Aufgabe 1 (2 Punkte) Gegeben sind zwei Koordinatensysteme mit ...

Aufgabe 1 (2 Punkte)
Gegeben sind zwei Koordinatensysteme mit demselben Ursprung, welche wie in
der Abbildung gezeigt gegeneinander verdreht sind:
z 0
z 1
y 1
45 ◦
x 1
x 0
y 0
(Das Rechteck deutet einen rechten Winkel an.)
Berechnen Sie die TransformationsmatrixR 1 0.
Aufgabe 2 (2 Punkte)
Bzgl. des oben angegebenen Koordinatensystems 1habe ein Punkt die Koordinaten
p 1 = (1, 2, −1) T . Welche Koordinaten p 0 hat dieser Punkt bzgl. Koordinatensystem
0?
Aufgabe 3(2 Punkte)
Berechnen Sie die Determinante der MatrixR 1 0.
Aufgabe 4(2 Punkte)
Welche Koordinaten haben die Punkte p 1 = (1, 0, 0) T , (0, 1, 0) T und (0, 0, 1) T im
Koordinatensystem 0?Welche Aussage über die Struktur der MatrixR 1 0 können Sie
aus der Berechnung ableiten?
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Aufgabe 5 (3 Punkte)
Das Koordinatensystem 1 ergibt sich aus dem Koordinatensystem 0, indem zuerst
um einen Winkel von 90 ◦ um die x-Achse und dann um 90 ◦ um die feste y-Achse
rotiert wird. Ermitteln Sie die Rotationsmatrix R 1 0 der zusammengesetzten Transformation
und skizzieren Sie das ursprüngliche und das transformierte Koordinatensystem.
Aufgabe 6(3 Punkte)
Gegeben seien drei Koordinatensysteme 1, 2und 3. Bekannt sind die Transformationsmatrizen
⎛
⎞
⎛ ⎞
1 0 0
0 0 −1
R 2 1 = ⎝ 1
0 ⎠ ; R 3 1 = ⎝0 1 0 ⎠
1 0 0
Bestimmen Sie R 3 2.
Aufgabe 7(3 Punkte)
0 √ 3
2
− √ 3
2 2
1
2
Sei u = 1 √
3
(1, 1, 1) T und Θ = 90 ◦ . Bestimmen Sie R u,Θ .
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