Inhaltsverzeichnis SS98 Stochastik I 90

Inhaltsverzeichnis SS98 Stochastik I
90

Inhaltsverzeichnis
1 Diskrete W-theorie 1
1.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Laplaceraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Standardurnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Urnenmodelle revisited* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3.1 Weitere Urnenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Bayes Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1.1 Unsauberes Denken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Konstruktion von W-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2.1 Übergangskerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Die Einschluß-Auschluß Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Besondere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Konzept: Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Zufallsgrößen und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2.1 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2.2 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.2.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.1 Tchebycheff-Markoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.2 Jensen Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.3 Exponentielle oder Hoeffding Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.4 Normungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.4.1 Vektoräume von Zgn ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8 Gesetze der Großen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.1 Schwache GGZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.1.1 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.2 Starke GGZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9 Poissonapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.10 Der Zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.10.0.1 Gauss Glockenkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.10.0.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.10.1 Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10.1.1 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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Inhaltsverzeichnis SS98 Stochastik I
1.10.2 Allgemeiner Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10.3 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.10.3.1 ZGS für Schemata* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.11 Zgn mit Werten in R d ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.12 Sortieralgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.12.1 Mergesort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.12.1.1 Rekursive Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.12.1.2 Andere Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.12.2 Quicksort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.12.2.1 Kontraktionsmethode: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.13 Anfänge der Informationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.13.0.2 Quellenkodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie 69
2.1 Wahrscheinlichkeitstheoretisches Set-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.1 Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.2.1 W-Maße auf den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.3 Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.4 Konzept Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.4.1 Produkträume und Produktmaße* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.4.2 Hausdorffmaße* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2 Integrale ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.0.3 Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.2.1 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1.1 Weitere Eigenschaften der Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3 Grosse Sätze der W-theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.1 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.2 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.3.1 L p -Räume ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.4 Gesetze der Grossen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.4.1 Borel-Cantelli ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.5 Starke Gesetz der Grossen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.6 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4 Konvergenz von Zgn ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.1 Verteilungskonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
92

SS98
Uwe Rösler
Index
σ-Algebra, 70
Borel, 70
Erzeuger, 70
feinste, 70
grobste, 70
Lebesgue, 77
sigma-stetig
Operator, 74
, 73
abgeschlossen, 69
Alphabet, 66
asymptotisch vernachlassigbar, 51
Banachraum, 80
Coupling, 40
Covarianz, 26
d-dimensional, 53
Covarianzmatrix, 53
Cramér Transformierte, 31
Dichte, 71
Normalverteilung, 44
Radon-Nikodym, 75
Verteilungsfunktion, 71
Entropie, 67
Zufallsgr2ose, 67
Ereignisse, 70
Erwartungswert, 23
d-dimensional, 53
Erzeuger, 70
Faltung, 38
fast sicher, 84
Fermi-Dirac Statistik, 7
Fermionen, 7
Formel
Stirling, 45
Gesetz der Grosen Zahl
schwaches, 36
starkes, 39
Glockenkurve
Gaus, 44
Grenzwertsatz
Zentraler, 43
Hausdorffdimension, 73
integrierbar, 75
Kkonvex, 30
Kode
binarer, 66
Prafix, 66
Konvergenz
dem Mase nach, 38
fast sicher, 82, 84
fast sichere, 38
Funktionenklasse, 47
in Wahhrsch., 36
stochastisch, 84
stochastische, 36
Korrelationskoeffizient, 26
Laplaceraum, 3
Laplacetransformierte, 31
Mas
Borel, 77
diskret, 70
Hausdorff-, 73
induziertes, 20
Lebesgue, 75, 77
Produkt-, 73
transporiterte, 20
Masraum, 70
Maxwell-Boltzman Statistik, 7
Menge
Null-, 77
Mengensystem, 69
Erzeuger, 70
mesbar, 72
Raum, 70
Menge, 70
Metriken
Mallows, 86
Mfas
transportiertes, 72
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Index SS98 Stochastik I
Moment, 26
p−te, 26
absolutes, 26
erstes, 26
exponentielles, 26
zentriertes, 26
Morphismen, 72
Multinomialkoeffizienten, 8
Norm
L p , 80
Normalverteilung
d-dimensionale Dichte, 53
standardisierte, 43
Normierung
standard, 43
Produktmas, 13
Produktraum, 13, 73
Produktwahrscheinlichkeitsraum, 13
Spielwert, 68
standardisiert
Schema, 51
Standardisierung, 43
Gaus Glockenkurve, 44
stetig, 72
stochastisch, 84
Streuung, 26
Marginal-, 21
Multinomial-, 9
Zufallsgrose, 72
Verteilungsfunktion, 49, 71
Gaus, 44
Normalverteilung, 44
W-mas, 71
Wahrscheinkeitsraum, 1
Wahrscheinlichkeit
bedingte, 10
Mas, 70
Raum, 70
Wahrscheinlichkeitskern, 13
Wahrscheinlichkeitsraum
eingeschrankte, 10
induzierte, 10
Wasserstein, 86
Zufallsgrose, 20, 72
gekoppelte, 40
Zufallsgrosen
Schema von, 51
Zufallsvariable, 20, 72
Topologie, 69
Erzeuger, 70
feinste, 70
grobste, 70
Produkt, 73
Treppenfunktion, 74
Ubergangskern, 13
unabhangig, 18
Ereignisse, 18
Mengensysteme, 18
paarweise, 18
Schema, 51
Zufallsgrosen, 21
Ungleichung
Markoff, 29
Tchebycheff, 29
unkorreliert, 27
Varianz, 26
Version, 85
Verteilung, 2, 20
gemeinsame, 21
hypergeometrische, 7
identisch, 36
94