Aufgabe 1 (2 Punkte) Geworfen werden zwei sechsseitige Würfel ...

) Xn P
−→ 0 für n −→ ∞.
Geben Sie ein geeignetes Modell an!
Aufgabe 67 (4 Punkte (Hoppes Urnenmodell))
Sei Θ ∈]0, 1[. Eine Urne enthalte genau eine schwarze Kugel mit Masse Θ und
Kugeln mit Masse 1, die nicht schwarz gefärbt sind. Man ziehe nacheinander
eine Kugel:
• Falls die schwarze Kugel gezogen wurde, so ist diese zurückzulegen.
Außerdem legt man zusätzlich eine Kugel der Masse 1 und einer bislang
noch nicht aufgetretenden Farbe in die Urne.
• In allen anderen Fällen wird die gezogene Kugel und eine weitere Kugel
mit identischer Farbe und gleichem Gewicht in die Urne gelegt.
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Kugel zu ziehen sei gegeben durch
den Quotienten des Gewicht der Kugel zum Gesamtgewicht aller Kugeln in
der Urne.
Zum Zeitpunkt der ersten Ziehung liegt die schwarze und eine weiße Kugel
in der Urne.
Sei Kn die zufällige Anzahl der Farben ( außer schwarz ) in der Urne nach
dem n-ten Ziehen ( und dem Zurücklegen von Kugeln nach obiger Regel ).
Zeigen Sie:
EKn
−→ Θ für n → ∞.
ln n
Tipp:
Betrachten Sie Zufallsgrößen Xi, i ∈ mit Xi = 1 falls im i-ten Schritt
die schwarze Kugel gezogen wurde und 0 sonst. Begründen Sie, warum Xi
Bernoulli- verteilt ist, zum Parameter Θ/(Θ + i). Wie kann man Kn aus den
Xi’s berechnen?
Aufgabe 68 (5 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei Z der Vektorraum aller
Zufallsgrößen auf Ω. Für jedes X ∈ Z definiere [X] := {Y ∈ Z : P (X = Y ) = 1},
offenbar ist dies eine Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation der fast
sicheren Gleichheit zweier Zufallsgrößen.
Sei
d : {[X] : X ∈ Z} × {[X] : X ∈ Z} → , ([X], [Y ]) ↦→ E
Zeigen Sie:
a) Die Abbildung d ist wohldefiniert.
b) d ist eine Metrik auf {[X] : X ∈ Z}.
|X − Y |
.
1 + |X − Y |