Mittwoch 19.6.2013
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Mathematik für Physiker IV, SS 2013 <strong>Mittwoch</strong> 19.6<br />
Wegen x−x ∗ ⊥ U ist insbesondere x−x ∗ ⊥ x ∗ , also gilt nach dem Satz des Pythagoras<br />
Lemma 1.(b)<br />
||x|| 2 = ||(x − x ∗ ) + x ∗ || 2 = ||x − x ∗ || 2 + ||x ∗ || 2 ≥ ||x ∗ || 2 =<br />
∞∑<br />
|〈x|u n 〉| 2 ,<br />
und genau dann besteht hier die Gleichheit wenn ||x − x ∗ || = 0 ist, wenn also x = x ∗<br />
beziehungsweise x ∈ U ist.<br />
n=1<br />
Wie angekündigt kommen wir nun zum Beweis der Existenz von Orthonormalbasen,<br />
der Hilbertraum muss hierfür allerdings zwei Bedingungen erfüllen. Gibt es in<br />
einem Hilbertraum H überhaupt eine orthonormale Folge (u n ) n∈N , so sind die Vektoren<br />
u 1 , . . . , u n nach II.§6.Lemma 3 für jedes n ∈ N linear unabhängig also kann der<br />
Vektorraum H nach I.§11.Korollar 7.(b) nicht endlich erzeugt sein. Ein Hilbertraum<br />
der eine Orthonormalbasis besitzt muss also unendlichdimensional sein, er darf sozusagen<br />
nicht zu klein sein. Auf der anderen Seite kann er auch nicht zu groß sein, es ist<br />
allerdings schon etwas komplizierter exakt zu sagen was dies bedeutet. Wir fordern das<br />
H separabel im Sinne der folgenden Definition ist.<br />
Definition 7.3 (Separable normierte Räume)<br />
Ein normierter Raum E heißt separabel wenn es eine Folge (u n ) n∈N in E mit<br />
E = {u n |n ∈ N}<br />
gibt, d.h. für jedes u ∈ E und jedes ɛ > 0 existiert ein n ∈ N mit ||u − u n || < ɛ.<br />
Separable Räume sind in dem Sinne klein das sich ihre Elemente durch die Glieder eine<br />
Folge beliebig gut approximieren lassen. Erfreulicherweise trifft dies auf die meisten in<br />
Anwendungssituationen vorkommenden normierten Räume zu. Um zu beweisen das<br />
ein gegebener Raum separabel ist, ist es nicht nötig wirklich eine Folge anzugeben<br />
deren Abschluß der gesamte Raum ist, es reicht bereits eine Folge zu finden deren<br />
Aufspann diese Eigenschaft hat. Um dies wiederum einzusehen, müssen wir den in<br />
II.§4.1 eingeführten Begriff abzählbarer Mengen verwenden, eine nichtleere abzählbare<br />
Menge M war eine Menge die sich als eine Folge durchlaufen ließ, die also die Form<br />
M = {a n |n ∈ N} hat.<br />
Lemma 7.15 (Kriterium für separable normierte Räume)<br />
Seien E ein normierter Raum über K ∈ {R, C} und (u n ) n∈N eine Folge in E. Für jedes<br />
u ∈ E und jedes ɛ > 0 gebe es ein n ∈ N und Skalare λ 1 , . . . , λ n ∈ K mit<br />
Dann ist E separabel.<br />
n∑<br />
∣∣ ∣∣∣ ∣∣∣ ∣∣ u − λ j u j < ɛ.<br />
j=1<br />
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