Mittwoch 19.6.2013

Mathematik für Physiker IV, SS 2013 Mittwoch 19.6
(b) Ist (u n ) n∈N eine Orthonormalbasis von H, so läßt sich jedes x ∈ H eindeutig in
eine Reihe
∞∑
x = λ n u n
n=1
mit einer Koeffizientenfolge (λ n ) n∈N in K entwickeln und für jedes n ∈ N ist
dann λ n = 〈x|u n 〉.
Beweis: Ist (λ n ) n∈N eine Folge in K und konvergiert die Reihe
x =
∞∑
λ n u n ,
n=1
so folgt mit der Stetigkeit des Skalarprodukts Lemma 5 für jedes k ∈ N die Gleichung
〈 ∞ ∣
∑
〉 ∣∣∣ ∞∑
〈x|u k 〉 = λ n u n u k = λ n 〈u n |u k 〉 = λ n ||u n || 2 = λ n .
n=1
Damit können wir nun zu den beiden Behauptungen des Korollars kommen.
(a) Sind n, m ∈ N mit n ≤ m, so gilt
∣∣ m∑ ∣∣∣ ∣∣∣
2
∣∣
λ k u k = ∑
m∑
λ k λ l 〈u k |u l 〉 = |λ k | 2 ,
k=n
n≤k,l≤m
n=1
und somit erfüllt die Reihe ∑ ∞
n=1 λ nu n die Cauchybedingung I.§7.Satz 8 für Reihen
und ist somit konvergent. Die zweite Teilaussage von (a) haben wir bereits eingesehen.
(b) Die Existenz einer solchen Reihendarstellung gilt nach Lemma 11 und die Eindeutigkeit
haben wir zu Beginn dieses Beweises eingesehen.
k=n
Im nächsten Schritt können wir nun den Projektionssatz II.§6.Satz 6 auf den unendlichdimensionalen
Fall erweitern. Wir nehmen an, dass wir einen abgeschlossenen
Unterraum U eines Hilbertraums haben und eine Orthonormalbasis (u n ) n∈N von U
kennen. Ist dann x ein beliebiger, so können wir das Lot von x auf U fällen, und der
Lotfußpunkt x ∗ ∈ U ist dann die optimale Approximation von x in U. Den Punkt x ∗
können wir nun explizit in Termen unserer Orthonormalbasis ausrechnen.
Korollar 7.13 (Basisdarstellung von Lotfußpunkten)
Seien H ein Hilbertraum und U ≤ H ein abgeschlossener Unterraum mit einer Orthonormalbasis
(u n ) n∈N . Für jedes x ∈ H ist dann
der Lotfußpunkt von x auf U.
x ∗ :=
∞∑
〈x|u n 〉u n
n=1
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