Probeklausur Analysis III WS 2012/2013

Probeklausur Analysis III
WS 2012/2013
– Prof. Dr. D. Müller –
Name: ............................ Vorname: ............................
Übungsleiter: .................... Lehramt: Ja/ Nein ....................
Alle Antworten sind zu begründen!
Zum „Bestehen“ der Probeklausur müssen in jedem Aufgabenblock mindestens 40 % der
Punkte erzielt werden, und insgesamt mindestens 50% der Punkte.
Die letzte Aufgabe 6 auf der Rückseite muss von Lehramtsstudierenden nicht bearbeitet
werden; diese können damit jedoch Zusatzpunkte erwerben.
A. Rechenaufgaben
1. Sei P ⊂ R2 das Parallelogramm mit den Ecken (0, 0), (1, 0), (1, 2) und (2, 2), und
sei Z ⊂ R3 der Zylinder mit Basis P und Höhe 2. Zeichnen Sie P und Z, und
bestimmen Sie
x cos(zx) d(x, y, z) .
Z
2. Sei A ⊂ R 3 der Rotationskörper A := {(x, y, z) ∈ R 3 : 1 ≤ x 2 +y 2 ≤ e z , 0 ≤ z ≤ 1}.
Zeichnen Sie A, und berechnen Sie das Volumen von A. (10)
3. Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Lebesgue
1 cos
lim
n→∞
x
n √
1 − x2 dx.
B. Aufgaben zur Theorie
0
4. a) Gibt es Nullmenge im R n mit inneren Punkten? (3)
(10)
b) Ist der Rand ∂A einer jeden Teilmenge A ⊂ R n stets Lebesgue-messbar? (3)
c) Ist eine Teilmenge A ⊂ R n Lebegue-messbar genau dann, wenn ihre charakteristische
Funktion dies ist? (4)
5. Sei r > 0, und sei S : R n → R n die Abbildung S(x) = rx. Beweisen Sie anhand der
Definitionen:
Ist f ∈ L 1 (R n ), so ist auch f ◦ S ∈ L 1 (R n ), und es gilt
R n
f(rx)dx = r −n
R n
f(x)dx.
(6)
(10)

6. Sei {Ak}k∈N eine Folge Lebesgue-messbarer Teilmengen des R n mit
k v(Ak) < ∞.
Folgern Sie, dass f.a. x ∈ R n in höchstens endlich vielen der Mengen Ak liegen.
Hinweis Betrachte die Funktion f :=
k 1Ak
(10)