Eigenständigkeitserklärung

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2
Vorwort ....................................................................................................................... 4
1. Einleitung................................................................................................................ 5
2.1 Die Gravitationskraft.......................................................................................... 6
2.2 Der Auftrieb....................................................................................................... 6
2.2.1 Die Erzeugung von Auftrieb........................................................................6
2.2.2 Definitionen................................................................................................. 7
2.2.3 Der Impulssatz............................................................................................ 7
2.2.4 Das Wechselwirkungsprinzip...................................................................... 8
2.3 Der Widerstand ................................................................................................. 9
2.3.1 Die Entstehung von Widerstand ................................................................. 9
2.3.2 Experimentanordnung ..............................................................................10
2.3.3 Die Querschnittsfläche ............................................................................. 11
2.3.4 Die Körperform ......................................................................................... 12
2.3.5 Die Oberfläche.......................................................................................... 12
2.3.6 Diskussion der Ergebnisse ....................................................................... 13
2.4 Der Schub....................................................................................................... 14
2.5 Die Wirkung der vier Kräfte ............................................................................. 14
3. Berechnung der Auftriebskraft.............................................................................. 16
3.1 Bernoullische Gleichung ................................................................................. 16
3.1.1 Daniel Bernoulli ........................................................................................ 16
3.1.2 Die Bernoullische Gleichung..................................................................... 16
3.1.3 Das Kontinuitätsgesetz............................................................................. 17
3.2 Anwendung für den Tragflügel ........................................................................ 18
3.2.1 Anwendungsprinzip .................................................................................. 18
3.2.2 Experiment ............................................................................................... 19
3.2.3 Berechnung des Auftriebs ........................................................................ 20
4. Definitionen zur Berechnung des Auftriebs........................................................... 22
4.1 Das Flugzeug.................................................................................................. 22
4.1.1 Allgemeine Definitionen............................................................................ 22
4.1.2 Geschwindigkeit ....................................................................................... 23
4.2 Die Luftdichte � ............................................................................................... 24
4.2.1 ISA – internationale ICAO Standartatmosphäre ....................................... 24
4.2.2 Die Gaskonstante der Luft........................................................................ 25
4.2.3 Standardisierte Luftdichte......................................................................... 27
4.3 Der Auftriebskoeffizient................................................................................... 27
4.3.1 Voraussetzung.......................................................................................... 27
4.3.2 Berechnung .............................................................................................. 27
5. Der Tragflügel....................................................................................................... 28
5.1 Die Tragflügelform........................................................................................... 28
5.1.1 Verschiedene Formen .............................................................................. 28
5.1.2 Die Pfeilung .............................................................................................. 28
5.1.3 Flügelneigung........................................................................................... 29
5.2 Randwirbel ...................................................................................................... 29
5.2.1 Entstehung und Wirkung .......................................................................... 29
5.2.2 Einfluss der Flügelform............................................................................. 30
5.2.3 Winglets.................................................................................................... 30
6. Das Flügelprofil..................................................................................................... 31

6.1 Grundlagen ..................................................................................................... 31
6.1.1 Definitionen am Profil ............................................................................... 31
6.2 Joukowski-Transformation .............................................................................. 32
6.2.1 Prinzip ...................................................................................................... 32
6.2.2 Mathematische Herleitung........................................................................ 32
6.3 Der Simulator .................................................................................................. 41
6.3.1 Allgemeine Informationen.........................................................................41
6.3.2 Genauigkeit .............................................................................................. 41
6.4 Eigenschaften verschiedener Joukowski-Profile ............................................. 42
6.4.1 Veränderung des Einstellwinkels.............................................................. 42
6.4.2 Veränderung der Profilkrümmung............................................................. 44
6.4.3 Veränderung der Profildicke ..................................................................... 45
6.4.4 Wahl des Profils........................................................................................ 46
7.1 Unser Modell................................................................................................... 49
7.1.1 Ziel unseres Modells................................................................................. 49
7.1.2 Technische Zeichnung ............................................................................. 49
7.1.3 Vollkörper ................................................................................................. 50
7.1.4 Grösse des Modells..................................................................................50
7.1.5 Herstellung des Modells ........................................................................... 51
7.2 Experimente.................................................................................................... 52
7.2.1 Ziele.......................................................................................................... 52
7.2.2 Auftrieb ..................................................................................................... 52
7.2.3 Widerstand ............................................................................................... 54
7.2.4 Diskussion der Messdaten........................................................................ 55
8 Schlussdiskussion ................................................................................................. 57
Eigenständigkeitserklärung....................................................................................... 58
Bibliographie............................................................................................................. 59

Vorwort
- 4 -
Diese Maturarbeit entspringt unserer gemeinsamen Faszination des Fliegens. Wir
wollten uns etwas genauer mit den komplexen physikalischen Vorgängen befassen,
die wir in unvergesslichen Flugstunden hautnah selbst erlebten.
Während dem Schreiben bemerkten wir jedoch, dass wir uns nicht nur auf die
Aerodynamik beschränken können. So frischten wir unsere Chemie- und
Meteorologiekenntnisse wieder auf, lernten die komplexen Zahlen kennen und
machten sogar einen Ausflug in eine Fremdsprache, da uns zu gewissen Themen
nur englische Literatur zur Verfügung stand.
An dieser Stelle möchten wir auch Herr Reichlin von der „Heinrich Reichlin
Décolletage & mech. Werkstatt“ herzlich danken, der uns zu den Materialkosten ein
Modell aus Aluminium fräste.

- 5 -
1. Einleitung
Wer hat nicht schon einmal davon geträumt, die Welt von oben zu betrachten? In
unserer Arbeit wollen wir uns mit dem Fliegen aus physikalischer Sicht befassen. Es
soll folgende Fragestellung geklärt werden: „Welches Flügelprofil eignet sich für den
Langsamflug?“
Dabei sollen die Grundlagen der Flugmechanik theoretisch wie auch praktisch durch
Experimente erläutert werden. Mit Hilfe eines Simulators, dessen Funktionsweise wir
mathematisch herleiten, suchen wir dann ein Profil für den Langsamflug. In einem
letzten Schritt erstellen wir ein Modell, mit dem wir einige Experimente durchführen.

- 6 -
2. Die Kräfte an einem Flugzeug
2.1 Die Gravitationskraft
Fliegen zu können wie ein Vogel, scheint einer der ältesten Menschheitsträume zu
sein. Während Schriftsteller bereits im Altertum utopische Helden wie Ikarus in die
Lüfte steigen liessen, scheiterten in der Realität alle Versuche, einen Menschen
kontrolliert durch das Element Luft zu steuern, bis in das 19. Jahrhundert 1 .
Der Grund für das Scheitern war eine Kraft, die Isaac Newton (1643 – 1727) 2 als
Gewichtskraft folgendermassen beschrieb:
Formel 2.1: Gewichtskraft
Die Erdbeschleunigung g ist Ortsabhängig. In unserer Arbeit rechnen wir mit einer
m
Erdbeschleunigung von g = 9.
81 2 . Die Gewichtskraft wirkt vom Massenmittelpunkt
s
eines Objektes auf der Erde in Richtung Massenmittelpunkt der Erde.
2.2 Der Auftrieb
2.2.1 Die Erzeugung von Auftrieb
Die Gewichtskraft kann der Mensch von sich aus nicht überwinden, er benötigt dazu
ein Fluggerät, das eine Gegenkraft zur Gewichtskraft erzeugt. Diese Gegenkraft wird
als Auftrieb 3 bezeichnet. Das Fluggerät kann auf drei Arten Auftrieb erzeugen:
��Das Fluggerät ist leichter als die Luft, d.h. die vom Fluggerät verdrängte
Luftmasse hat eine grössere Gewichtskraft als das Fluggerät (archimedischer
oder statischer Auftrieb 4 , z.B. Heissluftballon)
��Das Fluggerät erzeugt eine Schubkraft, die grösser als die Gewichtskraft des
Fluggerätes ist (z.B. Rakete)
��Das Fluggerät erzeugt in einer Vorwärtsbewegung, durch eine Ablenkung der
Luft nach unten, einen aerodynamischen Auftrieb (z.B. Flächenflugzeug)
1 Neues Grosses Lexikon in Farbe, Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbH, Köln 1995, S. 440
2 Neues Grosses Lexikon in Farbe, S. 506
3 Eichenberger Willy, Aerodynamik und Flugmechanik, Bundesamt für Zivilluftfahrt, Bern 1974, S.18
4 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, Aero-Club der Schweiz, Luzern 2001,
1 – 1 – 3 S. 4
Gewichtskraft FG
=
Masse ⋅ Erdbeschleunigung
= m ⋅ g
(2.1)

- 7 -
Fluggeräte, die leichter sind als Luft, haben ein sehr grosses Volumen und erzeugen
dadurch einen sehr grossen Widerstand (vergleiche Kapitel 2.3). Sie können sich
daher nur sehr langsam fortbewegen. Fluggeräte der zweiten Kategorie haben den
Nachteil, dass sie sehr viel Energie verbrauchen, was ökologisch und ökonomisch
nicht ideal ist. Aus diesen Gründen hat sich die aerodynamische Auftriebserzeugung
in der Luftfahrt weitgehend durchgesetzt.
Unsere Arbeit handelt im Wesentlichen ebenfalls von der aerodynamischen
Auftriebserzeugung, die wir nun etwas genauer anschauen wollen.
2.2.2 Definitionen
Um einen aerodynamischen Auftrieb zu erzeugen, benötigt das Fluggerät eine
Vorrichtung, um die Luft abzulenken, einen Tragflügel 5 . Wie wir später sehen
werden, muss dieser Tragflügel eine gewisse Fläche aufweisen, um den
erforderlichen Auftrieb zu erzeugen. Diese Fluggeräte heissen dementsprechend
Flächenflugzeuge 6 .
Das Wirkungsprinzip eines Tragflügels basiert auf dem dritten Newtonschen Axiom
und dem Impulssatz.
2.2.3 Der Impulssatz
Um einen Impuls p , der als Masse m mit einer gerichteten Geschwindigkeit v
definiert ist, um ∆ p zu ändern, benötigt es einen Kraftstoss: eine Kraft F die in einer
Zeitspanne ∆t wirkt.
p = m ⋅
F ∆
t = ∆
Formel 2.2: Impuls und Kraftstoss 7
Setzen wir den Ursprung des Koordinatennetzes in den Schwerpunkt unseres
Flächenflugzeuges, bewegt sich, von unserem Standpunkt aus gesehen, nicht mehr
das Flugzeug in der Luft, sondern die Luft um das Flugzeug. Durch die Lage und die
Form der starren Tragflügel wird ein Teil der Luft nach unten abgelenkt. Da die Luft
mit der Masse m eine vektorielle Geschwindigkeit V 1 aufweist, muss der Flügel
5
Guggiari, Bruno, Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, Ausgabe 02, Aero-Club der Schweiz, Luzern
2001, Kapitel 2 – 0 S.1
6
Guggiari, Bruno, Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, 1 – 0 S.2
7
DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli Verlag AG, Zürich 2001, S. 84
v
p
(2.2)

- 8 -
einen Kraftstoss auf die Luft ausüben um sie abzulenken, also den Impuls zu ändern.
Diese Kraft F Flügel ist dementsprechend definiert durch
Abbildung 2.1: Kraftwirkung des Flügels auf die Luft
F Flügel
∆ p
= .
∆t
2.2.4 Das Wechselwirkungsprinzip
Aus dem Impulssatz alleine wird nicht klar, wie Auftrieb erzeugt werden soll. Um dies
zu verstehen, befassen wir uns kurz mit dem Wechselwirkungsprinzip, das Isaac
Newton in seinem Dritten Axiom festhielt:
Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F 21 ein, so wirkt
stets der Körper 2 auf den Körper 1 mit einer gleich grossen,
entgegengesetzt gerichteten Kraft 12 F ein8 .
F = − F
Formel 2.3: Drittes Newtonsche Axiom 8
Wenn also der Tragflügel die Kraft F Flügel auf die Luft ausübt, muss die Luft ihrerseits
eine Kraft mit der Grösse − FFlügel
auf den Tragflügel ausüben. Es gilt:
Formel 2.4: Wechselwirkung am Flügel
8 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S. 83
12
21
F =
− F
Flügel
Luft
© Damian Pang
(2.3)
(2.4)

- 9 -
Wir haben Auftrieb als eine Kraft entgegen der Gravitationskraft definiert. Um diesen
Auftrieb zu erhalten, müssen wir die Kraft F Luft , wie in Abbildung 2.2 dargestellt, in
zwei Komponenten zerlegen: die Auftriebskraft entgegen der Gravitationskraft und
die Widerstandskraft in einem rechten Winkel dazu. Es gilt :
Formel 2.5: Wechselwirkung am Flügel
Abbildung 2.2: Auftrieb und Widerstand
Der Auftrieb ist also eine Teilkomponente der Reaktion auf die Ablenkung der Luft
am Flügel. Bei der Erzeugung von Auftrieb entsteht eine Widerstandskraft, die wir im
nächsten Kapitel behandeln möchten.
2.3 Der Widerstand
FLuft =
FAuftrieb
+ FWiders
tan d
© Damian Pang
2.3.1 Die Entstehung von Widerstand
Als Widerstand bezeichnen wir die Summe aller Kräfte, die entgegen der
Flugrichtung wirken, also parallel zur vektoriellen Geschwindigkeit der Luft V 1 . Im
Kapitel 2.2 haben wir gesehen, dass am Tragflügel ein Teil dieses Widerstands
entsteht. Widerstandskräfte finden wir jedoch überall am Flugzeug: Die Strömung
fliesst nicht durch das Flugzeug hindurch, sondern aussen herum. Das bedeutet,
(2.5)

- 10 -
dass die Strömung auch von den restlichen Teilen des Flugzeuges abgelenkt wird.
Vernachlässigen wir dabei die verhältnismässig geringen Kraftkomponenten in
Richtung des Auftriebs und der Gravitation, die sich gegenseitig beinahe aufheben,
bleiben die Widerstandskräfte. Mit Hilfe einer Experimentreihe, wollen wir den
Widerstand etwas genauer analysieren.
2.3.2 Experimentanordnung
In einem Experiment liessen wir verschiedene Körper mit einem Gebläse anströmen
und massen dabei die Widerstandskraft. Abbildung 2.3 zeigt die
Experimentanordnung.
Abbildung 2.3: Experimentanordnung
© Damian Pang

- 11 -
Wir massen den Widerstand bei folgenden Körperformen:
Tabelle 2.1: Verschiedene Körperformen
Die Analyse dieses Vergleichs zeigt, dass die Widerstandskraft von drei Faktoren
abhängig ist:
2.3.3 Die Querschnittsfläche
Die Tabelle 2.2 zeigt die Ergebnisse der Widerstandsmessung bei drei Kreisplatten
mit unterschiedlichem Durchmesser relativ zur ersten Kreisplatte. Die Waage wurde
vor jeder Messung auf 0.0 g gestellt, die Werte „Waaganzeige“ sind also bereits um
das Eigengewicht der Platten korrigiert.
Tabelle 2.2: Widerstand bei Kreisplatten mit unterschiedlichem Durchmesser
© Damian Pang
© Damian Pang

- 12 -
Der Widerstand nimmt ungefähr proportional mit der Plattenfläche zu. Die Zunahme
des Widerstands bei grösserer Querschnittsfläche konnten wir auch bei Messungen
mit den fünf anderen Körperformen (siehe Tabelle 2.1) beobachten, allerdings
konnten wir die ungefähr proportionale Zunahme nur bei der Kreisplatte feststellen.
2.3.4 Die Körperform
In einer weiteren Experimentreihe massen wir den Widerstand bei fünf
verschiedenen Körpern die alle einen Durchmesser von 4.5 cm haben. Die Tabelle
2.3 zeigt die Ergebnisse relativ zum Stromlinienkörper A:
Tabelle 2.3: Widerstand bei unterschiedlichen Körpern
Aus der Tabelle 2.3 geht hervor, dass der Widerstand sehr stark von der Körperform
abhängt. Ändert sich die Lage eines Körpers gegenüber der Strömung, kann dies
einen starken Einfluss auf den Widerstand haben (siehe Halbkugel A und
Halbkugel B).
2.3.5 Die Oberfläche
Im letzten Experiment massen wir den Widerstand bei vier Körpern mit identischer
Körperform. Je zwei Körper hatten dieselbe Querschnittsfläche, jedoch eine
unterschiedliche Oberfläche. Die Abbildung 2.4 zeigt zwei Körper mit
unterschiedlicher Oberfläche:
© Damian Pang

- 13 -
Abbildung 2.4: Körper mit unterschiedlicher Oberfläche
Die Tabelle 2.4 zeigt den Widerstand der Körper mit „rauer“ Oberfläche jeweils relativ
zu dem dazugehörigen Körper mit „glatter“ Oberfläche:
Tabelle 2.4: Widerstand bei gleichen Körpern mit unterschiedlicher Oberfläche
2.3.6 Diskussion der Ergebnisse
Die Experimente wurden nicht unter Laborbedingung durchgeführt und dazu mit
einem Gebläse, das nur annähernd eine gleichmässige Strömung erzeugt. Es muss
deshalb mit einer grossen Ungenauigkeit gerechnet werden. Doch selbst unter
Berücksichtigung einer hohen möglichen Fehlerzahl können drei wesentliche
Faktoren, die den Widerstand beeinflussen, erkannt werden:

- 14 -
��Der Widerstand nimmt mit zunehmender (grösster) Querschnittsfläche des
angeströmten Körpers zu.
��Der Widerstand hängt von der Form und der Lage eines Körpers gegenüber
der Strömung ab.
��Der Widerstand ist abhängig von der Oberfläche eines Körpers.
Der Widerstand der am Flugzeug entsteht, muss ausgeglichen werden. Wir
benötigen eine Kraft, die das Flugzeug antreibt: den Schub. Das nächste Kapitel
befasst sich mit diesem Thema.
2.4 Der Schub
Um fliegen zu können, benötigen wir Auftrieb. Flächenflugzeuge können diesen
Auftrieb nur in einer Vorwärtsbewegung erzeugen. Um eine Geschwindigkeit V x zu
erreichen, muss die Masse m des Flugzeuges um a beschleunigt werden.
Formel 2.6: Kraft
Diese Beschleunigung der Flugzeugmasse benötigt eine Kraft; die Antriebskraft oder
auch Schub genannt wird. Hat das Flugzeug die gewünschte Geschwindigkeit
erreicht, benötigt es den Schub als Gegenkraft zum Widerstand, um diese
Geschwindigkeit beibehalten zu können. Wir wollen hier nicht genauer auf die
Erzeugung der Schubkraft eingehen, da dies für unsere Arbeit nicht weiter von
Bedeutung ist.
2.5 Die Wirkung der vier Kräfte
Wie wir gesehen haben, wirken im Wesentlichen vier Kräfte auf ein
fliegendes Flächenflugzeug. Im stationären Flug, wenn das Flugzeug weder
steigt, sinkt noch beschleunigt wird, ist die Vektorsumme aller Kräfte
F F + F + F = 0.
Sie heben sich gegenseitig auf.
Gewicht + Auftrieb Widerstnad Schub
F =
m ⋅ a
(2.6)

- 15 -
Abbildung 2.5: Kräfte im stationären Flug
Seitliche Kräfte, wie sie z.B. im Kurvenflug auftreten, wirken nur zeitweise. Sie sind
nicht notwendig, um das Flugprinzip eines Flächenflugzeuges zu verstehen, weshalb
hier auch nicht genauer auf sie eingegangen wird.
© Damian Pang

- 16 -
3. Berechnung der Auftriebskraft
3.1 Bernoullische Gleichung
3.1.1 Daniel Bernoulli
Wir haben das Prinzip des Auftriebs mit dem Impulssatz und dem
Wechselwirkungsprinzip erklärt. Dieser Weg ist zwar sehr leicht verständlich, doch ist
es aufgrund der Komplexität des gesamten Vorganges kaum möglich, auf diese Art
die Auftriebskraft zu berechnen.
Der Physiker, Mathematiker und Mediziner Daniel Bernoulli (1700-1782) 9 hat mit
seinen Gleichungen über Druck und Strömung den Grundstein der modernen
Aerodynamik gelegt. Wir wollen uns seine Erkenntnisse nun etwas genauer
anschauen. Dabei ist anzumerken, dass wir die Luft als inkompressibel betrachten
(was bei einer Unterschallströmung auch annähernd der Fall ist).
3.1.2 Die Bernoullische Gleichung
Ein bewegter Körper behält in einem geschlossenen System immer dieselbe
Energie. Handelt es sich bei dem Körper nicht um eine Feder, besteht die totale
Energie E tot des Körpers aus der potentiellen Energie E pot und der kinetischen
Energie E kin . Daraus lässt sich für ein geschlossenes System folgendes ableiten:
Formel 3.1: Energie 10
1 2
2 mv
In einer Luftströmung entspricht die potentielle Energie dem statischen Druck p und
die kinetische Energie dem Staudruck q einer Luftmasse mit dem Volumen V . Der
totale Druck H = p + q ist in einem geschlossenen System konstant. Es gilt also:
Formel 3.2: Bernoullische Gleichung
9 Neues Grosses Lexikon in Farbe, S. 76
10 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S. 85
E
E
E
tot
tot
kin
=
konstant
= E
=
pot
H
+ E
kin
Totaler Druck H =
konstant
= p + q
(3.1)
(3.2)

- 17 -
Der Staudruck kann nun aus der kinetischen Energie berechnet werden:
E
E
kin
kin
qV
=
1
2
= qV
=
m
Ersetzen wir die Masse m durch die Luftdichte ρ = V , erhalten wir für den
Staudruck:
3.1.3 Das Kontinuitätsgesetz
1
2
q = ρ
mv
mv
1 2
2 v
Das Kontinuitätsgesetz (auch Stetigkeitsgesetz genannt) besagt, dass bei einer
stationären Strömung der Massendurchfluss m� durch jede Querschnittsfläche A
konstant ist.
m �
= ρ vA
=
Formel 3.3: Massendurchfluss 11
Der Massendurchfluss m� und die Luftdichte ρ sind konstant. Ändert sich die
Querschnittsfläche A , muss sich dementsprechend v auch ändern, was eine
Änderung der kinetischen Energie und des Staudrucks zur Folge hat. Da der
Gesamtdruck H = p + q konstant ist, ändert sich also auch der statische Druck.
Abbildung 3.1: Statischer Druck im Strömungsrohr 12
11 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 2 S. 3
2
2
konsta nt
(3.3)

- 18 -
Während die Geschwindigkeit und somit auch der Staudruck im Punkt � gegenüber
dem Punkt � zunimmt (Kontinuitätsgesetz), nimmt der statische Druck ab. Im Punkt
� geschieht genau das Gegenteil.
3.2 Anwendung für den Tragflügel
3.2.1 Anwendungsprinzip
Das gleiche Prinzip wie in einer Strömungsröhre können wir bei einem Tragflügel
beobachten. Auf der gewölbten Oberseite des Tragflügelprofils muss sich die
Strömung beschleunigen. Nach der Gleichung von Bernoulli verursacht dies eine
Abnahme des statischen Drucks. Auf der Tragflügelunterseite geschieht genau das
Gegenteil: durch die Profilform und oder dadurch, dass das Profil gegenüber der
Strömung angestellt ist (Anstellwinkel), wird die Strömung unten abgebremst,
wodurch der statische Druck steigt. Dieser Druckunterschied zwischen der
Profilober- und der Profilunterseite erzeugt eine Kraft nach oben; den Auftrieb.
In der Abbildung 3.2 sind die verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten
�
dargestellt, dabei gilt: V2
�
> V1
�
> V3
© Damian Pang
Abbildung 3.2: Auftrieb am Tragflügel
In der folgenden Abbildung wird die Druckverteilung an einem Flügelprofil bildlich
dargestellt, wobei tiefer Druck blau-grün-gelb und hoher Druck rötlich gefärbt ist.
Abbildung 3.3: Druckverteilung an einem Flügelprofil 13
12 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 2 S. 1
13 http://www.diam.unige.it/~irro/profilo3_d.html (Webseite der Universität von Genova)

3.2.2 Experiment
- 19 -
Um dies zu zeigen, massen wir in einem Experiment diesen Druckunterschied bei
einem industriell hergestellten Flügelmodell, das je drei Löcher auf der Profiloberseite
und auf der Profilunterseite zur Druckmessung hat. Die Abbildung 3.4 zeigt die
Experimentanordnung:
Abbildung 3.4: Experimentanordnung
Die Messdaten sind sehr ungenau, da wir das Experiment nicht unter
Laborbedingungen durchführten und auch der Alkoholdruckmesser nur eine
ungefähre Druckmessung zulässt. Dennoch kann man diesen Druckunterschied
deutlich erkennen. Die Abbildung 3.5 zeigt den Druckmesser, das Flügelmodell und
die Benennung der Löcher zur Druckmessung.
Abbildung 3.5: Benennung der Löcher
© Damian Pang

- 20 -
Die Tabelle 3.1 zeigt die Resultate bei zwei verschiedenen Anstellwinkeln. Die
Drücke sind in Millimeter der Alkoholsäule.
Tabelle 3.1: Gemessener Druck
3.2.3 Berechnung des Auftriebs
Wie wir gesehen haben, entsteht der Auftrieb aufgrund unterschiedlicher
Geschwindigkeit der Strömung auf den zwei Flügelseiten. Der Auftrieb F Auftrieb
verändert sich somit proportional zur Summe des Staudrucks q = q1
+ q2
beider
Seiten. Es gilt:
F Auftrieb
Der Auftrieb entsteht durch die Profilform, durch die die Strömung beschleunigt bzw.
abgebremst wird. Je breiter der Flügel ist, umso länger findet dieser Prozess statt.
Wir nennen die Flügelbreite (Strecke von der Eintrittskante bis zur Austrittskante des
Profils) Profiltiefe s t . Die Variabel x besteht also aus der Profiltiefe und einer weitern
Komponente, wir nennen sie y .
Es gilt:
=
q
FAuftrieb = q ⋅ st
⋅ y
Wir haben die Druckverteilung bisher nur am Profil des Flügels angeschaut. Dieser
Prozess findet jedoch über den ganzen Flügel hinweg statt. Der Auftrieb muss
deshalb auch proportional zur angeströmten Länge des Flügels s l sein.
Es gilt:
F
F
Auftrieb
s
t
Auftrieb
=
q ⋅ s ⋅ s ⋅ z
⋅ s =
angeström et Flügelfäch e
= q ⋅ A ⋅ z
t
l
⋅
x
A

- 21 -
Wie stark die Strömung beschleunigt oder abgebremst wird, hängt von der Form und
der Lage des Profils im Raum ab. Dieser Wert lässt sich nicht errechnen, sondern
muss experimentell bestimmt werden. Wir nennen diesen Wert Auftriebskoeffizient
C A .
Daraus ergibt sich folgende Formel für den Auftrieb:
Formel 3.4: Auftrieb 14
In dem nun folgenden Kapitel wollen wir uns mit den einzelnen Komponenten dieser
Formel auseinandersetzen.
Auftrieb
Auftrieb
14 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 2 S. 4
F
F
= q ⋅ A ⋅C
=
1 2
ρv
2
A
⋅ A ⋅C
A
(3.4)

- 22 -
4. Definitionen zur Berechnung des Auftriebs
4.1 Das Flugzeug
4.1.1 Allgemeine Definitionen
Um ein geeignetes Flügelprofil für ein bestimmtes Flugzeug zu finden, muss zuerst
das Flugzeug selbst definiert werden.
Gemäss der Aufgabenstellung soll unser Flugzeug für den Langsamflug geeignet
sein. Es soll ein leichter, zweisitziger Tiefdecker sein.
Um bei den Betriebsgrenzen nicht willkürliche Werte einzusetzen, übernehmen wir
die Werte der Diamond DA20-A1 Katana (80 Ps-Motor), da dieses Flugzeug sehr
ähnliche Eigenschaften aufweist. Die Nachfolgenden Daten stammen von Diamond
Aircraft Industries 15 , dem Hersteller der Katana.
Abbildung 4.1: Diamond Katana 16
Die Flügelfläche der Katana beträgt 11,61 m 2 bei einer Spannweite von 10,9 m. Bei
einer Kabinenbreite von 1.06 m ergibt das eine Flügellänge von 9,83 m, bei einer
durchschnittlichen Flügeltiefe von 1,181 m. Das maximale Abfluggewicht liegt bei
730 kg. Daraus lässt sich die maximale Gewichtskraft berechnen:
F
G
m
= m ⋅ g = 730 kg ⋅ 9,
81 2 = 7161,
30
15 Diamond Aircraft Industries GmbH, Katana DA20, Wiener Neustadt 2004, Seite 2f
16 http://www.diamond-air.at/de/products/DA20-A1 (Webseite des Herstellers der Katana)
s
N

- 23 -
4.1.2 Geschwindigkeit
Unter Fluggeschwindigkeit versteht man die Geschwindigkeit des Flugzeugs
gegenüber der Luft. Bei Windeinflüssen kann die Fluggeschwindigkeit stark von der
Geschwindigkeit abweichen, die das Flugzeug gegenüber dem Boden fliegt. Aus der
Formel für den Auftrieb lässt sich erkennen, dass die Fluggeschwindigkeit einen
starken Einfluss auf den Auftrieb ausübt. Verringert sich die Fluggeschwindigkeit,
nimmt der Auftrieb ab und das Flugzeug sinkt. Fällt sie unter einen Minimalwert, die
Stallgeschwindigkeit vstall 17 , ist das Flugzeug nicht mehr flugfähig.
Für unsere Arbeit entscheidender ist jedoch die Horizontalfluggeschwindigkeit vhor.
Die Horizontalfluggeschwindigkeit bezeichnet diejenige Geschwindigkeit, in der das
Flugzeug weder sinkt noch steigt, also die Geschwindigkeit, in der die Auftriebskraft
gleich gross wie die Gewichtskraft des Flugzeuges ist. Nach Kapitel 3.2 gilt
demnach:
FA = FG = 1
2 ⋅ ρ⋅ v 2
hor ⋅ A ⋅ CA
2 2 ⋅ FG vhor =
ρ⋅ A ⋅ CA =
2 ⋅ F G
ρ⋅ A ⋅ C A
Die Fläche A und die Gewichtskraft F G wurde bereits definiert. Die
Horizontalfluggeschwindigkeit ist also abhängig von dem Luftdruck ρ und der
Fluglage, die den Auftriebskoeffizienten C A beeinflusst. Die
Horizontalfluggeschwindigkeit ist also variabel. Als Referenz für den Piloten und zu
Berechnungszwecken wird die Horizontalfluggeschwindigkeit unter standardisierten
Bedingungen angegeben:
��Starre Flügel, die nicht manipuliert sind (z.B. durch Landeklappen)
��Die Querneigung beträgt 0°
��Die Flugzeuglängsachse ist parallel zur Strömung (Steigwinkel von 0°)
kg
��Standardisierte Luftdichte ρ = ,1 225 3
m
Die Horizontalfluggeschwindigkeit beträgt bei Flugzeugen der Kategorie SEPL 18
meist weit über 100 km/h. Bei dem typischen Schulflugzeug AS-202 Bravo beträgt
die Horizontalfluggeschwindigkeit beispielsweise auf Meereshöhe rund 124 km/h 19 .
17
Bammert, Gallus, Grundlagen und Verfahren für die fliegerische Basisausbildung, AeCS, Luzern
1996, 10.1.1
18
„Single Engine, Piston, Land“: durch das Bundesgesetz für Luftfahrt definierte Flugzeugkategorie
die alle einmotorigen Landlandungsflugzeuge mit Kolbenmotor zusammenfasst
19
FFA Flug und Fahrzeugwerke AG, Flughandbuch AS202 Bravo, Altenrhein 1972, B 4 S.4

- 24 -
Von der Katana kennen wir bloss die Stallgeschwindigkeit, die mit 76 km/h bereits im
Bereich der Segelflugzeuge liegt (zum Vergleich: das Hochleistungssegelflugzeug
ASH-25 hat eine Stallgeschwindigkeit von 75 km/h 20 ). Wir setzen uns hier die
Herausforderung, diesen Wert zu überbieten und setzen die Stallgeschwindigkeit der
Katana als Horizontalfluggeschwindigkeit für unseren Flügel ein.
Wir haben die Luftdichte bisher einfach als „standardisiert“ beschrieben. Im
nachfolgenden Kapitel soll die Luftdichte etwas ausführlicher behandelt werden.
4.2 Die Luftdichte �
Die Luftdichte ist durch die Gasgleichung definiert:
Luftdichte
ρ
=
Formel 4.1: Luftdichte 21
4.2.1 ISA – internationale ICAO Standartatmosphäre
Der Luftdruck ist wetter- und ortsabhängig. Zwischen Äquator und Nordpol variiert
die Luftdichte durch die unterschiedlichen Temperaturen sehr stark. Doch selbst an
einem bestimmten Ort haben wir durch den Einfluss der Jahreszeiten und des
lokalen Wetters grosse Temperatur und Druckunterschiede. Aus diesem Grund hat
die Luftfahrtbehörde der UNO, die ICAO (International Civil Aviation Organisation),
eine allgemeingültige standardisierte Atmosphäre definiert, die ISA (International
Standart Atmosphere). Die ISA gibt Durchschnittswerte der Atmosphäre auf dem 45°
Breitengrad an, sie sind also beinahe identisch mit den Werten für die Schweiz.
ISA – Werte 22
Gaskonstante
Luftdruck
=
für die Luft ⋅ absoluteTemperatur
��Luftdruck auf Meereshöhe: 1013.25 hPa
��Luftdruckgradient: exponentiell abnehmend
��Temperatur auf Meereshöhe: + 15° C
��Temperaturgradient bis zur Tropopause: - 0.65 K/100m
��Stickstoffanteil: 78%
��Sauerstoffanteil: 21%
��Argon und Kohlendioxid: 1%
20
http://www.alexander-schleicher.de/produkte/ash25/ash25_daten.htm (Webseite des Herstellers der
ASH-25)
21
Guggiari, Bruno, Atmosphäre, 2. Ausgabe, Aero Club der Schweiz, Luzern 1998, 1 – 3 – 1 S.10
22
Guggiari, Bruno, Atmosphäre, 1 – 3 – 2 S.2
R
p
Luft ⋅
T
(4.1)

4.2.2 Die Gaskonstante der Luft
- 25 -
Die Gaskonstante für die Luft lässt sich aus der universellen Gaskonstante
berechnen:
Formel 4.2: Gaskonstante 23
Die Tabelle 4.1 zeigt die atomare Masse der Hauptbestandteile der Luft in der
atomaren Masseneinheit u:
Tabelle 4.1: Atomare Masse 24
Daraus lässt sich die molare Masse berechnen:
M
M
M
M
Stickstoff
Sauerstoff
Argon
Kohlendiox id
Molare Masse
M
Formel 4.3: Molare Masse 25
=
=
M = m
28.
0134
39.
9480
Universelle Gaskonstante
R = 8.
314472 ⋅
r
⋅
u ⋅
u ⋅
=
Masse eines Teilchens
.1 66053873⋅10
.1 66053873⋅10
= 31.
9988 u ⋅ .1 66053873⋅10
.1 66053873⋅10
= 44.
0098u
⋅ .1 66053873⋅10
−27
−27
−27
−27
kg u
kg u
kg u
kg u
−1
−1
−1
−1
⋅
⋅
⋅
⋅
J
mol K
.6 02214199 ⋅10
.6 02214199 ⋅10
.6 02214199 ⋅10
.6 02214199 ⋅10
23 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, Umschlag
24 Meyer, Werner, Periodic Table Of The Elements, Werner Meyer AG, Hergiswil 1999, S.1
25 DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S.90
−27
kg u
−1
⋅
m
T
⋅ Avgardo − Konstante
N
.6 02214199⋅10
23
23
23
23
23
mol
mol
mol
mol
mol
−1
−1
−1
−1
−1
=
=
=
=
A
.0 028013
.0 031999
.0 039948
.0 044010
(4.2)
(4.3)
kg
mol
kg
mol
kg
mol
kg
mol

- 26 -
Mit Hilfe der Molalität können die Gaskonstanten der einzelnen Bestandteile
berechnet werden.
Formel 4.4: Molalität
R
R
R
R
Stickstoff
b
b
b
b
Sauerstoff
Argon
Kohlendiox id
Stickstoff
Sauerstoff
Argon
Molalität
Kohlendiox id
=
=
=
=
= 8.
314472
= 8.
314472
= 8.
314472
= 8.
314472
1
.0 028013
1
.0 031999
1
.0 039948
1
.0 044010
J
mol⋅K
J
mol⋅K
J
mol⋅K
J
mol⋅K
kg
mol
kg
mol
kg
mol
kg
mol
⋅ 35
⋅ 31
⋅ 22
=
=
=
=
. 6972
. 2512
⋅ 25.
0325
. 7222
35.
6972
31.
2512
25.
0325
22.
7222
mol
kg
mol
kg
mol
kg
mol
kg
=
=
=
mol
kg
mol
kg
mol
kg
mol
kg
296.
803
259.
837
208.
132
= 188
. 923
Die ISA gibt uns die Volumenanteile der verschiedenen Komponenten der Luft. Um
die Gaskonstante der Luft zu berechnen, benötigen wir den Massenanteil der
einzelnen Moleküle, die in der Tabelle 4.2 dargestellt sind:
Tabelle 4.2:Massenanteil der Hauptbestandteile der Luft 26
26 http://www.geographie.ruhr-uni-bochum.de/agklima/vorlesung/aufbau/chemie.html (Webseite der
Universität Bochum, erstellt von Prof. Dr. Heribert Fleer)
b
=
1
M
J
kgK
J
kgK
J
kgK
J
kgK
(4.4)

- 27 -
Daraus lässt sich die Gaskonstante der Luft RL berechnen:
J
J
J
J
296.
803 kgK ⋅ 75.
15 + 259.
837 kgK ⋅ 23.
01+
208.
132 kgK ⋅ .1 289 + 188.
923 kgK ⋅ 0.
04
RL =
≈ 287.
06
99.
489
4.2.3 Standardisierte Luftdichte
Die Luftdichte � beträgt demnach in der ISA auf Meereshöhe:
ρ =
p 101325 Pa
=
R ⋅T
287 ⋅ 288.
15
J
kgK K
≈
,1 225
Die Betriebsgrenzen, die nach ISA berechnet wurden sind nur Richtlinien. In der
Praxis muss der Pilot die Betriebsgrenzen nach den lokalen Wetterrapporten
beurteilen. Zur Berechnung des Flügelprofils werden wir uns jedoch an diese Werte
halten.
4.3 Der Auftriebskoeffizient
4.3.1 Voraussetzung
Für unser Flugzeug liegen uns nun folgende Daten zugrunde:
��Gewichtskraft: FG = 7161,
30 N
��Flügelfläche: A
= 11, 61m
km = 76 ≈ 21,
11
m
��Geschwindigkeit: v h
s
kg
��Luftdichte: � ≈ ,1 225 3
m
2
4.3.2 Berechnung
Wir suchen also ein Flügelprofil, das im Horizontalflug aufgrund der obigen Daten
mindestens folgenden Auftriebskoeffizient aufweist (siehe Kapitel 3.2):
C
A
=
2 ⋅ F
ρv
2
F
G
Auftrieb
⋅ A
=
(
= F
G
=
101325
287⋅288,
15
1
2
ρv
2
⋅ A ⋅C
kg
m
2 ⋅ 7161 3,
≈
76⋅1000
2
) ⋅ ( ) ⋅11,
61
3600
A
3
.2 259
J
kgK

5. Der Tragflügel
5.1 Die Tragflügelform
5.1.1 Verschiedene Formen
- 28 -
Die Flügelform ist eine konstruktive Massnahme um die Flugeigenschaften eines
Flugzeugs zu beeinflussen.
5.1.2 Die Pfeilung
Abbildung 5.1: Tragflügelformen 27
Während bei einem rechteckigen Flügel die gesamte Länge a des Flügels
angeströmt wird, ist dies bei einem gepfeilten Flügel mit derselben Fläche bloss
cos(α ) ⋅ a .
© Damian Pang
Abbildung 5.2: Angeströmte Länge
Dies bewirkt eine grössere Stabilität um die Hochachse. Steht das Flugzeug nach
links hin schief in der Strömung ist die Anströmlänge des rechten Flügels grösser als
die des linken Flügels, was zu mehr Auftrieb und somit auch zu mehr Widerstand am
rechten Flügel führt und das Flugzeug in die Strömung dreht.
27 Weinholtz, Franz, Der Segelflugzeugführer, Luftfahrtverlag, Bergisch Gladbach 1997, S.173

- 29 -
Nebst der erhöhten Stabilität weist ein gepfeilter Flügel bei hohen Geschwindigkeiten
ein besseres Auftrieb-Widerstandsverhältnis auf als ein rechteckiger Flügel. Aus
diesem Grunde haben die meisten Jets gepfeilte Flügel.
Da wir aber nicht einen möglichst „gutmütigen“ sondern einen möglichst effizienten
Flügel suchen, verzichten wir auf eine Pfeilung. Denn durch die verkürzte
Anströmlänge verkleinert sich auch der Auftrieb.
5.1.3 Flügelneigung
Vor allem bei Schulflugzeugen findet man oft geneigte Flügel. Das bedeutet, dass
der Flügel in einem bestimmten Winkel � zur Flugzeugquerachse angebracht ist.
© Damian Pang
Abbildung 5.3: Flügelneigung einer ASK-21
Diese Neigung verleiht dem Flugzeug eine höhere Stabilität um die Längsachse
(gleiches Prinzip wie bei der Flügelpfeilung). Doch auch hier verringert sich der
Auftrieb F Auftrieb gegenüber dem möglichen Auftrieb ohne die Flügelneigung F AOFN
um F F ⋅ cos(α ) Wir verzichten deshalb auch auf eine Flügelneigung.
Auftrieb
= AOFN
5.2 Randwirbel
5.2.1 Entstehung und Wirkung
Aus dem Kapitel 3.2 geht hervor, dass zwischen der Strömung über dem Tragflügel
und der Strömung darunter ein grosser Druckunterschied herrscht. Der Flügel
verhindert einen Druckausgleich. Am Ende des Flügels fehlt aber diese Blockade
und es kommt zu einer Ausgleichsströmung den Randwirbeln (Wake Turbulence).
© Damian Pang
Abbildung 5.4: Entstehung der Randwirbel
Diese Randwirbel bremsen das Flugzeug, man spricht auch vom Randwiderstand.

5.2.2 Einfluss der Flügelform
- 30 -
Um den Randwiderstand möglichst klein zu halten, wurden früher die Tragflügel oft
ellipsenförmig gebaut (vgl. Abbildung 5.1). Um Kosten zu sparen, wählten einige
Flugzeughersteller statt der Ellipse das Trapez als Tragflügelform. Diese
Flügelformen haben jedoch auch Nachteile. Ein ellipsenförmiger Flügel hat bei
gleicher Spannweite eine kleinere Flügelfläche als ein rechteckiger Flügel. Um diese
Flächenverkleinerung zu kompensieren muss entweder die Spannweite oder die
Flügeltiefe erhöht werden. Um die zur Sicherheit nötige, gesetzlich vorgeschriebene
Flächenbelastung des Tragflügels von 20 [kg/m 2 ] 28 einzuhalten, muss der Flügel bei
einer Verlängerung aus stärkerem Material gebaut werden, was das Gesamtgewicht
stark erhöht. Wird die Flügeltiefe erhöht löst sich die Strömung, vor allem bei
niedrigen Geschwindigkeiten, schneller vom Flügel ab (siehe Kapitel 5.3.1).
Es gibt jedoch noch andere Massnahmen, um den Randwiderstand zu verkleinern.
5.2.3 Winglets
Randwirbel entstehen, weil eine Blockade zwischen den zwei Druckgebieten fehlt.
Bringt man an der Flügelspitze ein Winglet (angewinkelte Verlängerung des Flügels)
an, kann der Randwiderstand stark gesenkt werden.
Abbildung 5.5: Winglet einer Boeing 737-800 29
Die ideale Grösse und Form des Winglet muss experimentell bestimmt werden. Es
würde den Rahmen unserer Arbeit übersteigen, geeignete Winglets für unseren
Flügel zu suchen. Die Tatsache, dass es möglich ist, den Randwiderstand auch bei
einem rechteckigen Flügel zu minimieren, war ausschlaggebend für die
Entscheidung gegen einen elliptischen Flügel.
28 Bundesgesetz über die Luftfahrt, LFV Art. 2b Absatz 1
29 www.airliners.net

6. Das Flügelprofil
6.1 Grundlagen
6.1.1 Definitionen am Profil
- 31 -
In der Fachliteratur variieren die Bezeichnungen verschiedener Eigenschaften eines
Profils sehr stark. Aus diesem Grunde sollen die in dieser Arbeit gebrauchten
Bezeichnungen nun definiert werden.
© Damian Pang
Abbildung 6.01: Definitionen am Profil
Profiltiefe: Länge zwischen Ein- und Austrittskante
Sehne: Gerade zwischen Ein- und Austrittskante
Flugzeuglängsachse: Achse um die sich das Flugzeug beim Rollen dreht
Krümmungslinie: Mittellinie zwischen Profiloberseite und Profilunterseite
Profilkrümmung: Grösster Abstand zwischen der Sehne und der
Krümmungslinie (in Prozent der Profiltiefe)
Profildicke: Grösster Abstand zwischen Profiloberseite und
Profilunterseite (in Prozent der Profiltiefe)
Einstellwinkel: Winkel zwischen der Sehne und der Flugzeuglängsachse
Anstellwinkel: Winkel zwischen der Sehne und der Strömung

6.2 Joukowski-Transformation
- 32 -
6.2.1 Prinzip
Da wir keinen Zugang zu einem Windkanal haben, müssen wir uns auf Flügelprofile
beschränken, die mathematisch errechnet werden können, die Joukowski-Profile.
Der russische Mathematiker und Aerodynamiker Nikolai J. Joukowski (1847-1921) 30
erstellte eine komplexe Funktion, durch die ein Kreis über den Nullpunkt in ein
anderes Koordinatensystem als Stromlinienkörper transformiert werden kann.
© Damian Pang
Abbildung 6.02: Komplexe Transformation nach Joukowski
Dabei erhält man nicht nur die Form eines regelmässigen Stromlinienkörpers, es
lässt sich sogar die Auftriebskraft dieses Profils daraus berechnen.
6.2.2 Mathematische Herleitung
Bei der mathematischen Herleitung der Joukowski-Transformation befassen wir uns
vor allem mit der komplexen Strömungsfunktion, wobei wir in diesem Kapitel unter
Strömung nicht einfach einen Luftstrom verstehen, sondern Strömung als
Zusammenfassung mehrerer Strömungslinien ansehen. Eine Strömungslinie ist der
Pfad, den ein masseloses Molekül mit der freien Strömungsgeschwindigkeit U 0 um
einen Körper zurücklegt.
Um einen Kreis mit dem Radius a verändert sich die Strömung in der
zweidimensionalen Ebene regelmässig vom Mittelpunkt aus in Richtung der y-Achse.
30 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc. 1979, S. 627

© Damian Pang
- 33 -
Abbildung 6.03: Strömung um einen Kreis (Potentialströmung)
Kennen wir diesen Verlauf der Strömung, können wir die Strömung in jedem
beliebigen Punkt berechnen, indem wir den dazugehörigen Punkt auf der y-Achse
evaluieren, wie auf Seite 35 gezeigt wird. Dazu benötigen wir ein radiales
Koordinatensystem, das durch den Winkel θ und den Radius r definiert ist (siehe
Abbildung 6.03). Gemäss Benson 31 gilt für die Strömungsfunktion Ψ :
Formel 6.01: Strömungsfunktion 31
Und für das Geschwindigkeitspotential Φ in x-Richtung gilt gemäss Benson 32 :
Formel 6.02: Geschwindigkeitspotential 32
Diese beiden Funktionen können in eine komplexe Funktion umgewandelt werden.
Eine komplexe Zahl ist wie folgt definiert:
Formel 6.03: Komplexe Zahl 33
( ) � �
2 � a �
= U ⋅�
�
0r
sin θ 1−
� r �
Ψ 2
( ) � �
2 � a �
= U ⋅ �
�
0r
cos θ 1+
� r �
Φ 2
z = re
iθ
= x + iy
(6.01)
(6.02)
(6.03)
31
Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, NASA Lewis Research
Center, Cleveland 1996, S. 2
32
Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 2
33
DMK & DPK, Fundamentum Mathematik und Physik, S.68

- 34 -
Somit lässt sich eine komplexe Funktion F für die Strömung um einen Kreis
erstellen:
Daraus ergibt sich:
Es gilt:
Formel 6.04: Komplexe Strömungsfunktion 34
( x iy)
2
2
2
2
� xa iya � � a − � � a z �
F = U 0 �
� x + + iy − �
� = U 0 �
� x + iy + �
� = U 0 �
� z + �
�
2
2
2
2
� r r � � r � � r �
z ⋅ z =
2 2 2 2
( x + iy)(
x − iy)
= x − i y = x − ( −1)
z 1
→ = 2
r z
y
2
= x
2
+ y
2
=
2
z||
= r
Daraus resultiert die komplexe Funktion F für die Strömung um einen Kreis:
Formel 6.05: Komplexe Funktion für die Strömung um einen Kreis
Aus dieser komplexen Funktion erhält man die Strömungslinien (Potentialströmung)
und das Strömungspotential um einen Kreis zurück:
2
� a � �
= U �
�
�
� = �
�
0 x + iy + U 0 x + iy +
� x + iy � �
2 � a �
F = Φ(
x,
y)
+ iΨ(
x,
y)
= U �
� + �
�
0 z
� z �
2 � a x
= U �
� 0 x + 2
� x + y
Ψ + Φ = i F
2 � a �
F = U �
� z + �
�
0
� z �
2
2
a ( x − iy)
( x + iy)(
x − iy)
2
� � a y
�
� + iU �
� 0 y − 2
� � x + y
34 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, S. 745
�
�
�
�
2
( x − iy)
2
� � a
�
� = U �
� 0 x + iy + 2
� � x + y
2
2
�
�
�
�
(6.04)
(6.05)

- 35 -
2 � a y �
( x , y)
= iU �
� − �
�
0 y
kann als kubische Gleichung nach y aufgelöst werden.
2
� x + y �
Ψ 2
Setzt man a = 1,
U 1 ein, und wählt einen Punkt auf der y-Achse, durch den Linie
0 =
gehen soll, erhält man die Strömungslinien (auch Linien der Potentialströmung oder
Strömung des Potentials genannt):
© Damian Pang
Abbildung 6.04: Strömungslinien um einen Kreis
Analog dazu bekommen wir aus � �
2 � a x �
Φ( x , y)
= U �
� 0 x + das Strömungspotential:
2 2
� x + y �
© Damian Pang
Abbildung 6.05: Strömungspotential

- 36 -
Das Strömungspotential steht senkrekt zur Potentialströmung, wie die Abbildung
6.06 zeigt:
© Damian Pang
Abbildung 6.06: Potentialströmung und Strömungspotential
Führt man die Gedankengänge von Seite 35 weiter, erhält man aus
2 � a x �
( x , y)
= U �
� + �
�
0 x
mithilfe der Ableitung die Geschwindigkeitsvektoren in
2
� x + y �
Φ 2
jedem Punkt (x / y):
v x
2 2 2
a ( x − y )
2 2 2 ( x + y )
2 2 2
( x + y ) − 2x
)
( ) � �
�
� � 2
∂Φ
�
� − � = � a
= = U 0 1+
U 0 1+
∂ �
� �
2 2 2
x
�
� � x + y �
von der Seite 34 wissen wir, dass
Analog dazu erhält man:
v y
v x
x =
2 2 2
+ y r . Daraus ergibt sich:
2 2 ( r ) 2x
) �
�
�
2
∂Φ
� a −
= = U �
� 0 1+
4
∂x
� r
2
2
2
∂Φ
� 2a
xy � 2a
xy 2U
0 a xy
U � −
� − � − ⋅
= = 0 0 + � = U 2 0 =
2 2
4
4
y
�
�
( x y ) r
�
�
∂ �
�
� + � � � r
Die Geschwindigkeitsvektoren sind in der Abbildung 6.07 graphisch dargestellt:
�

- 37 -
Abbildung 6.07: Geschwindigkeitsvektoren
Die Strömung um einen Kreis kann in die Strömung um einen anderen Körper
transformiert werden. Joukowski stellte eine solche Transformation auf (siehe
Abbildung 6.02):
1
z'
= z +
z
Formel 6.06: Joukowski Transformation 35
Mit dieser Transformation kann die Strömung um einen Kreis, in eine Strömung um
1
1
eine Ellipse mit den Halbachsen c = a + a und b = a − a umgewandelt werden.
Abbildung 6.08 zeigt die Strömung um eine Ellipse:
© Damian Pang
Abbildung 6.08: Strömung um einen ellipsenförmigen Körper
35 Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 2
(6.06)

- 38 -
Bewegt man den Mittelpunkt des Kreises von z = ( 0 )0/ entlang der x-Achse nach
z = ( − x )0/ , ergibt sich bei dem Radius a = 1 + x als Projektion der Joukowski-
Transformation ein regelmässiges Stromlinienprofil. Abbildung 6.09 zeigt eine solche
Projektion mit dem Kreismittelpunkt z = ( − 0.
15 )0/ und dem Radius a = 1.
15 :
Abbildung 6.09: Strömung um ein regelmässiges Stromlinienprofil
Wird der Kreis zusätzlich in y-Richtung verschoben, erhält man als Projektion ein
gekrümmtes Stromlinienprofil, wie es in Abbildung 6.10 zu sehen ist:
Abbildung 6.10: Strömung um ein gekrümmtes Stromlinienprofil
Der deutsche Mathematiker und Aerodynamiker Wilhelm Kutta (1867-1944) 36 fand
heraus, dass bei Flügelprofilen mit scharfen Austrittskanten und bei nicht allzu
grossen Anstellwinkeln, die Strömung bei der Austrittskante die Geschwindigkeit
v Austrittsk ante
© Damian Pang
© Damian Pang
= 0 km / h hat. Bei einer Strömung unter der Kutta-Bedingung findet man
also eine „glatte“ Abströmung, wie sie in Abbildung 6.11 gezeigt wird:
36 Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, S. 745

© Damian Pang
- 39 -
Abbildung 6.11: Strömung um ein Stromlinienprofil unter der Kutta-Bedingung
Diese Projektion erhalten wir, wenn wir den Kreis in der Originalebene rotieren
lassen 37 . Durch die Rotation wird die Strömung leicht verwirbelt. Die Abbildung 6.12
zeigt die Strömung um einen sich rotierenden Kreis:
© Damian Pang
Abbildung 6.12: Strömung um einen rotierenden Kreis
Bei der komplexen Strömungsfunktion muss diese Verwirbelung mit berücksichtigt
werden. Nach dem dtv-Lexikon der Physik ist Γ als Mass für die Wirbelstärke
defeniert und folgende Formel dazu gegeben:
2 � a �
F = U 0�
� z + − iΓ
⋅ ln z
z �
�
� �
Formel 6.07: Komplexe Strömungsfunktion mit Berücksichtung der Kutta-Bedingung 38
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass wir die regelmässige Strömung um
einen Kreis berechnen, den Kreis im Koordinatennetz verschieben und
anschliessend rotieren lassen. Mit einer komplexen Transformation wird dieses
System in eine Strömung um ein Joukowski-Profil transformiert:
37 dtv-Lexikon der Physik, Band 7 (P-Re), Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1971, S. 135
38 Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 3
(6.07)

© Damian Pang
- 40 -
Abbildung 6.13: Berechnungsprinziprinzip
Da wir die Geschwindigkeit in jedem Punkt kennen, lässt sich mit den Bernoullischen
Gleichungen der Auftrieb für jedes Joukowski-Profil unter der Kutta-Bedingung in der
zweidimensionalen Ebene berechnen. Multipliziert man diesen Auftrieb mit der
Flügelbreite erhält man den Auftrieb im dreidimensionalen Raum.
Dieser Auftrieb kann für verschiedene Anstellwinkel berechnet werden, indem man
bei der komplexen Strömungsfunktion diesen zusätzlichen Parameter mit einfliessen
lässt. Für ein Joukowski-Profil unter der Kutta-Bedingung gilt für die komplexe
Strömungsfunktion bei einem Anstellwinkel α :
�
F = U 0�
� ze
�
2 −
a e
+
z
�
�
� − iΓ
⋅ ln z
�
Formel 6.08: Komplexe Strömungsfunktion bei einem Anstellwinkel � 39
39 Benson, Thomas J., Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory, S. 3
−iα
iα
(6.08)

- 41 -
Bei einem Joukowski-Profil lassen sich vier Variablen verändern:
• Die Profildicke (durch Verschiebung des Kreismittelpunktes parallel zur
x-Achse)
• Die Profilkrümmung (durch Verschiebung des Kreismittelpunktes parallel zur
y-Achse)
• Die Profiltiefe (durch Veränderung des Kreisradius)
• Der Anstellwinkel (mathematisch)
6.3 Der Simulator
6.3.1 Allgemeine Informationen
Um die unzähligen mathematischen Berechnungen nicht alle selbst durchführen zu
müssen, nehmen wir einen Simulator zu Hilfe. Es handelt sich dabei um die Java-
Applikation FoilSim II 1.5a von Ing. Thomas J. Benson, Ingenieur bei der
Amerikanischen Luft- und Raumfahrtbehörde NASA (National Aeronautics and
Space Administration). FoilSim basiert auf der Joukowski-Transformation. Dabei
lassen sich die oben genannten Variabeln bei unterschiedlicher Luftdichte,
Geschwindigkeit und Flügelfläche berechnen. Als Ausgabe erhält man die
Auftriebskraft FAuftrieb, den Auftriebskoeffizienten CA und die Koordinaten des
Flügelprofils mit dem statischen Druck bei jeder Koordinate.
6.3.2 Genauigkeit
Die ideale Strömung um eine Kugel – oder in der zweidimensionalen Ebene um
einen Kreis – ist regelmässig. Druck und Strömungsgeschwindigkeiten können so in
jedem Punkt exakt berechnet werden. Mit der Joukowski-Transformation können
daher die Werte für ein Joukowski-Profil mathematisch exakt evaluiert werden. Mit
Bernoulli können der Auftriebskoeffizient und die Auftriebskraft theoretisch exakt
berechnet werden.
Diese Werte sind jedoch in der Realität nicht ganz so exakt wie sie scheinen. Sie
gelten für eine ideale Strömung, wenn die Luft inkompressibel ist. Die Tatsache, dass
Luft kompressibel ist, hat eine derart geringe Abweichung zur Folge, dass diese
vernachlässigt werden kann. Ungenauigkeiten aber kommen daher, dass es in der
Realität keine ideale Strömung gibt. Selbst wenn das lokale Wetter genau der ISA
entspricht, ist die Atmosphäre dennoch gestört durch diverse Einflüsse
(Luftverschmutzung, Thermik, Turbulenzen, Winde, etc.), was nicht nur

- 42 -
Auswirkungen auf die Luftdichte, sondern auch auf die Viskosität der Luft und somit
auch auf die Strömung um den Flügel hat.
Der Auftriebskoeffizient ist nur von dem Anstellwinkel, der Profildicke und der
Profilkrümmung abhängig. Da diese Parameter auf beliebig viele Komastellen
eingegeben werden können, entsteht kein Eingabefehler.
Die ausgegebenen Werte sind hingegen gerundet. Die Auftriebskraft wird auf Newton
genau und der Auftriebskoeffizient auf drei Stellen nach dem Komma gerundet. Wir
interessieren uns nur für den Auftriebskoeffizienten, bei dem der Ausgabefehler
daher maximal 0.0005 beträgt. Daraus ergibt sich eine maximale absolute
Abweichung in der Auftriebsberechnung von:
1 2
1 101325 76⋅1000
2
∆FAuftrieb
< ρ v ⋅ A ⋅ ∆C
A = ( ) ⋅ ( ) ⋅11,
61⋅
,0 0005 ≈
2
2
287 ⋅288,
15
3600
.0 0158
Bei einer Auftriebskraft von mindestens 7161.3N , beträgt die relative Abweichung
bloss:
R elative
Abweichung
=
100
7161.
3
⋅
.0 0158
=
.0 000221%
Der Simulator ist also sehr genau, entspricht allerdings nicht vollkommen der
Realität. Doch da die Verhältnisse in der Realität sehr unterschiedlich sind, können
wir die simulierten Werte ohne weiteres als Referenz nehmen.
6.4 Eigenschaften verschiedener Joukowski-Profile
Im nun folgenden Kapitel soll der Einfluss der bei Joukowski-Profilen veränderbaren
Parameter auf den Auftriebskoeffizienten untersucht werden. Dabei nehmen wir ein
definiertes Profil (Profilkrümmung 9%, Profildicke 13%, Anstellwinkel 5°), bei dem wir
jeweils einen Faktor verändern. Auf die Profiltiefe wird hier nicht speziell
eingegangen, denn, obwohl sie die Flügelfläche und somit auch die Auftriebskraft
beeinflusst, hat sie keinen Einfluss auf den Auftriebskoeffizienten.
6.4.1 Veränderung des Einstellwinkels
Der Anstellwinkel verändert sich bei unterschiedlichen Fluglagen. Der Einstellwinkel
ist hingegen eine konstruktive Massnahme, um den Auftriebskoeffizienten zu
beeinflussen. Wir gehen davon aus, dass sich das Flugzeug im Horizontalflug
befindet. Es gilt also:
Anstellwinkel = Einstellwinkel
N

- 43 -
Verändern wir den Anstellwinkel unseres definierten Profils zwischen -20° und +20°
erhalten wir folgende CA-Werte :
Abbildung 6.13: Einfluss des Anstellwinkels auf den Auftriebskoeffizienten
Der Anstellwinkel wirkt sich beinahe linear auf CA aus. Ein grosser Einstellwinkel
erhöht den Widerstand, maximiert aber den Auftrieb. Dabei ist allerdings zu
berücksichtigen, dass ein grosser Einstellwinkel die Manövrierbarkeit des
Flugzeuges beeinträchtigt. Wird der Anstellwinkel nämlich zu gross, kann die
Strömung auf der Flügeloberseite dem Profil nicht mehr folgen und löst sich ab. Es
kommt zu Verwirbelungen der Strömung. Im Extremfall kann Luft aus dem hohen
Druckgebiet der Profilunterseite hinter dem Flügel auf die Profiloberseite gelangen.
Ein Strömungsabriss bremst nicht nur das Flugzeug, sondern verringert den Auftrieb
massiv.
Abbildung 6.14: Strömungsabriss bei einem Flügel 40
40 Grieder, Karl, Swissair-Flugzeuge, Meier Verlag, Schaffhausen 1981, S. 38
© Damian Pang

- 44 -
Generell nimmt der Auftriebskoeffizient also bei einem grösseren Anstellwinkel zu,
bis zur Ablösung der Strömung, wo er wieder stark abnimmt.
Abbildung 6.15: CA-Verlauf bei verschiedenen Anstellwinkeln
6.4.2 Veränderung der Profilkrümmung
Die Abbildung 6.16 zeigt den Einfluss der Profilkrümmung auf den
Auftriebskoeffizienten unseres Beispielprofils:
Abbildung 6.16: Einfluss der Profilkrümmung auf den Auftriebskoeffizienten
Der Einfluss der Profilkrümmung auf CA ist diesmal exakt eine lineare Funktion. Für
den Bereich zwischen -25% und +25% gilt:
�C A
= 0.123106 ⋅
Profilkrümmung
in
%
der
Profiltiefe
© Damian Pang
© Damian Pang

- 45 -
Eine starke Profilkrümmung wirkt sich positiv auf den Auftrieb aus, erzeugt jedoch
auch mehr Widerstand. Ausserdem verringert eine hohe Profilkrümmung den
minimalen Anstellwinkel vor einem Strömungsabriss. Die dadurch entstehende
Manövrierfähigkeitsminderung ist allerdings wesentlich kleiner als bei einem höheren
Einstellwinkel.
6.4.3 Veränderung der Profildicke
Die Profildicke kann den Auftriebskoeffizienten nur sehr geringfügig positiv
beeinflussen.
Abbildung 6.17: Einfluss der Profilkrümmung auf den Auftriebskoeffizienten
Übersteigt die Profildicke bei einem bestimmten Anstellwinkel einen kritischen Wert,
verringert sich der Auftrieb, da die Strömung auf der Profilunterseite dann
beschleunigt, statt abgebremst wird. Die Abbildung 6.18 zeigt zwei Profile mit
unterschiedlicher Profildicke. Beim grauen Profil fällt die Wölbung im ersten Drittel
der Profilunterseite auf. Dort wird die Strömung beschleunigt, anstatt abgebremst.
Der Auftrieb verringert sich.
Abbildung 6.18: Zu dickes Profil
© Damian Pang
Dieser negative Einfluss kann durch einen grösseren Einstellwinkel oder durch eine
kleinere Profilkrümmung behoben werden.
© Damian Pang

6.4.4 Wahl des Profils
- 46 -
Die Profildicke verändert den Auftrieb nur minimal. Da der Einstellwinkel die
Manövrierfähigkeit stärker beeinträchtigt als die Profilkrümmung, versuchen wir den
Einstellwinkel möglichst niedrig zu halten. Unsere Profilform wird also eine sehr
starke Krümmung haben.
Bei einem sehr dünnen Flügel gestaltet sich eine stabile Konstruktion sehr schwierig.
Aus diesem Grund soll unser Flügel eine Profildicke von minimal 10% der Profiltiefe
haben. Die Tabelle 6.1 zeigt bei verschiedenen Einstellwinkeln die maximale
Profilkrümmung, bei der sich eine Profildicke von 10% nicht negativ auf den Auftrieb
auswirkt. Die Tabelle zeigt daneben auch den maximalen Auftriebskoeffizienten mit
diesen Angaben.
Tabelle 6.1: Maximale Profilkrümmung bei unterschiedlichen Anstellwinkeln
Wir suchen einen CA-Wert von 2.259. Aus der Tabelle 6.1 geht hervor, dass bei einer
Profildicke von 10% der Anstellwinkel mindestens 3° betragen muss. Wir erhalten
daraus bei einem Einstellwinkel von 3° und einer Profildicke von 10% für C = .2 259
eine Profilkrümmung von 15,275%.
© Damian Pang
Mit FoilSim können wir damit die Profilform für einen Joukowski-Flügel berechnen.
Die Tabelle 5.6 zeigt die Koordinaten (X,Y) der Profiloberseite (Upper Surface) und
der Profilunterseite (Lower Surface), sowie den Druck (P, in Pfund pro Quadratinch)
und die Strömungsgeschwindigkeit (V, in Meilen pro Stunde):
A

- 47 -
Tabelle 6.2: Daten unseres Flügelprofils
Daraus können wir die Flügelform und die Druckverteilung graphisch darstellen:
© Damian Pang
Abbildung 6.19: Unser Flügelprofil

- 48 -
Abbildung 6.20: Druckverteilung an unserem Flügel
© Damian Pang

7 Modell
- 49 -
Ein Modell 41 repräsentiert ein Original, erfasst aber nicht alle Attribute des Originals,
sondern nur jene die dem Modellschaffenden relevant erscheinen. Was für ein
Modell erstellt wird, hängt stark von dem Ziel ab, zu dem das Modell verwendet wird.
7.1 Unser Modell
7.1.1 Ziel unseres Modells
Unser Modell soll zwei Ziele erfüllen:
��Das Modell soll unser Profil, beziehungsweise einen Ausschnitt unseres
Flügels veranschaulichen.
��Das Modell soll zu experimentellen Zwecken verwendet werden können.
7.1.2 Technische Zeichnung
Eine Zeichnung in einem bestimmten Massstab gibt die Form des Profils exakt
wieder. Im Gegensatz zu einer einfachen Zeichnung enthält die technische
Zeichnung zusätzliche Informationen, beispielsweise Hilfslinien, Masse oder
Beschriftungen. Die Abbildung 7.1 zeigt eine technische Zeichnung unseres Profils
im Massstab 1:8 und ist bereits ein Modell.
Abbildung 7.1: Technische Zeichnung unseres Profils
Dieses Modell (technische Zeichnung) zeigt unseren Flügel nur in der
zweidimensionalen Ebene. Vor allem aber lassen sich keine Experimente an einer
Zeichnung durchführen. Die technische Zeichnung ist allerdings die Grundlage zum
Bau eines viel besseren Modells, das sogar dreidimensionale Zeichnungen in den
Schatten stellt : ein dreidimensionaler Körper.
41 Neues Grosses Lexikon in Farbe, S. 480

7.1.3 Vollkörper
- 50 -
Ob bei grossen Airlinern oder bei kleinen Sportflugzeugen; die Flügel werden meist
aus Rippen, Stegen und Holmen gebaut, die mit Metall, Stoff oder einer
Kunststofffolie bespannt sind. Die Abbildung 7.2 zeigt den Aufbau eines solchen
Flügels:
Abbildung 7.2: Aufbau eines Flügels 42
Viele Modellbauer greifen ebenfalls auf diese Bauweise zurück. Solche Modelle sind
zwar sehr leicht, sind aber nicht sonderlich stabil. Da viele Einzelteile
zusammengesetzt und gemeinsam bespannt werden, können bereits kleine
Ungenauigkeiten zu einem unförmigen Flügel führen.
Wir beabsichtigen nicht, ein flugfähiges Modellflugzeug zu bauen. Aus diesem Grund
spielt das Gewicht des Modells eine untergeordnete Rolle. Wir können daher ohne
Probleme ein Vollkörpermodell bauen, was nicht nur weniger Zeit beansprucht,
sondern auch viel genauer ist.
7.1.4 Grösse des Modells
Unser Flügel ist homogen, das Profil ist also von der Flügelspitze bis zur
Flügelwurzel genau gleich. Somit kann ein Flügelausschnitt sowohl bei einem
Experiment wie auch beim betrachten als repräsentativ für den ganzen Flügel
angesehen werden. Es reicht also aus, wenn unser Modell bloss aus einem
Flügelausschnitt besteht.
42 Guggiari, Bruno, Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, Kapitel 3 – 1 – 1 S.2

- 51 -
Je grösser das Modell ist, desto genauer werden die Messwerte bei den
Experimenten. Ein grosses Modell ist meist auch anschaulicher als ein kleineres. Für
die Experimente steht uns jedoch nur ein kleines Gebläse zur Verfügung. Um
brauchbare Messdaten zu erhalten, muss das ganze Profil angeströmt werden.
Aufgrund der Profildicke und der starken Profilkrümmung, entschieden wir uns für
den Massstab 1:8, bei dieser Grösse kann das gesamte Profil angeströmt werden.
Unser Flügel hat eine Flügeltiefe von 1.181 m. Bei einem Massstab von 1:8, erhält
das Modell somit eine Flügeltiefe von 14.76 cm.
7.1.5 Herstellung des Modells
Um eine möglichst genaue Anfertigung bemüht, suchten wir nach geeigneten
Methoden, um unser gewünschtes Modell herzustellen. Am genausten schien uns
eine maschinelle Herstellung. So setzten wir uns mit der „Heinrich Reichlin
Décolletage & mech. Werkstatt“ 43 in Verbindung. Herr Reichlin half uns, unser Modell
CNC zu fräsen. Da wir bei unserem Flügelprofil über keinerlei CAD-Daten verfügten,
mussten wir das Profil im Massstab 1:8 ausdrucken und Herrn Reichlin übergeben.
Er las diese Zeichnung in seine CAD-Software ein und konnte so die Form direkt an
die Fräsmaschine senden. So wurde unser Modell maschinell aus einem
Aluminiumblock gefräst. Da die Werkstatt über keine Maschinen verfügt, die das
gesamte Modell auf einmal in seiner ganzen Länge hätte fräsen können, stellten wir
vier jeweils ca. 5 cm lange Stücke her, die wir mit Klebstoff zusammenfügten.
Abbildung 7.3: Vollkörpermodell aus Aluminium
43 HR Heinrich Reichlin Baar Décolletage & Mech. Werkstatt, Sihlbruggstr. 103, 6340 Baar

- 52 -
Die vier gefrästen Aluminiumprofile sind absolut identisch und sehr genau. Die
einzige Ungenauigkeit in der Profilform sind die ersten Zentimeter der
Profilunterseite, wo das Profil ein paar Millimeter zu dünn ist. Weitere
Ungenauigkeiten sind die Rillen, die deutlich erkennen lassen, dass unser Modell
aus vier Teilen zusammengefügt wurde, sowie kleinere Spuren von Klebstoff auf
dem Modell. Alles in allem erfüllt das Modell aber unsere Zwecke.
Um unser Modell zu schützen, lackierten wir es nach den Experimenten in silberner
Farbe.
7.2 Experimente
7.2.1 Ziele
Mit Hilfe von FoilSim konnten wir zwar den Auftrieb unseres Flügels berechnen,
jedoch nicht den Widerstand. Da wir keinen Zugang zu einem Windkanal haben, ist
es nicht möglich, den Widerstand absolut zu messen. Wir können jedoch in simplen
Experimenten das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand bei verschiedenen
Anstellwinkeln messen, um so etwas über die Qualität unseres Flügels zu erfahren.
7.2.2 Auftrieb
In einer ersten Experimentreihe massen wir den Auftrieb bei verschiedenen
Anstellwinkeln. Die Abbildung 7.4 zeigt die Experimentanordnung.
Abbildung 7.4: Experimentanordnung zur Messung des Auftriebs

- 53 -
Aus dieser Experimentreihe erhielten wir folgende Daten:
Tabelle 7.1: Auftrieb bei verschiedenen Anstellwinkeln
Die Abbildung 7.5 zeigt den gemessenen Verlauf des Auftriebs, sowie eine
Vergleichslinie zum theoretischen Verlauf des Auftriebs, wie er in Kapitel 6.4.1
behandelt wurde:
Abbildung 7.5: Auftrieb bei unterschiedlichen Anstellwinkeln

- 54 -
Die Abweichungen ab einem Anstellwinkel von +15° bzw. -15° lässt sich durch das
zu kleine Gebläse erklären, dass ab diesen Anstellwinkeln nicht mehr das ganze
Modell anströmen konnte.
7.2.3 Widerstand
In einer zweiten Experimentreihe massen wir den Widerstand bei verschiedenen
Anstellwinkeln. Die Abbildung 7.6 zeigt die Experimentanordnung.
Abbildung 7.6: Experimentanordnung zur Messung des Widerstands
Die Tabelle 7.2 zeigt die Daten, die wir aus diesem Experiment erhielten:

- 55 -
Tabelle 7.2: Widerstand bei verschiedenen Anstellwinkeln
7.2.4 Diskussion der Messdaten
Wie bereits erwähnt, können die Messdaten nicht absolut betrachtet werden, da sie
nicht unter Laborbedingungen entstanden und somit sehr ungenau sind. Wir können
aber das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand analysieren.
Die Abbildung 7.7 zeigt das Verhältnis zwischen Auftrieb und Widerstand. Dieser
Wert gibt also an, wie viel Newton Auftrieb pro Newton Widerstand erzeugt wird bei
verschiedenen Anstellwinkeln:
Abbildung 7.7: Widerstand bei verschiedenen Anstellwinkeln

- 56 -
Genauso wie der Auftrieb, nimmt auch der Widerstand quadratisch mit der
Geschwindigkeit zu. Dies wird aus der Formel für den Widertand deutlich. Der
Widerstandskoeffizient CW ist von der Körperform, der Querschnittfläche und der
Oberflächenbeschaffenheit des Flügels abhängig.
Formel 7.1: Widerstand 44
Daraus lässt sich schliessen, dass dieses Verhältnis zwischen Auftrieb und
Widerstand bei allen Geschwindigkeiten gilt.
Da wir keine Vergleichsdaten finden konnten, ist es schwierig dieses Ergebnis zu
bewerten. Wir beide waren jedoch positiv von diesem Resultat überrascht, da wir bei
einer so starken Profilkrümmung mit einem viel grösseren Widerstand rechneten.
Fest steht auch, dass unser Flugzeug viel wirtschaftlicher ist, als ein Fluggerät, das
den Auftrieb durch Schub erzeugt.
FWiders tan d =
CW
ρ v
44 Guggiari Bruno & Weichelt Peter, Principles of Flight, 1 – 1 – 4 S. 5
1
2
2
A
(7.1)

- 57 -
8 Schlussdiskussion
Unsere Arbeit zeigt die Basiselemente der Aerodynamik, sowohl theoretisch als auch
in praktischen Experimenten. So konnten wir beispielsweise die Faktoren, die den
Widerstand beeinflussen, experimentell bestimmen. Wir konnten auch aufzeigen,
wie die Aerodynamik mit der Meteorologie und diese wiederum mit der
Chemie verknüpft ist.
Unsere Arbeit zeigt auch, dass es möglich ist, die Eigenschaften gewisser Flügel rein
mathematisch zu berechnen. Dadurch lässt sich ein ganzer Flügel rein theoretisch
erstellen. In diesem Zusammenhang konnten wir auch eine Möglichkeit zeigen, wie
man sich in verschiedenen Schritten, einem Flügelprofil mit einer bestimmten
Eigenschaft annähert. Gleichzeitig mussten wir aber auch feststellen, dass man in
der Aerodynamik ohne Möglichkeiten für zuverlässige Experimente, sehr schnell an
die grenzen der Möglichkeiten stösst. So ist es beispielsweise nicht möglich,
geeignete Winglets zu erstellen, oder den Widerstand des Flügels zu evaluieren.
Durch die beschränkten Mittel konnten wir bloss ungenaue Experimente durchführen,
aus denen bloss eine Tendenz abgeleitet werden kann.
Im Allgemeinen können wir sagen, dass wir unsere Aufgabenstellung beantworten
konnten. Wir sind fest davon überzeugt, dass unser Flügel ein echtes Flugzeug in die
Lüfte bringen könnte. Der Menschheitstraum vom Fliegen könnte so einmal mehr
Realität werden.

- 58 -
Eigenständigkeitserklärung
Wir bestätigen, dass wir diese Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die
angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt haben.
Die Autoren
Ort: 5610 Wohlen Datum: 25. Januar 2005
Damian Pang Guido Hungerbühler

Bibliographie
Bücher
- 59 -
Bammert, Gallus: Grundlagen und Verfahren für die fliegerische
Basisausbildung, AeCS, Luzern 1996
Benson, Thomas J.: Interactive Educational Tool for Classical Airfoil Theory,
NASA Lewis Research Center, Cleveland 1996
Bundesgesetz über die Luftfahrt
Diamond Aircraft Industries: Katana DA20, Wiener Neustadt 2004
DMK & DPK: Fundamentum Mathematik und Physik, Orell Füssli
Verlag, Zürich 2001
Eichenberger, Willy: Aerodynamik und Flugmechanik, Bundesamt für
Zivilluftfahrt, Bern 1974
FFA Flug und Fahrzeugwerke: Flughandbuch AS202 Bravo, Altenrhein 1972
Grieder, Karl: Swissair-Flugzeuge, Meier Verlag, Schaffhausen 1981
Guggiari, Bruno: Principles of Flight, Aero-Club der Schweiz, Luzern 2001
Allgemeine Luftfahrzeugkentnisse, Ausgabe 02, Aero-Club
der Schweiz, Luzern 2001
Atmosphäre, 2. Ausgabe, Aero Club der Schweiz, Luzern
1998
Kreyszig, Erwin: Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons
Inc. 1979
Meyer, Werner: Periodic Table Of The Elements, Werner Meyer AG,
Hergiswil 1999
Neues Grosses Lexikon in Farbe, Buch und Zeit Verlagsgesellschaft mbH, Köln 1995
Weichelt, Peter: Principles of Flight, Aero-Club der Schweiz, Luzern 2001
Weinholtz, Franz: Der Segelflugzeugführer, Luftfahrtverlag, Bergisch
Gladbach 1997

Internet
- 60 -
http://www.diam.unige.it/~irro/profilo3_d.html (Webseite der Universität von Genova)
http://www.diamond-air.at/de/products/DA20-A1 (Webseite des Herstellers der
Katana)
http://www.alexander-schleicher.de/produkte/ash25/ash25_daten.htm (Webseite des
Herstellers der ASH-25)
http://www.geographie.ruhr-uni-bochum.de/agklima/vorlesung/aufbau/chemie.html
(Webseite der Universität Bochum, erstellt von Prof. Dr. Heribert Fleer)
www.airliners.net (Bildersammlung über die Luftfahrt)