Aufgabe 1 (2 Punkte) Geworfen werden zwei sechsseitige Würfel ...

Aufgabe 39 (4 Punkte)
Sei n ∈ mit n > 2.
Ein Würfel wird n-mal gewürfelt. Für alle 1 ≤ i < j ≤ n bezeichne Ai,j das
Ereignis, dass beim i-ten und j-ten Mal Würfeln die gleiche Zahl erscheint.
Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, definieren Sie die
Ai,j f.a. i = j ∈ {1, ..., n} formal und zeigen, dass die Ereignisse Ai,j, 1 ≤
i < j ≤ n paarweise stochastisch unabhängig sind. Zeigen oder widerlegen
Sie, dass die Ereignisse auch stochastisch unabhängig sind.
Aufgabe 40 (4 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → 0, Y : Ω → 0
unabhängige Zufallsgrößen mit
P ({X = k}) = P ({Y = k}) = (1 − p) k p für alle k ∈ 0 = {0, 1, 2, ....},
wobei p ∈]0, 1[ ist. Definiere Z : Ω → 0; ω ↦→ max(X(ω), Y (ω)).
Zeigen Sie
P ({Z = k}) = p(1 − p) k [2 − (1 − p) k (2 − p)]
Hinweis:
Bestimmen Sie zunächst P ({Z = k, Y = l}) für alle k, l ∈ 0.
Aufgabe 41 (5 Punkte)
Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei Poisson-verteilt zum Parameter λ
1 . Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwickelnden Eier schlüpfe
mit Wahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ eine Larve. Zeigen Sie, dass die zufällige
Anzahl der Larven Poisson-verteilt Y ist, zum Parameter p · λ.
Geben Sie ein geeignetes Modell an!
Aufgabe 42 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass keine abzählbar-unendliche σ-Algebra existiert.
Hinweis:
Betrachten Sie dabei zu einer Folge (Ai)i∈ paarweise verschiedener Mengen
aus einer unendlichen σ-Algebra A das Mengensystem
⎧
⎨
C := Ai ∩
⎩
A c ⎫
⎬
j : I ⊆
⎭
i∈I
j∈I c
Aufgabe 43 (4 Punkte)
In Antons Tasche befindet sich eine zufällige Anzahl Y von Münzen, wobei
Y eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ besitzt.
Er wirft jede Münze genau einmal, wobei jede Münze mit Wahrscheinlichkeit
p ∈]0, 1[ “Kopf” zeigt. Bestimmen Sie die Verteilung der Gesamtanzahl der
Münzen, die “Kopf” zeigen.
1 Eine Zufallsgröße Y ist Poisson-verteilt zum Parameter λ, wenn gilt P (Y = k) =
−λ λk
e k!
für alle k ∈ {0, 1, 2, 3, ...}