Skript Quantenmechanik - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

OTTO-VON-GUERICKE UNIVERSITÄT MAGDEBURG
Fakultätfür Naturwissenschaften
Institutfür TheoretischePhysik
Modul9 (urspr.Theoretische Physik III)
Vorlesungsskriptzur
Quantenmechanik
Vorlesender: Prof. Dr. Klaus Kassner
Gesetztin L ATEX: DorotheaErndt

Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabengebietder Quantenmechanik 1
1.1 WasistQuantenmechanik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Beziehungzur klassischenMechanik . . . . . . . . . . . . . 1
2 Versagen derklassischen Physik 3
2.1 Die klassischetheoretischePhysik . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Auftretenvon Quanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Die klassischenAtommodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1 ThomsonschesAtommodell . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 RutherfordschesAtommodell . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.1 Klassische Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.1.1 AbleitungderklassischenStrahlungsformel 8
2.4.2 PlanckschesStrahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 DerPhotoeffekt(lichtelektrischeEffekt) . . . . . . . . . . . 11
2.6 DerCompton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Franck-Hertz-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Quantenverhalten - das ” einzige“ Geheimnisder
Quantenmechanik(?) 17
3.1 Maschinengewehrmit Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 BeobachteteElektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 RealeExperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 BohrscheQuantisierung 25
4.1 BohrschePostulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 HarmonischerOszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 ErfolgeundGrenzen derälterenQuantenheorie . . . . . . 31
5 Materiewellen undSchrödingergleichung 32
5.1 De-Broglie-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Wellenpakete:Phasen-undGruppengeschwindigkeit . . . 34
5.3 Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.1 Dispersion,Breitfließen . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.2 Normierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.3 DreiDimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Die Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.1 FreiesTeilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.2 Bedingungenan dieWellengleichung . . . . . . . . 39
5.4.3 Regelnfürdie AufstellungderSchrödingergleichung 40
5.5 StatistischeGrößenundSchrödingergleichung . . . . . . . 44
5.5.1 Wahrscheinlichkeitsstrom . . . . . . . . . . . . . . . 44
i

5.5.2 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.3 DerMessprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.6 Stationäre LösungenderSchrödingergleichung . . . . . . . 52
6 EindimensionalezeitunabhängigePotentiale 55
6.1 Allgemeine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 EindimensionalesKastenpotential(Elektronauf derStange) 56
6.2.1 Grenzübergangzu ∞ hohemPotential . . . . . . . . 60
6.3 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4 FreiesElektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.5 Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 VerhaltenderWellenfunktioninverschiedenenBereichen–
Lösungsmultiplizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6.1 Eigenwertspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 FormalismusderQuantenmechanik 72
7.1 Zustandsvektorim Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3 bra- undket-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 UneigentlicheVektoren(Diracvektoren) . . . . . . . . . . . 78
7.5 Operatorenim Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.6 Matrixdarstellungvon Operatoren . . . . . . . . . . . . . . 85
7.7 Einfache AnwendungendesFormalismus . . . . . . . . . . 86
7.7.1 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.7.2 VerallgemeinerteHeisenbergscheUnschärferelation 88
7.7.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . 91
7.8 EigenvektorenvertauschbarerOperatoren . . . . . . . . . . 94
7.9 Schrödinger-undHeisenbergbild,Erhaltungsgrößen . . . . 96
8 DerharmonischeOszillator (1D) 100
8.1 Das allgemeine quantenmechanische Problem . . . . . . . . 100
8.2 Harmonischer Oszillator in derOrtsdarstellung . . . . . . . 107
8.3 EigenfunktionenundAufenthaltswahrscheinlichkeiten . . 108
9 Bewegungim Zentralfeld (Wasserstoffatom) 110
9.1 Klassische Bewegungim zentralsymmetrischenPotential . 110
9.2 QuantenmechanischeBewegungimzentralsymmetrischen
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2.1 VollständigerSatzvertauschbarer Operatoren . . . 112
9.2.2 VorgehenbeiderLösungdesWasserstoffproblems . 115
9.2.3 BeweisderVertauschbarkeitvonHamiltonoperator
undDrehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.2.4 Quantenmechanische Aufspaltung des Impulsquadrats
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2.5 BestimmungderEigenwerteundEigenvektorenvon
L 2 und Lz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2.6 Darstellung im Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . . 128
ii

9.3 Radiale Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.4.1 Energie,niedrigsteEigenfunktionen,wichtigeQuantenzahlen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.4.2 Graphische Darstellung der Wellenfunktionen und
Wahrscheinlichkeitsdichten . . . . . . . . . . . . . . 141
9.4.3 Entartungbeim Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . 142
10 Näherungsmethodenin derQuantenmechanik 145
10.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2 Zeitunabhängige(schrödingersche)StörungstheoriefürdiskreteNiveaus
ohneEntartung . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 ZeitunabhängigeStörungstheoriemit Entartung . . . . . . 154
10.3.1 BeispielzurzeitunabhängigenStörungsrechnungmit
Entartung:Stark-Effektbeim H-Atom . . . . . . . . 156
10.4 Zeitabhängige(diracsche)Störungsrechnung . . . . . . . . 160
10.4.1 Störungkurzzeitig wirksam . . . . . . . . . . . . . . 161
10.4.2 Störungbricht zeitlich nicht ab . . . . . . . . . . . . 163
10.4.2.1 Plötzliches Einschalten . . . . . . . . . . . . 163
10.4.2.2 AdiabatischesEinschalten(quantenmechanischeDispersion)
. . . . . . . . . . . . . . 170
10.5 Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.6 WKB-Methode(Wentzel-Kramers-Brillouin-Methode) . . . 177
11 Bewegungim elektromagnetischen Feld 182
11.1 Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.2 KonstantesMagnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.3 NormalerZeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.4 KanonischerundkinetischerImpuls . . . . . . . . . . . . . 185
11.5 ÄnderungderWellenfunktionbeieinerEichtransformation 186
11.6 Aharonov-Bohm-Effekt (1956) . . . . . . . . . . . . . . 188
11.7 SpindesElektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.8 Relativistische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
11.8.1 Relativistische kinetischeEnergie . . . . . . . . . . . 192
11.8.2 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.9 AnomalerZeeman-Effekt (H-Atom,Z=1) . . . . . . . 195
11.10 Paschen-Back-Effekt (H-Atom,Z=1) . . . . . . . . . . 197
12 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon,verborgeneParameter,bellscheUngleichungen
198
12.1 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . 198
12.2 BellscheUngleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
12.3 MerminsEPR-Gerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
iii

1 AufgabengebietderQuantenmechanik
1.1 Wasist Quantenmechanik?
einfache Antwort: einheitliche Theorie zur Beschreibung von Vorgängen
auf atomarer Ebene
genauer: umfassende Theorie, die atomare Vorgänge – aber
auch makroskopische Prozesse – korrekt beschreibt
❀ die klassische Physik ( = Physik makroskopischer
Vorgänge)istin ihr als Grenzfall enthalten 1
Notwendigkeit: die klassische Physik versagt bei der Erklärung verschiedener
Erscheinungen im Mikroskopischen (siehe
Kapitel2)
1.2 Beziehungzurklassischen Mechanik
formal: vergleichbar derBeziehungzwischenWellenoptikundgeometrischerOptik
aber: QuantenmechanikunterscheidetsichvonanderenErweiterungennicht
ausreichenderTheorienfundamental
Warum? Normalerweise kann eine allgemeinere Theorie unabhängig
von einerwenigerallgemeinen Theorie,diedarin als Grenzfall
enthaltenist,logisch geschlossenformuliertwerden.
Beispiel: relativistische Mechanik – formulierbar ohne Rückgriff auf
newtonscheMechanik
Diese ergibt sich automatisch als Grenzfall für Geschwindigkeiten,diekleingegenüberderLichtgeschwindigkeitsind,und
istvöllig innerhalb derrelativistischen Theorieinterpretierbar.
Quantenmechanikist anders!
Ihre Formulierung ist nicht ohne die Begriffsbildungen der klassischen Mechanik
möglich.
Man könnte im Prinzip die relativistische Mechanik vor der newtonschen
lehren oder die letztere ganz weglassen. 2 Bei der Quantenmechanik sieht
es so aus, als könne man sie nicht lehren (und nicht lernen!), bevor ein
gewissesVerständnisderklassischenMechanikbesteht.Letztlichliegtdies
daran, dassdie Ergebnissevon Messungensich immer auf derklassischen
Ebenemanifestieren.
1 Diesisteinedurchaus kontroversdiskutierteFrage.
2 Dasistdidaktischnicht klugaber prinzipiellmöglich.
1

Die Quantenmechanik macht Aussagen zu diesen Ergebnissen, aber diese
Aussagen beziehen sich auf Wahrscheinlichkeiten, nicht auf ein determiniertesMessergebnis.Durch
dieMessungtrittsozusageneineSchnittstelle
zwischenmikroskopischerundmakroskopischerWeltauf,dienichtineinfacherWeisedurchdiegrundlegendenquantenmechanischenGleichungen
beschriebenwird ( ” Kollaps derWellenfunktion“).
Messung: Schnittstelle zwischen mikroskopischer und makroskopischer
Welt
Dieser Stand der Dinge ist immer wieder kritisiert worden. Ein wichtiger
Vertreter der Kritik war John Bell, der sich eine Theorie nicht von ” observables“
sondernvon ” beables“ wünschte.
Observable –
” Existable“ (Beable)
(beobachtbare Größe) (seiendeGröße)
Epistemologie Ontologie
Das Auftreten von Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik ist eine
Konsequenz des heisenbergschen Unbestimmtheitsprinzips und (höchstwahrscheinlich)
nicht abzuschaffen.
DieTheoriedesMessprozessesalsTeilderQuantenmechanikoderalsBrücke
zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik spielt deswegeneinegroßeRolle.EinewissenschaftstheoretischwichtigeBrückenfunktion
hatdas
Korrespondenzprinzip: Die Quantentheorie muss für den Grenzfall großer
Quantenzahlen asymptotischindieklassischeTheorie
übergehen.
Dahinter steckt, dass man als gesichert ansehen kann, dass die klassische
Theorie ” makroskopisch richtig“ ist, d.h., sie trägt den Erscheinungen bis
zu der Grenze Rechnung, wo quantenhafte Unstetigkeiten noch als klein
angesehenwerdenkönnen. 3 IndiesenGrenzfällenmüssendieVorhersagen
derklassichenTheorieundderQuantentheorieübereinstimmen.
❀ leitendes Prinzip bei der Theorienformulierung: formale Analogie
zwischen QuantentheorieundklassischerTheorie(Korrespondenz)
3 Man beachte, dass ein Quantensprung ein besonders kleiner Sprung ist. Der aktuell häufige
Gebrauch diesesAusdrucksistalsosachlicheinMissgriff.
2

2 Versagenderklassischen Physik
2.1 Die klassische theoretische Physik
Am Endederklassischen Periodeder EntwicklungderPhysikbestand ein
allgemeineszusammenhängendesSystem,dassichmitzweiArtenvonObjektenbefasste,derMaterie
undderStrahlung.
Materie: lokalisierbare Teilchen,newtonscheMechanik
Zustand eines Teilchens: Lage und Geschwindigkeit
(oderImpuls)
Strahlung: Wellen,maxwellsche Gleichungen
unendlich viele dynamische Variablen: elektrisches und
magnetischesFeld
Interferenz,Beugung
↑
( Young,1801, Zweispaltinterferometer)
KorpuskulartheoriederMaterie: (19. Jhdt.)
WellentheoriederStrahlung:
Himmelskörper – Atomhypothese – kinetische Gastheorie/statistischeBegründungderThermodynamik(Systeme
mit vielen Freiheitsgraden)
erfolgreiche Beschreibung vieler Aspekte des Verhaltens
von Materie
ersteHälfte 19. Jhdt:
Ende der Kontroverse über die Wellennatur des
Lichts(Fresnel)
geometrische Optik aus Wellenhypothese zu begründen(SiegHuyghensüber
Newton)
1855: Maxwellsche Gleichungen
Ein hoher Grad an Einheitlichkeit der Theorie ist erreicht, alle SchwierigkeitenscheinennurtechnischerNatur.
2.2 Auftretenvon Quanten
≈ 1900 ∃ zweigroßeInteressengebietederExperimentalphysik
a) AufklärungdermikroskopischenStrukturderMaterie
b) WechselwirkungMaterie–Strahlung
1897 J.J. Thomson: Entdeckung der e − als Teilchen der Katodenstrahlen
3

Existenzvon AtomenundMolekülen ← brownscheBewegung
Einstein,Smoluchowski;1905 –Beziehungzu Bewegungsgesetzen
derMoleküle
1895 : EntdeckungderRöntgenstrahlen
1896 : EntdeckungderRadioaktivität
1911 E.Rutherford: Streuungvon α-Strahlen an dünnenTargets
❀ rutherfordschesAtommodell
MessungvonAtomspektren,SpektralverteilungelektromagnetischerStrahlung
im thermodynamischen Gleichgewicht ⇒ Probleme für lorentzsche
ElektronentheorieundRutherford-Atom
❀ NotwendigkeitderplanckschenQuantenhypothese
⇒ Anfang vom EndederklassischenPhysik
2.3 Die klassischen Atommodelle
2.3.1 ThomsonschesAtommodell
–ab 1903 bis ca. 1912
–auch als Plumpudding-oderRosinenkuchenmodellbezeichnet
empirischerAusgangspunkt: Existenz scharfer und für jede Atomart
charakteristischer Spektrallinien (LeuchtenverdünnterGase
in Gasentladung)
Elektrodynamiklegtnahe: ∃ Sender, der mit der Frequenz der
Spektrallinie oszilliert, etwa ein e − , das
Schwingungenum eineGleichgewichtslageausführt
ThomsonsModell: Elektron(e − ) befindetsich innerhalb einer
Kugel mit homogener positiver Ladungsverteilung(e
− punktförmig)
a: RadiusderKugel,
e: Gesamtladungderhomog.Verteilung
−e: Ladungdese −
❀ Kraft,wenne − amOrtr: F = − e2 r
4πεoa 3
Dies gilt, solange r = |r| ≤ a: nur die Ladung innerhalb der Kugelmit Ra-
dius|r| übt eineNettokraftauf e − aus. Die GrößedieserLadungist e
⇒ Linearitätin r, wegender 1
- AbhängigkeitderKraft.
r2 4
r
a
3

Die BewegungsgleichungdesElektronslautetdann:
m¨r+ e2
4πε0a3r = 0
Dies beschreibt einen dreidimensionalen harmonischen Oszillator mit der
Frequenz
ν = ω
2π =
1
(2π) 3/2
e 2
2ε0a 3 m
Feststellung: oszillierendeLadungenstrahlenelektromagnetischeEnergie
ab
Abstrahlleistung:
e 2
S = 2
34πε0c
3 ¨r2 [Mittelwertübereine Periode]
Nimmtmanan,dassdieSchwingunglangsamabklingt,kannmanfür
r in obiger Formeldie LösungderungedämpftenSchwingung einsetzen:
❀ dW
dt
= −S = − 2e2
12πε0c 3 ¨r2 = − e2 ω 2
W: GesamtenergiedesSystems
❀ W = e −t/τ W(0) τ =
6πε0mc
3 W
W ≈ mω2r2 ≈ m
¨r2
ω2
6πε0mc 3
e 2 ω 2 = 24π2 ε 2 0 m2 a 3 c 3
e 4
Zeit τ,in derdieEnergiedesAtomsauf den e-ten Teilabklingt:
τ ≈ 4×10 −9 s für ν ≈ 10 15 s −1
❀ endlicheBreitevon Spektrallinien
ProblemdesModells:
homogene Verteilung der positiven Ladung über den Atomdurchmesser
(2a ≈ 10 −8 cm)
widerlegtdurchE.RutherfordsStreuversuchemit α-Teilchen
❀ positiveLadungauf ca. 10 −13 - 10 −12 cm konzentriert
(StatistikderStreuereignisse,Ablenkungenum mehrals 90 ◦ )
Was das thomsonsche Modell gut leistet, ist die Erklärung fester Frequenzen
der Spektrallinien. Denn beim harmonischen Oszillator hängt die Frequenz
nicht von der Amplitude ab, Nichtlinearitäten stören nicht das einfacheBild.DieWertederauftretendenFrequenzenerklärtdasModellallerdingsnicht.UndeswirdebenleiderdurchRutherfordsVersuchwiderlegt.
5

2.3.2 RutherfordschesAtommodell
ExperimentelleErgebnisse:
a) Atomkernklein(Streuversuch)
b) Elektronklein (Katodenstrahlexperimenteu.a.)
a ≤ 10 −13 cm (Lenard,Millikan, Thomson)
❀ Annahmeeines ” Planetensystems“:
(1911)
Z e − kreisen in einem Abstand, der der Atomgröße entspricht, um
einenpositivenKern
Coulomb-Anziehung desKernsplusgegenseitigeAbstoßungdere −
” stabile Bahnen“ (?)
Problem:
a) Elektronen müssten aufgrund der Abstrahlung in den Kern
abstürzen, dabei würde ein kontinierliches Spektrum abgestrahlt
[RückschrittgegenüberThomson]
❀ Lebensdauervon Atomen≈ 10 −8 s
b) Elektronenhülle durch Anfangsbedingungen bestimmt ❀ eine
Atomsorte sollte verschiedene Größen und Eigenschaften aufweisen:nicht
beobachtet
Experiment:
• Atomesindstabil
• Spektren diskret, genügen dem ritzschen Kombinationsprinzip
(1908): die Frequenzen des Spektrums lassen sich in ein Termschema
einordnen, so dass jede von ihnen gleich der Differenz zweier
Grundfrequenzenist.
Beispiel:H-Atom
1 1
ν = R −
n2 m2
Balmer-Formel
n,m ∈ N
6

2.4 Hohlraumstrahlung
2.4.1 Klassische Strahlungsgesetze
Hohlraum beiendlicher Temperaturim thermischenGleichgewicht
elektromagnetischeStrahlung (Glühen heißerKörper!)
spektraleEnergiedichte:
u(ω,T)
↑
(Kreis-)Frequenz
Gesamtenergie:
E = u(ω,T) dωdV
↑
räumliches Volumenelement
(StrahlungwirdvieleMaleabsorbiert,emittiert,reflektiert,bevorsiedurch
dasLochnach außentretenkann❀Thermalisierung)
DieEnergiedichteistnurvon ω undT abhängig,wieKirchhoff1859zeigte.
Insbesondereist sieunabhängig von:
• BeschaffenheitundOrientierungderWände
• räumlicher Richtung(sieist isotrop)
• Ort im Hohlraum (sieist homogen)
• Polarisation
u(ω,T) isteine universelle Funktion
[Andernfalls könnte man durch geeigneteKopplung von Resonatoren mit
Filtern usw. Wärme von einer niedrigen zu einer höheren Temperatur befördernundeinenWiderspruchzumzweitenHauptsatzderThermodynamik
konstruieren.]
ExperimentellerVerlauf:
7

WienschesGesetz(1896)
u(ω,T) = ω 3 g(ω/T) (1)
⇒ w(T) ≡
↑
Energiedichte
E
V =
∞
ω
0
3 g
w(T) = αT 4
[Thermodynamik+elektromagnetischeLichttheorie]
ω
dω =
T
x = ω
T
T 4
∞
0
x 3 g(x)dx
Stefan-Boltzmann-Gesetz (2)
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz kann aus dem Zusammenhang p = w/3 (p
ist derDruck derHohlraumstrahlung)sowierein thermodynamischenBeziehungenundÜberlegungenabgeleitetwerden.
Wenn u(ω,T) ein Maximum (Extremum)hat, danngilt dort:
du !
= 0
dω
❀ 3ω 2
ω
g +
T
ω3
T g′ ω
= 0
T
3g(x)+xg ′ (x) = 0 mit x = ω
T
=⇒
Lösung
x = x0
ω
T = x0 = const. WienschesVerschiebungsgesetz (3)
Wiens Ergebnis für die universelle Kirchhoff-Funktion (auf der Basis vereinfachenderAnnahmen:GeschwindigkeitsverteilungderstrahlendenMoleküle
sei maxwellsch, die Wellenlänge hänge nur von der GeschwindigkeitdesstrahlendenMolekülsab):
ω
g = a e
T
−bω/T
– nicht gutbegründet [(1) ist aber exakt!]
– stimmt nicht beiniedrigenFrequenzen
2.4.1.1 Ableitungderklassischen Strahlungsformel
Stattsich auf schwach begründeteAnnahmenzu verlassenwie Wienkann
man mithilfe der Prinzipien der klassischen statistischen Mechanik eine
Strahlungsformelableiten–diesolltedannzwangsläufigrichtigsein–vorausgesetzt,die
GrundprinzipienderStatistiksindrichtig!
8

Diese Ableitung soll in den Übungen durchgeführt werden, deshalb wird
hiernur eingroberÜberblick über dieVorgehensweisegegeben.
Energiedichteim Hohlraum: Produkt aus Dichte n(ω) der Eigenschwingungen
(stehende elektromagnetische Wellen)undmittlerer
Energie ε(ω,T) proEigenschwingungbeiderTemperaturT
u(ω,T) = n(ω) ε(ω,T) (4)
n(ω)–folgtausGeometriedesHohlraums(selbeGrößeinklassischerPhysiku.Quantenmechanik)
Übungen:
n(ω) = ω2
π 2 c 3
(2Polarisationen)
fürgroßeVoluminavon derForm desHohlraums unabhängig
klassischemittlereEnergieproEigenschwingung?
Gleichverteilungssatz! harmonische Oszillatoren
(als Wandmaterialetwa)
MittlerekinetischeEnergie 1
2 kBT
mittlerepotentielleEnergie 1
2 kBT
also:
❀ ε(ω,T) = kBT (6)
u(ω,T) = ω2
π 2 c 3kBT
Strahlungsgesetzvon RayleighundJeans
Problem:Ultraviolett-Katastrophe!
E = V
∞
Vergleichmit Experiment:
0
u(ω,T)dω = VkBT
π 2 c 3
benötigt:korrekteInterpolationsformel!
∞
ω
0
2 dω = ∞
9
(5)
(7)

2.4.2 PlanckschesStrahlungsgesetz
Plancksche Hypothese:
Die Oszillatoren (d. h. elektromagnetischen Eigenschwingungen)
können sich nur in solchen Zuständen befinden, deren Energien
ganzzahlige Vielfache eineselementarenEnergiequants ε0,sind:
En = nε0 n = 0,1,2,...
(Das ist ein krasser Verstoß gegen die Gesetze der klassischen
Physik - mikroskopische Gebilde, nämlich die Atome der Hohlraumwände,
können Energie nicht kontinuierlich aufnehmen
oderabgeben.)
❀ mittlereEnergie(nicht mehr kBT, sondern):
ε(ω,T) = ∑ n
pnEn,
↑
Wahrscheinlichkeit, dassOszillator Energie En hat
Die klassischeBoltzmann-Statistik liefert(nächstesSemestergenauer!)
pn ∝ e −βEn β = 1
kBT
Normierung: pn =
Nebenrechnung:
∞
∑ e
m=0
−βEm =
e −βEn
∑ ∞ m=0e −βEm
∞
∑ e
m=0
−mβε0 =
∞
∑
m=0
x m
−βε x=e 0
ε(ω,T) = ∑ e
n=0
−βnε0
1−e −βε0
nε0
=
1−e −βε0
∞
∑
n=0
= 1
−
Z
∂
∞
∂β ∑
n=0
nε0e −βnε0
− ∂
∂β e−βnε0
e −βnε0
=
= − ∂
∂β lnZ
1
≡ Z
−βε0 1−e
Z
= − ∂
∂β ln
1 ∂
=
−βε0 1−e ∂β ln
1−e −βε0
1
=
1−e −βε0 ε0e −βε0
ε0
=
eβε0 −1
10

ε(ω,T) =
u(ω,T) = ω2
π 2 c 3
ε0
e ε0/kBT −1
ε0
e ε0/kBT −1
!
= ω 3 g(ω/T),
dasthermodynamischexaktewienscheGesetz(1) musserfüllt sein,
ε0 = ¯hω (9)
wobei ¯h eineuniverselleKonstanteist.
Planck: ε0 = hν ⇒ ¯h = h
2π
h : Plancksche Konstante,planckschesWirkungsquantum
¯h : gelegentlich:Dirac-Konstante
Zahlenwerte: h = 6.626·10 −34 Js= 4.136·10 −15 eVs
¯h = 1.055·10 −34 Js= 6.586·10 −16 eVs
Beispiel: gelbesLicht λ ≈ 6·10 −7 m ⇒ ν ≈ 5·10 14 s −1 ⇒ hν ≈ 2eV
PlanckschesStrahlungsgesetz:
Grenzfälle:
u(ω,T) = ¯hω3
π 2 c 3
1
e ¯hω/kBT −1
¯hω ≪ kBT ⇒ u(ω,T) = ω2
π 2 c 3kBT
¯hω ≫ kBT ⇒ u(ω,T) = ¯hω3
π 2 c 3e−¯hω/kBT
2.5 DerPhotoeffekt(lichtelektrische Effekt)
Rayleigh−Jeans
Wien
Warum verwendet man in der Dunkelkammer beim Entwickeln von Photos
rotes Licht? Nach der klassischen Elektrodynamik variiert die Energie-
(ED+BH) kontinuierlich mit derFeldstärke
dichte 1
2
❀ bei genügend hoher Lichtintensität oder genügend großer Wartezeit
sollte auch rotes Licht physikalisch-chemische Prozesse in der photographischen
Schicht imitieren (d.h. man müsste sich bei der Arbeit in
der Dunkelkammer besondersbeeilen, um eine ZerstörungderNegative
zu verhindern–mussman aber nicht) 4
(8)
(10)
❀ ein Faktor zwei in der Frequenz des verwendeten Lichts sollte keine
allzu großeRolle spielen
4 Wieman leicht erkennt, wurde dieErstfassung diesesTextes vor derÄra der Digitalkame-
raserstellt...
11

Experiment:
klassischeErwartung: E kin ∝ Lichtintensität
kinetischeEnergiedese −
E kin = 1
2 mv2
(mit Gegenfeldmethode leicht
messbar)
(e − schwingt umso schneller mit elektrischem
Feld,je höherdieLichtintensität)
Experimentelle Beobachtungen (Hallwachs 1886 [Hertz], Lenard, Millikan):
• Photoeffekttritterstoberhalb einerGrenzfrequenz ωA auf
• kinetische Energie der e − unabhängig von Lichtintensität, linear in
derFrequenz E kin ∝ ω−ωA
• Zahl derPhotoelektronen ∝ Lichtintensität
• keinezeitliche VerzögerungbeigeringerIntensität(< 10 −9 s)
Erklärungdurch Einstein(1905) [Nobelpreisarbeit]
EinsteinscheLichtquantenhypothese
Nicht nur den Eigenschwingungen in einem Hohlraum werden diskrete
Energien zugeschrieben,sondernauch dem Licht bei Wechselwirkungmit
Materie.
GrößederEnergiequanten: E = ¯hω (11)
Energiesatz: eU = E kin = 1
2 mv2 = ¯hω− A (12)
A:Austrittsarbeit
12

für Frequenzen < ωA = A/¯h kann die Austrittsarbeit nicht aufgebracht
werden ⇒ keinPhotoeffekt,unabhängig vonIntensität
PhotographischeFilme: besondersempfindlich im Bereich desTageslichts
(fürdasauchdasmenschlicheAugeoptimiertist)
❀ Film mussnicht im RotenundInfrarotenphotochemischreagieren
Ultraviolett- oder Röntgenstrahlen, hohe Frequenzen, zerstören
natürlich das Bild bei ungeschütztem Film; eine schwache rote Beleuchtung
tut das bei normalen Filmen nicht; der Mensch sieht immer
noch etwas, weil das Auge einen alternativen Sehmechanismus
hat (Nachtsehenmit Stäbchen,grau,Farbsehenam Tagmit Zäpfchen)
2.6 DerCompton-Effekt
ArthurHolly Compton(1922)
StreuungweicherRöntgenstrahlenanfreienoderlockergebundenenElektronen
KlassischeErwartung:
– das e − schwingt mit der Lichtfrequenz mit und strahlt Licht derselben
Frequenz wieder ab; die Gleichheit der Frequenzen gilt im momentanen
” Inertialsystem“ dese − (gegebendurchMittelungüberdie
Schwingungen) ❀ im LaborsystemtrittdurchdenDopplereffekteine
Frequenzverschiebung auf, sobald das e − eine von Null verschiedeneAnfangsgeschwindigkeithat
– dase − wirdbeschleunigt,weildieeinfallendeWelleeineImpulsdichte
1
c 2 E × H hat, die von e− emittierte Kugelwelle aber den mittlerenImpulsNull(einfacheSprechweise:BeschleunigungdurchStrahlungsdruck)
Beobachtungen:
• Frequenzverschiebung,selbstwenn e − anfänglich in Ruhe
• diskontinuierlicherImpulsübertrag
• Streuungder e − ausRichtungdereinfallenden Welleheraus
Erklärung:
StoßprozessvonPhoton(Lichtquant)undElektron
Energie- und Impulssatz liefern Einschränkungen für den EndzustandbeigegebenenAnfangszustand
13

⏐
⏐e⊥
e
¯hω
e ′
¯hω ′
ϕ
ϑ
Elektron
Photon
EnergiedesPhotons(laut Quantenhypothese) E = ¯hω
Impuls? E = m 2 c 4 + p 2 c 2
m = 0, daPhotonensich mit Lichtgeschwindigkeitbewegen
(sonst p = mv
√ 1−v 2 /c 2 −→
v→c ∞)
⇒ E = ±pc def.: p > 0für Ausbreitungin Richtung+e
❀ p = ¯hω
c
p = ¯hω
c e
vor demStoß: E = ¯hω p = ¯hω
e
c
(13)
nach demStoß: E ′ = ¯hω ′
p ′ = ¯hω′
c e′ (14)
falls Elektronanfänglich in Ruhe:
vor demStoß: Ee = mec 2
nach demStoß: E ′ e =
m 2 ec 4 +P ′2 c 2 P ′ =
Definition desWinkels ϑ: ee ′ = cos ϑ
e ′ = cos ϑe−sin ϑe⊥
P = 0 (15)
mev ′
1− v′2
c 2
(16)
Energie-undImpulssatzin derEbene: 3 Gleichungen zur Bestimmung
von ω ′ ,E ′ , ϕ fürgegebenes ϑ
Übungen(oderLiteratur) ❀ ω−ω′
ωω ′
1 1
−
ω ′ ω
14
= ¯h
mec2(1−cos ϑ)

Wellenlängen: λ = c
ν
❀
= 2πc
ω
λ ′ = c 2πc
=
ν ′ ω ′
∆λ = λ ′ 2 ϑ
− λ =λc(1−cos ϑ) = 2λcsin
2
λc = h
mec ComptonwellenlängedesElektrons
λc = 2.43·10 −2 ˚A
fürlangwellige Strahlung(sichtbares Licht) vernachlässigbarer Effekt:
∆λ
λ 2.4·10−2 ˚A
= 4·10−6
6000˚A
❀ man benötigtRöntgenstrahlen(λ 0.5 ˚A)
schwach gebundenee − : alle e − leichter Atome,
äußere e − schwererAtome
2.7 Franck-Hertz-Versuch
JamesFranck undGustavLudwigHertz(1913/1914)
Gasentladungsröhre,gefüllt mit Hg-Dampf
Messung:Stromals FunktionderSpannung
Strom-Spannungs-Charakteristik
15
(17)

BeimVergrößernderSpannungsteigtderStromzunächstan,fälltbei4.9V
ab, steigtbis ca. 9.8Vwiederan, woervon neuemsinkt,usw.
Erklärung: Solange die Energie der e − im Feld den Wert von 4.9 eV nicht
übersteigt,durchquerensiedieRöhrefastohneEnergieverlust,
estretennurelastischeStößeauf.ErreichtdieEnergiedenWert
4.9eV,sokanneinQuecksilberatombeieinemStoßdieseEnergie
aufnehmen ❀ das e − verliert dabei seine gesamte kinetische
Energie ❀ einige e − erreichen die Anode nicht oder viel
später.Bei9.8VsindzweiinelastischeStößeproe − möglich,die
einHg-Atomanregen
Schlussfolgerung:
Hg-Atomhat quantisierteEnergiezustände
Hg-AtomestrahlenEnergiemitcharakteristischerWellenlänge
λ = 2537˚A wiederab
2.8 Schlussfolgerungen
Experimentezur Wechselwirkungvon MaterieundStrahlung
❀ a) Strahlung(Licht) verhält sich wie Teilchen
(Hohlraumstrahlung,photoelektrischerEffekt,Compton-Effekt)
aber:Interferenzversuche(Young,Michelson)
Antennenabstrahlung(Hertz) ⇒ Maxwell-Theorie
WellennaturdesLichts
b) geladene Materie hat Bewegungszustände, die mit KorpuskelcharakterundkontinuierlichenBahnenunvereinbar
sind
(RutherfordschesAtommodell,Franck-Hertz-Versuch)
diskontinuierlicherEnergieaustausch
⇒ InfragestellungTeilchennatur/Bahnvorstellung
16

3 Quantenverhalten-das ” einzige“ Geheimnisder
Quantenmechanik(?)
Wir betrachten zunächst zwei klassische Doppelspaltexperimente, dann Variationen
eines quantenmechanischen. Die Idee, dass diese Überlegungen
ausreichen,daseinzigeGeheimnisderQuantenmechanikzuidentifizieren,
also denjenigenAspekt,dessenKlärung zu einem vollständigen Verständnis
der Quantenmechanik führen würde, geht auf Feynman zurück. Heute
wird man wahrscheinlich geneigt sein, eine darüber hinaus gehende
Schwierigkeit in gewissen Phänomenen zu sehen, die in Zwei-Teilchen-
Systemen auftreten (in der Vorlesung wird darauf im Kapitel 12 zum Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxoneingegangen).
3.1 MaschinengewehrmitKugeln
Annahmen: undurchlässigePanzerwand
unzerstörbareKugeln ⇒ nurganzeKugelnkommenim
Detektoran (Schachtelmit Sand) “Klumpigkeit”
starkstreuendesGewehr
Vorgehen: setzeDetektoran Ort x, schieße N
zähle aufgefangeneKugeln Na P(x) = Na
N
(Wahrscheinlichkeit eines
Treffers bei bzw.
” um“x)
wiederholemit anderen x
Ergebnisse: i) beideLöcheroffen P12(x)
(Maximum bei x = 0, wenn AbstandderLöchernicht
zu groß)
ii) Loch 1offen,Loch2zu P1(x)
iii) Loch 2offen,Loch1zu P2(x)
P12(x) = P1(x)+P2(x) (1)
17

Erklärung: Kugel geht entweder durch Loch 1 oder durch Loch 2,
das sind einander ausschließende Ereignisse Wahrscheinlichkeitenaddierensich
3.2 Wasserwellen
BeispielWürfel:
P6 = 1
6 , P5 = 1
6
P2 = 1
6 , Pgerade = 1
2
Erzeugungdurch lokalenSchwinger
, P(5 ∨ 6) = 1
3 ;
, P(2 ∨ gerade) = 1
2
Annahmen: Wellenwerdenbeim Auftreffenabsorbiert
Detektormisst Intensität I derWellen
(h –HöhederWasserwelle =⇒ I ∝ h 2 )
1 1 = 2 + 6
Ergebnisse: i) beideLöcheroffen =⇒ Interferenzmuster I12(x)
HuygensschesPrinzip:
Intensitätsverteilung hinter den Löchern erhält man,
indem man von den Löchern ausgehende (sich kugelförmig
ausbreitende) Elementarwellen addiert und
dieIntensitätderSummebestimmt
–einSuperpositionsprinzip
Folge: trifft am ” Schirm“ ein Wellenberg auf ein Wellental,
löschen sie sich aus (destruktive Interferenz)
❀ keine Intensität; treffen zwei Wellenberge aufeinander,verstärktsichdieIntensität:konstruktiveInterferenz
Intensitätkontinuierlich - keineKlumpigkeit
Wie feststellbar, ob konstruktive oder destruktive Interferenz?–WeglängevonbeidenSpaltenzumbetrachteten
Ort bestimmen
18

BeispielMittelachse:
Weg gleich weit für beide Teilwellen ❀ immer Berg auf
Berg,Talauf Tal ⇒ konstruktiveInterferenz
bei Wegdifferenz eine halbe Wellenlänge ⇒ destruktive
Interferenz
momentaneHöhenℜ(h1e iωt ),ℜ(h2e iωt )
❀ I12 ∝ |h1 +h2| 2 = |h1| 2 +|h2| 2 +2|h1||h2|cos δ
↑
Phasendifferenz
ii) Loch1offen, Loch2zu: I1 ∝ |h1| 2
iii) Loch2offen, Loch1zu: I2 ∝ |h2| 2
also: iv) I12(x) = I1(x)+ I2(x)
I12(x) ∝ I1(x)+ I2(x)+2 I1(x)I2(x)cos δ(x)
Interferenzterm
[keine δ-Funktion!]
3.3 Elektronen
ImFolgendenbetrachtenwireinigeVarianteneinesquantenmechanischen
Doppelspaltexperiments.InderPraxisistderexperimentelleAufbaukomplizierter
als ich ihn darstellen werde; die Dimensionen der benötigten
Doppelspalteetwawärensoklein,dasssieeineechtefertigungstechnische
Herausforderungdarstellenwürden.Deshalbskizziereich dieExperimente
zunächst als Gedankenexperimente, von denen wir aufgrund anderer
Experimente und aufgrund der Theorie einfach wissen, was herauskommenwürde,könnteman
siewie abgebildetdurchführen.
ZunächstDiskussion alsGedankenexperiment (konzeptionelleEinfachheit)
Im Anschlusszeigeich, dasssolche Experimentetatsächlich gemachtworden
sind und zwar mit Neutronen.Es stellt sich heraus, dass die quantenhaften
und Wellenaspekte für alle mikroskopischen Teilchen gleich sind.
Elektronen, Photonen, Natronen verhalten sich gleichartig, d. h. sie zeigensowohl
” Klumpigkeit“,alsoteilchenartigeräumlicheLokalisierung,als
auch Wellenaspekte. In Wirklichkeit können sie also weder Teilchen noch
Wellensein,aberimmerhinsindsiealledasGleiche.(DerUnterschiedzwischenMaterieundStrahlungwird
weitgehendaufgehoben).
Elektronen,Photonen,Neutronen:gleichartigesVerhalten
19
(2)

Elektronenquelle–glühenderDraht ( ” Elektronenkanone“)
Annahme: e − haben alle die gleicheEnergie
(mehr oder weniger gut erfüllt, je nach Qualität des Experiments,
Beschleunigung von Draht zu positiv geladener Elektrodemit
Loch)
Ergebnisse:
Detektor:Geigerzähler/Lautsprecher
oder
e − -Vervielfacher
(Fotoplattemöglich)
i) e − kommenals gleiche Klumpen an (lauter gleichartige Klicks, keine
Halbklicks) → Teilchen
ii) RatederKlicks variiertmit Ort,istzeitlich festan einemOrt(abgesehen
vonFluktuationen)
räumliches Muster:Interferenzmuster P12(x) → Welle
iii) beigeringerIntensität(= Produktionwenigere − proZeiteinheit):
das Interferenzmuster baut sich im Laufe der Zeit aus ” klumpigen“
Einheiten(einzelnen e − ) auf, dieunregelmäßigeintreffen
– kein kontinuierliches Anwachsen der Intensität wie bei Wasserwellen
iv) nur einLoch offen:
Wahrscheinlichkeitsverteilungen: P1(x) bzw. P2(x)
P12(x) = P1(x)+P2(x)
verwirrenderTatbestand!
Detektionlegtnahe: e − sindeinzelne Teilchen(d.h.räumlich lokalisiert)
❀ jedesTeilchenmussentwederdurchLoch 1oderLoch2gehen
– einanderauschließendeMöglichkeiten
❀ P12 mussdie Summevon P1 und P2 sein
20

P12 ist nichtdie Summevon P1 und P2!
❀ e − ist nicht ausschließlich durch eines der Löcher gegangen (sondern
in gewisser Weise durch beide – oder zumindest beeinflusst
dieTatsache,obdaszweiteLochoffenistodernicht,denWegdes
e − ,­zurLokalität)
❀ Intensitätsverteilung alleine legt nahe, dass e − Wellen, nicht Teilchen
sind, passt nicht damit zusammen, dass die am Schirm
detektierte ” Wellenintensität“ nicht kontinuerlich anwächst, dass
stattdessenimmer nur einzelne e − ankommen
Zuspitzung: Reduktion der Intensität der Elektronenkanone, so dass immer
nurein e − im Apparat
Dasheißt,zunächstkommtdaserstee − ,läuftdurchdenDoppelspalt,trifft
an irgendeinen Punkt auf den Schirm, dann erst wird das nächste abgeschickt.
Ist der Detektor eine Fotoplatte, so erhält man erst einen schwarzenPunkt,dannzwei,
usw.Wennmangenügendlangegewartethat,stellt
man fest,dass dieDichte dieserschwarzen Punkteauf derAchsemaximal
ist, dann durch ein Minimum geht,wieder zunimmt, usw. ❀ Interferenzmuster.
Offensichtlich kam dieses nicht dadurch zustande, dass die e − irgendwie
miteinanderwechselwirkten.Eswar ja immer nureinesim Apparat!
❀ Jedeseinzelne e − gehtdurch beideLöcher!Mysteriös!
DiequantenmechanischeBeschreibungistdervonWasserwellenverwandt:
statteinerHöhetrittdieWellenfunktionauf, die komplexist.
Die Höhe wurdebei derBeschreibungder Wasserwellennur aus Bequemlichkeit
komplex gewählt, die Wellenfunktion ist (mit wenigen Ausnahmen)zwingendkomplexanzusetzen.
ϕ1(x): Wellenfunktion eines e − am Detektor bei geschlossenem Loch 2
(Loch1offen) ❀ P1 = |ϕ1(x)| 2
ϕ2(x): Wellenfunktion eines e − am Detektor bei geschlossenem Loch 1
(Loch2offen) ❀ P2 = |ϕ2(x)| 2
P12(x) = |ϕ1(x)+ ϕ2(x)| 2
❀ ErgebnisdesExperimentsgenauvorhersagbar
Wegder e − durchLöchernicht –ärgerlich!
BeobachtungzwecksFeststellungderWegeder e − ?
3.4 Beobachtete Elektronen
Annahme: Wir die e − mit Licht, setzen eine Lichtquelle in die Nähe
desDoppelspalts.
21

Jedesmal, wenn eines der e − durch einen Spalt kommt, reflektiert es das
Licht und wir sehen einen Lichtblitz, entweder in der Nähe von Loch 1
odervonLoch2,sodasswirwissendurchwelchesLochdase − gekommen
ist. In der Praxis sind die e − nicht so leicht zu sehen; bei einer Anordnung
wie derbeschriebenenwürden wir die meisten verpassen,weiles nicht jedesmalzueinerWechselwirkungzwischene
− undPhotonkommt.Aberin
Prinzipgehtesso,unddasreichtaufderEbenedesGedankenexperiments.
Ergebnisse:
i) Lichtblitz immer nurbeieinemLoch,nie beibeidengleichzeitig
❀ e− gehtnie durchbeideLöcher
❀ esmussgelten P ′ 12 = P1+P2
= P1+P2!
Das Interferenzmusterverschwindet!
ii) esgilt P ′ 12
iii) Verteilung der e − auf dem Schirm ist anders, wenn wir sie beobachten,als
wennwir sienicht beobachten!
iv) Abschwächung derLichtquelle
e − , die zum Schirm kommen, ohne einen Lichtblitz ausgelöst zu haben,tundiesmitVerteilungP12!(MansiehteineÜberlagerungausP
′ 12
und P12, mit umso größeremGewicht von P12, je weniger e − gesehen
wurden.)
v) Grund für dieVeränderungderVerteilung:
e − wurdendurch WWmit Licht abgelenkt
❀ man nehmeenergieschwächeresLicht größereWellenlänge
Ergebnis: Wird die Wellenlänge etwa so groß wie der Abstand der
Löcher,kann man also anhand desLichtblitzes nicht mehr
entscheiden, durch welches Loch ein e − gegangen ist, so
nähertsich dieVerteilungwiederan P12 an.
WellenlängeLochabstand → P12
vi) beweglicheLochblende–BestimmungdesElektronenimpulsesdurch
Messung Rückstoß Doppelspalt ❀ Information über Ort des e − auf
22

Schirmerhältlich?
Messung des Impulses der Lochblende ⇒ Unschärfe der Position
des Doppelspalts (heisenbergsches Unbestimmtheitsprinzip) Interferenzzerstört
Fazit: wenn wir wissen können, durch welchen Spalt ein e − geht –
kein Interferenzmuster
wenn wir es nicht wissen können, durch welchen Spalt ein
e − geht–Interferenzmuster
Anmerkung: Mit Lichtquelle verschwindet die Interferenz auch, wenn
wir nicht zur Kenntnis genommen haben, durch welches
Loch das e − ging (schwarzes Tuch über Apparatur). iii) ist
alsoetwasüberspitztformuliert.EskommtaufdieWechselwirkung
e − –Photonenan.
3.5 RealeExperimente
Der Einfachheit halber habe ich diese Experimente als Gedankenexperimente
beschrieben, ohne auf den in der Praxis nötigen experimentellen
Aufbau einzugehen–deristnämlich einigermaßenaufwändig.
ErsteExperimentezum Nachweis derWellennaturvon e − :
(C. Davisson, L.Germer,1927)
Beugungvon e − an Ni-Kristall(-Oberfläche) (Reflexion)
[Kristall liefert Beugungsgitter - viel bessere Intensitätsverhältnisse
als beieinemeinfachen Doppelspalt]
DoppelspaltexperimentmitNeutronen:Zeilingeretal.,Rev.Mod.Phys.60,
1067 (1988) ↓
Doppelspalt22 µm, 23 µm Abst.104 µm Beobachtungin 5 m Entfernung
Bemerkenswert ist dieses Experiment auch, weil Neutronen schwerer als
e − sind;siehabenalsoinderRegelkleinereWellenlängen,wasdieDetekti-
23

onvon Interferenzenerschwert.(Sie sindaber aus anderenGründenexperimentell
günstiger, z.B. reagieren sie nicht so stark mit jeglicher Materie,
mit dersiein Berührungkommen,weilsieungeladensind.)
ErgebnisdesExperiments: InterferenzmustergemäßVorhersagederQuantenmechanik
Die Neutronenintensität war etwa 1 Neutron/2 Sekunden, d.h. beim Eintreffen
eines Neutrons am Detektor war das nächste meistens noch in seinem
Urankern im Reaktor – es befand sich selten mehr als ein Neutron
zugleich in derApparatur.
Auch Experimente, die das Beobachten der Teilchen beim Passieren der
Spalterealisieren,sinddurchgeführtworden.SiebestätigendieVorhersage
derQM, dassin diesemFall dasInterferenzmusterverschwindet.
24

4 Bohrsche Quantisierung
4.1 Bohrsche Postulate
Bohr: Wie ist das Rutherford-Modell des Atoms zu modifizieren, um die
Strahlungsinstabilität derElektronenhüllezu beseitigen?
Ziel: ErklärungdiskreterSpektralliniendesWasserstoffatomsderForm
1
λ
= RH
1 1
−
n2 m2
n = 1,2,..., m = n+1,n+2,...
[ einestrengemathematische Lösunggelang ihmnicht ]
BohrschePostulate:
i) PeriodischeBewegungenmikroskopischerphysikalischerSystemeerfolgeninstationärenZuständenmitdiskretenEnergienEnohneEnergieabstrahlung
ii) Übergänge zwischen den stationären Zuständen sind mit Emission
oderAbsorptionelektromagnetischerStrahlungverknüpft,derenFrequenzdurch
¯hω = Em−En gegebenist
Ergebnis: En = − RHhc
n 2
Frage:Wie erhält man die En?
FürharmonischenOszillator bekannt: En = n¯hω (Quantenhypothese)
Strategie: ErrateBerechnungsvorschriftausdiesembekanntenErgebnis
Quantisierungsregel –sondert aus dem Kontinuum möglicher
Bahneneine diskreteKlasse aus
4.2 HarmonischerOszillator
Hamiltonfunktion
H(q,p) = p2 m
+
2m 2 ω2q 2
Energiesatz: H(q,p) = E
❀ Bahnenin derPhasenebene
sindEllipsen
p 2
2mE
+ q2
2E
mω 2
p
√ 2mE
√ 2E/mω 2
= 1 (2)
25
q
(1)

Fläche derEllipsenin derPhasenebene
A =
pdq = π·a·b = π √ 2mE
2E
= 2πE
mω2 ω
= E
ν
Planck: En = n¯hω = nhν (4)
❀ pdq = 2πn¯h = nh (5)
↑
Wirkungsintegral
Dimension einerWirkung: Ldt =
4.3 DasWasserstoffatom
m˙q 2
2
freies Teilchen
(3)
1 1 dt = 2 p˙qdt = 2 pdq
Die Quantisierungsregel des harmonischen Oszillators lässt sich mithilfe
des Korrespondenzprinzips auf allgemeine periodische Bewegungen ausweiten.
Teilchenim eindimensionalenPotentialtopf
H(q,p) = p2
2m +V(q)
Energiefest:
H(q,p) = E
Korrespondenzprinzip:
1dE
= ν (6)
h dn
[ν = ν(n)! Gleichung (6) wird von (3) und (5) für kontinuierliche (d.i.
große!) n nahegelegt.]
Quantisierungsregel
E
Emin
dE ′
ν(E ′ )
= nh+const. n = 1,2,... (7)
❀ benötigt:Frequenz ν = inverseUmlaufzeit – als FunktionderEnergie
p = m dq
dt =
2m(E−V(q)) (8)
dt =
mdq
2m(E−V(q))
26

Umlaufzeit:
qmax(E)
τ = 2
qmin(E)
(7)
n·h+const. =
Integrationsbereich:
mdq
=
2m(E−V(q)) 1
ν(E)
E
Emin
VertauschenderIntegrationen:
dE ′ qmax(E
2
′ )
qmin(E ′ mdq
) 2m(E ′ −V(q))
Emin ≤ E ′ ≤ E qmin(E) ≤ q ≤ qmax(E)
=⇒
qmin(E ′ ) ≤ q ≤ qmax(E ′ ) V(q) ≤ E ′ ≤ E
qmax(E)
nh+const. = 2m dq
qmin(E)
E
dE
V(q)
′
2m(E ′ −V(q))
2 E ′
−V(q)
=
qmax(E)
= 2 pdq =
qmin(E)
m
2
m
E−V(q) =(8)
pdq
E
V(q)
p(q)
m
pdq = n·h+const. (10)
setzeconst.=0 ❀ Quantisierungsregel (drittesbohrschesPostulat)
mehrdimensionalesSystem (Koordinatenq1...qr,harmonischkonjugierte
Impulse p1,...pr ):
pidqi = n·h i = 1,2,...r (11)
Gezeigthaben wir dieÄquivalenz von(7) und(10) nurfür denFall, dass q
eine gewöhnliche kartesische Koordinate ist (p = m˙q), die Beziehung lässt
sich aber verallgemeinern.
Sommerfeld führte (1916) die Rechnung für allgemeine
Ellipsen durch; wir betrachten hier (wie Bohr) nur den
einfachstenFall einerKreisbahn.
27
(9)

BeschreibungdurchWinkel ϕ:
E = m
2 v2 − e2
4πε0a
= m
2 a2 ˙ϕ 2 − e2
4πε0a
Da die potentielle Engergie sich auf der Kreisbahn nicht ändert, können
wir die Gesamtenergie nicht einfach aus dem erreichten Maximalwert der
potentiellen Energie bestimmen – es handelt sich nicht um eine eindimensionale
Bewegung. Die anschaulichste Methode, ˙ϕ zu bestimmen, besteht
darin, auszunützen,dassgilt:
Zentrifugalkraft=coulombsche Anziehungskraft.
˙ϕ = ω maω 2 = e2
4πε0a 2
[Alternative:aufgrund desFlächensatzesgilt
a 2 ˙ϕ = ℓ = const.
E = mℓ
2
2
e2
−
a2 4πεoa
dE
da
Lagrange-Funktion:
e2
= 0 ⇒ −mℓ2 + = 0
a3 4πεoa2 L = T−V = m
2 a2 ˙ϕ 2 + e2
4πεoa
(12)
(13)
unddieKreisbahn ist dieBahn fürdie
−maω 2 + e2
= 0]
4πεoa2 kanonisch konjugierter(generalisierter)Impulszu ϕ:
(14)
pϕ = ∂L
∂ ˙ϕ = ma2 ˙ϕ (15)
diesistein Drehimpuls,
∂L
= 0 ⇒ ˙ϕ = ω = const. (ϕ zyklisch)
∂ϕ
Bohr-SommerfeldscheQuantenbedingung
2π
pdq = ma 2 ωdϕ = 2πma 2 ω ! = nh = 2πn¯h
0
ma 2 nωn = n¯h (16)
Mithilfe von(13)
(Bedingung, die die Radien der Kreisbahn und die Kreisfrequenzen
verknüpft)
manω 2 n = e2
4πε0a 2 n
28
(13’)

kannman beideGrößen, an und ωn,separatberechnen
n
an = 4πε0
2¯h 2
me2
(16) ⇒ a 4 n ω2 n = n 2 ¯h 2 /m 2
(13 ′ ) ⇒ a 3 n ω2 n = e 2 /4πε0m
n
Quotient an = 4πε0
2¯h 2
me2 cgs-System:4πε0-Faktorenweglassen
ωn =
ωn =
(16)
1
(4πε0) 2
n¯h
ma 2 n
me 4
n 3 ¯h 3
=
1
(4πε0) 2
n¯h
m
Energiewertauf der n-tenBahn:
En = m
2 a2 nω 2 n− e2
4πε0an
En = − e2
8πε0an
=
(13 ′ )
m 2 e 4
n4 = 4
¯h
e 2
8πε0an
= − 1
(4πε0) 2
me4 2¯h 2
TermschemadesSpektrumsdesH-Atoms
BohrscheFrequenzbedingung:
¯hω = Em−En = Eion
1
1
−
n2 m2
1
n
1
(4πε0) 2
− e2
4πε0an
2 = −Eion
me 4
n 3 ¯h 3
1
n
n = 1 Lyman-Serie(ultraviolett)
n = 2 Balmer-Serie (sichtbar)
n = 3 Paschen-Serie(infrarot)
29
= − e2
8πε0an
1
= −RHhc
2 n2 (17)
(18)
(19)

Wir werden später sehen, dass sich die bohrsche Vorstellung von Elektronenbahnennicht
halten lässt.
Die Ionisierungsenergieund der Ausdruck für den (ersten) bohrschen Radius
aB = a1 = (4πε0) ¯h2
me 2
(20)
kommenjedochinderexaktenTheorielaufendvor,sodasseszweckmäßig
ist,sich die entsprechendenZahlenwertezu merken.
Mithilfe dersommerfeldschenFeinstrukturkonstante
1 e2 1
α = =
4πε0 ¯hc 137.04
lässt sich einnützliches MerkschemafürLängenaufstellen:
aB = (4πε0) ¯h2
me2 = 0.5·10−8 cm BohrscherRadius
¯h
mc = λc = λc
r0 = α 2 aB =
2π = αaB = 0.4·10 −10 cm Compton-Wellenlänge/2π
e 2
(4πε0)mc 2 = 0.3·10−12 cm klassischerElektronenradius
αaB = e2 ¯h 2
¯h
=
me2 mc
α 2 aB =
¯hc
1
4πε0
e 4
¯h 2 c 2
¯h 2
1 e2 =
me2 4πε0 mc2
↑
Coulombenergie=Massenenergie
Die BahngeschwindigkeitvB dese − auf dembohrschenRadiusist
vB = ω1·aB =
Eion = α 2mc2
2
mc 2
RH = α
4π
1
aB
1 e
(4πε0)
2
¯h 2
= 13.6 eV
=⇒
= 500 000 eV=0.5MeV
= 110 000 cm −1
30
vB
c
= α = 1
137
für das Wasserstoffatom ist eine
nichtrelativistische Theorie ausreichend;
für andere Atome ist e 2
durch Ze 2 zu ersetzen, bei Atomen
mit Z 50 sindrelativistische Korrekturenwichtig

4.4 Erfolge undGrenzender älterenQuantenheorie
Erfolge:
i) korrektesErgebnis für Termspektrendes H-Atoms(und wasserstoffähnlicher
Atome:He + ,Li ++ )
ii) Schwingungs- und Rotationsspektrenvon Molekülen (harmonischer
Oszillator)
iii) mithalbklassischerTheoriederWechselwirkungzwischenStrahlung
und Materie: Auswahlregeln und Wahrscheinlichkeiten möglicher
Quantenübergänge
iv) normaler Zeeman-Effekt
Grenzen:
i) Anwendbarkeitnurauf (mehrfach) periodischeSysteme
↦→ keineMethodezur Quantisierung aperiodischerBewegungen
↦→ keine Stoßvorgänge (Franck-Hertz-Experiment im Detail unverstanden)
ii) funktioniertim Wesentlichennurfür
–harmonischen Oszillator
–H-Atom
nicht für Mehrelektronensysteme(He-Atom)
iii) Drehimpulsquantisierung
(MessungvonDrehimpulskomponentenin eine beliebigeRaumrichtungliefertimmer
Vielfache von ¯h)
iv) anomaler Zeeman-Effekt
Prinzipielle Schwierigkeit:
keine Rechtfertigung der Quantisierung klassischer Bahnen (rein formale
Einschränkungen für Lösungen der klassischen Bewegungsgleichungen)
Dilemma: Bahnbegriff
❀ stetigeÄnderungenvon LageundImpuls
❀ stetigerEnergieaustausch
quantenhafterEnergieaustausch❀eskann keineBahn existieren
31

5 Materiewellenund Schrödingergleichung
5.1 De-Broglie-Wellen
LouisdeBroglie(1923): Versuch, Grundlagen einheitlicher Theorie von
Materie undStrahlungaufzustellen
Strahlung:Wellen-undTeilcheneigenschaften
Materie: sollte nicht nur Teilchen- sondern auch
Welleneigenschaftenhaben
[was demLicht rechtist,mussdemElektronbillig sein...]
Licht: ebeneLichwelle
Wellenvektork |k| = k = 2π
λ
elektrischeFeldstärke
E(x,t) = Ae i(kx−ωt)
+c.c.
f(x,t)
e = k
k (Ausbreitungsrichtung)
n (1)
n·e = 0 (Licht: Transversalwelle,im Vakuum)
Einsteinsche Lichtquantenhypothese: bei Wechselwirkung mit
Materie verhält sich einesolcheWelle wieein Teilchenmit
Energie: E = ¯hω
Impuls: p = ¯h ω
c e
ω
c
2π
= = k
λ
p = ¯hk (2)
E(x,t) = Ae i/¯h(px−Et)
+c.c. n (3)
= 2πν
c
Intensität: I = AA ∗ = f f ∗ (konstantim Raum)
Materie: Elektron mit Energie E und Impuls p in Analogie zu (3),
ordnedemElektroneine Wellezu
ψ(x,t) = Ae i
¯h (px−Et)
Wellenvektor:
k = p
¯h
Kreisfrequenz:
ω = E
¯h
32
(4)
(5)
(6)

Also: Licht – k, ω gegeben =⇒ p,E in Teilcheninterpretation
(ursprünglicheTheorie)
Materie– p,E gegeben =⇒ k, ω in Welleninterpretation
(ursprünglicheTheorie)
(neueschöneSymmetrie)
EinedirekteBestätigungderWellennaturvone − gelangDavissonundGermer1927
perElektronenbeugungan Kristalloberflächen.
FreieTeilchen: E = p2
2m
❀ λ = 2π
k
= 2π¯h
p
= h
√ 2mE
de-Broglie-Wellenlänge
Für Elektronen, die durch eine Spannung U aus dem Ruhezustand beschleunigtwurden,gilt:
h 150
λ = √ =
2meU U/[ Volt] ˚A
Vermutung: BeziehungQuantenmechanik - klassischeMechanik ähnlich
BeziehungWellenoptik - geometrischeOptik
Interpretationvon Quantisierungsbedingungen
BohrschesAtom:
pdr = (prdr+ pϕdϕ) =
für Kreisbahnen
(7)
pϕdϕ = nh (8)
pdr = ¯h kdr = ¯h(ϕ2− ϕ1)
(9)
Änderung der Phase ϕ der
Wellenfunktion ψ(x,t) über
eine Umlaufbahn“
”
” Phasenintegralquantisierung“
ϕ2− ϕ1 = nh/¯h = 2πn, (10)
notwendigeBedingungfürdie Eindeutigkeitvon ψ
Anschaulich: auf eine ” Bahn“ muss eine ganze
ZahlvonWellen passen!
33

Interpretationnuringeometrisch-optischerNäherungakzeptabel,d.h.wenn
sowohl Wellenvektor und Wellenlänge als auch die ” Bahn“ wohldefiniert
sind
❀ fürgroßeQuantenzahlen
(ebene Wellen und Wellen in langsam veränderlichen Feldern, die fast
eben)
Vorläufigweistnichtsdaraufhin,dassdieQuantisierungsbedingungenfür
kleineQuantenzahlen dieselbeFormannehmen
Allerdings: Energiequantisierung hat etwas mit Entstehung stehender
Wellenzu tun.
5.2 Wellenpakete:Phasen-und Gruppengeschwindigkeit
Für den Aufbau einer vollständigen Wellenmechanik brauchen wir mehr
als ebene Wellen, die Teilchen mit einem festen Impuls entsprechen. Auch
hat eineebeneWellejanur einekonstanteIntensität.
Beschreibunglokalisierter Teilchen:
Überlagerungenvon Wellen(zunächst 1D)
ψ(x,t) = 1
√ 2π¯h
Normierungsfaktor, später nützlich
∞
dpg(p)e
−∞
ī h (px−E(p)t)
freies nichtrelativistisches Teilchen: E(p) = p2
2m
Amplitude g(p) gibt an, wiestarkWellenmit Impuls p vertreten
Gegenstückzu konstanterAmplitude:
ausgeprägtesMaximum, d.h. g(p) = 0 nurin derNähedesMaximums p0
legtnahe, E(p) um p0 zu entwickeln
E(p) = E(p0)+ dE
dp
ψ(x,t) = 1
∞
√
2π¯h −∞
∆p+0(∆p)
p0
2
dp
d∆p
∆p = p− p0
(11)
(12)
g(p0 + ∆p)e i
¯h (p0x−E(p0)t)
i
¯h
e
∆p
x− dE
dp t
p0
34

umschreiben:
ψ(x,t) = 1
√ 2π¯h e i
¯h (p0x−E(p0)t) A(x,t)
A(x,t) =
∞
d∆pg(p0 + ∆p)e
−∞
i
¯h (x−dE
dp t)∆p
p0 = f
x− dE
dp
p0
(13)
t
Interpretation: Wellenpaket – ebene Welle multipliziert mit Amplitudenfaktor
A,dernur von x−vgt abhängt, worin
vg
↑
= dE
dp
p0
= dω
dk
Gruppengeschwindigkeit
k0
A bewegtsich forminvariant mit Geschwindigkeit vg entlangder x-Achse
nichtrelativistischesTeilchen: vg = p0
m klassischeTeilchengeschwindigkeit
relativistisches Teilchen: E = p 2 c 2 +m 2 c 4
Intensität: |ψ(x,t)| 2 = 1
dE
dp
vg =
= pc2
E
= v
p = mv
1− v2
c2 p0c 2
E0
schwindigkeit
|f(x−vgt)| 2
, E = mc2
1− v2
c2 (14)
: ebenfalls klassische Teilchenge-
2π¯h
bewegtsichmitklassischerTeilchengeschwindigkeitdurchden
Raum
Phasengeschwindigkeit:vϕ = E(p0)
[ebene-Wellen-Faktor]
p0
= ω
k0
freiesnichtrelativistisches Teilchen: vϕ = p0
2m
eigentlich: vϕ = mc2
nicht freiesnichtrelativistisches Teilchen:
E(p) = p2
2m +V(x) vg = p0
m
vϕ = p0 V(x)
+
2m p0
35
p0
+ p0
2m
potentialabhängig

elativistisches freiesTeilchen: vϕ = E0
p0
⇒ vg ·vϕ = c 2
vϕ hat keinebesonderephysikalischeBedeutung
Dispersion: vg hängtexplizit von p0 ab
❀ ein Wellenpaket, das nicht aus einer engen Verteilung von
Impulsenum p0 besteht,bewegtsich nicht formerhaltend
oft sagt man, Dispersion liege vor, wenn vϕ = vg (nicht
ganz richtig, da bei E = a· p+b vϕ = vg aber trotzdem
formerhaltendeBewegung)
5.3 Wahrscheinlichkeitsinterpretation
5.3.1 Dispersion, Breitfließen
Das Ergebnis eines sich mit konstanter Form bewegenden Wellenpakets
folgt aus dem Abbruch der Entwicklung in ∆p nach der ersten Ordnung,
ist alsoi.A. eineNäherung.
NächsteOrdnungin ∆p:
E(p) = E(p0)+ dE
dp
p0
∆p+ 1
2
d2
E
dp2 ∆p
p0
2
istexaktfür einfreies nichtrelativistisches Teilchen
E(p) = (p0+ ∆p) 2
=
2m
p2
0 p0 ∆p2
+ ∆p+
2m m 2m
ψ(x,t) = 1
√ 2π¯h e i
¯h (p0x−E(p0)t) A(x,t)
A(x,t) =
∞
i
¯h
d∆pg(p0 + ∆p)e
−∞
∆p
x− dE
dp t i −
p0 2¯h
e ∆p2 d2E dp2 t
p0
was nicht mehrdieForm f(x−vt) hat
Beispiel:GaußschesWellenpaket,freies Teilchen(Übungsaufgabe)
ψ(x,0) = (πξ0 2 ) −1 4 e i
¯h p0x e −x 2 /2ξ0 2
ψ(x,t) = (πξ0 2 ) −1
4 ξ0
a(t) = ξ0
a(t) e
1+i¯ht/mξ0 2
36
i
¯h p0x− p0 2
2m t
e −(x−p 0t/m)2 2a(t) 2
(15)
(16)

|ψ(x,t)| 2 =
1
√ e
πξ(t) −(x−p 0t/m)2 ξ(t) 2
ξ(t) = ξ0 1+ ¯h2t 2
m2ξ0 4
Zerfließenoder ” Breitfließen“ desWellenpakets
Ursache: Dispersion vg = vg(p0) vg = vϕ
[elektromagnetische Wellen im Vakuum haben keine Dispersion:
ω = ck vg = vϕ = c]
❀ ψ ∗ ψ kann nicht Teilchendichtesein
−eψ ∗ ψ nicht dieLadungsdichte
[in Messungen findet man immer ganzzahlige Vielfache der
Elementarladung e ❀ immer ganze Teilchen]
Problem: Interpretationvon ψ
Lösung: (Born,1926) [Nobelpreis1954]
Setzenwir
ψ ∗ ψ isteineWahrscheinlichkeitsdichte
w(x,t)∆x ≡ ψ ∗ (x,t)ψ(x,t)∆x ist die Wahrscheinlichkeit, ein
TeilchenzurZeittimIntervall[x,x+ ∆x]zufinden,wennman
eineOrtsmessungausführt
Wahrscheinlichkeiten können beliebig zerfließen [bringt andere
Probleme]
g(p,t) = g(p)e − ī h E(p)t , (17)
dannist ψ(x,t) die Fouriertransformiertevon g(p,t)
ψ(x,t) = 1
√
2π¯h
g(p,t) = 1
√
2π¯h
∞
−∞
∞
−∞
dpg(p,t)e i
¯h px
i −
dxψ(x,t)e ¯h px
(18)
w(p,t)∆p = g ∗ (p,t)g(p,t)∆p istdieWahrscheinlichkeit,beieinerImpulsmessung
einen Impuls zwischen p
und p+∆pzu finden
[für freiesTeilchenzeitunabhängig]
ψ(x,t) und g(p,t) nenntman Wahrscheinlichkeitsamplituden
[für dieOrts-bzw. ImpulsdichtedesTeilchens]
5.3.2 Normierung
Wahrscheinlichkeitenwerdengewöhnlichaufeins(=sicheresEreignis)normiert,dasich
dasTeilchenirgendwoaufhalten muss:
∞
dx ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) = 1 (19)
−∞
37

Normierungvon g(p,t):
∞
−∞
=
=
=
dpg ∗ (p,t)g(p,t)
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
dx ψ ∗ (x,t)e i
¯h px
1 ∞
√2π¯h
1
dp√
2π¯h −∞
−∞
∞
dx dx
−∞
′ ψ ∗ (x,t)ψ(x ′ ,t) 1
∞
2π¯h −∞
δ(x−x ′ )
dxψ ∗ (x,t)ψ(x,t) = 1
∞
−∞
dx ′ ψ(x ′ i −
,t)e ¯h px′
dpe i
¯h p(x−x′ )
dpg ∗ (p,t)g(p,t) = 1 (20)
(Parsevalscher Satzfür Fouriertransformierte)
5.3.3 Drei Dimensionen
Übertragungin 3D ohneSchwierigkeiten
w(x,t)∆V = ψ ∗ (x,t)ψ(x,t)∆V
Wellenpaket:
ψ(x,t) =
=
1 ∞
√ 3
2π¯h −∞
1
√ 2π¯h 3
i −
g(p,t) = g(p)e ¯h E(p)t
g(p,t) =
1
√ 2π¯h 3
Gruppengeschwindigkeit:
∞ ∞
dpxdpydpz g(p)e
−∞ −∞
i
¯h (px−E(p)t)
d 3 pg(p,t)e i
¯h px
d 3 i −
x ψ(x,t)e ¯h px
vg = grad p E(p) = ∇pE(p) = p
m = v Teilchen
Normierung:
d 3 x ψ ∗ (x,t) ψ(x,t) = 1
d 3 pg ∗ (p,t)g(p,t) = 1
38
(21)

5.4 Die Schrödingergleichung
Gesucht: eine Wellengleichung für Materiewellen (partielle Differentialgleichungin
x und t)
5.4.1 Freies Teilchen
1D-Fall [derEinfachheit halber]
Ableitungenvon ψ(x,t):
¯h
i
∂
∂x
freiesTeilchen:
ψ(x,t) = 1
∞
√
2π¯h −∞
¯h ∂ 1
ψ(x,t) = √
i ∂x 2π¯h
2 ψ(x,t) = 1
√
2π¯h
dpg(p,t)e i
¯h px
∞
dppg(p,t)e
−∞
ī hpx ∞
dpp
−∞
2 g(p,t)e ī hpx i −
g(p,t) = e ¯h E(p)t i −
g(p) = e ¯h
∞
i¯h ∂ i¯h
ψ(x,t) = √
∂t 2π¯h
(a), (b) i¯h ∂ψ
∂t
= 1
√
2π¯h
= 1
√
2π¯h
−∞
∞
−∞
∞
−∞
p2 2mt g(p)
dp ∂
∂t g(p,t)ei ¯h px
dpi¯h − i
E(p)g(p,t)e
¯h
i
¯h px
dp p2 i
g(p,t)e ¯h
2m px
2 1 ¯h ∂
= ψ = −
2m i ∂x
¯h2 ∂
2m
2ψ ∂x2 Schrödingergleichungeinesfreien Teilchens
5.4.2 BedingungenandieWellengleichung
(a)
(b)
(22)
Solange wir nur das freie Teilchen als Welle beschreiben können, sind an-
dere Gleichungen als (22) denkbar. Wegen E 2 = p4
(2m) 2 genügt ψ(x,t) auch
derGleichung
−¯h 2 ∂2ψ ¯h4
=
∂t2 (2m) 2
∂4ψ ∂x4 WaszeichnetdieSchrödingergleichunggegenüberdieseralternativenGleichungaus?
39

SieerfülltbestimmteBedingungen,diedieAlternativenichterfülltunddie
jetztmotiviert werdensollen.
Klassische Mechanik:
gegebeneHamiltonfunktion H(q1,q2,...q3N,p1,p2,...p3N)
derdynamischeZustandeinesSystemsistvollständigdurchAngabe
seiner (generalisierten) Koordinaten qi, i = 1,...3N und
(generalisierten)Impulse pi, i = 1,...3N zu einerfestenZeit bestimmt
˙pi = − ∂H
∂q i , ˙qi = ∂H
∂p i Zustand∀Zeitenbestimmt
1Teilchen,1D: q(t0),p(t0) Zustand∀Zeitenbestimmt
Quantenmechanik:
Postulat: Wellenfunktion eines Systems bestimmt seinen dynamischenZustandvollständig
[d.h.alleVorhersagen,diehinsichtlich derdynamischenEigenschaften
des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt gemacht werden
können,müssenaus ψ(x,t) herleitbarsein;fernersollte ψ(x,˜t) ∀ ˜t >
t bestimmbar sein]
❀ Forderungenan dieWellengleichung:
i) Sie musseineDifferentialgleichung ersterOrdnungin derZeitsein
(Sonstwäreneben ψ(x,t0) auch nochmindestens ∂ψ
∂t t=t0 zurCharakterisierungeinesZustandsundseinerweiterenEntwicklungnötig.)
ii) Superpositionsprinzip❀sie musslinear undhomogensein
sind ψ1 und ψ2 Lösungen der Gleichung, so auch die Überlage-
rung λ1ψ1+ λ2ψ2.
(Mit e i
¯h (px−Et) istauch dasWellenpaket g(p)e i
¯h (px−Et) dp Lösung.)
Korrespondenzprinzip:
Die Gleichung muss die gleichen Vorhersagen liefern wie die klassischeTheorie,wodiesemit
großerGenauigkeitgültig ist.
Konkret: Sie muss zu den selben Bewegungsgesetzen führen wie
die Theorie von de Broglie, wenn die geometrisch-optische Näherung
gut wird (d.h., wenn die Abmessungendes Wellenpaketsklein
sind gegen Längen, auf denen sich externe Felder/Potentiale stark
ändern).
5.4.3 Regeln fürdieAufstellungderSchrödingergleichung
Vorbemerkung: Es gibt keine deduktive Ableitung der Schrödingergleichung.
Sie wird aufgrund von Plausibilitätsüberlegungen
postuliert.
40

Rechtfertigung:durch Vergleichmit Experimenten
[Das isteinallgemeinesPhänomen:neueNaturgesetzesindnicht ableitbar,
siemüssenerratenwerden.Alleswasdeduktivabgeleitetwerdenkann,ist
offenbar in denalten Naturgesetzenbereitsenthalten.]
FreiesTeilchen,1D:
H(x,p) = p2
2m
Schrödingergleichung:
i¯h ∂ψ
∂t
2 1 ¯h ∂
= ψ
2m i ∂x
d.h., auf der rechten Seite steht vor ψ ein Operator ˆH, den man aus der
Hamiltonfunktionerhält, indemman p durch denImpulsoperator
ersetzt:
ˆp = ¯h ∂
i ∂x
ˆH = H
x, ¯h
i
∂
= −
∂x
¯h2
2m
∂ 2
∂x 2
(23)
(24)
i¯h ∂ψ
∂t = ˆHψ (25)
Verallgemeinerungen:
a) Teilchenim PotentialV(x)
H(x,p) = p2
2m +V(x)
i¯h ∂ψ(x,t)
∂t
= H
[selbesRezept]
b) dreiDimensionen
px → ¯h
i
x, ¯h
i
∂
∂x , py → ¯h
i
∂
ψ(x,t) = −
∂x
¯h2
2m
∂
∂y , pz → ¯h
i
∂
∂z
∂2 ψ(x,t)+V(x)ψ(x,t) (26)
∂x2 p → ˆp = ¯h
∇ (JordanscheRegel) (27)
i
[Vektoroperator]
41

Hamiltonfunktion:
H(x,p) = p2
2m +V(x)
Hamiltonoperator:
ˆH = H(x, ˆp) = H x, ¯h
i ∇
= 1
¯h
2m i ∇
2 +V(x) = − ¯h2
2m ∆+V(x)
(28)
Schrödingergleichung:
i¯h ∂ψ
∂t =
ˆHψ = − ¯h2
2m ∆+V(x)
ψ (29)
Anmerkungen:
i) Warum x, nicht q, d.h.generalisierteKoordinate,und pq → ¯h
i
∂
∂q ?
DasliefertnichtdieselbeGleichungfürallegeneralisiertenKoordinaten!
Beispiel:
H = px 2 + py 2
2m
i¯h ∂ψ(x,y,t)
∂t
in Polarkoordinaten
∂ψ(r, ϕ,t)
i¯h
∂t
(freies Teilchenin 2D)
= − ¯h2
∂2 ∂2
+
2m ∂x2 ∂y2
ψ(x,y,t)
= − ¯h2
2m
andererseitsgilt auch
H = 1
p
2m
2 r + p2ϕ r2
∂ψ(r, ϕ,t)
❀ i¯h
∂t
∂ 2
∂r
2 + 1
∂
r ∂r
+ 1
r 2
∂2 ∂ϕ2
ψ(r, ϕ,t) (a)
[pr = m˙r, pϕ = mr 2 ˙ϕ]
= − ¯h2
∂2 1
+
2m ∂r2 r2 ∂2 ∂ϕ2
ψ(r, ϕ,t) (b)
(a) = (b), nur (a) ist dierichtige Schrödingergleichung
also: Die Jordansche Quantisierungsregelgilt nur in kartesischen Koordinaten.
(tieferer Grund: dies sichert die Forminvarianz der Gleichung unter
Rotationen, in allgemeinen Koordinaten wäre die Formalierung mit
kovarianten Ableitungendurchzuführen)
42

ii) unsereRegelnsindnicht eindeutig
Beispiel:
klassisch sind H1 = p2
2m und H2 = 1
2m
funktion
Hamiltonoperatoren?
ˆH1 = − ¯h2 ∂
2m
2
∂x2 ˆH2 = − ¯h2
2m
1
√ x
∂ ∂
x
∂x ∂x
= − ¯h2 1 ∂
√
2m x ∂x
= − ¯h2
1 1
√
2m x 4 √ x
= − ¯h2
∂2 2m
1
√ x = − ¯h2
2m
− 1
2 √ x +√ x ∂
∂x
1
+
∂x2 4x2 3 − 1
√1 pxp
x 1 √ dieselbe Hamilton-
x
1
√ x
∂
∂x x
− 1
2 √ 1
+ √
3
x x
2 √ ∂ 1
+
x ∂x 2 √ ∂
x ∂x +√x ∂2
∂x2
= ˆH1
∂
∂x
Keine Vorschrift,die auf derKorrespondenzmit der klassischen Mechanik
beruht, kann solche Mehrdeutigkeiten vermeiden, da diese
von derNichtvertauschbarkeitvon Operatorenherrühren.
die FormderHamiltonfunktion, auf diedie Jordansche Regelanzuwendenist,mussempirisch
festgelegtwerden.
Praxis:
H(q,p) in kartesischenKoordinaten qi = xi i = 1,2,...3N kann [in
nahezu allen real vorkommendenFällen]auf dieForm
H = ∑ k
p 2 k
2m k
+ ∑ k
p kf k(x1,...x3N)+V(x1,x2,...x3N)
gebrachtwerden [in dernichtrelativistischen Physik]
Wenn der in den Impulsen lineare Term auftritt, ist er zu symmetrisieren:
∑ k
p kf k = 1
2 ∑ k
{p kf k(x1,...x3N)+ f k(x1,...x3N)p k} .
AnwendungderJordanschenRegelliefertdanndenrichtigenHamiltonoperator:
ˆH = − ∑ k
¯h 2
2m k
∂ 2
∂x 2 k
+ 1
2 ∑ k
¯h
i
∂
∂x k
+V(x1,...x3N)
fk(x1,...x3N)+ fk(x1,...x3N) ∂
∂xk 43

iii) analog zur Schrödingergleichung im Ortsraum lässt sich eine Schrödingergleichungim
Impulsraum angeben
i¯h ˙g(p,t) = H(ˆx,p)g(p,t) = H − ¯h ∂
i ∂p ,p
g(p,t),
d.h.man erhält sie durchdie Ersetzung
x −→ − ¯h ∂
i ∂p
Ortsoperator
(werden wir in der Regel nicht betrachten, da i.A. komplizierter als
Schrödingergleichungim Ortsraum)
V(x) = ∑Vn·x n
n
→ V(ˆx) = ∑Vn· −
n
¯h
n
∂
= V −
i ∂p
¯h
∂
i ∂p
5.5 Statistische Größen undSchrödingergleichung
5.5.1 Wahrscheinlichkeitsstrom
Soll die Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude,
d. h. ihres Betragsquadrats als Wahrscheinlichkeitsdichte, konsistent
sein, so muss das Integral dieses Betragsquadrates über ein Volumen, das
dasbeschriebeneTeilchennicht verlässt,konstantsein.
d
dt
V
V
Schrödingergleichung
d 3 x ψ ∗ (x,t)ψ(x,t)
w(x,t)
=
V
V sei zeitunabhängig
= d 3
1
x −
i¯h
¯h2
2m ∆ψ+V(x)ψ
∂V
GreenscherSatz
d 3 x ˙ψ ∗
(x,t)ψ(x,t)+ d 3 xψ ∗ (x,t) ˙ψ(x,t)
∗
ψ(x,t)
+ d
V
3 xψ ∗
1
(x,t) −
i¯h
¯h2
2m ∆ψ+V(x)ψ
= d
V
3
i¯h
x
2m {−(∆ψ)∗ψ+ψ ∗ ∆ψ}+ 1
−V(x)ψ
i¯h
∗ ψ+ψ ∗
V(x)ψ
0
i¯h
= df (−(∇ψ)
2m
∗ ψ+ψ ∗ ∇ψ) (30)
V → ∞: diessollteverschwinden
also:
d ∞ ∞ ∞
dx dy dz ψ
dt −∞ −∞ −∞
∗ (x,t)ψ(x,t) = 0 (31)
44
V

Falls also
d 3 x ψ ∗ (x,0)ψ(x,0) = 1, (32a)
sogilt
d 3 x ψ ∗ (x,t)ψ(x,t) = 1 ∀t. (32b)
Die Wellenfunktion bleibt normiert, wie es sein sollte. Gleichung (32) legt
außerdem nahe, dass ψ(x,t) die Randbedingung ψ(x,t) → 0 für |x| → ∞
erfüllensollte.
FürendlichesVolumenV könnenwir(30) als Kontinuitätsgleichunginterpretieren:
d
d
dt
3 x ψ ∗
ψ+ df ·S = 0 (33)
∂V
∂
∂t (ψ∗ ψ)+divS = 0 (33 ′ )
mit demWahrscheinlichkeitsstrom
S = ¯h
ψ
2im
∗ (x,t)∇ψ(x,t)−(∇ψ ∗
(x,t))ψ(x,t)
Mitdem Impulsoperator
ˆp = ¯h
i ∇
lässtsich diesschreibenals
∂w
∂t
+ 1
2m
ψ ∗ ˆpψ+(ˆpψ) ∗ ψ
(34)
= 0 (33 ′′ )
[Wäre dies eine klassische Gleichung, ˆp also kein Operator, so hätten wir
mit v = p
m
∂w
∂t
+∇(vw) = 0,
analog zur Kontinuitätsgleichungin derHydrodynamik(w → ̺)].
5.5.2 Erwartungswerte
Beschreibung quantenmechanischer Phänomene mithilfe von Wahrscheinlichkeitsdichten
Auftretenvon Erwartungswerten(Mittelwerten)zwangsläufig 5
5 BegrifflichbestehteinkleinerUnterschiedzwischenErwartungs-undMittelwerten.Letzteretretenauch
(z.B.als einfaches odergewichtetes arithmetisches Mittel)ohne Wahrscheinlichkeitsverteilungen
auf. In einer Versuchsreihe mit zufallsbedingten Ergebnissen ist der
Erwartungswertgleichdem(aufdieWahrscheinlichkeitsverteilungbezogenen)Mittelwert.
45

Beispiel:Vielzahl von OrtsmessungenidentischpräparierterTeilchen
Wahrscheinlichkeit, dasTeilchenim Intervall[x,x+ ∆x] zu finden:
w(x,t)∆x
bei N Messungenfällt derBruchteil
n
N
= w(x,t)∆x
in diesesIntervall
Erwartungswert x = lim
Grenzübergang ∆x → 0
x =
∞
−∞
N→∞
1
N
N
∑
k=1
n
xk = lim ∑ N→∞ N
{n}
x(n)
↑
x-Wert, der n-mal vorkam
(Messgenauigkeit ∆x)
xw(x,t)dx (35)
Physikalisches Beispiel: Polarisation = mittleres Dipolmoment/Volumen
P = ñex = ñex, ñ: Teilchendichte
allgemeiner ErwartungswerteinerFunktionvon x
E f(t) = f(x) =
∞
−∞
FunktionendesImpulses:
EF(t) = F(p) =
∞
−∞
f(x)w(x,t)dx =
F(p)w(p,t)dp =
∞
−∞
∞
−∞
ψ ∗ (x,t)f(x)ψ(x,t)dx (36)
g ∗ (p,t)F(p)g(p,t)dp (37)
Manmöchtenundiesgernüber ψ(x,t) ausdrücken,umnichtbeijedersolchenBerechnungerstdieSchrödingergleichungimImpulsraumlösenoder
eineFouriertransformationdurchführenzu müssen.
Explizite Rechnungnur für F(p) = p:
g(p,t) = 1
√
2π¯h
p = 1
2π¯h
i −
e ¯h px ψ(x,t)dx
dpp
dx ′ e i
¯h px′
ψ ∗ (x ′
,t)
46
i −
dxe ¯h px ψ(x,t)

p =
Allgemein:
F(p) =
dp dx ′¯h
∂
i ∂x ′ei
¯h px′
ψ ∗ (x ′ ,t)
¯h i
e¯h i px′
ψ ∗ (x ′ ∞
,t)
−
−∞
¯h
dx
i
′ e i
¯h px′ ∂
∂x ′ ψ∗ (x ′
,t)
= 1
2π¯h
0
i −
dxe ¯h px ψ(x,t)
= 1
−
2π¯h
¯h
dx
i
′
dx dpe i
¯h p(x′ −x)
2π¯h δ(x−x ′ ∂
∂x
)
′ ψ∗ (x ′ ,t)ψ(x,t)
= − ¯h
∞ ∂
dx
i −∞ ∂x ψ∗
(x,t) ψ(x,t)
= − ¯h
i ψ∗ ∞
(x,t)ψ(x,t)
+
−∞
¯h
∞
dxψ
i −∞
∗ (x,t) ∂
∂x ψ(x,t)
=
∞
−∞
∞
∞
−∞
0
dx ψ ∗ (x,t) ¯h
∂
∞
ψ(x,t) = dx ψ
i ∂x −∞
∗ (x,t)ˆp ψ(x,t)
dx ψ ∗ (x,t)ˆp ψ(x,t) (38)
−∞
ˆp vertauschtnicht mit x, denn
ˆpx−xˆp = ¯h
i
dx ψ ∗
¯h ∂
∞
(x,t)F ψ(x,t) = dx ψ
i ∂x −∞
∗ (x,t)F(ˆp) ψ(x,t)
∂
∂x x−x¯h
i
∂
∂x
= ¯h
i
wasman üblicherweisein derForm
[ˆp,x] = ¯h
i
(39)
(40)
schreibt, wo [A,B] ≡ AB−BA als Kommutator der Operatoren A und B
bezeichnetwird
❀ esistin (39) also wichtig, dass F(ˆp) zwischen ψ ∗ und ψ steht
Vorsichtbeiallgemeinen Funktionenvon x und p:
xp = dx ψ ∗
xˆpψ px = dx ψ ∗ ˆpxψ
px−xp = dx ψ ∗
(ˆpx−xˆp)ψ = dx ψ ∗¯h ¯h
ψ =
i i
47

xp und px könnennicht beidereellsein(ihre Differenz ist imaginär)
Oft betrachtetman symmetrisierteErwartungswerte:
xp h
=
xp h ist reell
Verallgemeinerungauf 3D:
x =
ˆp =
∞
−∞
ψ
∗xˆp+ ˆpx
ψdx h: hermitescherAnteil (41)
2
∞
−∞
∞
−∞
5.5.3 DerMessprozess
dxdydz ψ ∗
(x,t)xψ(x,t) =
d 3 xψ ∗ (x,t)xψ(x,t)
(42)
d 3 x ψ ∗ (x,t) ¯h
∇ψ(x,t) (43)
i
WelcheAuswirkungenhateineMessungauf die Wellenfunktion ψ(x,t)?
Ortsmessung – Messgenauigkeit ±∆x, identisch in alle drei Raumrichtungen
Teilchenwerdebei x0 gefunden
WiederholungderMessungsehrkurzeZeitspäter ❀ Teilchen ” amselben
Ort“
Wahrscheinlichkeit ist1, dassTeilchenim Volumen 4π
3 ∆x3 um x0
veränderteWellenfunktion,sodassnachderMessung
w(x,t) =
3 1
4π ∆x3 für|x−x0| < ∆x
0 sonst
(44)
(Dabei wird angenommen, dass jeder Ort innerhalb des Abstands ∆x um
x0 gleich wahrscheinlich ist.)
Übergangvon ψ = ψ alt(x,t) zu
ψneu(x,t) =
3
4π ∆x−3 2e iϕ für|x−x0| < ∆x
0 sonst
ϕ:unbekanntePhase [eventuellsogar x-abhängig]
Übergang: ” Kollaps derWellenfunktion“
[nicht durch Schrödingergleichungbeschrieben]
48
(45)

|ψ(x,t)| 2 Wahrscheinlichkeitsdichte, Wahrscheinlichkeiten vorwissensabhängig
nach derMessungwissenwir mehr über das Teilchen als vorher
❀aprioriist derKollaps nicht erstaunlich
BeispielfürAbhängigkeitvon WahrscheinlichkeitenvomWissen
Würfeln: p(6) = 1
6
mit Würfelbecher,
zugedeckt,Würfelliegtbereits: p(6) =? p(6) = 1
6
aufgedeckt,Würfelliegt bereits: p(6) =? p(6) = 1, wenn6oben
p(6) = 0sonst
zugedeckt,für Käfer in Becher:
p(6) = 1
oder p(6) = 0
statt Käfer, der nichts versteht von dem, was er sieht, Ergebnis des
Würfelns für jemanden außerhalb des Raumes, bevor ich es mitteile:
p(6) = 1
6
auch klassischeWahrscheinlichkeitenkollabieren!
Es existiert aber ein wesentlicher Unterschied zwischen der klassischen
undderquantenmechanischenSituation:
• im klassischen Fall kann, wenn nach dem Aufdecken des Würfels
eine bestimmte Zahl vorliegt, geschlossen werden, dass diese schon
vorher oben lag, d.h. die Beobachtung verändert nicht den Zustand
desSystems
• in der Quantenmechanik kann man aus der Feststellung, dass man
beieinerMessungdasTeilchenamOrt x0 findet,nichtschließen,dass
es schon vorher dort war (nicht einmal, dass es überhaupt an einem
bestimmtenOrtwar) [dieswerdenwir gleich sehen]
klassisch: Rückschluss auf vorherige Situation möglich, Systemzustand
liegtunabhängig von Beobachtungfest
quantenmechanisch: RückschlussmöglichkeitenaufZustandvorBeobachtung
beschränkt; Zustandsbeschreibung durch Wahrscheinlichkeitsamplitude,
vollständigere Beschreibung (die mehr verifizierbare Informationen
liefert)scheint nicht möglich
Warum? Annahme: Impulsmessungzur Zeit t, stattOrtsmessung
❀Wahrscheinlichkeit für |p− p 0 | = ∆p
w(p,t)∆p 3 = 4π
3
= 1
6π2¯h 3
galt p0 ,t) 2 ∆p 3
i −
e
¯h p0x ψalt(x,t)d 3
x
49
2
∆p 3
(∗)

Falls aber das Teilchen schon in der Nähe von x0 wäre, müssten wir ψneu
benützen:
w(p0 ,t)∆p 3 ≈ 4π
3 |gneu(p0 ,t)| 2 ∆p 3
= 1
6π2¯h 3
∆x
0
r 2 π 2π i −
dr dϑsinϑ dϕe ¯h
0 0
p0x eiϕ
∆x 3 2
2
∆p 3
(∗∗)
Integral (∗∗) hängt von ψ alt nicht ab! rechte Seite von (∗) und (∗∗)
können i.A. nicht gleich sein.­zur Annahme, dass ψ alt eine vollständige
BeschreibungdesSystemsdarstellt.
Die Annahme, das Teilchen befinde sich schon vor der Messung in der
Nähevon x0 führtaufeineandereVoraussage fürImpulsmessungenalsdie
Annahme,esseieinfach durch ψ alt(x,t) beschrieben:
WirddieOrtsmessunghingegendurchgeführtundfindetmandabei x0 als
Ergebnis, so ist die Wahrscheinlichkeit für die Messung eines Impulses p 0
unmittelbar dadurch tatsächlich durch(∗∗) gegebenundnicht durch(∗).
Kollaps der Wellenfunktion hat drastischere Konsequenzen als von einembloßenZur-Kenntnis-NehmeneinesErgebnisseszu
erwarten
VersucheinesbesserenVerständnissesdesKollapsesdurchquantenmechanische
Beschreibung der Wechselwirkungeines Teilchens mit der Messapparatur:
SystemTeilchen-ApparaturdurchSchrödingergleichungbeschrieben,
solangeErgebnisderMessungfürexternenBeobachternichtfeststeht
– GesamtwellenfunktionbeschreibtallemöglichenAusgängederMessung
– AnalysevielerSystememitidentischpräpariertenTeilchenundMessgeräte
zeigt, dass Wahrscheinlichkeiten für Sequenz von Orts- und
Impulsmessung mit Ergebnissen x0 und p 0 durch ψ alt(x0,t) und
ϕneu(p 0 ,t) bestimmt
eigentlicherKollaps derWellenfunktionjetzt vielspäter
(Gesamtwellenfunktion, Teilchen und Messapparat haben keine separaten
Wellenfunktionen,siehespäter,schrödingerscheKatze)
verschiedene Interpretationen der Quantenmechanik [heute noch lebhaft
diskutiert]
” orthodoxe“ Deutung: KopenhagenerInterpretation(Niels Bohr)
Komplementarität [wichtiger Begriff darin]
50

KopenhagenerDeutung:
i) DieBeschreibungquantenmechanischerVorgängeverwendetnotwendigerweiseklassischeTerminologie(z.B.Ort,ImpulseinesTeilchens).Manmagsogardarüberstreiten,obmanüberhauptvoneinemquantenmechanischen
Vorgang reden darf, solange keine Messung oder
Beobachtungstattgefundenhat:
” no elementary phenomenon is a phenomenon until it is a recorded
phenomenon“
Auf die klassische Sprache und ihre Begriffe ist man letztlich angewiesen,
weil unsere Begriffswelt sich im Umgang mit einer nichtmikroskopischen
Welt gebildet hat – wir haben nichts anderes zur
Verfügung.
[EinähnlichesProblementstehtmitderRelativitätsthorie–wirkönnen
unsGleichzeitigkeit praktischnur absolutvorstellen.]
ii) KlassischeReproduzierbarkeitsforderung–festgelegteexperimentelle
Bedingungen führen zu immer gleichem Ergebnis bei instantan
wiederholterMessungderselbenGrößeimselbenSystem ❀ Trennung
von Objekt des Experiments undSubjekt (Beobachter) nötig
DieseTrennungist in derQuantenweltnicht durchzuhalten.
Trennung des zu beobachtenden Vorgangs vom benutzten Messinstrument
nicht möglich – ist gute Näherung, wenn das Wirkungsquantum
¯h als vernachlässigbar klein angesehen werden kann [bei
hinreichendmikroskopischenVorgängeni.A.nicht gegeben]
iii) Fazit: Kollaps der Wellenfunktion notwendige Konsequenz unserer
Beschränkung auf eine klassische Beschreibung der Ergebnisse von
Experimenten
Wann der Kollaps genau stattfindetist nicht sowichtig, dasser stattfindenmuss,ist
aberzwangsläufig.
iv) Folgerung: Ergebnisse von Beobachtungen, die unter verschiedenen
experimentellenBedingungengemachtwerden,lassensichnichtnotwendigerweise
zu einem einheitlichen klassischen Bild zusammenfassen.DieverschiedenenklassischenBildersindkomplementär.[Sie
ergänzen sich zu einer Gesamtheit, die eine vollständige Beschreibung
der möglichen Beobachtungen liefert, deren einzelne Elemente
sich aber im Rahmen der klassischen Physik anschließen. In einem
einzelnen Experiment wird man nicht in der Lage sein, zwei komplementäreEigenschaften,etwaderTeilchen-
undWelleneigenschaft
einesQuantenobjekts,gleichzeitig genauzu beobachten.]
v) MessungenkönnenalsodenZustandeinesQuantenteilchensmassiv
verändern, sie haben in der Regel einen unkontrollierbaren Einfluss
auf diesen.
(unkontrollierbar: nicht vom Ausgangszustand, nur vom Ergebnis
abhängig)
51

5.6 Stationäre Lösungen der Schrödingergleichung
Hängt der Hamiltonoperator ˆH nicht explizit von der Zeit ab (der Normalfall
in dieserVorlesung),kann man die zeitabhängige Schrödingergleichungdurch
Separationsansatzvereinfachen:
i¯h ∂ψ
∂t = ˆHψ (46)
ψ(x,t) = f(t)· ϕ(x)
i¯h ˙
f(t)ϕ(x) = ˆHf(t)ϕ(x) |: f(t)· ϕ(x)
i¯h ˙ f(t)
f(t) = ˆHϕ(x) /ϕ(x) (47)
links: Funktionvon t allein rechts:Funktionvon x allein
❀ beideSeitenmüssenkonstantsein,nennenwir dieKonstante E
i¯h ˙ f(t)
= E
f(t)
i¯h ˙ f(t) = Ef(t), ˆHϕ(x) = Eϕ(x) (48)
(48) könnenwirdirektlösen
f(t) = e −i/¯hEt f(0) (49)
o.B.d.A. f(0) = 1 [da ein gemeinsamer Vorfaktor von f(t) · ϕ(x) immer
derDefinition von ϕ(x) zugeschlagenwerdenkann]
ψ(x,t) = e − ī h Et ϕ(x) (50)
Damit ψ(x,t)normierbarbleibt,mussoffensichtlichEreellsein,wobei ϕ(x)
diezeitunabhängige Schrödingergleichung erfüllt.
ˆHϕ(x) = Eϕ(x)
− ¯h2
∆ϕ(x)+V(x)ϕ(x) = Eϕ(x)
2m
Warum nenntman dieLösungen(50) stationär?
Mittelwerte,WahrscheinlichkeitsdichteundWahrscheinlichkeitsstromwerden
zeitunabhängig. Physikalisch ist das besonders wichtig, weil solche
Zustände natürlich gerade die sind, bei denen es nicht zu einer Abstrahlung
kommt(was immer zu einerZeitabhängigkeitführt).
Erwartungswerte:
A = d 3 x
=
i −
e ¯h Et ϕ(x)
∗
i −
Ae ¯h Et ϕ(x)
d 3 xe i
¯h Et ϕ ∗ i −
(x)Ae ¯h Et ϕ(x) =
52
(51)
d 3 xϕ ∗ (x)Aϕ(x) (52)

Wahrscheinlichkeitsdichte:
w(x) = ϕ ∗ (x)ϕ(x) (53)
Wahrscheinlichkeitsstrom:
S = 1 ∗ ∗
ψ (x,t)ˆpψ(x,t)+[ˆpψ(x,t)] ψ(x,t)
2m
= ¯h
2mi
S = ¯h
2mi
e i
¯h Et ϕ ∗ i −
(x)∇ϕ(x)e ¯h Et −e i
¯h Et
∇ϕ ∗
i −
(x) ϕ(x)e ¯h Et
ϕ ∗
(x)∇ϕ(x)− ∇ϕ ∗
(x) ϕ(x)
Die Überlagerung zweier stationärer Lösungen mit verschiedenen Energien
ist zwar eine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung (wegen derenLinearität),
aber sieistselbernicht stationär.
DiezeitunabhängigeSchrödingergleichungisteinesogenannteEigenwertgleichung.Das
heißt,dass die AnwendungdesHamiltonoperatorsauf die
Funktion ϕ(x)wiederdieselbeFunktionbisaufeinenProportionalitätsfaktorEliefert.Für
ϕ(x) ≡ 0gehtdasimmer,wasabereinuninteressanterFall
ist (ϕ = 0 kann keine quantenmechanische Wellenfunktion sein, weil es
nicht zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit 1 führt – ϕ = 0 ist nicht normierbar).
Deshalbschließtman dieseLösungaus. 6 Dann hatdieGleichung i.A.
LösungennurnochfürbestimmteWerteE,dieEigenwerte,undFunktionen
ϕ,die Eigenfunktionen oderEigenzustände(Eigenvektoren).
ZeitunabhängigeSchrödingergleichung–Eigenwertgleichung
ϕ ≡ 0
Lösungen:Eigenwerte–Eigenfunktionen
MengederEigenwerte:Spektrum
DasSpektrumkannendlichoderunendlichsein;unendlicheSpektrenkönnendiskret,kontinuierlichoderteilsdiskret,teils
kontinuierlichsein. 7
E Energie → Energieeigenwerte
Eigenfunktionen sind nur bis auf einen Vorfaktor (= 0!) festgelegt, d.h.
zwei Eigenfunktionen gelten als nicht wesentlich verschieden, wenn sie
sich nurum einenFaktorunterscheiden.
(54)
Entartung–ExistenzmehrererlinearunabhängigerEigenfunktionenzueinemEigenwert.
6 Dasgiltallgemeinbei Eigenwertgleichungen.
7 Es gibt genauere Definitionen von Spektrum als die hier eingeführte. Tatsächlich können
dieEigenwerteeinesOperatorseineechte Untermenge seinesSpektrumssein.
53

Die Nützlichkeit derzeitunabhängigen Schrödingergleichungbestehtneben
der Tatsache, dass sie besonders interessante Lösungen der Schrödingergleichung
liefert (Differenzen von Energieeigenwerten sind experimentell
beobachtbare Größen), auch darin, dass eine Kenntnis aller Lösungen der
zeitunabhängigen Gleichung es erlaubt, die zeitabhängige Schrödingergleichungmit
beliebigerAnfangsbedingungzu lösen.
Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist eine partielle Differentialgleichung
unddas Findenihrer Lösungein Anfangswertproblem. Das heißt,neben
Randbedingungen (wie dem Verschwinden der Lösung im Unendlichen)
brauchen wir, um sie lösen zu können, eine Anfangsbedingung, etwa
ψ(x,0).WennwirnundenvollständigenSatzvonEigenfunktionender
zeitunabhängigen Schrödingergleichung haben, können wir die Anfangsbedingungnach
diesemSatzentwickeln.Dasgehtimmer, weil,wiewirnoch
sehenwerden,derHamiltonoperatoreineEigenschafthat, 8 diedafürsorgt,
dassdieseEigenfunktioneneineBasisdesfürdieLösungrelevantenFunktionenraumsbilden.
9 BesitzenwirnundieKoeffizientenderSuperposition
von Eigenfunktionen,die ψ(x,0) produziert,soerhält man diederLösung
ψ(x,t) durch einfache Multiplikation mit e −iEt/¯h , wobei E der jeweils zur
betreffenden Eigenfunktion gehörende Eigenwert ist. Damit hat man eine
ZerlegungderzeitabhängigenLösungdesAnfangswertproblemsnachder
durch dieEigenfunktionengegebenenBasis.
8 Hermitezität
9 einHilbertraum
54

6 Eindimensionalezeitunabhängige Potentiale
6.1 AllgemeineAussagen
eindimensionalezeitunabhängige Schrödingergleichung
− ¯h2 d
2m
2
ϕ(x)+V(x)ϕ(x) = Eϕ(x) (1)
dx2
ϕ ′′ (x)+k 2 (x)ϕ(x) = 0
k 2 (x) = 2m
¯h 2
E−V(x) (2)
Was können wir über die Lösungen von (2) aussagen, ohne das Potential
V(x) in allen Einzelheitenzu kennen?
i) V(x) reell → mit ϕ(x) ist auch ϕ ∗ (x) Lösung also auch die reellen
Linearkombinationen ϕ(x)+ ϕ ∗ (x) bzw i(ϕ(x)− ϕ ∗ (x))
ϕ(x) kannreellgewähltwerden
(dieSchlussfolgerung,dasseszueinemEigenwertimmerzweiLösungen
gibt, wäre allerdings falsch, denn eine der Linearkombinationen
kannja Nullsein)
ii) IstdasPotentialstückweisestetig,sosindsowohl ϕ(x)alsauch ϕ ′ (x)
stetig
stückweise Stetigkeit ❀ das Potential macht höchstens endliche
Sprünge
Beweis:
Vorbemerkung: ϕ ∗ (x)ϕ(x) isteineWahrscheinlichkeitsdichte
b
a
b
a
ϕ ∗ (x)ϕ(x)dx istendlich ∀a,b ∈ R
|ϕ(x)|dx ist endlichfür endliche a,b ∈ R
(2) ⇒ ϕ ′′ (x) = −k 2 (x)ϕ(x)
x0+ε
x0+ε
ϕ
x0−ε
′′ (x)dx
ϕ ′ (x0+ε)−ϕ ′ = k
x0−ε
(x0−ε)
2 (x)ϕ(x)dx
ϕ ′ (x0+ ε)− ϕ ′ (x0− ε)
≤ sup k
[x0−ε,x0+ε]
2 (x) x0+ε
|ϕ(x)|dx
x0−ε
≤ const.
C
55
(3)

∀x0 : ϕ ′ (x0) macht höchstens endliche Sprünge, ist damit selbst
beschränkt(etwadurch eineKonstante ˜C)
x0+ε
|ϕ(x0+ ε)− ϕ(x0− ε)| =
ϕ ′
(x)dx
≤ 2ε· ˜C −→ 0
ε→0
x0−ε
ϕ(x) iststetig (q.e.d.,Teil1)
istaber ϕ(x)stetig,solässtsichdieAbschätzung(3) nochverbessern
ϕ ′ (x0 + ε)− ϕ ′ (x0 − ε)
≤ 2ε sup k
[x0−ε,x0+ε]
2 (x)ϕ(x) −→ 0
ε→0
ϕ ′ (x) iststetig (q.e.d.,Teil2)
iii) An Stellen,wodasPotentialeine δ-Funktions-Singularitätbesitzt,
gilt
V(x) = Vs(x)+V0δ(x−a) (Vs(x)stückweisestetig) (4)
ϕ ′ (a+0)− ϕ ′ (a−0) = 2m
¯h 2 V0 ϕ(a) (5)
ϕ(a+0)− ϕ(a−0) = 0 (6)
(ϕ(x) bleibt stetig)
DenBeweisführenwirnichtdurch,dieBeweisideeistwiebeiii),dass
ein singuläres Verhalten von ϕ ′′ (x) durch Integrieren abgeschwächt
wird,d.h.eine δ-Funktions-Singularitätvon ϕ ′′ wirdzueinerSprungsingularität
von ϕ ′ , derenIntegrationzu Stetigkeitführt.
Anmerkung: Aus der Stetigkeit von ϕ und der Forderung, dass ϕ im Unendlichenverschwindet,folgtdieEndlichkeitvon
ϕ.
Nutzen von ii) und iii): Kann man die Schrödingergleichung in den Bereichen
lösen, wo V(x) stetig ist, so liefern die Stetigkeit von ϕ und ϕ ′ bzw.
Gl. (5),(6) Randbedingungenan den ” Nahtstellen“,woV(x) einenSprung
macht odereine δ-Funktions-Singularitätbesitzt.
6.2 EindimensionalesKastenpotential(Elektron aufder Stange)
56
(a > 0)

Schrödingergleichung:
− ¯h2
2m
d.h.
d2 +V(x)
dx2
ϕ = Eϕ (7)
ϕ ′′ + 2m
Eϕ = 0 2
¯h
für |x| > a (8a)
ϕ ′′ + 2m
(E+U)ϕ = 0 2
¯h
für |x| < a (8b)
Abkürzungen:
E = − ¯h2
2m κ2
U = ¯h2 2
k0
2m
k 2 = k0 2 −κ2 Lösung in den verschiedenen Bereichen (einfache lineare DifferentialgleichungzweiterOrdnungmit
konstantenKoeffizienten)
ϕ(x) = Acoskx+Bsinkx |x| ≤ a (10a)
ϕ(x) = Ce κ(a−x)
ϕ(x) = De κ(a+x)
(9)
x > a (10b)
x < −a (10c)
BestimmungderKonstantenausdenRandbedingungen,dasssowohl ϕ(x)
als auch ϕ ′ (x) stetigan x = ±a.
ϕ ′ (x) = −Aksinkx+Bkcoskx |x| ≤ a (11a)
ϕ ′ (x) = −κCe κ(a−x)
ϕ ′ (x) = κDe κ(a+x)
Acoska+Bsinka = C
−kAsinka+kBcoska = −κC
Acoska−Bsinka = D
kAsinka+kBcoska = κD
x > a (11b)
x < −a (11c)
x = a
x = −a
(12a)
(12b)
(13a)
(13b)
(12a)+(13a) : 2Acoska = C+D (14a)
−(12b)+(13b) : 2kAsinka = κ(C+D) (14b)
(14b)/(14a): ktanka = κ
tanka = κ
k
57
(15)

(12a)−(13a) : 2Bsinka = C−D (16a)
(12b)+(13b) : 2kBcoska = −κ(C−D) (16b)
(16b)/(16a): kcotka = −κ
cotka = − κ
k
BeideBedingungen[(15) und(17)]sindnichtgleichzeitigzu erfüllen,denn
sonstwäre
1 = tanka·cotka = − κ2
k 2 < 0 ­
(17)
eine der Divisionen , die zu (15) bzw. (17) führte, war nicht erlaubt!
entwederC+D = 0 oderC−D = 0
∃ 2TypenvonLösungen
a) tanka = κ
B = 0, C = D
k
❀ geradeLösungen: ϕ(x) = ϕ(−x)
symmetrischzur SymmetrieachsedesPotentials
b) cotka = − κ
A = 0, C = −D
k
❀ ungeradeLösungen: ϕ(x) = −ϕ(−x)
antisymmetrisch
Dass die Lösungen in einem Satz symmetrischer und antisymmetrischer
Lösungen zerfallen, liegt an der Symmetrie des Potentials: V(x) = V(−x)
(Übungsaufgabe).
FürdiegeradenLösungenhaben wir:
katanka = κa =
Fürdieungeraden
(k0a) 2 −(ka) 2 (18)
kacotka = −κa = − (k0a) 2 −(ka) 2 (19)
Gegebenist
√
2mU
k0a = a [dimensionslosdurchMultiplikation mit a]
¯h
gesuchtist:
κa
58

zw. E = − ¯h2
2ma 2{(k0a) 2 −(ka) 2 } (20)
Die Gleichungen(18) und(19) lassensich graphischlösen.
a) geradeLösungen
❀ esgibtimmer wenigstenseineLösungmit 0 < ka < π
2
Für genügend große k0a, d.h. einen genügend tiefen (oder breiten) Potentialtopf,gibt
esmehrals eineLösung: 2Lösungenfür π < k0a ≤ 2π
3Lösungenfür 2π < k0a ≤ 3π,
usw.
b) ungeradeLösungen
KeineLösungfür k0a ≤ π
2 , 1Lösungfür π
2 < k0a ≤ 3 π
2
2Lösungenfür 3 π
2 < k0a ≤ 5 π
2
usw.
Zusammenfassung:
59

1geradeLösungfür k0a≤ π
2
1geradeund1ungeradeLösungfür π
2 < k0a≤ π
2geradeund1ungeradeLösungfür π< k0a≤ 3
2 π
2geradeund2ungeradeLösungenfür 3
2 π< k0a≤ 2π
geradeundungeradeLösungenwechselnsich ab
n+1 geradeund n ungeradeLösungenfür
π n = 0,1,2,...
nπ < k0a ≤ n+ 1
2
n+1 geradeund n+1ungeradeLösungenfür
π < k0a ≤ (n+1)π n = 0,1,2,...
n+ 1
2
6.2.1 Grenzübergangzu ∞ hohemPotential
neueEnergienormierung(VerschiebungdesEnergienullpunktes)
V ′ = V(x)+U
E ′ = E+U
E ′ = ¯h2
2m k2
U = ¯h2
2m k2
0
DietranszendentenGleichungen(18)und(19)fürdiemöglichenWertevon
ka werdenanalytisch lösbar
katanka =
(k0a) 2 −(ka) 2 ∼ k0a k0a → ∞
ka = π 3π
, ,...
2 2
2n+1
= π,
2
n = 0,1,2,...
kacotka = − (k0a) 2 −(ka) 2 ∼ −k0a k0a → ∞
ka = π,2π,... = nπ n = 1,2,3,...
Fernerwird für |x| > a dieWellenfunktionNull:
ϕ(x) = Ce κ(a−x) ∼ Ce k0(a−x) = Ce k0a(1− x a ) −→
k0a→∞ 0
Die ersteAbleitungvon ϕ istbei x = ±a nicht mehrstetig.
Man kann die Schrödingergleichung für den unendlich hohen Potentialkasten
auch direkt lösen, indem man die Wellenfunktion nur im Innern
betrachtetunddieRandbedingungen ϕ(a) = ϕ(−a) = 0fordert.
60

Bei ∞ hohen Potentialwänden: ∞ viele Lösungen mit diskreten Energiewertenwegen
kna = n π
2
E ′ n = ¯h2
2ma 2
2 π
n
2
2
n = 1(gerade), n = 2(ungerade),
n = 3(gerade), usw.
Bei endlich hohen Potentialwänden gibt es in unserem Beispiel nur endlich
viele diskrete EigenwerteundgebundeneZustände.Für E > 0ist jeder
Energieeigenwerterlaubt, man hat ein kontinuierliches Spektrumund ungebundeneZustände.
6.3 HarmonischerOszillator
Wir werden den harmonischen Oszillator später in einer anderen als der
Ortsdarstellunggenauerbehandeln,deshalbsollhier im Wesentlichennur
dasErgebnisderLösungderSchrödingergleichungangegebenwerden.
DerHamiltonoperatorlautet:
H(ˆp,x) = − ¯h2 ∂
2m
2 mω2
+
∂x2 2 x2
Die stationäreSchrödingergleichung
H(ˆp,x)ϕn = Enϕn
führtauf dieEigenwerte
En = n+ 1
¯hω
2
n = 0,1,2,... (23)
unddie(normierten)Eigenfunktionen
1
ϕn(x) =
2n
mω
n! π¯h Hn
mω
¯h x
e −mω
2¯h x2
; (24)
die Hn(x) sindhermiteschePolynome
Hn(x) = (−1) n e x2
n d
e
dx
−x2
. (25)
EinigeEigenschaften der hermiteschen Polynome
Orthogonalität:
∞
−∞
dxe −x2 Hn(x)Hm(x) = √ π2 n n! δmn
61
(21)
(22)

∞
∑
n=0
erzeugendeFunktion: e −t2 +2tx 1
=
n! tnHn(x)
d2 d
Differentialgleichung: −2x
dx2 dx +2n
Hn(x) = 0
1
Vollständigkeit: √
π
6.4 FreiesElektron
V(x) = 0
∞
∑
n=0
1
2n x2 −
Hn(x)e 2 Hn(x
n! ′ x′2 −
)e 2 = δ(x−x ′ )
ϕ ′′ + 2m
E ϕ = 0 (26)
2
¯h
E < 0 nicht erlaubt (führt zu Lösungen,die entwederfür x → ∞ oderfür
x → −∞ exponentiellansteigen)
JederWert E ≥ 0isterlaubt. Für E > 0 liegtzweifache Entartungvor:
ϕ(x) = e ±ikx
2m
k =
1
E = 2
¯h ¯h
2m p2
2m
= p
¯h
(27)
Diese Eigenfunktionen sind nicht mehr im üblichen Sinn normierbar. Wie
man dennochmit ihnen arbeitenkann,werdenwir spätersehen.
ψ(x,t) = e
p i p
±i¯h x− ¯h
2
2mt de-Broglie-Wellen,rechts- undlinkslaufend
6.5 Tunneleffekt
Teilchenmit einerEnergie E < Vmax laufe gegeneinenPotentialberg
klassisch wird einsolchesTeilchenreflektiert
(28)
quantenmechanisch? es kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf
die andere Seite des Berges gelangen (antizipiertes
Ergebnis)
dasTeilchen scheintdurchdenPotentialberg ” hindurch zu tunneln“
62

Ziel:
Untersuchung des Tunnelns für ein einfaches Modell (analytisch lösbar) –
rechteckigerPotentialwall.
LösungderSchrödingergleichungperAnsatz.
Dazu einige physikalischeÜberlegungen:
GebietI: Wellefalle von linksein, werdemit Anteil R reflektiert.
GebietIII:
ψ = ψe+ ψr
ψe(x,t) = e i(kx−ωt)
ψr(x,t) = Re i(−kx−ωt)
ψ d(x,t) = De i(kx−ωt)
Abkürzungen
k 2 = 2m
E 2
¯h
k0 2 = 2m
U 2
¯h
ω = E
¯h
einfallende Welle (29)
reflektierteWelle
durchgehenderAnteilderWelle (30)
GebietII: FormderWellenfunktionhängtdavonab,ob E > U oder E < U
E < U : ψII(x,t) = Ae κx +Be −κx e −iωt ,
κ = k0 2 −k2 (31)
E > U : ψII(x,t) =
Transmissionskoeffizient:T = |D| 2
A ′ e iκ′ x +B ′ e −iκ ′ x
e −iωt , κ ′ =
k 2 −k0 2
LösungderSchrödingergleichung:benützeStetigkeitsbedingungen
a) E < U
(32)
x = 0 : 1+R = A+B ψ stetig (33a)
ik(1−R) = κ(A−B) ∂xψ stetig (33b)
x = L : Ae κL +Be −κL = De ikL
Ae κL −Be −κL = ikDe ikL
κ
63
ψ stetig (34a)
∂xψ stetig (34b)

Ziel: Berechnungvon D (und R) ❀Elimination von A,B
κ (33a)+(33b) : κ(1+R)+ik(1−R) = 2κA
A = 1
2
1+R+i k
κ (1−R)
κ (33a)−(33b) : κ(1+R)−ik(1−R) = 2κB
(35a), (35b) in (34a):
1
2
in (34b):
B = 1
2
1+R−i k
κ (1−R)
(1+R) e κL +e −κL
+ ik
κ (1−R)
e κL −e −κL
= De ikL
(1+R)coshκL+ ik
(1−R)sinhκL = DeikL
κ
(1+R)sinhκL+ ik ik
(1−R)coshκL =
κ κ DeikL
(36a) coshκL−(36b)sinhκL :
(1+R) cosh 2 κL−sinh 2
κL = De ikL
cosh κL− ik
κ sinhκL
1+R = De ikL
coshκL− ik
κ sinhκL
−(36a)sinhκL+(36b)coshκL :
ik
κ (37a)+(37b) :
2 ik
κ
= DeikL
ik
κ (37a)−(37b) :
ik ik
(1−R) = DeikL
κ κ coshκL−sinhκL
2 ik
κ coshκL+
k2
−1 sinhκL
κ2
(35a)
(35b)
(36a)
(36b)
(37a)
(37b)
(38a)
2 ik
R = DeikL 1+
κ k2
κ2
sinhκL (38b)
(38a) ⇒ |D| 2
|D| 2
|D| 2 =
1− k2
κ 2
2
sinh 2 κL+ 4k2
κ2 cosh2
κL
1+ k2
κ2 2
sinh 2 κL+ 4k2
κ2 4k 2 κ 2
4k 2 κ 2 +(κ 2 +k 2 ) 2 sinh 2 κL
64
1+sinh 2 κL
= 4 k2
κ 2
= 4 k2
κ 2
(39)

Dieslässt sich wiederdurch E undU ausdrücken:
b) E > U
κ 2 +k 2 = k0 2 = 2m
¯h 2 U k2 = 2m
E 2
¯h
T = |D| 2 4E(U−E)
=
4E(U−E)+U 2sinh 2 κL
(38b) ⇒ 4 k2
|R| 2 = |D| 2
1+ k2
κ2 2 sinh 2 κL
4 k2
κ 2
κ2|R|2 = |D| 2
= |D| 2
1+ k2
κ 2
2
sinh 2 κL
κ 2 +k 2 2 sinh 2 κL
4k 2 κ 2
(40)
κ2 +k2 =
(39)
2 2
sinh κL
4k2κ2 +(κ2 +k2 ) 2 sinh 2 κL (41)
|R| 2 +|D| 2 = 1 wie essein muss (42)
Wir brauchen nur in (39) κ durch iκ ′ zu ersetzen (Elimination von von A ′
und B ′ analog zu dervon A und B,gleicherRechengang)
T = |D| 2 =
T =
Diskussion:
−4k 2 κ ′2
−4k 2 κ ′2 + k 2 −κ ′2
k 2 0
4E(E−U)
4E(E−U)+U 2 sin 2 κ ′ L
2 sinh 2 iκ ′ L
(isinκ ′ L) 2 = −sin 2 κ ′ L
(43)
a) E < U: Ist κL sehr groß, so wird sinh κL sehr groß ⇒ T ≈ 0, praktisch
keineTransmission,alles wird reflektiert(|R| 2 ≈ 1).
Ist jedoch κL 1, so geht ein gewisser Anteil mehrerer identisch
präparierterTeilchen durchdie Potentialbarriere.
WichtigerParameter also:
2m
κL =
wobei
λ =
(U−E)L = 2
¯h
2πL
h/ 2m(U−E)
h 150
=
2m(U−E) (U−E)/[eV] ˚A
65
= 2πL
λ

die zur Energiedifferrenz U−E gehörende de-Broglie-Wellenlängeist.
Ist also U − E = 150eV, so darf L nicht größer als von der
Größenordnung1 ˚Asein,damiteinordentlicherAnteilderTeilchendurchgeht.
AussehendesBetragsquadratsderWellenfunktionfür E < U:
stehendeWelle:
e ikx +Re −ikx
2
= 1+|R| 2 +R ∗ e 2ikx +Re −2ikx
= 1+|R| 2 +2ℜ(R)cos2kx+2ℑ(R)sin2kx
b) E > U: Interessanterweise geht ein Teilchen, das klassisch die Barriereimmerüberquert,quantenmechanischnichtmitWahrscheinlichkeit1darüber,außerinspeziellenFällen,nämlichfürκ
′ L =
nπ [d.h.,wennderSinusim Nennervon (43) verschwindet].
VerhaltendesTransmissionskoeffizientenals Funktionvon E/U
66

6.6 Verhalten der Wellenfunktion in verschiedenen Bereichen –
Lösungsmultiplizität
Nützliche Unterscheidung: klassisch erlaubte [E > V(x)]
klassisch verbotene [E < V(x)] Gebiete
ϕ ′′ (x)+ 2m
(E−V(x)) 2
¯h
k2 ϕ(x) = 0
(x)
a) klassisch erlaubtes Gebiet ⇒ k 2 (x) > 0
ϕ ′′ und ϕ haben entgegengesetztesVorzeichen
ϕ > 0 ϕ konkav
ϕ < 0 ϕ konvex
Krümmung zurx-Achse, Nulldurchgänge:Wendepunkte
ozillatorisches VerhaltenderWellenfunktion
b) klassische Umkehrpunkte: V(x ∗ ) = E ⇔ k 2 (x) = 0
ϕ ′′ (x) = 0 Wendepunkt,nicht(notwendigerweise)aufder
x-Achse (es wäre Zufall, wenn dieser Wendepunktmit
einerNullstellezusammenfiele)
c) klassisch verbotenes Gebiet ⇒ k 2 (x) < 0
ϕ ′′ und ϕ haben gleichesVorzeichen
Krümmung:von x-Achse weg
67
ϕ > 0 ϕ konvex
ϕ < 0 ϕ konkav

: Situationmit klassisch verbotenemGebiet ∀x > x0
x < x0: klassischerlaubt ozillatorisches Verhalten
im klassischverbotenenGebiet dreiMöglichkeiten(beipositivem ϕ(x0)):
i) zu schwache konvexeKrümmung Nulldurchgang und
ϕ(x → ∞) → −∞
ii) Anschmiegenan x-Achse–exponentiellesAbklingen
iii) zu starkekonvexeKrümmung ϕ(x → ∞) → ∞
Nurii) führtzu einermit ϕ(x → ∞) → 0verträglichen Lösung!
❀ Einschränkungenfürmögliche Energieeigenwerte
6.6.1 Eigenwertspektren
typischePotentialverläufe
i) V(x) → ∞ für x → ±∞
wachsende Versuchswertefür
E
E < Vmin =⇒ k 2 (x) < 0 ∀x
esexistierenkeineLösungenmit ϕ = 0
(Anschmiegen an Achse plus durchgehende Konvexität
bzw. Konkavität auf derselben Seite der Achse vertragen
sich nicht)
68

E > Vmin =⇒ ∃ 2 klassischeUmkehrpunktex1(E),x2(E)
−∞ E0: zunächst Nulldurchgangbei x > x2, ϕ(x → ∞) → −∞
dann: E = Ey
69
❀ keineLösung

WeitereErhöhungderEnergie❀
E = E1
❀ Eigenfunktion zum Eigenwert
E1
Verfahrenfortsetzbar– mitjedemneuenEigenwerthatdieWellenfunktion
eineNullstellemehr
Die Wellenfunktion muss sowohl nach links als auch nach rechs ihr oszillatorischesVerhaltenimklassischerlaubtenBereichaufexponentiellesAbklingen
für |x| → ∞ umstellen sowie die Stetigkeitsbedingungenfür ϕ(x)
und ϕ ′ (x) erfüllen.
❀ diskreteEnergieeigenwerte En, n = 0,1,2,...
klassisch ist dasTeilchen auf einen endlichenRaumbereich begrenzt–also
haben wir gebundeneZustände ϕn(x), n = 0,1,2,...
BeigeordnetenEnergieeigenwerten
E0 < E1 < E2 < ...En < ...
entsprichtnderKnotenzahlderWellenfunktion.
Ferner: Die EnergiendesdiskretenSpektrumssind nichtentartet (Übungsaufgabe)
ii) V(x) → ∞ für x → x0 und x → ∞
x < x0: nur ϕ(x) ≡ 0 ist
Lösung,
k 2 (x) = −∞!
x > x0: selbe Gesetzmäßigkeiten wie in i) ❀ diskretes, nichtentartetes
Spektrum
Stetigkeitvon ϕ alle ϕn erfüllen ϕn(x0) = 0
70

iii) V(x → ±∞) = V±∞
a) E < Vmin keineLösung
b) Vmin < E < V∞ diskretesSpektrumwie im Fall i)
gebundeneZustände
Die ZahlderEigenwertehängt wesentlichvonderStrukturdesPo-
tentialsab.SiekannNull,endlichoderunendlichsein.IstV−∞ = V∞
und existiertein globales Minimum (Vmin < V∞), so gibt eswenigstenseinengebundenenZustand.
Kein diskreterEigenwertexistiertfür folgendesPotential:
c) V∞ < E < V−∞
Für jeden Eigenwert E in diesem Intervall kann eine Eigenlösung
konstruiert werden. Diese muss sich für x → −∞ exponentiell an
die x-Achseanschmiegen,rechtsdavon oszilliert sie.Die Anstückelung
an den klassisch verbotenen Bereich ist stets möglich. Nach
rechtsistderklassisch erlaubteBereichunbeschränkt.
❀ kontinuierlichesSpektrum,nicht entartet
(wegenderAnstückelung)
Oszillatorisches Verhalten bis ∞ ❀ die Lösungen sind nicht mehr
normierbar (divergieren aber auch nicht). Sie beschreiben Teilchen,
dieins ∞elaufen können(also keinegebundenenZustände).
❀ kein verschwindenderWahrscheinlichkeitsstromfür x → ∞
d) E > V−∞
OszillatorischesVerhaltenüberdengesamtenx-Bereich;kontinuierliches,
zweifach entartetesEigenwertspektrum
Die zweifache Entartung ist eine Konsequenz der Existenz zweier
linear unabhängiger LösungenderDifferentialgleichung.
71

7 Formalismus derQuantenmechanik
Ortsdarstellung
Impulsdarstellung
zwei äquivalente Darstellungen derQuantenmechanik
(dieunsbisherbekanntsind)
Vermutung: ∃ übergeordneteallgemeineFormulierungderQM,diediese
beidenals Spezialfälle enthält
Im Prinzip reicht das bisher erarbeitete Handwerkszeug aus, die meisten
quantenmechanischen Probleme technisch zu lösen. D.h. man kann in der
Ortsdarstellung Energieeigenwerte und Erwartungswerte bestimmen. Es
zeigt sich, dass es vorteilhafter ist, die Theorie auszubauen. Zur BerechnungmancherErwartungswerteistesgarnichtnötig,dieexpliziteLösung
derSchrödingergleichungzukennen.WichtigersinddieEigenschaftender
den physikalischen Größen zugeordneten Operatoren, sprich ihre Vertauschungsrelationen.
Esistdannnützlich,eineallgemeineSchreibweiseeinzuführen,beiderdie
expliziteFormderWellenfunktiongarnichtmehrsichtbarwird;diesewird
gelegentlichals darstellungsfreibezeichnet.
wichtig: Operatoren,Vertauschungsrelationen
darstellungsfreieSchreibweise–keineexpliziteFormderWellenfunktion
Beispielharmonischer Oszillator:
ohneKenntnisderFormderWellenfunktionim Ortsraumberechenbar
• Erwartungswerte
• Eigenwertspektrum
• w(x) = ϕ ∗ (x)ϕ(x) im Grundzustand
❀ manchmal ist es vorteilhaft, spät oder gar nicht zu einer spezifischen
Darstellungüberzugehen
vergleichbar: Vektorrechnung
a Komponenten ax,ay,az
b Komponenten bx,by,bz
c = a+b : Komponenten cx = ax +bx
cy = ay +by
cz = az +bz
Im Prinzip ist keine Vektorschreibweise notwendig, man kann immer mit
Komponentenrechnen.
aber: die Vektordarstellung hat Vorteile (z.B. Unabhängigkeit vom Koordinatensystem)
72

MankannetwadenZustandeinesklassischenSystemsmitdemVektorder
zugehörigen3N Orts-und3N Impulskoordinatenidentifizieren
⎛
⎜
Π = ⎜
⎝
q1
.
q3N
p1
.
p3N
⎞
⎟
⎠
Die praktische Nützlichkeit hält sich in Grenzen, weil die Bewegungsgleichungen
˙qi = ∂H
∂pi
˙pi = − ∂H
∂qi
sich nicht auf sehreinfache Weisedurch denVektor Π ausdrückenlassen
⎛
⎞
0 ... 0 1 ... 0
⎜
.
⎜
. .. .
. . ..
⎟
. ⎟
⎜
˙Π = ⎜ 0 ... 0 0 ... 1 ⎟
⎜ −1 ... 0 0 ... 0 ⎟∇ΠH
⎟
⎜
⎝
.
. .. .
. . ..
⎟
. ⎠
0 ... −1 0 ... 0
In der Quantenmechanik ist der Vektorbegriff naheliegender und nützlicher.
7.1 Zustandsvektor imHilbertraum
Zustand:
ψ(x)
g(p)
Wellenfunktionim
Ortsraum
Impulsraum
(wir unterdrückenvorläufigdie Zeitkoordinate)
Es liegt nahe, diese Funktionen als verschiedene Darstellungen einer abstraktenGröße|ψ〉
anzusehen.
ψ(x),g(p) : Darstellungenvon |ψ〉
↑
abstrakteGröße
Zustandsvektor
73

Angenommen, wir haben alle Eigenfunktionen der stationären Schrödingergleichung;dannkönnenwirdieWellenfunktionnachdiesenEigenfunktionenentwickeln:
ψ(x) =
∞
∑ cnϕn(x)
n=0 ↑
EigenfunktionenderstationärenSG
Voraussetzung:die ϕn(x) bilden einenvollständigenSatz(tun sie)
[Der einfacheren Schreibung wegen beschränken wir uns wieder auf den
eindimensionalenFall.]
ϕn(x) bekannt(n = 0,1,2,...) ⇒ ψ(x) ist gegeben durch die Folge
(c0,c1,c2,...)
– unendlichdimensionalerVektor
❀ Vektor(c0,c1,c2,c3,...): weitere Darstellung des Zustandes neben
Orts-undImpulsdarstellung
|c0| 2 , |c1| 2 , |c2| 2 , usw. – Wahrscheinlichkeiten, das System bei einer Energiemessungim
Zustand ϕ0, ϕ1, ϕ2,... zu finden
Beispiel: Istc0 = 1,sobefindetsichdasSystemim Zustand ϕ0.Befindetes
sich in einemZustandderForm
ψ(x) = 1 √ 2 ϕ0(x)+ 1
√ 2 ϕ1(x)e iα ,
so wird man es jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1
2 in ϕ0 oder ϕ1
finden.
Durch Entwickeln der Wellenfunktion nach anderen vollständigen Systemen
erhält man weitere Darstellungen, deren Koeffizienten zur Berechnung
der Wahrscheinlichkeiten, das System in den betreffenden Basiszuständenzu
finden,benütztwerdenkönnen.
|ψ〉: Zustandsvektor
Hilbertvektor,Hilbertraumvektor
Die beiden letzten Bezeichnungen nehmen Bezug auf die mathematische
StrukturdeszumZustandvektorgehörendenVektorraums–wirdnochgenauer
betrachtet.
nicht: |ψ(x)〉!
(der Zustandvektor ist nur in speziellen Darstellungen eine FunktiondesOrts)
Am besten stellt man sich unter |ψ〉 keine Funktion vor – wenn man eine
Vorstellungbraucht, istdieeinesVektorsnützlicher.
Vorteil: größereÜbersichtlichkeitd.TheoriedurchkompakteSchreibweise
74
(1)

Gegenüberstellung:
Vektorraum(3D) Hilbertraum
Vektor a |ψ〉
Darstellungen (ax,ay,az) ψ(x),g(p)
(a ′ x,a ′ y,a ′ z) (c0,c1,c2,c3,...)
arer +aθeθ +aφeφ
Dimension 3 meist (abzählbar) ∞
ElementederDarstellung (üblicherweise)reell komplex
Terminologienwie Orthogonalität,Länge,Norm,Skalarprodukt
werdenaus derVektorrechnungübernommen
7.2 Hilbertraum
VierEigenschaftenkennzeichneneinenHilbertraum H
1) H istein reelleroderkomplexerVektorraum(= linearer Raum)
Vektorraum(übereinemKörper): Mengemit Verknüpfung+
undZuordnung·
bezüglich +
Zuordnung·
eineabelsche Gruppe
ordnet Element aus dem Vektorraum und Element
aus dem Körper ein neues Element aus dem Vektorraum
zu
(c,|α〉) ↦→ c|α〉 ∈ H
Körperhier: MengederkomplexenZahlen C
esgeltenAssoziativ-undDistributivgesetze
(sieheMathematikvorlesungen)
LineareUnabhängigkeit:
|ϕ1〉,|ϕ2〉,...|ϕn〉 heißenlinear unabhängig, falls
n
∑ cν|ϕν〉 = |0〉
ν=1
Nullvektor
nurdurch c1 = c2 = ... cn = 0 erfüllbar ist
DimensionvonH: MaximalzahllinearunabhängigerElementeinH.
(Unendlich viele Vektoren sind linear unabhängig, wenn jede ihrer
endlichenTeilmengenesist.)
75

2) HisteineuklidischeroderunitärerRaum=reelleroderkomplexerVektorraummit
Skalarprodukt
Schreibweise fürSkalarprodukt:〈α| β〉 (= 〈β| α〉 ∗ )
Bezeichnungen:
Orthogonalität: |α〉,|β〉 orthogonal ⇔ 〈α| β〉 = 0
Norm: α = 〈α| α〉
Esgeltendie
Schwarzsche Ungleichung: |〈α| β〉| ≤ αβ
(Gleichheit, wenn|α〉 = c|β〉)
unddie Dreiecksungleichung: α−β ≤ α+β ≤ α+β
IstHendlichdimensionalmit Dimension n
❀ jeder Satz von n linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis,
d.h. jedes Element ∈ H lässt sich als Linearkombination dieser
Zuständeschreiben.
Für ∞dimensionale Hilberträume sind folgende zwei Eigenschaften noch
explizit zu nennen (weil sie anders als im endlichdimensionalen Fall nicht
selbstverständlichsind)
3) H ist separabel
Es gibt mindestens eine Folge von Vektoren |αn〉, die in H überall
dicht ist. (D.h., zu jedem ε > 0 ∃ für jedes |ψ〉 ∈ H mindestens ein
|αm〉 mit αm − ψ < ε.)
Definition: Orthonormalsystem(ONS)
Menge M von Vektoren,für diegilt:
βi
βj = δij ∀ |βi〉,
↑
Kroneckersymbol
βj ∈ M
vollständiges Orthonormalsystem: ONS, so
dass es kein Element = |0〉 aus H gibt, das orthogonalzu
allen |βi〉 steht
Separabilität ⇒ Dimension von H höchstensabzählbar ∞
4) H ist vollständig 10
JedeCauchy-Folge|αn〉 ∈ H konvergiertgegenein Element|α〉 ∈ H.
[Cauchy-Folge: Zujedem ε > 0 ∃ N(ε), sodass
αn − αm < ε ∀ n,m > N(ε)]
Es kann gezeigt werden, dass ein vollständiges ONS ganz H aufspannt,
d.h. jeder Vektor |ϕ〉 aus H lässt sich nach diesem System
10 Ein reeller oder komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt, der nicht notwendigerweise
vollständigist,heißtPrähilbertraum.
76

entwickeln
|ϕ〉 = ∑cj βj cj =
j
βj
ϕ
〈βn| ϕ〉 = ∑cj βn
βj = ∑cjδnj = cn
j j
NotwendigeBedingungfür Konvergenz
n
d.h. ϕ−
∑
j=1
cj
2 < ∞
∑ j
Mit VollständigkeitvonHist diesauch hinreichend.
Beispiel: Raum derquadratintegrablenFunktionen L 2
d 3 x|ψ(x)| 2 < ∞
Skalarprodukt: 〈ϕ|ψ〉 = d 3 xϕ ∗ (x)ψ(x)
cjβj
−→
n→∞ 0 :
in derQM: 〈ψ| ψ〉 = Gesamtwahrscheinlichkeit = 1
7.3 bra-und ket-Vektoren
Skalarprodukte werden gemeinhin als Produkte zweier Vektoren aufgefasst.
Im R 3 ist es möglich, beide Vektoren eines Skalarprodukts oder Elemente
desselben Vektorraums anzusehen, i.A. sind die beiden Vektoren
Elementeausdualen Räumen.
|ψ〉 ∈ H
〈ϕ| ∈ H ∗
Skalarprodukt: 〈ϕ|ψ〉
(dualer Raum) 11
Diracs Bezeichnung: bra- undket-Vektoren
〈ϕ| |ψ〉
bra -c - ket
bracket=Klammer
Waswird umklammert?I.A.einOperator!
〈ϕ|A|ψ〉 =
Ā = 〈ψ| A|ψ〉
d 3 xϕ ∗ (x)A ψ(x) OrtsdarstellungdesSkalarprodukts
KompakteDarstellungderEntwicklungnach einem ONS:
|ϕ〉 = ∑cj αj j
αj
αj αj
ϕ
= ∑ j
cj = ∑ j
11 Bei einem Hilbertraum sind per definitionem H und H ∗ identisch. Wir werden aber im
nächsten Abschnitt sehen, dass für viele Anwendungen der Hilbertraum nicht ausreicht.
Füreine erweitertenHilbertraumsindRaum und dualerRaum verschieden.
77

⇒ ∑ j
αj αj
= 1
Vollständigkeitsrelation
7.4 Uneigentliche Vektoren(Diracvektoren)
Wenn das Spektrum des Hamiltonoperators einen kontinuierlichen Anteil
hat, reicht der bisher betrachtete Raum, d.h. der Raum der Hilbertvektoren
nicht aus. Die Separabilität geht verloren, man erhält überabzählbare
Mengenlinear unabhängigerVektoren.
KontinuierlichesSpektrum ❀ VerlustderSeparabilität
❀ uneigentlicheVektoren
↑
erhältlich durch Grenzwertprozesse aus Hilbertraumvektoren
(effektive ErweiterungdesHilbertraums)
abzählbaren orthonormierten Satz von eigentlichen, d.h. Hilbertvektoren{
αj }, j = 0,1,2,...
ersetzeformal j → (p, ∆p) p ∈ N, ∆p = 1
bilde Skalarproduktemit festenVektoren|ψ〉
Grenzübergang:
αp,∆p
ψ ψ(p) = lim
∆p→0 ∆p
verkleinere ∆p zwecks
Approximation kontinuierlichen
Spektrums
DieBegründungfürdenFaktor 1
√∆p sehenwirspäter;eristbeimÜbergang
von einerSummezu einem Integralnützlich.
78
(2)
(3)

DerGrenzübergang(3)lieferteinekontinuierlicheFunktionvon p,dieman
als Skalarprodukt
ψ(p) =
¯αp ψ
(4)
zwischen|ψ〉 unddemformalen Diracvektor
αp,∆p ¯αp = lim
∆p→0 ∆p
interpretierenkann.
Die Vollständigkeitsrelation liefertdann
|ψ〉 = lim
∆p→0 ∑ p
= lim
∆p→0 ∑ p
αp,∆p
¯αp
αp,∆p
ψ
¯αp
ψ ∆p =
Multipliziere vonlinks mit ¯αp ′
¯αp ′
ψ =
dp ¯αp ′
¯αp ¯αp
ψ .
dp ¯αp
¯αp
ψ Fürbeliebige|ψ〉 kann dieseGleichung nurgelten,falls
¯αp ′ ¯αp
′ = δ(p− p ) (7)
UneigentlicheVektorensind auf die δ-Funktionnormiert“!
”
Für|ψ〉 in (6) kann man natürlich auch
αp,∆p nehmen
αp,∆p =
dp ′ ¯α p ′
p+
¯αp ′ αp,∆p =
1 2 ∆p
p− 1 2 ∆p
dp ′ ¯α p ′
Die zweite Gleichung gilt, weil für |p ′ − p| > 1
orthogonalsind(perKonstruktion).
ImBereich p− 1
¯αp ′ ≈ 1
∆p
2 ∆p
¯αp ′ αp,∆p 2∆p < p′ < p+ 1
2∆pkönnenwir abersetzen
αp,∆p
(sofernnur ∆pgenügendklein)
1
1 p+ 2
αp,∆p ≈ ED(p) ≡ ∆p
∆p
p−1 2 ∆p
dp ′¯αp ′
” Eigendifferentialvon ¯αp“
79
(5)
(6)
(8)
¯α p ′ und αp,∆p
(9)

Eigendifferentiale erfüllendieHilbertraumaxiome.
Sie sindinsbesonderenormierbar
〈ED(p)|ED(p)〉 = 1
∆p
Beispiel fürDiracvektoren:
p+ 1 2 ∆p
p− 1 2 ∆p
= ∆p
= 1
∆p
dp ′
p+ 1 2 ∆p
p− 1 2 ∆p
dp ′′
¯α p ′
¯α p ′′
δ(p ′ −p ′′ )
1
∆p
|x〉 : EigenfunktiondesOrtsoperators
ˆx x ′ = x ′ x ′
〈x|ψ〉 = ψ(x)
տ diesist dieWellenfunktionin Ortsdarstellung!
vgl. mit cj =
ϕj
ψ
Der erweiterte Hilbertraum 12 besteht aus den Hilbertvektoren und den Diracvektoren.
Man kannmit Diracvektoren im erweitertenHilbertraumim Wesentlichen
so arbeiten wie mit gewöhnlichen Hilbertvektoren, solange man die Normierungskonventionbeachtet.
In Zukunft werden wir bei den Symbolen nicht zwischen Hilbert- und Diracvektoren
unterscheiden. D.h. wie werden den Querstrich über αp weglassen
und wir werden auch den erweiterten Hilbertraum mit H bezeichnen.
13
7.5 Operatorenim Hilbertraum
Operator: Abbildungsvorschrift, die einem Element |α〉 aus dem Hilbertraum
einElement|β〉 zuordnet(Funktion)
|β〉 = A|α〉 ≡ |Aα〉 (10)
Wennwir|α〉und|β〉alsVektorenbetrachten,könnenwiruns AalsMatrix
vorstellen( ” Matrizenmechanik“) –beilinearen Operatoren A. 14
12 Englisch:rigged Hilbertspace
13 Bei einer mathematisch sauberen Beschreibung führt man ein sogenanntes Gelfand-Tripel
Φ ⊂ H ⊂ Φ ∗ ein. Φ ∗ enthält auch Distributionen wie die ” Eigenfunktion“ des Ortsoperators.
Φ hingegen enthält ” gutartige“ Funktionen, bei denen auch n-malige Anwendung
vonOrts-oderImpulsoperatornichtaus Φ hinausführt–dieseFunktionenmüssenimUnendlichenbesondersschnellabfallen.
14 DiegroßeMehrheitderinderQuantenmechanik betrachteten Operatorenistlinear.
80

linearer Operator:
A(a|α〉+c|γ〉) = aA|α〉+cA|γ〉 ∀|α〉,|γ〉 ∈ H, a,c ∈ C
Beispiele: Ortsoperator,Impulsoperator,Hamiltonoperator
Paritätsoperator Pϕ(x) = ϕ(−x)
SummeundProduktvonOperatorenwurdenbereitsimZusammenhangmit
derSchrödingergleichungangesprochen(Kap. 5.4.3)
(A+B)|α〉 = A|α〉+B|α〉 = |Aα〉+|Bα〉
AB|α〉 = A|Bα〉 = |ABα〉
Kommutator[sehrwichtigerBegriff]:
[A,B] ≡ AB−BA (11)
hermiteschkonjugierteroderadjungierterOperator:
〈γ| A|α〉 ≡ 〈¯γ|α〉 fürbeliebige|α〉 (12)
dannist derzu A adjungierteOperator A † definiertdurch 15
A † |γ〉 = |¯γ〉
Formal
〈γ|A|α〉 = A †
γα
∀|γ〉,|α〉 ∈ H. (13)
Genauer müsste man die Menge der |γ〉 auf den Definitionsbereich des
Operators A † unddieMengeder|α〉aufdenDefinitionsbereichvon Aeinschränken.
Nicht jeder Operator liefert nach Anwendung auf einen beliebigenHilbertraumvektorwiedereinenlegitimen
Hilbertraumvektor. 16
Alternativ:
〈γ|Aα〉 = A †
γα
= αA
† γ
〈γ|A|α〉 = αA
†
∗
γ
∗
A † wirktim dualen Raum H ∗ sowie A in H
〈¯α| = 〈α| A † = 〈Aα|
(13’)
15 Dass eineinzigerVektor 〈¯γ| existiert,dereine solche Gleichung erfüllt,istnatürlich etwas,
das man erstmal beweisen müsste. Das überlassen wir aber den Mathematikern. (RieszscherDarstellungssatz.)
16 Wird zum Beispiel die n-te Potenz des Ortsoperators auf eine Wellenfunktion angewandt,
die im Unendlichen wie 1/x 2 abfällt, so ist die neue Wellenfunktion für n ≥ 2 nicht mehr
quadratintegrabel.
81

Rechenregeln:
A † †
= A
(AB) † = B † A †
(aA) † = a ∗ A †
(a komplexeZahl)
Wir nehmen im Folgenden an, dass der Definitionsbreich eines Operators
derganze Hilbertraum H sei.
DerBeweisderRechenregelnerfolgtüberdieEigenschaftendesSkalarprodukts:
für beliebige |α〉,|γ〉 gilt
〈γ|A|α〉 = αA
†
∗
γ = γ(A
† ) †
∗∗
α = γ
(AB) †
γα
= 〈γ|AB|α〉 = A †
γBα
= B † A †
γα
γ(aA)
†
α = 〈aAγ| α〉 = a ∗ 〈Aγ|α〉 = a ∗
γA
†
α
Hermitesche oderselbstadjungierte Operatoren
definierendeEigenschaft: 17
(A † ) †
α
= 〈γ|a ∗ A † |α〉
A † = A (14)
Eigenschaften:
i) Erwartungswertesindreell
Beweis:
〈α|A|β〉 = βA
†
α
〈α|A|α〉 = αA
†
α
ii) Eigenwertesindreell
Beweis:
〈ψ|A|ψ〉
reell
⇒ a reell
A|ψ〉 = a|ψ〉
= a〈ψ| ψ〉
reell=0
∗
∗
= 〈α|A|α〉 ∗
iii) Eigenzuständezu verschiedenenEigenwertensindorthogonal
Beweis:
〈ψi| A
ψj =
↓=
ψi
Aψj = ψi
ajψj = aj ψi
ψj 17 Das bedeutetneben(13),dassdieDefinitionsbereichederbeidenOperatorengleichsind.
82

Aψi
ψj
ai −aj ψi
ψj
= aiψi
= 0 ⇒
ai=a j
∗
ψj = ai
ψi
ψj
ψi
ψj = ai
= 0
ψi
ψj Eigenzustände zum gleichen Eigenwert (d. h. entartete Zustände)
müssen nicht orthogonal sein, man kann aber Linearkombinationen
ausihnenkonstruieren,dieeinenorthogonalenSatzbilden(ohneBeweis).
iv) DieEigenzuständeeineshermiteschenOperatorsbildeneinvollständigesONS
(wennentarteteZuständeorthonormalisiertwerden).
AntihermitescheOperatoren: A † = −A
(haben rein imaginäre Eigenwerte)
Jeder Operator lässt sich eindeutig in einen hermiteschen und einen antihermiteschenAnteilzerlegen:
A =
A+ A†
2
Ah + A− A†
2
Aah PhysikalischeObservablen reelle Messgrößen
(15)
❀ Observablen entsprechenhermiteschenOperatoren [fast 1 : 1]
liefertjedeMessungeinerObservableneinenreellenMesswert,somuss
auch derMittelwertvieler Messungenreellsein
hermitesche Operatoren sind genau diejenigen, die immer, d.h. für jedenZustandsvektor,reelle
Erwartungswerteliefern
[ Esgilt A = A † ⇒ 〈ψ| A|ψ〉 reell ∀|ψ〉
aber esgilt auch dieUmkehrung:
〈ψ| A|ψ〉 reell ∀|ψ〉 ⇒ A = A †
Beweisidee:
〈ψ|A|ψ〉 reell ⇒
ψA−
A †
ψ = 0
❀ man zeige 〈ψ|B|ψ〉 = 0 ∀ |ψ〉 impliziert B = 0;
dieserreichtman durch Setzungvon |ψ〉 = λ1|ψ1〉+λ2|ψ2〉;
durch die Wahlen λ2 = λ1 = λ bzw. λ2 = −iλ1 = −iλ kann
man zeigen
〈ϕ1|B|ϕ2〉 = 0 ∀|ϕ1〉,|ϕ2〉 ⇒ B ≡ 0 ]
Orts- und Impulsoperator sind selbstadjungiert, das lässt sich in der Ortsdarstellungleicht
zeigen
〈ϕ|x|ψ〉 = d 3 x ϕ ∗
(x)xψ(x) = d 3 x (xϕ(x)) ∗ ψ(x) = 〈xϕ|ψ〉
83

〈ϕ|ˆp|ψ〉 =
= d 3 x
Unitäre Operatoren
∀|ϕ〉,|ψ〉 ∈ H ⇒ x † = x
∇ψ(x) = − d
i 3 x ¯h
i [∇ϕ∗ (x)] ψ(x)
d 3 x ϕ ∗ (x) ¯h
part.Int.bzw. Gaussscher Satz
∗ ¯h
i ∇ϕ(x)
ψ(x) = 〈ˆpϕ|ψ〉
∀|ϕ〉,|ψ〉 ∈ H ⇒ ˆp † = ˆp
U † U = UU † = 1 (16)
U † = U −1
Links-undRechtsinversesmüssenbeide existieren
Beispiel: e iA fürhermitesches A,denn
(e iA ) † = e −iA†
e iA
e iA †
= e iA e −iA = 1
[hier haben wir die Rechenregel e A+B = e A e B , falls [A,B] = 0, verwendet;
mehr dazu in denÜbungen]
Formale LösungderSchrödingergleichung:
i¯h| ˙ψ〉 = H|ψ〉 (17)
i − ¯h Ht
|ψ(t)〉 =
e
|ψ(0)〉 (18)
Zeitentwicklungsoperator
ist |ψ(0)〉 einEigenzustanddesHamiltonoperators,d.h.gilt
H|ψ(0)〉 = E|ψ(0)〉 (19a)
dann wird daraus
|ψ(t)〉 = e − ī h Et |ψ(0)〉 (19b)
d.h.|ψ(t)〉 istein stationärerZustandmit Energie E.
Anwendungeinesunitären Operatorslässt dieNormungeändert:
Uψ2
= 〈Uψ|Uψ〉 = ψU
†
Uψ
= 〈ψ|ψ〉 = ψ2 Der tiefere Grund dafür, dass die Zeitentwicklung eines Zustands infolge
derSchrödingergleichungdurcheineunitäreOperationgegebenist,istalso
dieErhaltungderWahrscheinlichkeitunddiedamitverbundeneNormierbarkeitsforderung.
84

Anmerkungen:
1) DerDirac-Notation(bras,ketsundihrersymmetrischenBehandlung)
liegt die Fiktion zugrunde, dass Operatoren als Definitionsbereich
immer dengesamtenHilbertraumhaben.
2) SauberereDefinitionen:
A istsymmetrisch, 18 wenn〈Aϕ|ψ〉 = 〈ϕ|Aψ〉 ∀ |ϕ〉,|ψ〉 ∈ DA
A ist selbstadjungiert, wenn A † = A (also A symmetrisch ist und
D A † = DA). Allgemein gilt DA ⊆ D A †. Ist A auf einer in H dichten
Untermenge definiert, ist es u.U. möglich, eine selbstadjungierte Erweiterung
von A zu definieren, d.h. durch Einschränkungen an den
Definitionsbereich (evtl.) beider Operatoren (etwa über Randbedingungen),Gleichheit
derbeidenDefinitionsbereicheherbeizuführen.
A isthermitesch,wenn A † = A undwenn A beschränktist. 19
Für beschränkte Operatoren fallen die drei Begriffe zusammen, ansonsten
gilt: hermitesch ⇒ selbstadjungiert ⇒ symmetrisch (aber
nicht umgekehrt).
InendlichdimensionalenHilberträumenfallendiedreiBegriffeebenfalls
zusammen.
3) TypischeselbstadjungierteOperatorenderQuantenmechanikwieder
Orts- oder Impulsoperator sind unbeschränkt. Das äußert sich in der
ExistenzbetragsmäßigbeliebiggroßerEigenwerte.DerHamiltonoperator
eines Systems mit kinetischer Energie ist auch unbeschränkt.
Beispiele beschränkter Hamiltonoperatoren findet man in Spinsystemen
(dort hat die Energie nicht nur eine untere sondern auch eine
obereSchranke).
7.6 Matrixdarstellungvon Operatoren
Wir drückendieBeziehung
|ϕ〉 = A|ψ〉
durch Entwickeln von |ϕ〉 und |ψ〉 nach einem vollständigen ONS {|αn〉}
aus
|ϕ〉 = ∑ n
|ψ〉 = ∑ n
dn|αn〉
cn|αn〉
18FürJohnvonNeumann, einenderBegründerderTheoriederunbeschränkten Operatoren,
war dies hermitesch“.
19 ”
A istbeschränkt, wenn Aϕ < cϕ ∀ |ϕ〉 mit einer festen Konstante c. Beschränkte Operatorenhaben
alsDefinitionsbereichdengesamtenHilbertraum.
85

∑dn|αn〉 = A ∑
n n
∑ n
dn〈αm|αn〉 = 〈αm|A
∑
n
δmn
dm = ∑ n
cn|αn〉 〈αm|·
cn|αn〉
〈αm|A|αn〉cn ≡ ∑ n
Amncn
Amn = 〈αm|A|αn〉 (20)
MatrixelementedesOperators A
Gleichung (20) lautet in Vektorschreibweise
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛
d1 A11 A12 A13 ···
⎜ d2
⎟ ⎜
⎟ ⎜ A21 A22 A23 ··· ⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎝ d3
⎟ = ⎜
⎠ ⎝ A31 A32 A33 ··· ⎟⎜
⎠⎝
. . .
|ϕ〉
A
Anstatt mit Wellenfunktionen wie Schrödinger (1926) kann man auch mit
Spaltenvektorenarbeiten; die Vektor-Matrix-SchreibweiselegtdenNamen
Matrizenmechanik fürdiesevonHeisenberg1925eingeführteFormulierung
derQuantenmechanik nahe. 20
adjungierterOperator:
(A † )mn = Anm ∗
denn:
αm
A †
αn = 〈αn|A|αm〉 ∗
hermitescher/symmetrischerOperator:
Amn = Anm ∗
reelle Diagonalelemente
Elemente, die durch Spiegelung an der Diagonalen auseinander hervorgehen,sindkonjugiertkomplex
(VerallgemeinerungdersymmetrischenreellenMatrix)
C1
C2
C3
.
|ψ〉
⎞
⎟
⎠
7.7 Einfache AnwendungendesFormalismus
7.7.1 Messungen
Wir haben bereits besprochen, dass man, damit die Quantentheorie überhaupteinenSinnhat,fordernmuss,dassdieWiederholungeinerMessung
nach hinreichendkurzerZeitwiederdasselbeErgebnisliefert. 21
20EinedritteFormulierungderQuantenmechanikmithilfevonPfadintegralenwurde1942von Feynmangegeben.
21Vorausgesetzt,dieMessapparaturistgutgenug! 86
(21)

Nach der Messung der durch den Operator A beschriebenen Observablen
muss der Zustandsvektor so beschaffen sein, dass die Messung
derselbenObservablen einenfestenWert a liefert,wieoftman auch die
Messungwiederholt(ohneZeitverstreichenzu lassen!).
a ist für alle folgenden Messungenauch Mittelwert. Wenn aber der Erwartungswert
scharf ist, muss die Streuung des Messwerts in den betrachtetenZustandverschwinden
und
⇒ Ā = 〈ψ| A|ψ〉 = a (22a)
0 = (∆A) 2 = (A− Ā) 2 = ψ (A− Ā) 2
ψ
= (A− Ā)ψ (A− Ā)ψ
A † =A
Skalarproduktvon (A− Ā)|ψ〉 mit sich selbstverschwindet
⇒ (A− Ā)|ψ〉 = 0
Nullvektor desHilbertraums
(22b)
A|ψ〉 = Ā|ψ〉 = a|ψ〉 (23)
⇑
Eigenwertgleichung:|ψ〉 istEigenzustandvon A zum Eigenwert a
❀ Die ersteMessunghat denAusgangszustand|ψ vorher〉 auf denZustand
|ψ〉 projiziert ( ” geworfen“), der ein Eigenzustand der Messgröße ist.
Das istderKollaps der Wellenfunktion.
WelcherEigenzustanddabeiherauskommt,istnichtbekannt,wenn|ψ vorher〉
kein Eigenzustand von A war. Aber die Wahrscheinlichkeit für die Messung
eines Eigenwerts an erhalten wir durch Entwicklung von |ψ vorher〉
nach denEigenzuständen|αn〉 vonA:
denn:
|ψ vorher〉 = ∑ n
|ψ vorher〉 = ∑ n
cn|αn〉 ⇒ cn = 〈αn|ψ vorher〉 (24)
|αn〉〈αn|ψ vorher〉
cn
(unddie Entwicklungist eindeutig)
❀ Wahrscheinlichkeit für Messung des Eigenwerts an, der zum Eigenzustand|αn〉
gehört:
Beispiel:
|cn| 2 = |〈αn|ψ vorher〉| 2
87
(25)

Ortsmessung ❀ A = ˆx
ˆx|x〉 = x ⇑ |x〉 (oder ˆx|ψx〉 = x|ψx〉)
Eigenwert=gemessenePosition
die ” Wahrscheinlichkeit“ |〈x|ψ vorher〉| 2 = |ψ vorher(x)| 2
isthier eineWahrscheinlichkeitsdichte
Misstman dieEnergie,soerhält man die EigenwerteEn desHamiltonoperators.
7.7.2 Verallgemeinerte Heisenbergsche Unschärferelation
Mit welcher Genauigkeit könne zwei beliebige Observablen gleichzeitig
gemessenwerden? ” Gleichzeitig“ isthiernichtunbedingtwörtlichzunehmen.
Wenn die beiden Messungen inkompatible Apparaturen benötigen,
ist das schwer zu verwirklichen. Was gemeint ist, ist dass die Messungen
am selbenZustandstattfinden.Dasheißt,wirpräparierenvieleTeilchenin
Zustand |ψ〉 und messen dann an einer Teilmenge die Eigenschaft A, an
eineranderendieEigenschaft B.
ψ ∆A = (A− Ā) 2 (A− ψ = Ā)ψ (A− Ā)ψ = (A− Ā)ψ
(26a)
ψ ∆B = (B− ¯B) 2
ψ = 〈(B− ¯B)ψ|(B− ¯B)ψ〉 = (B− ¯B)ψ
(26b)
(Ā = 〈ψ|A|ψ〉). FürdasProduktdieserGrößenerhaltenwir eineAbschätzung
nach untendirektaus derSchwarzschen Ungleichung
∆A·∆B = (A− Ā)ψ(B− ¯B)ψ ≥ (A− Ā)ψ (B− ¯B)ψ
Ungleichung (27) würden wir gerne durch Größen ausdrücken, die direkt
mitObservablenzusammenhängen(ambestendurchdenErwartungswert
einesOperators).Setzenwir
|u〉 = (A− Ā)|ψ〉, |v〉 = (B− ¯B)|ψ〉
sowird (27) etwaskompakter
∆A·∆B = uv ≥ |〈u|v〉|
(27)
|〈u|v〉| =
1
2
(〈u|v〉+〈v|u〉) +
α
Realteil
1
2 (〈u|v〉−〈v|u〉)
≥ |β| (28)
β
Imaginärteil
〈u|v〉−〈v|u〉 = (A− Ā)ψ (B− ¯B)ψ − (B− ¯B)ψ (A− Ā)ψ
88

= 〈ψ|(A− Ā)(B− ¯B)−(B− ¯B)(A− Ā)
AB−✟✟ĀB−❩A¯B+✟✟❍❍ Ā¯B−(BA−❍❍¯BA−✟✟BĀ+✟✟❍❍¯BĀ)
|ψ〉 = 〈ψ| AB−BA|ψ〉
= 〈ψ|[A,B]|ψ〉 = [A,B] (29)
also:mit (27) und(28)
Beispiele:
∆A ∆B ≥ 1
[A,B] (30)
2
verallgemeinerteUnbestimmtheitsrelation
∆A, ∆B:Streuung,Standardabweichung,WurzelausVarianz
i) A = ˆp, B = x ∆p ∆x ≥ 1
[ˆp,x] =
2
1
¯h
¯h
2 i
=
2
Hier ist die rechte Seite vom Zustand unabhängig, an dem die Messungenvorgenommenwerden!
ii) A = Ekin = ˆp2
, B = V(x) Potential
2m
Ortsdarstellung: [A,B] = − ¯h2
∂2 2m ∂x2,V(x)
∂ 2
∂x 2,V(x)
= ∂2
∂x
= ∂
∂x
2V(x)−V(x) ∂2
∂x 2
V ′ (x)+V(x) ∂
∂x
−V(x) ∂2
∂x 2
= V ′′ (x)+2V ′ (x) ∂
∂x + ✟ ✟✟✟✟
V(x) ∂2
∂x2 − ✟ ✟✟✟✟
V(x) ∂2
∂x2 [A,B] = − ¯h2
V
2m
′′ (x)+2V ′ (x) ∂
∂x
∆E kin ∆Epot ≥ ¯h2
2m
∞
−∞
dx ψ ∗
(x) V ′′ (x)+2V ′ (x) ∂
∂x
ψ(x)
Warum haben wir für die Abschätzung nach unten den Imaginärteil und
nicht denRealteilgenommen?
ImRealteilhaben wir stattdesMinuszeichensvon (28) ein Pluszeichen
❀ Mittelwerte Ā, ¯B fallen aus dem Ausdruck nicht heraus; ein von den
Mittelwertenunabhängiges Ergebnis für die Streuungenist aber sicher
physikalisch fundamentalerals eines,dasdavon abhängt.
WannhabenwirGleichheitin(30)?WennsowohlinderSchwarzschenUngleichungals
auch in derAbschätzung durchdenImaginärteil dasGleichheitszeichensteht.
Also:
89

a) |u〉 = c·|v〉
(A− Ā)|ψ〉 = c(B− ¯B)|ψ〉 (31)
b) α = 1
2 (〈u|v〉+〈v|u〉) = 0
2Möglichkeiten:
0 = 〈cv|v〉+〈v|cv〉 = (c ∗ +c)〈v|v〉 (32)
i) 〈v|v〉 = 0 ⇒ 〈u|u〉 = 0
(A− Ā)|ψ〉 = (B− ¯B)|ψ〉 = 0
|ψ〉 istEigenzustandzu beidenOperatoren A und B
für allgemeineOperatorennicht zu erreichen
⇒ [A,B] = 0 (nachrechnen: trivial)
ii) c ∗ +c = 0 ⇒ c rein imaginär: c = −iγ
(31)
(A+iγB)|ψ〉 = (Ā+iγ¯B)|ψ〉 (33)
Gleichung für Zuständeminimaler Unschärfe [(= 0)]
|ψ〉 ist Eigenzustand zu einer speziellen Linearkombination von A
und B
Beispiel: A = x, B = ˆp, Ortsdarstellung
x+ iγ ¯h
∂
ψ(x) = (¯x+iγ¯p)ψ(x)
i ∂x
γ¯h
ψ ′ + x ¯x i¯p
ψ = ψ+
γ¯h γ¯h ¯h ψ
ψ ′
ψ
= ¯x−x
γ¯h
+ i¯p
¯h
(x− ¯x)2 i
⇒ ln ψ(x) = − +
2γ¯h ¯h ¯px+lnc
ψ(x) = ce i
¯h ¯px e −(x−¯x)2 /2γ¯h
ein GausschesWellenpaket!
c =
1/4 1
πγ¯h
γ gibtan, wie sich dieUnschärfeauf x und p verteilt
γ¯h ¯h
∆x = , ∆p =
2 2γ ,
ψ ∗ (x)ψ(x) ∝ e −(x−¯x)2
γ¯h ⇒ γ¯h = 2σ 2
∆x·∆p = ¯h
2
90
(34)

Wenn wir ein freies Teilchen haben, so wissen wir aus Kapitel 5.3 [GleichungenhinterGleichung(5.16)],
dasseinsolcherAnfangszustandsichim
Ortsraumverbreitert,d.h. ∆xwird größer.
Der Zustand behält zwar die Form eines Gausspakets, aber mit ” komplexer
Varianz“ (ψ(x,t) ≈ e −(x−(po/m)t) 2 /2a 2 (x) , a komplex), d.h. er verliert die
Eigenschaftminimaler Unschärfe.
Der Grundzustand des harmonischen Oszillators ist ein Zustand minimaler
Unschärfe:
ψ0(x) = 4
mω
π¯h e−mωx2 /2¯h
(¯x = ¯p = 0, γ = 1
mω )
(derläuft natürlich nicht auseinander)
7.7.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung
Schrödingersche Wellenfunktion, Ortsdarstellung ❀ unmittelbar: Wahrscheinlichkeitsdichtew(x)
w(x) = ψ ∗ (x)ψ(x) (35)
❀ Wahrscheinlichkeitenfür Messungvon Orten x
Wahrscheinlichkeit(sdicht)enfürbeliebige Messgrößen?
Trick: RückführungvonWahrscheinlichkeitsdichtenaufErwartungswerte
Def.: charakteristischeFunktion Fx(α)
Fx(α) ≡
∞
−∞
Erwartungswertvon e iαx
e iαx w(x)dx (36)
Fouriertransformiertevon w(x)
DieKenntnisdieserFunktionerlaubtdieBerechnungdesErwartungswerts
jederPotenzvon x durchAbleiten(falls derErwartungswertexistiert):
n
d
Fx(α) = x
diα
n e iαx w(x)dx (37)
xn
= x n n d
w(x)dx = Fx(α)
diα
(38)
α=0
❀ neueDarstellungdercharakteristischenFunktion
Fx(α) =
∞ x
∑
n=0
n
n! (iα)n = eiαx (39)
(36) ⇒ w(x) = 1
∞
e
2π −∞
−iαx Fx(α)dα (40)
91

❀ diegesamteInformation über w(x) istin Fx(α) enthalten.
Existieren alle Momente x n der Verteilung, so beinhaltet deren Kenntnis
ebenfalls diegesamteInformationüber dieVerteilung.Esistaber möglich,
dassMomentedivergierenFx(α)existierttrotzdem,dennmit w(x)dxexisitiertauch
e iαx w(x)dx.
Wir könnennun die charakteristischeFunktion FA(α) einführen, die zu einembeliebigenhermiteschenOperator
A gehört:
FA(α) ≡ ψe
iAα
ψ
An
d
n
= ψ
diα
e iAα
α=0
ψ
(41)
(42)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte wA(a) derMesswertevon A in Zustand|ψ〉
ist alsodie inverseFouriertransformiertevon(41):
∞
wA(a) = 1
e
2π −∞
−iaα FA(α)dα = 1
2π
= ψ
1 ∞
e
2π
i(A−a)α
dα
ψ
−∞
∞
−∞
e −iaα
ψ
e iAα
ψ dα
(43)
wA(a) = 〈ψ|δ(A−a)|ψ〉 = δ(A−a) (44)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines Operators A ist also der Erwartungswerteiner
δ-Funktion,derenArgumentdieDifferenzausdiesemOperator
und der Stelle ist, an der die Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt werden
soll.LetzereentsprichtentwedereinemEigenwertvon A,dennerhältman
(normalerweise)einendlichesErgebnis,oderdieWahrscheinlichkeitsdichteverschwindetan
dieserStelle.
Gleichung(44) isteinformalesErgebnis.Damit esBedeutunginderPraxis
gewinnt,mussmanesauswertenkönnen.FolgendeVorgehensweisebietet
sichan:ManentwickledenZustandsvektornachEigenvektorenvon A.Die
allgemeinsteFormeinersolchenEntwicklunglautet:
|ψ〉 = ∑ n
cn|ψn〉+
c(a)|ψa〉da (45)
Die Summe läuft überalle diskretenEigenzuständevon A.
Das Integral erstreckt sich über alle zum kontinuierlichen Teil des
SpektrumsgehörigenZustände.
Fernergilt:
cn = 〈ψn|ψ〉 c(a) = 〈ψa|ψ〉
〈ψn|ψm〉 = δnm 〈ψa|ψ a ′〉 = δ(a−a ′ ) 〈ψn|ψa〉 = 0
92
(46)

(A hermitesch Eigenzustände bilden vollständiges System. (46) folgt
ausderVollständigkeitsrelation
1 = ∑|ψn〉〈ψn|+ da|ψa〉〈ψa| ;
n
das Integraloderdie Summe könnenauch ” leer“ sein,aber natürlich nicht
beide.)
Wenngilt:
sofolgt
A|ϕ〉 = a|ϕ〉, (47a)
A n |ϕ〉 = A n−1 a|ϕ〉 = A n−2 a 2 |ϕ〉 = ...a n |ϕ〉, (47b)
d.h.für in PotenzreihenentwickelbareFunktionen f(x) = ∑n fnx n gilt
f(A)|ϕ〉 = ∑ n
fnA n |ϕ〉 = ∑ n
fna n |ϕ〉 = f(a)|ϕ〉 (47c)
Allgemein kann man die Operatorfunktion f(A) (für hermitesche Operatoren)definierendurch
dieForderung
f(A)|ϕ〉 = f(a)|ϕ〉 wenn A|ϕ〉 = a|ϕ〉 (48)
DamitaberkönnenwirdankderEntwicklung(45)demformalenAusdruck
(44) einekonkrete Bedeutungbeimessen
wA(a) = ∑cn〈ψ| δ(A−a)|ψn〉 + da
n
δ(an −a)|ψn〉
′ c(a ′ )〈ψ| δ(A−a)|ψa ′〉
δ(a ′ −a)|ψ a ′〉
= ∑ δ(an −a)cn〈ψ|ψn〉
n
c∗
+ da
n
′ δ(a ′ −a)c(a ′ ) ψ
′
ψ a
c(a ′ ) ∗
wA(a) = ∑ n
|cn| 2 δ(an −a)+|c(a)| 2
(49)
Eine graphische Darstellung von wA(a) könnteetwafolgendermaßenaussehen:
δ-Peaks kontinuierlicheVerteilung
93

DieSummein(49)gibtdenAnteilderWahrscheinlichkeitsdichteindiskretenEigenzuständenan.
Da solcheZuständemit endlicher Wahrscheinlichkeit
gefunden werden, muss die Wahrscheinlichkeitsdichte δ-Peaks aufweisen.
22 DerEinzelterm|c(a)| 2 isteinMaßfürdieWahrscheinlichkeit,den
WertaimkontinuierlichenTeildesSpektrumszumessen(Form:|c(a)| 2 da).
Was man dem Ausdruck (49) sehr schön ansieht, ist, dass bei Messungen
nur Eigenwerte gemessenwerden können. Liegt a außerhalb des kontinuierlichenAnteilsdesSpektrums,soistwA(a)Null,sofernanichtmiteinem
derEigenwertean übereinstimmt.Liegtaaberim kontinuierlichenTeildes
Spektrums,soist esauch Eigenwert.
Ortsoperator: A = ˆx c(a) = ψ(x) cn = 0 (kein diskreterAnteil
desSpektrums)
c(a) = 〈ψa|ψ〉 ⇔ ψ(x) = 〈ψx|ψ〉 ≡ 〈x|ψ〉
ˆx|ψx〉 = x|ψx〉
Impulsoperator: A = ˆp c(a) = g(p) cn = 0
g(p) =
ψp
ψ Beispiel: Berechnungvon wˆp(p) = |g(p)| 2 in derOrtsdarstellung
∞
wˆp(p) = dx ψ
−∞
∗ (x) δ(ˆp− p)ψ(x)
= 1
∞
dx ψ
2π −∞
∗ ∞
(x) dαe
−∞
i(ˆp−p)α ψ(x)
= 1
∞
dαe
2π −∞
−ipα
∞
dx ψ
−∞
∗ (x)e iα ¯h i d
dx ψ(x)
= 1
∞
dαe
2π −∞
−ipα
∞
dx ψ
−∞
∗ ∞ (α¯h)
(x) ∑
n=0
n n d
ψ(x)
n! dx
ψ (n) (x)
= 1
∞
dαe
2π −∞
−ipα
∞
dx ψ
−∞
∗ (x) ψ(x+α¯h)
(Faltungsintegral,nicht trivial)
7.8 Eigenvektoren vertauschbarerOperatoren
nur denFall einesdiskretenSpektrum(derEinfachheit halber)
|ψn〉 seiendieEigenvektorenzum Operator A
A|ψn〉 = an|ψn〉 (50)
B seieinOperator,dermit A vertauscht:
[A,B] = AB−BA = 0 (51)
22 Das Integralüber einbeliebigkleinesIntervall darfnicht verschwinden.
94

AB|ψn〉 = BA|ψn〉 = Ban|ψn〉 = anB|ψn〉 (52)
B|ψn〉istEigenvektorvon AzumselbenEigenwertan (oderderNullvektor)!
Beinichtentartetem Spektrum:
B|ψn〉 und|ψn〉 könnensich höchstensum einenFaktorunterscheiden:
B|ψn〉 = b|ψn〉 (53)
|ψn〉 istauch Eigenvektorzu B!(Gilt auch, wenn B|ψn〉 = 0.)
Entartetes Spektrum:
B|ψn〉 muss Eigenvektor von A zum Eigenwert an sein. Wenn A m linear
unabhängige Eigenvektoren |ϕni〉, i = 1...m zu diesem Eigenwert hat,
dannistjedenichtverschwindendeLinearkombinationder|ϕni〉Eigenvektor
zu diesem Eigenwert. Umgekehrt lassen sich alle Eigenvektoren zum
Eigenwertan alsLinearkombinationder|ϕni〉darstellen. 23 Damitlässtsich
aber auch jeder der Vektoren B|ϕni〉 durch eine Linearkombination der
|ϕni〉 darstellen
B|ϕni〉 = ∑ k
β ki|ϕni〉 β ki ∗ = βik (B hermitesch)
diagonalisiere βki ⇒ U † βU = diag(λβi)
Ujr ∗
ϕnj ist E.V.von B
(DoppeltunterstricheneGrößenstellenhier Matrizen dar.)
∑ j
Führtman dieseÜberlegungenetwasaus,sofindetman folgendenSatz:
WenndiehermiteschenOperatoren AundBvertauschen,soexistiertstets
ein beiden Operatoren gemeinsames vollständiges orthonormiertes Systemvon
Eigenvektoren.
(Ist keine Entartung vorhanden, so sind die Eigenvektoren hermitescher
Operatoren automatisch orthogonal. Im Fall der Entartung kann man sie
orthogonalwählen,undunserSatzbesagtgerade,dassmanbeikommutierendenhermiteschen
Operatoren ein gemeinsames ONS von Eigenvektoren
wählenkann.)
BedeutungdesSatzesfürdie Physik?
Messungvon A ❀ Systemist danach in Eigenzustand|ψn〉 von A
Messungvon B unmittelbar nach A
❀ entweder ändert sich |ψn〉 überhaupt nicht (bzw. nur
um einen Phasenfaktor) – nämlich wenn |ψn〉 nicht
entartet mit einem anderen Eigenzustand von A ist –
oder |ψn〉 ändert sich in einen anderen Eigenzustand
zum selbenEigenwertan
23 DerEigenraumzu an hat dieDimensionm.
95

Messungvon A unmittelbar nach B liefertwieder an
Bei nichtkommutierenden Opratoren ist das ganz anders. Wir wissen z.B.,
dass wenn wir erst den Ort ˆx messen und dann den Impuls ˆp, die zweite
Messung zu einem Eigenzustand des Impulses (∝ e ipx in der Ortsdarstellung)
führt, in dem der Ort völlig unbestimmt ist. Das heißt, eine zweite
Ortsmessungnach derImpulsmessungführtzueinembeliebigenEgebnis.
Wenn aber die Messung von B kurz nach der von A bei kommutierenden
Operatoren das Messergebnis nicht stört, dann können wir sagen, dass A
und B gleichzeitig scharfmessbarenGrößenentsprechen.
VerallgemeinerteUnschärferelation für vertauschende Operatoren:
∆A·∆B ≥ 1
[A,B] = 0
2
IngeeignetpräpariertenZuständenkanndieUnschärfe(mittlerequadratischeAbweichungdesMesswerts)beiderGrößenzuNullgemachtwerden.
7.9 Schrödinger- undHeisenbergbild, Erhaltungsgrößen
ImAllgemeinenistderErwartungswerteinerObservablen,diedurcheinen
Operator AS beschriebenwird, einezeitabhängige Größe:
AS(t) = 〈ψ(t)|AS|ψ(t)〉 (54)
Präpariert man also viele quantenmechanische Systeme im Zustand |ψ0〉
undmisstman AS zurZeitt,soistderErwartungswertdurch(54)gegeben,
wobei|ψ(t)〉 dieLösungderSchrödingergleichung
ist.
i¯h| ˙ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 mit |ψ(0)〉 = |ψ0〉
MessungenzurZeittliefernnatürlichverschiedeneMesswerte,aberobendrein
ändert sich auch noch der Mittelwert über alle diese Messwerte mit
derZeit.
Falls AS nichtexplizitzeitabhängig(dasistderNormalfall),istdiegesamte
Zeitabhängigkeitvon(54)FolgederZeitabhängigkeitdesZustandsvektors.
|ψ(t)〉 = e − ī h Ht |ψ(0)〉 (55)
Schrödingerbild: Die gesamte Zeitabhängigkeit eines Erwartungswerts
(oderMatrixelements)stecktinderZeitabhängigkeitdes
Zustandsvektors(derZustandsvektoren).
Das Schrödingerbild ist eine Sichtweise bei der Interpretation experimentellerErgebnisse.
96

aber: Messungen geben keinen Zugriff auf A oder |ψ〉, sondern nur auf
ihre Kombination in Erwartungswerten (Matrixelementen) – Messergebnissesindeinfach
Zahlenwerte.
❀ einealternative Sichtweiselegtsich nahe.
i − AS(t) = e ¯h Ht
i − ψ(0) ASe
¯h Ht
ψ(0) = ψ(0)
e i
¯h Ht i −
ASe ¯h Ht
ψ(0)
≡ 〈ψ(0)|AH(t)|ψ(0)〉 ≡ AH(t) (56)
Heisenbergbild: Der Zustandsvektor wird als zeitlich fest angesehen, er
ändert sich nur durch Messungen. Die Dynamik wird
durchdieZeitabhängigkeitdesOperatorsAH(t)beschrieben.
AH(t) = e ī h Ht AH(0)e − ī h Ht = e ī h Ht ASe − ī h Ht
Differenzieren nach derZeitliefert(Produktregel!):
˙AH(t) = i
¯h He ī hHt AH(0)e − ī hHt −e ī hHt AH(0)e − ī hHt i
¯h H
= i
¯h (HAH(t)− AH(t)H) = i
¯h [H,AH(t)]
(57)
LassenwirjetztdendasHeisenbergbildkennzeichnendenIndexHweg,so
erhaltenwir
˙A(t) = i
[H,A(t)] (58)
¯h
Heisenbergsche Bewegungsgleichung 24
Falls AS = AS(t), d.h. falls ein Operator schon im Schrödingerbild zeitabhängigist[daskommt(selten)vor,wiewir
sehenwerden]verallgemeinert
sich dieheisenbergscheBewegungsgleichungzu
˙AH = i
∂AH(t)
[H,AH(t)]+ ,
¯h ∂t
wobeimitderpartiellenAbleitungderAusdrucke ī h
ist. 25
Ht ∂AS(t)
e
∂t
− ī hHt gemeint
24DieheisenbergscheBewegungsgleichungistinihrerBedeutungdurchausderSchrödinger gleichungvergleichbar.
25Man kann eine Analogie zwischen Schrödinger- und Heisenbergbild und eulerscher bzw.
lagrangescher Formulierung der Strömungsmechanik feststellen. In der eulerschen Formulierung
betrachtet man zeitliche Änderungen an einem festen Ort, zeitliche Ableitungen
entsprechen partiellen Ableitungen bei fester Ortskoordinate. Dies ist analog zur
schrödingerschen Formulierung der Wellenmechanik. In der lagrangeschen Formulierung
” schwimmt“ derAufpunkt miteinem Flüssigkeitspaketmit, man arbeitetmit dersubstantiellenAbleitungdρ/dt
= ∂ρ/∂t+v∇ρ.DiesistanalogzurheisenbergschenFormulierung
– der zweite Term entspricht dem Kommutatorausdruck. Noch deutlicher wird dies beim
ÜbergangzurklassischenMechanik.
97

Die heisenbergscheBewegungsgleichungerlaubteineformaleleganteEtablierungderKorrespondenzzwischenklassischerMechanikundQuantenmechanik.
In der hamiltonschen Mechanik gilt bei nicht explizit zeitabhängiger Hamiltonfunktionfür
eineObservable A(qi,pi)
˙A = ∑ i
∂A ∂H
∂qi ∂pi
− ∂A
∂pi
∂H
= {A,H} = −{H,A}, (59)
∂qi
wobei { , } die Poissonklammern sind. (Hängt A zusätzlich explizit von t
ab, sowird daraus ˙A = {A,H}+∂A/∂t.)
Man erhält die quantenmechanische Bewegungsgleichung aus der klassischenoffensichtlich,
indemman {H,A} durch 1
i¯h [H,A] ersetzt.
Erhaltungsgrößen
InderklassischenMechanikkannmanErhaltungsgrößenrelativnaivdefinieren
als Größen, die bei der dynamischen Entwicklungdes Systemssich
zeitlichnichtverändern.Diesistmöglich,weiljedeGrößeprinzipielldirekt
einerMessungzugänglich ist.
In der Quantenmechanik liegen die Dinge nicht so einfach, da auch für
eineErhaltungsgrößegilt,dassihremehrfacheMessungimselbenZustand
nicht immer zum gleichen Ergebnis führen muss (außer der Zustand hat
besondereEigenschaften–nämlich EigenzustandderMessgrößezu sein).
Deshalbdefinierenwir:
Erhaltungsgröße – Größe, deren Erwartungswert zeitlich konstant ist (d.h.,
der Erwartungswert bleibt für einen beliebigen gegebenenAnfangszustandimmerderselbe,ervariiertaberi.A.
beiderVariation desAnfangszustands) (a)
Einealternative aber (wie wir sehenwerden)äquivalente Forderungwäre:
Erhaltungsgröße – Größe,derenwiederholteMessunginbeliebigen Zeitabständen
(ohne intervenierende Messung einer anderen
Größe)immer denselbenMesswertliefert (b)
Wir gehen von (a) aus, das ist am einfachsten. Wir suchen nun ein Kriterium,
das es erlaubt, leicht zu entscheiden, ob eine Größe Erhaltungsgröße
ist odernicht. ImHeisenbergbildistdas besonderseinfach.
Heisenbergbild: A zeitunabhängig ⇔ A Erhaltungsgröße
(denn die Zustände sind im Heisenbergbild zeitunabhängig,alsowirdderErwartungswertzeitunabhängig,
wennderOperatorzeitunabhängig ist)
98

(Die Richtung A Erhaltungsgröße ⇒ A zeitunabhängig lässtsich sozeigen:
〈ψ|A|ψ〉 = const. ∀|ψ〉 ⇒ ψ ˙A ψ = 0 ∀|ψ〉 (Heisenbergbild)
⇒ ˙A = 0, da ein Operator verschwindet, wenn alle seine Erwartungswerteverschwinden,s.Abschn.7.5.)
Das bedeutet, A istErhaltungsgröße,wenn
˙A = 0 ⇐⇒
(58)
[H,A] = 0 (60)
also, wenn A mit dem Hamiltonoperator kommutiert (Voraussetzung: H
selbstist konstant).
Anmerkung: [H,A] = 0 (aber natürlich nicht: ˙A = 0) impliziert auch im
Schrödingerbild,dass A eineErhaltungsgrößeist:
i
[H,A] Schrödingerbild = e− ¯h Ht [H,A] Heisenbergbilde i
¯h Ht
Aus Abschnitt 7.8 folgt dann, dass der Hamiltonoperator H und A einen
SatzgemeinsamerEigenvektorenhaben.
Messung von A wirft das System (falls keine Entartung vorliegt) in
einenEigenzustandnicht nurvon A sondernauch von H.
Die Eigenzustände von H sind aber gerade die stationären Zustände, die
imLaufderZeitnurihrePhaseändern,wasaberkeinenEinflussaufMesswahrscheinlichkeiten
hat. (Im Fall der Entartung kann der Zustand auch
nichtstationär sein, aber er bewegt sich nur in einem Unterraum des Hilbertraums,
der von Eigenvektoren von A zum selben Eigenwert an aufgespannt
wird.) Eine zweite Messung der zu A gehörigenObservablen nach
beliebiger Zeit (also nicht notwendigerweise unmittelbar nach der ersten)
mussalsozum selbenMesswertan führen.
Erhaltungsgrößen haben also die eigenartige Eigenschaft, dass man zwar
nicht weiß, was die ersteMessungin einem beliebig präparierten Zustand
füreinenWertliefernwird,aberwohl,welchenMesswertjedeweitereMessung
liefert, kennt man erst das Ergebnis der ersten Messung - vorausgesetztnatürlich,
man misstnicht zwischendurch eineandereGröße.
Wiederholte Messungen führen zum selben Ergebnis wie die erste
(wenn die Entwicklung der Zustände zwischen den Messungen ungestörtbleibt).
99

8 Derharmonische Oszillator(1D)
8.1 Dasallgemeine quantenmechanischeProblem
wichtigstesEinteilchensystemderQuantenmechanik,vielleichtderganzen
Physik
Hamiltonoperator:
ˆH = H(ˆp, ˆx) = ˆp2 mω2
+
2m 2 x2
[ˆp, ˆx] = ¯h
i
Schrödingergleichung:
i¯h ˙
|ψ〉 = ˆH|ψ〉 (3)
ZeitunabhängigeSchrödingergleichung:
oder
ˆH|ψn〉 = En|ψn〉
ˆH|n〉 = En|n〉 (4)
(Zur Kennzeichnung des Eigenzustands genügt es, seine Nummer n oder
auch denEigenwertselbstin denbra- oderket-Vektorzu schreiben.)
LösungderzeitabhängigenSchrödingergleichung:
|ψ(t)〉 = ∑ n
i −
cne ¯h Ent
|n〉 mit cn = 〈n|ψ(0)〉 (5)
Beweis: entwickle zunächst |ψ(0)〉 = ∑ncn|n〉 cn = 〈n|ψ(0)〉 dann
benützeformale Lösung
i −
|ψ(t)〉 = e ¯h ˆHt
|ψ(0)〉 = ∑
n
i −
cne ¯h ˆHt
|n〉 = ∑
n
i −
cne ¯h Ent
|n〉
Da wir das Anfangswertproblem zeitabhängige Schrödingergleichung lösen
können, wenn wir alle Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
haben, ist unser nächstes Ziel die Lösungder zeitunabhängigen
Schrödingergleichung.
100
(1)
(2)

EineMöglichkeit: Lösen des Eigenwertproblems der gewöhnlichen DifferentialgleichungzweiterOrdnung,dasdurchGleichungen
(6.21) und (6.22) gegeben ist, d. h. Verwendung
derOrtsdarstellung.
Esgehtaber eleganter:
Grundidee: Schreibe H alsProdukt A † A einesOperatorsmit seinemadjungierten
Operator; das ermöglicht sofort eine Abschätzung der
Energie nach unten. Weitere Manipulationen führen von der
Abschätzungzu exaktenEigenwerten.
Lassen wir Vorfaktoren (und zunächst auch den Operatorencharakter) außeracht,
hat unserHamiltonoperatordieForm
x 2 +y 2 = (x−iy)(x+iy) = z
z
∗ z
DieslegtdieEinführung folgenderOperatorennahe:
mω
b = ˆx+
2¯h
i
mω ˆp
b †
mω
= ˆx−
2¯h
i
mω ˆp
(6a)
(6b)
Wir müssen natürlich bei der Multiplikation b † b etwas aufpassen, weil ˆx
und ˆp nicht kommutieren.
Um (6) im Hamiltonoperator zu benützen, drücken wir ˆx und ˆp durch b
und b † aus:
¯h
ˆx =
2mω (b† +b) (7a)
ˆp =
¯hmω
2 i(b† −b) (7b)
WirberechnenzunächstdenKommutator(unddenAntikommutator)von
b und b † :
bb † ∓b † b
= mω
2¯h
= mω
2¯h
ˆx+ i
mω ˆp
ˆx− i
mω ˆp
∓ ˆx− i
mω ˆp
ˆx+ i
mω ˆp
ˆx 2 + i ˆp2
[ˆp, ˆx]+
mω m2
∓ ˆx
ω2 2 − i ˆp2
[ˆp, ˆx]+
mω m2ω2
Die Berechnung des Antikommutators motiviert sich aus der bei der Berechnung
des Kommutators gemachten Beobachtung, dass die Summe einigerTermefast
denHamiltonoperatorergibt.Wir haben also
b,b †
= i
[ˆp, ˆx] = 1
¯h
101

† +b † b = mω
¯h ˆx2 + 1
¯hmω ˆp2 = 1
¯hω ·2 ˆH
undschließlich:
ˆH = ¯hω bb† +b † b
2
N = b † b = N †
= ¯hω b † b+ 1
≡ ¯hω N+
2
1
2
b,b †
= 1 (bb † = b † b+1) (9)
Das heißt, wir haben wegen des von Null verschiedenen Kommutators
von ˆp und ˆx (und dem daraus folgenden von Null verschiedenen Kommutator
von b und b † ) ˆH zwar nicht ganz als Produkt mit b † b ausdrücken
können,aber als Linearkombinationaus diesemProduktundeinerc-Zahl.
Das reicht aus,wie wir sehenwerden.
Nutzen?
〈ψ|N|ψ〉 = 〈ψ|b † b|ψ〉 = 〈bψ|bψ〉 ≥ 0 (10)
N ≥ 0
AbschätzungderSystemenergienach unten: 〈ψ|H|ψ〉 ≥ ¯hω/2
Wenn |ψ〉 ein Eigenvektor von H zum Eigenwert E ist, folgt daraus
insbesondere 〈ψ|H|ψ〉 = 〈ψ|E|ψ〉 = E ≥ ¯hω/2, d.h., jeder Energieeigenwertlässtsich
auf dieseWeisenach untenabschätzen. 26
Die Lösungvon
H|ψ〉 = E|ψ〉
lässt sich offenbar zurückführenauf diedesEigenwertproblemsfür N,
N|ψ〉 = n|ψ〉 ,
denn H|ψ〉 = ¯hω N+ 1
1
2 |ψ〉 = ¯hω n+ 2 |ψ〉.DieMultiplikationeines
Operators mit einer c-Zahl oder Addition einer c-Zahl ändert nicht seine
Eigenvektoren.Die Eigenwerteändernsich natürlich.
Setzenwir also
und
N|λ〉 = λ|λ〉 (11)
Nb|λ〉 = b † bb|λ〉 =
bb †
−1 b|λ〉 = bb †
b−b |λ〉
26 Es ist eine allgemeine, öfters verwendete Idee, Eigenwerte abzuschätzen, indem man sie
als Erwartungswerteim durchdie zugehörigeEigenfunktiongegebenenZustand schreibt.
DasfunktioniertinsbesonderebeiOperatorenderForm A † A,derenErwartungswertenicht
negativ seinkönnen.
102
(8)

= bN|λ〉 −b|λ〉 = (λ−1)b|λ〉 (12)
λ|λ〉
❀ ist |λ〉 Eigenvektor zum Eigenwert λ, so ist b|λ〉 Eigenvektor zum Eigenwert
λ−1 ,vorausgesetzt esgilt b|λ〉 = 0
analog
Nb † |λ〉 = b † bb † |λ〉 = b
(9) †
b †
b+1
|λ〉 = b † (N+1)|λ〉
= (λ+1)b † |λ〉 (13)
b † |λ〉 istEigenvektorzum Eigenwert λ+1
WegenUngleichung(10) gilt:
0 ≤ 〈λ|N|λ〉 = 〈λ| λ|λ〉 = λ〈λ|λ〉 = λ also λ ≥ 0. (14)
Annahme: λ ∈ R, λ ≥ 0, ansonstenbeliebig
❀ mit (12) können wir eine Folge von Eigenvektoren zu den
Eigenwerten λ−1, λ−2, λ−3,... konstruieren;
derenNormensind:
bλ = λ 1 1
b † bλ 2 = |λ〈λ| λ〉| 2 = λ 1 2 λ
b2λ = (λ−1) 1
2 bλ = (λ−1) 1
2 λ 1 2λ , usw.
falls λ ∈ N,sinddieseNormenalle= 0(denndiedesAnfangsvektorsist
= 0) ❀ im Prinzip echteEigenvektoren
aber:dieFolge λ−1, λ−2, usw.erreicht negativeWerte!!«
λ mussganzzahlig sein: λ = n, n ∈ N0, denndann ist
b n+1 λ = (λ−n) 1 2 (λ−n+1) 1 2 ... λ = 0,
d.h., der (n + 1)ste Vektor der Folge ist der Nullvektor und
weitereAnwendungenvonbliefernkeineEigenvektorenmehr
(b0 = 0).
⇒ Konstruktionsverfahrenfür Eigenvektoren:
Beginnemit einembekanntenEigenvektor|n〉 zum E.W.n
n-maliges Anwenden von b ⇒ n weitere E.V. mit E.W. n − 1, n −
2,...0
Anwendenvonb † liefertEigenvektorenzudenEigenwertenn+1, n+
2, usw.
Damit erhalten wir Eigenvektoren zu allen natürlichen Zahlen als Eigenwerten.AndereEigenwertekönnen,wiewirgesehenhaben,nichtvorkommen.
Außerdem wissen wir, dass bei einem eindimensionalen Potential
keine Entartung vorkommen kann, wenn die Wellenfunktionen normierbar
sind (Übungen). Das heißt, wir haben auf diese Weise das Eigenwertproblem
vollständig gelöst – vorausgesetzt,wir können einen einzigen Eigenvektorbestimmen.
103

Am günstigsten fängt man mit dem Eigenvektor |0〉 zum niedrigsten Eigenwert0an,demsogenanntenGrundzustandoderVakuumzustand(nicht
zu verwechselnmit demNullvektor,für dendie Notation|0〉 ab jetztnicht
mehr zurVerfügungsteht,erwird nurnoch als 0geschrieben).
Grundzustand(Vakuumzustand):
b|0〉 = 0 〈0|0〉 = 1 (15)
definierendeGleichung,erlaubtseineBestimmungineinergewähltenDarstellung[z.
B.in derOrtsdarstellung
mω
2¯h
x+ ¯h
∂
ψ(x) = 0, (DGL 1. Ordn.)]
mω ∂x
Oft ist diese Berechnungaber gar nicht nötig, es reicht zu wissen, dass der
Grundzustandexistiertundnormiertist.
DurchsukzessiveAnwendungvonb † erhältmandieangeregtenZustände:
|1〉 = b † |0〉
|2〉 = 1
√ b
2 † |1〉 = 1 † √ b
2·1
2 |0〉
|3〉 = 1
√ b
3 † |2〉 = 1
† √ b
3!
3 |0〉 (16)
.
|n〉 = 1
√ n b † |n−1〉 = 1
√ n!
Normierung?(Zeigenwir jetzt.)
b † n |0〉
b †
m
= b †
mb
† 1
2
m = mbb
†
1
2
m
= mb
† 1
2
b+1 m = 〈m|N+1|m〉 1 2 = 〈m|m+1|m〉 1 2
❀ setze
= (m+1) 1 2 〈m|m〉 1 2 = (m+1) 1 2m
1
√
b
m+1 †
|m〉
= m (17)
ist |m〉 auf 1normiert,soauch
|m+1〉 =
1
√ m+1 b † |m〉
1
√ m+1 b † |m〉 (18)
Die Folge (16) von Zuständen liefert also einen orthonormierten Satz von
Eigenvektoren.
104

Analogzu (17) zeigt man:
(12)
Zusammenfassung:
bm = √ m m
b|m〉 = √ m |m−1〉 (19)
b|0〉 = 0 (15’)
definiertdenGrundzustand.DannsindalleLösungenderstationärenSchrödingergleichungdesharmonischenOszillators
gegebendurch
ˆH|n〉 = En|n〉
En = ¯hω n+ 1
2
|n〉 = 1
√ b
n!
† n
|0〉
n ∈ N0
b † ,b: Erzeugungs- und Vernichtungsoperator (auch Aufsteige-, AbsteigeoperatoroderLeiteroperatoren)
b † b: Anzahloperator, Teilchenzahloperator (Teilchen: Quanten, EnergiepaketederGröße
¯hω)
Waskannman damit anfangen,ohnein dieOrtsdarstellungzu gehen?
Beispiele:
i) Berechnungvon MatrixelementendesOrtsoperators
¯h
xnl ≡ 〈n|ˆx|l〉 = nb
2mω
†
+bl
¯h
= nb
2mω
†
l
〈n| √ + 〈n|b|l〉
l+1|l+1〉 〈n| √
l|l−1〉
¯h
√ √
= l+1〈n|l+1〉+ l〈n|l−1〉
2mω
¯h
√
xnl = l+1 δn,l+1+
2mω
√
l δn,l−1 (20)
(21)
ii) WahrscheinlichkeitsverteilungderOrtskoordinateximGrundzustand
(ohnediesenexplizit zu kennen!)
w(x) = wˆx(x) = 1
e
2π
−iαx Fˆx(α)dα
(sieheAbschnitt7.7.3)
Fˆx(α) = 〈0|e iαˆx |0〉 = 〈0|exp
105
¯h
iα
2mω
b †
+b
|0〉

Für Operatoren, deren Kommutator eine c-Zahl ist, gilt die Baker-
Campbell-Hausdorff-Formel:
Vor.: [A,[A,B]] = 0 [B,[A,B]] = 0
⇒ e A+B = e A e B e −1 2 [A,B]
(Beweis:Übung)
b †
,b = −1 ⇒
e iβ(b† +b) = e iβb †
b †
, b †
,b = 0
e iβb e −1 2 (iβ)2 [b † ,b]
e 1 2 β2 (−1) =e − 1 2 β2
Fˆx(α) = e −β2 /2 iβb
〈0|e †
e iβb |0〉
e iβb |0〉 =
also Fˆx(α) = e −α2 ¯h/4mω
∞
(iβb)
∑
n=0
n
n!
∞
〈0|
⇒ w(x) = 1
2π −∞
mω
w(x) =
π¯h e−mω ¯h x2
|0〉
b, b †
,b = 0
= e iβb†
e iβb e −1 2 β2
∞
∑
¯h
mit β = α
2mω
(iβb) n
|0〉 = |0〉+
n=1
n!
0
|0〉
= |0〉
e −α2 ¯h/4mω−ixα dα (∗)
(22)
wobei wir ausgenützt haben, dass wir das komplexe Gaußintegral
(∗) im Wesentlichen wie ein reelles behandeln dürfen (wurde in den
Übungenbesprochen).
DieWahrscheinlichkeitsdichtedesOrtsimGrundzustanddesharmonischen
Oszillators istalso eineGaußverteilungmit Breite
¯h
∆x =
2mω
Da wir wissen, dass die Wellenfunktion bei einem eindimensionalen
Problem mit diskreten Eigenzuständen reell gewählt werden kann
(weil das Spektrum nicht entartet ist) erhalten wir auch direkt die
WellenfunktiondesGrundzustandsin derOrtsdarstellung
ψ(x) 2 = ψ ∗
mω
(x)ψ(x) = w(x) =
π¯h e−mω ¯h x2
=⇒ ψ(x) =
1
mω 4
π¯h
106
e −mω
2¯h x2
(23)

8.2 HarmonischerOszillator in derOrtsdarstellung
Hamiltonoperator:
ˆH = − ¯h2
2m
Abkürzung:
mω
α ≡
¯h
d2 mω2
+
dx2 2 x2
Die Eigenwertgleichung ˆHψn = Enψn wird zu
− 1 1
2
α 2
d2 1
+
dx2 2 α2x 2
ψn = En
¯hω ψn
Vernichtungs-undErzeugungsoperator:
b = 1
√ αx+
2
1
d
αdx
b † = 1
√ αx−
2
1
(27)
d
αdx
Grundzustandaus
b|0〉 = 0 d.h.
LineareDGL 1. Ordnung,einfach lösbar
ψ0(x) = ce −α2 x 2 /2
Nach Normierung
√
α
ψ0(x) = 4√ e
π −α2x2 /2
(24)
(25)
(26)
αx+ 1
d
ψ0(x) = 0 (28)
αdx
(identischmit (23)) (29)
Die anderen Eigenfunktionen erhält man durch wiederholtes Anwenden
von b †
b † = 1
√ αx−
2
d
= −
dαx
1 √ e
2 α2x2 /2 d
dαx e−α2 x2 /2
(30)
(Nachprüfendurch Ausdifferenzieren!)
(b † ) 2 = 1
2 eα2 x2 /2 d
d(αx) e−α2 x2 /2 α
e 2x2 /2 d
d(αx)
1
e−α2 x2 /2
= 1
2 eα2 x2 /2 d2
d(αx) 2 e−α2 x2 /2
107

(b † ) n =
n −1
√2 e α2x2 /2 dn
d(αx) n e−α2 x2 /2
Anmerkung: b † hatkeinenormierbaren Eigenfunktionen:
b † χ(x) = λχ(x) ⇒ χ(x) = ce α2 x 2 /2− √ 2λx −→
x→∞ ∞
b †
Mit |n〉 =
n √ |0〉 erhalten wir als explizite Ortsdarstellung des n-ten
n!
Eigenzustands:
α
ψn(x) =
n!2n√π (−1)n e α2x2 /2 dn
d(αx) ne−α2 x2 (32)
Die hermiteschenPolynomesinddefiniertdurch[s.(6.25)]
Hn(ζ) = (−1) n e ζ2
ψn(x) =
d
dζ
n
e −ζ2
α
n!2 n√ π Hn(αx)e −α2 x 2 /2 , α =
[diesistidentisch mit Formel(6.24)]
mω
¯h
(31)
(33)
(34)
Eigenfunktionen: hermitesche Polynome, multipliziert mit Gaußfaktor,
derdieNormierbarkeitsichert
Die erstenhermiteschenPolynome:
H0(ξ) = 1
H1(ξ) = 2ξ
H2(ξ) = 4ξ 2 −2
H3(ξ) = 8ξ 3 −12ξ
Grad desPolynoms(= Anzahl seinerNullstellen)=Nummerierungsindex
8.3 Eigenfunktionen und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
108
Eigenwerte und Eigenfunktionen
gerade und ungerade Eigenfunktionenwechselnsich
ab
n = ZahlderNullstellen
beachte Verhalten nahe klassischenUmkehrpunkten!

VergleichderklassischenundderquantenmechanischenAufenthaltswahrscheinlichkeiten:
Klassisch kann man die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichten als Anteil
der Zeit an der Schwingungsperiode berechnen, den ein Teilchen sich an
einemOrt aufhält:
w kl(x)dx = dt
T
ω dx
=
2π |v|
FüreineSchwingungmitAmplitudeakönnenwirbeigeeigneterWahldes
Zeitnullpunktsschreiben:
x = acos ωt v = ˙x = −aωsin ωt |v| = aω
w kl(x) = 1
2πa
1
1− x
a
2
a =
2E
mω 2
1−
x
2 a
t = 0 : E = m
2 ω2 x 2 = m
2 ω2 a 2
Vergleich mit der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsdichte für eineOrtsmessung:
Grundzustand
angeregterZustand(n = 5)
109

9 BewegungimZentralfeld(Wasserstoffatom)
Unter Bewegungim Zentralfeld versteht man eine Bewegung, bei der das
Potential nur vom Betrag des Abstands vom Ursprung abhängt, also kugelsymmetrischist.
27
Die Hamiltonfunktion bzw.derHamiltonoperatorlauten also:
H = p2
+V(r) r = x
2m 2 +y2 +z2 = |x|
ˆH = ˆp2
2m +V(|ˆx|),
bzw. in derOrtsdarstellung
ˆH = − ¯h2
2m ∆+V(r)
Physikalisch wichtigeFälle mit kugelsymmetrischemPotential:
1) V(r) = − e2
4πǫ0r
2) V(r) = − Ze2
4πǫ0r
Wasserstoffatom(Protonin Ruhe)
wird hier behandelt.
Z = 2: einfach ionisiertesHe-Atom,
Z = 3: zweifach ionisiertesLi-Atom,etc.
behandelbar wie Wasserstoff
3) V(r) = m
2 ω2 r 2 dreidimensionaler harmonischer Oszillator,
wegen V(r) = V(x) + V(y) + V(z)
auch einfacher behandelbar – über Pro-
4) V(r) =
5) V(r) = −c e−κr
r
−V0 r ≤ r0
0 r > r0
6) V(r) = 0 freies Teilchen
duktansatz ϕ(x) = ϕ1(x) ϕ2(y) ϕ3(z)
dreidimensionaler Potentialtopf (TröpfchenmodellfürKernkräfte)
abgeschirmtes Coulomb-Potential; (Yukawa-Potentialin
derKernphysik)
9.1 Klassische Bewegungim zentralsymmetrischenPotential
AusderBewegungsgleichung
m¨x = −∇V(r) = − dV
dr
·∇r = −dV
dr
x
r
= −dV
dr er
27 Dies ist eine Einschränkung gegenüber dem allgemeineren Begriff der Zentralkraft: Eine
ZentralkraftmusskeinPotential haben.
110

folgt,dassderDrehimpuls
L ≡ x× p = x×m˙x
eineKonstantederBewegungist
˙L = d
(x×m˙x) = ˙x×m˙x +x×m¨x = x×
dt
0
x
−
r
0
dV
dr
⇒ ˙L = 0
Deshalbistesnützlich, diekinetischeEnergiewie folgtaufzuspalten:
2mEkin = p 2 = pr 2 + 1
r2L2 pr = xp
r = er · p = er ·(m˙r) = m˙r [˙r = ˙rer + orthog.Vekt.]
L 2 (x× p)2
=
r2 r2 = x2
r2 p2− xp
r
2
= p 2 − pr 2
(a×b)·(c×d) = (ac)(bd)−(ad)(bc) : LaplacescheIdentität 28
Dann lässt sich nämlich die Bewegungsgleichung auf die eines eindimensionalenProblems
reduzieren:
H = 1
2 m ˙r2 + 1
2mr2L2 +V(r) = E = const.
Veff(r) L = const.
Diese Differentialgleichung erster Ordnung - der Energiesatz - lässt sich
grundsätzlich lösen. Das effektive Potential V eff(r) hängt dabei natürlich
vom vorgegebenenDrehimpuls ab.
9.2 QuantenmechanischeBewegungimzentralsymmetrischenPotential
Auch im quantenmechanischen Fall ist der Drehimpuls eine Erhaltungs-
größe.Dasbedeutet,dassdieOperatoren ˆLund ˆL 2 mit demHamiltonoperatorkommutieren:
ˆH, ˆL = 0 (1)
ˆH, ˆL 2
= 0 (2)
28Der Beweis der laplaceschen
Identität
ist im Tensorkalkülsehr einfach: (a×b)·(c×d) =
εijkεilma jbkcldm = δjlδkm − δjmδkl ajbkcldm = ajcjbkdk −ajd jbkck = (ac)(bd)−(ad)(bc).
Sind die Vektorenkeine klassischen Größen, d.h. vertauschen sie nicht miteinander, liefert
der Tensorkalkül immer noch eine gültige Formel – man muss nur die Reihenfolge der
Komponenten von a, b, c und d nach dem zweiten Gleichheitszeichen beibehalten. Das Ergebnislässtsichdann
i.A.nicht mehrineinfacher Weisevektoriellschreiben.
111

Wirwerdendasnochexplizitzeigen,wollenaberzunächstdieKonsequenzen
diskutieren.
Wir möchtendiezeitunabhängige Schrödingergleichung
lösen,wobei:
ˆH|ϕn〉 = En|ϕn〉 (3a)
ˆH = ˆp2
2 ˆpr
+V(ˆr) =
2m 2m
2
ˆL
+ +V(ˆr). (3b)
2mˆr 2
Nun wissen wir, dass zwei hermitesche Operatoren, die vertauschen, ein
gemeinsames System von Eigenvektoren besitzen. Das legt eine Strategie
zur VereinfachungderLösungvon(3) nahe:man lösezuerstdas Problem
ˆL 2 |χ〉 = λ|χ〉
undsetzedanndieLösungdesvollenProblemsalsLinearkombinationvon
Eigenvektoren von ˆL 2 zum selben Eigenwert an. Gleichung (3) reduziert
sich dann auf daseinfachere (eindimensionale) Problem
ˆpr ˆH| ˜χ〉 =
2
2m
λ
+ +V(ˆr) |˜χ〉 = E| ˜χ〉
2mˆr 2
ManhatalsodieLösungeinesProblemsauf diezweiereinfachererProbleme
reduziert.
Offensichtich haben wir hier eine allgemeine Strategie entdeckt, die wir etwas
genauerausformulieren wollen.
9.2.1 VollständigerSatz vertauschbarer Operatoren
Wesentliches Element dieser allgemeinen Strategie ist die Suche nach einem(minimalen)vollständigenSatzvertauschbarerhermitescherOperatoren,der
denHamiltonoperatorenthält.
Washeißtdas?
Wir wissen, dass, wenn zwei hermitesche Operatoren vertauschen, sie ein
gemeinsames vollständiges System von Eigenfunktionen besitzen. Tritt in
diesemSystemnoch Entartungauf, d.h.gibt es mehrere linear unabhängige
gemeinsame Eigenvektoren,die für beide Operatoren zu je einem Eigenwert
gehören, so kann man einen dritten Operator finden, der mit beiden
vertauscht und diese Entartung aufhebt oder reduziert. Ist dann noch immer
Entartung vorhanden, d.h. existieren mehrere l. u. Eigenfunktionen,
die für alle drei Operatoren zu nur einem Eigenwert gehören, so kann
maneinenviertenOperatorfinden,dermitallendreivorhergehendenvertauschtunddie
Entartungreduziert,etc.
112

VollständigistdersokonstruierteSatzvertauschbarer Operatorendann,wenn
keine Entartung mehr in dem System gemeinsamer Eigenfunktionen auftritt,
d.h. wenn zu zwei linear unabhängigen Eigenfunktionen für wenigstens
einenderOperatorenzweiverschiedeneEigenwertegehören.
InteressantistderFalleinesminimalenvollständigenSatzesvertauschender
Operatoren,d.h.einesvollständigenSatzes,beidemmankeinenOperator
weglassenkann,ohnewenigstensfüreinenSatzvonEigenwertenallerverbleibendenOperatorenEntartungzu
erhalten(d.h.mindestenszweilinear
unabhängige Eigenvektoren). Wir werden den Begriff ” vollständiger Satz
vertauschenderOperatoren“ inderRegelsogebrauchen,dasswirautomatischeinenminimalen
Satzmeinen.
Beispielezur Veranschaulichung:
1) freiesTeilchen in 1D: ˆH = ˆp2
2m
EigenwerteE = p2
2m
sindfür p = 0zweifach entartet
Eigenfunktionenin derOrtsdarstellung
p
i
ϕp(x) = e ¯h x
p
−i
ϕ−p(x) = e ¯h x
VollständigerSatzvon vertauschendenOperatoren:
ˆH, ˆp
Löst man hier das Eigenwertproblem für ˆp, so hat man schon die
Lösungderzeitunabhängigen Schrödingergleichung.
Das ist nicht immer so. Führen wir den Paritätsoperator P ein, der in
derOrtsdarstellungdurch
Pϕ(x) = ϕ(−x)
definiertist,sobilden auch
ˆH,P
einen(vollständigen)SatzvonvertauschendenOperatoren(da ˆH gar
nicht von ˆx abhängt).
Die Gleichung P|ψ〉 = λ|ψ〉 hat als Lösungen die symmetrischen
Funktionen, ψ(x) = ψ(−x),zumEigenwert1,unddieantisymmetrischen,
ψ(x) = −ψ(−x),zum Eigenwert-1.
Diese Eigenwerte sind beide unendlichfach entartet, und es ist klar,
dass die Schrödingergleichung nicht etwa von jeder symmetrischen
Funktion gelöst wird. Aber wir können, wegen der Vertauschbarkeit
von ˆHundP,jedeLösungalssymmetrischoderantisymmetrischauffassenunderhaltenfür
p = 0
ψp(x) = cos p
¯h x ψ−p(x) = sin p
¯h x
113

zu denentartetenEigenwertenE = p2
2m von ˆH.
Da ψp und ψ−p zu verschiedenen Eigenwerten von P gehören, ist in
dem gemeinsamen Systemvon Eigenfunktionenvon ˆH und P, nämlich
cos p p
¯h x, p ≥ 0; sin ¯h x, p > 0 ,die Entartungaufgehoben.
Anmerkung:Dass P nurdie Eigenwerte±1hat,folgt aus
P 2 |ψ〉 = |ψ〉 [gilt für jedeFunktion]
und P 2 |ψ〉 = λ 2 |ψ〉 [gilt für jedeEigenfunktion]
λ 2 = 1
2) freies Teilchenin 2D
ˆH = ˆp2 x + ˆp 2 y
2m
DieEigenwerte E = p2 x + p 2 y
2m
sindfürE > 0unendlichfachentartet:
i
Eigenfunktionen: ϕpx,py (x,y) = e¯h (pxx+pyy)
.
Zum Eigenwert E gehören alle Eigenfunktionen, deren
Parameter (px, py) einen Kreis mit Radius √ 2mE
um denUrsprungbilden.
Das sindebeneWellenmit gleichemBetragderWellenzahl,aber verschiedenenAusbreitungsrichtungen.
VollständigerSatzvonOperatoren:
ˆH, ˆpx, ˆpy
[{ ˆH, ˆpx} allein reicht nicht aus, da ein Eigenwertpaar (E,px) die py-
Komponente nur bis aufs Vorzeichen bestimmt; der Satz { ˆH, ˆpx} reduziert
dieEntartungvon ∞fach auf zweifach].
3) H-Atom
VollständigerSatzvonOperatoren:
ˆH, ˆL 2 , ˆLz, ˆSz
Hierbei sind ˆLz die z-Komponente des Drehimpulses und ˆSz die des
Spins,mit denwir unsvorläufig nicht beschäftigen.
WennwirunsaufdenOrtsraumbeschränken,istderSatz ˆH, ˆL 2
, ˆLz
vollständig–jedederEigenfunktionenistdannimOrtsraumeindeutig
bestimmt.
Berücksichtigt man noch den Freiheitsgrad des Elektronenspins, so
zeigt sich, dass erst wenn jede dieser Eigenfunktionen mit einer von
114

zweiSpinwellenfunktionenmultipliziertwird,mandasProblemvollständig
gelöst hat. Das bedeutet aber eine Erweiterung des Hilbertraums
überdendurch dieEigenfunktionendesOrtsoperatorsaufgespanntenFunktionenraumhinaus.FürunsereZweckegenügtes,uns
auf denspinlosenFall zu beschränken.
9.2.2 Vorgehenbei derLösungdesWasserstoffproblems
Dass Beispiel 3) des vorhergehenden Absatzes richtig ist, müssen wir erst
nochzeigen.DiesstellteinenTeilderLösungdesWasserstoffproblemsdar,
beiderwir in folgendenSchrittenvorgehenwerden:
i) BeweisderVertauschbarkeitvon ˆH und ˆL 2 und ˆLz
ii) quantenmechanischeAufspaltungvon ˆp 2
iii) BestimmungderEigenwerteundEigenvektorenvon ˆL 2
iv) Aufstellen und Lösen einer eindimensionalen Schrödingergleichung
für dieRadialkomponentederWellenfunktion
⇓
fertig!
9.2.3 Beweis der Vertauschbarkeit von Hamiltonoperator und Drehimpulsoperator
DefinitiondesDrehimpulsoperators
ˆL = ˆx× ˆp = −ˆp× ˆx (4)
Istdiesmöglich,d.h.ist LeinhermitescherOperator?GiltdiezweiteGleichungauch
für dieOperatoren ˆx und ˆp ?
Zur Entscheidung der ersten Frage betrachten wir die KomponentendarstellungdesKreuzprodukts:
wobei 29
ˆLi = ε ijk ˆxj ˆp k, (5a)
ε ijk =
⎧
⎪⎨ 1 wenn(i,j,k)eine geradePermutationvon (1,2,3) ist
−1 wenn(i,j,k)eine ungeradePermutationvon (1,2,3) ist
⎪⎩
0 sonst
(5b)
undüber wiederholteIndizessummiertwird.
29 εijk isteinantisymmetrischerTensor,wirdauchRiccischesSymbolgenannt,inkartesischen
KoordinatenisteridentischmitdemLevi-Civita-Tensor.
115

Aus (2) folgt, dass in der Komponente ˆLi nur verschiedene Indizes j und k
auftreten,undwegen
ˆpjˆx k− ˆx k ˆpj = ¯h
i δ jk
kommutierendiebetreffendenOrts- undImpulskomponenten.
Das aber heißt,dass
†
ˆxj ˆp k = εijk ˆp kˆxj = εijk ˆxj ˆp k = ˆLi, (6)
ˆL † i = ε ijk
also ist ˆLi (unddamit ˆL) einhermitescherOperator.
Ferner können wir im Kreuzprodukt ˆx und ˆp wie Vektoren aus c-Zahlen
behandeln,esgilt also auch
ˆx× ˆp = −ˆp× ˆx
Dass ˆLi mit jeder Funktion von ˆr vertauscht, beweist man am einfachsten
in derOrtsdarstellung:
ˆLi, f(ˆr)
¯h ∂
= εijk xj , f(r)
i
und ∂r
∂x k
=⇒
in (7)
Ortsdarst.
= ¯h
i ε ijk xj
∂x k
∂
∂x k
f(r)
f ′ (r) ∂r
∂x k + f(r) ∂
∂x k
= ∂
x1
∂xk 2 +x2 2 +x3 2 =
ˆLi, f(r) = ¯h
i
−f(r) ∂
=
∂xk ¯h
i εijk xj f ′ (r) ∂r
∂xk f ′ (r)
εijk xj xk =
r
¯h
i
1
✁2 x1 2 +x2 2 +x3 2 · ✁2x k = xk r
f ′ (r)
r
(7)
(x×x) i = 0, (8)
denn ε ijk xj x k ist die i-te Komponentedes Vektors x× x, also des Nullvektors.
Alternative (undbessere)Argumentation: 30
εijk xj xk = −εikj xj xk = −εikj xk xj = −εijk xj xk, =⇒ 2ε ijk xj x k = 0
vertauscheIndi-
zes j und k
Wir haben also:
ˆLi,V(ˆr) = 0 (9)
30 BesseristdieseArgumentation,weilinderQuantenmechanik,wiewirnochsehenwerden,
nicht allgemeingilt A× A = 0.
116

Ferner
ˆLi, ˆp 2 = ˆLi ˆp l ˆp l − ˆp l ˆp l ˆLi = ε ijk(ˆxjˆp k ˆp l ˆp l − ˆp l ˆp l ˆxj
= ε ijk
= ε ijk
ˆxj ˆp k ˆp l ˆp l − ˆxj ˆp l + ¯h
i δ
lj
ˆp k)
ˆxjˆp l + ¯h
i δ lj
¯h
ˆp l ˆp k − ˆp l ˆp k
i δ
lj
ˆxj✟ ✟ ˆp k ˆp l ˆp l − ˆxj✟ ✟ ˆp l ˆp l ˆp k −2 ¯h
i ˆpj
ˆp k
= −2 ¯h
i ε ijk ˆpj ˆp k = −2 ¯h
i (p× p)i = 0
(selbesArgumentwie in (8) )
=⇒
Aus(9) und(10) folgt
ˆLi, ˆp2
= 0 (10)
2m
ˆLi, ˆH = 0 (11)
unddamit
ˆLi 2 , ˆH = ˆLi 2 ˆH− ˆHˆLi 2 = ˆLi ˆLi ˆH− ˆLi ˆHˆLi
ˆLi ˆLi ˆH−
+ ˆLi
ˆHˆLi
0
ˆHˆLi− ˆHˆLi ˆLi
ˆLi ˆH−
= 0
ˆHˆLi ˆLi
0
alsoauch
ˆL 2
, ˆH = ˆL1 2 , ˆH + ˆL2 2 , ˆH + ˆL3 2 , ˆH = 0
ˆL 2
, ˆH = 0 (12)
9.2.4 Quantenmechanische AufspaltungdesImpulsquadrats
Die quantenmechanische Zerlegung des Impulsquadrats ist nicht ganz identisch
mit der in Abschnitt 9.1 gegebenen klassischen, denn eine Definition der
Form
ˆpr = ˆx
ˆr ˆp
ˆx
ˆr = ˆxˆr−1 = ˆr −1
ˆx
derradialenKomponentedesImpulseswürdekeinerObservablenentsprechen,da
ˆp † r = ˆp ˆx
ˆr
= ˆpr.
117

(IndiesenAusdrückentretendiekartesischenKomponentenvonOrts-und
Impulsoperator mit gleichen Indizes auf, und Komponenten mit gleichen
Indizesvertauschennicht.)
Andererseits wissen wir, dass in L = x× p die beiden Vektoren wie vertauschbare
Größen behandelt werden können, da nie gleiche Indizes auftreten.
Dann können wir bei geschickter Umstellung des AusgangsproduktsdieLaplacesche
Identitätin ” geordneter“ Formanwenden.
Man sehe:
ˆL 2 = (ˆx× ˆp)(ˆx× ˆp) = −(ˆp× ˆx)(ˆx× ˆp) = ˆp(ˆx 2 )ˆp−(ˆpˆx)(ˆxˆp). (13)
Hier haben wir im ersten Term nach dem dritten Gleichheitszeichen die
Reihenfolge der Operatoren des vorausgehenden Ausdrucks beibehalten
(das Skalarprodukt ˆx 2 wurde ” ins Innere“ des Produkts ˆp· ˆp geschrieben
und kann nur unter Verwendung der Vertauschungsrelationen nach außengebrachtwerden);imzweitenTermwurde
ˆxausderzweitenKlammer
des Produkts (nach dem zweiten Gleichheitszeichen) mit ˆx aus der ersten
Klammer vertauscht, was legitim ist, da die Komponenten ˆx k alle miteinandervertauschen.
Dasgleichekönnenwirmit ˆL 2 /ˆr 2 machen,wobeiwir ˆr (unterAusnützung
von ˆL,ˆr = 0) in derMittezwischendenbeidenFaktorenanordnen:
ˆL 2
ˆr
1 ˆx2
= −(ˆp× ˆx) (ˆx× ˆp) = ˆp 2 2 ˆr 2
= ˆp 2
− ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
Das heißt,wir erhalten:
ˆp 2
= ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
ˆr
+ 1 2
ˆL
ˆr 2
1
ˆp− ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
undderersteTermisteinesymmetrisierteunddamit offensichtlich hermitescheDarstellung
von ˆp 2 r .
Man kann (15) auch direktmit derTensorschreibweisebeweisen:
ˆL 2
= − ˆp×
ˆr 2 ˆx
ˆx ˆx k
× ˆp = −εijk ˆpj
ˆr ˆr ˆr ε ˆx l
ilm ˆpm
ˆr
ˆx k ˆx l
= −εijk εilm ˆpj ˆpm
ˆr ˆr
−δjlδkm + δjmδkl ˆx k ˆxj ˆx k ˆx k
= −ˆpj ˆp k + ˆpj
ˆr
ˆr
ˆr
ˆr
ˆxj ˆx k ˆx kˆx k ˆr2
=
ˆr ˆr ˆr 2 ˆr
ˆpj
2 = 1
118
(14)
(15)

= − ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
+ ˆp 2 .
Die ReihenfolgederOperatoren ˆp und ˆx im erstenTermin (15) ist wichtig.
InderOrtsdarstellunghaben wir:
ˆp ˆx ¯h
=
ˆr i ∇x
¯h 1
=
r i r (∇x)
+x ∇
3
1
r
− 1 1
r2∇r = −
r2 +
x
r
x
r ∇
= ¯h
3 1
−
i r r3x2 + x
r ∇
=
¯h
2 ∂
+
i r ∂r
und
ˆx
ˆr
ˆp = x
r
Zusammengefasst:
1
r
¯h ¯h
∇ =
i i
ˆp ˆx
¯h 2
=
ˆr i r
ˆx ¯h ∂
ˆp =
ˆr i ∂r
∂
∂r
∂
+
∂r
er ·∇ = ∂
∂r
(16a)
(16b)
AlsRadialanteildesImpulseswürdemangerndenhermitschenAnteildieserbeidenOperatorendefinieren(deristnatürlich
gleich!):
ˆpr = 1
ˆp
2
ˆx ˆx
+
ˆr ˆr ˆp
¯h 1 ∂
= + (17)
i r ∂r
Ortsdarst.
Istdaskonsistent?
ˆpr 2
¯h
2
1
=
i r
= −¯h 2
1 ∂ 1
+
r2
∂r r
− 1
r2+1 +
∂
r ∂r
1
r
Ja.
ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
=
Also ˆp 2 r =
¯h
i
∂ 1 ∂
+ +
∂r r ∂r
2 2 ∂
+
r ∂r
ˆp ˆx
ˆx
ˆr ˆr ˆp
∂ ∂2
+
∂r ∂r2 119
∂
∂r
= −¯h 2
2
= −¯h2
2
r
r
∂
∂r
∂
∂r
∂2
+
∂r2
∂2
+
∂r2
(18)

AndereDifferentialdarstellungen:
ˆpr = ¯h 1
i r
ˆpr 2 = −¯h 21
Kommutatorrelation
Beweis:
[ˆpr,ˆr] = ¯h
i
ˆprˆr− ˆrˆpr =
∂
r (19)
∂r
¯h 1
i r
Ortsdarst.
r
∂ 2
∂r 2r
∂
∂r r2 − ¯h
i
r 1
r
1
∂
∂r r
= ¯h
i 2+
¯h ∂ ¯h
r −
i ∂r i −
¯h ∂
r
i ∂r
= ¯h
i
Nachdemwir ˆp 2 korrektineinenAnteildesRadialimpulsesundeinendes
Drehimpulses zerlegt haben, können wir den Hamiltonoperator entsprechendzerlegen:
(20)
(21)
ˆH = ˆp2 r 1
+
2m 2mˆr 2 ˆL 2 +V(ˆr) (22)
Für ˆpr haben wir bereits einen Ausdruck in der Ortsdarstellung [Glei-
chung(19)], jetztsuchenwir einenfür ˆL 2 .
Die einfachste Methode ist es, den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
auszudrückenunddiebekanntedifferentielle Formvon ˆp 2 r zu benützen:
ˆp 2 = ˆp 2 r + 1
ˆr 2 ˆL 2 ! = −¯h 2 ∆ (23)
∆= ∂2 2 ∂ 1
+ +
∂r2 r ∂r r2
1 ∂ ∂ 1
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2
(24)
(s. etwaBronstein)
(23) und (24) ⇒ −¯h 2
2 ∂ ∂2
+
r ∂r ∂r2
+ 1 2
ˆL
r2 = −¯h 2
∂2 2 ∂
+ −
∂r2 r ∂r
¯h2
r2
1 ∂ ∂ 1
sin ϑ +
sin ϑ ∂r ∂ϑ sin2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2
Daraus erhalten wir unmittelbar
ˆL 2 =
Ortsdarst.
¯h
2
1 ∂
i sin ϑ ∂ϑ
∂ 1
sin ϑ +
∂ϑ sin2 ϑ
120
∂2 ∂ϕ2
(25)

ˆL 2 hängt nur von den Winkelkoordinaten ab, woraus ebenfalls gefolgert
werdenkann,dass ˆL 2 mit ˆr kommutiert.
Aus der Darstellung des Gradienten in Kugelkoordinaten kann man auch
ˆL in diesenKoordinatenerhalten(s. Abschnitt9.2.6):
ˆL = ¯h
∂ eϑ ∂
eϕ − (26)
i ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
Mit ˆL 2
, ˆH = 0und ˆL 2
,ˆr = 0folgtauch = 0(mithilfe von(22)).
ˆL 2 , ˆp 2 r
9.2.5 BestimmungderEigenwerte undEigenvektorenvon L 2 und Lz
Von jetzt an lassen wir das ˆ über den Operatoren weg, um Schreibarbeit
zu vermeiden.
WirwerdenzunächstdieEigenwerteauschließlichausdenVertauschungsrelationen
der Komponenten des Drehimpulsoperators ableiten und dann
dieEigenfunktionenin derOrtsdarstellungbestimmen.
Vertauschungsrelationen
L = x×p ⇒ Li = εijk xj pk
Li,Lj = εilk εjsq xl pk,xs pq
= εilk εjsq xl pk xs
xs pk + ¯h
i δ pq −xs pq xl
sk xl pq + ¯h
i δ
pk ql
= εilk εjsq ✘✘✘✘✘ xl xs pk pq + ¯h
i xl pq δsk− ✘✘✘✘✘ xs xl pq pk − ¯h
i xs
pk δql = ¯h
εilk εjkq xl pq − εilk εjsl xs pk i
−εilk εjqk = −δijδlq+ δiqδlj −εikl εjsl = −δijδks+ δisδkj = ¯h
i ✘✘✘✘✘ −δijxl pl +xj pi + ✘✘ ✘✘
δij xk pk −xi pj
¯h
Li,Lj = xjpi−xipj = i¯h εijk Lk i
BeweisderletztenGleichung:
i¯h εijk Lk = i¯h εijk εklm xl pm = i¯h δilδjm− δimδjl = i¯h ¯h
xipj −xjpi = xjpi −xipj
i
Aus(27) erhaltenwir ferner
εijk Li,Lj = i¯h εijk εijs Ls = 2i¯hL k
2δks 121
xl pm
(27)

andererseits
εijk Li,Lj = εijk(LiLj−LjLi) = εkij LiLj− εkij LjLi = 2 εkij LiLj
i↔j
in Vektorschreibweise:
ε kij LiLj = i¯hL k
L× L = i¯hL
Das heißt, hier haben wir einen quantenmechanischen (operatorwertigen)
Vektor, dessen Kreuzprodukt mit sich selbst ungleich Null ist, weil seine
Komponenten untereinander nicht vertauschen (hingegen gilt x× x = 0,
p× p = 0).
(28)
Fassen wir die Kommutatorrelationen der Komponenten noch einmal zusammen,
sowohlin ausgeschriebenerals auch in symbolischer Form:
Li,Lj = i¯h εijk Lk Ly Lz−Lz Ly = i¯hLx
Lz Lx − Lx Lz = i¯hLy
Lx Ly −Ly Lx = i¯hLz
L× L = i¯hL
KomponentenundBetragsquadrat:
Li,L 2 = Li Lj Lj−Lj Lj Li
Esgilt also:
=⇒
= Li Lj Lj−Lj Li Lj+Lj Li Lj−Lj Lj Li
Lj+Lj
=
Li,Lj Li,Lj
= i¯h εijk LkLj+LjL k =ր i¯h εikj LjLk+i¯h εijk LjLk = 0
(hier habenwir fürdenerstenTerm
k in j umbenannt und j in k)
Li,L 2 = 0
L,L 2 = 0
Jede Komponente vertauscht mit dem Quadrat des Drehimpulsoperators,
aber dieKomponentenuntereinandervertauschennicht!
FürdieLösungdesEigenwertproblems
L 2 |ψ〉 = λ|ψ〉
kann also ein vollständiger Satz vertauschender Operatoren L 2 und eine
Komponente Li enthalten, nicht aber mehrere Komponenten. Traditionell
122
(29)
(30)

wählt man die Komponente Lz. Wir wollen also simultan ein Eigenwertproblemfür
L 2 und Lz lösen:
L 2 |l,m〉 = ¯h 2 l(l+1) |l,m〉 (l ≥ 0) (31)
Lz|l,m〉 = ¯hm |l,m〉 (32)
Hier haben wir die Eigenwerte, um später keine neuen Größen einführen
zu müssen, in einer speziellen Form geschrieben. Diese stellt keine Einschränkung
der Allgemeinheit dar. Die Eigenwerte von L 2 können nicht
negativ sein 31 und jede Zahl x ≥ 0 ist eindeutig in der Form l(l +1) mit
l ≥ 0 darstellbar: x = l(l +1) l 2 +l − x = 0 l 1/2 = − 1
2 ±
undnur l1 ist nicht negativ.
1
4 +x,
Es wird sich später herausstellen, dass l und m ganz- oder halbzahlig sein
müssen.
Außerdem ist jede Eigenfunktion durch die beiden Eigenwerte zu L 2 und
Lz festgelegt, und wir haben die beiden Indizes l und m gewählt, um die
Eigenfunktionen ” durchzunummerieren“.(WirkönntenauchdievollenEigenwerte
nehmen, aber es wird sich herausstellen, dass die Quantenzahlen
l und m praktischersind.)Aufgrundvon
L 2 = Lx 2 +Ly 2 +Lz 2
und der speziellen Rolle von Lz (durch unsere Auswahl) müssen wir eigentlichein
Eigenwertproblemfür Lx 2 +Ly 2 und Lz simultan lösenundes
liegt nahe, diese Summe zweier Quadrate ähnlich zu behandeln wie beim
harmonischenOszillator α 2 + β 2 = (α−iβ)(α+iβ) .
Wir führenalso neueOperatorenein
L ± = Lx ±iLy
(L − ) † = L +
(L + ) † = L −
L + L − = Lx 2 +iLyLx −iLxLy+Ly 2 = Lx 2 +Ly 2 +¯hLz
L − L + = Lx 2 −iLyLx +iLxLy+Ly 2 = Lx 2 +Ly 2 −¯hLz
⇒ Lx 2 + Ly 2 = 1 + − − +
L L +L L
2
Vertauschungsrelationenfür L + ,L − ,Lz:
(35) ⇒ L + L − − L − L + = 2¯hLz
(33)
(34)
(35a)
(35b)
31 DasbeweistmanmitderfolgendenIdee:EigenwerteeinesOperatorslassensichalsErwartungswerte
mit der betreffenden auf eins normierten Eigenfunktion darstellen, hier also
L 2 |ψ〉 = λ|ψ〉 ⇒ λ = ψ L 2 ψ .ErwartungswertevonOperatorenderForm A † Akönnen
aber nicht negativ sein, insbesondere also auch nicht Erwartungswerte von hermiteschen
Operatorender Form A 2 , denn ψ A † A ψ = 〈Aψ|Aψ〉 = Aψ 2 ≥ 0. Wegen (33) ist also
jederErwartungswertvon L 2 eineSumme vonnichtnegativen Erwartungswerten.
123
(36)

LzL + − L + Lz = LzLx +iLzLy−LxLz−iLyLz
= [Lz,Lx]+i
Lz,Ly = i¯hLy+i(−i¯hLx)
= ¯h(Lx +iLy) = ¯hL +
LzL −− L − Lz = LzLx −iLzLy−LxLz+iLyLz
= [Lz,Lx]−i
Lz,Ly = i¯hLy−i(−i¯hLx)
= −¯h(Lx −iLy) = −¯hL −
L + L − −L − L + = 2¯hLz
LzL + − L + Lz = ¯hL +
LzL − − L − Lz = −¯hL −
Schreitenwir nun zurVerwendungdieserOperatoren:
L 2 = 1
2 (L+ L − + L − L + )+Lz 2
(37)
(35b) L − L + = L 2 −Lz(Lz+¯h) (38a)
(35a) L + L − = L 2 −Lz(Lz−¯h) (38b)
mit (31), (32): L − L + |l,m〉 = ¯h 2 [l(l +1)−m(m+1)]|l,m〉
L + L − |l,m〉 = ¯h 2 [l(l +1)−m(m−1)]|l,m〉
was sich nochetwasschönerschreibenlässt:
L − L + |l,m〉 = ¯h 2 (l−m)(l+m+1)|l,m〉
(39a)
L + L − |l,m〉 = ¯h 2 (l+m)(l−m+1)|l,m〉 (39b)
L − L + und L + L − sindbeidespositiveOperatoren
〈ψ|L − L + |ψ〉 = L + ψ L + ψ = L + ψ 2 ≥ 0
〈ψ|L + L − |ψ〉 = L − ψ L − ψ = L − ψ 2 ≥ 0
die Erwartungswerte mit den Eigenzuständen |l,m〉, die auf 1 normiert
seien
〈l,m|L − L + |l,m〉 = ¯h 2 (l−m)(l+m+1) ≥ 0 (40a)
〈l,m|L + L − |l,m〉 = ¯h 2 (l+m)(l−m+1) ≥ 0 (40b)
Behauptung: (40) ⇒ −l ≤ m ≤ l (41)
Beweis: Fallunterscheidungen
i) m = 0 l(l+1) ≥ 0,
also l ≥ 0 ⇒ (41) oder l < −1, was wir aber ausschließen
können,daperAnsatz(undo.B.d.A.) l ≥ 0
124

ii) m > 0 (40a) ⇒
mit l ≥ 0
l ≥ m
(40b) ⇒ l ≥ m−1 [schwächere Ungleichung]
iii) m < 0 (40b) ⇒ l ≥ −m
(40)
(40a) ⇒ l ≥ −m−1 [istin l ≥ −m enthalten]
L + |l,l〉 = 0
(42a)
L − |l,−l〉 = 0 (42b)
Also: L + |l,m〉 istfür m = l derNullvektor,sonstnicht, wegen(40a)
L − |l,m〉 istfür m = −l derNullvektor,sonstnicht, wegen(40b)
Für m < l ist L + |l,m〉 ein (nichtnormierter) Eigenvektor zu Lz. Das folgt
aus(37):
LzL + |l,m〉 = L + Lz|l,m〉+¯hL + |l,m〉 = ¯h(m+1)L + |l,m〉 (43a)
DerEigenwertist ¯h(m+1).
Für m > −l ist L − |l,m〉 Eigenvektorzu Lz mit Eigenwert ¯h(m−1):
LzL − |l,m〉 = L − Lz|l,m〉−¯hL − |l,m〉 = ¯h(m−1)L − |l,m〉 (43b)
DieseVektorensindwegen(40) nichttrivial.
NormierteForm
|l,m+1〉 ≡
|l,m−1〉 ≡
1
¯h
(44a)
(l−m)(l+m+1) L+ |l,m〉
1
¯h (l+m)(l−m+1) L− |l,m〉 (44b)
NungehenwirnachdergleichenIdeevorwiebeimharmonischenOszillator.Durch
sukzessiveAnwendungvon L + erzeugenwirEigenvektorenzu
immer höherenEigenwerten
L + |l,m〉, L +2 |l,m〉, ... (L + ) p |l,m〉
E.W.von Lz/¯h: m+1, m+2, m+ p
p istsowählbar, dass l−1 < m+ p ≤ l
Fallunterscheidung
I) l−1 < m+ p < l
L + |l,m+ p〉 istnach(40a) nichtderNullvektor;nach(43a)istes
aber Eigenvektorzu Lz/¯h mit Eigenwertm+ p+1 > l
«zu (41) !
125

II) m+ p = l
L + |l,m+ p〉 = L + |l,l〉 = 0,
L +2 |l,m+ p〉 = 0,
L +3 |l,m+ p〉 = 0, usw.
esentstehenkeineneuenEigenvektoren
❀ mögliche Eigenwertevon Lz/¯h
m, m+1, m+2,... m+ p = l
Analog schließtman durch Konstruktionvon
L − |l,m〉, (L − ) 2 |l,m〉,... (L − ) q |l,m〉
auf die weiterenmöglichen Eigenwertevon Lz/¯h
m, m−1,... m−q = −l
p und q sindganze Zahlen,über m und l wissenwir noch nichts
m+ p = l
m−q = −l
⇒ l ganzzahlig oderhalbzahlig
l = 0, 1
2
, 1, 3
2
5
, 2, , ...
2
⇒ 2l = p+q = n ∈ N0 l = n
2
l ganzzahlig ⇒ wegenm+ p = l: m auch ganzzahlig
mögliche Werte −l,−l+1,... −1,0,1,... l−1,l
Anzahl: 2l +1
l halbzahlig ⇒ m auch halbzahlig
mögliche Werte −l,−l+1,... − 3
Anzahl: 2l +1
2 ,−1
1
2 , 2
3 , 2 ,... l−1,l
Alle Eigenvektoren erhält man aus dem Zustand |l,l〉 durch wiederholte
Anwendungvon L − /¯h
Nach (44b) habenwir:
allgemein
|l,l−1〉 =
|l,l−2〉 =
|l,l−3〉 =
|l,l− p〉 =
1
√ 2l·1
L −
¯h |l,l〉
1
2l(2l −1)·1·2
L −
1
2l(2l −1)(2l −2)1·2·3
(2l− p)!
2l! p!
L −
¯h
¯h
p
|l,l〉
126
2
|l,l〉
L −
¯h
3
|l,l〉
(45)

setze l − p = m
Form
( p = l −m), und es ergibt sich die kanonische
(l+m)! L−l−m |l,m〉 =
|l,l〉
2l!(l −m)! ¯h
(46)
analog
(l−m)! L + l+m |l,m〉 =
|l,−l〉 (47)
(2l)!(l +m)! ¯h
und wir haben als definierende Beziehungen für die Zustände mit dem
niedrigstenunddemhöchstenEigenwertvon Lz
L − |l,−l〉 = 0 L + |l,l〉 = 0
Lz|l,−l〉 = −¯hl|l,−l〉 Lz|l,l〉 = ¯hl|l,l〉
insbesonderegilt
|l,−l〉 = 1
L− 2l! ¯h
|l,l〉 = 1
L +
2l! ¯h
2l
2l
|l,l〉
|l,−l〉
Die Operatoren L + bzw. L − heißen (aus offensichtlichen Gründen) auch
Leiteroperatoren.RekapitulierenwirdiePhilosophiedesVerfahrens.Nachdem
gezeigt wurde, dass die Eigenwerte von Lz zwischen einer unteren
undeineroberenSchrankeliegen,diedurchdendenEigenwertvon L 2 gegeben
sind, überlegt man sich, dass Anwendung von L + auf einen Eigenvektorvon
Lz einenEigenvektorzueinemum ¯herhöhtenEigenwertliefert.
Durch sukzessive Anwendung von L + könnte man also beliebig hohe Eigenwerteerhalten,wasaufeinenWiderspruchführt,wenndiesoerzeugte
Reihe von Eigenvektorennicht abbricht. Das tut sie genau dann, wenn ein
bestimmtermaximaler Eigenwerterreichtwird.Alleüberhauptmöglichen
sonstigen Eigenwerte müssen also um ein ganzzahliges Vielfaches von ¯h
kleiner sein als dieser maximale. Eine analoge Aussage erhält man durch
Betrachtungvon L − unddieBeschränkungderEigenwertenachunten.Alle
Eigenwerte müssen um ganzzahlige Vielfache (inklusive der Null) von
¯h uber dem minimal möglichen Eigenwert liegen. Damit können die Eigenwertenureine
” Leiter“ vomminimalen zummaximalenEigenwertmit
konstanten Abständen der Leitersprossen bilden. Das ist eine notwendige
BedingungfürdieEigenwerte.Zeigtmanzusätzlich,dassdiebetreffenden
Eigenvektoren auch alle auftreten (etwa, indem man ihre Normierbarkeit
beweist), dann ist die Bedingung auch hinreichend und man kann sicher
sein,dasEigenwertproblemvollständiggelöstzu haben.
127
(48)

9.2.6 Darstellung im Ortsraum
Vertauschungsregeln mögliche Eigenwertevon L 2 und Lz
(im letztenAbschnittbestimmt)
Kommen alle in derNaturvor?
IneinemgegebenenquantenmechanischenSystemkannaufgrundderNatur
der Argumentation nur der Fall ganzzahliger oder halbzahliger Eigenwertevon
Lz/¯h vorkommen.
Für den hier betrachteten Fall, d.h. die Bewegung eines Teilchens ( ” Bahndrehimpuls“)
sind, wie wir gleich sehen werden, nur die ganzzahligen
Wertevon l erlaubt.
Halbzahlige WertekommenaberinderNaturauchvor,beimsogenannten
Spin oderEigendrehimpuls–denFall betrachtenwirspäter.
Bahndrehimpuls – l ganzzahlig
Spin-, Eigendrehimpuls – halbzahlige l möglich
Ortsdarstellung,Polarkoordinaten
x = rsin ϑcos ϕ
y = rsin ϑsin ϕ
z = rcos ϑ
L = x× p = x× ¯h
i ∇ = rer × ¯h
∂
er
i ∂r +eϑ
1 ∂
r
= ¯h
∂ 1
eϕ −
i ∂ϑ sin ϑ eϑ
∂
∂ϕ
L = ¯h
∂ eϑ ∂
eϕ −
i ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
∂ϑ +eϕ
1 ∂
rsin ϑ ∂ϕ
[s. Gl. (26)]
(26’)
Zwecks Berechnung von Lz sowie L ± in Polarkoordinaten brauchen wir
zunächst
eϑ = cos ϑcos ϕex +cos ϑsin ϕey−sin ϑez eϑ = 1
∂r
r ∂ϑ
eϕ = −sin ϕex +cos ϕey
eϕ = 1
∂r
rsin ϑ ∂ϕ
Lz = ¯h ∂
i ∂ϕ
L ± = Lx ±iLy
128
(49)

= ¯h
−sin ϕ±icos ϕ
i
±ie ±iϕ
L ± = ¯he ±iϕ
± ∂
∂
+icot ϑ
∂ϑ ∂ϕ
∂ ¯h cos ϑ
−
∂ϑ i sin ϑ
sin ϕ
ϑ
cos ϕ±icos
sin ϑ
cot ϑe ±iϕ
∂
∂ϕ
L 2 , s.Gl. (25), auch erhältlich aus L 2 = 1
2 (L+ L − +L − L + )+ L 2 z zu32
L 2 = − ¯h2
sin 2
sin ϑ
ϑ
∂ ∂ ∂2
sin ϑ +
∂ϑ ∂ϑ ∂ϕ2
Die Eigenfunktionenhängen(wie bereitserwähnt)nur von denWinkeln ϑ
und ϕ ab.
|l,m〉 −→ Y l,m(ϑ, ϕ)
Orthogonalitätsrelation
δll ′δmm ′ = l ′ ,m ′l,m
=
dΩ = sin ϑdϑdϕ
(50)
Y ∗
l ′ m ′(ϑ, ϕ)Y l,m(ϑ, ϕ)dΩ (51)
Y l,l ist am einfachsten aus der Ortsdarstellung zu bestimmen [s. (42a) und
(32)]:
∂ ∂
+icot ϑ Y
∂ϑ ∂ϕ
l,l(ϑ, ϕ) = 0
ausderzweitenGleichung folgtunmittelbar
L + |l,l〉 = 0 Lz|l,l〉 = ¯hl|l,l〉
¯h ∂
i ∂ϕ Yl,l(ϑ, ϕ) = ¯hlY l,l
(52)
Y l,l(ϑ, ϕ) = e ilϕ f l(ϑ) (53)
Forderung:Y l,l eindeutigin ϕ → l (und m) ganzzahlig
l,m ganze Zahlbeim Bahndrehimpuls
f l(ϑ) folgtaus dererstenGleichung (52):
∂fl ∂ϑ +icot ϑilf l = 0
∂fl cos ϑ
= l
∂ϑ sin ϑ fl(ϑ) dsin ϑ = cos ϑdϑ
1 dfl l
=
dsin ϑ sin ϑ
f l
32 EinedritteMöglichkeitderBerechnungbestehtinderBildungdesSkalarprodukts L·Lmit
Verwendungvon(26’).DabeiwerdenAbleitungenderEinheitsvektorene ϑ undeϕ benötigt.
129

ln f l = llnsin ϑ+lnC l
f l = C lsin ϑ l
Y l,l(ϑ, ϕ) = C lsin l ϑe ilϕ
Normierung:
1 =
π 2π
0 0
1
π
= 2π
|C 2
l| 0
I(l) = 2π
|C l| 2 sin 2l ϑ sin ϑdϑdϕ
sin 2l π
ϑ sin ϑdϑ = 2π sin
0
2l+1 ϑdϑ ≡ I(l)
(54)
π
− 2lsin
0
2l−1
ϑcos ϑ(−cos ϑ)dϑ
(sin 2l π
ϑ(−cos ϑ)
0
π
= 2π2l sin
0
2l−1 (1−sin 2 ϑ)dϑ = 2l[I(l−1)− I(l)]
(2l +1)I(l) = 2l I(l−1) I(l) = 2l
I(l−1), l ≥ 1
2l +1
π
sin ϑdϑ = 2π(−cos ϑ)
= 4π
π
I(0) = 2π
0
I(l) = 2l 2(l −1) 2(l −2)
· ·
2l+1 2l −1 2l −3 ...
2
3 ·4π
= 2l 2l 2(l −1) 2(l−1) 2(l −2)
2l+1 2l 2l −1 2l−2 2l −3 ...
2l 2
·l!
=
(2l+1)! ·4π
|C l| 2 =
(2l +1)!
4π(2 l l!) 2
0
4 2 2
· ·
4 3 2 ·4π
Cl = (−1)l
2l
(2l+1)!
l! 4π
derFaktor(−1) l ist natürlich nicht zwingend,
erwurdeausKonventionsgründenhinzugefügt
Yl,l(ϑ, ϕ) = (−1)l
2l
(2l +1)!
e
l! 4π
ilϕ sin l ϑ (55)
Die anderen Eigenfunktionen erhält man gemäß (46) durch wiederholte
Anwendungvon L − /¯h aufY l,l
Y l,m =
(l+m)!
L− (2l)!(l −m)! ¯h
l−m Yl,l 130

Für die Berechnung betrachten wir zunächst die Wirkung von L − /¯h auf
eineFunktionderForme inϕ f(ϑ)
L− ¯h einϕf(ϑ) = e
(50) −iϕ
− ∂
ϑ ∂
+icos
∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
= e −iϕ
− ∂
ϑ
+iincos e
∂ϑ sin ϑ
inϕ f(ϑ)
= e i(n−1)ϕ
− ∂
ϑ
−ncos f(ϑ).
∂ϑ sin ϑ
e inϕ f(ϑ)
DenDifferentialoperatorinderKlammerkannmanraffiniertumschreiben:
allgemein
− ∂ ∂cos ϑ ∂
∂
= − = sin ϑ
∂ϑ ∂ϑ ∂cos ϑ ∂cos ϑ
sin 2 ϑ+cos 2 dsin ϑ
ϑ = 1 ⇒ 2sin ϑ +2cos ϑ = 0
dcos ϑ
dsin ϑ ϑ
= −cos
dcos ϑ sin ϑ
− ∂ ϑ
−ncos
∂ϑ sin ϑ
∂
= sin ϑ
∂cos ϑ
L −
¯h einϕ = e i(n−1)ϕ 1
sin n−1 ϑ
Y l,l−1 =
Y l,l−2 =
C l = (−1)l
2 l l!
Y l,m(ϑ, ϕ) = (−1)l
2 l l!
(l+l−1)!
Kugelflächenfunktionen
übliche Form:
Y l,m(ϑ, ϕ) =
+n∂sin ϑ
∂cos ϑ =
1
sin n−1 ϑ
∂
∂cos ϑ sinn ϑ
∂
∂cos ϑ sinn ϑ (56)
2l!(l −l+1)! C le i(l−1)ϕ 1
sin l−1 ϑ
(l+l−2)!
2l!(l −l+2)! Cle i(l−2)ϕ 1
sin l−2 ϑ
(2l+1)!
√
4π
(2l+1)(l+m)!
4π(l −m)!
(2l+1) (l−m)!
4π (l+m)! Pm l
Yl,−m(ϑ, ϕ) = (−1) m Y ∗
l,m (ϑ, ϕ)
131
∂
∂cos ϑ sin2l ϑ
2 ∂
sin
∂cos ϑ
2l ϑ
eimϕ sin m l−m ∂
sin
ϑ ∂cos ϑ
2l ϑ (57)
(cos ϑ)eimϕ
m ≥ 0 (58a)

wobei
P m l (x) = (−1)m (1−x 2 ) m/2
m d
dx
P l(x) (58b)
dieassoziierten( ” zugeordneten“)Legendre-Funktionensind(Polynomein
denbeidenGrößensin ϑ undcos ϑ).
Die Legendre-Polynome P l sinddefiniertdurch
P l(x) = 1
2 l l!
l d
(x
dx
2 −1) l
Zum BeweisderGleichheit von (57) und(58) benötigtman
(58c)
l−m ∂
(l+m)! sin
∂cos ϑ
2l ϑ = (−1) m (l−m)!sin 2m l+m ∂
ϑ sin
∂cos ϑ
2l ϑ
(59)
Bezeichnung: l = 0, 1, 2, 3, 4
(Atomphysik) s-, p-, d-, f-, g-Zustände
Parität derKugelflächenfunktionen:
Y l,m(ϑ, ϕ) = F l,m(e)
F l,m(e) = (−1) l F l,m(−e)
Y l,m(ϑ, ϕ) = (−1) l Y l,m(π− ϑ, ϕ+π) (60)
EinigeEigenschaften derLegendre-Polynome
Integraldarstellung: Pl(x) = 1
(1−2xz+z
2πi
C
2 ) −1/2 z −l−1 dz
C: umschließt den Ursprung im mathematisch
positivenSinn
Rekursionsbeziehungen: (l+1)P l+1(x)−(2l +1)xP l(x)+lP l−1(x) = 0
(1−x 2 )P ′ n(x) = −nxPn(x)+nPn−1(x)
= (n+1)xPn(x)−(n+1)Pn+1(x)
ErzeugendeFunktion: (1−2xt+t 2 ) −1/2 = ∞
∑ Pn(x)t
n=0
n
Legendresche Differentialgleichung:
Orthogonalität:
(1−x 2 )y ′′ −2xy ′ +l(l+1)y = 0
1
−1
Pn(x)Pm(x)dx = 2
2n+1 δnm
132

Assoziierte Legendre-
Funktionen:
Pm l (x) = (−1)m (1−x 2 ) m/2
dm
dxm Pl(x) = (−1)m
2l (1−x
l!
2 ) m/2
dl+m
dxl+m(x2 −1) l
P −m
l (x) = (−1) m(l−m)!
Differentialgleichung: (1−x 2 )y ′′ −2xy ′ +
Diskussionderniedrigsten Eigenfunktionen
(l+m)! Pm l (x)
l = 0, m = 0 s-Funktion (s-Orbital), Anzahl: 1
Formel(57) Y00(ϑ, ϕ) = 1
√ 4π
Darstellungvon |Y00| 2 im Polardiagramm
l(l+1)− m2
1−x 2
(winkelunabhängig)
l = m = 0
l = 0: kein Drehimpuls
y = 0
Klassisch entspräche dies Bahnen um bzw. durch den Ursprung des Zentralpotentials
(Das linke Bild ist das eigentlich richtige. Im rechten ist das Zentrumnicht
im BrennpunktderEllipse.)
l = 1, m = ±1, m = 0 p-Funktion (p-Orbital), Anzahl: 3
3
Y1,±1(ϑ, ϕ) = − sin ϑe±iϕ
(+) 8π
3
Y1,0(ϑ, ϕ) = cos ϑ
4π
Polardiagramme
l = 1
m = ±1
133
m = 1
m = −1
(Polardiagramm
entsprichtdem
derAbstrahlcharakteristikdes
hertzschenDipols)

l = 1
m = 0
l = 2 m = ±2, m = ±1, m = 0 d-Funktion (d-Orbital), Anzahl: 5
15
Y2,±2(ϑ, ϕ) =
32π sin2 ϑe ±2iϕ
15
Y2,±1(ϑ, ϕ) = − cos ϑsin ϑe±iϕ
8π
5
Y2,0(ϑ, ϕ) =
16π (3cos2 ϑ−1)
Polardiagramme
l = 2
m = ±2
l = 2
m = ±1
l = 2
m = 0
9.3 Radiale Schrödingergleichung
m = 2
m = −2
m = 1
m = −1
cos 2 ϑ = 1
3 = ϑ ≈ 55 ◦
Abschnitt9.2 ⇒ winkelabhängigerAnteilderWellenfunktion
Eigenwertezum Quadrat desDrehimpulsoperators
Wir suchennundenradialen TeilderWellenfunktionu n,l(r) undsetzen
ψ n,l,m(r, ϑ, ϕ) = u n,l(r)
r
Y l,m(ϑ, ϕ) (61)
sodass u n,l(r)/r derradialen Schrödingergleichungmit H aus (22) genügt
H = p2 r
2m
L2
+ +V(r) (22’)
2mr2 134

mit
p 2 r = −¯h 21
r
∂ 2
r (20’)
∂r2 (derFaktorr auf derrechtenSeitevon p 2 r legtdenAnsatz u n,l(r)/r nahe).
− (62a)
¯h2 d
2m
2
+V(l)
dr2 eff (r)
un,l(r) = En,lun,l(r) V (l) ¯h2 l(l+1)
eff (r) = V(r)+
2m r2 l = 0,1,2,... (62b)
Bisjetztgaltalles füreinbeliebigesZentralpotential;vonnunanbeschränkenwir
unsauf dasH-Atom
V(r) = − e2
4πǫ0r
− ¯h2
2m
d2 e2
−
dr2 4πǫ0r + ¯h2l(l+1) 2mr2
un,l = En,lun,l EinführungdimensionsloserGrößen(zweckmäßigfürdieweitereBehandlung)
ρ = r
εnl =
a0
Enl Eion
2
4πε0¯h
a0 =
me2 = 0.5˚A BohrscherRadius
Eion = e2
8πε0a0
normierteSchrödingergleichung
d2
un,l +
dρ2 = e4m 32π2ε2 = 13.6eV Ionisationsenergie
0¯h2 (63)
(64)
εn,l + 2 l(l+1)
−
ρ ρ2
un,l = 0 (65)
−Vl(ρ) gewöhnlicheDifferentialgleichungzweiterOrdnung,linear,nichtkonstanteKoeffizienten
Übersichtüberqualitatives Lösungsverhalten: ρ ≪ 1und ρ ≫ 1
AusderForderung,dassdie Lösungnormierbar ist, folgt,dass
ρ 2|u nl(ρ)| 2
ρ 2 dρ < ∞ also
135
|u nl(ρ)| 2 dρ < ∞

für jedes Integrationsintervallgelten muss, also insbesondereauch bei untererIntegrationsgrenzenulloderobererGrenze
unendlich.
ρ ≪ 1 (ρ ≈ 0)
Ansatz: u = cρ β (allgemein: u = ∑ ∞ ν=0cνρ β+ν
β mussnicht notwendigerweiseganzzahlig sein
Frobeniusreihe)
β(β−1)ρ β−2 −l(l+1)ρ β−2 = 0 (VernachlässigungderTerme
∼ ρ β und∼ ρ β−1 )
β(β−1) = l(l+1)
Dies ist eine quadratische Gleichung für β, mit den Lösungen β1 = l +1
und β2 = −l. Die zweite Lösung ist für l ≥ 1 aufgrund der Normierbarkeitsforderungauszuschließen.ImFall
l = 0divergiertdieWellenfunktion
für r → 0 wegen des Vorfaktors 1/r, was wir ebenfalls als physikalisch
unvernünftigausschließen.
u n,l(ρ) = cρ l+1 +... für ρ ≪ 1 (66)
ρ ≫ 1 (ρ → ∞)
vernachlässige Terme∼ 1 1
ρ ,∼ ρ2 in (65)
d 2 u
dρ 2 + εu = 0 u = Aei√ ερ +Be −i √ ερ
u = Ae −αρ +Be αρ
ε > 0
ε = −α 2 < 0
ε > 0 ⇒ Lösungsverhaltenwiesin √
ερ/ρ fürgroße ρ
√
nicht normierbar ρ2 2 √
2
dρ sin ε/ρ = dρ sin ερ
Würden wir auch ungebundene Zustände suchen, müssten wir
dieseLösungenmit in Betrachtziehen.
also: ε = −α 2 < 0 u = Ae −αρ (e αρ nicht normierbar)
u n,l(ρ) = Ae −αρ
Lösungsansatz:
∞
l+1
u(ρ) = ρ ∑ cν ρ
ν=0
ν e −αρ = ∑cν
ρ
ν=0
l+ν+1 e −αρ
Einsetzenin dieDifferentialgleichung
∑ ν
cν
für ρ ≫ 1 (67)
∞
(l+ ν+1)(l+ ν)ρ l+ν−1 +2(l+ ν+1)(−α)ρ l+ν +✘✘✘ ✘
α 2 ρ l+ν+1
136
(68)

∑ ν
✘
−✘α ✘✘ 2 ρ l+ν+1 +2ρ l+ν −l(l+1)ρ l+ν−1
e −αρ = 0
cν+1 (l+ ν+2)(l + ν+1)−l(l+1)
−cν 2α(l+ ν+1)−2
ρ l+ν = 0
Die geschweifteKlammer mussverschwinden.
α(l+ ν+1)−1
cν+1 = 2
(l+ ν+2)(l+ ν+1)−l(l+1)
(l+1+ν+1)(l+ ν+1)−l(l+1) =✘✘✘✘ (l+1)l
+(ν+1)(2l +1)+(ν+1) 2 −✘✘✘✘ cν
l(l+1)
= (ν+1)(2l+1+ν+1)
cν+1 = 2
α(l+ ν+1)−1
(ν+1)(2l +1+ν+1) cν
Ausc0 lassensich also alle Koeffizientenberechnen(Nenner= 0).
Fallunterscheidung (n ∈ N)
1) ∀ν : α =
2) ∃ν : α =
1 1
≡
l+ ν+1 n
1 1
=
l+ ν+1 n
⇒ Reihebricht nicht ab
⇒ Reihebricht ab
(69)
(69’)
Im Fall 2) ist die Normierbarkeitvon u(ρ) gewährleistet(Polynom mal abfallende
Exponentialfunktion❀ist integrabel)wie stehtesim Fall 1)?
und
ν ≥ N ≫ l+1
(69)
cν+1 =
2α
ν+l+2 cν
cν = k (2α)ν+l+1
(ν+l+1)!
u(ρ) =
N−1
∑
ν=0
cνρ ν+l+1
e −αρ +k
P1(ρ)
∞ (2αρ)
∑
ν=N
l+ν+1
(ν+l+1) = e2αρ −
P1(ρ), P2(ρ) sindPolynomein ρ
k = (N+l+1)!
(2α) N+l+1 cN (Konstante)
∞
∑
ν=N
(2αρ) l+ν+1
(ν+l+1)! e−αρ
N−1
∑
ν=−(l+1)
u(ρ) = (P1(ρ)−P2(ρ)) e −αρ +ke αρ
137
(2αρ) l+ν+1
(ν+l+1)!
P2(ρ)/k
(70)

❀ falsches asymptotisches Verhalten für ρ → ∞ (widerspricht (67)), außerdemistdie
Normierbarkeitnicht gegeben 33
Fall 1) führt nicht zu einerLösung,esmussalso gelten
αn =
1 1
=
l+ ν+1 n
die Reihe(68) bricht ab, bei
ν = nr = n−l−1
❀ mögliche Energieeigenwerte:
εn = En
Eion
= −α 2 n = − 1
n
En = Enr,l = − Eion
= −
n2 Eigenfunktionen
mit n ≥ l+1 (71)
2 = −
1
(nr +l+1) 2
Eion
(nr +l+1) 2
n = 1,2,3,... nr = 0,1,2,...
u nr,l(ρ) = ρ l+1 P nr,l(ρ)e −ρ/n ,
wobeidasPolynom P nr,l(ρ) vom Grad nr ist.
AusderRekursionsformel(69’) findetman
Pnr,l(ρ) = c0 1+ nr −2ρ
2l +2 n +
nr(nr −1) −2ρ
(2l+2)(2l +3)·2 n
nr! (2l +1)!
ν −2ρ
(2l +1+ν)!ν! n
nr
= c0 ∑
ν=0(nr
− ν)!
Laguerresche Polynome (assoziierte,für µ = 0)
L µ n(x) =
n
∑
ν=0
n+µ (−x) ν
n−ν ν! =
nr!(2l +1)!
Pnr,l(ρ) = c0
(nr +2l+1)!
cnr ,l
L (2l+1)
nr
∞
2
(n+µ)! (−x)
∑
ν=0(n−ν)!(µ+ν)!
ν
ν!
−2ρ
33 EinesderbeidenKriterienreichtnatürlichschon, um denFall 1)auszuschließen.
138
n
+...
(72)
(73)

EinigeEigenschaften der Laguerre-Polynome
Definiton: Ln(x) = ex d
n!
n
dxn(xne −x )
Integraldarstellung: Ln(x) = 1
e
2πi
−xz/(1−z)
(1−z)z n+1dz
C
C: schließt Ursprung ein, z = 1 aus (Umlauf im
math.pos.Sinn)
Rekursionsbeziehungen: (n+1)Ln+1(x) = (2n+1−x)Ln(x)−nLn−1(x)
xL ′ n(x) = nLn(x)−nLn−1(x)
Laguerresche Differentialgleichung:
xy ′′ +(1−x)y ′ +ny = 0
assoziiertelag.DGL xy ′′ +(µ+1−x)y ′ +ny = 0
assoziierte laguerresche
Polynome:
Orthogonalität:
Normierung:
∞
0
Nunist
∞
0
u nr,l(r/a0)
r
L 0 n(x) ≡ Ln(x)
L µ n(x) = ex x −µ
∞
0
u nr,l(r/a0)
r
n!
d n
dx n(e−x x n+µ )
e −x x µ L µ n(x)L µ m(x)dx = (n+µ)!
δnm
n!
r 2 dr = 1
x 2l+1 e −x
L (2l+1)
2 nr (x) dx = (nr +2l +1)!
,
nr!
woraus mit der Normierungsbedingung die Normierungskonstante c nr,l
für den Radialanteil der Wellenfunktion bestimmt werden kann. Die Gesamtwellenfunktionist
unddamit
ψ n,l,m(r, ϑ, ϕ) = u nr,l(r/a0)
r
ψn,l,m(r, ϑ, ϕ) = Rn,l(r)Yl,m(ϑ, ϕ)
nr!
(n+l)!
R n,l(r) = 2
n 2 a 3/2
0
nr = n−l−1 ≥ 0
Y l,m(ϑ, ϕ) n = nr +l+1
139
2r
na0
l
e −r/na0
(2l+1) 2r
L nr
na0
(74)

Niedrigsteradiale Eigenfunktionen:
(1,s)
(2,s)
(2,p)
Symbolik n l nr Eigenfunktionen R n,l(r)
1s 1 0 0 R1,0 = 2 √ e
a3 0
−r/a0
2s 2 0 1 R2,0 = 1
√ 2−
8a3 0
r
a0
2p 2 1 0 R2,1 = 1 √
24a3 0
Graphische DarstellungderRadialfunktionen
140
r
a0 e−r/2a0
e −r/2a0

9.4 Zusammenfassung
9.4.1 Energie, niedrigste Eigenfunktionen,wichtigeQuantenzahlen
En = − Eion
n 2
Eion = 13.6eV
a0 = 0.5·10 −10 m ψ n,l,m (3Quantenzahlen)
E1 = −Eion
ψ1,0,0(r, ϑ, ϕ) = c1e −r/a0
E2 = −Eion/4 ψ2,0,0(r, ϑ, ϕ) = c2
2− r
a0
e −r/2a0
ψ2,1,0(r, ϑ, ϕ) = c3re −r/2a0 cos ϑ
ψ2,1,0(x,y,z) = c3e −√x2 +y2 +z2
/2a0z ψ2,1,±1(r, ϑ, ϕ) = c4re −r/2a0 ±iφ
sin ϑe
ψ2,1,±1(x,y,z) = c4e −√x2 +y2 +z2
/2a0 (x±iy)
Hierbei werden die die Energien und Wellenfunktionen charakterisierendenKennzahlen
wie folgtbezeichnet:
n – Hauptquantenzahl
nr = n−l−1 radiale Quantenzahl = Anzahl der Nullstellen in
r−Richtung
l – Drehimpulsquantenzahl
m – magnetischeQuantenzahl
9.4.2 Graphische Darstellung der Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichten
1s: n=1, l=0, m=0 2s: n=2, l=0, m=0
3s:
n=3, l=0, m=0
3p: n=3, l=1, m=0,1,−1
px,py-Orbitale: Überlagerungenvon m = ±1
141
2p: n=2, l=1, m=0,1,−1
3d: n=3, l=2, m=0,1,−1,2,−2

Wahrscheinlichkeitsdichten:
l=0,m=0
l=0,m=0
n=1
l=1,m=0 l=1,m=+/−1
n=2
n=3 n=3
l=2,m=0
l=1,m=0
l=0,m=0
n=2
n=2
l=1,m=+/−1
n=3
l=2,m=+/−1 l=2,m=+/−2
n=3 n=3
n=3
9.4.3 Entartungbeim Wasserstoffatom
Beschränken wir uns auf das Wasserstoffproblem im Ortsraum, d. h. verzichten
wir auf eine Berücksichtigung des Freiheitsgrads Elektronenspin,
sobildendieOperatoren H,L 2 ,Lz ein vollständigesSystem,d.h.zu jedem
erlaubtenTripel(n,l,m) gibt esgenaueineWellenfunktion ψn,l,m.
n,l,m → eineWellenfunktion ψ n,l,m
DerEnergieeigenwerthängtaber nurvonderQuantenzahl n ab, eristentartet(außerfür
n = 1)
E = En l = 0,1,2,...n−1
m = −l,...0,...l
Entartungsgrad: λ = n−1
∑
(2l+1) = n
l=0
2
142

Diskussion
E = E n,l
E = En
Bedeutungim Potentialbild:
Graphisch:
V eff(ρ) = − 2
ρ
d. h. unabhängig vom Eigenwert des Drehimpulses Lz und
damit von m: notwendige Folge der Kugelsymmetrie des
Potentials–keineRichtungistausgezeichnet(m-Entartung)
Unabhängigkeitvon l: zufällige Entartung(l-Entartung)
= 2 2
−
ρ2 ρ
= 6 2
−
ρ2 ρ
für l = 0
für l = 1
für l = 2
Zweiter Eigenwert im Potentialtopf V eff,l=0 stimmt überein mit erstem Eigenwertim
PotentialtopfV eff,l=1.
Dritter Eigenwert im Potentialtopf V eff,l=0 stimmt überein mit zweitem Eigenwert
im Potentialtopf V eff,l=1 und mit erstem Eigenwert im PotentialtopfV
eff,l=2 , usw.
Diese Entartung ist ” zufällig“, weil die zu verschiedenen Potentialtöpfen
gehörigenEnergienapriorinichtsmiteinanderzutunhabenmüssen.Eine
geringfügigeAbänderungdesZentralpotentials(etwainV(ρ) = −Z/ρ 1+ε ,
ε > 0) führtzur AufhebungdieserEntartung.
Diese Entartung hat zu tun mit der Existenz einer weiteren ErhaltungsgrößedesProblems,deslenzschenVektors(auchLaplace-Runge-Lenz-Vektorgenannt)
a = (L× p) h +m r
r
e 2
4πε0
143

Dabei kennzeichnet der Index h den hermiteschen Anteil des Operators
L× p. 34 In der Literatur wird der lenzsche Vektor i.A. mit dem entgegengesetztenVorzeichengeschrieben.DannweistervomKraftzentrum(einem
BrennpunktderEllipse) zum Perihel.Mit unsererDefinition zum Aphel.
DerklassischelenzscheVektoristparallel zurgroßenHalbachse derBahnellipse.
Seine Erhaltung bedeutet,dass die Bahnellipse ihre Lage im Raum
nicht ändert. Kleine Störungen führen zu Perihel- oder Periastrondrehungen.
Analog führen kleine Störungen des Potentials beim Wasserstoffproblem
zur Aufhebungderzufälligen Entartung.
Eine vergleichbare zufällige Entartung liegt beim dreidimensionalen harmonischenOszillator
vor:
H = p2
mω2
+V(r) V(r) =
2m 2 r2
H = H1+H2 +H3 En = ¯hω n1+n2+n3+ 3
2
= ¯hω 2nr +l+ 3
2
Auch hier sind die klassischen Bahnen Ellipsenbahnen 35 und es gibt eine
zusätzliche Erhaltungsgröße,denTensor
T ik = 1
2m pip k + mω2
2 xix k
(∗) Entartung von Niveaus zu l = 0, l = 2, l = 4,... bzw. l = 1, l =
3, l = 5,...
Zwecks Aufhebung der m-Entartung muss man die Kugelsymmetrie des
Problems stören.Sie bliebe also erhalten, wenn zum Potential eine rein radialsymmetrischeFunktionaddiertwürde.
34 Der” Sicherheit“ halber hingeschrieben. Ist h nötig?
35 Allerdings ist das Zentrum des Kraftfelds nicht der Brennpunkt sondern der Mittelpunkt
derEllipsen.
144
(∗)

10 Näherungsmethodenin derQuantenmechanik
10.1 Übersicht
Nur sehr wenige Systeme können in der Quantenmechanik exakt behandelt
werden – im Wesentlichen einige eindimensionale und kugelsymmetrische
Probleme (wobei letztere auf eindimensionale Probleme zurückgeführtwerdenkönnen)
exaktbehandelbarin 1D:
• Kastenpotentiale
•
1
cosh 2 x –Potential
• HarmonischerOszillator (wichtigsterFall)
exaktbehandelbarekugelsymmetrische Fälle:
• Kastenpotential
• dreidimensionalerharmonischer Oszillator
• H-Atom
Näherungsmethoden
(i) Störungsrechnung
(ii) Variationsverfahren
(iii) WKB-Verfahren
(iv) dembesonderenProblemangepassteVerfahren(tight-binding,Freie-
Elektronen-Näherung,LCAO)
(i) Störungsrechnung:
prinzipiellanwendbar,wennderHamiltonoperatoreineszuuntersuchenden
Systems sich additiv aus dem Hamiltonoperator eines Systems,
dessen Lösung bekannt oder exakt bestimmbar ist, und einer
kleinenStörungzusammensetzt
H = H0 +H S
EigenwerteundEigenvektorenvon H0 seienbekannt.
Der Störoperator HS muss in einem geeigneten Sinn klein sein im
Vergleichzu H0;z. B.kann man sich vorstellen,dass
¯H
S
≪ | ¯H0|
(Erwartungswertvon H S ist istbetragsmäßig sehrvielkleiner als Erwartungswertvon
H0 –in einerhinreichendenZahl vonZuständen)
145

Je nachdem, ob H S von der Zeit unabhängig ist oder nicht, spricht
manvonzeitunabhängigerbzw.schrödingerscherStörungsrechnung
odervonzeitabhängiger bzw. diracscher Störungsrechnung.
Störungsrechnung
(1) zeitunabhängige Störungsrechnung(Rayleigh-Schrödinger)
(a) ohneEntartung
(b) mit Entartung
(a): GegenstanddesInteresses:VerschiebungderEigenwerte
(Änderung der Wellenfunktionen)
(b): Beispiel: H-Atom unter dem Einfluss eines äußeren zeitlich
konstantenelektrischenFelds
H = H0+H S
H S = exE
FürFelder,diekleingegenüberderatomarenFeldstärkesind
gilt:
9 V
Eangelegt ≪ Eatomar =10
cm
¯H
S
=
¯H 0
E angelegt
Eatomar
≪ 1
Energieverschiebungen:Stark-Effekt
AufspaltungderentartetenEigenwerte–AufhebungderEntartung
(2) zeitabhängige Störungstheorie
etwa:AtomunterdemEinflusseineszeitlichveränderlichenäußeren
Feldes
H S (t) = exE(t)
❀ BerechnungvonDipolmoment,Dielektrizitätskonstantenbzw.
Suszeptibilität
unter anderen Bedingungen: Übergänge von einem Niveau
zum anderen(Absorption,Emission)
(ii) Variationsverfahren
wenn Aufspaltung H0 + HS nicht möglich, kann dies das Verfahren
derWahlsein
〈ψ|H|ψ〉
= Minimum
〈ψ|ψ〉
wähle Ansatz für |ψ〉, der von einem Satz von Parametern abhängt,
minimiere o.g.Funktionalbezüglich dieserParameter
Man kann so Eigenwerte und Eigenfunktionen näherungsweise berechnen
(underhält obereAbschätzungenderEigenwerte).
146

(iii) WKB-Verfahren
nach Wentzel,Kramers,Brillouin benannt (esfehltJeffreys!)
Entwicklung nach Potenzen von ¯h, gut bei näherungsweise klassischerSitutation,
quasi-klassischer“ Grenzfall
”
∆V ≈ dV
dx λ
∆V
V ≈
λ
V
dV
dx
≪ 1
❀ manerhältdieerstenquantenmechanischenKorrekturenzurklassischenBewegung
10.2 Zeitunabhängige(schrödingersche)StörungstheoriefürdiskreteNiveausohne
Entartung
Gesucht: EigenwerteundEigenvektorenvon
H|ψn〉 = En|ψn〉 (1)
H = H0+H S
Vorr.:
H0ψ
(0)
n = E (0)
n ψ (0)
n
bekannt
fernerseiendie orthonormiert
ψ (0)
n
ψ (0)
m
ψ (0)
n
= δnm
H = H0+ λH S
En = En(λ) |ψn〉 = |ψn(λ)〉
ungestörtesProblem: λ = 0
gestörtesProblem: λ = 1
Ann: alle Größensindentwickelbar in Taylorreihein λ,um λ = 0
En = En(λ) = E (0)
n + λE (1)
n + λ 2 E (2)
n +... =
|ψn〉 =
ψ (0)
n
+ λ
ψ (1)
n
die|ψn(λ)〉 seienorthonormiert
λ ν+µ = δnm
∑ ν,µ
ψ (ν)
n
ψ (µ)
m
+ λ 2
ψ (2)
n
147
+... =
∞
∑
ν=0
∞
∑
ν=0
E (ν)
n λ ν
ψ (ν)
n
λ ν
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)

❀ EinsetzenderReihenentwicklungin (1) (die Eigenwertgleichung)
H0 ∑ ν
ψ (ν)
n
λ ν + H S ∑ ν
ψ (ν)
n
λ ν+1 = ∑ ν,µ
Koeffizientenvergleich bis zur Ordnung λ 2 :
(8)
(9)
λ 0 :
λ 1 :
λ 2 :
ψ (0)
n ψ (0)
m
ψ (0)
n ψ (1)
m
ψ (0)
n
ψ (2)
m
λ 0 : H0 ψ (0)
n
λ 1 : H0 ψ (1)
n
λ 2 : H0 ψ (2)
n
= δnm
+ n
+
ψ (1)
ψ (0)
m
ψ (1)
n
= E (0)
n
ψ (0)
n
+H S
ψ (0)
n
+H S
ψ (1)
n
ψ (1)
m
E (ν)
n
ψ (µ)
n
λ ν+µ
(9)
(10a)
= 0 (10b)
+
ψ (1)
= 0 (10c)
= E (0)
n
= E (0)
n
ψ (2)
n
ψ (1)
n
ψ (2)
n
+E (2)
n
ψ (1)
n
m
+E (1)
n
ψ (0)
n
+E (1)
n ψ (1)
n
ψ (0)
n
Aufgabe: sukzessiveBestimmungvon E (1)
n ,E (2)
n
,...
, ,...
aus diesenbeidenGleichungssystemen
ψ (2)
n
(11a)
(11b)
(11c)
Indernullten OrdnungsinddieGleichungen automatisch erfüllt.
Die ψ (0)
n sind ein vollständiges ONS jede Lösung kann nach ihnen
entwickeltwerden,insbesondereauch .
Also:
ψ
(1)
n = ∑
l
ψ (2)
n
= ∑ l
c (1)
nl
c (2)
nl
ψ (0)
l
ψ (0)
l
ψ (ν)
n
Störungstheorie1.Ordnung (Terme ∝ λ 1 )
(12a) in (11b):
∑ l
c (1)
nl H0ψ
(0)
l
E (0)
l
ψ (0)
l
+H S
ψ (0)
n
= ∑ l
148
c (1)
nl E(0) n ψ (0)
l
+E (1)
n
ψ (0)
n
(12a)
(12b)

in (10b):
∑ c
l
(1)
ml ψ (0)
n ψ (0)
l + ∑ c
l
δnl (1)∗
nl ψ (0)
l ψ (0)
m = 0
δlm
Multiplikation der ersten Gleichung (von links) mit
chungderzweitenliefert:
E (0)
m c (1)
nm+
ψ (0)
m
H S
ψ (0)
n
c (1)
(13) =⇒ c (1)
nm für n = m
c (1)
nm =
ψ (0)
m
HS
mn+c (1) ∗
nm
ψ (0)
n
E (0)
n −E (0)
m
(14) automatisch erfüllt
(13) für n = m Energie E (1)
n
E (1)
n = ψ (0)
n H S
ψ (0)
n
(14) für n = m c (1)
|ψn〉 = (1+iγnλ)
= e iγnλ
ψ (0)
n
= e iγnλ
nn +c (1) ∗
nn
ψ (0)
n
= E (0)
n c (1)
nm+E (1)
n δnm
ψ (0)
m
und Vereinfa-
(13)
= 0 (14)
n = m (15)
= 0 ⇒ c (1)
nn = iγn
reinimaginär
= Phasenfaktor
+ λ ∑ c
l=n
(1)
nl
+ λ ∑ c
l=n
(1)
nl
ψ
(0)
n + λ ∑ c
l=n
(1)
nl
ψ (0)
l +O(λ 2 )
ψ (0)
l +O(λ 2 )
ψ (0)
l
+O(λ) 2
Phasenfaktorenkönnenbeliebiggewähltwerden,d.h.esdarfohneBeschränkungderAllgemeinheit
(16)
cnn (1) = 0 (17)
gesetztwerden.
149

Störungstheorie2.Ordnung (Terme ∝ λ 2 )
(12a), (12b) in (11c):
∑ c
l
(2)
nl H0
ψ (0)
l
in (10c):
∑ l
ψ (0)
n
E (0)
l
ψ (0)
l
c (2)
ml
ψ (0)
l
+ ∑ l
H S c (1)
nl
+ ∑
l,l ′
+ ∑ l
ψ (0)
l
ψ (0)
l
ψ (0)
l
+ ∑ l
c (1)
nl
= ∑ l
E (1)
n c (1)
nl
∗
c (1)
ml ′
c (2)∗
nl
ψ (0)
m
E (0)
n c (2)
nl
ψ (0)
l
ψ (0)
l ′
= 0
ψ (0)
l
+E (2)
n
ψ (0)
n
DieersteGleichungwirdvonlinksmit ψ (0)
m multipliziert,umKroneckersymbole
und Matrixelemente zu produzieren, die zweite wird unter AusnützungderOrthonormalitätderEigenzuständedesungestörtenProblems
vereinfacht:
H S
n = m:
wobei
E (0)
m c (2)
nm+ ∑ l
c (2)
nm =
H S ml ≡
ψ (0)
m
c (2)
mn+ ∑ l
∑ H
l(=n)
S ml c(1)
nl
ψ (0)
m
E (0)
n −E (0)
m
H S
ψ (0)
l
Einsetzenvon c (1)
nm aus (15) liefert
c (2)
nm = ∑ l=n
H S ml HS ln
ψ (0)
l
c (1)
nl
= E(0) n c (2)
nm+E (1)
n c (1)
nm
+E (18)
(2)
n δnm
c (1) ∗
nl c (1)
ml +c(2)
∗
nm = 0 (19)
− E(1) n c (1)
nm
E (0)
n −E (0)
m
E (0)
n −E (0)
m E (0)
n −E (0)
−
l
(l = n weil c (1)
nn = 0)
(20)
HS nn HS mn
n = m (21)
2
E (0)
n −E (0)
m
H
Gleichung(19)istautomatischerfülltfürn = m.Mansehe S ∗
ml = HS lm :
∑
l=m
H S nl HS lm
E (0)
m −E (0)
n E (0)
m −E (0)
−
l
150
HS mm HS nm
E (0)
n −E (0)
m
2

+ ∑ l=n
l=m
+ ∑ l=n
H S nl HS lm
E (0)
n −E (0)
l E (0)
m −E (0)
l
H S lm HS nl
E (0)
n −E (0)
m E (0)
n −E (0)
−
l
HS nn HS nm
2
E (0)
n −E (0)
m
DerletzteTermdererstenZeileentsprichtdemSummandenfür l = m der
Summe auf der dritten Zeile. Er wird abgezogen, so dass die Summe auf
der dritten Zeile auch auf l = n und l = m beschränkt wird. Der letzte
Term der dritten Zeile entspricht dem Summanden für l = n der Summe
aufdererstenZeile.Erwirdebenfallsabgezogen,wasdieSummationauch
dortauf l = n,mreduziert.AlledreiSummenhabendanndenselbenSummationsbereich,was
zu
∑ H
l=n,m
S nlHS lm
1
E (0)
m −E (0)
n E (0)
m −E (0)
1
+
l E
1
(x−y)(x−z)
(0)
n −E (0)
l E (0)
m −E (0)
l
1
(y−z)(x−z)
1
+
E (0)
n −E (0)
m E (0)
n −E (0)
l
1
(y−x)(y−z)
führt, und hier lässt sich leicht zeigen, dass der Ausdruck in den eckigen
Klammern verschwindet:
1
(x−y)(x−z) +
1
(y−z)(x−z) +
1
(y−x)(y−z) =
✁y−❆z+x− ✁ y−(x−❆z)
(x−y)(x−z)(y−z)
Für n = m erhält man aus (18) dieEnergie E (2)
n
E (2)
n = ∑ l
E (2)
n = ∑ l=n
H S nl c nl (1) = ∑ l=n
HS nl
2
E (0)
n −E (0)
l
AusGleichung (19) wird für n = m
cnn (2) +c (2) ∗
nn
+ ∑ l=n
(1)
cnl 2
cnn (2) = − 1
2 ∑
(1)
cnl l=n
2
HS nl HS ln
E (0)
n −E (0)
l
= 0
+iγ (2)
n
151
= 0 q.e.d.
(22)

γ (2)
n istzunächstbeliebig,kanno.B.d.A.Nullgesetztwerden(miteinerähnlichen
Diskussionwie oben γn).
Endergebnisbis zur zweitenOrdnung (λ = 1):
H S mn =
ψ (0)
m
H S
ψ (0)
n
sind die Matrixelemente des Stör-Hamiltonoperators mit den ungestörten
Eigenvektoren.Dann haben wir
En = E (0)
n + H S nn + ∑ l=n
|ψn〉 =
+ ∑ l=n
1− 1
2 ∑ l=n
HS
ln
2
E (0)
n −E (0)
l
H S ml HS ln
HS nl
2
E (0)
n −E (0)
l
2
E (0)
n −E (0)
m E (0)
n −E (0)
−
l
ψ
(0)
n + ∑
m=n
HS nn HS mn
E (0)
n −E (0)
m
HS mn
E (0)
n −E (0)
m
2
(20)
(23)
ψ
(0)
m
(24)
Die Eigenvektorensind bis zur entsprechendenOrdnung normiert. Terme
erster Ordnung sind einfach unterstrichen, solche zweiter Ordnung zweifach.
TermeersterOrdnungenthalteneinMatrixelementvon H S (multiplikativ).
TermezweiterOrdnungenthaltenzweiMatrixelementevon H S .
InersterOrdnung
En =
ψ (0)
n
H0+H S
ψ (0)
n
=
ψ (0)
n
H
ψ (0)
n
= Erwartungswertd.Hamiltonoperatorsim ungestörtenZustand
Für den Grundzustand (n = 1) ist der zweite
störungstheoretische Term
der Energie immer negativ , d.h., wenn die Störung die
E (0)
1 −E(0)
l < 0
Grundzustandsenergie in erster Ordnung unverändert lässt, führt sie in
niedrigster nichtverschwindender (also zweiter) Ordnung immer zu einer
Energieabsenkung.
H
AnwendbarkeitderStörungsrechnung:
S nl
E (0)
n −E (0)
≪ 1
l
(Reihe muss aber nicht konvergieren, (23) und (24)
könnentrotzdemguteNäherungensein)
BeivergleichbarerGrößenordnungvonMatrixelementenhabennaheEnergieniveaus
einengrößerenEinflussauf die Verschiebungvon E (0)
n als ferne
(wegenderEnergienenner).
152

ZweiteOrdnung: Falls ein wichtiges (großes Matrixelement oder kleiner
Abstand) Niveau E (0)
m oberhalb von E (0)
n liegt, so wird
E (0)
n nach unten und E (0)
m nach oben gedrückt – die Niveaus
stoßen sich ab. Für die erste störungstheoretische
Ordnunghaben wir keineanaloge Aussage.
Beispiel:AnharmonischerOszillator
V(x) = mω2
2
x 2 + αx 3 + βx 4
(schwache Anharmonizität α¯x ≪ mω 2 , βx 2 ≪ mω 2 ,oft: βx 2 ≪ α¯x)
vonNullverschiedeneMatrixelementevon x3 :
3
x
n−3,n = x 3
n,n−3 =
3
¯h 2 n(n−1)(n−2)
mω 8
3
x
n−1,n = x 3
n,n−1 =
3
¯h 2 9n3 mω 8
Diagonalelemente x3 = 0 in erster Ordnung keine Energiever-
n,n
schiebung
E (2)
n = − 15
4
α 2
¯hω
¯h
3
n
mω
2 +n+ 11
30
daderTerm βx 4 beischwacherAnharmonizitäti.A.kleineristals αx 3 ,istes
sinvoll, hiernur dieEnergiekorrekturersterOrdnungzu berücksichtigen
also
x 4
n,n =
2 ¯h 3 2
2n +2n+1
mω 4
˜E (1)
n = 3
2 β
¯h
2
n
mω
2 +n+ 1
2
En = ¯hω
n+ 1
2
− 15
4
+ 3
2 β
α2
¯h
¯hω mω
¯h
mω
3
n 2 +n+ 11
2
n 2 +n+ 1
2
30
die beiden letzten Terme sind bei schwacher Anharmonizität in der Regel
vonderselbenGrößenordnung.
OffensichtlichkanndieStörungstheoriebeigegebenenWertenvon αund β
nichtfüralle ngutsein,siewirdfürgroßenschlechter(dadieKorrekturen
derEnergieschnellerwachsenalsdieseselbstundhöhereOrdnungennoch
größerePotenzenvon n produzieren).
153

10.3 Zeitunabhängige Störungstheorie mitEntartung
Entartung: zum Hamiltonoperator des ungestören Problems gibt es meh-
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
rereEigenfunktionenmit demselbenEnergieeigenwert
H0ψ
(0)
nα = E (0)
n ψ (0)
nα
α = 1,2,... fn (25)
Eigenvektorenzu verschiedenenEigenwertensindstetsorthogonal.
Eigenvektorenzum selbenEigenwertkönnenorthogonalgewähltwerden.
ψ (0)
nα
ψ (0)
mβ
GestörtesProblem:
H = H0+ λH S
(SchmidtschesOrthogonalisierungsverfahren)
= δnm δαβ
Entartungi.A.ganzoderteilweiseaufgehoben,d.h.
(26)
H|ϕnα(λ)〉 = Enα(λ)|ϕnα(λ)〉
(27)
↑
auch von α abhängig
also: Enα(λ) = E (0)
n + λE (1)
nα +... (28)
analog StörungsrechnungohneEntartung
Für die Eigenvektorenfunktioniert ein vergleichbarer Ansatz nicht, da die
nullte Ordnungnicht eindeutigdefiniertist:
|ϕnα(λ)〉 = + λ +... (29)
ψ (0)
nα
ψ (1)
nα
↑
Welches ψ (0)
nα sollteman hier nehmen?Esstehen
verschiedeneLinearkombinationen
fn
∑
β=1
cn αβψ
(0)
nβ
zur Verfügung,diealle Eigenvektorenzu E (0)
n sind!
Nach Aufhebung der Entartung, also für λ = 0, sind die Eigenvektoren
eindeutig;dann aber istauch derGrenzwertfür λ → 0eindeutig:
lim
λ→0 |ϕnα(λ)〉
= ϕ (0)
nα
(30)
Dieser Grenzwert kann
aber verschieden sein von einer ursprünglich ge-
troffenenWahl in(29).ZunächstsindalsodieseEigenvektoren
ψ (0)
nα
zu finden,diezum Störoperator HS passen.
: adaptierteEigenvektoren
ϕ (0)
nα
154
ϕ (0)
nα

wo
|ϕnα(λ)〉 =
|ϕnα(λ)〉 = ∑ β
ϕ (0)
nα
cnαβ ψ (0)
nβ
+ λ
ϕ (1)
nα
+... (31)
Einsetzenvon (28) und(31) in (27) undEntwicklungbis zur Ordnung λ1 :
H0+ λH S
(0)
ϕ nα + λϕ
(1)
nα +... =
E (0)
n + λE (1)
ϕ (0)
nα +... + λϕ
(1)
+...
H0ϕ
(0)
nα
E 0 nϕ
(0)
nα
+ λH S
ϕ (0)
nα
+ λE (1)
nα
ϕ (0)
nα
+ λH0
+ λE (0)
n
ϕ (1)
nα
ϕ (1)
nα
UnterstricheneTerme: fallen heraus
Linksmultiplikationmit ψ (0)
nγ
nicht
bekannt
nα
nα
(32)
+O(λ 2 ) =
+O(λ 2 ) (33)
ϕ (0)
nγ
, der ist gar nicht
λ ψ (0)
nγH
S
ϕ (0)
nα + ψ (0)
nγH0ϕ
(1)
nα =
λE (1)
nα ψ (0)
nγ
ϕ (0)
nα +E
cnαγ [(32)]
(0)
n ψ (0)
nγ
ϕ (1)
nα
UnterstricheneTerme: fallen herauswegen ψ (0)
nγH0
= E (0)
n ψ (0)
nγ
(Eigenwertgleichung mit bra-Vektoren geschrieben,
H0 isthermitesch)
ψ (0)
(34)
Einsetzenvon (32):
∑ β
nγH
S
ϕ (0)
nα
ψ (0)
nγH
S cnαβ ψ (0)
nβ
∑ β
wo H S n,γβ =
= E (1)
nα cnαγ
= E (1)
nα cnαγ
H S n,γβ −E(1)
nα δγβ cnαβ = 0
ψ (0)
nγH
S
ψ (0)
nβ
(35) ist eine Eigenwertgleichung für die Matrix HS n,γβ (definiert im durch
die zu E (0)
n gehörenden Eigenfunktionen von H0 aufgespannten Unterhilbertraum)[αnummeriertEigenvektoren,
βderenKomponenten]
155
(35)

(35): fn lineare Gleichungen fn linear
unabhängigeEigenvektoren
cn1β , cn2β ,... cnfnβ
β = 1,... fn
fn Eigenwerte
E (1)
n1 ,E(1) n2 ,... E(1)
das Eigenwertproblem (35) liefert die Verschiebungen der Energieeigenwertein
niedrigsterstörungstheoretischerOrdnung,d.h. HS nn aus Gleichung(23)
wirddurch dieseWerteersetzt.
Die Störungstheorie in höheren Ordnungen erfolgt dann formal wie die
Störungstheorie ohne Entartung, nur dass die Summationen über den Eigenwert-unddenEigenvektorindexerfolgenundfürentarteteEigenwerte
nicht nur ein Summand (l = n) weggelassenwird, sondern alle Summanden,dieeinenEnergienennerNullproduzierenwürden
36
(was auch als l = n formulierbar ist;aber statt ∑ haben wir ∑
l=n
nfn
f l
∑
l=n α=1
Von Null verschiedene Lösungen des Eigenwertproblems (35) gibt es nur,
falls (wir unterdrückendenIndexn)
det H S γβ −E(1)
δγβ = 0 (36)
Säkulargleichung
Liefert die Säkulargleichung Mehrfachwurzeln, so ist die Entartung nicht
vollständig aufgehoben und die Störungstheorie zweiter Ordnung wird
komplizierter.
Anmerkung: H S kommutiert im Allgemeinen nicht mit H0; dass H S in
einem Hilbertraum gleichzeitig mit H0 diagonalisierbar ist, widerspricht
nicht dieser Tatsache. Denn in einem Unterhilbertraum von Eigenfunktionen
zur selben Energie ist H0 effektiv identisch mit einem Vielfachen des
Einheitsoperators,undderistmitallenOperatorensimultandiagonalisierbar.
10.3.1 BeispielzurzeitunabhängigenStörungsrechnungmitEntartung:
Stark-Effekt beim H-Atom
H-Atomin zeitlich konstantemelektrischemFeld
E = Fez
(F > 0)
36 Da H S n,α;m,β im durch n = m definierten Unterraum diagonal ist, bleiben die Formeln (23),
(24) in gewissem Sinn richtig, nur ist immer, wenn E (0)
n = E (0)
l (also n = l und E (0)
n,α =
E (0)
m,β α = β) im Zähler H S n,α,m,β null, da HS indiesemUnterraum diagonalist.
156
)

H0 = p2
2m
− e2
4πε0r
H S = eφ(x) = −eFz (E = −∇φ = +∇(Fz) = Fez)
(Elektron: e = −|e|)
DerGrundzustandist(bei VernachlässigungdesSpins)nicht entartet:
da
E1 = E (0)
1 +
ψ1,0,0H
S
ψ1,0,0
ψ1,0,0 = 1
√ 4π
2
a0
3 e−r/a0
ψ1,0,0H
S
ψ1,0,0 = 0
f(r)zdV = f(r)r cos ϑr 2 dr sin ϑdϑdϕ
π
0
cos ϑ sin ϑdϑ = 1
2
π
0
sin 2ϑdϑ = 0
die Energie des Grunzustands wird nicht linear mit F verschoben; in
zweiter störungstheoretischer Ordnung: quadratisches Verhalten in F,
Verschiebungnach unten
ErsterangeregterZustand(n = 2):vierfache Entartung; Eigenfunktionen
in derOrtsdarstellung:
ψ (0)
1 = ψ2,0,0 = R2,0(r)
ψ (0)
2 = ψ2,1,0 = R2,1(r)
ψ (0)
3/4 = ψ2,1,±1 = R2,1(r)
Radialfunktionen:
R2,0(r) = 1
8a0 3
R2,1(r) =
1
24a0 3
2− r
r
a0
1
√ (l = 0)
4π
√
3
√ cos ϑ =
4π 1
r R21(r)
√
3
√ z (l = 1)
4π
√
3
√ sin ϑe
8π ±iϕ = 1
√
3
√ (x±iy)
8π
a0
e −r/2a0
e −r/2a0
r R21(r)
Zur Berechnung der Energieaufspaltung E (1)
2α benötigen wir 4·4 = 16 Matrixelemente
H S αβ =
ψ (0)
α H S
ψ (0)
β = ψ (0) ∗
α (x)(−eFz) ψ (0)
β (x)dV
Nunist
x n y m z l f(r)dV = 0
157

falls einerderExponentenn,m,l ungerade ist.
❀ Da H S den Faktor z enthält, können nur Matrixelemente von Null verschieden
sein, die einen weiteren Faktor z enthalten; eine der Eigen-
oder ψ(0)
4
sein, das würde ungerade Potenzen von x bzw. y einführen, und nicht
ψ (0)
2 , daswürde z3 produzieren.
funktionen muss also ψ (0)
2 sein. Die andere kann nicht ψ (0)
3
❀ einzigevon nullverschiedeneMatrixelemente:
H S 12 = HS 21 = −eF√ 3
4π
Symmetriegründeimplizieren
f(r)z 2 dV = 1
3
f(r)z 2 dV = 4π
3
H (S)
12
H S 12 = 3eFa0 = H S 21
Säkulargleichung:
R2,0(r)R2,1(r)
r
f(r)
z
2 dV
f(r) x 2 +y 2 +z 2 dV = 1
∞
eF
= −√ 3
=
ρ = r
−
a0
eF
√
3
f(r)r 4 dr
0
∞
R2,0(r)R2,1(r)r
0
3 dr
∞
1
√ 8·24
∞
−E (1) 3eFa0 0 0
3eFa0 −E (1) 0 0
0 0 −E (1) 0
0 0 0 −E (1)
E (1)
1 = 3eFa0 < 0
E (1)
2
= E(1)
3
1
a0 3
0
3
f(r)r 2 dV
ρ ρ
−
(2−ρ)e 2 −
ρe 2 a0 4 ρ 3 dρ
= − eFa0
(2ρ
24 0
4 − ρ 5 )e −ρ dρ = 3eFa0
2·4!−5! = (2−5)·4! = −24·3
= 0
E (1)
4 = −3eFa0 > 0
=
E (1) 2 E (1) 2
−(3eFa0) 2
!=
0
❀ dasvierfach entarteteNiveau spaltetin dreiTermeauf
E21 = E (0)
2 +3eFa0 ϕ (0) 1
1 = √ ψ
2
(0)
1 + ψ(0)
2
158

E22 = E23 = E (0)
2
E24 = E (0)
2 −3eFa0
Termschema:
ϕ (0)
2
= ψ(0)
4
ϕ (0)
4 = 1 √ 2
, ϕ(0)
3 = ψ(0)
3
ψ (0)
1 − ψ(0)
2
---- Terme ∝ F 2
(quadratischer Stark-Effekt)
m = ±1spaltetwegen
ψ (0)
3/4 (z) = ψ(0)
3/4 (−z)
nicht auf
Der lineare Stark-Effekt kommt durch die Coulomb-Entartung zu Stande.
Ist die l-Entartung aufgehoben (z. B. beim Na-Atom, wasserstoffähnlich,
aberkeinreinesCoulomb-Potential),sotrittnurder(sehrvielschwächere)
quadratischeEffektauf.
Im strengenSinn gibt esunterdemEinflusseineshomogenenelektrischen
Feldes keine stationären Zustände, da beliebig kleine Energien möglich
sind:dasElektronkann durchdenPotentialwall tunneln.
Bei relativ schwachen Feldern (F ≪ Eatomar) ist jedoch diese Wahrscheinlichkeit
soklein,dassman mit stationärenZuständenrechnenkann.
159

10.4 Zeitabhängige (diracsche)Störungsrechnung
H = H0+H S (t) (37)
Störoperatorzeitabhängig esgibtkeinestationärenLösungenmehr
i¯h| ˙ψ〉 = H|ψ〉 (38)
hat keineLösungenderForm
i −
|ψ(t)〉 = e ¯h Ent
|n〉 H|n〉 = En|n〉
Ist die Störung H S (t) klein, so kann man den Effekt der Störung so interpretieren,
dass Übergänge von einem Eigenzustand von H0, etwa |n〉,
in einen anderen stattfinden, etwa |m〉. Die Aufgabe der Störungstheorie
wird es dann sein, Übergangswahrscheinlichkeiten für solche Übergänge
in Abhängigkeitvon derZeitzu bestimmen.
VollständigkeitderEigenzuständedesungestörtenProblems
H0|n〉 = En|n〉 ∑|n〉〈n| = 1 (39)
Entwickelbarkeitvon |ψ(t)〉 nach den|n〉
− i
|ψ(t)〉 = ∑cn(t) ⏐
e ¯h
n ⏐
führt zu einfacherer
DGL für die cn(t)
Ent
|n〉 = ∑ ˜cn(t)
⏐
|n〉
n ⏐
führt zu einfacher aus-
(40)
sehenderEntwicklung
Einsetzenvon (40) in die Schrödingergleichung(38):
i¯h ∑ n
i − ˙cne ¯h Ent
|n〉+i¯h ∑
n
= H0 ∑ n
cn
i −
cne ¯h Ent S
|n〉+ H (t) ∑
n
− i
¯h En
i −
e ¯h Ent
|n〉
i −
cne ¯h Ent
|n〉
H0|n〉 = En|n〉 unterstricheneTermeentfallen
Skalarproduktmit 〈m|
i −
i¯h ˙cm e ¯h Emt
= ∑
n
i −
cn e ¯h Ent S
〈m|H (t)|n〉
HS mn(t)
Def: Übergangsfrequenzen
ωnm = 1
¯h (En −Em) (41)
160

˙cm(t) = 1
i¯h ∑ n
H S mn(t) e −iωnmt cn(t) (42)
BisjetztwurdekeineNäherunggemacht.
(42) ist einfach die Schrödingergleichung in der Darstellung bezüglich einer
aus den Energieeigenvektorendes ungestörten Problems bestehenden
Basis.
In Operatorform erhält man Gleichung (42) durch Transformation in das
Wechselwirkungsbild:
⇒ i¯h ˙˜ψ
i −
|ψ〉 = e ¯h H0t
| ˜ψ〉
= ˜
H S (t)| ˜ψ〉 mit ˜
H S (t) = e i
¯h H0t H S (t)e − i
¯h H0(t)
| ˜ψ(t)〉 = e i
¯h H0t |ψ(t)〉 = ∑ n
Integrationvon(42) liefert:
cm(t) = cm(0)+ 1
i¯h ∑ n
t
Wir betrachtenverschiedeneFälle:
i) Störungkurzzeitig wirksam
ii) Störungbricht zeitlich nicht ab
0
cn(t)|n〉
a) plötzliches stoßartigesEinschalten
b) adiabatisches Einschalten
10.4.1 Störungkurzzeitig wirksam
H S (t) = 0 nur für 0 ≤ t ≤ T
(43)
dτ H S mn(τ) e −iωnmτ cn(τ) (44)
Physikalischwichtige Frage: System sei für t < 0 im Zustand |l〉; wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich
für t > T im Zustand|m〉 befindet?
Lösung von (44) durch Iteration: ist die Störung klein, so werden sich die
cm(t) nur langsam ändern; als Näherung kann man daher auf der rechten
Seitevon (42) cn(τ) = cn(0) setzen:
c (1)
m (t) = cm(0)+ 1
i¯h ∑ n
ZweiterSchritt:
c (2)
m (t) = c (1)
m (0)+ 1
i¯h ∑ n
t
0
t
0
dτ H S mn(τ) e −iωnmτ cn(0) (45)
dτ H S mn(τ) e −iωnmτ c (1)
n (τ),
161

usw. (sukzessiveIteration)
Füreinehinreichend kleineStörungist (45) ausreichend. 37
System,dasbei t = 0im Eigenzustand|l〉 ⇒ cn(0) = δ nl
(45) c(1) m (t) = δml + 1
t
dτ H
i¯h 0
S ml (τ)e−iωlmτ 0 ≤ t < T
c (1)
m (t) = c (1)
m (T) t ≥ T
(46)
Die Wahrscheinlichkeit, bei t ≥ T das System im Eigenzustand |m〉 = |l〉
zu finden,istin ersterNäherung
P l→m =
c (1)
m (T) 2
= 1
¯h 2
T
0
S −iω
Hml (τ)e lmτ
dτ
[Dass cm(t) = const. und damit P l→m konstant für t > T ist ein exaktes
Ergebnis,siehe(44)].
Für die Berechnung von |cl(t)| 2 = 1− ∑ c
m=l
(1)
m (t) 2
2
(47)
reicht die erste Ord-
nung der Störungstheorie [nach Gl. (46)] nicht aus, wie man durch Nachrechnenleicht
feststellt.(Aberman bekommtesjaohnehinmithilfe derErhaltung
derGesamtwahrscheinlichkeit.)
Falls das Integral in (46) für H S (t) = 0 für beliebige Zeiten konvergiert,
kann auch T → ∞ genommenwerden.
Allgemein lässt sich (47) mithilfe einer Fouriertransformation kompakter
darstellen
ˆH S
1 ∞
ml (ω) ≡ H
2π −∞
S ml (t)eiωtdt = 1
T
H
2π 0
S ml (t)eiωtdt (48)
P l→m = 4π2
¯h 2
ˆH S ml (ω
ml)
2
(49)
Beispiel: Rückstoßauf einen harmonischen Oszillator bei der Emission eines
γ−Quants (Modellfür denMößbauer-Effekt)
Anfangszustand=Grundzustand
H S (t) = −k(t)x = − Eγ
c δ(t)
k(t)
¯h
2m0ω (b† +b)
x
37 (k)
Der obere Index der c m (t) kennzeichnet hier nicht eine Korrektur einer Übergangsamplitude
sondern die vollständige Amplitude bis zur Ordnung k einschließlich. Die Korrektur
zweiter Ordnungistalso c (2)
m (t)−c (1)
m (t).
162

ˆH S
1 ∞
m0 (ω) = − dt δ(t)e
2π −∞
iωt
P0→m = 4π2
¯h 2
1
ˆH S m0 (ω)
¯h
2
= α 2 δm1
Eγ
c √ 2m0¯hω
α
〈m|b † +b|0〉
δm1
Alsoerhaltenwir näherungsweise: Exaktgilt:
P0→1 = α 2
P0→1 = α 2 e −α2
P0→m = 0 m ≥ 2 P0→m = α2m
m! e−α2
P0→0 = 1−α 2
FürkleineStörungen,d.h.
α 2 =
Eγ 2
2m0c 2 ¯hω0
= E Rückst.klass.
¯hω0
≪ 1
P0→0 = e −α2
¯h α
= −
2π δm1
habenwirÜbereinstimmung. 38 TypischeZahlenwerte:ER = E Rückst. klass. =
0.002 eVfür 57 Fe, Eγ = ¯hω0 = 14.4 keVfür 57 Fe.
α genügendklein Oszillator bleibt mit überwältigender Wahrscheinlichkeit
im Grundzustand: ” rückstoßfreieEmission“
( Frequenz des Photons sehr präzise bestimmt,
nicht durchvariablen Impulsübertragmodifiziert)
10.4.2 Störungbrichtzeitlich nichtab
10.4.2.1 Plötzliches Einschalten
a) MonochromatischeStörung
α ist sehr klein, wenn m0 die MassedesGitterseines
makroskopischenKristalls ist.
H S (t) = Ae −iωt + A † e iωt
A zeitunabhängig (monochromatisch: nureineFrequenz ω)
Beispiel: Atomin ebenerelektrischerWelle
x = r−rAtom
H S (t) = −exE(x,t) = −exa ⏐⏐
Fe i(kx−ωt) +F ∗ e −i(kx−ωt)
Polarisationsvektor
38Berechnung der klassischen Rückstoßenergie: Impulserhaltung: |PR| =
Pγ , Energieerh.
2m0ER = P2 R = P2 γ = E2 γ /c2 ⇒ ER = E2 γ /2m0c2 .(Ann.: VorderEmissionP = 0, E = 0.)
163
(50)

(höherealsDipolnäherungerfordertBerücksichtigungdesMagnetfelds)
A = −exa e ikx F
Dipolnäherung: VernachlässigungderOrtsabhängigkeitindenExponentialfunktionen,diein
A bzw. H S (t) auftreten.
VerschwindenÜbergangswahrscheinlichkeiteninDipolnäherung,so
muss man, um ein aussagefähiges Ergebnis zu bekommen, die Exponentialfunktion
entwickeln; als nächstes wären Quadrupolterme zu
berücksichtigen
AQ = −exa (ikx)F
(und dasMagnetfeld).
LösenderSchrödingergleichungin ersterOrdnung nach (44)
c (1)
m (t) = cm(0)+ 1
i¯h ∑ n
t
0
dτ H S mn(τ)e −iωnmτ cn(0)
Mit cn(0) = δ nl
und H S mn(t) = Amn e −iωt + A ∗ nm e iωt , Amn = 〈m|A|n〉 ,
wird daraus für m = l
c (1)
m (t) = 1
t
i¯h
= 1
i¯h
Dipolnäherung
= A ml
i¯h
A ml = −eFa〈m|x|l〉
H
0
S ml (τ) e−iωlmτ dτ
t
0
A ml e i(ω ml−ω)τ + A ∗ lm e −i(ω lm−ω)τ
dτ
ei(ωml−ω)t −1
i(ωml − ω) + A∗ lm
i¯h
e −i(ω lm−ω)t −1
(−i)(ω lm− ω)
Matrixelemente des Ortsoperators spielen eine entscheidende
Rolle: x ml = (x ml, y ml, z ml)
angenäherteResonanz (ein Nennerklein)
1) Absorption:
ω ml ≈ ω ⇒ ω lm− ω ≈ −2ω
¯h ω ml = Em−E l ≈ ¯hω Em ≈ E l +¯hω
(51)
Energie des Atomsystems nach dem Übergang um ¯hω größerals
vorher, einLichtquant wird absorbiert
zweiter Termhat großenNenner vernachlässigen
|e ix −1| 2 = |e ix 2(e ix 2 −e −ix 2
2isin x
)|
2
2 = 4sin
164
2 x
2

P l→m(t) = |c (1)
m (t)| 2 = |A ml| 2
¯h 2
2) Emission:
4sin 2 ω ml−ω
2 t
(ω ml − ω) 2
ω lm ≈ ω (ω ml − ω ≈ −2ω)
E l −Em ≈ ¯hω Em ≈ E l −¯hω
(52)
EnergiedesAtomsystemsnach demÜbergangum ¯hω kleinerals
zuvor, ein Lichtquantwird emittiert
P l→m(t) = |A lm| 2
¯h 2
4sin 2 ω lm−ω
2 t
(ω lm− ω) 2
Sei Ei diegesamteAnfangsenergie(= initial energy)
E f diegesamteEndenergie(= finalenergy)
von AtomsystemplusStrahlungsfeld
sohaben wir bei
undbei
Absorption: Ei = ¯hω+E l (+Es) E f = Em (+Es)
Emission: Ei = E l (+Es) E f = ¯hω+Em (+Es)
(53)
Es ist die Energie des Strahlungsfelds aller anderen Photonen (die
nicht an dem betrachteten Absorptions- oder Emissionsprozess beteiligtsind).
Absorption: E f −Ei = ¯h(ω ml − ω)
Emission: E f −Ei = ¯h(ω−ω lm)
beideFormelnlassen sich in einezusammenfassen:
Diskussion:
Pi→f(t) =
Afi 2 4sin2 Ef−Ei 2¯h t
(Ef −Ei) 2
(54)
exakte Resonanz ❀ Anwachsen der Übergangswahrscheinlichkeit
mit t 2
P i→f = 1
¯h 2
Afi
2 t 2 ,
sonst: Oszillieren in derZeit
(Für exakte Resonanz versagt die Störungsrechnung auch für kleine
Feldstärkennach einigerZeit.)
OszillierenderÜbergangswahrscheinlichkeit ⇒ OszillierenderEnergie
165

Absorption
|cn| 2 En
E ≈ 〈ψ|H0|ψ〉 = ∑
n
≈ El(1− c
տ
Weglassender Niveaus,die die Resonanzbedingungnicht
erfüllen
(1)
m 2
)+Em c (1)
m 2
= El +(Em−E l)
c (1)
m 2
E = E l +(Em−E l) |A ml| 2
¯h 2
4sin 2 ω ml−ω
2 t
(ω ml − ω) 2
(55)
Die Energie pendelt zwischen Atomsystem und Strahlungsfeld hin
undher (wiebeigekoppeltenPendeln).
FüreinenklassischenOszillator,dererzwungeneSchwingungenunter
einer monochromatischenäußerenKraft durchführt
m¨x+mω 2 0x = Ae −iωt + A ∗ e iωt
erhält man im Rahmen einerrotating-wave-Näherung
x = z(t)e −iω0t +z ∗ (t)e iω0t
als Ausdruckfür diezeitabhängige Energie
E(t) = 2mω 2 0|z| 2 = 2 |A|2
m
z(t) langsamveränderlich
(vernachlässige ˙z im Ausdruck
für ˙x und ¨z im Ausdruckfür
¨x)
2 ω0−ω
sin 2 t
, 2
(ω0− ω)
was einegroßeÄhnlichkeit mit (55) aufweist.
Übergangswahrscheinlichkeitfür großeZeiten
Für große Zeiten können wir die Formel (54) mithilfe einer Darstellung
der δ−Funktionumformen;wir haben
δ(x) = 1
π lim
k→∞
∞
−∞
sin 2 kx
kx 2
sin 2
kx
∞
dx =
kx2 y=kx −∞
sin 2 y
dy = π
y2 166
(56)

Pi→f(t) =
Afi 2 4sin 2 Ef−Ei 2¯h t
(Ef −Ei) 2 = 4 Afi
2 t
2¯h
sin 2 (E f −Ei) t
2¯h
(Ef −Ei) 2 t
2¯h
−→ πδ(Ef −Ei)
t→∞
ÜbergangswahrscheinlichkeitproZeiteinheit(Übergangsrate)
w i→f = dP i→f
dt
= 2π
¯h
goldenrule,goldeneRegel (Fermi)
(sinnvoll offenbar nuruntereinemIntegral)
|A fi| 2 δ(E f −Ei) (57)
❀ SuperpositionvonWellen,wodieIntegrationüberdieoszillatorische
Funktion (54) im Mittel Null ergibt, außer wenn
E f = Ei ist
b) inkohärenteWelle
(schwarzer Strahler,Hg-Lampe)
inkohärent: Korrelationszeit für Wellenamplitude ≪ reziproke
DämpfungskonstantedesAtomsystems
Phasenbeziehungen spielen bei der Überlagerung
keineRolle
wichtigeGröße:Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(ω)
ρ(ω)dω = Wahrscheinlichkeit,dassFrequenzderamÜbergangbeteiligtenWelle
zwischen ω und ω+dω
Absorption, Dipolnäherung
w l→m = 2π
¯h |A ml| 2 δ(¯h(ω ml − ω)) = 2π
¯h 2 |A ml| 2 δ(ω ml− ω) (58)
|A ml| 2 = e 2 FF ∗ |〈m|ax|l〉| 2
Intensitäteinermonochromatischen ebenenWelle: I = 2cε0FF∗
cε0 =
ε0
µ0
inkohärenteWelle:
I(ω) = 2c ε0 |F(ω)| 2 ρ(ω) (59)
ÜberlagerungderBeträge(58) mit denGewichten ρ(ω)
w l→m =
2π
¯h 2 e2 |F(ω)| 2 |〈m|ax|l〉| 2 δ(ωml− ω) ρ(ω)dω
= 2π
¯h 2 e2 |F(ωml)| 2 |〈m|ax|l〉| 2 ρ(ωml) wl→m = πe2
¯h 2 |〈m|ax|l〉|
cε0
2 I(ωml) (60)
167

Analog für (dieinduzierte)Emission
wl→m = πe2
¯h 2 |〈m|ax|l〉|
cε0
2 I(ωlm) (61)
HierspielendieMatrixelementedesOrtsoperatorseinewichtigeRolle:
〈m|ax|l〉 = a〈m|x|l〉 = ax ml = ax x ml +ayy ml +azz ml
Übergangsrate ∝ IntensitätbeiAbsorption
induzierterEmission
zusätzlich: spontaneEmission – Rate ähnlich berechenbar, aber
Quantisierung des elektrischen
Feldes
Auswahlregeln
In der hier betrachteten ersten störungstheoretischen Näherung findennursolcheÜbergängestatt(
” sinderlaubt“),beidenendieMatrixelemente
x ml = 〈m|x|l〉
von nullverschiedensind.
x ml = 0 Übergang m → l verboten
(beinhaltet Dipolnäherung)
Matrixelemente m axe ikx l können= null sein
z.B. können Quadrupolübergänge 〈m|xy|l〉 erlaubt sein, sie haben
aberimVergleichzuerlaubtenDipolübergängengeringeÜbergangswahrscheinlichkeiten:Intensitätenv.Quadrupolübergängensindum
einen Faktor ( aat
λ )2 kleiner als Intensitäten v. Dipolübergängen, also
≈ (10 −4 ) 2 = 10 −8 malkleiner
Wann sindDipolmatrixelemente null?
Beispiele:
i) harmonischer Oszillator
¯h
xml = 〈m|x|l〉 = mb
2m0ω0
†
+bl
¯h
=
2m0ω0
√ l+1 δm,l+1+ √ l δ m,l−1
Dipolübergängenurzwischen benachbarten Niveaus
m = l±1
168

EskannnurdieEnergieaufgenommenbzw.abgegebenwerden,
die der Frequenz ( ” eines Quantums des“) harmonischen Oszillatorsentspricht.
Die Bedingungm = l±1 nenntman Auswahlregel.
ii) ZentralsymmetrischesFeld
Eigenfunktionenin Ortsdarstellung
ψ nlm(r, ϑ, ϕ) = R nl(r)Y l,m(ϑ, ϕ)
x = rer(ϑ, ϕ)
xn,l,m,n ′ ,l ′ ,m ′ =
·
r 2 drR nl(r)rR n ′ l ′(r) (62)
er(ϑ, ϕ)Y l,m(ϑ, ϕ) Y e ′ ,m ′(ϑ, ϕ)dΩ
erstesIntegralin(62) – keineallgemeine Aussagen
(❀i.A. =0)
zweitesIntegralin (62): RekursionsformelnfürY l,m
= 0 nur,wenn
l ′ −l ≡ ∆l = ±1 m ′ −m = ∆m =
AuswahlregelnfürZentralfeld
169
±1
0
(63)

Coulombfeld (l-Entartung) keine l-Entartung
l-Entartung E1 → E2,0 und E1 → E2,1 nicht unterscheidbar
(E2,0 = E2,1)
allgemeines zentralsymmetrischesPotential:
E1 → E2 erlaubt
E1 → E3 verboten(lt. Skizze)
Folge: bei einem hochangeregtem Atom (Rydberg-Zustand) erfolgt
die Rückkehr in den Grundzustand nicht instantan sondern
über Zwischenzustände
(insbesonderewenn l = n−1, wirdderenAnzahl groß)
allgemeine Aussagen zum Verschwinden von Matrixelementen liefert
oftdieGruppentheorie(d.h.Symmetrieüberlegungen)
(s. z.B.Laudau-Lifschitz, Bd.3)
10.4.2.2 AdiabatischesEinschalten(quantenmechanischeDispersion)
Ziel: Berechnung der zeitabhängigen Polarisation eines Mediums in einer
elektromagnetischen Welle ❀ dielektrische Funktion, Brechungsindex
ersterSchritt: Berechnung des zeitabhängigen Erwartungswerts des
Dipolmoments
¯p(t) = e ¯x(t) = e〈ψ(t)|x|ψ(t)〉
adiabatisches (= langsames)Einschalten derStörungvon t = −∞ an:
H S (t) =
e εt (Ae −iωt + A † e iωt ) t ≤ 0 ε > 0, ε ≪ 1
A e −iωt + A † e iωt t > 0
Dies ist einfach ein technischer Trick zur Elimination der homogenen Lösung;
er umgeht die Komplikation der Beschreibung von Dämpfung (die
diehomogeneLösungebenfallseliminierenwürde)inderQuantenmechanik.
Integration von Gleichung (42) über die Zeit von −∞ bis t und Beschränkung
auf die erste störungstheoretische Ordnung liefert für m = l und
170
(64)

cn(−∞) = δ nl
c (1)
m (t) = 1
i¯h
= 1
i¯h
+ 1
i¯h 0
= 1
i¯h Aml t
H
−∞
S ml (τ) eiωmlτ dτ
0
i(ωml−ω)+ε
−∞
t
+ 1
i¯h A ml
A ml e
τ + A ∗ lm e
i(ωml+ω)+ε τ
Aml e i(ωml−ω)τ ∗ + Alm e i(ωml+ω)τ
dτ
1
i(ω ml − ω)+ε e
1
i(ω ml − ω) ei(ω ml−ω)τ
i(ωml−ω)+ε τ 0
t
0 +···
−∞
dτ
+··· (65)
Wegen ε > 0 liefert die erste durch das letzte Gleichheitszeichen eingeleitete
Zeile keinen Beitrag von der unteren Integrationsgrenze −∞; die BeiträgedererstenundzweitenZeilebeit
= 0kompensierensichnäherungsweise;für
ε → 0 + wird dieseKompensationexakt.
c (1)
m (t) = A ml
i¯h
ei(ωml−ω)t i(ωml − ω) + A∗ lm
i¯h
elektromagnetischesFeld:Dipolnäherung
A = −e(ax)F
e i(ω ml+ω)t
i(ω ml + ω)
Wähle x-AchsePolarisationsrichtung a a = ex
A ml = −eFx ml A ∗ lm = −eF∗ x ∗ lm = −eF∗ x ml
c (1)
m (t) = ex ml
ei(ωml−ω)tF ¯h(ω ml − ω) + ei(ω
ml+ω)tF∗ ¯h(ω ml + ω)
(Manbeachte,dassdasevordergeschweiftenKlammereineandereGröße
istals dasein derKlammer!)
❀ ZeitabhängigeWellenfunktion xll = 0, cm(t) = δml +c (1)
m (t)
|ψ(t)〉 = ∑ m
i −
|ψ(t)〉 = e ¯h E
lt
i −
cm(t)e ¯h Emt −
|m〉 = e i
¯h Elt |l〉+ ∑ c
m=l
(1) i −
m (t)e ¯h Emt
|m〉
|l〉+ ∑ m=l
exml Fe−iωt ¯h ωml − ω + F∗eiωt
|m〉
ωml + ω
αml gestörterAnteil,schwingtmit ω
(relativzu Frequenz El/¯h) ErwartungswertdesDipolmoments: (p ist hiernichtderImpuls!)
(66)
(67)
(68)
¯p(t) = ex(t) = e〈ψ(t)|x|ψ(t)〉 (69)
171

i −
|ψ(t)〉 = e ¯h El t
|l〉+ ∑
m=l
αml |m〉
∗
¯p(t) = e 〈l|+ ∑ αml 〈m| x |l〉+ ∑ αml|m〉 m=l
m=l
∗
= e〈l|x|l〉 +e
∑ αml xml + αml xlm +O(F
m=l
xll=0 2 )
⏐
x lm = x ∗ ml
∗
αml xml + αml xlm = e|xml| 2
F∗eiωt = e|xml| 2
¯h
¯p(t) = 2 e2
¯h ∑ m=l
Oszillatorstärke
Berücksichtigung wäre nicht
konsistent, da cm(t) nur bis
O(F) berechnet
+ Fe−iωt
¯h ωml − ω ωml + ω
+ Fe−iωt
ωml − ω + F∗eiωt
ωml+ ω
1
ωml− ω +
1 F ∗ iωt −iωt
e +Fe
ωml + ω
≡ F(t)
2ωml ω 2
ml −ω2 |x ml| 2 ω ml
ω ml 2 − ω 2
F(t) (70)
Klassischer Oszillator der Frequenz ω0 (und Masse m0), unter erzwungenenSchwingungenmit
harmonischerKraft derFrequenz ω:
¨x+ω 2 e −iωt ∗ iωt
0x = Fe +F e
m0
xinh(t) = e F(t)
− ω2
m0
p(t) = ex inh(t) = e2
m0
ω 2 0
ω 2 0
1
F(t)
− ω2
Ein quantenmechanisches System verhält sich, was sein Dipolmoment
betrifft, wie ein System von klassischen Oszillatoren mit den Frequenzen
ω ml unddensogenanntenOszillatorstärken
f ml = 2 m0
¯h ω ml |x ml| 2
¯p(t) = e2
m0 ∑ m=l
f ml
ω ml 2 − ω 2
(71)
F(t) (72)
172

Polarisation: P(t) = N¯p(t) = χε0F(t)
DielektrischeVerschiebung: D = ε0F+P (x ❀keineVektornotation)
Brechungsindex: n 2 = ε/ε0 = 1+χ
n 2 = 1+ Ne2
Für ω ≫ ω ml
m0 ε0 ∑ m=l
n 2 = 1− Ne2
m0 ε0 ω 2 ∑ m=l
f ml
ω ml 2 − ω 2
f ml .
Bei diesen Frequenzen muss das Atomsystemsich verhalten, als bestünde
esaus freien Teilchen
∑ m=l
Diskussion:
(73)
f ml = 1 (74)
f-Summensatz (auch durchdirektesNachrechnenbeweisbar, s.u.)
n ≈ 1+ χ
2
f ml = 2m0
¯h ω ml|x ml| 2
= 1+ Ne2
2m0 ε0 ∑ m=l
f ml
ω ml 2 − ω 2
ω ml = Em−E l
¯h
Ausgangszustand|l〉 = |1〉 (Grundzustand)
⇒ alle fm1 > 0
positiveDispersion
beiRechnungmit Dämpfung: Dämpfung 39
Ausgangszustand|l〉 = |2〉 (ersterangeregterZustand)
⇒ f12 = 2 m0
¯h 2 (E1−E2)|x12| 2 < 0
negativeDispersion(klassischunmöglich)
beiRechnungmit Dämpfung: Verstärkung
Beweisdes f-Summen-Satzes:
f ml = 2 m0
= 2m0
¯h 2
= 2m0
¯h 2
¯h 2 (Em−E l)〈l|x|m〉〈m|x|l〉
〈l|xH|m〉〈m|x|l〉−〈l|x|m〉〈m|xH|l〉
〈l|x|m〉〈m|Hx|l〉−〈l|Hx|m〉〈m|x|l〉
39 In unserer Rechnung haben wir Dämpfung explizit ausgeschlossen, um den Schwierigkeitsgradniedrigzuhalten.
EineFolgeist,dassinunserenFormelnDivergenzenauftreten,
wenn ω = ±ω ml. Im Rahmen einer deutlich raffinierteren und aufwändigeren Rechnung,
die Dämpfung berücksichtigt, verschwinden diese Divergenzen. Vergl. auch das Bild auf
dernächsten Seite.
173

∑
m=l
f ml = ∑ m
∑ m
f ml = m0
¯h 2
fml =
¯h
∑|m〉〈m|=1 m
2
2 m0
l xHx−x 2 H l = 2m0
¯h 2
l 2xHx−x 2 H−Hx 2 l
= − m0
〈l|[x,[x,H]]|l〉
2
¯h
[x,[x,H]] = x, x, p2
+V(x)
2m0
px
2
= x, x, = x,−
2m0
¯h
i
∑ m
∑ m
f ml = − m0
¯h 2
−¯h 2
m0
f ml = 1 q. e.d.
= 1
px
m0
= − ¯h2
m0
positiveDispersion negative Dispersion
l xHx−Hx 2 l
negativeDämpfung = Verstärkung
erreichbar durch Inversion
(angeregterZustandbesetzt,
ZustandniedrigererEnergiefrei)
Verstärkung> Verluste ❀ dauerndeErzeugungelektromagnetischer
Wellen(Maser, Laser)
174

10.5 Variationsprinzip
Das Eigenwertproblem
H|ψ〉 = E|ψ〉 (75)
istäquivalent zu einerFolgevon Variationsproblemen.
Man bilde dasFunktional
¯H = 〈ψ|H|ψ〉
〈ψ| ψ〉
undbestimme|ψ〉 so,dass ¯H minimal wird.Die Lösungsei|ψ1〉
|ψ1〉 ist derGrundzustand
E1 = ¯H |ψ1〉 derzugehörigeEnergieeigenwert
Als nächstesbestimmeman das Minimum |ψ2〉 von ¯H unterder Nebenbedingung
〈ψ| ψ1〉 = 0
|ψ2〉, E2 = ¯H |ψ2〉
sind(imFalleinesnichtentartetenGrundzustands)derersteangeregteZustandunddie
zugehörigeEnergie(ansonstenein zweiterGrundzustand).
(76)
Eine (n+1)te Lösung |ψn+1〉 von (75) erhält man durch Minimierung von
¯H unterdenNebenbedingungen
〈ψ|ψi〉 = 0 i = 1,... n (77)
undesgilt dann
En+1 ≥ En ≥ En−1 ≥ ... E1,
d.h.das VerfahrenliefertdieEnergienin aufsteigenderReihenfolge.
Beweis: Seien |n〉 die exakten Eigenzustände von H, En die zugehörigen
Energien
〈ψ|H|ψ〉 = ∑ n
≥ E1 ∑ n
¯H = 〈ψ|H|ψ〉
〈ψ|ψ〉
〈ψ|n〉〈n|H|ψ〉 = ∑En〈ψ|n〉〈n|ψ〉 n
〈ψ|n〉〈n|ψ〉 = E1〈ψ| ψ〉 (78)
≥ E1
undGleichheit gilt nur,wenn〈n|ψ〉 = 0für alle |n〉 mit En > E1.
⇒ dasMinimum wird durch den(odereinen)Grundzustandproduziert.
175

Fordern wir 〈ψ|ψ1〉 = 0, so ist die in der Summe über die En auftretende
kleinste Energie E2 (angeregter Zustand, falls nur ein Grundzustand existiert,d.h.|ψ1〉
= |1〉,ansonstenist E2 = E1)
usw.
H ≥ E2
RitzschesVariationsprinzip: Manwähle|ψ(µ)〉 alsFunktioneinesbzw.mehrerer
Parameter µ (d.h. man lege sich auf eine funktionale Form der Wellenfunktionfest)undsuchedasMinimum
von
E(µ) = 〈ψ(µ)|H|ψ(µ)〉
〈ψ(µ)| ψ(µ)〉
(79)
E(µ) ≥ E1 und man erhält einen Näherungsausdruck für die Wellenfunktion.
Da die Orthogonalitätsbedingungen (77) bei einer nur näherungsweisen
LösungdesVariationsproblems nicht mehr Orthogonalität zu denexakten
Eigenfunktionen implizieren, ist das Ritzsche Verfahren im Wesentlichen
gut geeignet zur näherungsweisen Bestimmung des Grundzustands. (Für
diehöherenEigenzuständeistesschlechter.)
PraktikabelwirddasVerfahrenalsodurchdieWahlvonAnsatzfunktionen,
die von wenigenParametern abhängen. Je mehrParameter man hat, desto
genauer wird die Näherung, aber desto komplizierter wird auch die Minimierung
(die sich beieinem einzigen Parameter durch eine gewöhnliche
Ableitungerzielenlässt).BeifunktionalerMinimierung(entsprichtderMinimierungbezüglichunendlichvielerParameter)löstmandasProblemexakt
–aber dasistnicht einfacher als die LösungderSchrödingergleichung.
Ein Fehler in der Wellenfunktion äußert sich bei diesem Verfahren in quadratischerOrdnungin
derEnergie.
SeietwadieAnsatzfunktion
|ψ〉 = |n〉+|ε〉 mit (o.B.d.A.) 〈n|ε〉 = 0
(da die Ansatzfunktion nicht normiert sein muss, kann jeder
zu |n〉 proportionale Anteil von |ε〉 direkt |n〉 zugeschlagenwerden)
¯H = 〈ψ|H|ψ〉
〈ψ|ψ〉 = En 〈n|n〉+〈ε|H|ε〉
= En+O
〈n|n〉+〈ε| ε〉
ε 2
Die Energie wird beim Variationsprinzip also genauer bestimmt als die
Wellenfunktion.
176

10.6 WKB-Methode(Wentzel-Kramers-Brillouin-Methode)
(Auch WKBJ-Methode; das ” J“ steht für Jeffreys, der eigentlich noch vor
dendreianderenAutorenRelevanteszurMethodepubliziert hat.)
Quasi-klassischer Grenzfall: Energie groß, Wellenlänge klein (gegenüber
charakteristischer Distanz,, über die das Potentialsich
wesentlichändert)
❀ WellenfunktiondurchortsabhängigeWellenzahl
charakterisierbar (Erwartung)
Systematische Untersuchung: stelle Wellenfunktion durch Amplitude A
undPhase S dar
ψ(x) = A(x) e i
¯h S(x)
Die zeitunabhängigeSchrödingergleichungliefert
(80)
− ¯h2
2m ∇2 ψ = E−V(x) ψ, (∗)
wobei ∇ψ = ∇Ae i
¯h S + A i i
∇Se ¯h
¯h S ,
∇2 ψ = ∇2 Ae ī hS +2 i
¯h ∇A∇Se ī hS + A i
¯h ∇2Se ī hS − 1
¯h 2A∇S2e ī hS ,
wassich nach Einsetzenin (∗) auf
A∇S 2 −i¯hA∇ 2 S−2i¯h∇A∇S− ¯h 2 ∇ 2 A = 2m(E−V)A . (81)
reduziert. Da S und A reell sind, lässt sich eine Aufspaltung in Real- und
ImaginärteilleichtdurchführenundmanerhältzweigekoppelteGleichungenfür
AmplitudeundPhase.
quasiklassischer Bereich: (∇S) 2 ≫ ¯h∇ 2 S, zweiterTerm≪ erster
Real- undImaginärteilvon (81):
(∇S) (82a)
2 = 2m(E−V) +¯h 2 ∇ 2 A/A ֒→ − ¯h2
2m∇2A/A: Quantenpotential
(Bohm)
−∇2 S = 2∇S∇ln|A| (82b)
Im Folgenden beschränken wir uns auf eindimensionale Probleme (inklusivederRadialbewegungin
Zentralpotentialen):
d 2
dx 2S
(82b) 1 d
+ ln|A| = 0
2 d
dxS dx
d 1
dx 2 ln
dS
dx
+ ln|A| = 0
177

Allgemein setztman an
1
2 ln
dS
dx
+ln|A| = ˜C
|S ′ (x)|· A = C A = C
|S ′ |
S(x) = S0(x)+ ¯h
i S1(x)+
Die niedrigsteOrdnungin ¯h von (82a) wird
2 dS0
= 2m
dx
E−V(x)
x
S0(x) = ± dx ′
2m E−V(x ′ )
ψ0(x) = ∑ ±
(83)
2 ¯h
S2(x)+... (84)
i
C±
e
p(x) ±i dx p(x)/¯h
(85)
(86)
und (87a)
mit p(x) = 2m(E−V(x))
(87b)
Falls E < V(x) (Tunneleffekt), sind die Lösungen exponentiell ansteigend
bzw. abfallend; falls E > V(x), sindsieoszillatorisch.
Beispiel: BestimmungderBindungszuständeim PotentialV(x)
Zur Bestimmung des Verhaltens in der Nähe des linken Umkehrpunkts
gehenwir folgendermaßenvor:
Transformation:V−E → V
x−b → x
Entwicklungvon V bis zur linearen Ordnung:V(x) = V ′ x,V ′ < 0
die Schrödingergleichungwird in derNähevon b
d2ψ dx2 = −c2
−2mV ′
x ψ mit c =
1 2
¯h
178
(88)

Lösungen:
Airyfunktionen =
Linearkombinationenvon ϕ±(x) = x 1 2J ± 1 3
2c
3 x3
2
(89)
so zu wählen, dassdie Lösungfür x → −∞ nicht divergiert (die Besselfunktionen
enthalten einen exponentiell ansteigenden und einen
exponentiell abfallenden Anteil für Argument u → i∞) eine
derbeidenIntegrationskonstantenist bestimmt
Im Prinzip interessiert uns die exakte Lösung (89) der näherungsweisen
Schrödingergleichung (88) gar nicht. Aber einerseits gilt im Umkehrpunkt
selbst die Näherung (87a) wegen p(x) = 0 nicht, andererseits brauchen
wir die exakte Lösung (oder eine von WKB verschiedene Näherung), um
dieKonstantenC+,C− (bis auf einengemeinsamenFaktor)zu bestimmen.
Dazu stellenwir fest,dassfür
2c
3 x3 2/3 2
3 9¯h
2 ≫ 1 ⇔ x ≫ l0 = =
2c 8m|V ′ 1
3
|
für die Besselfunktionenfolgende asymptotischeBeziehung gilt (Abramowitz,S.446
ff)
x 1
2c
2J 1 ± 3 3 x3
2 ∝ x −1
2c
4 cos
3 x32 ∓ π
π
− (90)
6 4
undandererseitsin derNähedeslinkenUmkehrpunkts
dx p(x)
¯h =
2m(−V ′ )x
dx
¯h
= 2
3 cx3 2 . (91)
Wennwir also dierichtige Linearkombination von ϕ±(x) bestimmt haben,
liefertdasdurchVergleichmit ψ0(x) für x ≫ l0 dieKonstantenC+ und C−
bis auf einengemeinsamenFaktor.
Das Ergebnis(dashier nicht vorgerechnetwird) lautet:
ψ(x) = C
1 x
cos dx
p(x) ¯h b
′ p(x ′ )− π
4
Auf gleiche Weise kann man am Umkehrpunkt x = a vorgehen. Das Ergebnisdortisteine
zu (94) spiegelsymmetrische“ Formel:
”
ψ(x) = C′
1 a
cos dx
p(x) ¯h x
′ p(x ′ )− π
4
u
= C′
1 x
cos dx
p(x) ¯h b
′ p(x ′
1 b
)− dx
¯h a
′ p(x ′ )− π
(93)
4
−u
179
(92)

Aus der Forderung, dass beide Formeln im Innern des Intervalls übereinstimmen
müssen,ergibtsich
C = ±C ′
1 b
dx
¯h a
′ p(x ′ )− π
2 =
b
1
dxp(x)
π¯h a
dxp(x)
1
2π¯h
= n+ 1
2
2n π (C = C ′ )
(2n+1)π (C = −C ′
= nπ
)
dxp(x) = n+ 1
h (94)
2
Bohr-Sommerfeld-Quantisierungs-Bedingung
Energien En ; (92) liefert mit p(x) = 2m(En −V(x)) die zugehörigen
Eigenfunktionen
GültigkeitsbereichderWKBNäherung:
Die grundlegendeNäherungist
¯h S ′′ ≪ S ′2
(95)
Dieslässtsichwegen(86)und(87b) (S ′ = ±p+O(¯h))umformulierenin
¯h p ′ ≪ p 2
dp
dx
≪ p2
¯h
= 2π p2
h
= 2π p
λ
Istalso diede-Broglie-Wellenlängeklein genug,sodassauf ihrer SkalaVariationen
von p gegenüber p selbst vernachlässigbar sind λ dp
dx ≪ p , so
gilt dieNäherung(95).
WeiterimpliziertdieseNäherungdieVernachlässigkeitdesQuantenpotentials
in (82a) unddamit die Beschränkungauf S0(x).
Mansehe(derSchrittvonderzweitenzurdrittenZeilebedarfzusätzlicher
Begründungim Rahmen asymptotischerBetrachtungen):
(83) : A = C
|S ′ |
fürS ′ >0 A′ = − 1
2
C
S ′ 3 2
¯hA ′ ≪ CS ′ 1 2
S ′′ ≪ (95)
1
¯h
C
S ′ 3 2
S ′2
¯hA ′′ ≪ 1
2 CS′− 1 2 S ′′ = 1
2 AS′′ ≪ 1
2 A1
¯h S′2
¯h 2 A ′′
A
180
≪ S′2
(96)

Diesist aber geradederTerm,derin (82a) vernachlässigtwurde.
Anmerkung: Im Prinzip kann die WKB-Näherung systematisch zu höheren
Ordnungen geführt werden. Das muss nicht sinnvoll
sein, da man nicht von Konvergenzder Reihe (84) ausgehen
kann.
181

11 BewegungimelektromagnetischenFeld
11.1 Hamiltonoperator
Elektrodynamik:
E = −∇Φ− ∂A
∂t
B = ∇× A
❀ Hamiltonfunktion: (Ladung e; beim Elektrongilt e = −|e|)
H = 1 2+eΦ(x,t) p−eA(x,t) (1)
2m
❀ HamiltonoperatorundSchrödingergleichung
i¯h ∂ψ
∂t =
1 ¯h
2m i ∇−eA
2
+eΦ ψ (2)
Durch Ausmultiplizieren derKlammer erhält man als gemischteTerme
− ¯he ¯he ¯he
∇· A+ A·∇ ψ = − A·∇ψ− ∇· A ψ
2im
im 2im
Coulombeichung: ∇· A = 0
i¯h ˙ψ
p2 =
2m
e 1 2+eΦ − Ap+ eA ψ (3)
m 2m
Wahrscheinlichkeitsstrom:multipliziere (3) mit ψ ∗ , die konjugiertkomplexeGleichung
mit −ψ,addiere
mit
∂ ψ ∗ ψ
∂t
11.2 KonstantesMagnetfeld
Man kann schreiben
denn
+∇S = 0
S = ¯h
ψ
2mi
∗ ∇ψ−ψ∇ψ ∗
− e
m A ψ∗ψ A = − 1
(x×B), (5)
2
(∇× A) i = ǫ ijk∂j
− 1
2
ǫ klm x lBm =
Bmkonstant
im Raum
182
− 1
2 ǫijk ǫklm(∂jx l)
δ jl
Bm
(4)

= 1
2 ǫijk ǫjkm
2δim
Bm = Bi
Außerdemgiltoffensichtlich −x×B = B×x,denndieKomponentenvon
x und B vertauschenmiteinander.
magnetfeldabhängigeTermein (3)
− e i¯he 1i¯he
Ap ψ = A·∇ ψ =
m m 2 m (B×x)·∇ ψ
Spatprodukt, zyklische Vertauschbarkeit,
solange ∇ rechts von allen
Funktionenvon x bleibt
= i¯he e
(x×∇)·B ψ = − L·B ψ (6)
2m 2m
L: Bahndrehimpulsoperator
e2 2m A2ψ = e2
8m (x×B)2 ψ = e2
8m
e
=
2B2 x 2 B 2 −(x·B) 2 ψ
8m
wähle ezB
(x2 +y 2 ) ψ (7)
(6):Beitragzum Paramagnetismus,(7): Diamagnetismus
VergleichbeiderTerme:
e2 8m 〈x2 +y2 〉B2
e
2m 〈Lz〉B
≈ e
4
a2 B2 ¯hB = e a2 B 1
=
4¯h 4
= 1.1·10 −10 B
[Gauß]
e 2
4πε0¯hc
α
Bc
e
4πε0a 2
〈x 2 +y 2 〉 ≈ a 2 , a – Bohrscher Radius, 〈Lz〉 ≈ ¯h, α – sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
❀ GrößenordnungdesVerhältnisses:
Feinstrukturkonstante×Verhältnis von B zu atomaren
elektrischenFeldstärken(Bc im SI)
Experimentellca. 10 5 Gerreichbar A 2 -Term vernachlässigbar, wenn
〈Lz〉 = 0
diamagnetische Effekte für im Atom gebundene e − kleiner als paramagnetische;
das ist anders für freie oder fast freie (= Metall-) Elek-
tronen
VergleichparamagnetischerTerm–Coulomb-Energie
e
2m 〈Lz〉B
e2 (e/2m)¯hB
≈
/4πε0a e2 1
=
/4πε0a 2 α
kleineÄnderungderEnergieniveaus
a = ¯h2 4πε0
me 2
Bc
e/4πε0a2 = 2·10−10 B
[Gauß]
183
:

11.3 NormalerZeeman-Effekt
Wasserstoffatomim Magnetfeld,Vernachlässigungdes B 2 -Terms 40
H = H0 − e
2m0
BLz
H0 = − ¯h2
∇
2m0
2 − e2
4πε0r
H0 vertauscht mit Lz ⇒ Eigenfunktionen ungeändert durch den Zusatzterm
Hψnlm = − Eion
e¯hB
− m ψ
n2 nlm
(10)
2m0
E nlm = − Eion
n 2 +¯h ωLm (11)
ωL = − eB
2m0
(8)
(9)
Larmorfrequenz (12)
(11) ⇒ einNiveau wird in 2l +1äquidistanteNiveaus aufgespalten
(klassisch: drei, je nach dem ob Elektronendrehimpulsparallel, orthogonaloderantiparallel
zu B-Feld)
Quantenmechanisch wird die Anzahl der möglichen Übergänge durch die
Auswahlregel ∆m = −1,0,1 eingeschränkt ⇒ nur 3 Linien sichtbar! 41
(sieheGrafik)
Zum Paramagnetismus beitragendes magnetisches Moment aufgrund des
Bahndrehimpulses
µ = e
L = −
2m0
µBL
¯h
µ = − ∂H
∂B
40 WegendesAuftretensderQuantenzahl m nennen wirdieMasse m0.
41 Das heißtdreiLinienproPaar vonNiveaus l, l+1mitunterschiedlichem Energieabstand.
Aber die Übergänge zwischen zwei festen solchen Niveaus haben nur drei verschiedene
Frequenzen, weil der Abstand ¯hωL zwischen den Unterniveaus gleich ist. Dies ändert sich
bei BerücksichtigungdesSpins,wie wirsehenwerden.
184
(13)

|e| ¯h
µB =
2m0
BohrschesMagneton (14)
Wir können unterscheiden zwischen dem paramagnetischen Beitrag zum
gesamtenmagnetischenMoment
|〈µ〉| = µB|〈L〉|/¯h
unddemdiamagnetischenBeitrag
〈µ〉 = − e2B 〈x
4m0
2 +y 2 〉 ≃ − e2B 6m0
Istder paramagnetische Beitrag ungleich null, so überwiegter den diamagnetischen.Der
diamagnetischeTermist immer ungleichnull.
Die tatsächliche Niveauaufspaltung im H-Atomist wegendesElektronenspins
anders - man hat gerade Zahlen von Niveaus = halbzahligen Drehimpuls(anomaler
Zeemaneffekt).
a 2 .
11.4 Kanonischerund kinetischerImpuls
KanonischerImpuls p,kinetischerImpuls m˙x
m˙x = p−eA (15)
Kommutatorrelationen:
[xi,pj] = i¯h δij
[xi,m˙xj] = i¯h δij
[xi,xj] = [pi,pj] = 0
[m˙xi,m˙xj] = [pi −eAi,pj −eAj]
= −e[pi,Aj] −e[Ai,pj]
= i¯he
∂i Aj− ∂j Ai = i¯heǫijkB k
ǫijkBk = ǫijk ǫklm∂lAm =
δilδjm− δimδjl ∂l Am
= ∂iAj−∂jAi
[xi, m˙xj] = i¯h δij [m˙xi,m˙xj] = i¯heǫ ijk B k (16)
KomponentendeskinetischenImpulsesvertauschennichtmiteinander!(Das
hatwichtige Konsequenzenfür dieBewegungim Magnetfeld.)
185

11.5 ÄnderungderWellenfunktionbeieinerEichtransformation
Klassische Physik: Lorentzkrafthängtvon B ab, nicht von A
Quantenmechanik: Schrödingergleichungenthält A
ReagierengeladeneTeilchennun auf B oder A?
Eichtransformation
A → A ′ = A+∇Λ Φ ′ = Φ− ∂Λ
∂t
Schrödingergleichungin ersterEichung
Setze
1
2m
(17)
¯h
i ∇−eA
2
+eΦ ψ(x,t) = i¯h ∂
ψ(x,t) (18)
∂t
ψ(x,t) = e −if(x,t) ψ ′ (x,t) (19)
undschreibe(18) aufdiezweiteEichungum(A = A ′ −∇Λ, Φ = Φ ′ + ∂Λ
∂t )
1 ¯h
2m i ∇−eA′ 2 +e(∇Λ) +eΦ ′ +e ∂Λ
e
∂t
−if ψ ′ (xt)
= i¯h ∂
∂t e−if ψ ′ (xt)
¯h
i ∇−eA′ 2 +e(∇Λ) = −¯h 2 ∇2 + ¯h
i ∇−eA ′ +e∇Λ
+ −eA ′ +e∇Λ ¯h
i ∇+−eA ′ +e∇Λ 2 ′ 2
−e(∇A )+e∇ Λ
= −¯h 2 ∇ 2 + ¯h
i
+2 −eA ′ +e∇Λ ¯h
i ∇+−eA ′ +e∇Λ 2 ∂
∂t e−if ψ ′ = −ifte −if ψ ′ −if ∂
+e
∂t ψ′ = e −if
−i ∂f
∂t ψ′ + ∂ψ′
∂t
∇e −if ψ ′ = e −if
(−i∇f)ψ ′ +∇ψ ′
∇ 2 e −if ψ ′ = e −if
−i∇f) (−i∇f)ψ ′ +∇ψ ′
+e −if
−i(∇2 f)ψ ′ −i∇f∇ψ ′ +∇2 ψ ′
= e −if
−(∇f) 2 ψ ′ −2(i∇f)∇ψ ′ −i(∇2 f)ψ ′ +∇2 ψ ′
186
(20)

in (20):
e −if
− ¯h2
2m
∇ 2 ψ ′ −i(∇ 2 f)ψ ′ −2(i∇f)∇ψ ′ −(∇f) 2 ψ ′
−(∇A ′ )+∇ 2
Λ
(−i∇f)ψ ′ +∇ψ ′
+ ¯he
ψ
2mi
′ +(−A ′ +∇Λ) ¯he
mi
+ 1 ′ 2 ′ ′ ′ ∂Λ
−eA +(e∇Λ) ψ +eΦ ψ +e
2m
∂t ψ′
= i¯he −if
−i ∂f
∂t ψ′ + ∂ψ′
∂t
Die unterstrichenenTermeenthalten (nach Entfernendesallen Termengemeinsamen
von null verschiedenen Vorfaktors e −if ) weder f noch Λ und
lassensichzusammenfassen;wosiemitanderenAusdrückenineinerKlammer
stehen ist erst die Klammer auszumultiplizieren, um sie von Ausdrückenmit
f bzw. Λzu trennen.
1 ¯h
2m i ∇−eA′
2 +eΦ ′
ψ ′ (xt)−i¯h ∂ψ′ (xt)
∂t
+ ¯h2
i(∇
2m
2 f) +2(i∇f) ∇+(∇f)
− ∼
2
ψ
≈
′ + ¯he
2mi (∇2Λ) ψ
−
′
+ ¯h
e(∇Λ)∇ψ
mi ∼ ′ +(−eA ′
= +e∇Λ
≈ )(−i∇f)ψ′
+ 1
m (−eA′
= )e∇Λ ψ′ + 1
2m (e∇Λ)2ψ
≈
′ + e ∂Λ
∂t ψ′ − ¯h ∂f
∂t ψ′ = 0
1 ¯h
2m i ∇−eA′
2 +eΦ ′
ψ ′ (xt)−i¯h ∂ψ′ (xt)
∂t
i¯h(∇ 2 f)−ie(∇ 2 Λ)+2i¯h(∇f)∇−2ie(∇Λ)∇
+ ¯h
2m
+ 2
¯h eA′ (¯h∇f −e∇Λ)+ 1
(¯h∇f −e∇Λ)2 ψ
¯h ′
− ¯h ∂f
∂t
(21)
∂Λ
−e ψ
∂t
′ = 0 (22)
Offensichtlich verschwinden alle Zeilen der linken Seite nach der ersten
unterderBedingung
¯h ∂f
∂t
−e ∂Λ
∂t
= 0 und ¯h∇f −e∇Λ = 0.
Die erste Teilbedingung impliziert f(x,t) = e
¯h Λ(xt) + g(x), die zweite
g(x) = const.
Alsolöst
ψ ′ (xt) = e i
¯h e Λ(xt) ψ(x,t)
187

dietransformierteSchrödingergleichung
1 ¯h
2m i ∇−eA′
2 +eΦ ′
ψ ′ (x,t) = i¯h ∂ψ(x,t)
∂t
|ψ(x,t)| 2 = |ψ ′ (x,t)| 2 ⇒ dieUmeichunghat keinebeobachtbaren physikalischen
Konsequenzen auch in der
Quantenmechanik kann man nicht ohne Weiteres
A als dasfundamentale Feldbetrachten
11.6 Aharonov-Bohm-Effekt (1956)
(23)
Bewegung eines e − in Gegenwart eines zeitunabhängigen Magnetfeldes
42 B(x)
B(x) verschwindein einemRaumgebiet: B(x) = ∇× A = 0
Beispiel:unendlichlange Spule: B verschwindetaußerhalb
A = ∇Λ im feldfreien Bereich
Λ(x) =
x
x0
Ads (x0,x in zusammenhängendemfeldfreienGebiet)
Wellenfunktionbestimmbar aus
1 ¯h
2m i ∇−eA
2 ψ+Vψ = i¯h ∂ψ
∂t
oderaus (A ′ = A+∇(−Λ) = 0)
1 ¯h
2m i ∇
2
ψ ′ +Vψ ′ = i¯h ∂ψ′
∂t
(24)
(25a)
(25b)
d.h.dereichtransformiertenGleichung (es sei kein elektrisches Feld v orhanden⇒
Φ = Φ ′ = 0;
Λhängtnicht von t ab)
ψ ′ istdieWellenfunktionin PotentialV mit B ≡ 0im ganzenRaum. Esgilt
ψ(x) = ψ ′ (x)e ieΛ/¯h = ψ ′
ie x
(x)exp A(s) ds
¯h x0
(26)
nun Interferenzexperiment: Doppelspalt mit Spule, wo die e − nicht
in denBereich desMagnetfeldsgelangen
können
42 B ist eigentlich eine magnetische Flussdichte. Die vereinfachte Sprechweise ” Magnetfeld“
sehenwiralszulässigan,wennkeineVerwechslungmitdemechtenMagnetfeld H möglich
ist.
188

e − könnennicht in denBereichdesFeldes
(Vorstellung:V(x) wird ∞ im Bereich desBlendenmaterials)
gesucht: Wellenfunktionam Schirmals FunktiondesFeldes
Vorgehen: bildeWellenfunktionenmitnurjeeinemSpaltgeöffnetundsuperponiere
Def.: ψ1,0(x) = W.F.ohneB, Spalt1geöffnet,Spalt2zu
ψ1,B(x) = W.F. mit B, Spalt 1geöffnet,Spalt 2zu
ψ2,0(x) = W.F.ohneB, Spalt2geöffnet,Spalt1zu
ψ2,B(x) = W.F. mit B, Spalt 2geöffnet,Spalt 1zu
ie
(26) ψ1,B(x) = ψ1,0(x)exp
¯h
ie
ψ2,B(x) = ψ2,0(x)exp
¯h
C1
C2
dsA(s)
dsA(s)
ψB(x) = ψ1,B(x)+ψ2,B(x) (Normierungverschiebbar...)
ie
ie
= ψ1,0(x)exp ds A(s) + ψ2,0(x)exp ds A(s)
¯h C1
¯h C2
ie
ie
= ψ1,0(x)exp ds A(s) + ψ2,0(x) exp ds A(s)
¯h
¯h
wobei ds =
Nunist
C1
C1 −
C2
ds A− ds A =
C2
ds über den eingezeichneten geschlossenen
Wegverläuft
ds A =
df ∇× A = ΦB
B
derFlussdesMagnetfeldsdurch die geschlosseneFläche, also hier einfach
seinFlussdurchdieSpule,daernurinderenInneremnichtverschwindet.
ψB(x) =
ieΦB ie
ψ1,0(x)exp + ψ2,0(x) exp ds A(s)
¯h ¯h C2
189
C2
(27)

Änderung des Magnetfelds ⇒ Änderung des eingeschlossenen magnetischen
Flusses Verschiebung des Interferenzbilds: Aharonov-Bohm-
Effekt
Flussquant 2Φ0 = h
|e| = 4.135·10−15 Vs (charakteristischeFlusseinheit)
= 4.135·10 −7 Gauss cm 2
Klassische Physik: E,B fundamentaleFelder (⇒ Lorentz-Kraft)
A, Φ Hilfsgrößen
Quantenmechanik: A, Φ fundamentalere Größen, weil sie in der Schrödingergleichung
direkt auftreten aber: physikalische
EffektehängennurvonunterUmeichunginvarianten
Größenab (wie etwadem Feldflussdurch eine Fläche
= Integralvon A über geschlossene Kurve)
Des Weiterenwurde bei der Ableitung auf das zweifelhafte Bahn-Konzept
zurückgegriffen – bei einer solchen Argumentation macht man leicht Fehler.
Eine weniger dramatische Interpretation könnte eine quantenmechanische
” Verschmierung“ des B-Feldes postulieren ❀ das Elektron ” sieht“
dochein nicht verschwindendes B. 43
11.7 Spin desElektrons
Spin – zusätzlicher Freiheitsgrad, unabhängig von den räumlichen Freiheitsgraden
(anschauliche aber mit Vorsicht zu genießende Interpretation:Eigendrehimpuls)BegründugausrelativistischerVerallgemeinerungderSchrödingergleichung–Dirac-Gleichung
(Modul4desMasterstudiengangs)
Spin undOrt(oderImpuls)könnengleichzeitig scharfeWertehaben, d.h.
[S,x] = 0 [S,p] = 0 [S,L] = 0 (28)
(genauer muss man das Verschwinden der Kommutatoren für alle Paare
von Komponentenfordern:[Si,xj] = 0, usw.).
BasisdesHilbertraumes: Produktzustände aus Orts- und Spineigenzuständen
|x,↑〉 = |x〉|↑〉
|x,↓〉 = |x〉|↓〉
43 Diese Interpretation ist nicht unproblematisch, denn man sollte doch annehmen, dass eine
Verstärkung oder Abschwächung der Ummantelung der Spule die außerhalb sichtbaren
quantenmechanischen Fluktuationen des B-Feldes beeinflusst. Die Theorie sagt aber für
diesenFallkeineÄnderung desInterferenzmustersvorher.
190
(29)

Gesamthilbertraum= tensorielles Produkt der Hilberträume der OrtseigenzuständeundderSpineigenzustände
Einallgemeiner Zustandlässt sich wiefolgt als Überlagerungschreiben:
|ψ〉 = d 3 x ψ + (x)|x,↑〉+ψ − (x)|x,↓〉
Schreibweiseals Spaltenvektor
ψ + (x)
ψ(x) =
ψ−
←− Spinor
(x)
Eigenwertgleichungfür Spinoperator
S·e |±〉 e = ± ¯h
2 |±〉 e
o.B.d.A.:e in z-Richtung
Sz|±〉 = ± ¯h
2
(30)
|±〉 (31)
VertauschungsrelationenderSpinkomponenten: Drehimpulsoperatoren
mit l = 1
2
S ± = Sx ±iSy
[Si,Sj] = i¯hǫ ijkS k [Sz,S ± ] = ±¯hS ±
S 2 |↑〉 = 3
4 ¯h2 |↑〉 S 2 |↓〉 = 3
4 ¯h2 |↓〉
Sx = 1
2 (S+ +S − ) Sy = 1
2i (S+ −S − )
[S + ,S − ] = 2¯hSz
InderBasis |↑〉,|↓〉 sinddie Matrixelementevon S±,Sz gegebendurch:
Setze
S + = ¯h
0 1
0 0
S = ¯h σ σ = ⎝
⇒ Pauli-Spinmatrizen
0 1
σx =
1 0
Eigenschaften:
⎛
σ 2 x = σ 2 y = σ 2 z = 1
[σx, σy] = 2iσz
S − = ¯h
σx
σy
σz
⎞
σy =
0 0
1 0
Sz = ¯h
2
1 0
0 −1
(32)
(33)
⎠ (34)
0 −i
i 0
191
σz =
1 0
0 −1
(35)
+zyklisch vertauschteRelationen

σx, σy + = σxσy + σyσx = 0 +zyklisch vertauschteRelationen
σxσy = iσz
σxσyσz = i·1
Spσx = Spσy = Spσz = 0
det σx = det σy = det σz = −1
+zyklisch vertauschteRelationen
Hamiltonoperator in einem räumlich konstanten Magnetfeld (ohne Spin-
Bahn-Wechselwirkung)
H = p2
2m +V(x)+µB
L
+ σ ·B (36)
¯h
Schrödingergleichung
i¯h ∂
|ψ〉 = H|ψ〉 (37)
∂t
wird in derOrts-Komponenten-Darstellung
i¯h ∂
ψ + (x,t)
∂t ψ−
= −
(x,t)
¯h2
2m ∇2 +V(x)+ µB
¯h L·B
ψ + (x,t)
+ µBσB
ψ−
(x,t)
(nichtrelativistische) Pauli-Gleichung
11.8 Relativistische Effekte
(38)
relativistische Korrekturen = Feinstrukturkorrekturen der Energieeigenwertedes
H-Atoms(undanderer)
i) relativistische kinetischeEnergie
ii) Spin-Bahn-Kopplung
iii) Darwin-Term
Hier betrachten wir nur die erstenbeiden Effekte näher; der Darwin-Term
ist eine Folge der aus der Dirac-Gleichung zu schließenden ” Zitterbewegung“
des Elektrons (und der daraus resultierenden Wechselwirkung mit
dem Atomkern); er ist nur für s-Zustände von Null verschieden und proportional
zur vierten Potenz der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante
α = e2
4πε0¯hc .
11.8.1 Relativistische kinetische Energie
E =
p 2 c 2 +m 2 0 c4 = m0c 2 + p2
2m0
192
− 1
8
(p2 ) 2
m3 +··· (39)
0c2

Wasserstoff-ähnlichesAtom(Kernladungszahl Z, ein Elektron)
H0 = p2
−
2m0
Ze2
4πε0r
(40)
mit der ersten relativistischen Korrektur der kinetischen Energie ist die
Störung
H1 = − 1
8
(p 2 ) 2
2m0c 2
m3 1
= −
0c2 zu addieren: H = H0+H1.
H0+ Ze2
2
4πε0r
Dies führt zu einer Energieverschiebung der Niveaus (1. Ordnung Störungstheorie)
∆Enlm = 〈nlm|H1|nlm〉 = − 1
2m0c2
E 2 n +2EnZ e2
1
4πε0 r nl
Ze2 2
1
+
4πε0 r2
mit 44
1
r
1
r2
nl
nl
= 〈nlm| 1
r
|nlm〉 = Z
aBn 2
= 〈nlm| 1
|nlm〉 =
r2 ∆E nlm = − m0c 2 (Zα) 4
2n 4
⇒ ∆E nlm < 0 ∀n,l
11.8.2 Spin-Bahn-Kopplung
Dirac-Gleichung
Z2 a2 Bn2l+ 1
2
n
l+ 1
2
❀ H2 = 1
2m2 1 dV(r)
S· L
0c2 r dr
− 3
4
V(r) = e Φ(r) potentielle Energie im elektrostatischenPotential
Φ(r)
heuristischesVerständnisvon (44):
E = −∇Φ = − x
r
nl
(41)
(42a)
(42b)
(43)
(44)
dΦ
dr im Ruhesystemdese− ,dasmit derGeschwindig-
keit v um dasProtonkreist,existierteinMagnetfeld B = − 1
c 2v×E
44 Eigentlich müsste man hier Störungstheorie mit Entartung machen, aber die Zustände
|nlm〉sind bereitsdieadaptiertenEigenfunktionen, da 〈nlm|H 1|nl ′ m ′ 〉 = 0 für l = l ′ oder
m = m ′ .
193

EnergiedesmagnetischenMomentsdes e − :
− e e S·B = − m0 m2 0c2 S·(m0v×x) 1 dΦ e
r dr =
m2 0c2 S·(x ×m0v)
DashatdierichtigeForm,istabereinenFaktor2zugroß.DasRuhesystem
des e − ist kein Inertialsystem! Die sogenannte Thomas-Präzession muss
berücksichtigtwerden.
Wasserstoff-Atom
H2 = 1
2m2 Ze2
S· L
0c2 4πε0r3 Gesamtdrehimpuls:
L
1
r
dΦ
dr
(45)
J = L+S (46)
(kommutiertmit H = H0 +H1+H2, L tutdasnicht)
S· L = 1 2 2 2
J − L −S
2
S· L wird diagonalisiert durchdie Zustände l± 1
2 ,mj,l
S· L
1
l± 2 , mj,
l = ¯h2
2
|
J 2
|
Jz
|
L 2
l
l±
−l−1
1
2 , mj,
l
VollständigerSatzkommutierenderOperatoren: H,J 2 ,Jz,L 2 ,S 2
Störungstheoriemit Entartungmit denZuständen
x
1
n,j = l±
2 ,mj,l
= Rnl(r) α±Yl,mj− 1(ϑ, ϕ)|1〉
2
+ β±Yl,mj+ 1
(ϑ, ϕ)|2〉
2
〈H2〉 1 n,j=l± 2 ,l =
m0c2 (Zα) 4
4n3e l+ 1
l
2 (l+1) −l−1
und 〈H1+H2〉 n,j=l± 1 2 ,l = m0c 2 (Zα) 4
En,j = m0c 2
− Zα2 (Zα)4
−
2n2 2n4 2n 4
3 n
−
4 j+ 1
2
3 n
−
4 j+ 1
2
(l ≥ 1)
(DieDirac-Gleichungliefertdasdirekt,durchEntwicklungdesexaktenResultatsnach
Potenzenvon α.)
194
(47)
(48)

11.9 AnomalerZeeman-Effekt (H-Atom, Z=1)
Hψ = Eψ
H = p2
2m0
− e2
4πε0r
e2
+
2m2 0c2 1
4πε0r 3
H0
LS + |e|B
2m0
(Lz+2Sz)
ωL
H S
B-Feld klein genug, dass Energie im Magnetfeld ≪ Feinstrukturaufspaltungaufgrund
L·S-Term(B 10 4 Gauss)
Störungstheoriemit Entartungliefert folgendesBild:
(49)
erlaubte
Übergänge
∆l = ±1
∆m = 0,±1
Die Größe der Aufspaltung hängt von l ab (im Unterschied zum ” normalen“
Zeeman-Effekt. 45 )
Termschema fürerlaubte Übergänge(Lyman-α-Übergänge)
Aufgrund der Kopplung zwischen Spin und Bahndrehimpuls hängen die
Abstände der Energieniveaus im Magnetfeld für gegebenen Gesamt- und
Bahndrehimpuls von den Quantenzahlen j, l und s ab. Beschrieben wird
45 Der anomale Zeeman-Effekt ist häufiger als der normale, deshalb sind die historisch bedingtenNamen
nicht ganzpassend.
195

diesdurch densogenanntenLandé-Faktor
gj ≈ 1+
j(j+1)−l(l +1)+s(s+1)
2j(j+1)
Das magnetische Moment, das mit dem Niveau verknüpft ist, ist dann gegebendurch
µ
µB
= −gjJ,
die Energieaufspaltung zwischen zwei zum Gesamtdrehimpuls j gehörigenNiveaus(mit
gegebeneml) im Magnetfeldbeträgt
∆Ej = gj¯hωL.
10 Linien
Abständeder
2p 3/2-Niveaus
(gj = 4
3 )
= Abständeder
2p 1/2-Niveaus
(gj = 2
3 )
= Abständeder
1s 1/2-Niveaus
(gj = 2).
Energiedifferenzen der Übergänge, von links nach rechts: E0, E0 − 4
3¯hωL, E0 + 2
3¯hωL, E0 −2¯hωL; E1 − 4
3¯hωL, E1 −2¯hωL, E1 + 4
3¯hωL, E1 + 2
3¯hωL, E1,
E1− 2
3¯hωL. 196

11.10 Paschen-Back-Effekt (H-Atom, Z=1)
starkesMagnetfeld
Hψ = Eψ
H = p2
−
2m0
e2
4πε0r
H0
+ ❳ f(r)L·S ❳ ❳❳❳ +
vernachlässigt
Zustände |n,l,m l〉|ms〉 |ms〉 = |↑〉 oder |↓〉
|e|B
2m0
(Lz+2Sz)
↑
Zeeman-Energie, hier
groß gegen relativistische
Korrekturen
diagonalisieren beide Teile des Hamiltonoperators, H0 und den Magnetfeldterm
∆E n,l,ml,ms
(50)
e¯h
= (ml +2ms)B = ¯hωL(m l +2ms) (51)
2m0
∆l = ±1 ∆m l = ±1, 0, ∆ms = 0
6 Übergänge, aber man sieht nur drei Linien, weil gleiche Energiedifferenzenauftreten
⇒ Vereinfachung des Linienbildes gegenüber anomalem
Zeeman-Effekt
anschauliche Erklärung: beim anomalen Zeeman-Effekt ist die LS-Kopplungvergleichsweisestark⇒derGesamtdrehimpuls
präzediert im Magnetfeld; beim Paschen-
Back-Effektpräzedieren L und S separat
197

12 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon,verborgeneParameter,bellscheUngleichungen
12.1 Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?,
PhysicalReview47, 777 (1935) 46
Der Artikel stellt ein Gedankenexperiment vor, das zeigen soll, dass die
quantenmechanischeBeschreibungderphysikalischenWirklichkeitunvollständigseinmuss.
Systemaus zweiTeilchenin verschränktem Zustand
⇑
wird gleich erläutert
• Teilchenzustand ist so präpariert, dassdie beiden Teilchen zum Zeitpunkt
der Messung an einem von ihnen weit voneinander entfernt
sind → kein Einfluss der Messungauf zweites Teilchen, keine Wechselwirkung
• Messung einer von zwei komplementären Größen an Teilchen 1 bestimmt
diese auch für Teilchen 2 → weil keine Wechselwirkungvorliegt,
sollteTeilchen2dieseEigenschaftschonvorher haben
• dieQuantenmechanikschließtdasVorliegenbeiderEigenschaftenaufgrundderHeisenbergschenUnschärferelationaus(wennsievollständig
ist)
dabeidevorliegenmüssen,ist dieQuantenmechanik unvollständig
Wir konkretisieren jetzt die Diskussion anhand einer etwas vereinfachten
VersiondesGedankenexperiments,dieBohmangab.
Vorbemerkung:BeschreibungvonMehrteilchenzuständen
Beispiel:
Seien H1,H2 die Hilberträume, in denen die Zustände der Einzelteilchen
dargestellt werden,
und je eine Basis gegeben durch die
Zustände , (nbzw.mdurchläuftdieIndexmengejeweils
ϕ (1)
n
ϕ (2)
m
der gesamten Basis). Dann beschreibt
man Zweiteilchenzustände
als
ϕ (1) ϕ (2)
Linearkombinationen der Basis n m des tensoriellen Produkts
H1 ⊗H2. Alle Operatoren, die nur auf Zustände aus H1 wirken,
kommutieren mit allen Operatoren, die nur auf Zustände aus
H2 wirken.
ein einfacher Zustandzweier Teilchenwäre
46 BohrsAntwort daraufträgtdenselbenTitelund istinPhysicalReview 48, 696(1935).
198

•
ϕ (1)
l
ϕ (2)
m
einetwaskomplexererZustand
ϕ (1) ϕ (2)
l m +
• |ψ〉 = 1
√ 2
– Interpretation:Teilchen1in Zustand
Teilchen2in Zustand
ϕ (1)
m
ϕ (2)
l
ϕ (1)
l
ϕ (2)
m
– keinesderEinzelteilchen hat einenZustand!
(VollständigeKenntnisdesGesamtzustandesbeinhaltetnichtvollständigeKenntnisderEinzelzustände.)
SolcheZuständeheißenverschränkt.
Anmerkung: Zustände mehrerer identischer Teilchen (Elektronen, Photonen)
müssen symmetrisch oder antisymmetrisch unter einer
PermutationderTeilchensein
Fermionen-antisymmetrisch
Bosonen- symmetrisch
(definierendeEigenschaft)
Spin-Statistik-Theorem Spin halbzahlig für Fermionen,
ganzzahlig für Bosonen
BohmsZweiteilchenzustand:Singulett-Zustand zweierTeilchenmitSpin
տ
(Gesamtspin 0)
1
2
|ψ〉 = 1
√ |↑〉 1 |↓〉 2−|↓〉 1 |↑〉 2 , (1)
2
dabei ist |↑〉 i der Zustand, bei dem der Spin von Teilchen i nach ” oben“
weist,|↓〉 i der,beidemernach ” unten“ weist
Wir haben noch nicht spezifiziert, auf welche Raumrichtung sich ” oben“
und ” unten“ beziehen, also etwa ob wir Spinkomponenten in z- oder in
x-Richtungbetrachten.Dasistauch unnötig,dennderZustand(1) istrotationsinvariant!
Umdieszusehen,führenwireinkartesischesKoordinatensystemundeine
neueNotationein.Bezeichne
|z+〉 i , |z−〉 i
dieEinteilchenzuständemit Spin in bzw. gegendie z-Richtung,also
σ (i)
z |z+〉 i = |z+〉 i , σ (i)
z |z−〉 i = −|z−〉 i
undallgemein
|ϑ, ϕ,+〉 i , |ϑ, ϕ,−〉 i ⎛ ⎞
sin ϑ cos ϕ
Eigenzustände zum Operator σ ·n mit n = ⎝sin
ϑ sin ϕ⎠
zu den Eigen-
cos ϑ
werten±1(d.h.Zuständemit Spin in Richtung±n).
199

|ψz〉 = 1
√ |z+〉 1 |z−〉 2−|z−〉 1 |z+〉 2
2
und den durch Rotation der Spinrichtungen von ez in die durch ϑ, ϕ gegebeneRichtung
n darausentstehendenZustand
ψϑ,ϕ .
ZunächstbenötigenwirdieEigenfunktionen|ϑ, ϕ,+〉,|ϑ, ϕ,−〉desOperators
σ·n = σxsin ϑcos ϕ+σysin ϑsin ϕ+σzcos ϑ.
Beh.:
|ϑ, ϕ,+〉 = cos ϑ
2 e−iϕ/2 |z+〉+sin ϑ
2 eiϕ/2 |z−〉 (3a)
|ϑ, ϕ,−〉 = −sin ϑ
2 e−iϕ/2 |z+〉+cos ϑ
2 eiϕ/2 |z−〉 (3b)
(bis auf einenPhasenfaktor)
Bew.: Mit
σx|z+〉 = |z−〉, σx|z−〉 = |z+〉
σy|z+〉 = i|z−〉, σy|z−〉 = −i|z+〉 (4)
σz|z+〉 = |z+〉, σz|z−〉 = −|z−〉
[folgtdirektaus derDefinition (11.35) derPauli-Matrizen] gilt:
σ ·n|ϑ, ϕ,+〉 = sin ϑcos ϕ cos ϑ
2
ϕ
ei 2 |z+〉
ϕ
ei 2 |z+〉
ϕ
e−i 2 |z−〉+sin ϑ
2
+sin ϑsin ϕ icos ϑ ϕ
e−i 2 |z−〉−isin
2 ϑ
2
+cos ϑ cos ϑ ϕ
e−i 2 |z+〉−sin
2 ϑ
2
= sin ϑsin ϑ
(cos ϕ−isin ϕ
2
e−iϕ ϕ
i
)e 2 +cos ϑcos ϑ
2
+ sin ϑcos ϑ
(cos ϕ+isin ϕ
2
eiϕ ϕ
−i
)e 2 −cos ϑsin ϑ
2
ϕ
−i
= e 2 sin ϑsin ϑ
ϑ
+cos ϑcos
2
2
cos ϑ
|z+〉
2
ϕ
i
+e 2 sin ϑcos ϑ
ϑ
−cos ϑsin |z−〉 = |ϑ, ϕ,+〉
2
2
σ ·n|ϑ, ϕ,−〉 = sin ϑcos ϕ
sin ϑ
2
−sin ϑ ϕ
e−i
2
200
ϕ
ei 2 |z−〉
ϕ
e−i 2 |z+〉
2 |z−〉+cos ϑ
2
ϕ
ei 2 |z−〉
ϕ
ei 2 |z+〉
(2)

Dann ist
+sin ϑsin ϕ −isin ϑ ϕ
e−i 2 |z−〉−icos
2 ϑ
2
+cos ϑ −sin ϑ ϕ
e−i 2 |z+〉−cos
2 ϑ
2
ϕ
−i = e 2 sin ϑ
|z+〉−ei ϕ
2 cos ϑ
2 |z−〉
2
= −|ϑ, ϕ,−〉 q.e.d.
ei ϕ
2 |z−〉
1
ψϑ,ϕ ≡ √2 |ϑ, ϕ,+〉 1 |ϑ, ϕ,−〉 2−|ϑ, ϕ,−〉 1 |ϑ, ϕ,+〉 2
= 1
√ cos
2
ϑ
2
× −sin ϑ
2
− −sin ϑ
ϕ
e−i 2 |z+〉 1 +sin ϑ
ϕ
ei 2 |z−〉 1
ϕ
e−i 2 |z+〉 2 +cos ϑ
ϕ
ei 2 |z−〉 2 2
ϕ
e−i 2 |z+〉 1 +cos ϑ
ϕ
ei 2 |z−〉 1
2
× cos ϑ
2
= 1
√ −cos
2
ϑ
2
ϕ
e−i 2 |z+〉 2 +sin ϑ ϕ
ei 2 |z−〉 2
2
2
ϕ
ei 2 |z+〉
2
ϑ
sin
2 e−iϕ +sin ϑ ϑ
cos
2 2 e−iϕ
|z+〉 1 |z+〉 2
0
2 ϑ ϑ
+ cos +sin2 |z+〉 1 |z−〉 2
2 2
2 ϑ ϑ
+ −sin −cos2 |z−〉 1 |z+〉 2
2 2
+ sin ϑ ϑ
cos
2 2 eiϕ −cos ϑ ϑ
sin
2 2 eiϕ
|z−〉 1 |z−〉 2
0
= |ψz〉
= 1
√ |z+〉 1 |z−〉 2−|z−〉 1 |z+〉 2
2
= 1
√ |↑〉 1 |↓〉 2 −|↓〉 1 |↑〉 2 = |ψ〉, (5)
2
wobei|↑〉 und|↓〉 irgendeineRichtungkennzeichnen.
Messen wir nun den Spin von Teilchen 1 in eine beliebige Richtung a, so
erhalten wir, wenn |↑〉 1 nun den Zustand mit Spin in diese Richtung bezeichnet,
|↓〉 2 den mit Spin in Richtung −a, für den Eigenwert von σ · a
den Wert +1 mit Wahrscheinlichkeit
falls mit Wahrscheinlichkeit 1
2 .
201
2 1√2
= 1
2
bzw. den Wert −1 eben

Zustandnach derMessung:
mit Wahrscheinlichkeit 1
2
mit Wahrscheinlichkeit 1
2
|↑〉 1 |↓〉 2
|↓〉 1 |↑〉 2
wir kennen auch den Zustand von Teilchen 2, und zwar in jedem Fall
mit Sicherheit!(Eine Messungvon Spin2entlang a bestätigtdas.)
EPR-Schlussfolgerung:
Teilchen2wurdedurchdieMessung(wegendergroßenEntfernung)nicht
beeinflusst(Lokalitätsvoraussetzung)
es muss schon vor der Messung festgestanden haben, ob Teilchen 2
im Zustand|↑〉 2 oder|↓〉 2 gefundenwird
• dies gilt für jede Wahl der Richtung a, 47 also auch z.B. für a = ez und
a = ex, wo die zugehörigen Messungen sich auf nichtkommutierendeVariablen
(σz, σx) beziehen!
• die Quantenmechanik schließt (wenn sie vollständig ist) die gleichzeitige
reale Existenz/Bestimmtheit zweier solcher Spinorientierungenaus
die Quantenmechanik muss unvollständig sein, da sie diese ZusatzinformationüberrealexistierendeBestimmungen(
” ElementederRealität“)
nicht enthält
Wir werden im Folgenden sehen, dass es noch schlimmer ist: die Quantenmechanik
muss falsch sein, wenn die Elemente der Realität überhaupt
existieren.
Bohrs Antwort auf diese Folgerung ist im Wesentlichen, dass der MessaufbauzurMessungnichtkommutierenderGrößenwechselseitiginkompatibel
istunddassnurdannüberElementederRealitätgesprochenwerdenkann,
wenntatsächlich dieeineoderandereMessungdurchgeführtwird.
Während also eine Wechselwirkung der beiden Teilchen tatsächlich ausgeschlossen
werden kann, beeinflusst doch die Messung eines von ihnen
denKatalogdermöglichenMessresultateamanderen(undderenbedingte
Wahrscheinlichkeiten).
DerEPR-ArtikelbestichtdurchklareundeinfacheSprache.BohrsAntwort
ist teilweise umständlich formuliert und mühsam zu lesen; Bohr hat die
47 WennnurfüreineRichtung afeststünde,welchesMessergebnisdieBestimmungdesSpins
1 für den Spin 2 nach sich ziehen würde, hätten wir damit kein Problem. Wir könnten
annehmen, dass die beiden Spins von Anfang an in diese Richtung orientiert waren. Das
wirdim Wesentlichendurchdie IsotropiedesZustandes |ψ〉 ausgeschlossen.Die Frageist:
Woher ” weiß“ Spin 2, dass er sich mit Wahrscheinlichkeit 1 in eine bestimmte Richtung
zu begeben hat, obwohl wir doch annehmen können, dass die beiden Spins nicht mehr
wechselwirken? Die Spins scheinen zu kommunizieren und zwar überlichtschnell, denn
man kannbeidean raumartigzueinander liegendenPunkten derRaumzeitmessen.
202

Tendenz, im Bestreben sehr genau zu sein, komplexe Bedingungen und
Erläuterungen an die eigentliche Aussage anzuhängen. Doch wenn man
ihmgerechtwird, mussman zugestehen,dassseineAntwortgültigist.Sie
enthälteine Klärung dessen,was unterdemNamen ” KopenhagenerInterpretationderQuantenmechanik“
in dieGeschichteeingegangenist.
12.2 Bellsche Ungleichung
Für lange Zeit konnte das EPR-Argument als Teil einer rein philosophischen
Streitfrage betrachtet werden. Das änderte sich 1964, als John Bell
zeigte, dass Theorien, die lokal und realistisch im Sinne von EPR sind,
zwangsläufigvonderQMverschiedeneVorhersagenmachenmüssten.Damit
wurde die Frageder ” Vollständigkeit“ derQuantenmechanik aus dem
Bereich der Philosophie in den der experimentellen Überprüfbarkeit verschoben.
Zunächst berechnen wir für den Zustand |ψ〉 aus Gleichung (1) die Wahrscheinlichkeit,
bei einer Messungvon Spin 1 längs der Richtung a und bei
einer Messung von Spin 2 längs der Richtung b jeweils den Wert +1 zu
erhalten.(a und b sindalso Einheitsvektoren.)
Nach denRegelnvonAbschnitt 7.7.3[Gl. (44)] ist dies: 48
w(a,b) = 〈ψ|δσ1·a,1 δ σ2·b,1|ψ〉 (6)
Das Kroneckersymbol ist eine Operatorenfunktion, die die Eigenwerte 0
und1annehmenkann:
δσ·a,1 = 1|a+〉〈a+| + 0 |a−〉〈a−|, (7)
in offensichtlicher Verallgemeinerung der Notation der Gleichungen (2)
bzw.(3). Andererseitsist
σ·a = |a+〉〈a+| − |a−〉〈a−| (8)
(Definition derSpin-Matrix σz mit z in a-Richtung)
undwir habendie Vollständigkeitsrelation
unddamit
1 = |a+〉〈a+| + |a−〉〈a−| (9)
δσ·a,1 = 1
(1+σ·a)
2
(10)
w(a,b) = 1
4 〈ψ|(1+σ1·a)(1+σ2·b)|ψ〉, (11)
48 Wirmüssenhier die δ-Funktion durcheinKroneckersymbolersetzen, danur diediskreten
Messwerte±1möglichsind.
203

weitergilt [siehe(4)]
1
σ1·a|ψ〉 = axσ1x +ayσ1y +azσ1z √2 |z+〉 1 |z−〉 2−|z−〉 1 |z+〉 2
= 1
√ ax |z−〉 1 |z−〉 2−|z+〉 1 |z+〉 2
2
+ay
+az
i|z−〉 1 |z−〉 2 +i|z+〉 1 |z+〉 2
|z+〉 1 |z−〉 2 +|z−〉 1 |z+〉 2
(12a)
und man verifziert leicht, dass jeder der drei Zustände in eckigen Klammern
orthogonal auf |ψ〉 ist und dass sie außerdem paarweise orthogonal
sind.
und
⇒ 〈ψ|σ1·a|ψ〉 = 0 (13a)
σ2·b|ψ〉 =
1
√2
bxσ2x +byσ2y +bzσ2z
|z+〉 1 |z−〉 2 −|z−〉 1 |z+〉 2
= 1
√ bx |z+〉 1 |z+〉 2−|z−〉 1 |z−〉 2
2
+by −i|z+〉 1 |z+〉 2−i|z−〉 1 |z−〉 2
+bz
−|z+〉 1 |z−〉 2 −|z−〉 1 |z+〉 2
=
(12a) −σ1·b|ψ〉 (12b)
⇒ 〈ψ|σ2·b|ψ〉 = 0 (13b)
〈ψ|(σ1·a)(σ2·b)|ψ〉 = −〈ψ|(σ1·a)(σ1·b)|ψ〉 (13c)
unddiewechselseitigeOrthogonalitätderZuständein(12a)bzw.(12b)[die
ja bis aufsVorzeichenidentisch mit denenvon(12a) sind]führt zu 49
〈ψ|(σ1·a)(σ2·b)|ψ〉 =
2
−〈ψ|ax σx1
(13c)
1
2
bx +ay σy1
1
2
by +az σz1
1
bz|ψ〉
= −ax bx −ayby −azbz = −a·b (13d)
Mit (13) wird aus(11)
w(a,b) = 1
4 〈ψ|(1+σ1·a)(1−σ1·b)|ψ〉 = 1
4 (1−a·b)
= 1
(1+P(a,b)), (14)
4
49 Wirkönnenetwas ausführlicherunter Ausnutzung einerbekannten Identität schreiben
−〈ψ|(σ 1 ·a)(σ 1 ·b)|ψ〉 = −〈ψ|a·b|ψ〉−i〈ψ|σ·(a×b)|ψ〉.
DerTermmitdemVektorproduktistnull.
204

wobei
P(a,b) = 〈ψ|(σ1·a)(σ2·b)|ψ〉 = −a·b (15)
dieKorrelationsfunktion fürSpinmessungenanTeilchen1inRichtungaund
Teilchen 2 in Richtung b ist, d.h. der Erwartungswert des Produkts von
Messungen[von (σ1 ·a) und (σ2 ·b)], die jeweils den Wert +1 oder -1 liefern.
DieFrage,dieBell–negativ–beantworteteist,obdiequantenmechanische
Korrelation(15)durcheine(deterministische)Theoriereproduziertwerden
kann,inderdieMesswertefürdieEinzelspinsdurchverborgeneParameter
festgelegtwerden,dienicht von derMessungam anderenSpin abhängen.
[J.S.Bell,Onthe Einstein-Podolsky-Rosen paradox, Physics1, 195 (1964).]
DerBeweisist überraschendeinfach.
Nehmenwiran,dassein(Satzvon(verborgenen))Parameter(n) λexistiert,
derfür jedeMessungvon EinzelspinsdasErgebnisbestimmt.
DasErgebnisAeinerMessungvonSpin1hängtdannvonderOrientierung
a desMagnetenab, mit dem derSpin gemessenwird,undvon (den) λ:
A = A(a, λ) = ±1 (Messungvon σ1·a) (16a)
analog hängt das Ergebnis B einer Messung von Spin 2 in Richtung b von
b und λ ab:
B = B(b, λ) = ±1 (Messungvon σ2·b) (16b)
WesentlicheAnnahme: A istvon b unabhängig, B von a
(Lokalitätsannahme)
Sei ρ(λ)dieWahrscheinlichkeitsverteilungder λ,dannistderErwartungswert
des Produktes der Messungen von σ1 ·a und σ2 ·b nach den Regeln
derklassischenWahrscheinlichkeitslehre
P(a,b) = dλ ρ(λ)A(a, λ)B(b, λ). (17)
Wegen ρ(λ)dλ = 1 gilt P(a,b) ≥ −1.
Forderung:
P(a,a) = −1
(diesist derquantenmechanische Wert)
A(a, λ) = −B(a, λ) (18)
205

außereventuellfüreine Punktmengemit Maß 0
⇒ P(a,b) = − dλ ρ(λ)A(a, λ)A(b, λ) (19)
einedritteRichtung c
P(a,b)−P(a,c) = − dλ ρ(λ) A(a, λ)A(b, λ)− A(a, λ)A(c, λ)
= dλ ρ(λ)A(a, λ)A(b, λ) A(b, λ)A(c, λ)−1
A(b,λ) 2 =1
|P(a,b)−P(a,c)| ≤ dλ ρ(λ)[1− A(b, λ)A(c, λ)]
= 1+P(b,c),
wobeiverwendetwurde |A(a, λ)| = |A(b, λ)| = 1
(20)
|A(b, λ)A(c, λ)−1| = 1− A(b, λ)A(c, λ)
also 1+P(b,c) ≥ P(a,b)−P(a,c) (21)
(21) ist einevon mehrerenFormenderbellschenUngleichung(en)
Es ist nun leicht zu sehen, dass die quantenmechanische Beziehung (15)
dieseUngleichungfür verschiedeneOrientierungenverletzt.
Am einfachstenist es,Anordnungenin derEbenezu betrachten:
cos π
3
cos 2π
3
= 1
2
= −1
2
1+P(b,c) = 1
, |P(a,b)−P(a,c)| =
2
⇒ P(a,b) = −a·b = −1
2
P(b,c) = −b·c = − 1
2
P(a,c) = −a·c = 1
2
−1
1
−
2 2
1
= 1 und 1
2
Die Ungleichung ist in einem ganzen Winkelbereich verletzt, nicht nur bei
einzelnen Winkeln, denn kleine Winkeländerungen können keine großen
Veränderungen der Ergebnisse 1
2 und 1 für die berechneten Korrelationsausdrückebewirken.
Ein anderesBeispiel:
√
2
P(a,b) = −a·b = − ≈ −0.707
√
2
2
P(b,c) = −b·c = −
2
P(a,c) = −a·c = 0
1+P(b,c) ≈ 0.293
−
√
2
= 0.707
2
206

Undeinesfür einenWinkelbereich:
P(a,b) = −cos ǫ = −1+ ǫ2
= P(b,c)
2
P(a,c) = −cos2ǫ = −1+2ǫ 2
1+P(b,c) = ǫ2
, |P(a,b)−P(a,c)| =
ǫ
2
2
2 −2ǫ2
ǫ 2
2
3
2 ǫ2
außerfür ǫ = 0
= 3
2 ǫ2
Schlussfolgerung: Die Quantenmechanik istnicht ersetzbardurcheine
lokale (deterministische) Theorie, ihre Vorhersagen
widersprechendenensolcherTheorien.
wenn das Lokalitätsargument von EPR richtig ist, muss die Quantenmechanik
falsche Vorhersagenmachen!
ExperimentelleSituation–Quantenmechanik liefert korrekteErgebnisse:
cos θ = a·b
Theorie Experiment,korrelierteProtonen
DiesesfrüheExperiment[M. Lamehi-Rachti, M.W.Mittig, Phys.Rev.D14,
2543 (1976)] wurdetatsächlich mit Spinsdurchgeführt.
NeuereExperimentearbeitenmitPhotonenstattmit massebehaftetenTeilchen
und mit der Polarisation als einer dem Spin analogen Variable. 50 Ein
berühmtesExperimentdieserArthatAlain AspectsGruppedurchgeführt:
A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, Phys. Rev. Lett., 49, 1804 (1982). Das Ergebniswar
eineBestätigungderquantenmechanischenKorrelationen.
50ZwaristdiePolarisationmitdenSpineinstellungeneinesSpin-1-Teilchens verknüpft.Aufgrund
der lichtschnellen Bewegung von Photonen haben diese aber nicht drei Spineinstellungen,
wie es einem Spin 1 entspräche, sondern nur zwei; in der klassischen Physik
entspricht dem die Transversalität von Lichtwellen. Die Algebra der Photonenpolarisation
lässtsichalsoauf dieeinesSpin- 1 2-Teilchens abbilden.
207

12.3 MerminsEPR-Gerät
UnsereBesprechungbis jetztwar korrektaberrelativ abstrakt.Wieradikal
die im EPR-Experiment stattfindenden Phänomene unserer klassisch geschulten
Anschauungwidersprechenbzw. wie schwierig esist, sie mit aus
anderen Zweigender theoretischenPhysik (Relativitätstheorie) bekannten
Tatsachenzuvereinbaren,siehtmanabervielleichterst,wennmaneinsehr
viel konkreteresBeispielbetrachtet.
Das soll jetzt getan werden. Die folgenden Ausführungen enthalten also
nichts physikalischNeues.Abersiebewirkenvielleicht einenAha-Effekt.
1985 erschien in Physics Today (April, S.38) ein inzwischen berühmter Artikel
von N.D. Mermin: Is the moon there when nobody looks? Reality and the
quantumtheory. ErenthälteineVariantedesEPR-Experimentsundeinebesondersanschauliche
Analyse.
Betrachtet wird ein Apparat, dessen Arbeitsweise zunächst beschrieben
wird, ohnezu verraten,wieerseineAufgabebewerkstelligt.
EPR-ApparatnachMermin
Gesamtaufbau: 2DetektorenAundB
1Quelle (wovon?z.B.Teilchen) C
∄ Verbindungzwischen AundB(wedermechanisch noch
elektromagnetisch)
einzige Verbindungzwischen CundA:was Caussendet
einzige Verbindungzwischen CundB: was Caussendet
❀ keineKommunikation zwischen AundB
KommunikationC–Abzw. C–B:EinwegC→A,C→B
208

JederDetektorhateinen Schaltermit dreimöglichen Positionen(1, 2, 3).
Operationsweise:
i) stelleSchalter an Azufällig auf einederdreiPositionen
ii) stelle Schalter an B zufällig auf eine der drei Positionen (unabhängig
von A)
iii) Knopfdruck auf C – kurz danach leuchtet bei A und B je eine rote
odergrüneLampeauf
iv) Aufzeichnung,z.B. 12RG
v) wiederholen,oft
Beobachtungen:
Schalter
beiA
Schalter
beiB
Lampe
beiA
Lampe
beiB
• Abblocken des ” Etwas“ von der Quelle (Ziegel zwischen entsprechenden
Öffnungen von C und A) führt dazu, dass keine Lampe am
Detektorleuchtet
• Vergrößern der Entfernung Detektor – Quelle ❀ es dauert nach
Knopfdrucklänger,bis dieLampe aufleuchtet
Schlussfolgerung: Was immer die Quelle aussendet,ist verantwortlich für
dasLeuchtenderLampen.
Ergebnisse(s.Bild nächsteSeite):
(i) immer,wenndieSchaltergleichstehen,leuchtenLampengleicherFarbe(also
etwa:11RR, 22GG, 11GG, usw.)
(ii) betrachtet man alle Ereignisse unabhängig von der Schalterstellung,
sind die Sequenzen des Aufleuchtens von Rot und Grün völlig zufällig
(d.h. 50% der Fälle Rot, 50% Grün, 50% gleiche Farbe, 50% verschiedeneFarben)
Solltenwir unshierüberwundern?
Wir versuchen,eineErklärungzu finden.
Zunächstkonzentrierenwir unsauf dasersteFaktum.
Wie können wir erklären, dass immer die gleiche Farbe aufleuchtet, wenn
auf beiden Seiten dieselbe Schalterstellung gegeben ist, ohne dass die Detektorenmiteinanderkommunizieren?
Das istrelativ leicht.
Faktum(i): DetektorenwerdenvonTeilchenmitgemeinsamenUrsprung(C)
zum Ansprechengebracht.
209

Mögliche Ergebnisliste.Fälle gleicherSchalterstellungenfettgedruckt.
ErklärungA: Jedes Teilchen trifft, wenn es in den Detektor einfliegt, ein
Ziel, dasin acht Regionen
RRR,RRG,RGR, RGG,GRR, GRG, GGR,GGG
aufgeteiltist.
210

Die Verdrahtung der Detektoren ist so, dass wenn ein Teilchen
etwa in Sektor GRG landet, grünes Licht aufleuchtet,
wenn der Schalter auf 1 steht, rotes, wenn er auf 2 steht
undgrüneswennerauf 3steht,usw.
DasAufleuchtengleicherFarbenistdadurcherklärbar,dass
die Quelle ihre Teilchen bei jedem Sendevorgang in Sektoren
schießt, die bei beiden Detektoren dieselbe Kennzeichnunghaben.
ErklärungB: Die Quelle schickt Teilchen mit 8 verschiedenen Formen
aus, Würfel, Kugeln, Tetraeder usw.; wird ein Würfel detektiert,
soll jede Schalterstellung zum Aufleuchten einer
roten Lampe führen (RRR), bei einer Kugel: eine rote Lampe
leuchtet bei Stellung 1 oder 2, eine grüne bei Stellung 3
(RRG), Tetraeder- RGR,usw.
Dann kann Faktum (i) so erklärt werden, dass die Quelle
immer zweiTeilchengleicher Formaussendet.
EssindvieleweitereErklärungendenkbar,aberalle habeneinestrukturelle
Gemeinsamkeit:
Jedes Teilchen muss (auf irgendeine Weise) einen Satz von Instruktionen
zu seinem Detektortragen,der für jede derdrei Schalterstellungenangibt,
wie die Lampe leuchten soll. Solche Instruktionssätze lassen sich immer
wie auf dem Bild EPR-Apparat nach Mermin dargestellt kodieren,also in
derForm
1 2 3
Farbe1 Farbe 2 Farbe3
undesgibt genau8verschiedenesolcherSätze.
Vollständige Instruktionssätze – es sind Instruktionen für jede Schalterstellungnötig,weileszwischenQuelleundDetektorenkeineandereKommunikationals
überdieTeilchenselbstgibt.
Bevor die Teilchen ankommen, ” wissen“ sie bei gleicher Schalterstellung
nicht,obdas11,22oder33seinwird.DamitimmerdieselbeFarbeleuchtet,
müssenInstruktionenfür alle dreiMöglichkeitenvorhandensein.
SolcheInstruktionssätzesindbeijedemSendevorgangnötig.
Klar, die Teichen können ja nicht vorher ” wissen“, ob die Schalter in gleicherStellungseinwerdenodernicht.UmFaktum(i)zuermöglichen,müssensie
auf ersteresvorbereitetsein.
Damit haben wir eine generische Erklärung von (i), d.h.eine Erklärung, die
abstraktzusammenfasst,wasallen möglichenErklärungengemeinsamist.
LeidererweistsichdieseErklärungalsinkompatibelmitFaktum(ii),dasbeinhaltet,dassimMittelüberalleExperimenteinderHälfteallerFällegleiche
Farbenvorliegenundin deranderenHälfte verschiedene.
211

Beweis: RRG ❀ selbe Farbefür 11, 22, 33, 12, 21
verschiedeneFarben für13, 31, 23, 32
d.h.: in 5
9 derFälle selbeFarbe
in 4
9
dasgilt auch fürdie Instruktionssätze
derFälle verschiedeneFarben
RGR, GRR,GGR, GRG, RGG,
weilesimmer gilt, wennzweiderFarben im Instruktionssatzgleich sind.
Übrig bleiben RRR,GGG ❀ selbeFarbefür alle Kombinationen ij, d.h.in
100% derFälle
⇒ esmussin mehr als 5
9 aller Fälle diegleicheFarbe aufleuchten.
­zu (ii)!
klassisch istein solcherApparatunmöglich!
Quantenmechanische Verwirklichung:
In der Quelle wird per Knopfdruck ein verschränkter Zustand der Form
(1) erzeugt, dessen Komponententeilchen so auseinanderfliegen, dass sie
zu den Detektoren gelangen. Die Geschwindigkeit der Teilchen sei nahe
der Lichtgeschwindigkeit, so dass die Detektionsereignisse raumartig zueinanderliegen
⇒ keineWechselwirkungvon AundB.
(InderPraxisverwendetmanPhotonen,wasdieLichtgeschwindigkeitunproblematisch
macht. Der verschränkteZustandist nicht identisch mit (1),
hat aber ähnliche Eigenschaften.)
Die Schalterstellungen 1, 2, 3 orientieren einen Stern-Gerlach-Magneten in
Richtungen a (1) , a (2) bzw. a (3) . Die Spinkomponente des ankommenden
Teilchen wird in Richtung a (i) gemessen.Beim Ergebnis +1 am DetektorA
212

leuchtetdortdieroteLampeauf,beim Ergebnis-1diegrüne.AmDetektor
B sind die Regeln umgekehrt:beim Ergebnis +1 leuchtet die grüne Lampe
auf, beim Ergebnis-1dierote.
DetektorA : DetektorB:
Spinmessungin
Richtung a (i)
Lampe
+1 R
-1 G
Spinmessungin
Richtung a (i)
Lampe
+1 G
-1 R
DiesgarantiertdieVerwirklichungvonFaktum(i).DennbeigleicherSchalterstellungwerdenSpinsindiegleicheRichtunggemessen.FürdiesenFall
wissenwirausFormel(1)von|ψ〉,dasseineMessungvom±1beiTeilchen
1 eine Messung von ∓1 bei Teilchen 2 impliziert. Also leuchten in diesem
Fallimmer gleiche Farbenauf.
ZurÜberprüfungvonFaktum(ii):
ProduktzweierSpinmessungen:+1oder-1(RG, GR oderRR,GG)
Zu zeigen ist also, dass eine Mittelung des Erwartungswertsdes Produkts
das ist gerade die Korrelationsfunktion P
= −
∑ i
a (i) ,a (j)
über alle 9 Paare
möglicherOrientierungenderMagneteNullergibt.
∑〈ψ| σ1·a
i,j
(i)
σ2·a (j)
|ψ〉 = ∑P a
i,j
(i) ,a (j)
= − ∑a i,j
(i) ·a (j)
a (i)
·
∑ j
a (j)
= 0 (22)
BeiunsererWahldera (i) –dieRichtungsvektorenliegenineinerEbeneund
schließen paarweise Winkel von 120 ◦ ein – ist das Verschwinden des Mittelwerts
durch die Symmetrie der Anordnung garantiert; die Richtungsvektoren
addieren sich zu Null auf. (Sie sind parallel zu den Seiten eines
gleichseitigenDreiecks.)
Anmerkung: Diese Anordnung der Richtungsvektoren erhält man, indem
man im ersten Beispiel bei der Diskussion der bellschen
Ungleichung [hinter (21)] den Vektor b durch −b ersetzt.
51
Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse RR, GG, RG, GR
lassen sich dann aus den dort angegebenen Werten für
P(a,c) usw. leicht bestimmen. Es treten aus Symmetriegründen
nur zwei verschiedene Sätze von Wahrscheinlichkeitenauf.
51Ungleichung (21) ist nicht verletzt, wir arbeiten hier implizit mit einer anderen bellschen
Ungleichung:für ˜P(a,b)
= −P(a,b) kann manmitderselbenBeweisideezeigen,dassgilt,
˜P(a,b)+ ˜P(a,c) ≤ 1+ ˜P(b,c).Es istdieseUngleichung, dieindermerminschenAnordnung
verletztwird–alle dreiKorrelationsfunktionenhaben denWert −1/2.
213

Gleiche
Schalterstellungen:
verschiedene
Schalterstellungen:
[man benütztFormel(14)]
wg(RR) = wg(GG) = 1
2
wg(RG) = wg(GR) = 0
wv(RR) = wv(GG) = 1
8
wv(RG) = wv(GR) = 3
8
Verschiedene Schalterstellungen kommen doppelt so
häufig vorwie gleiche
⇒ w(RR) = w(GG) = 1
1 2
+ =
3 2 8
1 3 1
· =
3 4 4
w(RG) = w(GR) = 1
0+2·
3
3
=
8
1
4
214