Lagrange Formalismus - Berlin

Eulerlagrange Gleichung:
0 = d [ ∂
dt ∂ ˙ϕ L] − ∂
∂ϕ L
0 = d [ ∂ 1
dt ∂ ˙ϕ 6 mS2 ˙ϕ(t) 2 + 1
2 Sgm cos(ϕ(t))] − ∂ [1
∂ϕ 6 mS2 ˙ϕ(t) 2 + 1
Sgm cos(ϕ(t))]
2
0 = d [ ∂ 1
dt ∂ ˙ϕ 6 mS2 ˙ϕ(t) 2] − ∂ [1
Sgm cos(ϕ(t))]
∂ϕ 2
0 = 1
3 mS2 ¨ϕ(t) + 1
Sgm sin(ϕ(t))
2
0 = ¨ϕ(t) + 3 g
2 S sin(ϕ(t)).
Für kleine Auslenkungen ist sin(ϕ(t)) ≈ ϕ(t) und so ergibt sich:
0 = ¨ϕ(t) + 3 g
2 S ϕ(t).
Die Lösung sieht man sofort:
√ √
3g
3g
ϕ(t) = A cos( t) + B sin(
2S 2S t).
1.3 U-Rohr
Hier befindet sich in einem U-Rohr der Dicke A eine Flüssigkeit der Dichte ρ.
Diese soll sich reibungsfrei und inkompressibel sich im Rohr bewegen können.
Das heißt die Geschwindigkeit der Oberfläche ist gleich der Geschwindigkeit
überall im Rohr.Unsere generalisiertekordinate ist die Höhe h(t). Wir müssen
nun wieder V und T bestimmen.
Abbildung 3: U-Rohr
Um ein Volumenelement um ∆y anzuheben muss ∆V an sich anheben und
auch noch auf der anderen Seite ∆V um ∆y aus der Ruhelage heben. Damit
folgt:
∫ y
V = − dh2 · hρAg
o
= −h 2 ρAg
4