Aufgabe 1 (2 Punkte) Geworfen werden zwei sechsseitige Würfel ...

Aufgabe 1 (2 Punkte)
Geworfen werden zwei sechsseitige Würfel. Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten
für die Augensumme der Würfel aus?
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete
Modell an.
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Wie oft muss ein sechsseitiger Würfel mindestens geworfen werden, damit
mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 mindestens einmal die
Zahl 6 erscheint?
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete
Modell an.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:
1. Ist B eine nicht-leere Teilmenge von Ω, so ist
eine σ-Algebra über B.
A ∩ B := {A ∩ B : A ∈ A}
2. Sei B ∈ A mit P (B) > 0 und setze
PB(A) :=
P (A)
P (B)
für alle A ∈ A ∩ B.
Dann ist (B, A ∩ B, PB) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 werden in zufälliger Reihenfolge aufgeschrieben.
Es ergibt sich somit eine siebenstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten an, dass die so gebildete siebenstellige
Zahl
a) durch 2, b) durch 3, bzw. c) durch 4 teilbar ist.
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete
Modell an. Hinweis:
Eine Zahl ist durch drei teilbar, falls die Quersumme durch drei teilber ist.
Eine Zahl ist durch vier teilbar, falls die Zahl bestehend aus den letzten
beiden Ziffern durch vier teilbar ist.
Aufgabe 5 (5 Punkte)
Anton und Birgit spielen das folgende Spiel:
Birgit beschriftet drei sechsseitige Würfel mit Zahlen zwischen 1 und 6, dabei
darf Sie jede der Zahlen 1 bis 6 beliebig oft verwenden (z.B. könnte
sie auf einen Würfel lauter Einsen schreiben). Erst sucht sich Anton einen
Würfel aus. Danach wählt Birgit einen der beiden übrigen Würfel aus. Jetzt

würfeln beide gleichzeitig. Gewonnen hat derjenige, der die größere Augenzahl
würfelt.
Ist das Spiel für Birgit vorteilhaft, d.h. gibt es eine Beschriftung der Würfel
so, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit strikt größer 1
2 gewinnt?
Beweisen Sie Ihre Antwort! Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 6 (2 Punkte)
Ein Dozent hat einen Fundus von 36 Klausuraufgaben, von denen er in
jeder Klausur 12 zufällig mit Gleichverteilung auswählt. Ein bestimmter
Bachelor-Student hat fleißig gelernt und kann genau 20 Aufgaben korrekt
lösen. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 6 Aufgaben richtig
gelöst wurden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student besteht?
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 7 (2 Punkte)
Beim Lottospiel “6 aus 49” werden zufällig sechs Kugeln aus einer Urne mit
49 durchnummerierten Kugeln gezogen. Die Spieler können auf einem Lottoschein
tippen, welche sechs der 49 Zahlen gezogen werden.
Birgit füllt sechs Lottoscheine aus. Dabei tippt sie so, dass keine ihrer ausgewählten
Zahlen auf zwei verschiedenen Lottoscheinen auftritt.
Nach der Ziehung der Lottozahlen stellt sie fest, dass keine ihrer ausgewählten
Zahlen gezogen wurde.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 8 (2 Punkte)
Eine Urne enthalte n Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 10 durchnummeriert
sind. Es wird nun eine Kugel gezogen. Deren Zahl wird notiert, falls diese
noch nicht gezogen wurde. Anschließend wird die Kugel zurück in die Urne
gelegt.
Dieser Vorgang wird k-mal hintereinander ausgeführt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nur genau zwei Zahlen notiert
hat? Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 9 (2 Punkte)
Aus einer Urne mit neun schwarzen und einer weißen Kugel werden nacheinander
4 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der
Ziehung mindestens einmal die weiße Kugel zu ziehen, falls
1. die gezogene Kugel nach jedem Zug in die Urne zurückgelegt werden?
2. die gezogenen Kugeln nicht zurückgelegt werden?
Geben Sie die von Ihnen verwendeten Modelle an.

Aufgabe 10 (3 Punkte)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lottospiel “6 aus 49” keine
benachbarten Zahlen gezogen werden?
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Hinweis:
Als Ergebnisraum bietet sich Ω :=
w ∈ {1, ..., 49} 6 : w1 < ... < w6
an.
Aufgabe 11 (4 Punkte)
Anton, Birgit und Christian spielen Skat. Beim Skatspiel spielen die drei
Spieler mit 32 Karten (Farbe: Kreuz, Pik, Herz, Karo; Werte: As, König,
Dame, Bube, Zehn, Neun, Acht, Sieben). Jeder Spieler erhält zehn Karten,
zwei Karten kommen als “Skat” verdeckt auf den Tisch.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Skat genau zwei Asse
enthält?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anton mindestens drei Buben
erhält?
Geben Sie die von Ihnen verwendeten Modelle an.
Aufgabe 12 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:
Für alle n ∈ und alle Ereignisse A1, ..., An ∈ A gilt
P (
n
j=1
Aj) ≤ min
1≤i≤n [
n
P (Aj) −
j=1
n
j=1,j=i
P (Aj ∩ Ai)]
Aufgabe 13 (5 Punkte)
Der Mathematiker und Raucher Stefan Banach hatte in seinen beiden Hosentaschen
je eine Schachtel Zigaretten, anfänglich in jeder n Stück. Jedesmal,
wenn er sich eine Zigarette anzünden möchte, greift er zufällig mit Gleichverteilung
in eine der beiden Hosentaschen und nimmt sich aus der Schachtel
eine Zigarette heraus. Als Banach die letzte Zigarette einer Packung ansteckt,
wird er nachdenklich. Da Rauchen ungesund ist, will er aufhören.
Dazu wirft er alle Zigaretten, die er noch in der anderen Schachtel hat,
weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Banach genau r Zigaretten
wegwirft? Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 14 (2 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit P (B) > 0.
Weiterhin sei Ci ∈ A, i ∈ eine disjunkte Zerlegung von B mit
Zeigen Sie
P (B ∩ Ci) > 0 für alle i ∈ .
P (A|B) =
∞
P (A|B ∩ Ci)P (Ci|B)
i=1

Aufgabe 15 (2 Punkte)
Es wird gleichzeitig mit einem roten und einem grünen Würfel gewürfelt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme gerade ist, gegeben
der rote Würfel zeigt eine 3?
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete
Modell an.
Aufgabe 16 (3 Punkte)
Bei Shakespeare sagt Caesar zu Antonius: “Die Mageren sind gefährlich”.
In die Sprache der Stochastik übersetzt: “Die bedingte Wahrscheinlichkeit
dafür, dass jemand gefährlich ist, von dem man weiß, dass er mager ist, ist
größer als die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand gefährlich ist,
von dem weiß, dass er nicht mager ist.”
Es bezeichne G das Ereignis “die Person ist gefährlich” und M das Ereignis
“die Person ist mager”.
Welche der folgenden Ungleichungen kann man aus Caesers Aussage ableiten?
1. P (G|M) > P (G c |M).
2. P (M|G) > P (M|G c ).
3. P (M|G) > P (M c |G).
Geben Sie entsprechend einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
Hierbei soll stets vorausgesetzt werden, dass die bedingenden Ereignisse eine
Wahrscheinlichkeit größer 0 besitzen.
Hinweis:
Zu einem Gegenbeispiel muss natürlich ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum
angegeben werden.
Aufgabe 17 (4 Punkte)
Vor einem bestimmten Café auf dem Campus ist eine Person, der man begegnet,
in zwei von drei Fällen ein Student. Jeder vierte Student, aber nur
jeder sechste Nichtstudierende, trinkt ausschliesslich Latte Macchiato.
Man begegnet einer Person vor dem Café, die Latte Macchiato trinkt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person studiert?
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete
Modell an.
Aufgabe 18 (4 Punkte)
In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene A,B und C.
Mit Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleiche Chance hatten,
wurde ein Gefangener begnadigt. Der Gefangene A, der also eine Überlebens-
Wahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des

Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen B oder C zu nennen,
der sterben muss. Der Wärter antwortet “B”.
Nun denkt sich der Gefangene A: “Da entweder ich oder C überleben werden,
habe ich eine Überlebens-Wahrscheinlichkeit von 50%”.
Würden Sie dem zustimmen? Begründen Sie ihre Antwort, indem sie die
geschilderte Situtation modellieren und in Ihrem Modell die Überlebens-
Wahrscheinlichkeit von A angeben.
Gehen Sie davon aus, dass der Wärter mit gleicher Wahrscheinlichkeit “B”
oder “C” sagt, falls er weiß, dass A der Begnadigte ist.
Aufgabe 19 (5 Punkte)
Bei der Herstellung von n Schokoladentafeln mit ganzen Nüssen werden
k ≥ n Nüsse in die Abfüllanlage gegeben. Alle Nüsse bleiben ganz. Jede
Nuss wird von der Anlage mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer der n
Tafeln verarbeitet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tafel keine Nuss enthält?
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete
Modell an.
Hinweis: Siebformel.
Aufgabe 20 (5 Punkte)
Die Westernhelden A, B und C duellieren sich. A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,5, B mit 0,7 und C trifft immer. Alle Personen haben nur noch
zwei Patronen übrig. Es wird immer in der Reihenfolge A,B,C geschossen.
Dies geschieht so lange, bis nur noch einer lebt.
Sobald ein Schütze an der Reihe ist, kann er sich aussuchen auf welchen
lebenden Kontrahenten er schießt, der Schütze muss aber zwingend auf eine
Person schießen.
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass A, B bzw. C das Duell
überlebt.
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Hinweis:
Gehen Sie davon aus, dass alle Westernhelden rational denken.
Überlegen Sie sich zunächst, welche Strategie für C am sinnvollsten ist.
Danach überlegen Sie sich, welche Strategie für B am sinnvollsten ist, gegeben
C hat die für ihn am sinnvollsten Strategie gewählt.
Aufgabe 21 (2 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien A, B ∈ A mit P (A) > 0, P (B) > 0. Dann wird A angezogen von B
definiert als P (A|B) > P (A).
Zeigen Sie
1. wird A angezogen von B, so wird B angezogen von A,

2. wird A angezogen von B und P (B c ) > 0, so wird B c nicht angezogen
von A.
Aufgabe 22 (2 Punkte)
Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal “Kopf” erscheint,
maximal aber n Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze
zum Zeitpunkt k = 1, ..., n erstmalig “Kopf” zeigt?
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 23 (3 Punkte)
Aus einer Gesamtheit von n Kugeln, die mit den Zahlen 1, ..., n nummeriert
sind, werden ohne Zurücklegen k Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die größte gezogene Zahlen den Wert m = 1, ..., n hat?
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 24 (4 Punkte)
Anton und Birgit spielen folgendes Würfelspiel. Anton würfelt mit zwei
Würfeln so, dass weder er noch Birgit sehen können welche Augenzahlen
gewürfelt wurden. Anton sagt nun Birgit eine Zahl zwischen 2 und 12. Birgit
tippt entweder darauf, dass die von Anton gewürfelte Augensumme echt
größer bzw. echt kleiner als die von Anton genannten Zahl ist. Birgit gewinnt
dieses Spiel, wenn sie richtig getippt hat.
Welche Zahl sollte Anton angeben, so dass er mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit
gewinnt?
Gehen Sie davon aus, dass Birgit mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit
gewinnen will.
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 25 (4 Punkte)
Urne I enthalte einen Würfel, der immer eine 6 würfelt, und einen normalen
Würfel. Urne II enthalte zwei normale Würfel. Anton wählt mit Gleichverteilung
eine Urne aus und würfelt mit den darin enthaltenen Würfeln.
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass er die Würfel aus der
Urne I genommen hat, gegeben er würfelt einen “6er Pasch”?
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 26 (5 Punkte)
Seien n, k ∈ mit n, k ≥ 3.
Eine Urne enthalte n Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis n durchnummeriert
sind. Es werden k Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zahl auf einer gezogenen
Kugel wird genau dann notiert, falls diese bei den vorherigen Zügen
noch nicht erschienen ist. Die Nummer auf der ersten Kugel wird auf jeden

Fall notiert.
Wie groß ist nach dem Ziehen von k Kugeln die Wahrscheinlichkeit, dass man
genau 3 Zahlen notiert hat? Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Aufgabe 27 (5 Punkte)
Die Westernhelden A, B und C duellieren sich. A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,5, B mit 0,7 und C trifft immer. Alle Personen haben nur noch
zwei Patronen übrig. Es wird immer in der Reihenfolge A,B,C geschossen.
Dies geschieht so lange, bis nur noch einer lebt.
Sobald ein Schütze an der Reihe ist, kann er sich aussuchen auf welchen
lebenden Kontrahenten er schießt, der Schütze muss aber zwingend auf eine
Person schießen.
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass A, B bzw. C das Duell
überlebt.
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.
Hinweis:
Gehen Sie davon aus, dass alle Westernhelden mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit
überleben wollen.
Überlegen Sie sich zunächst, welche Strategie für C am sinnvollsten ist.
Danach überlegen Sie sich, welche Strategie für B am sinnvollsten ist, gegeben
C hat die für ihn am sinnvollsten Strategie gewählt.
Aufgabe 28 (2 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (X, C) ein messbarer Raum und
X : Ω → X eine Zufallsgröße. Zeigen Sie, dass die Abbildung
P X : C → [0, 1]; B ↦→ P (X −1 (B))
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (X, C) definiert.
Das Maß P X wird als die Verteilung der Zufallsgröße X bezeichnet.
Aufgabe 29 (2 Punkte)
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. Weiterhin sei X eine nicht-leere Menge und
X : Ω → X eine beliebige Abbildung. Zeigen Sie
C := B ⊆ X : X −1 (B) ∈ A ist eine σ-Algebra und X ist A-C-messbar.
Aufgabe 30 (3 Punkte)
Sei Ω eine nicht-leere Menge und E ⊆ Pot(Ω). Zeigen Sie, dass für jedes
A ∈ σ(E) gibt es eine abzählbare Menge E ′ ⊆ E mit A ∈ σ(E ′ ).
Hinweis:
Welche Eigenschaften hat die Menge aller A ∈ σ(E), für die es eine abzählbare
Menge E ′ ⊆ E mit A ∈ σ(E ′ ) gibt?

Aufgabe 31 (4 Punkte)
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. A heißt abzählbar erzeugt, falls es eine
abzählbare Menge E ⊆ A gibt mit σ(E) = A. Zeigen Sie, ist A abzählbar
erzeugt, so enthält jeder Erzeuger von A einen abzählbaren Erzeuger von A.
Hinweis: Aufgabe 3.
Aufgabe 32 (4 Punkte)
Im folgendem wird ein n-facher Münzwurf mit einer “unfairen” Münze betrachtet,
d.h. die Münze zeigt mit Wahrscheinlichkeit p = 1/2 “Kopf”.
Definiere Ω := {0, 1} n , A := Pot(Ω) und
p(w1, ..., wn) := p P n
i=1 wi · (1 − p) n− P n
i=1 wi
für alle (w1, ..., wn) ∈ Ω. Setze P : A → [0, ∞[, A ↦→
w∈A p(ω).
Zeigen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) definiert, und bestimmen
Sie die Verteilung der Zufallsgrößen
1. X : Ω → {0, ..., n} , w ↦→ n
wi,
2. Y : Ω → {0, ..., n} , w ↦→
i=1
min {1 ≤ i ≤ n : wi = 1} , falls {1 ≤ i ≤ n : wi = 1} = ∅
0, sonst
Hinweis:
Bei (i) und (ii) genügt es P ({X = k}) bzw. P ({Y = k}) anzugeben.
Aufgabe 33 (5 Punkte)
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. A ∈ A heißt Atom, falls es kein B ∈ A mit
B ⊆ A und ∅ = B = A gibt. Zeigen Sie
1. zwei verschiedene Atome sind disjunkt,
2. ist Ω abzählbar, so existiert zu jedem w ∈ Ω ein Atom Aw mit w ∈ Aw
und A ist die Menge aller Vereinigungen seiner Atome.
Aufgabe 34 (4 Punkte)
Sei Ω := {0, 1} 4 und P sei das Laplacemaß auf (Ω, Pot(Ω)) und seien
Aj := {ω ∈ Ω : wj = 1} für j = 1, 2, 3, 4;
B := {ω ∈ Ω : ω1 + ω2 + ω3 + ω4 ist ungerade }
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Familie von Mengen
1. {A1, A2, A3, A4, B},
2. {A1, A2, A3, A4},
3. {A2, A3, A4, B}

stochastisch unabhängig ist.
Aufgabe 35 (5 Punkte)
Seien X, Y unabhängige Zufallsgrößen (auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P )) mit
P ({X = k}) = P ({Y = k}) = (1 − p) k p für alle k ∈ 0 = {0, 1, 2, ....},
wobei p ∈]0, 1[ ist. Definiere Z : Ω → 0; ω ↦→ max(X(ω), Y (ω)).
Zeigen Sie
P ({Z = k}) = p(1 − p) k [2 − (1 − p) k (2 − p)]
Aufgabe 36 (2 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ∈ A derart, dass A von
allen Ereignissen stochastisch unabhängig ist. Bitte formalisieren Sie dies
und zeigen Sie, dass P (A) ∈ {0, 1}.
Aufgabe 37 (2 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ai) i∈{1,...,n} eine Familie
von Unter-σ-Algebren von A. Zeigen Sie, dass (Ai) i∈{1,...,n} genau dann unabhängig
ist, wenn für jede Wahl von Ereignissen Ai ∈ Ai, i = 1, ..., n gilt
P (
1≤i≤n
Ai) =
n
P (Ai).
Hinweis:
Man beachte, dass eine Familie (Ei) i∈{1,...,n} von Ereignismengen genau dann
stochastisch unabhängig ist, falls für alle J ⊂ {1, ..., n} und jede Wahl Aj ∈
Ej j ∈ J gilt P (
j∈J Aj) =
P (Aj).
j∈J
Aufgabe 38 (3 Punkte)
Sei Ω := {0, 1} 4 , P das Laplacemaß auf (Ω, Pot(Ω)) und
B := {ω ∈ Ω : ω1 + ω2 + ω3 + ω4 ist ungerade }. Ferner sei für alle j ∈
{1, 2, 3, 4} Aj := {ω ∈ Ω : wj = 1} .
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Familie von Mengen
1. (A1, A2, A3, A4, B),
2. (A1, A2, A3, A4),
3. (A2, A3, A4, B)
stochastisch unabhängig ist.
i=1

Aufgabe 39 (4 Punkte)
Sei n ∈ mit n > 2.
Ein Würfel wird n-mal gewürfelt. Für alle 1 ≤ i < j ≤ n bezeichne Ai,j das
Ereignis, dass beim i-ten und j-ten Mal Würfeln die gleiche Zahl erscheint.
Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, definieren Sie die
Ai,j f.a. i = j ∈ {1, ..., n} formal und zeigen, dass die Ereignisse Ai,j, 1 ≤
i < j ≤ n paarweise stochastisch unabhängig sind. Zeigen oder widerlegen
Sie, dass die Ereignisse auch stochastisch unabhängig sind.
Aufgabe 40 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → 0, Y : Ω → 0
unabhängige Zufallsgrößen mit
P ({X = k}) = P ({Y = k}) = (1 − p) k p für alle k ∈ 0 = {0, 1, 2, ....},
wobei p ∈]0, 1[ ist. Definiere Z : Ω → 0; ω ↦→ max(X(ω), Y (ω)).
Zeigen Sie
P ({Z = k}) = p(1 − p) k [2 − (1 − p) k (2 − p)]
Hinweis:
Bestimmen Sie zunächst P ({Z = k, Y = l}) für alle k, l ∈ 0.
Aufgabe 41 (5 Punkte)
Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei Poisson-verteilt zum Parameter λ
1 . Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwickelnden Eier schlüpfe
mit Wahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ eine Larve. Zeigen Sie, dass die zufällige
Anzahl der Larven Poisson-verteilt Y ist, zum Parameter p · λ.
Geben Sie ein geeignetes Modell an!
Aufgabe 42 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass keine abzählbar-unendliche σ-Algebra existiert.
Hinweis:
Betrachten Sie dabei zu einer Folge (Ai)i∈ paarweise verschiedener Mengen
aus einer unendlichen σ-Algebra A das Mengensystem
⎧
⎨
C := Ai ∩
⎩
A c ⎫
⎬
j : I ⊆
⎭
i∈I
j∈I c
Aufgabe 43 (4 Punkte)
In Antons Tasche befindet sich eine zufällige Anzahl Y von Münzen, wobei
Y eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ besitzt.
Er wirft jede Münze genau einmal, wobei jede Münze mit Wahrscheinlichkeit
p ∈]0, 1[ “Kopf” zeigt. Bestimmen Sie die Verteilung der Gesamtanzahl der
Münzen, die “Kopf” zeigen.
1 Eine Zufallsgröße Y ist Poisson-verteilt zum Parameter λ, wenn gilt P (Y = k) =
−λ λk
e k!
für alle k ∈ {0, 1, 2, 3, ...}

Aufgabe 44 (4 Punkte)
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum und µ, ν Maße auf (Ω, A).
Definiere
µ ∨ ν : A → [0, ∞]A ↦→ sup (µ(B) + ν(A\B))
B⊆A,B∈A
Zeigen Sie, dass µ ∨ ν ein Maß auf (Ω, A) ist.
Aufgabe 45 (2 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → eine Zufallsgröße
und F : → [0, 1], t ↦→ P (X ≤ t) die Verteilungsfunktion von X.
Zeigen Sie, dass F höchstens abzählbar viele Sprungstellen besitzt.
Aufgabe 46 (2 Punkte)
Anton würfelt mit drei Würfeln, einer hat 6 Seiten, einer hat 12 Seiten und
einer hat 20 Seiten. Die Seiten der einzelnen Würfel seien durchnummeriert
und jede Seite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Summe der drei Augenzahlen der
Würfel von Anton.
Hinweis:
Modellieren Sie die Augenzahl der einzelnen Würfel als Zufallsgrößen.
Aufgabe 47 (2 Punkte)
Sei Wn die zufällige Augenzahl eines fiktiven n-seitigen Würfels, dessen Seiten
alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.
Zeigen Sie Var
Wn 1
n −→ 12 für n −→ ∞.
Aufgabe 48 (3 Punkte)
1. Seien X, Y unabhängige Zufallsgrößen mit Werten in 0. Zeigen Sie
P (X + Y = n) = n
P (X = k)P (Y = n − k) für alle n ∈ 0.
k=0
2. Seien λ, ρ > 0. X sei Poisson-verteilt zum Parameter λ und Y sei
Poisson-verteilt zum Parameter ρ und X, Y seien unabhängig.
Bestimmen Sie mittels der obigen Formel die Verteilung von X + Y .
Aufgabe 49 (4 Punkte)
Sei λ das Lebesque-Maß auf (, B). Sei f : → [0, ∞) eine Lebesgueintegierbare
Funktion mit fdλ = 1 und g : → eine messbare Abbildung
so, dass gf Lebesgue-integierbar ist. Zeigen Sie, dass durch
P : B → [0, 1]; A ↦→ 1A · fdλ
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (, B) definiert wird und
g dP = gf dλ.
gilt.

Aufgabe 50 (4 Punkte)
Die Rechteckverteilung Uniform(a, b) mit den Parametern a, b ∈ , a < b, ist
durch die Dichte f := 1
b−a 1 (a,b) gegeben. Sei X eine Uniform(a, b)-verteilte
Zufallsgröße. Berechnen Sie E(X) und Var(X).
Aufgabe 51 (5 Punkte)
Seien N, k, r ∈ mit N = k · r. Sei θ ∈]0, 1[.
Bei einer Reihenunersuchung von N Blutproben auf Hepatitis stehen zwei
Vorgehensweisen zur Wahl:
1. Die direkte Methode sieht eine Untersuchung jeder Blutprobe auf einen
positiven Befund vor und erfordert somit N Arbeitsgänge.
2. Die alternative, mehrstufige Methode teilt zunächst die N Blutgruppen
in r Gruppen der Größe k auf, entnimmt dann innerhalb jeder
Gruppe jeder Blutprobe die Hälfte und mischt diese, so dass r Mischungen
entstehen, welche anschließend untersucht werden. Bleibt eine
untersuchte Mischung ohne positiven Befund, so gilt dies offensichtlich
auch für jede einzelne Blutprobe innerhalb der jeweiligen Gruppe.
Tritt ein positiver Befund auf, so werden alle Blutproben der jeweilligen
Gruppe einzeln untersucht.
Nehmen Sie für die Modellierung an, dass eine jede untersuchte Blutprobe
mit Wahrscheinlichkeit θ einen positive Befund liefert. Weiterhin sollen die
Ereignisse, dass die jeweilige untersuchte Blutprobe einen positiven Befund
lieferen, stochastisch unabhängig sein.
Ermitteln Sie den Erwartungswert für die Anzahl der notwendigen Untersuchungen,
die man bei Methode (ii) benötigt.
Aufgabe 52 (2 Punkte)
Sei (pn)n∈ ∈]0, 1[ mit limn→∞ pn = 0.
Sei (Xn)n∈ eine Folge von Zufallsgrößen mit P (Xn = 1) = pn = 1−P (Xn =
0) für jedes n ∈ .
Zeigen Sie, dass für jedes ɛ > 0 gilt
lim
n→∞ P (|Xn − EXn| ≥ ɛ) = 0.
Aufgabe 53 (2 Punkte)
Seien X1, ..., Xn stochastisch unabhängige, identisch verteilte, strikt positive
Zufallsgrößen. Zeigen Sie für alle 1 ≤ k ≤ n
k i=1 E
Xi
n i=1 Xi
= k
n
Hinweis:
Es gilt im Allgemeinen E( 1 1
X ) = EX !

Aufgabe 54 (3 Punkte)
Sei X eine quadratintegrierbare Zufallsgröße und a > 0. Zeigen Sie
P (X − E(X) ≥ a) ≤
V ar(X)
a 2 + V ar(X)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω →]0, ∞[ eine Zufallsgröße
so, dass X und e X integrierbar sind.
Zeigen Sie E(X) ≤ E(X·eX )
E(e X ) .
Aufgabe 55 (4 Punkte)
Seien Xk, k ∈ {1, ..., 1000} unabhängige Zufallsgrößen, die Bernoulli-verteilt
1000
. Setze Y := Xk.
sind zum Parameter 1
4
Schätzen Sie mittels
1. der Tschebycheff Ungleichung,
2. der Hoeffding Ungleichung
k=1
die Wahrscheinlichkeit P ({Y > 600}) ab.
Aufgabe 56 (4 Punkte)
1. Sei X > 0 eine Zufallsgröße so, dass X und ln(X) integrierbar sind.
Zeigen Sie
exp( E(ln(X)) ) ≤ E(X).
2. Seien x1, ..., xn > 0. Zeigen Sie mit Hilfe von (i) die Ungleichung zwischen
dem geometrischen und arithmetischen Mittel
n
k=1
xk
1
n
≤ 1
n ·
Aufgabe 57 (5 Punkte)
Seien X, Y unabhängig auf {1, ..., n} Laplace-verteilte Zufallsgrößen. Setze
U := min {X, Y }
V := max {X, Y }
a) Berechnen Sie die Verteilung von U und V .
b) Zeigen Sie, dass (n + 1) − U die gleiche Verteilung hat wie V .
c) Zeigen Sie EU = 1 3n+1
3n + 6n
n
k=1
xk
2 3n−1
und EV = 3n + 6n .

Aufgabe 58 (4 Punkte)
Aus einer Sendung von N gleichartigen Produkten, von denen M einer gewissen
Qualitätsnorm nicht genügen, wird zur Überprüfung eine Stichprobe
vom Umfang n gezogen. X bezeichne die zufällige Anzahl der dabei gezogenen
ungenügenden Produkte. Es wird eine Konventionalstrafe in Höhe von
K := X(X − 1) vereinbart. Zeigen Sie EK = M(M − 1) n(n−1)
N(N−1)
Aufgabe 59 (2 Punkte)
Anton möchte überprüfen, ob eine Münze “fair” ist, d.h. mit Wahrscheinlichkeit
1/2 “Kopf” zeigt.
Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen weiß er, dass die Wahrscheinlichkeit,
dass die relative Häufigkeit für das Werfen der “Kopf”-Seite nahe
bei 1/2 ist, für eine große Anzahl von Würfen nahe bei Eins liegt.
Ausgehend von der Annahme, dass die Münze “fair” ist, möchte nun wissen,
wie oft er seine Münze mindestens werfen muss, damit die Wahrscheinlichkeit,
dass sich die relative Häufigkeit für das Werfen der “Kopf”-Seite nicht
mehr als 0.01 von 1/2 unterscheidet, mindestens 0.95 beträgt.
Geben Sie
Aufgabe 60 (2 Punkte)
Sei (λn)n∈ ∈ >0 mit sup n∈ λn < ∞.
Seien (Xn)n∈ eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen so, dass für
jedes n ∈ Xn Poisson-verteilt zum Parameter λn ist.
Zeigen Sie, dass für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen
Zahlen gilt.
Aufgabe 61 (2 Punkte)
Eine Fabrik stellt Schrauben her, wobei eine Schraube mit Wahrscheinlichkeit
p := 1/10 defekt sei. Eine Schraube sei unabhängig von allen anderen
Schrauben defekt.
Wie viele Schrauben sollte der Fabrikant in ein Paket tun, damit die Wahrscheinlichkeit,
dass die relative Häufigkeit der defekten Schrauben in einem
Paket von p mehr als ɛ := 10 −3 abweicht, durch eine Abschätzung mit
a) der Tschebycheff-Ungleichung,
b) der Hoeffding Ungleichung
garantiert kleiner als 0.05 wird? Geben Sie ein geeignetes Modell an!
Aufgabe 62 (2 Punkte)
Eine Lotterie-Gesellschaft bietet folgende Variante des Spiels “6 aus 49” an.
Der komplette Einsatz, d.h. die Summe der Einsätze aller Mitspieler, wird zu
gleichen Teilen an diejenigen ausgezahlt, die sechs “Richtige” getippt haben.
Gewinnt keiner, so behält die Lotto-Gesellschaft den kompletten Einsatz.
Ein findiger Multimillionär tippt nun auf jede mögliche Sechser-Kombination.

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Nettogewinns (= Differenz von Gewinn
und Einsatz) des Multimillionärs größer Null ist.
Geben Sie ein geeignetes Modell an, wobei Sie davon ausgehen, dass alle
Spieler unabhängig voneinander tippen.
Hinweis: Jensen-Ungleichung.
Aufgabe 63 (4 Punkte)
Sei (Xn)n∈ eine Folge identisch verteilter Zufallsgrößen mit m := EX1, σ 2 :=
Var(X1) < ∞. Es gebe ein k ∈ {1, ..., n − 1} so, dass für alle i, j ∈ mit
|i − j| ≥ k die Zufallsgrößen Xi und Xj unkorreliert sind. Zeigen Sie, dass
für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.
Aufgabe 64 (3 Punkte)
a) Seien a, b ∈ und seien (Xn)n∈, (Yn)n∈ Folgen von Zufallsgrößen so,
dass (Xn)n∈ gegen a und (Yn)n∈ gegen b stochastisch konvergiert.
Zeigen Sie:
Ist g : 2 → eine im Punkt (a, b) stetige Abbildung, so konvergiert
(g(Xn, Yn))n∈ stochastisch gegen g(a, b).
b) Seien X, Y Zufallsgrößen und (Xn)n∈, (Yn)n∈ Folgen von Zufallsgrößen
so, dass (Xn)n∈ gegen eine Zufallsgröße X und (Yn)n∈ gegen eine
Zufallsgröße Y stochastisch konvergiert.
Zeigen Sie, dass dann (Xn + Yn)n∈ gegen X + Y konvergiert.
Hinweis: ɛ-δ-Kriterium für stetige Funktionen.
Aufgabe 65 (4 Punkte)
In jedem Jahr müssen eine zufällige Anzahl von Schiffen bei der Abschlußregatta
der Kieler Woche wegen technischer Problemen vorzeitig aufgeben.
In diesem Jahr nehmen 1000 Schiffe teil. Wenn man annimmt, dass jedes
Schiff unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1
1000
ausfällt, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Jahr mehr
als 2 Ausfälle zu beklagen sind?
Geben Sie ein geeignetes Modell an, und benutzen Sie die Poisson-Approximation
um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen.
Aufgabe 66 (4 Punkte)
Jemand bietet Ihnen folgendes Spiel an: Geworfen wird eine “unfaire” Münze.
“Kopf” fällt dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 3
5 . Bei “Kopf” erhalten
Sie das Doppelte ihres Einsatzes zurück, ansonsten verlieren Sie das eingesetze
Geld. Sie starten mit einem Kapital von 1 Euro. In jeder Spielrunde
setzen Sie die Hälfte Ihres verbliebenen Kapitals auf “Kopf”.
Mit Xn sei das Kapital nach n Spielen bezeichnet. Zeigen Sie:
a) limn→∞ EXn = ∞,

) Xn P
−→ 0 für n −→ ∞.
Geben Sie ein geeignetes Modell an!
Aufgabe 67 (4 Punkte (Hoppes Urnenmodell))
Sei Θ ∈]0, 1[. Eine Urne enthalte genau eine schwarze Kugel mit Masse Θ und
Kugeln mit Masse 1, die nicht schwarz gefärbt sind. Man ziehe nacheinander
eine Kugel:
• Falls die schwarze Kugel gezogen wurde, so ist diese zurückzulegen.
Außerdem legt man zusätzlich eine Kugel der Masse 1 und einer bislang
noch nicht aufgetretenden Farbe in die Urne.
• In allen anderen Fällen wird die gezogene Kugel und eine weitere Kugel
mit identischer Farbe und gleichem Gewicht in die Urne gelegt.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Kugel zu ziehen sei gegeben durch
den Quotienten des Gewicht der Kugel zum Gesamtgewicht aller Kugeln in
der Urne.
Zum Zeitpunkt der ersten Ziehung liegt die schwarze und eine weiße Kugel
in der Urne.
Sei Kn die zufällige Anzahl der Farben ( außer schwarz ) in der Urne nach
dem n-ten Ziehen ( und dem Zurücklegen von Kugeln nach obiger Regel ).
Zeigen Sie:
EKn
−→ Θ für n → ∞.
ln n
Tipp:
Betrachten Sie Zufallsgrößen Xi, i ∈ mit Xi = 1 falls im i-ten Schritt
die schwarze Kugel gezogen wurde und 0 sonst. Begründen Sie, warum Xi
Bernoulli- verteilt ist, zum Parameter Θ/(Θ + i). Wie kann man Kn aus den
Xi’s berechnen?
Aufgabe 68 (5 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei Z der Vektorraum aller
Zufallsgrößen auf Ω. Für jedes X ∈ Z definiere [X] := {Y ∈ Z : P (X = Y ) = 1},
offenbar ist dies eine Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation der fast
sicheren Gleichheit zweier Zufallsgrößen.
Sei
d : {[X] : X ∈ Z} × {[X] : X ∈ Z} → , ([X], [Y ]) ↦→ E
Zeigen Sie:
a) Die Abbildung d ist wohldefiniert.
b) d ist eine Metrik auf {[X] : X ∈ Z}.
|X − Y |
.
1 + |X − Y |

c) Eine Folge von Zufallsgrößen (Xn)n∈ konvergiert genau dann stochastisch
gegen eine Zufallsgröße X, wenn lim
n→∞ d([Xn], [X]) = 0 vorliegt.
Aufgabe 69 (4 Punkte)
Aus einer Sendung von N gleichartigen Produkten, von denen M einer gewissen
Qualitätsnorm nicht genügen, wird zur Überprüfung eine Stichprobe
vom Umfang n gezogen. X bezeichne die zufällige Anzahl der dabei gezogenen
ungenügenden Produkte. Es wird eine Konventionalstrafe in Höhe von
K := X(X − 1) vereinbart. Zeigen Sie EK = M(M − 1) n(n−1)
N(N−1)
Aufgabe 70
Ein Gefäß, das in zwei gleich große, miteinander verbundene Teilkammern
unterteilt ist, enthalte n := 0.25 · 10 2 3 Gas-Moleküle. Wegen der Irregularität
der Bewegung wird zu einem festen Zeitpunkt jedes Molekül mit Wahrscheinlichkeit
1/2 in der linken oder der rechten Kammer sein, unabhängig
von allen anderen.
Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Moleküle in der
linken Kammer um (1 + 10 −8 )/2 größer ist als der Anteil der Moleküle in
der rechten Kammer, mit Hilfe der Tschebycheff-Ungleichung ab.
Geben Sie ein geeignetes Modell an!
Aufgabe 71 (2 Punkte)
Sei (λn)n∈ ∈ >0 mit sup n∈ λn < ∞.
Seien (Xn)n∈ eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen so, dass für
jedes n ∈ Xn Poisson-verteilt zum Parameter λn ist.
Zeigen Sie, dass für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen
Zahlen gilt.
Aufgabe 72 (2 Punkte)
Aufgabe 73 (2 Punkte)
Sei (Xn)n∈ eine Folge identisch verteilter Zufallsgrößen mit m := EX1, σ 2 :=
Var(X1) < ∞. Es gebe ein k ∈ {1, ..., n − 1} so, dass für alle i, j ∈ mit
|i − j| ≥ k die Zufallsgrößen Xi und Xj unkorreliert sind. Zeigen Sie, dass
für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.
Aufgabe 74 (3 Punkte)
Ein Affe gibt eine zufällig eine unendliche Folge von Buchstaben {A, B, ..., Z}
in einem Computer ein. Jeder der Buchstaben sei gleichberechtigt.
Betrachten Sie die relative Häufigkeit Hn vom Auftreten des Wortes “BAHN-
HOF” in den ersten n getippten Buchstaben.
Was passiert für n → ∞?

Aufgabe 75 (4 Punkte)
L.v.Bortkiewicz gab eine Aufstellung der Anzahl der Hufschlagtoten, die
während der Dauer eines Jahres in verschiedenen preußischen Kavallerieregimentern
verzeichnet waren. Dabei legte er die Daten von n := 200 Regimentern
über einen Zeitraum von einem Jahr zugrunde. Die nachfolgende
Tabelle gibt die Anzahl An(r) der Fälle mit genau r Hufschlagtoten an.
use packages: array
r 0 1 2 3 4 ≥ 5
An(r) 109 65 22 3 1 0
Ein Regiment besteht aus m := 1000 Soldaten und die Wahrscheinlichkeit
für eine Person durch Hufschlag zu sterben sei eine unbekannte Größe p ∈
]0, 1[.
Um die Daten zu analysieren, nehmen wir an, dass X1, ..., Xn unabhängige
Binomial-verteilte Zufallsgrößen zu den Parametern m und p sind, die die
Anzahl der Hufschlagtoten angeben.
a) Sei (x1, ..., xn) ∈ n 0 die beobachte Zahl der Hufschlagtoten in den einzelnen
Regimentern.
Bestimmen ein ˆp ∈]0, 1[ so, dass die Poissonapproximation der Wahrscheinlichkeit
P (X1 = x1, ..., Xn = xn) maximal wird.
b) Vergleichen Sie die relativen Häufigkeiten, die sich aus der obigen Tabelle
ergeben, mit den Wahrscheinlichkeiten, die sich mit der Poissonapproximation
ergeben.
Aufgabe 76 (4 Punkte)
Ein Raum wird von einer einzelnen Glühbirne erleuchtet. Falls die Glühbirne
durchbrennt wird diese sofort durch eine gleichartige Birne ersetzt.
Sei (Xn))n∈ eine Folge von unabhängigen identisch Zufallsgrößen mit X ≥
0 und EX1 < ∞.
Dann beschreibt Xi die zufällige Lebensdauer der i-ten Glühbirne.
Setze Sn := n k=1 Xi für alle n ∈ . Dann gibt Sn die vergangene Zeit bis
zum n-ten Ausfall einer Glühbirne an. Setze S0 := 0. Dann beschreibt
N(t) := max {n ∈ : Sn ≤ t}
die zufällige Anzahl der kaputten Glühbirnen bis zum Zeitpunkt t ∈ [0, ∞).
Zeigen Sie, dass
N(t) f.s.
−→
t
1
für t −→ ∞.
E(X1)