Diskrete Strukturen

Die Binomische Formel
Satz.
Beispiele
(a+b) n =
(a+b) 1 = a+b
n
k=0
(a+b) 2 = a 2 +2ab +b 2
n
a
k
n−k b k .
(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 +b 3
(a+b) 4 = a 4 +4a 3 b +6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4
Diskrete Strukturen Binomialkoeffizient

Potenzmenge
Definition
Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen
von M.
Beispiel
Sei A = {♦,♣,♥,♠}. Dann gilt
P(A) = ∅,{♦},{♣},{♥},{♠},{♦,♣},{♦,♥},{♦,♠},{♣,♥},
{♣,♠},{♥,♠},{♦,♣,♥},{♦,♣,♠},{♦,♥,♠},{♣,♥,♠},
{♦,♣,♥,♠} .
Satz. (Mächtigkeit von P(M))
Für endliche Mengen gilt |P(M)| = 2 |M| .
Für unendliche Mengen gilt |M| < |P(M)|. (Satz von Cantor)
Diskrete Strukturen Zurück zur Mengensprache

Geordnete Paare und Produktmenge
Definition
Die Menge {{a},{a,b}} nennt man ein geordnetes Paar mit den
Komponenten a und b.
Schreibweise: (a,b) = {{a},{a,b}}.
Produktmenge
Die Produktmenge zweier Mengen A und B ist durch
gegeben. Dabei gilt
A×B := {(a,b) | a ∈ A,b ∈ B}
|A×B| = |A|·|B|.
Die Teilmengen von A×B nennt man Relationen zwischen A und B.
Beispiel
Sei A = {blau, gelb, rot}, B = {Kreis, Dreieck}. Dann
A×B = {(blau, Kreis),(blau, Dreieck),(gelb, Kreis),(gelb, Dreieck),
(rot, Kreis),(rot, Dreieck)}.
Diskrete Strukturen Zurück zur Mengensprache

Mengenoperationen
Seien A und B gegebene Mengen.
Operation Schreibweise Definition der Operation
Vereinigung A∪B A∪B := {e | e ∈ A oder e ∈ B}
Durchschnitt A∩B A∩B := {e | e ∈ A und e ∈ B}
Differenz A\B A\B := {e | e ∈ A und e ∈ B}
Durch Mengenoperationen entstehen die neuen Mengen:
A∪B die Vereinigungsmenge von A und B, deren Elemente
genau diejenigen sind, die in mindestens einer dieser beiden
Mengen Element sind.
A∩B die Schnittmenge von A und B, deren Elemente genau
diejenigen sind, die sowohl Element von A als auch von B
sind.
A\B die Differenzmenge von A und B, deren Elemente genau
diejenigen sind, die Elemente von A, die nicht Elemente von
B sind, sind.
Diskrete Strukturen Rechnen mit Mengen

Allgemeine Mengenoperationen
Die Mengenoperationen Durchschnitt und Vereinigung kann man auch für
mehr als zwei Mengen verwenden.
Durchschnitt: Statt
Vereinigung: Statt
schreibt man auch
A1 ∩A2 ∩···∩An
n
Ai oder {A1,A2,...,An}.
i=1
schreibt man auch
A1 ∪A2 ∪···∪An
n
Ai oder {A1,A2,...,An}.
i=1
Diskrete Strukturen Rechnen mit Mengen

Rechnen mit der Menge von Mengen
Sei F eine Menge, deren Elemente Teilmengen einer Menge M sind. Dann
F := {x ∈ M | x ∈ F für alle F ∈ F},
Beispiel
F := {x ∈ M | x ∈ F für mindestens eine F ∈ F}.
Sei M = {a,b,c,d}, F = {{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}. Dann gilt
F = {a} und F = {a,b,c}.
Diskrete Strukturen Rechnen mit Mengen

Rechenregeln für Mengenoperationen
Idempotenz
Kommutativität
Assoziativität
Distributivität
A∩A = A,
A∪A = A.
A∩B = B ∩A,
A∪B = B ∪A.
A∩(B ∩C) = (A∩B)∩C,
A∪(B ∪C) = (A∪B)∪C.
A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C),
A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Diskrete Strukturen Rechnen mit Mengen

Symmetrische Differenz und Komplement
Eine weitere wichtige Mengenoperation ist die symmetrische Differenz
A∆B := (A\B)∪(B \A),
die kommutativ und assoziativ ist.
Wenn M eine feste Grundmenge ist und A ⊆ M, bezeichnet man mit
das Komplement von A in M.
De Morgan’sche Regeln
A := M \A
(A∩B) = A∪B,
(A∪B) = A∩B.
Diskrete Strukturen Rechnen mit Mengen

Einführung des Begriffes ” Menge“ in der Mathematik
Georg Cantor formulierte 1895 den mathematischen Begriff einer Menge:
Unter einer ” Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder
unseres Denkens (welche die ” Elemente“ von M gennant werden) zu
einem Ganzen.
Damit ist den Grundstein zu einem systematischem Aufbau der
Mathematik gelegt.
Grundidee: Auf wenige undefinierte Grundbegriffen wie Menge“ und
”
” Elementen“ sollten alle Begriffe der Mathematik durch
genaue Definitionen aufgebaut werden.
Diskrete Strukturen Grunlagenkrise

Die Krise und das Ende der naiven Mengenlehre
Bertrand Russel veröffentlichte 1903 in seinem Werk ” Principia
Mathematica“ ein Paradoxon der naiven Mengenlehre, die bekannte
Russelsche Antinomie.
Es handelte sich um einen Widerspruch innerhalb der mathematische
Theorie. Eine populäre Variante dieser Antinomie ist
Barbier-Paradoxon (Russel, 1918)
Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene
rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?
Diskrete Strukturen Grunlagenkrise

Russelsche Antinomie
Man betrachtet die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element
enthalten. In der Formelsprache:
{x | x ∈ x}.
Enthält diese Menge sich selbst als Element?
Wenn ja, dann muss sie die Bedingung x ∈ x erfüllen, darf sich also
nicht als Element enthalten.
Wenn nein, dann darf sie nicht die Bedingung x ∈ x erfüllen, muss
sich also als Element enthalten.
Im beiden Fällen kommen wir zu einem Wiederspruch!
Diskrete Strukturen Grunlagenkrise

Die Reparatur
In der ersten Hälfte des 20.Jahrhunderts gab es eine große Diskussion über
die Grundlagen der Mathematik:
Die axiomatische Methode setzte sich durch.
Die mathematische Logik sichert diesen Zugang zur Mengenlehre ab.
Die axiomatische Mengenlehre erlaubt die Konstruktionen wie ” Menge
aller Mengen“ nicht.
Viele der dabei gewonnenen Erkenntnisse gelten heute als theoretischen
Grundlagen der Informatik.
Diskrete Strukturen Grunlagenkrise

Die Selbstreferenzialität
Die Ursache der Antinomie war die Selbstreferenzialität, d.h. der
Umstand, dass eine Definition auf sich selbst Bezug nimmt (z.B. Menge
aller Mengen).
Die Selbstreferenzialität wird in der theoretischen Informatik benutzt, um
nachzuweisen, dass bestimmte Probleme durch Algorithmen nicht
entscheidbar sind (z.B. das Halteproblem für Turingmaschinen).
Diskrete Strukturen Grunlagenkrise