Aufgabe 1 (2 Punkte) Geworfen werden zwei sechsseitige Würfel ...

Aufgabe 75 (4 Punkte)
L.v.Bortkiewicz gab eine Aufstellung der Anzahl der Hufschlagtoten, die
während der Dauer eines Jahres in verschiedenen preußischen Kavallerieregimentern
verzeichnet waren. Dabei legte er die Daten von n := 200 Regimentern
über einen Zeitraum von einem Jahr zugrunde. Die nachfolgende
Tabelle gibt die Anzahl An(r) der Fälle mit genau r Hufschlagtoten an.
use packages: array
r 0 1 2 3 4 ≥ 5
An(r) 109 65 22 3 1 0
Ein Regiment besteht aus m := 1000 Soldaten und die Wahrscheinlichkeit
für eine Person durch Hufschlag zu sterben sei eine unbekannte Größe p ∈
]0, 1[.
Um die Daten zu analysieren, nehmen wir an, dass X1, ..., Xn unabhängige
Binomial-verteilte Zufallsgrößen zu den Parametern m und p sind, die die
Anzahl der Hufschlagtoten angeben.
a) Sei (x1, ..., xn) ∈ n 0 die beobachte Zahl der Hufschlagtoten in den einzelnen
Regimentern.
Bestimmen ein ˆp ∈]0, 1[ so, dass die Poissonapproximation der Wahrscheinlichkeit
P (X1 = x1, ..., Xn = xn) maximal wird.
b) Vergleichen Sie die relativen Häufigkeiten, die sich aus der obigen Tabelle
ergeben, mit den Wahrscheinlichkeiten, die sich mit der Poissonapproximation
ergeben.
Aufgabe 76 (4 Punkte)
Ein Raum wird von einer einzelnen Glühbirne erleuchtet. Falls die Glühbirne
durchbrennt wird diese sofort durch eine gleichartige Birne ersetzt.
Sei (Xn))n∈ eine Folge von unabhängigen identisch Zufallsgrößen mit X ≥
0 und EX1 < ∞.
Dann beschreibt Xi die zufällige Lebensdauer der i-ten Glühbirne.
Setze Sn := n k=1 Xi für alle n ∈ . Dann gibt Sn die vergangene Zeit bis
zum n-ten Ausfall einer Glühbirne an. Setze S0 := 0. Dann beschreibt
N(t) := max {n ∈ : Sn ≤ t}
die zufällige Anzahl der kaputten Glühbirnen bis zum Zeitpunkt t ∈ [0, ∞).
Zeigen Sie, dass
N(t) f.s.
−→
t
1
für t −→ ∞.
E(X1)