Mittwoch 19.6.2013

Mathematik für Physiker IV, SS 2013 Mittwoch 19.6
Approximationssatz II.§4.Satz 1 gibt es für jedes f ∈ E und jedes ɛ > 0 ein solches
Polynom p mit ||f − p|| ∞ < ɛ. Weiter ist jeder Hilbertraum der eine Orthonormalbasis
besitzt auch separabel.
Korollar 7.16 (Separabilität von Hilberträumen)
Besitzt ein Hilbertraum eine Orthonormalbasis so ist er separabel.
Beweis: Klar nach Lemma 15.
Damit kommen wir schließlich zur Konstruktion von Orthonormalbasen.
Satz 7.17 (Existenz von Orthonormalbasen)
Jeder unendlichdimensionale, separable Hilbertraum besitzt eine Orthomormalbasis.
Beweis: Sei H ein unendlichdimensionaler, separabler Hilbertraum. Da H separabel
ist, existiert eine Folge (w n ) n∈N in H mit {w n |n ∈ N} = H. Im Fall w 1 ≠ 0 setzen wir
v 1 := w 1 und im Fall w 1 = 0 können wir wegen H ≠ 0 ein v 1 ∈ H mit v 1 ≠ 0 wählen.
Nun sei n ∈ N und es seien bereits linear unabhängige Vektoren v 1 , . . . , v n ∈ H mit
{w 1 , . . . , w n } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n 〉 gewählt. Dann können zwei verschiedene Fälle auftreten.
Fall 1. Im ersten Fall ist w n+1 /∈ 〈v 1 , . . . , v n 〉. Dann setzen wir v n+1 := w n+1 und nach
I.§11.Lemma 3.(a) sind auch die Vektoren v 1 , . . . , v n+1 linear unabhängig und es gilt
{w 1 , . . . , w n+1 } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n+1 〉.
Fall 2. Im zweiten Fall ist dagegen w n+1 ∈ 〈v 1 , . . . , v n 〉. Da H unendlichdimensional,
d.h. nicht endlich erzeugt, ist, gibt es nach I.§11.Lemma 4 einen Vektor v n+1 ∈ H
so, dass auch v 1 , . . . , v n+1 linear unabhängig sind, und es ist wieder {w 1 , . . . , w n+1 } ⊆
〈v 1 , ldots, v n 〉 ⊆ 〈v 1 , . . . , v n+1 〉.
Induktiv wird so eine linear unabhängige Folge (v n ) n∈N in H konstruiert, die die
Bedingung {w 1 , . . . , w n } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n 〉 für jedes n ∈ N erfüllt. Wenden wir auf diese
Folge das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, so erhalten wir eine
orthonormale Folge (u n ) n∈N in H mit {w 1 , . . . , w n } ⊆ 〈v 1 , . . . , v n 〉 = 〈u 1 , . . . , u n 〉 für
jedes n ∈ N. Es folgen und {w n |n ∈ N} ⊆ 〈{u n |n ∈ N}〉 und
H = {w n |n ∈ N} ⊆ 〈{u n |n ∈ N}〉,
also ist H = 〈{u n |n ∈ N}〉 und (u n ) n∈N ist eine Orthonormalbasis von H.
7.3 Fourierreihen und L 2 [−π, π]
In diesem Abschnitt wollen wir noch einmal auf die Fourierreihen zurückkommen und
die bisher entwickelte Theorie in einem konkreten Hilbertraum anwenden. Wir hatten
bereits in einem Beispiel gesehen, dass die Menge
R 2 [−π, π = {f : [−π, π] → C|f ist Riemann-integrierbar}
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