Version vom 16.05.2013 - ZIB

1.6 Rezessionskegel, Linienraum und Homogenisierung
Beweis. Setzen wir P1 := { x
1 ∈ Kn+1 | x ∈ P }, so gilt offensichtlich
P1 = conv({ v
1
Aus Folgerung (1.20)(iii) ergibt sich dann:
e
| v ∈ V } + cone({ | e ∈ E}.
P ◦ 1 = {z ∈ K n+1 | z T u ≤ 0 ∀u ∈ P1}
= {z ∈ Kn+1 | zT v
1 ≤ 0 ∀v ∈ V, zT e
0 ≤ 0 ∀e ∈ E}
V T 1
= z |
ET
V T 1
z ≤ 0 = P
0
ET
, 0 .
0
Mit Folgerung (1.7) P (A, 0) ◦ = cone(A T ) erhalten wir nun
hog(P ) = P ◦◦
1 = P
V T 1
E T 0
, 0
0
◦
V E
= cone
1T 0T
.
Die zweite Charakterisierung von hog(P ) folgt aus einer anderen Darstellung von P ◦ 1 .
Es gilt nämlich mit Satz (1.18):
P ◦ 1 = { y
λ ∈ Kn+1 | yT y
x + λ1 ≤ 0 ∀x ∈ P } = { λ ∈ Kn+1 | yT x ≤ −λ ∀x ∈ P }
= {
y
λ ∈ Kn+1 y
| −λ ∈ P γ y
} = { λ ∈ Kn+1 y AT 0
| −λ ∈ cone
bT
}
1
AT 0
= cone
−bT
.
−1
Folgerung (1.10) impliziert nun
hog(P ) = P ◦◦
1 =
cone
AT 0
−bT ◦ = P
−1
A −b
, 0 .
0 −1
In Abbildung 1.4 sind ein Polyeder P ⊆ R 1 , die im obigen Beweis definierte Menge P1
und hog(P ) dargestellt.
(1.46) Bemerkung. Sei P ⊆ Kn ein Polyeder, dann gilt:
(a) x ∈ P ⇐⇒ x
1 ∈ hog(P ).
(b) x ∈ rec(P ) ⇐⇒ x
0 ∈ hog(P ). △
Beweis. (a) ist trivial.
(b)
Sei P =
P (A, b) eine Darstellung von P , dann gilt hog(P ) = P (B, 0) mit B =
A −b
. Folglich gilt nach (1.45) und (1.43)
0 −1
x
∈ hog(P ) ⇐⇒
0
x
∈ P (B, 0) ⇐⇒ Ax ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ rec(P ).
0
✷
✷
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