t (Ck) zutreffen, so läßt sich für die 

Zelle l (cl i ) bei jeder der möglichen Konfiguration Ck ein Häufigkeitswert angeben. Dieser entsteht 

durch Normierung auf die Summe der Häufigkeitswerte der möglichen Konfigurationen Ck. 

Für die multiplikative Verknüpfung der so gewonnenen Häufigkeitswerte nach (11) ist allerdings 

eine weitere Annahme nötig, die im realen Automaten nicht gegeben ist. Das Autreten 

der Konfigurationen für zwei Zellen (außer co i ) ist eigentlich nicht voneinander unabhängig. Das 

bedeutet, daß für eine mögliche Belegung der frei wählbaren Zellen die Häufigkeitswerte der 

entstehenden Konfigurationen in der Nachbarschaft der beiden Zellen nicht unabhängig sind, da 

die Belegungen der beiden Konfigurationen bereits voneinander abhängen. Damit ist die Multiplikation 

(UND–Verknüpfung von unabhängigen Wahrscheinlichkeiten) formal nicht zulässig 

(siehe auch Abschnitt 5.8). 

Die Angabe einer mathematisch allgemeingültigen Gleichung für die ˆp t l (Ci, cl j ) fällt schon 

bei eindimensionalen Automaten mit geschlossener Nachbarschaft schwer, da die Struktur der 

Nachbarschaft berücksichtigt werden muß. Deshalb seien an dieser Stelle die Gleichungen für 

den Fall d = 1, k = 2, r = 2 angegeben. Die oberen Indizes l bei den Belegungswerten der 

Zellen geben den räumlichen Abstand zur zentralen Zelle der Nachbarschaft an. 

Der Zähler des Bruches gibt die Häufigkeit an, mit der cl i in clj übergeht, durch den Nenner 

wird jeder Häufigkeitswert auf die Summe der Häufigkeiten aller möglichen Konfigurationen der 

Nachbarschaft der Zelle l normiert. 

Die Nachbarschaft der Zelle l = −2 weist zwei veränderliche Werte auf, drei der Werte werden 

durch die Konfiguration Ci bezüglich der Zelle l = 0 bestimmt. Demnach ist 

ˆp t −2(Ci, c −2 

j ) = 

k−1 � 

k−1 � 

c−4 =0 c−3 b(f(c 

=0 

−4 , c−3 , c −2 

i , c −1 

i , c0 i ), c−2 j ) · pt ((c−4 , c−3 , c −2 

i , c −1 

i , c0 i )) 

k−1 � 

c−4 k−1 � 

=0 c−3 p 

=0 

t ((c−4 , c−3 , c −2 

i , c −1 

i , c0 i )) 

In der Nachbarschaft der Zelle l = −1 ist nur ein Wert variierbar. 

ˆp t −1(Ci, c −1 

j ) = 

k−1 � 

c −3 =0 

b(f(c−3 , c −2 

i , c −1 

i , c0 i , c1i ), c−1 j ) · pt ((c−3 , c −2 

i , c −1 

i , c0 i , c1i )) 

k−1 � 

c −3 =0 

p t ((c −3 , c −2 

i , c −1 

i , c 0 i , c1 i )) 

Auch in der Nachbarschaft von l = 1 kann nur ein Wert geändert werden. 

ˆp t 1(Ci, c 1 j) = 

k−1 � 

c 3 =0 

b(f(c −1 

i , c 0 i , c1 i , c2 i , c3 ), c 1 j ) · pt ((c −1 

i , c 0 i , c1 i , c2 i , c3 )) 

k−1 � 

c 3 =0 

Für l = 2 sind wieder zwei Zellen frei wählbar. 

p t ((c −1 

i , c 0 i , c1 i , c2 i , c3 )) 

(12) 

(13) 

(14)


ˆp t 2(Ci, c 2 j) = 

k−1 � 

k−1 � 

c3 =0 c4 =0 

b(f(c 0 i , c1 i , c2 i , c3 , c 4 ), c 2 j ) · pt ((c 0 i , c1 i , c2 i , c3 , c 4 )) 

k−1 � 

c3 k−1 � 

=0 c4 p 

=0 

t ((c0 i , c1i , c2i , c3 , c4 )) 

Für die Werte c k , k = −4, −3, 3, 4 gilt jeweils c k ∈ S. In Abbildung 7 sind die betrachteten 

Zellen l = −2, −1, 1, 2 und ihre zugehörigen Nachbarschaftsbereiche veranschaulicht. 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

-4 -3 -2 -1 0 

-3 -2 -1 0 1 

-1 0 1 2 3 

0 1 2 3 4 

Abbildung 7: Die Nachbarschaft der Zellen l = −2, l = −1, l = 1, l = 2. Die Zellen l = −2, . . . , 2 

bilden zusammen die Konfiguration Ci. Die anderen Zellen (l = −4, −3, 3, 4) werden variiert. 

Mit diesen Berechnungen sind für den gegebenen Zeitschritt nun alle Übergangsbruchteile 

ˆP t (Ci, Cj) bekannt. Sie geben jeweils an, welcher Bruchteil der Häufigkeit p t (Ci) der Konfiguration 

Cj zugesprochen wird. Jede Konfiguration Cj erhält auf diese Weise summarisch Anteile 

von den Häufigkeiten aller Konfigurationen Ci aus dem letzten Zeitschritt. Damit ist: 

p t+1 

j 

= 

k 2r+1 −1 

� 

i=0 

p t i · ˆ P t (Ci, Cj) 

Jede Konfiguration Ci teilt seinen Häufigkeitswert auf alle Konfigurationen Cj auf; umgekehrt 

erhält jedes Cj Anteile von den Häufigkeiten aller Ci. Abbildung 8 verdeutlicht das Vorgehen. 

Ausgehend vom gleichverteilten Anfangszustand wird nun mittels des beschriebenen Vorgehens 

aus der Häufigkeitsverteilung P t jeweils P t+1 berechnet. In jedem Zeitschritt können 

folgende Näherungswerte berechnet werden: 

• Mittlere Dichte der Zellen, die sich im Zustand s befinden: 

p t s = 

k 2r+1 −1 

� 

i=0 

b(c 0 i , s) · p t (Ci) 

l=-2 

l=-1 

l=1 

l=2 

(15)


p t (Ci) 

... ... 

❍ 

❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❥ 

❏ ✚ 

❏ 

✚ 

✚ 

❏ ✚ 

❏❏❏❏❏❏❏❫ 

✚ 

ˆP ✚ 

✚ 

✚ 

✚ 

✚ 

✚ 

✚ 

✚❂ 

... ... 

t (Ci, Cj) 

pt+1 0 k 

(Cj) 

2r+1 − 1 

Abbildung 8: Die Häufigkeit einer Konfiguration Cj entsteht summarisch aus Anteilen von allen 

Konfigurationshäufigkeiten p t (Ci). 

P t 

P t+1 

Die mittlere Dichte ergibt sich also durch Summation aller Häufigkeitswerte der lokalen 

Konfigurationen, deren Zentralzelle den Wert s trägt. 

• Mittlere Dichte der Zellen, die im folgenden Schritt vom Zustand s1 in den Zustand s2 

wechseln: 

p t s1s2 = 

k 2r+1 −1 

� 

i=0 

b(c 0 i , s1) · b(f(Ci), s2) · p t (Ci) 

Summiert werden somit die Häufigkeiten der Konfigurationen, bei denen sich die Zentralzelle 

im Zustand s1 befindet und bei deren Ableitung den Zustand s2 erzeugt wird. 

• Mittlere Dichte der Zellen im Zustand s, deren Nachbarn sich ebenfalls sämtlich im Zustand 

s befinden ( ” Anteil des homogenen s–Zustandes“): 

p t Hs = 

k 2r+1 −1 

� 

i=0 

⎛⎛ 

⎝⎝ 

r� 

l=−r 

⎞ 

⎞ 

b(c l i, s) ⎠ p t (Ci) ⎠ 

• Mittlere Dichte der Zellen, deren Nachbarzellen denselben Zustand aufweisen: 

k−1 

p 

s=0 

t Hs 

p t � 

H = 

Im Fall d = 1, k = 2, r = 2 wären das die Werte p t 0 , pt 1 , pt 00 , pt 01 , pt 10 , pt 11 sowie pt H0 und pt H1 .


Abgebrochen wird die iterative Berechnung von P t+1 aus P t dann, wenn sich die Werte p t (Ci) 

nur noch geringfügig ändern. Der Abbruch kann zum Beispiel erfolgen, wenn die Bedingung 

� 

� 

� 

� k2r+1 �−1 

i=0 

(p t+1 (Ci) − p t (Ci)) 2 < ε ε ∈ R (16) 

erfüllt ist oder eine bestimmte Anzahl Iterationen überschritten wurde. Als günstig bei der 

Auswertung der Einschwingzeiten hat sich folgendes Abbruchkriterium erwiesen: 

|p t+1 

s1s2 − pt s1s2 | < ∆ ∀s1, s2 ∈ S, s1 �= s2 ∆ ∈ R (17) 

Als ” eingeschwungener Zustand“ wird demgemäß derjenige betrachtet, bei dem sich die 

Häufigkeiten des Übergangs zu einem anderen Zustand nicht mehr ändern. Die Anzahl der 

Iterationen bis zum Erreichen dieses Zustandes kann als Maß für die mittlere Einschwingzeit 

( ” Lebensdauer“ in Spielregeln der Klasse 1, 2 und 4) betrachtet werden. 

Die oben definierten Dichtewerte können auch im eingeschwungenen Zustand berechnet werden. 

Zur Abgrenzung gegenüber den anderen Dichtewerten wird bei den Bezeichnungen dann 

der obere Index t weggelassen. 

5.2 Quantitative Klasseneinteilung 

Mit Hilfe der Fraktionsmethode wurden Untersuchungen an totalsymmetrischen Transformationsfunktionen 

des Automaten d = 1, k = 2, r = 2 vorgenommen. Für jede der Spielregeln 

wurde die Iteration bis zum Inkrafttreten der Abbruchbedingung nach (17) durchgeführt, wobei 

∆ = 0.00001 gewählt wurde. In Tabelle 2 sind die Regeln entsprechend der experimentellen Klasseneinteilung 

von Wolfram geordnet. Angegeben werden die Dichtewerte des eingeschwungenen 

Zustandes p01, p10, p1, pH0 , pH1 und pH. 

Das erste augenfällige Unterscheidungsmerkmal zwischen den Klassen findet sich in den 

Spalten p01 und p10. Während sich bei Regeln der Klassen 1, 2 und 4 nach einer bestimmten 

Anzahl von Iterationen Übergangswahrscheinlichkeiten nahe 0 einstellen, sind die entsprechenden 

Werte bei Klasse–3–Regeln deutlich von 0 verschieden. Dies ist plausibel, betrachet man 

das Verhalten der Automaten im Experiment. Bei Regeln der Klassen 1 und 2 ändert sich nach 

kurzer Zeit die globale Konfiguration nicht mehr; sie verbleibt in einem der homogenen oder 

in einem konstanten, nichthomogenen Zustand. Auch in den angegebenen Klasse–4–Automaten 

endet die Evolution in den meisten Fällen in einem homogenen oder nichthomogen–konstanten 

Zustand, selten entstehen nach einer relativ langen Einschwingphase periodische und periodisch– 

wandernde Gebilde. Nur Transformationsfunktionen der Klasse 3 führen zu einer beständigen, 

” chaotischen Veränderung“ der globalen Konfiguration. Ein typisches Einschwingverhalten wie 

bei den anderen Klassen ist nicht zu beobachten; lediglich die Dichte der 1–Zellen (p1) hat 

vermutlich einen von der Regel abhängigen Grenzwert. 

Nachdem auf diese Art die Abgrenzung zwischen Regeln der Klasse 1, 2 und 4 sowie Regeln 

der Klasse 3 gelungen ist, erlaubt ein weiteres Merkmal die Trennung zwischen der Klasse 4 

und den Klassen 1 und 2: die Anzahl der Iterationen. Beide Klasse–4–Regeln weisen gegenüber 

allen anderen Regeln lange Einschwingzeiten auf. Auch dies entspricht dem realen Verhalten 

der Automaten in der Simulation. Der interessante“ Teil der Evolution ist bei Automaten der 

” 

Klasse 4 wesentlich länger als bei solchen der Klassen 1 und 2. Erst nach einer großen Anzahl 

von Evolutionsschritten geht die globale Konfiguration in konstante (einschließlich homogene)


Klasse Regel Iterationen p01 p10 p1 pH0 pH1 pH 

1 0 2 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

1 4 40 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

1 16 7 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

1 32 4 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

1 36 68 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

1 48 13 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

1 54 68 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 1.000 

1 60 13 0.000 0.000 1.000 0.000 0.999 0.999 

1 62 4 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 1.000 

2 8 15 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

2 24 39 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

2 40 17 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 

2 56 6 0.000 0.000 0.500 0.321 0.321 0.641 

2 58 17 0.000 0.000 1.000 0.000 1.000 1.000 

3 2 16 0.265 0.265 0.290 0.307 0.019 0.326 

3 6 34 0.363 0.363 0.419 0.186 0.064 0.250 

3 10 6 0.262 0.262 0.470 0.056 0.027 0.084 

3 12 23 0.246 0.246 0.431 0.171 0.101 0.272 

3 14 30 0.357 0.357 0.508 0.131 0.146 0.278 

3 18 9 0.262 0.262 0.372 0.150 0.018 0.168 

3 22 14 0.282 0.282 0.583 0.027 0.106 0.133 

3 26 9 0.211 0.211 0.628 0.025 0.160 0.185 

3 28 20 0.199 0.199 0.587 0.082 0.199 0.281 

3 30 1001 0.256 0.277 0.704 0.040 0.277 0.317 

3 34 14 0.274 0.274 0.324 0.239 0.022 0.261 

3 38 11 0.347 0.347 0.500 0.088 0.088 0.176 

3 42 1 0.250 0.250 0.500 0.031 0.031 0.062 

3 44 11 0.248 0.248 0.606 0.031 0.153 0.183 

3 46 14 0.274 0.274 0.676 0.022 0.239 0.261 

3 50 11 0.248 0.248 0.394 0.153 0.031 0.183 

4 20 164 0.000 0.000 0.000 0.999 0.000 0.999 

4 52 384 0.001 0.001 0.500 0.497 0.497 0.994 

Tabelle 2: Ergebnisse der Anwendung der Fraktionsmethode auf die totalsymmetrischen Spielregeln 

des Automaten d = 1, k = 2, r = 2. Es sind die Werte für den eingeschwungenen Zustand 

angegeben. Auffällig sind die von 0 verschiedenen Übergangsfraktionen (p01, p10) in der Klasse 

3 und die langen Einschwingzeiten (Iterationsanzahl) der Klasse–4–Automaten.


oder periodische Strukturen über. Anmerkung: Die lange Einschwingzeit der Regel 30 ergibt sich 

aus einem periodischen Verlauf der Übergangswahrscheinlichkeiten. Diese schwanken geringfügig 

zwischen den angegebenen Werten. Dadurch versagt das Abbruchkriterium (17); die Berechnung 

endet nach einer vorgegebenen Maximalzahl von 1000 Schritten. 

Keine Abgrenzung gelingt zwischen Regeln der Klasse 1 und der Klasse 2. Lediglich bei Regel 

56 ist erkennbar, daß sich häufig konstante, nichthomogene Konfigurationen aus der Evolution 

ergeben: nur ein Teil der Zellen befindet sich in einer homogegen Nachbarschaft. Bei allen anderen 

Regeln sind nahezu homogene Zustände mit wenigen andersartigen Zellen die Regel. Der 

Algorithmus liefert für diese Regeln etwa 1.0 als Dichte der homogenen Nachbarschaften. 

Weitere Aussagen über das Verhalten des Automaten können mittels der Dichten der homogenen 

Nachbarschaften getroffen werden. In den Klassen 1, 2 und 4 weist in der Regel eine 

der Dichten pH0 

und pH1 einen Wert nahe 1.0 auf. Die Evolution dieser Regeln endet in glo- 

balen Konfigurationen, bei denen der jeweilige homogene Nachbarschaftszustand überwiegt. In 

Klasse–4–Regeln bedeutet dies zum Beipiel, daß nach dem Einschwingvorgang relativ wenige 

konstante bzw. periodische oder wandernde Gebilde auf einem sonst homogenen Feld zu finden 

sind. Welcher der (hier zwei) homogenen Zustände bevorzugt auftritt, kann aus den genannten 

Dichtewerten abgelesen werden. 

Im folgenden sollen die Ergebnisse des Näherungsverfahrens an typischen Beipielen aus den 

4 Klassen vorgestellt werden. 

5.2.1 Zeitliches Verhalten in Klasse 1 und 2 

Abbildung 9 zeigt die typischen Zeitverläufe der Näherungswerte p t 01 und pt 10 

(links) sowie den 

Vergleich zwischen dem genäherten (und gemittelten) Dichteverlauf der 1–Zellen und der Evolution 

einer Anfangsbelegung mit gleichverteilten Zellzuständen (rechts) bei der totalsymmetrischen 

Regel T4. Deutlich erkennbar verläuft pt 01 stets unterhalb von pt10 . Dadurch sinkt der 

Anteil der 1–Zellen rapide auf 0, da in jedem Schritt mehr Zellen von 1 auf 0 als von 0 auf 1 wechseln. 

Im rechten Diagramm sind die Näherungskurve und ein realer“ Kurvenverlauf dargestellt. 

” 

Die Kurve aus der Evolution einer Anfangsbelegung nähert sich zwar früher dem Nullpunkt; 

das grundsätzliche Verhalten stimmt jedoch mit dem von der Fraktionsmethode berechneten 

überein. Alle Ableitungen wurden an einem zyklischen Feld der Größe 200 vorgenommen, bei 

dem jede der Zellen initial mit gleicher Wahrscheinlichkeit den Wert 0 oder 1 trägt. 

5.2.2 Zeitliches Verhalten in Klasse 3 

Automaten der Klasse 3 zeigen ein typisches Einschwingverhalten, das am Beispiel der Regel 

T14 in Abbildung 10 erläutert werden soll. Die Übergangswahrscheinlichkeiten ändern sich hier 

auch in ihrem Verhältnis zueinander. Beide streben gegen ein und denselben Grenzwert, der 

verschieden von 0 ist. Auch die Dichte der 1–Zellen strebt gegen einen Grenzwert. Im rechten 

Diagramm sind Näherungsverlauf und ein realer Verlauf der 1–Dichte gegenübergestellt. Die 

Dichte des realen Verlaufes schwankt um den Grenzwert der Dichte, der mittels der Fraktionsmethode 

berechnet wurde. 

5.2.3 Zeitliches Verhalten in Klasse 4 

Das der Klasse 4 typische Verhalten unterscheidet sich von dem in Klasse 1 und 2 im Verlauf der 

Übergangsdichten. Beide Werte liegen zum Beipiel beim Automaten T20 im gesamten Iterations-


Abbildung 9: Links: Übergangsdichten pt 01 und pt10 bei der Anwendung der Fraktionmethode 

auf die totalsymmetrische Klasse–1–Regel T4. Die Kurve von pt 01 verläuft stets deutlich unter der 

von pt 10 , d.h. der Anteil der Zellen, die von 0 auf 1 wechseln, ist merklich geringer als der Anteil 

der Zellen, die von 1 auf 0 wechseln. Dementsprechend sinkt die Dichte der 1–Zellen rasch auf 

0. Rechts: Dichteverlauf der 1–Zellen aus der Näherungmethode (obere Kurve) verglichen mit 

dem Dichteverlauf einer Anfangsbelegung mit gleichverteilten Zellzuständen. (untere Kurve). 

Abbildung 10: Ergebnisse der Fraktionsmethode für die totalsymmetrische Klasse–3–Regel T14. 

Links wiederum die Übergangsdichten pt 01 und pt10 . Beide konvergieren gegen denselben Wert. 

Rechts im Vergleich die Dichte der 1–Zellen aus der Näherung und aus der Evolution einer 

Anfangsbelegung mit gleichverteilten Zellzuständen.


zeitraum dicht beieinander, wobei pt 01 geringfügig unter pt10 verläuft. Dementsprechend klingt 

die Dichte der 1–Zellen erst nach einer größeren Anzahl von Iterationen auf 0 ab (Abbildung 

11). Bei der Regel T52 liegt sogar ein identischer Verlauf der beiden Übergangsdichten vor. Hier 

bleibt die 1–Dichte beim Wert 0.5. Der Verlauf der entsprechenden Dichtewerte einschließlich 

des Dichteverlaufs der Evolution findet sich in Abbildung 12. 

Abbildung 11: Verlauf der Übergangsdichten (links) und Vergleich zwischen genäherter 1–Dichte 

und Experiment (rechts) bei Regel T20. pt 01 verläuft geringfügig unter pt10 , die Dichte der 1–Zellen 

klingt deshalb langsam auf 0 ab. 

Abbildung 12: Die Übergangsdichten beim Automaten T52 sind im zeitlichen Verlauf identisch 

(links). Dadurch bleibt auch die Dichte der 1–Zellen konstant bei 0.5. Die realen Verhältnisse 

werden auch hier ausreichend widergespiegelt (rechts). 

5.3 Untersuchungen zur Grenzdichte in Klasse 3 

Zum Vergleich zwischen den von der Fraktionsmethode vorhergesagten 1–Grenzdichten bei 

Klasse–3–Regeln und tatsächlich ” gemessenen“ Dichtewerten wurden Experimente mit der Evolution 

von Anfangsbelegungen mit gleichverteilten Zellzuständen durchgeführt. Auf einem zyk-


lisch geschlossenes Feld der Länge 300 wurden 1000 Ableitungen ausgehend von einer zufälligen 

Anfangsbelegung mit gleichverteilten Zellzuständen berechnet und die Dichte der 1–Zellen von 

der 300. (bis dahin sollte die Einschwingphase beendet sein) bis zur 1000. Generation gemittelt. 

Mit demselben Verfahren wurden die entsprechenden Dichtewerte bei 5 verschiedenen Initialkonfigurationen 

berechnet und ebenfalls gemittelt, das Ergebnis ist p1. 

Für den Vergleich der theoretischen“ und realen“ Werte bietet sich der relative Fehler nach 

” ” 

� � 

�p1 

δ = � 

− p1 � 

� 

� � 

(18) 

und der absolute Fehler nach 

p1 

D = |p1 − p1| (19) 

an. Wie Tabelle 3 zeigt, liegt der relative Fehler in der Regel unter 20 %, der absolute meist 

unter 0.070 . Einzige Ausnahme ist die Regel T30. Die große Abweichung bei T30 resultiert 

vermutlich aus den unten beschriebenen formalen Schwachstellen des Algorithmus. Es sei auf 

den Abschnitt 5.8 verwiesen. 

Regel p1 p1 δ D 

2 0.290 0.263 10.3 % 0.027 

6 0.419 0.354 18.4 % 0.065 

10 0.470 0.466 0.9 % 0.004 

12 0.431 0.498 13.5 % 0.067 

14 0.508 0.485 4.7 % 0.023 

18 0.372 0.383 2.9 % 0.011 

22 0.583 0.574 1.6 % 0.009 

26 0.628 0.567 10.8 % 0.061 

28 0.587 0.525 11.8 % 0.062 

30 0.704 0.504 39.7 % 0.200 

34 0.324 0.354 8.5 % 0.030 

38 0.500 0.498 0.4 % 0.002 

42 0.500 0.501 0.2 % 0.001 

44 0.606 0.592 2.4 % 0.014 

46 0.676 0.647 4.5 % 0.029 

50 0.394 0.407 3.2 % 0.013 

Tabelle 3: Vergleich zwischen den 1–Dichten aus der Fraktionsmethode p1 und den gemittelten 

Werten p1.In der Spalte δ ist der relative Fehler angegeben, in der Spalte D der absolute. Die 

stärkste Abweichung tritt bei Regel T30 auf. 

5.4 Suche nach zentralsymmetrischen Klasse–4–Regeln 

Interessante Resultate liefert die Fraktionsmethode auch bei der Suche nach Regeln mit typischem 

Klasse–4–Verhalten unter allen zentralsymmetrischen Regeln des Automaten d = 1, k = 

2, r = 2. Für jede zentralsymmetrische Regel (es sind, beachtet man die Ruhebedingung aus


3.2.3, insgesamt 512), wurde mit der Fraktionsmethode bis zum Eintreten der Abbruchbedingung 

(17) mit ∆ = 0.00001 berechnet. Jede Regel, bei der p01 bzw. p10 unterhalb von 0.002 lag 

und bei der mehr als 100 Iterationsschritte bis zum Abbruch ausgeführt werden mußten, wurde 

als vermutliche Klasse–4–Regel in Tabelle 4 aufgenommen. 

Alle Regeln in der Tabelle, die fett gedruckt erscheinen, zeigen das typische Klasse–4– 

Verhalten, wie es auch von den beiden totalsymmetrischen Klasse–4–Regeln bekannt ist. pH0 

und pH1 lassen hier eine Unterscheidung zwischen Klasse–4–Regeln zu, bei denen begrenzte 1– 

Anfangskonfigurationen auf einem ansonsten mit 0 belegten Feld (pH0 ≈ 1.0) oder begrenzte 

0–Anfangskonfigurationen auf einem 1–Feld (pH1 ≈ 1.0) in der Regel nicht unbegrenzt wachsen. 

Sowohl das eine als auch das andere Verhalten zeigt die Regel S20-26, die mit der totalsymmetrischen 

Regel T52 identisch ist. Dort liegen beide Werte bei etwa 0.5. Abbildung 13 zeigt, daß 

bei einer begrenzten 1–Belegung mit der Regel S12-20 die Anzahl der 1–Zellen nicht über alle 

Maßen wächst. Im umgekehrten Fall (Abbildung 14), bei dem initial wenige 0–Zellen auf einem 

1–Feld vorliegen, wächst die Anzahl der 0–Zellen (auf einem unendlich großen Feld) unbegrenzt 

an. 

Neben den typischen Klasse–4–Regeln wie z.B. S26-25 (Abbildung 15) treten auch Regeln 

auf, deren Verhalten als Klasse 4 auf nichthomogen–konstanten oder einfachen periodischen 

” 

Konfigurationen“ beschrieben werden kann. Abbildung 16 zeigt das Verhalten am Beispiel der 

Regel S4-13. Zu dieser speziellen Klasse von Regeln zählen S4-13, S12-14, S12-15, S20-14, S20-15, 

S22-14 und S22-15. Von den richtigen“ Klasse–4–Regeln unterscheiden sie sich im Wert von pH; 

” 

während er bei den typischen Klasse–4–Regeln nahe 1.0 liegt, ist er bei den genannten Regeln 

etwa 0. 

Vier der vom Algorithmus gefundenen Regeln zeigen kein Klasse–4–Verhalten. Es sind S24- 

14, S24-15 und S12-25, die schnell konstante oder kurz–periodische Konfigurationen erzeugen und 

so in Klasse 2 fallen, sowie S20-12, die eindeutig das chaotische Klasse–3–Verhalten aufweist. 

Die beiden erstgenannten Regeln grenzen sich von den Klasse–4–Regeln (im weiteren Sinne 

entsprechend dem letzten Absatz) durch von 0 und von 1 verschiedene Werte von pH ab. Die 

Regeln S20-12 und S12-25 sind jedoch von den Klasse–4–Regeln in nichts zu unterscheiden — 

hier versagt das Näherungsverfahren. 

Regel S28-20 ist zwar eindeutig eine Klasse–4–Regel (sie wird auch als solche gefunden), 

die berechneten Werte sind jedoch in diesem Fall nicht brauchbar. Es konnte kein typisches 

Klasse–4–Einschwingverhalten beobachtet werden; auch nach über 3000 Ableitungen läßt sich 

die Konfiguration nicht nur durch konstante, periodische oder wandernd–periodische Gebilde 

charakterisieren. Solche Figuren treten zwar auf, wechselwirken jedoch mit aperiodischen Strukturen. 

Vermutlich handelt es sich in diesem Fall um eine Regel, die noch Klasse–4–, aber auch 

schon Klasse–3–Eigenschaften aufweist. 

Auffällig ist, daß die Klasse–4–Regeln in der Binärform der Regel oft nur geringe Hammingdistanzen 

aufweisen. So unterscheiden sich die Regeln S20-10, S4-10, S4-26, S20-26 und S20-27 

vom Nachfolger jeweils nur in einem Bit (Tabelle 5). Meist handelt es sich dabei um fS(0, 4), 

fs(1, 4) oder fS(1, 0). Dieser Umstand läßt sich vermutlich auf eine Verteilung von Dichten lokaler 

Konfigurationen zurückführen, bei denen Konfigurationen mit gleichen Nachbarn nur geringe 

Dichtewerte zukommen. In welcher Art diese Konfigurationen in der Transformationsfunktion 

bearbeitet werden, ist somit nicht für das Verhalten des Automaten entscheidend.


Regel Iterationen p01 p10 p1 pH0 pH1 pH 

4-10 130 0.000 0.000 0.000 0.999 0.000 0.999 

4-13 624 0.001 0.001 0.776 0.000 0.000 0.000 

4-26 161 0.000 0.000 0.001 0.999 0.000 0.999 

12-14 131 0.000 0.000 0.902 0.000 0.000 0.000 

12-15 122 0.000 0.000 0.874 0.000 0.000 0.000 

12-18 369 0.001 0.001 0.001 0.998 0.000 0.998 

12-20 137 0.000 0.000 0.000 0.999 0.000 0.999 

12-25 434 0.001 0.001 0.500 0.498 0.498 0.996 

20-10 164 0.000 0.000 0.000 0.999 0.000 0.999 

20-12 208 0.000 0.000 0.001 0.998 0.000 0.998 

20-14 113 0.001 0.001 0.478 0.000 0.001 0.001 

20-15 112 0.001 0.001 0.478 0.000 0.001 0.001 

20-26 384 0.001 0.001 0.500 0.497 0.497 0.994 

20-27 161 0.000 0.000 0.999 0.000 0.999 0.999 

22-14 197 0.001 0.001 0.485 0.000 0.001 0.001 

22-15 195 0.001 0.001 0.485 0.000 0.001 0.001 

22-25 369 0.001 0.001 0.999 0.000 0.998 0.998 

24-14 142 0.002 0.002 0.254 0.151 0.002 0.152 

24-15 148 0.002 0.002 0.280 0.097 0.002 0.099 

26-24 584 0.001 0.001 0.998 0.000 0.997 0.997 

26-25 137 0.000 0.000 1.000 0.000 0.999 0.999 

28-20 584 0.001 0.001 0.002 0.997 0.000 0.997 

Tabelle 4: Ergebnisse der Suche nach Klasse–4–Regeln unter allen zentralsymmetrischen Regeln 

des Automaten d = 1, k = 2, r = 2 . Alle fettgedruckten Regeln zeigen tatsächlich das typische 

Klasse–4–Verhalten. Regel S20-10 ist identisch mit T20, Regel S20-26 mit T52. 

Regel nS0 nS1 

20-10 10100 01010 

4-10 00100 01010 

4-26 00100 11010 

20-26 10100 11010 

20-27 10100 11011 

Tabelle 5: Zwischen Klasse–4–Regeln in ihrer Binärform bestehen oft nur geringe Hammingdistanzen.


Abbildung 13: Regel S12-20: Auf einem 0–Feld bleibt die Anzahl der 1–Zellen einer begrenzten 

initialen 1–Belegung begrenzt. 

Abbildung 14: Regel S12-20: Auf einem (unendlichen) 1–Feld wächst die Zahl der 0–Zellen 

unbegrenzt. Hier endet das Wachstum bei Erreichen der Feldgrenze.


Abbildung 15: Typisches Klasse–4–Verhalten bei der Regel S26-25. 

Abbildung 16: Ein Vertreter der ” Klasse 4 auf nichthomogen–konstanten oder periodischen 

Strukturen“: die Regel S4-13.


5.5 S28-20 — Kandidat für Berechnungsuniversalität ? 

S28-20 ist eine der vom Algorithmus gefundenen zentralsymmetrischen Klasse–4–Regeln (die 

Regel S26-24 zeigt das gleiche Verhalten, nur daß 0–Zellen und 1–Zellen vertauscht sind). Die 

Regel S28-20 weist unter diesen Regeln wohl das interessanteste“ Verhalten auf. Es existieren 

” 

eine Vielzahl periodischer (Abbildung 17) oder wandernd–periodischer Gebilde (Abbildung 18), 

deren Interaktion verblüffende Resultate hervorbringt (Abbildungen 19 und 20). Wandernd– 

periodische Strukturen werden oft als Glider“ bezeichnet — in Analogie zu einer derartigen 

” 

Struktur, die im LIFE“–Automaten gefunden wurde [4, 3]. 

” 

Es ist vorstellbar, daß sich durch die Wechselwirkung dieser Strukturen Gebilde konstruieren 

lassen, mit denen man logische Funktionen (Zusammenprall von Glidern (?), Abbildungen 

19, 20), schreib- und lesbare Speicher (Verschiebung von Gebilden (?), Abbildung 19, rechts) 

und Taktgeneratoren (Glidergun, siehe z.B. [3], für S28-20 nicht bekannt) nachbilden kann. 

Gelänge dies, so wäre ein Weg zum Beweis der universellen Berechenbarkeit offen: die Realisierung 

von Baugruppen eines universellen Digitalrechners durch Gebilde des zellularen Automaten. 

Während der Nachweis der Existenz von logischen Funktionen“, Speichern“ und 

” ” 

” Taktgeneratoren“ in zwei– oder höherdimensionalen Automaten unter Umständen genügt, sind 

im eindimensionalen Fall bei diesem Beweisverfahren sogenannte Solitonen–Glider“ [3] aufzu- 

” 

finden. Diese haben die besondere Eigenschaft, sich gegenseitig unbeschadet durchdringen zu 

können. Solitonen–Glider sind bei S28-20 bis jetzt nicht bekannt. 

Abbildung 17: S28-20 : verschiedene periodische Gebilde 

Abbildung 18: S28-20 : drei ” Glider“ mit unterschiedlicher Periode und Geschwindigkeit


Abbildung 19: S28-20 — Linkes Bild : Der Glider 10111 prallt auf eine periodische Struktur, es 

entsteht ein anderer Glider, der sich in entgegengesetzter Richtung bewegt. Rechtes Bild : Trifft 

der Glider zu einem anderen Schritt der Periode auf die periodische Figur, so wird diese um eine 

Zelle versetzt. 

Abbildung 20: S28-20 — Interaktion zwischen Glidern und zwischen Glidern und periodischen 

Strukturen.


T32 

T36 

T20 

Ordnung Chaos 

S28−20 T14 

Vielfalt 

Abbildung 21: Ordnung – Vielfalt – Chaos in der Welt der Automaten. 

5.6 Ordnung – Vielfalt – Chaos 

Am deutlichsten wird wohl die Einordnung der Spielregeln in verschiedene Klassen anhand Abbildung 

21. Dargestellt ist ein erweitertes Mengendiagramm der Spielregeln. In ihm soll nicht 

nur die Einordnung einer Regel in die entsprechende Teilmenge von Bedeutung sein, sondern 

auch die Anordnung der Regeln bezüglich der Teilmengengrenzen. Zwischen dem ausgedehnten 

Bereich der Ordnung mit der großen Zahl der Klasse–1- und Klasse–2–Regeln und dem ebenfalls 

ausgedehnten Bereich des Chaos, der alle Klasse–3–Regeln enthält, existiert ein sehr schmaler 

Streifen der Vielfalt, in dem die wenigen Klasse–4–Regeln zu finden sind. Exemplarisch sind 

einige der untersuchten Regeln eingeordnet. T32 mit ihrer kurzen Einschwingzeit liegt tief im 

Bereich der Ordnung, während T36 durch die längere Einschwingzeit bereits im Grenzbereich 

zwischen Ordnung und Vielfalt anzusiedeln ist. T20 findet sich als Beispiel der Klasse–4–Regeln 

im Bereich der Vielfalt; S28-20 bereits an der Grenze zwischen Vielfalt und Chaos (siehe Abschnitt 

5.5). T14 als typische Klasse–3–Regel zeigt rein chaotisches Verhalten. 

Auch im Verhalten der Zellularautomaten spiegelt sich so eine wohl in der Natur allgemeingültige 

Gesetzmäßigkeit wider. Nur in einem schmalen Übergangsbereich von Ordnung zu 

Chaos kann sich Systemverhalten mit großer Vielfalt (Leben, Denken ...) herausbilden. Im Bereich 

der Ordnung ist das Verhalten des Systems zu einfach, um interessante Eigenschaften 

zeigen zu können, es existieren nur beständige und kaum variierbare Strukturen. Im Gebiet des 

Chaos ist hingegen die Herausbildung zumindest zeitweilig beständiger Strukturen nicht möglich 

[7, 8]. 

5.7 Untersuchungen an zweidimensionalen Automaten 

Neben den zahlreichen Betrachtungen zu den eindimensionalen Automaten wurden auch einige, 

aufgrund der erforderlichen Rechenzeit wenige, Untersuchungen an zweidimensionalen Automaten 

durchgeführt. Gegenstand der Näherungsberechnungen war hier der Automat d = 2, k = 

2, r = 1, wobei eine Moore-Nachbarschaft M (d) 

r = M (2) 

1 entsprechend Definition 9 Verwendung 

fand [9].


Definition 9 Sei Z d der d–dimensionale ganze Raum. Ein Nachbarschaftsindex N heißt dann 

d–dimensionale Moore-Nachbarschaft der Reichweite r, wenn gilt: 

N = M (d) 

r , M (d) 

r = {a ∈ Z d | �a� ≤ r}, �a� = max 

1≤i≤d |ai| (20) 

Die Nachbarschaft M (2) 

1 erfaßt alle 8 unmittelbaren Nachbarzellen einer Zelle im zweidimensionalen 

Gitter sowie die Zelle selbst. 

Um die Fraktionsmethode effektiv auf diesen Fall anwenden zu können, sind zwei Vorbetrachtungen 

vonnöten. Zum einen kann man die Komplexität der Berechnung drastisch reduzieren, 

indem man von der Annahme der Unabhängigkeit (siehe 5.8) Gebrauch macht. Es müssen in 

diesem Fall nicht alle 2 16 möglichen Belegungen auf den an die Nachbarschaft angrenzenden 

16 Zellen durchprobiert werden, sondern es werden unabhängig voneinander die jeweils frei belegbaren 

Nachbarn der 8 Nachbarzellen durchgespielt. Das sind insgesamt 4 · 2 3 + 4 · 2 5 = 160 

Varianten. 

Des weiteren kann man die 256 Konfigurationen auf insgesamt 102 reduzieren, aus denen 

die restlichen durch Rotation und Spiegelung an der Diagonale hervorgehen, wenn man davon 

ausgeht, daß Rotationen und Spiegelungen auf der Konfiguration Ci genauso in der entstehenden 

Konfiguration Cj wirken. Es genügt also, einen Prototyp einer solchen Gruppe von Konfigurationen 

zu berechnen und die Ergebnisse entsprechend der Rotationen und Spiegelungen auf die 

Zielkonfigurationen zu summieren. 

Die Numerierung der verwendeten zentralsymmetrischen Regeln entspricht der bei den eindimensionalen 

Automaten angewandten Methode, wobei lediglich die größtmögliche Anzahl von 

1–Nachbarn auf 8 steigt. 

Untersucht wurde die ” LIFE“-Regel S8-12 [4, 3] und 7 weitere Regeln, die in der Hammingnachbarschaft 

von ” LIFE“ liegen: S8-8, S12-12, S24-12, S8-28, S8-24, S8-14 und S10-12. Für 

die Experimente zum realen Verhalten der Regeln wurde auf einem Feld der Größe 60 × 30 

gearbeitet, welches zu einem Torus geschlossen wurde. Somit ist das Feld endlich, aber ohne 

Rand. 

Tabelle 6 zeigt die Ergebnisse. Abgebrochen wurde bei ∆ = 0.0005 nach (17). 

Regel Iterationen p01 p10 p1 

8-12 94 0.012 0.013 0.032 

8- 8 12 0.000 0.001 0.001 

12-12 15 0.259 0.259 0.391 

24-12 8 0.252 0.252 0.376 

8-28 23 0.001 0.001 0.531 

8-24 29 0.001 0.002 0.004 

8-14 13 0.151 0.151 0.339 

10-12 11 0.217 0.217 0.397 

Tabelle 6: Ergebnisse der Anwendung der Fraktionsmethode auf den beschriebenen zweidimensionalen 

Automaten 

Die Vorhersagen stimmen in allen 8 Fällen mit der Realität überein. Regel S8-12 hat eine 

große Iterationszeit, die Übergangsdichten nähern sich 0 (der Abbruch erfolgt bei einem relativ


großen ∆). Die Regeln S12-12, S24-12, S8-14 und S10-12 zeigen Klasse–3–Verhalten, was sich 

auch in der Ergebnissen der Fraktionsmethode widerspiegelt: die Übergangsdichten sind deutlich 

von 0 verschieden. Bei den Regel S8-8 und S8-24 wurde Verhalten der Klasse 2 festgestellt, wobei 

die Einschwingdauer bei S8-24 länger als bei S8-8 ist. Auch dies läßt sich aus den berechneten 

Werten vorhersagen. Eine Sonderstellung nimmt S8-28 ein. Bei dieser Regel wachsen begrenzte 

1–Konfiguration über alle Maßen. Unbegrenzte zufällige Belegungen (die den gesamten Torus 

erfassen) ändern sich nach einer Einschwingphase nicht mehr (oder es entstehen Konfigurationen, 

bei denen nur wenige Zellen periodische Strukturen bilden). Auch dieses Verhalten erklärt die 

Werte der Fraktionsmethode. 

5.8 Formale Schwächen des Algorithmus 

In den vorangegangenen Abschnitten wurde deutlich, daß die Fraktionsmethode im allgemeinen 

brauchbare Aussagen über das Verhalten von Anfangsbelegungen mit gleichverteilten Zellzuständen 

liefert. In dieser Aussage liegt wohl auch die primäre Bedeutung des Algorithmus: es 

ist möglich, ohne unmittelbare Simulation Aussagen über das (theoretisch über alle Anfangsbelegungen 

mit gleichverteilten Zellzuständen gemittelte) Verhalten des Automaten zu treffen. 

Nachdenkenswert ist die Frage des Verhältnisses des Aufwands für Simulation und anschließende 

Mittelung auf der einen und der Anwendung der Fraktionsmethode auf der anderen Seite. 

Statistische Betrachtungen zur notwendigen Versuchsanzahl in der Simulation könnten Aussagen 

darüber liefern, ob die Fraktionsmethode schneller zu Ergebnissen führt als die mehrfache 

Simulation. Im hier betrachteten eindimensionalen Automaten erscheint die Fraktionsmethode 

als die schnellere Variante. Untersuchungen an zweidimensionalen Automaten (siehe 5.7) lassen 

allerdings die Vermutung zu, daß es eine Grenze in Dimension, Nachbarschaftsgröße und 

Zustandsanzahl gibt, von der an die Simulation geringere Komplexität zeigt als die Näherungsmethode. 

Obwohl die Fraktionsmethode sinnfällige und den realen Verhältnissen naheliegende Ergebnisse 

hervorbringt, sollen ihre Schwächen nicht verschwiegen werden. Sie sind vor allem formaler 

Art. 

1. Der Ansatz basiert, wie schon erwähnt, auf der Vernachlässigung der ” räumlichen“ Korrelationen 

zwischen den Nachbarschaftszellgruppen. Da der Einflußbereich einer Zelle insbesondere 

bei Automaten der Klassen 3 und 4 mit der Zahl der Ableitungen zunimmt 

[12], ist zu vermuten, daß es zwar möglich ist, unter zunehmender Berücksichtigung der 

Korrelationen bessere Näherungsverfahren zu entwickeln — die Existenz eines Verfahrens 

zur exakten Angabe von mittleren Zeitverläufen (gemittelt über alle möglichen Anfangsbelegungen) 

steht jedoch in Frage. 

2. Gleichung (11) setzt unabhängige Wahrscheinlichkeiten voraus. Diese sind jedoch nicht 

gegeben. Da die Nachbarschaften der betrachteten Zellen überlappen, ist es eigentlich 

nicht zulässig, das Schicksal der Zellen unabhängig voneinander zu betrachten. Die Wahrscheinlichkeit, 

mit der eine Zelle im nächsten Schritt einen bestimmten Zustand einnimmt, 

hängt mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit derjenigen Zellen zusammen, mit denen 

die erste Zelle gemeinsame Nachbarzellen besitzt. Es ist allerdings nicht gelungen, diesen 

Zusammenhang algorithmisch zu beschreiben. Exakt wäre diese Betrachtungsweise nur für 

Nachbarschaften, die sich nicht in frei variierbaren Zellen überlappen (siehe unten).


3. In den Formeln (12) bis (15) wird ein Quotient gebildet, bei dem im Nenner die Summe 

der Häufigkeiten steht, mit der die an dieser Stelle möglichen Lokalkonfigurationen auftreten. 

Diese Summe kann auch 0 sein. Dieser Fall tritt auch in der Berechnung auf, jedoch 

vergleichsweise selten (bei den totalsymmetrischen Regeln sind es 28, 30, 32, 48, 60 und 

62, bei denen das geschieht). In der rechentechnischen Umsetzung des Algorithmus wurde 

in diesem Fall dem Quotienten der Wert 0 zugewiesen, was formal nicht begründbar ist. 

Versuche mit anderen Werten (zwischen 0 und 1) führten zu dem Ergebnis, daß der Einfluß 

des gewählten Wertes unbedeutend ist. Das Auftreten des undefinierten Quotienten 

ist meist mit einer sehr geringen Häufigkeit der betrachteten Konfiguration verbunden. 

Qualitative Änderungen waren daher nicht zu beobachten; einzige auffällige Wirkung war 

das Fehlen der periodischen Schwingung bei Regel T30. Bei manchen Werten trat dieses 

Verhalten jedoch dann bei Regel T28 auf. 

Unter den getroffenen Annahmen wäre es unbedingt erforderlich, ein Gütekriterium für den 

Näherungsalgorithmus zu finden, welches Angaben über die Brauchbarkeit der Resultate macht. 

Ein solches Kriterium kann vom Autor nicht angegeben werden. Es ist an dieser Stelle lediglich 

die Aussage möglich, daß die Ergebnisse in der Mehrzahl der untersuchten Fälle den Erwartungen 

entsprechen. Zu Punkt 2 der beschriebenen Schwächen des Algorithmus ließe sich möglicherweise 

eine Abschätzung über die Güte angeben. Diese bezieht sich auf die Abhängigkeiten des Schicksals 

der Nachbarzellen. Betrachtet man zwei Nachbarzellen, so überlappen sich eventuell deren 

Nachbarschaftsbereiche. So hat im Fall d = 1, k = 2, r = 2 die Zelle l = −2 die Nachbarzellen 

−4, −3, −2, −1 und 0, die Zelle l = −1 die Nachbarzellen −3, −2, −1, 0 und 1. Die beiden Nachbarschaften 

überlappen sich in den Zellen −3, −2, −1 und 0. Von diesen Zellen kann nur die Zelle 

−3 frei variiert werden; die restlichen Zellen sind durch die betrachtete Konfiguration bestimmt. 

In diesem geringen Überlappungsgrad ist auch die Ursache für die Brauchbarkeit der Ergebnisse 

des Algorithmus trotz der getroffenen Einschränkungen zu vermuten. Ebenso liegt hier der Ansatzpunkt 

für eine Güteabschätzung. Überlappen sich die Nachbarschaftsbereiche nicht in frei 

variierbaren Zellen (wie z.B. bei den Zellen l = −2 und l = 1), so ist die unabhängige Behandlung 

des Schicksals der Zellen unter den anderen Näherungsannahmen zulässig. Vermutlich sinkt 

die Güte des Algorithmus mit steigendem Überlappungsgrad. 

5.9 Vergleich mit einem einfacheren Verfahren 

Die Resultate der Fraktionsmethode sollen hier mit einem von Wolfram in [11] vorgeschlagenen 

Näherungsverfahren verglichen werden. Dieses Verfahren berücksichtigt nicht die räumlichen 

Korrelationen zwischen einzelnen Zellen. Die Häufigkeit ˜pi, mit der eine lokale Konfiguration Ci 

auftritt, wird allein aus der Dichte der 1–Zellen p1 (bzw. der Dichte der 0–Zellen p0 = 1 − p1) 

berechnet. Sei 

n i r� 

1 = b(c l r� 

i, 1) = 

(21) 

l=−r 

c 

l=−r 

l i 

die Anzahl der 1–Zellen in der lokalen Konfiguration Ci und ni 0 = (2r +1)−ni 1 = 5−ni 1 (d = 

1, r = 2, k = 2) die Anzahl der 0–Zellen. Wolfram berechnet daraus die Häufigkeit des Auftretens 

der lokalen Konfiguration Ci nach 

˜pi = p ni 1 

1 · pni 0 

0 

(22)


Kennt man die Häufigkeitswerte jeder Konfiguration sowie die Spielregel, so kann man Näherungswerte 

für die Übergangsdichten ˜p10 und ˜p01 wie folgt ermitteln: 

˜p10 = 

˜p01 = 

k 2r+1 −1 

� 

i=0 

k 2r+1 −1 

� 

i=0 

b(c 0 i , 1) · b(f(Ci), 0) · ˜pi 

b(c 0 i , 0) · b(f(Ci), 1) · ˜pi 

Im eingeschwungenen Zustand sind beide Übergangsdichten gleich: ˜p01 = ˜p10. Daraus ergibt sich 

hier eine ganze rationale Gleichung 5.Grades für p1. Tabelle 7 zeigt die im Intervall 0 ≤ p1 ≤ 1 

liegenden Lösungen für alle totalsymmetrischen Spielregeln. Sie wurden näherungsweise mit einer 

Genauigkeit von ±0.001 ermittelt. 

Eine ähnliche Tabelle ließe sich für die Übergangswahrscheinlichkeiten angeben. Das größte 

Problem ergibt sich aus den mehrfachen Lösungen für p1 — eine Möglichkeit, daraus die ” richtige“ 

zu ermitteln, kann nicht angegeben werden. Ein Vergleich mit Tabelle 3 macht deutlich, 

daß nur bei wenigen Regeln die Vorhersagen für die Grenzdichte der 1–Zellen in der Nähe 

der tatsächlichen Dichten liegen. Da nur der Gleichgewichtszustand betrachtet wird, liefert der 

Algorithmus auch keine Werte für die Einschwingzeiten. Eine Klasseneinteilung ist mit den gewonnenen 

Werten nicht möglich. 

(23) 

(24)


Klasse Regel p1 mit ˜p01 − ˜p10 = 0 

1 0 0.000 

1 4 0.000 0.184 0.324 

1 16 0.000 

1 32 0.000 1.000 

1 36 0.000 0.183 0.333 1.000 

1 48 0.000 0.868 1.000 

1 54 0.000 0.666 0.816 1.000 

1 60 0.000 0.131 1.000 

1 62 0.000 1.000 

2 8 0.000 

2 24 0.000 0.572 0.646 

2 40 0.000 1.000 

2 56 0.000 0.500 1.000 

2 58 0.000 1.000 

3 2 0.000 0.331 

3 6 0.000 0.487 

3 10 0.000 0.475 

3 12 0.000 0.133 0.587 

3 14 0.000 0.619 

3 18 0.000 0.357 

3 22 0.000 0.578 

3 26 0.000 0.697 

3 28 0.000 0.131 0.748 

3 30 0.000 0.754 

3 34 0.000 0.333 1.000 

3 38 0.000 0.500 1.000 

3 42 0.000 0.500 1.000 

3 44 0.000 0.132 0.638 1.000 

3 46 0.000 0.666 1.000 

3 50 0.000 0.361 0.867 1.000 

4 20 0.000 0.173 0.449 

4 52 0.000 0.172 0.500 0.827 1.000 

Tabelle 7: Im Intervall [0, 1] liegende Lösungen p1 von ˜p01 − ˜p10 = 0.


6 Zusammenfassung 

Anliegen dieser Arbeit war es, Ansätze zur mathematischen Beschreibung des Verhaltens zellularer 

Automaten zu untersuchen. Es gelang die Entwicklung eines Näherungsverfahrens, welches 

in der Lage ist, Aussagen über das qualitative Verhalten zellularer Automaten zu machen sowie 

Näherungswerte für mittlere Abklingverläufe, Einschwingzeiten und Grenzdichten anzugeben. 

Es sollten vor allem die in der Arbeit getroffenen Aussagen über die generellen Möglichkeiten 

der Voraussage über das Verhalten zellularer Automaten Beachtung finden: 

• Ein allgemeingültiges Verfahren, mit dem in Abhängigkeit von Raumdimension, Alphabet, 

Nachbarschaft und Transformationsfunktion beliebige Voraussagen über die Entwicklung 

von Anfangsbelegungen getroffen werden können, existiert nicht, da dieses Verfahren auch 

auf Automaten anwendbar sein müßte, die zur universellen Berechnung fähig sind. Das 

Verhalten der letzeren kann jedoch nur durch ihre Simulation bestimmt werden [13, 3]. 

• Aufgrund der Tatsache, daß der Bereich der gegenseitigen Abhängigkeit der Zellen mit der 

Anzahl der Berechnungsschritte anwachsen kann, gibt es Zweifel an der Existenz eines Verfahrens, 

mit dem exakt das über alle möglichen Anfangsbelegungen gemittelte Verhalten 

angegeben werden kann, ohne daß Näherungsannahmen gemacht werden müssen. 

• Gibt es solch ein Verfahren nicht, so bleibt nur die Möglichkeit, Näherungsverfahren zu 

vervollkommnen, so daß die Korrelationen zwischen den Zellen in immer stärkerem Maße 

berücksichtigt werden. Daß solche Näherungsverfahren brauchbare Aussagen liefern 

können, wurde in dieser Arbeit gezeigt. In diesem Fall gelangt man jedoch schnell an die 

Grenze der Sinnfälligkeit eines Näherungsverfahrens, wenn nämlich die Komplexität des 

Näherungsalgorithmus die der Simulation übersteigt. Diese Grenze ist vermutlich schon bei 

der Anwendung der relativ einfachen Fraktionsmethode auf einen ebenfalls recht simplen 

zweidimensionalen Automaten (Abschnitt 5.7) erreicht: es sind bereits Symmetriebetrachtungen 

vonnöten, um die Rechenzeit in Grenzen zu halten. Oberhalb dieser Grenze liefert 

die Simulation schneller brauchbare Werte als die Näherung. Die Existenz dieser Grenze 

ist allerdings nicht bewiesen; möglicherweise steigt der Simulationsaufwand mit steigenden 

Genauigkeitsforderungen schneller an als der Aufwand für die Näherung. 

Im Bewußtsein dieser Schwierigkeiten, die bereits bei der Beschreibung relativ einfacher Systeme 

auftreten, erscheint überlegenswert, ob bei dem viel komplizierteren, in [1] beschriebenen 

System der Gesamtaufwand für die Entwicklung von mathematischen Beschreibungsmöglichkeiten 

den dadurch erzielten Nutzen rechtfertigt, zumal die Funktionstüchtigkeit des Systems mit 

den experimentell gewählten Parametern in [1] gezeigt wurde. Selbst wenn die mathematische 

Beschreibung des Systemverhaltens gelänge, ist ein Erkenntniszuwachs gegenüber dem jetzigen 

Stand keinesfalls sicher.


Anhang A: Beweis zu Satz 2 

Es soll zunächst gezeigt werden, daß Satz 2 nicht logisch aus Satz 1 folgt. Sei T (f) die Aussage: 

” Die Transformationsfunktion f ist totalsymmetrisch.“, und sei Si(f) die Aussage: f ist invariant 

” 

gegenüber ΠSY Mi (1 ≤ i ≤ m).“. Zu widerlegen ist somit die Aussage: 

�� 

m� 

� 

� 

∀f ∀i ∀j (i �= j) : T (f) → Sk(f) → ((Si(f) ∧ Sj(f)) → T (f)) 

k=1 

Ohne Widerspruch zu Satz 1 kann ein f angenommen werden, das T (f) zu einer falschen und 

alle Si(f) zu wahren Aussagen macht. Dann ist die linke Implikation wahr und die rechte Implikation 

falsch und somit die gesamte Implikation falsch. Mit diesem Gegenbeispiel ist die Aussage 

widerlegt und Satz 2 muß bewiesen werden. 

Zum Beweis von Satz 2: 

Sei π ∈ γ (n) eine Permutation, die genau die Elemente i und j vertauscht, d.h. π(i) = j und 

π(j) = i mit i �= j sowie π(k) = k ∀k, k �= i, k �= j. Man schreibt dann π = (i, j). 

Sei weiterhin π1 · π2 die Hintereinanderausführung von π1 ∈ γ (n) und π2 ∈ γ (n) . π 0 sei das 

Einselement von γ (n) und π λ = π · π λ−1 mit λ ∈ N und π ∈ γ (n) . 

Hilfssatz 1 Sei A = {(i, j) | (i, j) ∈ γ (n) }. Dann gilt: 

{ π | π ∈ γ (n) ; π = a λ · b µ · . . . · c ν ; a, b, . . . , c ∈ A; λ, µ, . . . , ν ∈ N ∪ {0} } = γ (n) 

Durch Hintereinanderausführung der Permutationen (i, j) aus A kann also die Menge aller Permutationen 

erzeugt werden. Hilfssatz 1 wurde induktiv bewiesen, auf den Beweis soll jedoch hier 

verzichtet werden. 

Hilfssatz 2 Sei γ (n) die Menge aller Permutationen der Ordnung n, n > 2 (Permutationen 

von n Elementen) und U1 ⊂ γ (n) mit U1 = {π | π ∈ γ (n) , π(i) = i} sowie U2 ⊂ γ (n) mit U2 = 

{π | π ∈ γ (n) , π(j) = j} und i �= j. Sei U = U1∪U2. Dann kann durch Hintereinanderausführung 

der in U enthaltenen Permutationen γ (n) erzeugt werden. 

Beweis: 

Es gilt (k, l) ∈ U1 ∀k �= i ∀l �= i. Zwar ist (i, l) /∈ U1 ∀l, jedoch (i, l) ∈ U2, ∀l �= j. 

Ebenso gilt (k, l) ∈ U2 ∀k �= j ∀l �= j. Hier ist (j, l) /∈ U2 ∀l, aber (j, l) ∈ U1, ∀l �= i. 

Da U = U1 ∪ U2 und (i, j) = (i, l) · (j, l) · (i, l) mit l �= i und l �= j und wegen (j, l) ∈ U1 und 

(i, l) ∈ U2 gilt Ũ = U ∪ {(i, j)} = {(k, l) | (k, l) ∈ γ(n) }. Ũ erfüllt die Voraussetzungen von 

Hilfssatz 1. Damit kann γ (n) erzeugt werden, w.z.b.w. 

Beweis: von Satz 2 

Für jede Belegung der Argumente der Transformationsfunktion sind sowohl die Permutationen 

aus der Menge ΠSY Mi (einer Untergruppe von γ(n) ) als auch die aus ΠSY Mj (ebenfalls 

eine Untergruppe von γ (n) ) zulässig, ohne daß sich der Funktionswert ändert. Ebenso sind alle 

Hintereinanderausführungen dieser Permutationen erlaubt. Nach Hilfssatz 2 sind dann alle 

Permutationen aus γ (n) erlaubt. Damit muß f invariant gegen γ (n) sein und ist demnach totalsymmetrisch.


Anhang B: Beweis der Umkehrung von Satz 1 

Es soll gezeigt werden, daß die Umkehrung von Satz 1 sich durch logisches Folgern aus Satz 2 

ergibt. Zu beweisen ist also: 

� 

� 

m� 

�� 

∀f ∀i ∀j (i �= j) : ((Si(f) ∧ Sj(f)) → T (f)) → Sk(f) → T (f) 

Für jede Wahl von f, i und j wird der nichtquantifizierte Term zu einer Aussage der Form: 

(A → C) → ((A ∧ B) → C), 

wobei A, B und C Aussagen sind. Durch Umformen kann bewiesen werden, daß diese Aussage 

eine Identität ist. Nach dem modus ponens des Folgerns ( ” Wenn Aussage1 dann Aussage2. Nun 

aber Aussage1. Folgerung: Aussage2.“) ist damit die Umkehrung von Satz 1 bewiesen, denn die 

Prämisse Aussage1 ist der bewiesene Satz 2 und die Konklusion Aussage2 die zu beweisende 

Umkehrung von Satz 1. 

k=0


Literatur 

[1] Böhme, H.-J.: Konzipierung und Simulation eines Modells zur kontextabhängigen Szenenrepräsentation 

auf der Grundlage eines Arrays elementarer kortikaler Prozessoren, Dissertation 

A, Technische Hochschule Ilmenau, Ilmenau 1990 

[2] Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik, Teubner Verlagsgesellschaft, 

Leipzig 1985 

[3] Dewdney, A.K.: Computer-Kurzweil, Spektrum der Wissenschaften, Juli 1985 – S.4-11 

[4] Gardner, M.: Mathematical Games, Scientific American, Februar, März, April 1971, Januar 

1972 

[5] Hayes, B.: Computer-Kurzweil, Spektrum der Wissenschaften, Juni 1984 – S.6-15 

[6] Hopcroft, J.E.: Turingmaschinen, Spektrum der Wissenschaften, Juli 1984 – S.34–49 

[7] Kauffman, S.A.: Leben am Rande des Chaos, Spektrum der Wissenschaften, Oktober 1991 

– S.90-99 

[8] Kauffman, S.A.: Emergent Properties in Random Complex Automata, Physica 10D, 1984 

– S.145-156 

[9] Szwerinski, H.: Zellularautomaten mit symmetrischer lokaler Transformation, Dissertation, 

Braunschweig 1982 

[10] Wolfram, S.: Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific Publishing, 

Singapore 1986 

[11] Wolfram, S.: Statistical mechanics of cellular automata, in [10] 

[12] Wolfram, S.: Universality and complexity in cellular automata, in [10] 

[13] Wolfram, S.: Twenty Problems in the Theory of cellular automata, in [10] 

[14] Wolfram, S.: Software für Mathematik und Naturwissenschaften, Spektrum der Wissenschaften, 

November 1984 – S.164-176


Verzeichnis der Abbildungen 

Abb. Nr. Bezeichnung Seite 

1 Venn–Diagramm der Spielregeln 10 

2 T36: Beispiel eines Klasse–1–Automaten 14 



5 T6: Klasse 3: unbegrenztes Wachstum begrenzter Anfangsbelegungen 16 


7 Nachbarschaft und Umgebung bei der Fraktionsmethode 23 

8 Das Prinzip der Fraktionsmethode 24 

9 T4: Ergebnisse der Fraktionsmethode und reales Verhalten 28 




13 S12-20: Die Anzahl der 1–Belegungen bleibt begrenzt. 33 

14 S12-20: Die Anzahl der 0–Belegungen bleibt nicht begrenzt. 33 

15 S26-25: Typisches Klasse–4–Verhalten 34 

16 S4-13: Klasse–4–Verhalten auf konstanten oder periodischen Strukturen 34 

17 S28-20: Periodische Strukturen 35 

18 S28-20: Wandernd–periodische Strukturen 35 

19 S28-20: Interaktion periodischer und wandernd–periodischer Gebilde 36 

20 S28-20: Interaktion periodischer und wandernd–periodischer Gebilde 36 

21 Ordnung – Vielfalt – Chaos 37 

Verzeichnis der Tabellen 

Tab. Nr. Bezeichnung Seite 

1 Die totalsymmetrischen Spielregeln in Binärform 18 

2 Ergebnisse der Fraktionsmethode für totalsymmetrische Regeln 26 

3 Genäherte und reale 1–Dichten bei Klasse–3–Regeln 30 

4 Zentralsymmetrische Klasse–4–Regeln 32 

5 Hammingnachbarschaft bei Klasse–4–Regeln 32 

7 Ergebnisse der Näherung nach Wolfram 42 

6 Ergebnisse der Fraktionsmethode bei zweidimensionalen Automaten 38


Erklärung 

Ich erkläre, daß ich die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der angegebenen 

Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe. 

Ilmenau, den 14. Dezember 1991

kB - AG Technische Informatik

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