Mittwoch 19.6.2013

Mathematik für Physiker IV, SS 2013 Mittwoch 19.6
$Id: hilbert.tex,v 1.6 2013/06/22 23:06:35 hk Exp $
§7 Hilberträume
7.2 Orthonormalbasen
In der letzten Sitzung hatten wir begonnen uns mit dem Begriff einer Orthonormalbasis
eines Hilbertraums H über K ∈ {R, C} zu beschäftigen. Eine solche Orthonormalbasis
ist eine Folge (u n ) n∈N normierter Vektoren in H die paarweise senkrecht aufeinander
stehen und für die zusätzlich
H = 〈{u n |n ∈ N}〉 = H
gilt. Letztere Bedingung bedeutet explizit das es für jeden Vektor x ∈ H und jedes
ɛ > 0 stets endlich viele λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit
∣∣ n∑ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ x − λ j u j < ɛ
j=1
gibt. Wir wollen zeigen, dass es in jedem unendlichdimensionalen, aber nicht zu großen,
Hilbertraum stets eine solche Orthonormalbasis gibt. Wir beginnen damit den Begriff
einer Orthonormalbasis näher zu untersuchen, zunächst einmal sieht unsere Definition
völlig anders aus als der vertraute Basisbegriff in einem endlich erzeugten Vektorraums
gemäß I.§11.3, ist u 1 , . . . , u n eine Basis eines solchen Vektorraums V so konnten wir
jeden Vektor u ∈ V eindeutig als eine Linearkombination
u =
n∑
λ k u k
k=1
mit geeigneten Skalaren λ 1 , . . . , λ n schreiben. Wir wollen uns überlegen das eine Orthonormalbasis
eines Hilbertraums dieselbe Eigenschaft hat, man muss nur die endliche
Linearkombination durch eine unendliche Reihe ersetzen.
Lemma 7.11 (Charakterisierung der Orthonormalbasen)
Seien K ∈ {R, C}, H ein Hilbertraum über K und (u n ) n∈N eine orthonormale Folge in
H. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Folge (u n ) n∈N ist eine Orthonormalbasis.
(b) Für jedes x ∈ H gilt
∞∑
x = 〈x|u n 〉u n .
n=1
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(c) Für alle x, y ∈ H gilt die sogenannte Parseval-Identität
∞∑
〈x|y〉 = 〈x|u n 〉〈y|u n 〉.
n=1
(d) Für jedes x ∈ H gilt die sogenannte Bessel-Identität
∞∑
||x|| 2 = |〈x|u n 〉| 2 .
n=1
Beweis: (a)=⇒(b). Sei x ∈ H. Für jedes n betrachten wir dann die Partialsumme
x n :=
n∑
〈x|u k 〉u k ∈ H,
k=1
und müssen zeigen das die Folge (x n ) n∈N in H gegen x konvergiert. Für alle n, k ∈ N
mit 1 ≤ k ≤ n gilt
〈 n∑ ∣ 〉 ∣∣∣
n∑
〈x n |u k 〉 =
j 〉u j u k = 〈x|u j 〉〈u j |u k 〉 = 〈x|u k 〉||u k ||
j=1〈x|u 2 = 〈x|u k 〉
da für 1 ≤ j ≤ n mit j ≠ k stets 〈u j |u k 〉 = 0 ist, und weiter ist auch
Wir zeigen nun das
j=1
〈x − x n |u k 〉 = 〈x|u k 〉 − 〈x n |u k 〉 = 0.
||x − x n+1 || ≤ ||x − x n ||
für jedes n ∈ N gilt. Ist nämlich n ∈ N gegeben, so folgt mit dem Satz des Pythagoras
Lemma 1.(b) wegen x − x n+1 ⊥ u n+1
||x − x n || 2 = ||x − x n+1 + 〈x|u n+1 〉u n+1 || 2
= ||x − x n+1 || 2 + |〈x|u n+1 〉| 2 · ||u n+1 || 2 ≥ ||x − x n+1 || 2 ,
und damit ist tatsächlich ||x − x n+1 || ≤ ||x − x n ||. Die Folge (||x − x n ||) n∈N ist also
monoton fallend, und konvergiert somit nach I.§6.Satz 3.(b) gegen
lim ||x − x n|| = inf{||x − x n || : n ∈ N}.
n→∞
Sei jetzt ɛ > 0. Da wir 〈{u n |n ∈ N}〉 = H annehmen, gibt es ein n ∈ N und Skalare
λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit
n∑
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ x − λ k u k < ɛ.
k=1
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Wieder nach dem Satz des Pythagoras ist wegen x − x n ⊥ ∑ n
k=1 (〈x|u k〉 − λ k )u k
n∑
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣
2 ∣∣ ∣∣ x − n∑
∣∣∣ ∣∣∣
2
λ k u k =
∣∣ x − x n + (〈x|u k 〉 − λ k )u k
k=1
d.h. es gilt
k=1
= ||x − x n || 2 +
∣∣
∣∣ n∑
∣∣∣ ∣∣∣
2
(〈x|u k 〉 − λ k )u k ≥ ||x − x n || 2 ,
k=1
n∑
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣
||x − x n || ≤
∣∣ x − λ k u k < ɛ.
Dies zeigt inf{||x − x n || : n ∈ N} = 0 und somit ist lim n→∞ ||x − x n || = 0, die Folge
(x n ) n∈N konvergiert also gegen x.
(b)=⇒(c). Mit der Stetigkeit des Skalarprodukts nach Lemma 5 ergibt sich
〈 n∑ ∣ ∣∣∣ n∑
〉
∑
〈x|y〉 = lim 〈x|u j 〉u j 〈y|u k 〉u k = lim 〈x|u j 〉〈y|u k 〉〈u j |u k 〉
n→∞ n→∞
j=1
k=1
1≤j,k≤n
n∑
∞∑
= lim 〈x|u j 〉〈y|u j 〉 = 〈x|u n 〉〈y|u n 〉.
n→∞
(c)=⇒(d). Aussage (d) ist der Spezialfall x = y von (c).
(d)=⇒(a). Ist x ∈ 〈{u n |n ∈ N}〉 ⊥ , so gilt 〈x|u n 〉 = 0 für jedes n ∈ N, also ist auch
||x|| 2 = ∑ ∞
n=1 |〈x|u n〉| 2 = 0, d.h. x = 0. Dies zeigt 〈{u n |n ∈ N}〉 ⊥ = {0}, also ist nach
Korollar 10 auch
k=1
j=1
〈{u n |n ∈ N}〉 = 〈{u n |n ∈ N}〉 ⊥⊥ = {0} ⊥ = H.
Damit ist das Lemma vollständig bewiesen.
n=1
Wir haben den Beweis der Implikation von (a) nach (b) ganz direkt geführt, man
kann das Argument etwas verkürzen indem II.§6.Satz 6 verwendet wird. Aussage (b)
dieses Satzes ist der Grund für die Bezeichnung ”
Orthonormalbasis“, man kann jeden
Vektor in eine ”
unendliche Linearkombination“ der Basisvektoren entwickeln. Diese
Darstellung ist auch eindeutig wie uns das nächste Korollar zeigen wird.
Korollar 7.12 (Eindeutigkeit der Basisdarstellung)
Seien H ein Hilbertraum über K ∈ {R, C} und (u n ) n∈N eine orthonormale Folge in H.
(a) Ist (λ n ) n∈N eine quadratsummierbare Folge in K, gilt also ∑ ∞
n=1 |λ n| 2 < ∞, so
existiert in H der Grenzwert
∞∑
x := λ n u n
und für jedes n ∈ N gilt λ n = 〈x|u n 〉.
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n=1

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(b) Ist (u n ) n∈N eine Orthonormalbasis von H, so läßt sich jedes x ∈ H eindeutig in
eine Reihe
∞∑
x = λ n u n
n=1
mit einer Koeffizientenfolge (λ n ) n∈N in K entwickeln und für jedes n ∈ N ist
dann λ n = 〈x|u n 〉.
Beweis: Ist (λ n ) n∈N eine Folge in K und konvergiert die Reihe
x =
∞∑
λ n u n ,
n=1
so folgt mit der Stetigkeit des Skalarprodukts Lemma 5 für jedes k ∈ N die Gleichung
〈 ∞ ∣
∑
〉 ∣∣∣ ∞∑
〈x|u k 〉 = λ n u n u k = λ n 〈u n |u k 〉 = λ n ||u n || 2 = λ n .
n=1
Damit können wir nun zu den beiden Behauptungen des Korollars kommen.
(a) Sind n, m ∈ N mit n ≤ m, so gilt
∣∣ m∑ ∣∣∣ ∣∣∣
2
∣∣
λ k u k = ∑
m∑
λ k λ l 〈u k |u l 〉 = |λ k | 2 ,
k=n
n≤k,l≤m
n=1
und somit erfüllt die Reihe ∑ ∞
n=1 λ nu n die Cauchybedingung I.§7.Satz 8 für Reihen
und ist somit konvergent. Die zweite Teilaussage von (a) haben wir bereits eingesehen.
(b) Die Existenz einer solchen Reihendarstellung gilt nach Lemma 11 und die Eindeutigkeit
haben wir zu Beginn dieses Beweises eingesehen.
k=n
Im nächsten Schritt können wir nun den Projektionssatz II.§6.Satz 6 auf den unendlichdimensionalen
Fall erweitern. Wir nehmen an, dass wir einen abgeschlossenen
Unterraum U eines Hilbertraums haben und eine Orthonormalbasis (u n ) n∈N von U
kennen. Ist dann x ein beliebiger, so können wir das Lot von x auf U fällen, und der
Lotfußpunkt x ∗ ∈ U ist dann die optimale Approximation von x in U. Den Punkt x ∗
können wir nun explizit in Termen unserer Orthonormalbasis ausrechnen.
Korollar 7.13 (Basisdarstellung von Lotfußpunkten)
Seien H ein Hilbertraum und U ≤ H ein abgeschlossener Unterraum mit einer Orthonormalbasis
(u n ) n∈N . Für jedes x ∈ H ist dann
der Lotfußpunkt von x auf U.
x ∗ :=
∞∑
〈x|u n 〉u n
n=1
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Beweis: Nach Satz 8 existiert ein Lotfußpunkt x ∗ ∈ U von x auf U und es gilt x−x ∗ ⊥
U. Nach Lemma 11 haben wir
∞∑
x ∗ = 〈x ∗ |u n 〉u n ,
n=1
und wegen x − x ∗ ⊥ U gilt für jedes n ∈ N stets x − x ∗ ⊥ u n , also 〈x|u n 〉 − 〈x ∗ |u n 〉 =
〈x − x ∗ |u n 〉 = 0, d.h. 〈x|u n 〉 = 〈x ∗ |u n 〉 und es folgt
∞∑
〈x|u n 〉u n =
n=1
∞∑
〈x ∗ |u n 〉u n = x ∗ .
n=1
Ist (u n ) n∈N eine Orthonormalbasis eines Hilbertraums H, so hatten wir in Lemma 11
eingesehen das jedes x ∈ H die sogenannte Besselsche Gleichung
||x|| 2 =
∞∑
|〈x|u n 〉| 2
n=1
erfüllt. Es ist naheliegend zu fragen was passiert wenn (u n ) n∈N nur eine orthonormale
Folge aber nicht unbedingt eine Orthonormalbasis ist. Im folgenden Korollar zeigen wir
das die Besselsche Gleichung dann in die sogenannte Besselsche Ungleichung übergeht.
Korollar 7.14 (Besselsche Ungleichung)
Seien H ein Hilbertraum und (u n ) n∈N eine orthonormale Folge in H. Für jedes x ∈ H
gilt dann die Besselsche Ungleichung
∞∑
|〈x|u n 〉| 2 ≤ ||x|| 2
n=1
und genau dann besteht hier die Gleichheit wenn x ∈ 〈{u n |n ∈ N}〉 ist.
Beweis: Nach Lemma 2.(a) ist U := 〈{u n |n ∈ N}〉 ≤ H ein abgeschlossener Unterraum
von H und die Folge (u n ) n∈N ist eine Orthonormalbasis von U. Nach Korollar 13 ist
x ∗ :=
∞∑
〈x n |x〉u n
n=1
der Lotfußpunkt von x auf U, und mit der Eindeutigkeitsaussage Korollar 12.(b) und
der Besselschen Gleichung Lemma 11 ergibt sich
∞∑
|〈x|u n 〉| 2 = ||x ∗ || 2 .
n=1
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Wegen x−x ∗ ⊥ U ist insbesondere x−x ∗ ⊥ x ∗ , also gilt nach dem Satz des Pythagoras
Lemma 1.(b)
||x|| 2 = ||(x − x ∗ ) + x ∗ || 2 = ||x − x ∗ || 2 + ||x ∗ || 2 ≥ ||x ∗ || 2 =
∞∑
|〈x|u n 〉| 2 ,
und genau dann besteht hier die Gleichheit wenn ||x − x ∗ || = 0 ist, wenn also x = x ∗
beziehungsweise x ∈ U ist.
n=1
Wie angekündigt kommen wir nun zum Beweis der Existenz von Orthonormalbasen,
der Hilbertraum muss hierfür allerdings zwei Bedingungen erfüllen. Gibt es in
einem Hilbertraum H überhaupt eine orthonormale Folge (u n ) n∈N , so sind die Vektoren
u 1 , . . . , u n nach II.§6.Lemma 3 für jedes n ∈ N linear unabhängig also kann der
Vektorraum H nach I.§11.Korollar 7.(b) nicht endlich erzeugt sein. Ein Hilbertraum
der eine Orthonormalbasis besitzt muss also unendlichdimensional sein, er darf sozusagen
nicht zu klein sein. Auf der anderen Seite kann er auch nicht zu groß sein, es ist
allerdings schon etwas komplizierter exakt zu sagen was dies bedeutet. Wir fordern das
H separabel im Sinne der folgenden Definition ist.
Definition 7.3 (Separable normierte Räume)
Ein normierter Raum E heißt separabel wenn es eine Folge (u n ) n∈N in E mit
E = {u n |n ∈ N}
gibt, d.h. für jedes u ∈ E und jedes ɛ > 0 existiert ein n ∈ N mit ||u − u n || < ɛ.
Separable Räume sind in dem Sinne klein das sich ihre Elemente durch die Glieder eine
Folge beliebig gut approximieren lassen. Erfreulicherweise trifft dies auf die meisten in
Anwendungssituationen vorkommenden normierten Räume zu. Um zu beweisen das
ein gegebener Raum separabel ist, ist es nicht nötig wirklich eine Folge anzugeben
deren Abschluß der gesamte Raum ist, es reicht bereits eine Folge zu finden deren
Aufspann diese Eigenschaft hat. Um dies wiederum einzusehen, müssen wir den in
II.§4.1 eingeführten Begriff abzählbarer Mengen verwenden, eine nichtleere abzählbare
Menge M war eine Menge die sich als eine Folge durchlaufen ließ, die also die Form
M = {a n |n ∈ N} hat.
Lemma 7.15 (Kriterium für separable normierte Räume)
Seien E ein normierter Raum über K ∈ {R, C} und (u n ) n∈N eine Folge in E. Für jedes
u ∈ E und jedes ɛ > 0 gebe es ein n ∈ N und Skalare λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit
Dann ist E separabel.
n∑
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ u − λ j u j < ɛ.
j=1
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Beweis: Im reellen Fall K = R setzen wir L := Q und dann ist L abzählbar und nach
II.§2.Lemma 1.(a) gibt es für alle x ∈ KR, ɛ > 0 ein q ∈ Q = L mit |x − q| < ɛ. Im
komplexen Fall K = C setzen wir dagegen L := Q + iQ, und dann ist L auch in diesem
Fall abzählbar und sind z ∈ K = C, ɛ > 0, so schreiben wir z = a + ib mit a, b ∈ R
und wieder nach II.§2.Lemma 1.(a) gibt es p, q ∈ Q mit |a − p| < ɛ/2 und |b − q| < ɛ/2,
also ist w := p + iq ∈ L mit |z − w| = |(a − p) + i(b − q)| ≤ |a − p| + |b − q| < ɛ. Für
jedes n ∈ N ist die Menge
{ ∣ n∑
}
∣∣∣∣
D n := λ j u j λ 1 , . . . , λ n ∈ L
j=1
aller Linearkombinationen der Vektoren u 1 , . . . , u n mit Skalaren aus L abzählbar, und
damit ist auch
∞⋃
D :=
n=1
abzählbar, es gibt also eine Folge (v n ) n∈N in E mit D = {v n |n ∈ N}. Wir zeigen jetzt,
dass {v n |n ∈ N} = E ist. Seien also u ∈ E und ɛ > 0 gegeben. Nach unserer Annahme
gibt es dann ein n ∈ N und Skalare λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit
D n
∣∣ n∑ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ u − λ j u j < ɛ 2 .
j=1
Weiter gibt es für jedes 1 ≤ j ≤ n ein µ j ∈ L mit
und wir erhalten
v :=
|λ j − µ j | <
ɛ
2n||u j || + 1 ,
n∑
µ j u j ∈ D n ⊆ D = {v k |k ∈ N},
j=1
es gibt also ein k ∈ N mit v = v k . Weiter gilt
∣∣ n∑ ∣∣∣ ∣∣∣
||u − v k || ≤
∣∣ u − λ j u j +
∣∣
j=1
∣∣ n∑ ∣∣∣ ∣∣∣
(λ j − µ j )u j < ɛ n∑
2 + |λ j − µ j | · ||u j || ≤ ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ,
j=1
und wir haben E = {v k |k ∈ N} gezeigt. Damit ist E separabel.
j=1
Nach diesem Lemma ist beispielsweise jeder endlich erzeugte normierte Raum separabel.
Für ein nicht endlich erzeugtes Beispiel seien a, b ∈ R mit a < b und betrachte den
Banachraum E = C[a, b] aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R in der Supremumsnorm
|| || ∞ . Dann haben wir für jedes n ∈ N das Monom u n : [a, b] → R; x ↦→ x n , der
Aufspann 〈{u n |n ∈ N}〉 sind die Polynome auf [a, b] und nach dem Weierstrassschen
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Approximationssatz II.§4.Satz 1 gibt es für jedes f ∈ E und jedes ɛ > 0 ein solches
Polynom p mit ||f − p|| ∞ < ɛ. Weiter ist jeder Hilbertraum der eine Orthonormalbasis
besitzt auch separabel.
Korollar 7.16 (Separabilität von Hilberträumen)
Besitzt ein Hilbertraum eine Orthonormalbasis so ist er separabel.
Beweis: Klar nach Lemma 15.
Damit kommen wir schließlich zur Konstruktion von Orthonormalbasen.
Satz 7.17 (Existenz von Orthonormalbasen)
Jeder unendlichdimensionale, separable Hilbertraum besitzt eine Orthomormalbasis.
Beweis: Sei H ein unendlichdimensionaler, separabler Hilbertraum. Da H separabel
ist, existiert eine Folge (w n ) n∈N in H mit {w n |n ∈ N} = H. Im Fall w 1 ≠ 0 setzen wir
v 1 := w 1 und im Fall w 1 = 0 können wir wegen H ≠ 0 ein v 1 ∈ H mit v 1 ≠ 0 wählen.
Nun sei n ∈ N und es seien bereits linear unabhängige Vektoren v 1 , . . . , v n ∈ H mit
{w 1 , . . . , w n } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n 〉 gewählt. Dann können zwei verschiedene Fälle auftreten.
Fall 1. Im ersten Fall ist w n+1 /∈ 〈v 1 , . . . , v n 〉. Dann setzen wir v n+1 := w n+1 und nach
I.§11.Lemma 3.(a) sind auch die Vektoren v 1 , . . . , v n+1 linear unabhängig und es gilt
{w 1 , . . . , w n+1 } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n+1 〉.
Fall 2. Im zweiten Fall ist dagegen w n+1 ∈ 〈v 1 , . . . , v n 〉. Da H unendlichdimensional,
d.h. nicht endlich erzeugt, ist, gibt es nach I.§11.Lemma 4 einen Vektor v n+1 ∈ H
so, dass auch v 1 , . . . , v n+1 linear unabhängig sind, und es ist wieder {w 1 , . . . , w n+1 } ⊆
〈v 1 , ldots, v n 〉 ⊆ 〈v 1 , . . . , v n+1 〉.
Induktiv wird so eine linear unabhängige Folge (v n ) n∈N in H konstruiert, die die
Bedingung {w 1 , . . . , w n } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n 〉 für jedes n ∈ N erfüllt. Wenden wir auf diese
Folge das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, so erhalten wir eine
orthonormale Folge (u n ) n∈N in H mit {w 1 , . . . , w n } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n 〉 = 〈u 1 , . . . , u n 〉 für
jedes n ∈ N. Es folgen und {w n |n ∈ N} ⊆ 〈{u n |n ∈ N}〉 und
H = {w n |n ∈ N} ⊆ 〈{u n |n ∈ N}〉,
also ist H = 〈{u n |n ∈ N}〉 und (u n ) n∈N ist eine Orthonormalbasis von H.
7.3 Fourierreihen und L 2 [−π, π]
In diesem Abschnitt wollen wir noch einmal auf die Fourierreihen zurückkommen und
die bisher entwickelte Theorie in einem konkreten Hilbertraum anwenden. Wir hatten
bereits in einem Beispiel gesehen, dass die Menge
R 2 [−π, π = {f : [−π, π] → C|f ist Riemann-integrierbar}
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ein komplexer Vektorraum ist, auf dem durch
〈f|g〉 = 1
2π
∫ π
−π
f(t)g(t) dt
ein Skalarprodukt eingeführt wird. Im erwähnten Beispiel hatten wir das Skalarprodukt
zwar ohne die Normierung mit dem Faktor 1/(2π) gewählt, aber dies spielt
für die Eigenschaften eines Skalarprodukts keine Rolle. Die zugehörige Norm ist für
f ∈ R 2 [−π, π] gegeben durch
||f|| := ||f|| 2 := √ 〈f|f〉 = 1 √
2π
(∫ π
−π
|f(t)| 2 dt) 1/2
.
Dies erklärt auch die Bedeutung des Exponenten ”
2“ in ”
R 2 “, dieser wird verwendet
da die Norm von f durch Integration des Betragsquadrats von f entsteht. Für jedes
n ∈ Z haben wir die Funktion e n ∈ R 2 [−π, π] definiert durch
e n : [−π, π] → C; t ↦→ e int ,
und wir behaupten das (e n ) n∈N eine orthonormale Folge in R 2 [−π, π] ist. Streng genommen
haben wir diese eigentlich nur mit der Indexmenge N statt Z definiert, aber
diese kleine Ungenauigkeit wollen wir einmal ignorieren. Für alle n, m ∈ Z gilt
〈e n |e m 〉 = 1
2π
Im Fall n ≠ m wird damit
∫ π
−π
e int e imt dt = 1
2π
∫ π
−π
e i(n−m)t dt.
〈e n |e m 〉 =
∣
1
∣∣∣
π
2πi(n − m ei(n−m)t
−π
= 0,
während im Fall n = m
〈e n |e n 〉 = 1 ∫ π
dt = 1
2π −π
gilt. Damit ist (e n ) n∈N tatsächlich eine orthonormale Folge in R 2 [−π, π]. Die Fourierkoeffizienten
einer Funktion f ∈ R 2 [−π, π] ordnen sich jetzt in den Hilbertraumrahmen
ein, für jedes n ∈ Z haben wir
〈f|e n 〉 = 1
2π
∫ π
−π
f(t)e int dt = 1 ∫ π
f(t)e −int dt =
2π
̂f(n).
−π
Das einzige Problem ist, dass unsere bisherige Theorie nicht direkt anwendbar ist da
R 2 [−π, π] nur ein Prähilbertraum aber kein Hilbertraum ist, also nicht vollständig
ist. Um doch einen vollständigen Raum zu erhalten, geht man zu einem erweiterten
Integralbegriff über und wechselt vom Riemann-Integral zum sogenannten Lebesgue-
Integral. Das Lebesgue-Integral ist leider noch abstrakter als das Riemann-Integral und
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daher wollen wir hier auf eine systematische Behandlung dieses neuen Integrals verzichten.
In konkreten Beispielen spielt dieser Unterschied zwischen den Integralbegriffen
sowieso keine Rolle, da die auftretenden Funktionen dann immer schon in R 2 [−π, π]
liegen. Formal können die Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf [−π, π] wie in der
folgenden Definition eingeführt werden.
Definition 7.4 (Lebesgue-integrierbare Funktionen auf [−π, π])
Eine Funktion f : [−π, π] → C heißt Lebesgue-integrierbar wenn es eine Folge (g n ) n∈N
von Treppenfunktionen gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften hat:
(a) Die Folge (g n ) n∈N ist eine L 1 -Cauchyfolge, d.h. für jedes ɛ > 0 existiert ein n 0 ∈ N
mit
||g n − g m || 1 = 1 ∫ π
|g n (x) − g m (x)| dx < ɛ
2π −π
für alle n, m ∈ N mit n, m ≥ 0.
(b) Die Folge (g n ) n∈N konvergiert fast überall punktweise gegen f, d.h. es existiert
eine Lebesguesche Nullmenge N ⊆ R so, dass die Folge (g n (x)) n∈N für jedes
x ∈ [−π, π]\N gegen f(x) konvergiert.
In diesem Fall wird das Integral von f als
∫ π
−π
∫ π
f(x) dx := lim g n (x) dx
n→∞
−π
definiert. Die Menge all dieser Funktionen bildet einen Vektorraum L 1 [−π, π] wobei
Gleichheit als Gleichheit fast überall interpretiert wird.
Jede Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar mit demselben
Integral, daher können wir unseren Prähilbertraum R 2 [−π, π] wie folgt zu einem Hilbertraum
erweitern.
Definition 7.5 (Der Hilbertraum L 2 [−π, π])
Definiere
L 2 [−π, π] := {f ∈ L 1 [−π, π]| : |f| 2 ist Lebesgue integrierbar}
und für f, g ∈ L 2 [−π, π] sei
〈f|g〉 := 1 ∫ π
f(x)g(x) dx.
2π −π
Die Norm ist dann für f ∈ L 2 [−π, π] die sogenannte 2-Norm
||f|| 2 = 1 √
2π
∫ π
−π
|f(x)| 2 dx.
Das ”
L“ in ”
L 2 [−π, π]“ steht übrigens für ”
Lebesgue“ da die Norm über das Lebesgue-
Integral definiert ist, während das ”
R“ in ”
R 2 [−π, π]“ entsprechend für ”
Riemann“
steht. Der sogenannte Satz von Fischer besagt das L 2 [−π, π] ein Hilbertraum ist, der
R 2 [−π, π] als einen dichten Teilraum enthält, d.h. es gilt R 2 [−π, π] = L 2 [−π, π].
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